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Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ingeniera
Preparaduras de Clculo III (0253)
Preparador: Ernesto A. Contreras A. ([email protected])
Solucinal 4 Parcial de Clculo III
Contenidos:
Solucin a los ejercicios.
mailto:[email protected]
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Pregunta # 1:
Se aplica un cambio de variables:
+ = ;
=
Calculamos la matriz jacobiana:
= 1
= 1
=
2
=1
1 = |1 1
21
|
1 = +
2
=2
+
Nota: Como , > 0 entonces se dice que || =
El nuevo integrando en funcin de e :
=
(+)
2 (
) ( + )
+
2 |1|
||
Simplificando el integrando nos queda:
=
(+)
2 (
) ( + )
Ahora realizando el cambio de variables:
= 2()
Procedemos a calcular la integral:
-
3
= 2()
3
1
2
1
La particin de la regin de integracin es rectangular por lo que
el orden de
integracin conmuta y sucede:
= () 2
1
2
3
1
= [2 (2) 3
4] [(9 )
2]
Nota: Con esa respuesta basta.
Pregunta # 2:
Esta pregunta requera de hacer un cambio a coordenadas polares,
pues la regin de
integracin es circular y en estos casos el cambio de variables a
coordenadas polares
es el ms conveniente:
= (2 4) 3
2
2
0
(2 4) 2
1
2
0
= 2 [25
4+9
4]
= 417
4
= 17
Pregunta # 3:
Se tiene el siguiente sistema de inecuaciones en 3:
{
1 2 + 2
2 + 2 1
1 + 1 2 2
Visualizando el solido en el primer octante, nos queda esta
humilde ilustracin:
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4
Despejaremos las superficies como funciones (, ):
= ( 1)2 2
= 1 2
= 1 ( 1)2 2
Ilustracin de la proyeccin del solido en el plano YZ:
La regin 3 tiene el volumen oculto:
Planteamiento en coordenadas cartesianas en el orden =
Nos arroja la suma de 3 integrales.
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5
= (2 + 2)22
1(1)22
0
1+12
1
1
0
+ (2 + 2)22 12
0
1
1
1
0
+ (2 + 2)22 12
(1)22
1
0
1
0
El planteamiento en coordenadas cilndricas:
= 62()2()
1+122
12+2
1
0
2
0
Por ultimo queda el planteamiento en coordenadas esfricas. De la
ilustracin de la
proyeccin del solido en el plano YZ podemos inferir:
=
4
Y los radios esfricos serian:
=1
() + ()
= ()
= 2()
Nos quedan dos integrales:
= 66()2()2()2()
2()
1()+()
4
0
2
0
+ 66()2()2()2() ()
1()+()
2
4
2
0
Pregunta # 4:
De este ejercicio podemos deducir lo siguiente:
= = 0
Solo faltara calcular el :
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Recordemos que:
=
La densidad es:
(, , ) =
Cambiando a coordenadas esfricas la densidad es:
( () (), () (), ()) = ()
Preferiblemente utilizando coordenadas esfricas:
=
22()2() 2
0
24
2
0
()2() 2
0
24
2
0
El valor de la integral era:
=
162152
=82
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Parcial resuelto
