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제 1 장 응 력 (Stress) 외력 (External Loads) 의 정의 변형체의 평형 (Equilibrium of Deformable Body) 내부하중 (Internal Loads) 응력 (Stress) 의 정의
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1.1 서론
재료역학 / 고체역학 (mechanics of materials/solid mechanics) 이란 ? (1) 변형체에 가해지는 外力과 물체 내의 內力 사이의 관계 및 (2) 물체의 변형 (deformation) 을 연구하는 학문 ( 안정성과도 관련 )
역사적 발달 과정 17C 초 : 다양한 재료의 beam, rod 에 대한 하중 - 변형 실험(Galileo) 18C 초 : 재료 거동에 관한 실험 /이론적 연구 (France; Saint-Venant, Poisson, Lame, Navier..) 재료 강도학 (strength of materials) 변형체 (deformable bodies) 역학 or 재료역학 or 고체역학 탄성학 , 소성학 등으로 발전 ( 고등수학의 발달로 ), 컴퓨터 발달로 인해 FEM, BEM 등에 활용
선수과목 (prerequisite): 정역학 (Statics)
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1.2 변형체의 평형 (Equilibrium of Deformable Body)
외력 (External loads)
표면력 (surface force): → → 물체력 (body force): → →
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선형분포 하중의 예
분포하중 집중하중으로 대체하여 고려할 수 있는가 ? 하중 (FR) 의 크기 ? 하중 (FR) 의 작용점 ?
Cw(s)
FRw
s
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반력의 수는 어떻게 결정되는가 ? 용어 : 이동 (translation) 회전 (rotation) 반력 (reaction force) 모멘트 (reaction
moment)
=( 운동이 억제된 방향의 수 )
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물체에 작용하는 기지 및 미지의 힘들을 모두 명시하는 가장 좋은
방법은 그 물체의 자유 물체도를 그리는 것이다 .
평형방정식
;0 F
평 형 조 건 (3 차원 ):
;0M
Special case(2 차원 ): 동일 평면력 (coplanar forces)
0
0
0
zMyFxF
평형 조건식 : 9 개
평형 조건식 : 3 개
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내부하중 성분들의 합력
표시 : 힘 : 하나의 화살표로 , 모멘트 : 회전방향을 나타내는 화살표와 함께 표시 . ( 오른손 법칙 )
점 O 는 Centroid
N : 수직력 (Nz); V : 전단력 (V=Vx+Vy); M : 굽힘 모멘트 (M
=Mx+My)Tz : 비틀림 모멘트 (torque)
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해석과정
(i) 지점 반력 : 전체 물체에 대한 FBD 를 그리고 ,
평형방정식을 적용하여 구한다 .(ii) 절단된 물체의 FBD 를 그리고 , 미지력 N, V, M, T 를 표시한다 .(iii) 평형방정식으로부터 N, V, M, T 를 구한다 .
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점 C 를 지나는 단면의 내부하중을 구하라 .
풀이 :
예제 1-1
(iii) 평형조건 :
(i) 지점 반력 :
(ii) 자유물체도 (Free-Body-Diagram)
:0
:0
:0
zMyFxF
RA= ? , MA=?
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풀이
(ii) 점 C 에서 절단한 FBD 그림 (c)
(i) 지점 반력 : 자유물체도 (FBD)에서
(iii) 평형방정식 :
음 (-) 의 부호의 의미는 ?
:0
:0
:0
zMyFxF
NyAMB 75.18:0
예제 1-2점 C 를 지나는 단면의 내부하중의 합력과 합모멘트를 구하라 . 단 , 점 A 와 B에서 베어링 지지 되어있다 .
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A 지점 반력 : 전체물체의 FBD on AB
점 E 에서 절단한 FBD 그림 (c)
NyAyAyF
NxAxAxF
NFFM CDCDA
5.2452:0)81.9(500)53)(5.12262(:0
9810:0)54)(5.12262(:0
5.12262:0)3)(81.9(500)2)(53(:0
평 형 방 정 식 :
NMM
NVyF
NNxF
EE
E
E
5.2452:0
5.2452:0
9810:0
평형조건 :
예제 1-3 질량 500 kg 의 엔진이 그림과 같이 매달려 있다 . 크레인 팔 E 점을 지나는 단면에 작용하는 내부 하중의 합력과 합모멘트를 구하라 .
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점 G 를 지나는 단면의 내부하중은 ?
풀이
반력 성분 :점 C 에는 1
개 , 점 E 에는 2 개그 이유는 ?
두 힘 부재 :FF FF
예제 1-4
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풀이 :
ii) 점 B 에서 절단한 FBD 그림 (b)
i) 지 점 반력 :
iii) 평형방정식 : 힘 평형 ;
:0
:0
:0
zFyFxF
NWNW
AD
BD
525.2481.9
자중 :
예제 1-5점 B 를 지나는 단면의 내부하중의 합력과 합 모멘트는 ? 단 , 파이프의 단위 길이 당 질량 w=2 kg/m 이고 , 끝 점에 작용하는 수직하중은 50 N, 우력은 70 N·m 이다 .
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평형방정식 : 모멘트 평형 ;
:0)
:0)
:0)
zMyMxM
B
B
B
값에서 음 (-) 의 부호의 의미는 ?
수직력 NB= (FB)y
전단력 VB=(0)2+(84.3)2 비틀림 모멘트 TB= (MB)y 굽힘 모멘트 MB= (30.3)2+(0)2
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1.3 응력 (stress)
內力의 분포를 나타내기 위해 응력의 개념을 도입 미소면적 A 에 작용하는 內力에 관심 . A→0 ( 극한치 ) 단 , 재료는 Continuous & Cohesive: Continuum Assumption F / A =const. = 응력
內力의 合力F
A
F
Ft
Fn
t
n
인장응력 (tensile stress)압축응력 (compressive stress)
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직각 좌표계의 응력성분 (Cartesian stress components)
수직응력 (Normal stress):
전단응력 (shear stress):
인장응력압축응력
0;0
0;0lim
0n
nn
A FF
AF
AFt
A
0
lim
ΔA
ΔF
x
z
y z
x
Azx AF
0
limz
z
Az AF
0
limz
y
Azy AF
0
lim
작용면에 수직인 축 작용 방향
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평형조건 (Equilibrium requirements)
)9(,,,,,,,, zxxzzyyzyxxyzyx
)(',',',',',',',',' 9zxxzzyyzyxxyzyx
응력성분 (18 개 ):
xy
xzyz
xy
xy
xz
xz
yz
yz
x
z
y
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xz- 평면 전단응력 성분
xy- 평면 전단응력 성분
수직응력 성분
Fy=0: '' 0)()( yyyy zxzx
Fz=0: '' 0)()( zzzz yxyx
Fx=0: 'xx
'' 0)()( xyxyxyxy zyzy
Fx=0: '' 0)()( yxyxyxyx zxzx
Fy=0:
'' 0)()( xzxzxzxz zyzy
Fx=0:
Fz=0:
'' 0)()( zxzxzxzx xyxy
힘의 평형
z
z
z 0)()( ' zyzy xx 면적응력
힘
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3 개 응력성분 6 면 =18 개 응력성분 9 개 응력성분
yz- 평면 전단응력 성분'' 0)()( zyzyzyzy yxyx Fy=0:
Fz=0: '' 0)()( yzyzyzyz zxzx
z
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Mx=0: zyyzzyyz zyxyzx 0)()(
My=0: zxxzzxxz zyxxzy 0)()(
6 개 응력성분
Mz=0:
모멘트의 평형
9 개 응력성분
yxxyyxxy yzxxzy 0)()(응력 면적 모멘트 팔
모멘트힘
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2 차원 응력상태 (coplanar stress state)
응력성분은 .
응력의 단위 SI: 1 Pa(pascal) = 1 N/m2, 1 kPa = 103 Pa cf.) 1 Mpa = 106 Pa, 1 Gpa = 109 Pa FPS: 1 psi = 1 lb/in2, 1 ksi = 1 kpsi =1000 lb/in2 cf.) 1 kip = 103 lb
z
y
y
yz
z
yz
yz
일반적인 응력상태
zzyzx
yzyyx
xzxyx
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1.4 축하중을 받는 막대의 평균 수직 응력
가정 :(i) prismatic bar ( 균일단면 막대 )(ii) 재료 : homogeneous + isotropic(iii) 균일변형
29/49 [email protected]
• 내력은 단면에 균일하게 분포• 평균응력 =P/A=N/A • 하중 P 는 도심에 작용
평균응력
► 압축력의 경우 좌굴 (buckling) 이 발생할 수 있음 .► 위의 응력식은 slightly tapered bar 에도 적용 가능 .
단축응력(uniaxial stress)
응력의 부호가 바뀜
30/49 [email protected]
막대에 축하중이 다수 분포되어 작용하거나 , 단면이 불균일한 경우 ,수직력 ( 축력 ) 선도 N(x) 를 그리고 , (x)=N(x)/A(x) 를 계산하여 최대값을 구한다 .
최대 평균 수직 응력 (maximum average normal stress)
해석과정 • 내부하중 : 부재를 길이방향 축에 수직하게 절단하고 , 자유물체도와 평형방정식을 사용하여 내부 축력 P 를 구한다 .• 평균수직응력 단면에서 부재의 단면적을 구하고 , =P/A 로 평균 수직응력을 구한다 .
31/49 [email protected]
구간 BC 에서 축력 : PBC=30 kN
APBC
BC 최대 평균 수직응력 :
내부 하중 :
예제 1-6
폭 w=35 mm, 두께 t=10 mm 인 막대가 아래와 같이 힘을 받을 때 , 최대 평균 수직응력은 ?
32/49 [email protected]
BC
BCBC A
P
내부 하중 : BABC FFunknown ,:2 Fx=0: Fy=0:
평균 수직응력 :
AB
ABAB A
P MPaBC 86.7
MPaAB 05.8
NFBA 4.632
NFBC 2.395
예제 1-7
질량 m=80 kg 인 램프가 AB=10 mm, BC=8 mm 인 막대에 매달려있다 . 어느 막대의 평균 수직응력이 더 큰가 ?
33/49 [email protected]
주조품 비중량 st=80 kN/m3, 점 A 와 B 에서의 평균 압축응력은 ?
자유물체도 :
Fz=0: 0 stWP내부 하중 :
평균 압축 응력 :
kPaAP 0.64
Wst=stVst.
자유물체도
예제 1-8
34/49
수직력 3kN 에 의하여 점 C 에서의 평균 압축응력과 막대 AB 에서의 평균 인장응력이 같아지는 x 의 값은 ? 단 , AAB=400 mm2, AC=600 mm2.
Fx=0: MA=0:
내부 하중 :
평균 수직응력 :ABC
CAB FFmmF
mmF 50.1
600400 22
NFC 1857
만족함;1243000
)200( mmNmmFx C
NFAB 1153
하중 작용점 :
xFFunknown CAB ,,:3
예제 1-9
35/49 [email protected]
1.5 평균 전단응력 (Mean shear stress)
AV
avg 평균 전단응력 :
단순 / 직접 전단 (simple or direct shear)
스팬 길이 L 0Mmax 와 V 값의 크기비교
P
P/2P/2
P/2 V=P/2
M(x)=Px/2x
PL/4
L/2 L
모멘트 선도
=F/2
36/49 [email protected]
단일 전단 (single shear): 전단면이 하나인 경우
모멘트가 발생하지만 작으므로 그 영향은 무시 .
이중 전단 (double shear): 전단면이 두개인 경우
V=FV=F
겹치기 이음 lap joint
V=F/2 V=F/2
이중 겹치기 이음
double lap joint
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절단면상의 한 점의 체적요소
내부전단 응력을 구하고자 하는 면을 절단하고 자유물체도를 그린다 . 평형 조건식으로부터 전단력 V 를 구한다 .평균전단응력 avg =V/A 를 사용하여 구하고 , 방향은 전단력 V 의 방향임 . 한 면의 응력방향이 정해지면 다른 면은 평형을 고려하여 결정됨 .
해석과정
38/49 [email protected]
핀 A(d=20mm) 와 B(d=30mm) 에 작용하는 평균 전단응력을 구하라 .
평균전단응력 :
핀 A 에 작용하는 전단력 (2 중 전단 ):
예제 1-10
kNyAyAyF
kNxAxAxF
kNFFM BBA
20:030)54)(5.12(:0
5.7:0)53)(5.12(:0
5.12:0)2)(30()6)(54(:0
내부 하중 :
36.21205.7 2222 yxA AAF
MPaAV
A
AavgA 0.34
)02.0(4
68.10)(2
핀 B 에 작용하는 전단력 ( 단일 전단 ):
MPaAV
B
BavgB 7.17
)03.0(4
5.12)(2
39/49
전단면 a-a 와 b-b 에 작용하는 평균 전단응력을 구하라 .( 연결부 두께 =150 mm)
평균전단응력 :
예제 1-11
kNFFxF 3:026:0 내부 하중 :
kPaAV
a
aavga 200
)15.0)(1.0()10(3)(
3
전단면 a-a:kNaVaVxF 3:03:0
전단면 b-b: kNaVaVxF 3:03:0
kPaAV
b
bavgb 160
)15.0)(125.0()10(3)(
3
40/49 [email protected]
b=40 mm 인 정사각 단면 보의 a-a 단면과 b-b 단면의 평균 수직응력과 평균 전단응력은 ?
평균응력 :
0
avg
AP
Fx=0: Fy=0:
평균응력 :AN
Alternative solution: Fx’=0, Fy’=0:AV
a-a 단면 : Fx=0:
b-b 단면 :
예제 1-10 ( 구교재 )
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d=10 mm 인 강재 봉으로 고정된 목재 부재에 5 kN 의 수직력이 작용할 때 , 강재봉 내부의 평균 전단응력은 ? 목재의 평면 abcd 에서의 평균 전단응력은 ?
평균 전단응력 :
MPamN
AV 7.63
)005.0(5000
2
목재
봉
MPamm
NAV 12.3
)02.0)(04.0(2500
V=P V=P/2
예제 1-11 ( 구 교재 )
42/49 [email protected]
경사부재의 접촉면 AB 와 BD 에서의 평균 압축응력과 수평면 EDB 의 평균 전단응력은 ?
내부 하중 :
평균 응력 :
AB
ABAB A
F
EBDavg A
V
BC
BCBC A
F
ABFV
Fx=0:
Fy=0:
예제 1-12
43/49 [email protected]
1.6 허용응력 (allowable stress)
실제하중 > 설계하중 )( valueltheoreticaPP allowfail
이를 보완하기 위하여 안전계수 (factor of safety, F.S.) 도입
많은 경우 , 하중과 응력이 비례하므로 ( 즉 , P~, V~)..
1..SF
PP
PP
SF failallow
allow
fail
....
SForSF fail
allowallow
fail
allow
fail
F.S. 증가↑ : 안전 , 비경제적 감소↓ : 경제적 , 불안전 설계기준 or 핸드북 참조 ; 공공의 안전 , 환경적인 안전 , 경제성
원인 : ► 조립오차 , ► 진동 , 충격 , 우발적인 하중 , 동적하중 등 ► 부식 , 풍화 , 열화 등
44/49 [email protected]
1.7 간단한 연결부의 설계
재료의 거동을 단순화하면 , Case I: 인장부재의 단면적Case II: 전단을 받는 연결부재의 단면적 Case III: 받침을 위한 소요면적Case IV: 축하중에 의한 전단력의 소요면적
allowbPA /
allowPA /
allowPA /
allowPA /
CASE I
CASE II
45/49 [email protected]
CASE IV
Case III: 받침을 위한 소요면적Case IV: 축하중에 의한 전단력의 소요면적
allowbPA /
allowPA /
CASE III
지지응력 (bearing stress): 두 면사이의 압축으로 발생하는 수직응력
46/49 [email protected]
해석과정
내부하중 : 부재를 가상적으로 절단하고 자유물체도를 그린다 . 그리고 평형조건을 적용하여 절단면의 내력을 구한다 .소요면적 : 구해진 내력을 지탱하기위해 필요한 단면적은 , A= P/allow, 또는 A=V/allow
47/49
강의 허용전단응력이 allow=55 MPa 일 때 , 핀의 치수를 5 mm 단위로 구하라 .
내부 전단력 :
2)2
(dVAallow
MC=0: Fx=0: Fy=0:
yxAB CCFunknow ,,:3
소요면적 :
예제 1-13
48/49
20 kN 의 하중을 지탱하기 위한 봉의 최소 직경과 원판의 최소 두께는 ? 단 , 봉의 허용응력 allow=60 MPa, 원판의 허용응력 allow=35 MPa이다 .
봉의 직경 :
원판의 두께 :
2)2
(dPAallow
dtVAallow
예제 1-14
49/49 [email protected]
2)2
( A
allow
AA
dVA
핀의 허용전단응력 allow=12.5 ksi, 막대 CB 의 허용 인장응력 allow=16.2 ksi 일 때 , 핀 A 와 B 의 직경과 막대 CB 의 직경을 1/16 in. 단위로 구하라 .
핀의 직경 :
봉의 직경 :
2)2
( B
allow
BB
dVA
2)2
()(
BC
allowtBC
dPA
예제 1-14( 구교재 )
50/49 [email protected]
점 C 의 허용 지지응력 (b)allow=75 MPa, 축의 평균 수직응력이 허용 인장응력 (t)allow=55 MPa 를 초과하지 않는 하중 P 의 값은 ?
축응력 :
지지응력 :
AP
allowt3)
ballowb A
P3)
2322 )10(20.2])003.0()004.0[(: mmmAAreactionseCross b
예제 1-15
51/49 [email protected]
강봉 AC 와 알루미늄 블럭의 파괴응력 (st)fail=680 MPa, (al)fail=70 Mpa이고 , 핀의 전단 파괴응력 fail=900 MPa 일 때 , 막대에 가할 수 있는 최대 하중 P 의 값은 ? 단 , F.S.=2.0 이다 .
막대 AC:
../
../)()(
../)()(
SF
SF
SF
failallow
failalallowal
failstallowst
MA=0:
MB=0:
)() ACallowstAC AF
평형조건 :
허용응력 :
0)2()25.1( mFmP AC
AAC=1800 mm2
d)pin =18 mm
예제 1-16
52/49 [email protected]
블록 B:
핀 A 와 C:
)() BallowalB AF
)(AFV allowAC
0)2()25.1( mFmP AC
0)75.0()2( mPmFB
AAC=1800 mm2
d)pin =18 mm
53/49 [email protected]
연습문제 및 복습문제를 유형별로 선택하여 풀어 봄으로써 자신의 성취도를 확인하기 바라며 , 강의 중에 질문은 자유롭게 언제든 해주기 바람 .