SOCIAL CONSTRUCTIVISM AS A PHILOSOPHY OF MATHEMATICS:

RADICAL CONSTRUCTIVISM REHABILITATED?

Paul ErnestUniversity of Exeter

Epistemological issues, although controversial, are central to teaching and learning and have long been a theme of PME. A central epistemological issue is that of the philosophy of mathematics. It is argued that the traditional absolutist philosophies need to be replaced by a conceptual change view of mathematics. Building on the principles of radical constructivism together with the assumption of the existence of the physical and social worlds, a social constructivist philosophy of mathematics is proposed. This suggests an explanation of both the apparent objectivity and the utility of mathematics. A consequence is that the criticism that radical constructivism is necessarily solipsistic is overcome.

It is widely recognised that all practice and theories of learning and teaching rest on an epistemology, whether articulated or not. As Rene Thom puts it, for mathematics:

"In fact, whether one wishes it or not, all mathematical pedagogy, even if scarcely coherent, rests on a philosophy of mathematics." (Thom 1973, page 204)

Such issues are a recurring theme in PME, which is not surprising since Piaget, who might be named the honorary god-father of PME, developed probably the most important developmental psychology theory of the century, with epistemological goals explicitly in mind. Of course it is not only the theory and practice of teaching and learning that rests on an epistemology, but also the theory and practice of educational and scientific research. For naturally epistemological issues concern not only the subject matter into which PME inquires, but also the methods by which it carries out and validates its research.

It is to the credit of PME that it is continually seeking to explore its theoretical and philosophical foundations. This contrasts with many other professional organisations, say in medicine, who not only fail to question their epistemological basis, but who also assume without question its consequences, namely certain traditional methods of inquiry. PME is not so complacent, asking such questions as Why is an epistemological perspective a necessity for research in mathematics education? (PME-NA 1983) What is constructivism? What are its implications? (PME11) What is research? (PME13).

However, there is a further dimension to this discussion which needs to be explicitly acknowledged. Namely, that the issues are controversial, and generate strong opinions and feelings in debate. von Glasersfeld makes this point most eloquently.

"To introduce epistemological considerations into a discussion of education has always been dynamite. Socrates did it, and he was promptly given hemlock. Giambattista Vico did it in the 18th century, and the philosophical establishment could not bury him fast enough."von Glasersfeld (1983, page 41)

Epistemology is controversial, and it cannot be denied that controversy leads to argument and conflict, which is uncomfortable. It is also contrary to the conventional social morality, which

seeks consensus, calm, and above all, stability. Controversy represents a threat to this stability. However, the irony is that we probably all subscribe to a belief in the key role of dissonance and cognitive conflict in the accommodation of schemas, and hence in the growth of personal knowledge. Without psychological conflict of this type the growth of personal knowledge is not possible. Likewise, we probably mostly accept a similar view of the role of conflict - revolution even, following Kuhn (1962) and others - in the growth of objective, scientific knowledge. When a new theory threatens to replace an old one, it is not greatly welcomed by those who have invested their professional lives in developing the old theory. Our belief in the necessity of conflict for the growth of knowledge need not eliminate the sensations of discomfort, whether one is involved in conflict at the level of subjective knowledge, objective knowledge, or of social discourse.

Having acknowledged that epistemological issues are controversial, a corollary follows. Participants evidently have different perspectives and belief systems, even different epistemologies. Conflict and disagreement represent the clash of these different perspectives. Such differences can be conceptual, concerning the meanings of such terms as 'epistemology', 'constructivism' or even 'knowledge'. They can be philosophical differences, concerning such issues as the nature of mathematics and the foundations of mathematical knowledge, or general epistemological questions such as 'What is knowledge?', 'What is research?' A consequence of conflict and heated debate is that participants adopt polarized positions, and ascribe simplified or stereotyped 'straw man' positions to their opponents, or to opposing views. Thus, for example, terming the weaker form of constructivism 'trivial constructivism' is a polemical move, using a value-laden, indeed pejorative term, to denigrate a position in the debate.

In this introduction I attempt to relate the issues treated by this paper to the concerns and history of PME. This shows that there is a continuing tradition of epistemological debate, and it has claim to a central place in PME, conflict notwithstanding. My aims are twofold. First, to build on, acknowledge and extend past work. This should be an explicit aim of any contribution to a scientific organisation. Second, to legitimate my inquiry, and show that it central to the concerns of PME.

CONTROVERSY IN THE PHILOSOPHY OF MATHEMATICS

The fundamental problem of the philosophy of mathematics is that of the status and foundation of mathematical knowledge. What is the basis of mathematical knowledge? What gives it its seeming certainty, and is this certainty justified? Two main currents in the philosophy of mathematics can be distinguished. These may be termed absolutist and conceptual change philosophies of mathematics, following the usage of Confrey (1981). Absolutist philosophies of mathematics, including Logicism, Formalism, Intuitionism and Platonism, assert that mathematics is a body of absolute and certain knowledge. In contrast, conceptual change philosophies assert that mathematics is corrigible, fallible and a changing social product. This second claim is shocking, for mathematics is seen by many to be the last bastion of certainty. Perhaps the most important statement of this claim is to be found in Lakatos (1976), and even here the editors added footnotes repudiating Lakatos' fallibilist philosophy of mathematics. Thus, it must be acknowledged that this is a controversial dichotomy. Whilst in science absolutist views have largely given way to conceptual change views, following the work of Hanson, Kuhn, Lakatos, Feyerabend and others, absolutist philosophies of mathematics are still the dominant view. Absolutists believe that

mathematical truths are universal, independent of humankind (mathematics is discovered, not invented), and culture- and value-free.

However, the absolutist view is increasingly subject to challenge and attack, for example by Lakatos (1976, 1978), Davis and Hersh (1980), Kitcher (1983), and Tymoczko (1986), as well as many others including Putnam, Bloor and Wittgenstein (1956). The fallibilist position is gaining acceptance year by year, as is illustrated by the publications of philosophically minded mathematics educators in journals such as For the Learning of Mathematics. In the brief space available I will sketch two criticisms of absolutism.

Proof, via deductive logic, is the means by which the certainty of mathematical knowledge is established. However, absolute certainty cannot be gained in this way. As Lakatos (1978) shows, despite all the foundational work and development of mathematical logic, the quest for certainty in mathematics leads inevitably to an infinite regress. Any mathematical system depends on a set of assumptions, and there is no way of escaping them. All we can do is to minimise them, to get a reduced set of axioms and rules of proof. This reduced set cannot be dispensed with, only replaced by assumptions of at least the same strength. Thus we cannot establish the certainty of mathematics without assumptions, which therefore is conditional, not absolute certainty. Only from an assumed basis do the theorems of mathematics follow.

Given that mathematical knowledge is tentative in this sense, are not the theorems of mathematics certain within the assumed axiomatic system? Again the answer is negative. For to establish that mathematical systems are safe (ie. consistent, and we cannot have certainty without consistency), then Godel's Second Incompleteness Theorem shows that for any but the simplest systems (e.g. weaker than Peano Arithmetic) to prove consistency we must add to the set of assumptions, i.e. rely on the consistency of a larger set of assumptions. Thus any attempt to establish the certainty of mathematical knowledge via deductive logic and axiomatic systems fails, except in trivial cases, but including Intuitionism, Logicism and Formalism.

Disposing of absolutism is all very well, but a replacement philosophy must account for the unique features of mathematical knowledge. In particular: How to account for the apparent certainty and objectivity of mathematical knowledge? How, in Wigner's phrase, to account for 'the unreasonable effectiveness of mathematics' in describing the world, and indeed via science, in giving us an unparalleled power over the natural world?

SOCIAL CONSTRUCTIVISM AS A PHILOSOPHY OF MATHEMATICS

The social constructivist thesis is that mathematics is a social construction, a cultural product, fallible like any other branch of knowledge. This view entails two claims. First of all, the origins of mathematics are social or cultural. This is not controversial, and is convincingly documented by many authors such as Bishop (1988) and Wilder (1981). Secondly, the justification of mathematical knowledge rests on its quasi-empirical basis. This is the controversial view put forward by a growing number of philosophers representing the new wave in the philosophy of mathematics, such as Lakatos (1976, 1978), Davis and Hersh (1980), Kitcher (1983), Tymoczko (1986) and Wittgenstein (1956). For the social constructivist account of mathematics to be minimally adequate it must it must offer satisfactory solutions to the two problems described above.

In order to address these issues two assumptions of social constructivism need to be made explicit. First of all, the assumption of realism - there is an enduring physical world, as our common-sense tells us. Secondly, the assumption of social reality - any discussion, including this one, presupposes the existence of the human race and language (the denial of this is potentially inconsistent). Thus I assume the existence of social and physical reality, without presupposing any certain knowledge of either. These assumptions allow a social constructivist epistemology to be developed from the two principles of radical constructivism, which are

a. " knowledge is not passively received but actively built up by the cognizing subject; b. the function of cognition is adaptive and serves the organization of the experiential

world, not the discovery of ontological reality."von Glasersfeld (1989, page 182)

With the added assumptions of the existence of social and physical reality I can extend these principles to elaborate the epistemological basis of social constructivism.

c. the personal theories which result from the organization of the experiential world must 'fit' the constraints imposed by physical and social reality;

d. they achieve this by a cycle of theory-prediction-test-failure-accommodation-new theory;

e. this gives rise to socially agreed theories of the world and social patterns and rules of language use;

f. mathematics is the theory of form and structure that arises within language.

This provides the basis for a social constructivist philosophy of mathematics. Its elaboration draws on Wittgenstein's (1956) account of mathematical certainty as based on linguistic rules of use and 'forms of life', and Lakatos' (1976) account of the social negotiation of mathematical concepts, results and theories. The result is a philosophical analogue of Restivo's (1988) sociological account of mathematics as a social construction. There is no space to give a full account of social constructivism (which I do elsewhere, in Ernest, forthcoming). However, if the theory is accepted tentatively, it is possible to indicate how it addresses the two problems described above.

One problem is to account for 'the unreasonable effectiveness of mathematics' in describing the world via the theories of science. First of all, the concepts of mathematics are derived by abstraction from direct experience of the physical world, from the generalisation and reflective abstraction of previously constructed concepts, by negotiating meanings with others during discourse, or by some combination of these means. Thus mathematics is a branch of knowledge which is indissolubly connected with other knowledge, through the web of language. Language enables the formulation of theories about social situations and physical reality. Dialogue with other persons and interactions with the physical world play a key role in refining these theories, which consequently are continually being revised to improve their 'fit'. As a part of the web of language, mathematics thus maintains contact with the theories describing social and physical reality, and hence indirectly, with the physical world. The 'fit' of mathematical structures in areas beyond mathematics is continuously being tested, and mathematics is evolving to provide the patterns and solve the tensions that arise from this modelling enterprise. Thus, 'the unreasonable effectiveness of mathematics' is no miracle of coincidence. It is built in. It derives from the empirical and linguistic origins and functions of mathematics.

To account for the apparent certainty and objectivity of mathematical knowledge I claim first that mathematics rests on natural language, and that mathematical symbolism is a refinement and extension of written language. The rules of logic and consistency which permeate the use of natural language provide the bedrock upon which the objectivity of mathematics rests. Mathematical truths arise from the definitional truths of natural language, acquired by social interaction. For example, we normally agree that nothing is both Red and not-Red, and that P & not-P is false. Likewise, The truths of mathematics are defined by implicit social agreement - shared patterns of behaviour - on what constitute acceptable mathematical concepts, relationships between them, and methods of deriving new truths from old. Mathematical certainty rests on socially accepted rules of discourse embedded in our 'forms of life' (Wittgenstein, 1956).

RADICAL CONSTRUCTIVISM REHABILITATED?

Evidently social constructivism offers the possibility of a philosophy of mathematics which accounts for the objectivity and utility of mathematics, as well as its fallibility and culture-boundedness. The cost is that 'objectivity' is reinterpreted as 'social', and although it still refers to something external to the individual it is no longer external to humankind. Clearly this is controversial. But what this account also offers is an answer to the main criticism directed at radical constructivism, namely that it is a solipsistic (Goldin, 1989) "epistemology that makes all knowing active and all knowledge subjective" (Kilpatrick, 1987, page 10). I have argued that the principles of radical constructivism are consistent with, and can be supplemented by assumptions of the existence of physical and social reality. Thus the denial of the existence of the external world is not entailed. In fact, radical constructivism is ontologically neutral, for no claim is made as to the substratum of experience, only that it is unknowable. The case I have argued is that the subjectivity of mathematical knowledge which seems to follow from the principles of radical constructivism does not (just as Intuitionism is not entailed by them, as Lerman, 1989, shows). On the contrary, additional assumptions can safeguard the objectivity of mathematics, when it is viewed as a social construction.

Finally, a further criticism often directed at radical constructivism is that it does not entail a theory of teaching, let alone being the theory of discovery, problem solving and investigational teaching (Goldin, 1989; Kilpatrick, 1987). Here I must agree. To lay the foundation for a philosophy of mathematics, I have had to add further assumptions to those of constructivism. To derive a theory of teaching I must add yet more, not least of which is a set of values. For education depends on the assumption as to what is valuable in our culture to pass on. No such values are assumed in the two principles of radical constructivism.

REFERENCES

Bishop, A.J. (1988) Mathematical Enculturation, Dordrecht: Kluwer.Confrey, J. (1981) Conceptual Change Analysis: Implications for Mathematics and Curriculum, Curriculum Inquiry, Vol. 11, No. 5, 243-257.Davis, P.J. and Hersh, R. (1980) The Mathematical Experience, Harmondsworth: Penguin.Ernest, P. (1991) Philosophy of Mathematics Education, London: Falmer.Glasersfeld, E. von (1983) Learning as a Constructive Activity, in Proceedings of PME-NA, Vol.1, 41-69.Glasersfeld, E. von (1989) Constructivism in Education, in Husen, T. and Postlethwaite, N. Eds. (1989) International Encyclopedia of Education (Supplementary Vol.), Oxford:

Pergamon, 162-163.Goldin, G. (1989) Constructivist Epistemology and Discovery Learning in Mathematics, Proceedings of PME 13, Vol.2, Paris, 15-22.Kilpatrick, J. (1987) What Constructivism might be in Mathematics Education, in Proceedings of PME 11, Volume 1, Montreal, 3-27.Kitcher, P. (1983) The Nature of Mathematical Knowledge, Oxford, Oxford University Press.Kuhn, T. (1962) Structure of Scientific Revolutions, Chicago: Chicago UPLakatos, I. (1976) Proofs and Refutations, Cambridge: CUP.Lakatos, I. (1978) Philosophical Papers, Vol.2, Cambridge: CUP.Lerman, S. (1989) Constructivism, Mathematics and Mathematics Education, Educational Studies in Mathematics, Vol. 20, 211-223.Restivo, S. (1988) The Social Construction of Mathematics, Zentralblatt fur Didaktik der Mathematik, Vol. 20, No. 1, 15-19.Thom, R. (1973) Modern mathematics: does it exist? in Howson, A.G. ed. Developments in Mathematical Education, Cambridge: CUP, 195-209.Tymoczko, T. ed. (1986) New Directions in the Philosophy of Mathematics, Boston: Birkhauser.Wilder, R.L. (1981) Mathematics as a Cultural System, Oxford: Pergamon.Wittgenstein, L. (1956) Remarks on the Foundations of Mathematics, revised edition, Cambridge: MIT Press, 1978.

SOSIAL konstruktivisme SEBAGAI FILSAFAT MATEMATIKA: Konstruktivisme RADICAL direhabilitasi? Paul Ernest University of Exeter masalah epistemologis, meskipun kontroversial, sangat penting untuk pengajaran dan pembelajaran dan telah lama menjadi tema PME. Masalah epistemologis utama adalah bahwa dari filosofi matematika. Dikatakan bahwa filsafat absolutis tradisional perlu diganti dengan pandangan perubahan konsep matematika. Membangun prinsip-prinsip konstruktivisme radikal bersama dengan asumsi adanya dunia fisik dan sosial, filsafat konstruktivis sosial matematika diusulkan. Ini menunjukkan penjelasan baik dari objektivitas jelas dan utilitas matematika. Konsekwensinya adalah bahwa kritik bahwa konstruktivisme radikal niscaya solipsistic diatasi. Hal ini secara luas diakui bahwa semua praktek dan teori-teori belajar dan mengajar beristirahat pada epistemologi, baik diartikulasikan atau tidak. Sebagai Rene Thom katakan, untuk matematika: "Bahkan, apakah kita ingin atau tidak, semua pedagogi matematika, bahkan jika hampir koheren, berpijak pada filosofi matematika." (Thom 1973, halaman 204) Isu tersebut adalah tema yang berulang dalam PME, yang tidak mengherankan karena Piaget, yang mungkin diberi nama dewa kehormatan-bapak PME, mungkin mengembangkan teori psikologi perkembangan yang paling penting abad ini, dengan tujuan epistemologis secara eksplisit dalam pikiran. Tentu saja bukan hanya teori dan praktek pengajaran dan pembelajaran yang bertumpu pada epistemologi, tetapi juga teori dan praktek pendidikan dan penelitian ilmiah. Untuk kekhawatiran masalah epistemologis alami tidak hanya materi pelajaran di mana PME bertanya, tetapi juga metode-metode yang membawa keluar dan memvalidasi penelitiannya. Ini adalah kredit PME yang terus berusaha untuk mengeksplorasi dasar-dasar teoretis dan filosofis. Ini berbeda dengan banyak organisasi profesi lain, misalnya dalam pengobatan, yang tidak hanya

gagal mempertanyakan dasar epistemologis mereka, tetapi yang juga menganggap tanpa pertanyaan konsekuensinya, metode tradisional yaitu tertentu penyelidikan. PME tidak begitu puas, mengajukan pertanyaan seperti Mengapa perspektif epistemologis suatu keharusan untuk penelitian dalam pendidikan matematika? (PME-NA 1983) Apakah konstruktivisme? Apa implikasinya? (PME11) Apa adalah penelitian? (PME13). Namun, ada dimensi lebih lanjut diskusi ini yang perlu secara eksplisit diakui. Yaitu, bahwa masalah yang kontroversial, dan menghasilkan pendapat yang kuat dan perasaan dalam perdebatan. von Glasersfeld membuat titik ini yang paling fasih. "Untuk memperkenalkan pertimbangan epistemologis dalam sebuah diskusi pendidikan selalu dinamit. Socrates melakukannya, dan ia segera diberikan hemlock Giambattista Vico. Melakukannya pada abad ke-18, dan pendirian filosofis tidak bisa menguburkannya cukup cepat." Von Glasersfeld ( 1983, halaman 41) Epistemologi adalah kontroversial, dan tidak dapat dipungkiri bahwa kontroversi mengarah ke argumen dan konflik, yang tidak nyaman. Hal ini juga bertentangan dengan moralitas sosial konvensional, yang mencari konsensus, tenang, dan di atas segalanya, stabilitas. Kontroversi merupakan ancaman terhadap stabilitas ini. Namun, ironi adalah bahwa kita mungkin semua berlangganan kepercayaan dalam peran kunci disonansi dan konflik kognitif dalam akomodasi skema, dan karenanya dalam pertumbuhan pengetahuan pribadi. Tanpa konflik psikologis dari jenis ini pertumbuhan pengetahuan pribadi tidak mungkin. Demikian juga, kita mungkin sebagian besar menerima pandangan yang sama tentang peran konflik - bahkan revolusi, berikut Kuhn (1962) dan lain-lain - dalam pertumbuhan tujuan, pengetahuan ilmiah. Ketika sebuah teori baru mengancam untuk menggantikan yang lama, tidak sangat disambut oleh orang-orang yang telah menginvestasikan kehidupan profesional mereka dalam mengembangkan teori lama. Keyakinan kita akan pentingnya konflik bagi pertumbuhan pengetahuan tidak perlu menghilangkan sensasi tidak nyaman, apakah seseorang yang terlibat dalam konflik di tingkat pengetahuan subjektif, pengetahuan obyektif, atau wacana sosial. Setelah mengakui bahwa isu-isu epistemologis yang kontroversial, korolary yang berikut. Peserta ternyata memiliki perspektif yang berbeda dan sistem kepercayaan, bahkan epistemologi yang berbeda. Konflik dan ketidaksepakatan merupakan benturan dari perspektif yang berbeda. Perbedaan tersebut dapat konseptual, mengenai makna istilah-istilah seperti 'epistemologi' sebagai, 'konstruktivisme' atau 'pengetahuan' bahkan. Mereka dapat perbedaan filosofis, mengenai isu-isu seperti sifat matematika dan dasar-dasar pengetahuan matematika, atau pertanyaan epistemologis umum seperti 'Apa itu pengetahuan?', 'Apa adalah penelitian? " Konsekuensi dari konflik dan perdebatan sengit adalah peserta mengadopsi posisi terpolarisasi, dan menganggap disederhanakan atau stereotip posisi 'jerami manusia lawan-lawan mereka, atau untuk menentang pandangan. Jadi, misalnya, terming bentuk lebih lemah dari 'konstruktivisme sepele' konstruktivisme adalah langkah polemik, menggunakan istilah, nilai-sarat memang merendahkan, untuk merendahkan posisi dalam perdebatan. Dalam pendahuluan ini saya mencoba mengaitkan isu-isu dirawat oleh kertas untuk keprihatinan dan sejarah PME. Hal ini menunjukkan bahwa ada tradisi terus perdebatan epistemologis, dan memiliki klaim ke tempat sentral dalam PME, walaupun konflik. Tujuan saya ada dua. Pertama, untuk membangun, mengakui dan memperpanjang kerja masa lalu. Ini harus menjadi tujuan eksplisit dari setiap kontribusi untuk sebuah organisasi ilmiah. Kedua, untuk sah pertanyaan saya, dan menunjukkan bahwa pusat perhatian PME. KONTROVERSI DALAM FILSAFAT MATEMATIKA

Masalah mendasar dari filosofi matematika adalah bahwa dari status dan dasar pengetahuan matematika. Apa dasar pengetahuan matematika? Apa yang memberi kepastian tampak, dan kepastian ini dibenarkan? Dua arus utama dalam filsafat matematika dapat dibedakan. Ini mungkin disebut filosofi perubahan absolut dan konseptual matematika, setelah penggunaan Confrey (1981). absolut filsafat matematika, termasuk Logicism, Formalisme, intuisionisme dan Platonisme, menegaskan bahwa matematika merupakan tubuh pengetahuan mutlak dan tertentu. Sebaliknya, filosofi perubahan konseptual menegaskan bahwa matematika yg dpt diperbaiki, keliru dan produk sosial berubah. Pernyataan kedua adalah mengejutkan, untuk matematika terlihat oleh banyak orang sebagai benteng terakhir kepastian. Mungkin pernyataan yang paling penting dari klaim ini dapat ditemukan dalam Lakatos (1976), dan bahkan di sini para editor menambahkan catatan kaki menyangkal filsafat fallibilist Lakatos 'matematika. Dengan demikian, harus diakui bahwa ini adalah dikotomi kontroversial. Sementara dalam pandangan absolutis sains telah banyak cara tertentu untuk mengubah pandangan konseptual, mengikuti karya Hanson, Kuhn, Lakatos, Feyerabend dan lain-lain, filsafat absolut matematika masih merupakan pandangan dominan. Absolutis yakin bahwa kebenaran matematika bersifat universal, independen dari manusia (matematika ditemukan, tidak ditemukan), dan budaya-dan nilai-bebas. Namun, pandangan absolutis semakin tunduk pada tantangan dan serangan, misalnya dengan Lakatos (, 1976 1978), Davis dan Hersh (1980), Kitcher (1983), dan Tymoczko (1986), serta yang lain, termasuk Putnam, Bloor dan Wittgenstein (1956). Posisi fallibilist adalah mendapatkan penerimaan tahun ke tahun, seperti yang digambarkan oleh publikasi pendidik matematika berpikiran filosofis dalam jurnal seperti Untuk Belajar Matematika. Dalam ruang singkat tersedia aku akan sketsa dua kritik dari absolutisme. Bukti, melalui logika deduktif, adalah sarana yang kepastian pengetahuan matematika didirikan. Namun, kepastian absolut tidak dapat diperoleh dengan cara ini. Sebagai Lakatos (1978) menunjukkan, meskipun semua pekerjaan dasar dan pengembangan logika matematika, pencarian kepastian dalam matematika pasti mengarah ke kemunduran yang tak terbatas. Setiap sistem matematika tergantung pada satu set asumsi, dan tidak ada cara untuk melarikan diri mereka. Yang bisa kita lakukan adalah untuk meminimalkan mereka, untuk mendapatkan satu set mengurangi aksioma dan aturan bukti. Set berkurang tidak dapat ditiadakan, hanya digantikan oleh asumsi setidaknya kekuatan yang sama. Jadi kita tidak dapat menentukan kepastian matematika tanpa asumsi, yang karenanya bersifat kondisional, bukan kepastian yang mutlak. Hanya dari dasar diasumsikan melakukan teorema matematika ikuti. Mengingat bahwa pengetahuan matematika adalah tentatif dalam pengertian ini, bukan teorema matematika tertentu dalam sistem aksiomatik yang diasumsikan? Sekali lagi jawabannya adalah negatif. Untuk menetapkan bahwa sistem matematika aman (mis. konsisten, dan kita tidak dapat memiliki kepastian tanpa konsistensi), maka Godel Kedua ketidaklengkapan Teorema menunjukkan bahwa untuk setiap tetapi sistem sederhana (misalnya lebih lemah dari Peano aritmatika) untuk membuktikan konsistensi kita harus menambah set asumsi, yaitu mengandalkan konsistensi dari serangkaian asumsi yang lebih besar. Jadi setiap upaya untuk membangun kepastian pengetahuan matematika melalui logika deduktif dan sistem aksioma gagal, kecuali dalam kasus-kasus sepele, tetapi termasuk intuisionisme, Logicism dan Formalisme. Membuang absolutisme adalah semua sangat baik, tetapi filosofi pengganti harus mempertimbangkan fitur unik dari pengetahuan matematika. Secara khusus: Bagaimana memperhitungkan kepastian jelas dan objektifitas pengetahuan matematika? Bagaimana, dalam frase Wigner, untuk rekening untuk 'tidak masuk akal efektivitas matematika' dalam

menggambarkan dunia, dan memang melalui sains, dalam memberikan kita kekuatan yang tak tertandingi atas alam? SOSIAL konstruktivisme SEBAGAI FILSAFAT MATEMATIKA Tesis konstruktivis sosial adalah bahwa matematika merupakan konstruksi sosial, produk budaya, bisa salah seperti cabang pengetahuan lainnya. Pandangan ini memerlukan dua klaim. Pertama-tama, asal-usul matematika bersifat sosial atau budaya. Ini tidak kontroversial, dan meyakinkan didokumentasikan oleh banyak penulis seperti Uskup (1988) dan Wilder (1981). Kedua, pembenaran pengetahuan matematika bersandar pada dasar yang kuasi-empiris. Ini adalah pandangan kontroversial yang diajukan oleh semakin banyak filsuf mewakili gelombang baru dalam filsafat matematika, seperti Lakatos (1976, 1978), Davis dan Hersh (1980), Kitcher (1983), Tymoczko (1986) dan Wittgenstein (1956). Untuk rekening konstruktivis sosial matematika untuk secara minimal memadai harus itu harus menawarkan solusi yang memuaskan untuk dua masalah yang dijelaskan di atas. Dalam rangka untuk mengatasi masalah ini dua asumsi konstruktivisme sosial harus dibuat eksplisit. Pertama-tama, asumsi realisme - ada dunia fisik abadi, seperti biasa kita-akal kepada kita. Kedua, asumsi realitas sosial - setiap diskusi, termasuk yang satu ini, mensyaratkan adanya umat manusia dan bahasa (penolakan ini berpotensi tidak konsisten). Jadi saya menganggap keberadaan realitas sosial dan fisik, tanpa mengandaikan pengetahuan tertentu baik. Asumsi ini memungkinkan epistemologi konstruktivis sosial untuk dikembangkan dari dua prinsip konstruktivisme radikal, yang a. "Pengetahuan tidak diterima secara pasif tetapi juga secara aktif dibangun oleh subjek cognizing; b. fungsi kognisi bersifat adaptif dan melayani organisasi dunia pengalaman, bukan penemuan dari realitas ontologis "von Glasersfeld. (1989, halaman 182) Dengan asumsi tambahan dari keberadaan realitas sosial dan fisik saya bisa memperluas prinsip-prinsip ini untuk menguraikan dasar epistemologi konstruktivisme sosial. c. pribadi teori yang dihasilkan dari organisasi dunia pengalaman harus 'cocok' dengan kendala yang dipaksakan oleh realitas fisik dan sosial; d. mereka mencapai ini dengan siklus teori teori-prediksi-test-kegagalan-akomodasi-baru; e. ini menimbulkan teori-teori sosial yang disepakati dunia dan pola sosial dan aturan penggunaan bahasa; f. matematika adalah teori bentuk dan struktur yang timbul di dalam bahasa. Ini memberikan dasar bagi suatu filsafat konstruktivis sosial matematika. Its elaborasi menarik pada (1956) rekening Wittgenstein kepastian matematika sebagai berdasarkan aturan linguistik penggunaan dan 'bentuk-bentuk kehidupan', dan Lakatos '(1976) rekening negosiasi sosial matematika, hasil konsep dan teori. Hasilnya adalah analog filosofis (1988) account sosiologis Restivo tentang matematika sebagai suatu konstruksi sosial. Tidak ada ruang untuk memberikan laporan lengkap dari konstruktivisme sosial (yang saya lakukan di tempat lain, di Ernest, akan terbit). Namun, jika teori itu diterima sementara, adalah mungkin untuk menunjukkan bagaimana alamat dua masalah yang dijelaskan di atas. Satu masalah adalah untuk menjelaskan 'tidak masuk akal efektivitas matematika' dalam menggambarkan dunia melalui teori ilmu pengetahuan. Pertama-tama, konsep matematika yang diperoleh abstraksi dari pengalaman langsung dari dunia fisik, dari generalisasi dan abstraksi mencerminkan konsep-konsep yang sebelumnya dibangun, dengan negosiasi makna dengan orang lain selama wacana, atau dengan beberapa kombinasi ini berarti. Jadi matematika adalah cabang pengetahuan yang terus menerus dihubungkan dihubungkan dengan pengetahuan lainnya, melalui web bahasa. Bahasa memungkinkan perumusan teori tentang situasi sosial dan realitas fisik. Dialog

dengan orang lain dan interaksi dengan dunia fisik memainkan peran kunci dalam penyulingan teori ini, yang akibatnya juga terus direvisi untuk meningkatkan 'cocok' mereka. Sebagai bagian dari web bahasa, matematika sehingga mempertahankan kontak dengan teori menggambarkan realitas sosial dan fisik, dan karenanya secara tidak langsung, dengan dunia fisik. The 'cocok' struktur matematika di wilayah di luar matematika secara terus menerus diuji, dan matematika berkembang untuk memberikan pola dan memecahkan ketegangan yang timbul dari perusahaan modeling. Jadi, 'tidak masuk akal efektivitas matematika' tidak keajaiban kebetulan. Hal ini built in ini berasal dari asal-usul empiris dan linguistik dan fungsi matematika. Untuk account untuk kepastian jelas dan objektifitas pengetahuan matematika saya klaim pertama bahwa matematika bersandar pada bahasa alami, dan bahwa simbolisme matematika merupakan perbaikan dan perpanjangan bahasa tertulis. Aturan logika dan konsistensi yang menyerap penggunaan bahasa alami memberikan landasan yang di atasnya terletak objektivitas matematika. Matematika kebenaran timbul dari kebenaran definisi bahasa alam, diakuisisi oleh interaksi sosial. Sebagai contoh, kita biasanya setuju bahwa tidak ada yang kedua Merah dan tidak-Red, dan bahwa P & tidak-P adalah palsu. Demikian juga, Kebenaran matematika didefinisikan dengan persetujuan sosial implisit - berbagi pola perilaku - pada apa yang merupakan konsep-konsep matematika dapat diterima, hubungan antara mereka, dan metode yang berasal kebenaran baru dari lama. Matematika kepastian bersandar pada aturan yang diterima secara sosial wacana tertanam dalam 'bentuk kehidupan' kita (Wittgenstein, 1956). Konstruktivisme RADICAL direhabilitasi? Ternyata konstruktivisme sosial menawarkan kemungkinan filsafat matematika yang bertanggung jawab atas objektivitas dan kegunaan matematika, serta falibilitas dan budaya-sifat terbatas. Biaya adalah 'objektivitas' yang ditafsirkan sebagai 'sosial', dan meskipun masih merujuk pada sesuatu di luar individu itu tidak lagi eksternal ke manusia. Jelas ini kontroversial. Tapi apa account ini juga menawarkan merupakan jawaban atas kritik utama diarahkan pada konstruktivisme radikal, yaitu bahwa itu adalah "epistemologi yang membuat semua pengetahuan aktif dan semua tahu subyektif" solipsistic (Goldin, 1989) (Kilpatrick, 1987, halaman 10). Saya telah menyatakan bahwa prinsip-prinsip konstruktivisme radikal konsisten dengan, dan dapat dilengkapi dengan asumsi adanya realitas fisik dan sosial. Dengan demikian penolakan terhadap keberadaan dunia luar tidak mensyaratkan. Bahkan, konstruktivisme radikal adalah ontologis netral, untuk klaim tidak dilakukan untuk substratum pengalaman, hanya itu tidak dapat diketahui. Kasus Saya telah menyatakan adalah bahwa subjektivitas pengetahuan matematika yang tampaknya mengikuti dari prinsip-prinsip konstruktivisme radikal tidak (hanya sebagai intuisionisme tidak mensyaratkan oleh mereka, sebagai Lerman,, 1989 menunjukkan). Sebaliknya, asumsi tambahan dapat menjaga obyektivitas matematika, bila dipandang sebagai konstruksi sosial. Akhirnya, sebuah kritik lebih lanjut sering diarahkan pada konstruktivisme radikal adalah bahwa hal itu tidak berarti sebuah teori pengajaran, apalagi menjadi teori penemuan, pemecahan masalah dan mengajar yang diteliti (Goldin, 1989; Kilpatrick, 1987). Di sini saya harus setuju. Untuk meletakkan landasan bagi filsafat matematika, saya harus menambahkan asumsi lebih lanjut untuk mereka yang konstruktivisme. Untuk memperoleh sebuah teori pengajaran saya harus menambahkan lebih banyak lagi, tidak sedikit di antaranya adalah satu set nilai. Untuk pendidikan tergantung pada asumsi seperti apa yang berharga dalam budaya kita untuk menyampaikan. Tidak ada nilai-nilai seperti diasumsikan dalam dua prinsip konstruktivisme radikal.