Solid Wafa

جامعة الطائف -كلية العلوم –قسم الفيزياء – الدكتور محمد احمد آلجاللي -) لثالثالفصل ا(فيزياء الحالة الصلبة -لفيزياء سلسلة محاضرات آلجاللي في ا

67

X-Ray

λ = 1A°

E ~ 104 eV

interact with electronPenetrating

Neutron

λ = 1A°

E ~ 0.08 eV

interact with nucleiHighly Penetrating

Electron

λ = 2A°

E ~ 150 eV

interact with electronLess Penetrating

Diffraction Methods

Typical Laue X-ray diffraction pattern

symmetry of the pattern

Laue X-ray diffractionYAlO3c-axis normal to picture

symmetry of the crystal

Complementarity of the three types of radiation

X-ray diffraction Electron diffraction Neutron diffraction

•Photon energies 10keV-100keVlarge penetration depth3D crystal structure

•scattering by electron density best results for atoms with high Z

•Charged particle “strong” interactionwith matter

low penetration depth

Study of: surfacesthin films

•Interaction with nuclei Improved efficiencyfor light atoms Inelastic scattering:phonons

•Magnetic moment interactswith moment of electrons

Magnetic scattering:Structure, magnons

: في الحيود (Bragg's law) قانون براغ -5

لحيود حزمة وحيدة الطول ألموجي من األشعة السينية وقد م وضع براغ الشروط الهندسية 1913في عام زاوية (ةافترض أن حزمة األشعة الساقطة على البلورة تنعكس مثلما تنعكس األشعة العادية عن مرآة مستوي

بالنسبة لمختلف المستويات الذرية في البلورة ،وان الربط بين زاوية ) السقوط تساوي زاوية االنعكاسالسقوط وطول الموجة للضوء المستعمل والمسافة بين مستويات االنعكاس شرط أساسي لالنعكاس

).براغ(الجيد

مخترق

Salhab

Typewritten Text

1

Salhab

Typewritten Text

2

Salhab

Typewritten Text

3

Salhab

Line

Salhab

Typewritten Text

nג=2dsin0

Salhab

Line

Salhab

Line

Salhab

Line

Salhab

Line

Salhab

Line

Salhab

Pencil

Salhab

Highlight

Salhab

Highlight


حيث من )8-1األشكال بدقة من تابع (تسقط أشعة اكس بشكل حزمة متوازية على المستويات الذرية المفترض أنها ستخترق الطبقات المختلفة للبلورة وتتبادل التأثير مع كافة المستويات الذرية حتى العميقة

المستويات إلىينفذ والباقيمنها، ويفترض أيضا أن المستويات الذرية تعكس قسما صغيرا من األشعة .األخرى

وبما أن البلورة تتألف من عدة مستويات ذرية وان أي مستوي يمتلك ترتيب دوري للذرات فان هذه راجع خواص شبكة الحيود المستوية (المستويات ستتفاعل مع األشعة السينية وكأنها شبكات حيود مستوية

إلىالثاني لىإ األولحيودات من رتب مختلفة اعتبارا من المستوي إلىوسوف يؤدي ذلك ) من أي مصدرالمنعكسة األشعةظهر كم هائل من إلىالبلورة أعماق إلىوسيؤدي دخول أشعة اكس . الخ.......الثالث

ولكن القسم األكبر منها يضعف شدته نتيجة لعملية ) شبكات حيود(الناجمة عن آالف المستويات الذريةن فرق المسير بين األشعة التداخل والقسم األخر تزداد شدته وهذا الشرط يتحقق عندما يكو

راجع الموقع التالي على (والمنعكسة يساوي إلى عدد صحيح من طول الموجة المستخدمة)الواردة(الساقطة :أي )http://en.wikipedia.org/wiki/Bragg%27s_lawشبكة االنترنت

)7(λn=∆

المادة مع اإلشعاع تفاعل):1(شكل

ذريين مستويين عن الحيود):2(شكل

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/Diffusion_rayleigh_et_diffraction.png

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Loi_de_bragg.png

Salhab

Underline

Salhab

Typewritten Text

هون كبرت

Salhab

Typewritten Text

وهون شطبت


للمستويات األشعة واختراق الحيود): 3(شكل

شكل تخطيطي يمثل أشعة اكس الساقطة والشعاع المنعكس وفق نظرية الحيود لبراغ: ) 4(شكل

نجد فرق المسير بين الشعاع على البلورة، Aحيث يسقط شعاع عند النقطة ) 5(ألتخطيطيي ومن الشكل المنعكس على الجزء الباقي من الشعاع األصلي بينو Aعند النقطة لمنعكس على المستوي األولا

:يساوي إلى Bالمستوي السفلي عند النقطة

(8) :فإننا نستطيع أن نكتب العالقة التالية) 7(وإذا كان هذا الفرق يحقق العالقة

Salhab

Typewritten Text

البلورة

Salhab

Underline

Salhab

Line


(9) :ا العالقات المثلثية التاليةأيض) 5(ونالحظ من الشكل

(10) :وكذلك نجد أن

(11) :فنجد) 9(نعوض في العالقة

(12) :ومنه نحصل على قانون براغ في الحيود

(13)

فرق المسار بين شعاعين احدهما يسقط على المستوي األول أيضا) 6(أو بشكل مختصر من الشكل :نجدوالثاني على المستوي الثاني

)14(sin22

sinsin

2

λθ

θθ

λ

ndBC

dBCd

BCnBCABC

===∆

=⇒=

===∆

Salhab

Line


وتعطينا مبدئيا المسافة بين المستويات الذرية ،ويجب استعمال أكثر من طول ).13(وهي نفس العالقة .موجي للحصول على تصور فضائي للبلورة

Bragg Diffraction: Bragg’s Law

Bragg Diffraction Law

Law describing the minimum condition for diffractionApplicable for photons, electrons and neutrons

2 sind nθ λ=n: integer

Bragg’s lawCondition for efficient specular reflection 2 sinhkld θ λ=

(click for java applet)

هندسيا الحيود وعملية براغ قانون):7( شكل


Spacing dhkl between successive (hkl) planes

In cubic systems:222 lkh

adhkl++

=

x

y

221102 ad =

ad110

2110ad =

Top view

dhkl for non cubic lattice later in the frameworkof the reciprocal lattice

Bragg Peaks

شرط الحيود توافق التي الزوايا تمثل في الخط البيانيبراغ قمم ):8( شكل

على البلورات) األمواج(الطرق التجريبية لحيود األشعة -6

(Experimental methods in X-ray diffraction at crystals)

:طريقة فون الوي -1

ومجدية لكشف توجهات البلورة وكشف العيوب البلورية حيث تتعرض قة سريعةيوهي طر أنجستروم وذلك لتغطية 3-0.2مابين يتراوحاكس البيضاء وبطيف مستمر أشعةحزمة من إلىالبلورة

ا كل مستوي انعكاس بلوري يختار الطول ألموجي المتناسب كافة االحتماالت الممكنة لألبعاد بين ذرية وهن ).9الشكل (مع األبعاد بين ذرية وبحيث يتحقق قانون براغ

Salhab

Rectangle

Salhab

Rectangle

Salhab

Rectangle

Salhab

Rectangle

Salhab

Rectangle

Salhab

Rectangle

جامعة الطائف–- قسم الفيزياء- كلية المعلمين الدكتور محمد احمد آلجاللي السادسة)سلسلة محاضرات فيزياء الجوامد (المحاضرة

1

سلسلة محاضرات فيزياء الجوامد : مجموعة محاضرات تغطي مقرر فيزياء الجوامد لطالب الفيزياء ،المستوى الرابع ،ومفردات هذه المحاضرات مرتبة وفق ما ورد في الخطة الفصلية ألغلب الجامعات مع التفاوت من حيث التفصيل وسأتخذ الوسطية في العرض ،وأشير

introduction علما أن المرجع الرئيس هو(إلى المرجع في حال وجود تفصيالت معقدة لم ترد في الشرح ليستفيد منها من يود االستزادةto solid state physics, Charles Kittel,1996 ( والمواقع التالية مفيدة جدا وممتعة .) وخصوصا الموقع الثاني لجامعة كامبردج (

جع باللغة االنجليزية: الكافة المحاضرات كمر 0TUhttp://en.wikipedia.org/wiki/Solid_state_physicsU0T

0TUhttp://www.msm.cam.ac.uk/doitpoms/index.htmlU0T 0TUhttp://www.matter.org.uk/diffraction/sitemap.htmU0T

1Tالمقلوبة الشبكةReciprocal lattice

-خواص الشبكة المقلوبة:1

تبين نظرية الحيود أن الشبكة البلورية واألمواج (الكترونات،بروتونات،فوتونات.......) يتفاعالن مع بعضهما بنفس طريقة تفاعل األمواج مع بعضها البعض. ومن المفيد أن نفكر بالشبكة البلورية

كاضطراب شبه موجي ،وأن نستخدم فضاء متجهة الموجة بدال من طول الموجة التي ال تمتلك خواص المتجهة،وبالتحديد جهة انتشار الموجة حيث أن المتجهة يمكن تحليلها إلى مركباتها الفضائية.وبما أن قيمة

متجهة الموجة تعطى بالعالقة λπ2

=K والتي تبين أن أبعادها مقلوب طول، فنحن ملزمين وفقا للتصور

Kالجديد أن ننتقل من فضاء الشبكة العادية إلى فضاء متجهة الموجة أو ما يسمى بفضاء فورييه ، وهذا ،

الفضاء يمكننا من تعريف الشبكة المقلوبة.وبما أن األيونات في البلورة تكون مرتبة بشكل دوري وخصوصا عند االنتقال من مستوي بلوري إلى آخر ,فإنه يمكننا اعتبار الجهد الدوري لأليونات كموجة

) ومتجهة الموجة تلك تكون (dساكنة(موقوفة)طول موجتها يساوي إلى المسافة بين المستويات البلورية عمودية على المستويات البلورية وقيمتها

dπ2 ونسميها هنا بالمتجهة G

، ومن الطبيعي فإن هذه المتجهة

introduction toبشكلها العام لها متجهة الشبكة المقلوبة (لمزيد من المعلومات الرياضية راجع كتاب solid state physics, Charles Kittel,1996,p29-52:وتتمتع بالخواص التالية (

A. للشبكة المقلوبة متجهات أولية مثل الشبكة العادية وإحداثيات أي نقطة في فضاء الشبكة المقلوبة(العكسية) تعطى بالعالقة التالية:

)1(321 gCgBgAG

++= CBAحيث

321 المتجهات األولية للشبكة المقلوبة و ,, ,, ggg أعداد صحيحة موجبة أو سالبة أو صفر.وإن متجهة الوحدة في هذا الفضاء يمكن كتابتها بالشكل:

)2(GGn

=

B. :يعطي جداء (ضرب) متجهات الشبكة المقلوبة بمتجهات الشبكة العادية النتائج التالية

)3(0.0.2.

0.0.2.

0.0.2.

===

===

===

bCaCcC

cBaBbB

cAbAaA

π

π

π

http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_state_physics

http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_state_physics

http://www.msm.cam.ac.uk/doitpoms/index.html

http://www.msm.cam.ac.uk/doitpoms/index.html

http://www.matter.org.uk/diffraction/sitemap.htm


2

Aويالحظ من خالل هذه العالقات أن المتجهة ) عمودية على المستوي cb

B) ،وكذلك المتجهة ×

acعمودية على المستوي(

C) ، وأن المتجهة ×

ba عمودية على المستوي (

×.( C. نحصل على متجهات الشبكة المقلوبة بداللة متجهات الشبكة العادية وذلك بضرب المجموعة

)األولى ب( cb

× / cb

ac والمجموعة الثانية ب(×

× / ac

ba) والمجموعة الثالثة ب(×

× / ba

× ( فنجد العالقات التالية:

)4().(

2).(

2).(

2

2.2.2.

bacbaC

acbacB

cbacbA

babacC

acacbB

cbcbaA

××

=××

=××

=

⇒××

=××

=××

=

πππ

πππ

),().,().(تمثل المقادير( bacacbcba

) أن 4) حجم الخلية البدائية للشبكة العادية ويتضح من العالقة (×××CBAأبعاد (

) أبعاد مقلوب طول وهي المتجهات األولية للشبكة المقلوبة(المعكوسة).,,D. ) تدعى الشبكة الالنهائية المبنية على المتجهاتCBA

) بالشبكة المقلوبة (تدعيم معامالت ميلر ) ,, ،ويدعى متوازي السطوح المقام على هذه المتجهات بالخلية البدائية للشبكة المقلوبة.

E. .عند تدوير البلورة بزاوية ما فإن كال الشبكتين تدوران معا بنفس الزاوية F. يجب مالحظة أن الشبكة البلورية العادية هي شبكة في الفضاء الحقيقي،بينما الشبكة المقلوبة هي

KPشبكة في فضاء فورييه وبعبارة أدق فضاء كمية الحركة(

K) وأكثر دقة الفضاء-=.

G. ) يساوي:4حجم الخلية البدائية في الشبكة المقلوبة من العالقات (

)5()2().(

)2().(0

33

Ω=

×=×

ππcba

CBA

) حجم الخلية البدائية في الشبكة العادية.0Ωحيث (H. عندما تكون الشبكة العادية مكعبة بسيطة(SC) فإن الشبكة العكسية مكعبة أيضا ويكون

(A=B=C=2π/a)ولكن الشبكة المكعبة المركزية.(BCC) تكون الشبكة المقلوبة لها شبكة مثال) ثم الموقع المثير Kittel لمزيد من المعلومات الرياضية راجع كتاب(FCC)مركزية الوجوه

لإلعجاب حول الشبكة المقلوبة :0Thttp://www.msm.cam.ac.uk/doitpoms/tlplib/reciprocal_lattice/index.php 0T

تابع األشكال التالية إلنشاء شبكة مقلوبة:baنختار خلية وحدة حقيقية في البعد الثنائي متجهتيها األوليتين -‌أ

, والزاوية بينهما γ واألبعاد d ).1موضحة على الشكل(

http://www.msm.cam.ac.uk/doitpoms/tlplib/reciprocal_lattice/index.php


3

)1الشكل(∗∗ فنحصل على خلية الوحدة المقلوبة بالمتجهات b ثم عمود على a ننشئ عمود على -‌ب ba

, .γ∗والزاوية بينهما

)2الشكل(

لكل منهما.d نحدد األبعاد للشبكة المقلوبة بمقلوب -‌ت

)3الشكل(


4

الشكل العام للشبكة المقلوبة الناتجة مع معامالت ميلر. -‌ث

)4الشكل (

الحيود في الشبكة المقلوبة:- 2

يجب أن تكون الطاقة محفوظة قبل وبعد التفاعل أو ما يسمى بالتفاعل وفق شرط براغ لكي يتم الحيود المرن وبما أن الطاقة بداللة متجهة الموجة تعطى بالعالقة :

)6(2

22

mkE

=

Kوهذه الطاقة هي نقسها قبل وبعد التفاعل فذلك يعني أن القيمة العددية لمتجهة الموجة ال تتغير،ولكن

الذي يتغير هو االتجاه فقط ووفق نظام جمع المتجهات نجد من خالل الشكل ()العالقة التالية:

)7(if KKK

−=∆


5

(von Laue Formulation of X-Ray Diffraction) لحيود األشعة السينيةشرط فون الويووفق إحدى أبعاد d البعد بينهما ذرتين من الشبكة تسقط على KRiRفان حزمة من األشعة ذات متجهة موجة

) .5 كما يبين الشكل(KRfRالمتجهات األولية وتعاني انعكاسا بمتجهة موجة

)5الشكل(

ومن هندسة الشكل نجد العالقة التالية لفرق المسار بين األشعة الواردة والمنعكسة بإتباع الجداء القياسي على الشكل متجهتا الوحدة كل على حده:'n وnللمتجهات حيث

)8().(coscos nnddd

−′=′+ θθ

ووفقا لشرط التداخل البناء فإن فرق المسير يجب أن يساوي عدد صحيح من طول الموجة أي:

)9().( λmnnd =−′

) ب (9بضرب طرفي العالقة (λπ2:نحصل على العالقة التالية (

)10(2).(

2).(

2.2.2.

mkd

mKKd

mnnd

if

π

π

πλπ

λπ

=∆

=−

=

−′

Salhab

Rectangle


6

K وأن قيمة(شرط فون الوي للحيود) 10تبين العالقة (

) يمثل مقلوب طول وقد وجد بالطرق الهندسية( ∆ :(m=1))) أن هذا الطول هو بالتحديد قيمة متجهة الشبكة المقلوبة أي أنه عندما 3راجع العالقات(

)11(2 Gd

K

==∆π

) شرط الحيود وفق المعادلة التالية:6الشكل ( يبين شرط براغ للحيودومما سبق نضع اآلن

)12(GKK if

+=

)6الشكل(

) فنجد :12نربع طرفي العالقة (

)13(.2222 GKGKK iif

++=

):14) ومنه تصبح العالقة (K= KRiR =KRfR وعدديا كما سبق شرحه فإن(

)14(0.22 =+ GKG

) تمثل شرط الحيود قي الشبكة المقلوبة أو معادلة براغ في الشبكة المقلوبة.14العالقة (

وهي تمثيل هندسي يبن لنا أن شرط برا غ للحيود هو نفسه ):The Ewald sphere كرة إيوالد (– 3 سواء كان في الشبكة العادية أم المقلوبة وذلك وفقا للتمثيل الهندسي التالي:

نختار شبكة مقلوبة مستوية ونرسم فيها دائرة بحيث تقطع بعض عقد الشبكة على محيطها أنظر -‌أ ).7الشكل(


7

)7الشكل(

إن أي عقدتين واقعتين على تلك الدائرة(الكرة فضائيا) تكونان متساويتا البعد عن المركز(أنصاف -‌ب ).8) انظر الشكل(14أقطار دائرة) تحققان شرط براغ في الحيود العالقة(

)8الشكل(

) أن كل حاالت الحيود محتملة عند معرفة الشبكة المقلوبة وأبعادها ومن ثم الطول 9يبن الشكل ( -‌تألموجي المستخدم ،وان أي نصفي قطرين يصالن من مركز الدائرة (ليسا على استقامة واحدة) إلى

أي عقدتين على محيط الدائرة يحققان شرط براغ قي الشبكة المقلوبة حيث أن احد األنصاف يمثل


8

،والخط الواصل بين KRfRوالنصف األخر يمثل المتجهة المنعكسة KRiR المتجهة الواردة(الساقطة) . Gالعقدتين يمثل متجهة الشبكة المقلوبة

)9الشكل(

فضائي وتجريبي ،الحظ الشكل المخروطي للحيود فضائيا ) تمثيال نهائيا لما 11 و10يبين الشكل( -‌ث سبق شرحه في الفقرات لسابقة.

)10الشكل(


9

11الشكل((

، ولهذا الغرض نرسم على ) هي نفسها عالقة براغ في الشبكة العادية14نثبت اآلن أن العالقة ( -‌ج

GK) مستقيما عموديا منصفا على (12الشكل (

) وليكن o) يمر من مركز الدائرة (∆=

)PQ)يحدد لنا هذا الخط مستويا بلوريا في فضاء الشبكة العادية ألنه في النقطة، (o يسقط الشعاع ( على المستوي ثم ينعكس، وبما أن المسافة بين مستويين ذريين تعطى بالعالقة:

)15(22G

dGd

K

ππ=⇒==∆

) المتساوي الساقين والزاوية الكائنة بينهما نجد أن :oabومن المثلث (


10

)16(sin2

sin2.22sin221

sin

θλ

θλππθθ

d

dKG

K

G

=

⇒=⇒=⇒=

) نجد:n )، ومن أجل الرتبة (n=1) تمثل قانون براغ في الشبكة العادية من أجل (16العالقة (

)17(sin2 θλ dn =

)12الشكل(

أنظر الملحق حول كرة ايوالد باالنجليزية.

) Wigner-Seitz cell زايتس (– هي بالتعريف خلية ويغنر ): (Brilloun zones-مناطق بريلوان 4)، والتي البد من الرجوع 14في الشبكة المقلوبة ، وهذا التعريف يفسر لنا شرط الحيود هندسيا من العالقة(

0.22)14(إليها ثانية لفهم حقيقة مناطق بريلوان :( =+ GKG

و G) وبما أن كل من –G متجهتان في الشبكة المقلوبة يمكن أن نكتب بعد استبدال G بـ -G:


11

)18(21cos

21cos.

21..2 222

GK

GGKGGKGGk

=

⇒=⇒=⇒=

φ

φ

) 18 ، ولتحقيق العالقة ( G و K الزاوية بين φحيث اآلخر لمعادلة براغ الشكل ) هي18 والعالقة ( K من منتصفها ، فيكون مسقط أي متجهة Gنأخذ شبكة مقلوبة ثم ننشئ المستوي العمودي على المتجهة

)K على( مرسومة من المبدأ إلى ذلك المستوي G) والمستوي ) ، 14 و 13) الشكل(18 محققة للعالقةθφ) أن (13 ،ويظهر من الشكل (إحدى مناطق بريلوان ذاك يمثل جزء من sincos ) ومنه قانون =

براغ من جديد:

)19(sin2

2.21sin2

21sincos

θλ

πθλπθφ

dd

GKK

=

⇒=⇒==

)13الشكل (


12

)14الشكل(

زاتس في الشبكة المقلوبة(إحدى مناطق بريلوان) –) يبين مخططا كامال إلنشاء خلية ويغنر 15والشكل( زايتس في الشبكة العادية) –زايتس في الشبكة العادية (راجع خلية ويغنر –بنفس خطوات خلية وغنر

ولكن ال ننسى أن نستبدل كلمة الشبكة العادية بالشبكة المقلوبة وفق ما سبق شرحه. الحظ مركز الخلية وكيف أن الخط الواصل بين عقدتين من الشبكة المقلوبة يمثل متجهة للشبكة المقلوبة والخط العمودي على

زايتس بالتقاطع مع المستويات األخرى. وكل ضلع –منتصف تلك المتجهة يمثل أحد أضالع خلية ويغنر من أضالع الخلية تنطبق عليه الدراسة السابقة.

إن ألسرة المستويات تلك التي تعامد مختلف متجهات الشبكة العكسية في منتصفها أهمية بالغة في انتشار األمواج في البلورات ألنها تحقق شرط براغ في الحيود في حال التفاعل المرن.

ومما سبق يجب أن تتضح الرؤية اآلن لماذا تم اتخاذ الشبكة المقلوبة ووضع المبررات لذلك.

)15الشكل(


13

الدراسة العامة ال تقتصر على دراسة خلية واحدة بل يجب دراسة الخاليا المتجاورة ولهذا الغرض يتم إنشاء الخلية األولى والتي تسمى منطقة بريلوان األولى وبعد ذلك يتم إنشاء خلية بريلوان الثانية ثم

الثالثة......الخ واألشكال التسلسلية التالية تبين عملية بناء مناطق بريلوان:

A. زايتس:– بإتباع طريقة إنشاء خلية ويغنر منطقة بريلوان األولى

)16الشكل(

)17الشكل(

)18الشكل(


14

)19الشكل(

)20الشكل(

B. : إنشاء منطقة بريلوان الثانية

)21الشكل(


15

)22الشكل(

)23الشكل(

)24الشكل(

C. :إنشاء منطقة بريلوان الثالثة


16

)25الشكل(

)26الشكل(

)27الشكل(


17

)28الشكل(

D. :إنشاء منطقة بريلوان الرابعة

)29الشكل(

)30الشكل(


18

)31الشكل(

)32الشكل(

E. :إنشاء منطقة بريلوان الخامسة

)33الشكل(


19

F. :إنشاء منطقة بريلوان السادسة

)34الشكل(

)35الشكل(


20

ملحق حول تفاصيل إنشاء كرة ايوالد

The Ewald sphere previous | next

Consider a circle of radius r, with points X and Y lying on the circumference.

If the angle XAY is defined as θ, then the angle XOY will be 2θ by geometry. Also,

sin θ = XY/2r

If this geometry is constructed in reciprocal space, then it has some important implications.

The radius can be set to 1/λ, where λ is the wavelength of the X-ray beam.

If Y is the 000 reciprocal lattice point, and X is a general point hkl, then the distance XY is 1/dRhklR

Hence

i.e.

λ = 2 dRhklR sin θ

This is Bragg's Law. Effectively, the application of this circle to the reciprocal lattice defines the points which satisfy Braggs’ Law (X on the diagram). Therefore the (hkl) planes corresponding to these reciprocal points will diffract X-rays of wavelength λ at the angle θ.

http://www.msm.cam.ac.uk/doitpoms/tlplib/xray-diffraction/reciprocal2.php

http://www.msm.cam.ac.uk/doitpoms/tlplib/xray-diffraction/summary.php


21

Crystal lattices are three-dimensional, and hence so are their reciprocal lattices. The necessary circle is now a sphere. This is known as the Ewald sphere.

The Ewald sphere: step 1

A reciprocal lattice is constructed from the direct lattice of the crystal that is diffracting the X-rays. In this example, the reciprocal lattice is primitive, with orthogonal axes, but this may not be the case for other direct lattices. Note that c* is not shown for clarity.


22

Ewald sphere: step 2

The reciprocal lattice points are labelled with respect to the reciprocal axes.



23

An X-ray beam, of wavelength λ, is incident on the crystal. In this example, in reciprocal space, the beam lies perpendicular to c* and almost parallel to a*. The 000 lattice point represents the straight-through undiffracted beam. In such two-dimensional diagrams, the plane of the reciprocal lattice shown must contain the incident X-ray beam.


The Ewald sphere, of radius 1/λ, is drawn. Its centre lies on the X-ray beam line. The 000 lattice point lies on its surface, by convention. In this two-dimensional diagram, it appears as a circle.



24

In single crystal X-ray diffraction, it is common to rotate the crystal with respect to the X-ray beam. This can be shown in reciprocal space by rotating the reciprocal lattice with respect to the Ewald sphere (keeping the 000 point stationary). Here the crystal has been rotated about its c-axis. Before rotation, no points lay on the circumference, and hence no associated planes diffracted the X-rays. However, after rotation, lattice points can intercept the Ewald sphere's surface, such as the 220 point shown here.

first | previous | next | last


The angles and dimensions for this situation are as shown.

http://www.msm.cam.ac.uk/doitpoms/tlplib/xray-diffraction/pageseq.php?seqno=1&total=7&pageno=1&popup=1&return=





25


The reciprocal lattice point lying on the surface of the sphere satisfies Bragg’s Law for diffraction. Therefore the (220) plane of the crystal satisfies the conditions for diffraction, and hence will cause diffraction of the incident X-rays. Further rotation can result in more than one spot satisfying the Bragg conditions, i.e. more than one set of planes will be responsible for diffraction.

This completes construction of the Ewald sphere.

Summary previous | next

Following completion of this TLP, you should have a basic understanding of the phenomenon of X-ray diffraction through a crystalline material. This package has explained how to use an X-ray diffraction experiment to reveal quantitative information about a crystal structure, through the use of Bragg's law. The construction of the reciprocal lattice and the Ewald sphere have been demonstrated and the equivalence with Bragg's law explained. Finally, the package has shown some examples of how X-ray diffraction is used in real-world applications.

http://www.msm.cam.ac.uk/doitpoms/tlplib/xray-diffraction/ewald.php

http://www.msm.cam.ac.uk/doitpoms/tlplib/xray-diffraction/questions.php

Salhab

Line

Salhab

Line

Salhab

Rectangle

Salhab

Typewritten Text

1

Salhab

Typewritten Text

2

Salhab

Line

Salhab

Typewritten Text

3

Salhab

Typewritten Text

4

Salhab

Typewritten Text

5

Salhab

Line

Salhab

Line

Salhab

Typewritten Text

6

Salhab

Typewritten Text

7

Salhab

Line

Salhab

Line

1

-

.

.

.

2

.

.

.

2

42

3

2

6

,,,

2-

.

.

:

1. CuSO4,5H2O

2. Na2CO3

3.

,,,AgNO3

4. KH2PO4

5. CuCO3

6. Zn,SiO2

7. simple cubic(SC)

Na,K,Li

Body-Centered Cubic(BCC)

Fe,Cr,v,Ba

,Face-Centered Cubic(FCC)

Al,Cu,Ag,Au

Salhab

Line

Crystal system

Lattices

triclinic

monoclinic

simple base-

centered

orthorhombic

simple base-

centered body-

centered face-

centered

hexagonal

rhombohedral

(trigonal)

tetragonal

simple body-

centered

cubic

(isometric) simple

body-centered

face-centered

3.

:

-

:NaCl,KCl,LiF,CaO,MgO,PbS

Na+

Cl-

.FCC

½ a

.Cl-

Na+

,

- CsCl,CsBr,CsI)

BCC

CsCl

.

- :FCC

Salhab

Rectangle

Salhab

Rectangle

Salhab

Rectangle

Salhab

Rectangle

Salhab

Rectangle

Salhab

Rectangle

محدد

12

Salhab

Rectangle

Salhab

Line

Salhab

Line

Salhab

Rectangle

Salhab

Rectangle

Salhab

Rectangle

Documents

Solid Wafa