Solución a 10 problemas seleccionados de Análisis Real

8/14/2019 Solucin a 10 problemas seleccionados de Anlisis Real

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ANLISIS REAL: Problemas resueltos.

1. Sea f :2 dada por=

+

=)0,0(),(si,0)0,0(),(si,),( 22

22

y x y x y x

y x

xy y x f

a) Probar que f C1(2).

b) Probar que y22

x y f

y x f

existen en cada punto de 2-{(0,0)}.

c) Calcular ambas en (0,0) y constatar que son distintas.Sol.-

a) Probemos la continuidad de f en (0,0). Entonces 0,0 >> t.q. > t.q.


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ANALISIS REAL 3

J. Espina -

resultado de aplicar la regla del cociente a las derivadas de primer orden de f . Luego, como todaslas funciones resultantes son del tipo cociente, compartirn el mismo dominio y sern continuasall, esto es, f C2(2-{(0,0)}). Entonces por el teorema de Schwarz:

)}0,0{(),(,)(),( 222

=

y x x,y

y x

f y x

x y

f .

c) Clculo de las derivadas cruzadas en (0,0)Utilizando los resultados de la parte a), obtenemos:

.1)0(00

)0,0()0,( )0,0(

y,1)0(

00)0,0(),0(

)0,0(

4

4

0

22

4

00

2

4

4

0

22

4

00

2

==+

=

=

==+

+

=

=

hh

limh

h

hh

limh

y f

h y f

lim y x f

k k

limk

k k

k

limk

x f

k x f

lim x y f

hhh

k k k

En conclusin,

.)0,0(),(si,1

)0,0(),(si,)(

99),(

,)0,0(),(si,1

)0,0(),(si,)(

99),(

322

6422462

322

6422462

=

+

+=

=

+

+=

y x

y x y x

y y x y x x y x

y x f

y y x

y x y x

y y x y x x y x

x y f

Obviamente estas funciones son discontinuas en (0,0); cuando se emplean las trayectorias de lafamilia y = m x (m) , el valor del lmite en ese punto depender del parmetro m de la familia.

2. Halle el Jacobiano de cada una de las siguientes transformaciones:

a) )(2

1 y xu = )(

2

1 y xv +=

b) cosr e x = senr e y = Sol.-

a) 121

21

2

1

2

12

1

2

1

),(),( =+=

=

=

yv

xv

yu

xu

y x

vu.

b) r r r r

r r

eeee

ee y

r

y

xr

x

r

y x 2222 )sen(coscossen

sencos),(),( =+==

=

.


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ANALISIS REAL 4

J. Espina -

3. Si u, v, x, y estn relacionadas por las ecuaciones

=+=+

024

0322

22

y xvu

x yv xyu;

encuentre .,, yv

y xv

yu

xu

Sol.- Ntese que las derivadas solicitadas suponen que implcitamente ),( y xu = y ),( y xv = .

Para su clculo es necesario conocer el Jacobiano de la transformacin definida en las relacionesimplcitas del sistema de ecuaciones. Para facilitar la notacin hgase

=+==+=

024),,,(

0),,,(322

22

y xvu y xvuG

x yv xyu y xvuF .

Luego, el Jacobiano de la transformacin es,

)4(41224

482

),(),( u xvy

u xvy

vu yv xy

vG

uG

v

F

u

F

vuGF +===

= .

Para calcular cada una de las derivadas parciales, se usa la conocida formulacin:

),(),(),(),(

),(),(),(),(

,

),(),(),(),(

,

),(),(

),(),(

vuGF yuGF

yv

y

vuGF xuGF

xv

vuGF v yGF

yu

vuGF v xGF

xu

=

=

=

=

El trabajo se reduce ahora a determinar los determinantes de cada numerador:

Esto resulta de diferenciar F y G con respecto de cada variable independiente. Por ejemplo, al derivar respecto de x se obtiene:

=

=

+

=

+

=

+

+

=

+

+

x

G x

F

x

v x

u

v

G

u

Gv

F

u

F

x

G

x

v

v

G

x

u

u

G x

F

x

v

v

F

x

u

u

F

x

v

v

G

x

u

u

G

x

G x

v

v

F

x

u

u

F

x

F

0

0

.

Aplicando la regla de Cramer a este sistema de ecuaciones resulta:

),(

),(

),(

),(

),(

),(

),(

),(

vu

GF

xu

GF

v

G

u

Gv

F

u

F

x

G

u

G x

F

u

F

v

G

u

Gv

F

u

F

x

G

u

G x

F

u

F

x

v y

vu

GF

v x

GF

v

G

u

Gv

F

u

F

v

G

x

Gv

F

x

F

v

G

u

Gv

F

u

F

v

G

x

Gv

F

x

F

x

u

=

=

=

=

=

=

que son las primera y tercera frmulas indicadas. Las otras dos se obtienen diferenciando respecto de y.


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ANALISIS REAL 5

J. Espina -

[ ]

[ ]

[ ]

[ ].)(8)(88),( ),(

,)2(83)2(8338

2

),(),(

,)(222

24

2),(),(

,3)2(2223

22

43

22

),(),(

24243

2

23232

323

2

3

2

2222

v xuu y xv xuu y x xu

v xu xy

yG

uG

y

F

u

F

yuGF

y x yuu y x x yuu y x y xu

x yu xy

xG

uG

xF

uF

xuGF

y xv xuv x

yv xuv

v x

yvv xu

vG

yG

vF

yF

v y

GF

y x x yuv y x

y x yuv

v y x

yv x yu

vG

xG

vF

xF

v x

GF

+===

=

++=+=

+=

=

=

=

=

=

+=

+=

+

=

=

Finalmente,

[ ]

[ ] ,)4(2)(2

)4(4)(22

),(),(),(),(

,)4(2

)2(23)4(43)2(22

),(),(

),(),(

2332

2222

u x yv xu y x

u xvy y xv xuv

vuGF v yGF

yu

u x y x yu y x

u xvy y x x yuv

vuGF v xGF

xu

+

=+

=

=

++=

++=

=

[ ]

[ ].

)4(4)(8

)4(4)(8

),(),(),(),(

,)4(4

)2(83)4(4

)2(83

),(),(),(),(

2424

2323

u xvyv xuu y x

u xvyv xuu y x

vuGF yuGF

yv

yu xvy

x yuu y xu xvy

x yuu y x

vuGF xuGF

xv

++=

++=

=

+++=

+++=

=

4. Sean A f : y Ag : integrables.a) Para cada particin P de A y subrectngulo S, pruebe que

)()()(),()()( g M f M g f M yg f mgm f m S S S S S S ++++ ,y por tanto,


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ANALISIS REAL 6

J. Espina -

),(),(),(),(),(),( PgU P f U Pg f U yPg f LPg LP f L ++++ . b) Probar que f + g es integrable y +=+ A A A g f g f )( .

Sol.-a) Para todo S

{ } { } { })()()(

)()()(inf )(inf )()(inf )(

g f mgm f m

gm f mS x xgS x x f S x xg x f g f m

S S S

S S S

+++=++=+

y{ } { } { }

)()()(

)()()(sup)(sup)()(sup)(

g M f M g f M

g M f M S x xgS x x f S x xg x f g f M

S S S

S S S

+++=++=+

de donde,[ ]

[ ]).,(),(),(

)()()()()()()()()(),(

).,(),(),(

)()()()()()()()()(),(

PgU P f U Pg f U

S vg M S v f M S vg M f M S vg f M Pg f U

Pg f LPg LP f L

S vgmS v f mS vgm f mS vg f mPg f L

S S

S S

S S S

S S

S S

S S

S S S

S S

+++=++=+

++

+=++=+

b) f y g son integrables sii


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ANALISIS REAL 7

J. Espina -

5. Encuentre el volumen del slido limitado en la parte superior por 22 y x z += ,inferiormente por el plano 0= z , y lateralmente por el cilindro 422 =+ y x .

Sol.-

Como el slido resultante tiene a z como eje desimetra, los ms conveniente es atacar este

problema usando coordenadas cilndricas,

donde===

sen

cos

z z

r y

r x

cuyo Jacobiano es en valor

absoluto r zr z y x =

),,(),,(

. Luego para la regin

de integracin

20

20

20

:r z

r

R , el volumen es:

.80

2

22

1

42

0

3

2

0

2

0 0

2

===

==

r dr r

dr d dzr V r

R

6. Sea [ ] ba f ,: integrable y no negativa, y sea { })(0,),( x f yb xa y x A f = .

Probar que f A es medible Jordan y tiene rea ba f .Sol.-Un conjunto es medible Jordan, si la frontera de ese conjunto es de medida cero; denotemos aesta ltima por f A . Luego,

4321 A A A A A f = donde,

{ } { } { }{ }.),(0),(

),(0),(,)(,),(,0,),(

4

321

b xb f y y x A

ya xa f y y x A x f yb xa y x A yb xa y x A==

======

Si probamos que 1 A es de medida nula, entonces tambin lo ser 2 A por hiptesis.Como f es integrable en J , P> 0 t.q.


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ANALISIS REAL 8

J. Espina -

,)()(),(

)()(),(

1

1

=

=

=

=

n

iii

n

iii

J v f M P f U

y

J v f mP f L

con{ } { }.)(sup)()(inf )( iiii J x x f f M y J x x f f m ==

Entonces puede afirmarse que,

[ ]


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ANALISIS REAL 9

J. Espina -

= bab

xC dydx y x f f ),( .

8. Supongamos que R dV z y xF ),,( existe. Supongamos que existen funciones 1K y 2K de dos variables independientes, funciones 1G y 2G de una variable independiente ynmeros reales a y b con la propiedad de que R es la regin del espacio limitada por{ }baGGK r K r ),()(),,(),(),,( 2121 , donde,

===

cos

sensen

sencos

r z

r y

r x

.

Si 1K , 2K , 1G y 2G son continuas, y )( ab , entonces

d d dr r r r r F dV z y xF

b

a

G

G

K

K R sen)cos,sensen,sencos(),,(2)(

)(

),(

),(

2

1

2

1 =

.Sol.-Por teorema, si )(: Ag f y n Ag : entonces = A Ag gg f f det)()( (). En nuestrocaso )( Ag R = , F f = , [ ] cos,sensen,sencos),,( r r r r g = y entonces

),,(),,(

det r z y x

g = . Procediendo,

.sen

cossen

sencossen

sencos

cossencossen

sen0cos

cossencossensen

coscossensencos

sen

sen0coscossensencossensen

coscossensensencos

2

2222

),,(),,(

r

r r

r r r

r r

z z

r

z

y y

r

y

x x

r

x

r

z y x

=

=

=

=

=

Pero, )12(2)12(2. +


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ANALISIS REAL 11

J. Espina -

10. Evale dxdy y x y

y

21

0

1 22 por medio de la transformacin [ ] [ ]uvuvu y x ,, = .Sol.-La regin de integracin es { } y x y y y x Ag = 1,0),()( 21 , que sugiere la frontera

{ } { } { } 31

21

21 )(0,10),(1,1),(,0),()(

=

=====i

iF g y x y x x y x y x x y x y x Ag

con

{ }{ }{ }.0,10),()(

1,1),()(

,,0),()(

3

21

2

21

1

====

==

y x y xF g

y x y x y xF g

x y x y xF g

Como [ ] [ ]uvuvu y xg ,,:1 , encontremos el Jacobiano y las regiones correspondientes a cadauno de los conjuntos frontera en el plano uv.

uvvuuv

uv

vu y x

v

y

u

yv

x

u

x

=+=

==

)1(1

),(),(

.

Entonces para que 1g sea inyectiva, 0u .

a) Para )( 1F g ,

{ } { }.0),(,10),(0o,

100

1

21

1

21

21

0

==


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ANALISIS REAL 12

J. Espina -

{ } { }.0),(10,0),(

0o,

100

00

3 ===

==

==

uvuuvvuF

u

uv

uv y

De estos resultados se deduce que la regin deintegracin en el plano uv es:

{ }210,10),(

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