la integral definida se utiliza para evaluar el volumen de ciertos sólidos, llamados sólidos de revolución. Cuando una región en el plano xy se hace girar en torno a una recta L, se genera un cuerpo sólido, llamado sólido de revolución. Se puede calcular el volumen de tales cuerpos.

Volúmenes de revolución respecto al eje xA continuación se presenta una región en el plano xy y el cuerpo que genera cuando la región se hace girar en torno al eje x.  

f(x)= x2 + 1

La región R en el plano xy puede ser aproximada con rectángulos, como ya vimos en el cuaderno sobre la integral definida y el cuaderno sobre áreas. Por lo tanto, el volumen generado por la región R al girar se puede aproximar por el volumen generado por los rectángulos.

Cada rectángulo genera un cilindro (o disco) cuyo volumen es fácil de calcular. La suma de los volúmenes de los discos es una aproximación al volumen del sólido de revolución.

 

El volumen de cada disco es  r2 dx, en donde r, el radio de cada disco es igual a f(x), que es la altura del rectángulo que lo genera. La suma de los volúmenes de los discos es una sumatoria de Riemann y representa una aproximación al volumen del sólido de revolución. El volumen del sólido es igual al límite de la sumatoria de Riemann cuando el número de rectángulos crece sin límite. Dicho límite, si existe, es por definición la integral definida sobre el intervalo [a,b] de  f(x)2 dx.

Volúmenes de revolución respecto al eje yEn esta sección veremos el sólido de revolución que se genera al girar la misma región del

ejemplo anterior pero ahora respecto al eje y.   f(x)= x2 + 1

Las siguientes dos gráficas, son las superficies que la región xy genera al girar alrededor del eje y. La primera superficie la genera la parte superior de la región xy, la segunda superficie es generada por los lados (orillas) de la región.  

Esta última gráfica es el volumen generado por la región xy. Como puedes observar, el volumen se parece a un bote con un hueco en medio. Trata de identificar las dos superficies anteriores en este volumen.

EJERCICIOS 1) Obtenga el volumen del sólido de revolución que se forma haciendo rotar la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas en torno a la recta o eje indicado.      a) x2 - y2 = 16, x = 5; eje y

     b) y = tan x, y = 0, x =  ; eje x     c) y = |cos x|, y = 0, 0 <= x <= 2 ; eje x2) Utilice el método de las cortezas para determinar el volumen del sólido de revolución que se forma haciendo girar la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas en torno a la recta o eje indicado.      a) y = x2, x = 0, y = 3; eje x a) y = (x - 1)2, y = 1; eje x Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.