ENRIQUE CANSADO

SOBRE LA INVERSION DE MATRICES DE LEONTIEF

S O B R E L A I N V E R S I O N

D E M A T R I C E S D E L E O N T I E F

Por

ENRIQUE CANSADO

Profesor de Es tad í s t i ca General

EDITORIAL UNIVERSITARIA, S. A.

1962

( C ) E N R I Q U E C A N S A D O M A C E D A , 1 9 6 1 INSCRIPCION NA 2 4 0 7 7

S O B R E LA I N V E R S I O N D E M A T R I C E S D E L E O N T I E F

p o r Enrique Cansado

í . Resumen Histórica.

El concepto matemático de matriz s e originó hace ahora más o menos un siglo. En efecto, el articulo titulado "Linear and Vector Functions" publicado por Hamilton (inglés) en 1853, utiliza matrices sin darles tal nombre o mencionarlas ex-plícitamente» Sin embargo el nombre de matriz había sido ya propuesto para tal con-cepto por su compatriota el matemático Silvester en el año 1850, La publicación en 1857 del hoy célebre artículo de Cayley (inglés) "Memoire on the Theory of Matri-c e s " sentó las bases del cálculo matricial. Desde entonces un gran número de tra-bajos han sido publicados, tanto en relación con los aspectos matemáticos o teóri-cos de las matrices como con las aplicaciones del cálculo matricial a problemas de Física, Ingeniería, Estadística, Economía, etc.; una buena bibliografía (menciona 661 trabajos) que llega hasta el afío 1936 puede verse en [47]; también hay abundan-tes referencias bibliográficas en [4], [7] y [22]« La utilización de matrices en E-conomía queda de manifiesto en los numerosos artículos sobre el tema publicados en la revista "Econometrica" en estos últimos años y algunos de los cuales figu-ran en la Bibliografía del final de este artículo. Finalmente, la mayor difusión en el uso de calculadoras de sobremesa y la aparición de las modernas calculadoras di-gitales eléctricas y electrónicas han dado un tremendo impulso al uso de matrices debido a la extraordinaria facilidad con que dichos instrumentos realizan las funda-mentales operaciones del cálculo matricial,

A pesar del siglo transcurrido, y de la reconocida utilidad del cálculo ma-tricial, se puede observar que hasta la fecha (debido a la lentitud con que los pro-gramas de enseñanza se van adaptando a las necesidades cambiantes de la ciencia y la tecnología) son pocos los ingenieros o economistas latinoamericanos familiari-zados con estas cuestiones,, Sirva ello de justificación para empezar por los elemen-tos»

Nota. Aunque el determinante de una matriz (cuadrada) tiene con respecto a ésta un papel semejante al del módulo de un vector (o de un número comple-jo) con respecto a éste, se presenta la curiosidad histórica de que la teo-ría de determinantes s e desarrolló mucho antes que la teoría de matrices y con bastante independencia de ésta. Esto seguramente explica el hecho de que la mayoría de los ingenieros y economistas hayan estudiado teoría de determinantes pero no cálculo matricial»

2. Defitiibién de Matriz ..T

Una mbiriz de orden m x n (que se l ee m por n) e s un conjunto ordenado de m n números (positivos o negativos, enteros o fraccionarios, etc.) * dispuestos en m filas (líneas horizontales) y n columnas (líneas verticales).

* Aunque n o s l i m i t a m o s a q u í a l c a s o de n ú m e r o s r e a l e s , t a m b i é n p u e d e n c o n s i d e r a r s e m a t r i c e s forma-d a s por n ú m e r o s c o m p l e j o s , o por f u n c i o n e s , o por o p e r a d o r e s , o i n c l u s o por ma t r i ces»

1 ]

Ejemplos:

"3 -2 5 0,57 -1,34 0 5

\ \ 0 3,48 1 1,23 7 1,23

6

7

- 0,45

cuyos respectivos órdenes son; 2 x 3, 3 x 3, 1x4 y 5 x 2 . Representamos por

„ _ _ ~l

A= A (m, n) = [a { } ]

11 12•

'a

tki

2n

'II *l 2 In

m¡

a una matriz general de orden m x n. A l o s números atj(i = 1, 2, m; j n) s e l e s llama elementos de la matriz.

1, 2,..

Si m # n se dice que la matriz e s rectangular y Si m = n que la matriz e s cuadrada. (De los cuatro ejemplos anteriores sólo la segunda matriz, de ordené x j , e s cuadrada las otras tres son rectangulares.)

Dada una matriz, s i s e consideran solamente lo s elementos situados en al-gunas de sus f i las y columnas e l lo s constituyen otra matriz qi>e llamaremos subma-triz de la matriz dada. Por ejemplo, dada la matriz

A

L_

son submatnces de ella:

3 7

-2 5

3 7 0 1

-2 5 6 % 4

1 -2 2 8 -6

0 1

6 Va 4

2 8 -6 i f

o

%

1

4

3

•2

1

% 1

6 4

2 -6

Si la matriz tiene una sola ñ la (m = 1) s e dice que e s un vector fila y s i tiene una s o l a columna (n = 1) que e s un vector columna. (De l o s cuatro ejemplos in ic ia le s só lo la s dos últimas matrices son vectores: la penúltima 1 x 4, vector f i la y la úl-tima, 5 x 1, vector columna.) Los elementos de una matriz - vector son llamados a v e c e s componentes de dicho vector.

[ 2

La matriz general Am>n de orden m x n puede considerarse constituida (co-hemos hecho hasta ahora) por sus m n elementos, pero también puede considerar-

m ° formada por m vectores fila de orden n (cada uno de los cuales está formado por los n elementos que figuran en la fila correspondiente) o por n vectores columna de orden m (cada uno de los cuales está formado por los m elementos que figuran en la columna correspondiente) Representaremos por

a u -ai2

a 13

a2. " [ a 21 a22 a22 a2n_

[_a31 a32 a33 " a 3 n ]

a m » m i f a m / am2 am3 " a

m n ]

a los m vectores f i las que constituyen .4. Y en general,

'ti 3 ¡2 ai3 .-1 i'para i = 1, 2, 3, ..., m)

Análogamente, representaremos por

a i l I 1

a12~ r„ ~

13 a i „

S21 a2 2 a23 S 2n

a31 ' a'2 ~ a82 a33 > ••• > a.„ - 3n

a , m 1

a , m3 amn

a los n vectores columna que constituyen A, Y, en general,

a.. !

i2¡

'3j (para / - 1, 2, 3 , n )

De acuerdo con esto puede escribirse

au ai2 - «1, • « in a21 a22 - a2n • •

a2n

*u a>2 .. a u .

8 mi am2 " amn

aU a ;2 a ,

3 ]

En las matrices cuadradas (m - n) se llama diagonal principal a la lfnea formada por ios elementos an, aJ3, a33,..., a n n . (En el anterior ejemplo de matriz cuadrada; 0,57 3,48 6,39 constituyen la diagonal principal)

Una submatriz cuadrada de una matriz cuadrada s e denomina submatriz prin-cipal si tiene su diagonal principal formada por elementos de la diagonal principal de la matriz de la que e s submatriz. Por ejemplo

3 1

4 - 2

~¡ r - 2 6 8

% V* -1

9 - 6 -8

son submatrices principales déla matriz

3 1 7 0

4 -2 6 8

5 % V4 -1

% 9 -6 -8

Si la matriz tiene un sólo elemento (orden 1 x 1) se reduce a un número y suele llamarse escalar.

3. Principales Tipos de Matrices

Una matriz cuadrada que tenga nulos todos los elementos que figuran fuera de la diagonal principal (es decir, tal que a¡} • 0 para todo i * j) constituye una matriz diagonal. Ejemplos

3 0

L°

o

b

0

0

o

c

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Emplearemos el símbolo D para representar una matriz diagonal; a veces se usa Dn para indicar que e s de orden n (en realidad de orden n x n), suele uti-lizarse la notación D (r,, r2; rn) para indicar cuales son los elementos que figuran en la diagonal, (De los tres ejemplos anteriores: la primera puede repre -sentarse por D3 o por D (3; 1), la segunda por D3 o por D (a; b; c).)

Una matriz cuadrada que tenga nulos todos los elementos que están encima y a la derecha de la diagonal principal o todos los que están abajo y a la izquierda de dicha diagonal constituye una matriz triangular (triangular inferior en el primer caso y triangular superior en el segundo). Utilizaremos, de acuerdo con la notación de Bodewig (ver [ 7 ] ) , los símbolos D + L (L del inglés "lower") y D + ü (U del inglés "upper") para representar, respectivamente, uno y otro tipo de matriz trian-gular. Ejemplos:

[ 4

3 0 0 7 1 0 4 8 2

au a21 a31

22 3 32

*42

12 "13

a22 a23

a 33

- 7 4

. 3

"33 a43

6 -Í

5 3

0 8

. 1

*44

triangulares inferiores.

triangulares superiores.

Si todos los elementos de una matriz diagonal son unos, D (1, 1, ..., l),se dice que es una matriz unitaria o idéntica. (Sólo la última, de las letras matrices diagonales, e s unitaria). Emplearemos el símbolo l n para representar la matriz uni-taria de orden n (es decir de orden n x n). (El ejemplo anterior e s l4 ).Otras ano-taciones para la matriz unitaria son U (del inglés "unit") y E (del alemán "eihe-

it"). A los n vectores columna, de n componentes cada uno: (1; 0; 0;...;" 0) ,

(0; 1; 0; 0 ) , ( 0 ; 0; . . . ; 0; 1) suele representárselos por et,e3, ..., en, res-pectivamente, y se les denomina vectores unitarios de orden n.

La matriz unitaria de orden n está formada por n columnas que son los respectivos vectores unitarios, e s decir

[ e , . . . e „ ]

(Lo mismo podría decirse con respecto a sus n filas).

Una matriz que tenga nulos todos sus elementos constituye una matriz nu-la (puede ser cuadrada o rectangular). Ejemplos:

0 0 0

0 0 0

0

0

0 0

0 0

[o o o oj

Emplearemos el símbolo 0 para representar una matriz nula y 0 (m, n) para desta-car el orden de dicha matriz. Los dos últimos ejemplos representan, respectiva-mente, un vector fila nulo (de orden 4) y un vector columna nulo (de orden 5);para los vectores nulos emplearemos la notación 0.

Si todos los elementos de una matriz son números no negativos, a¡¡ 0, diremos que se trata de una matriz no-negativa^ análogamente denominaremos v e o tor no negativo a un vector con todas las componentes no negativas. (Una matriz unitaria e s no-negativa; un vector unitario e s no - negativo).

5 ]

Si una matriz cuadrada no-negativa de orden n tiene la propiedad de que las n sumas de los elementos de sus n columnas son no mayores que uno (es decir:

n 2 a,, 4 1, para i - 1, 2, .... ti) i - 1 '

diremos que e s una matriz del tipo Minkowski-Leontief. Y si , en particular, las co-

lumnas tienen suma uno (es decir:

¿ au - 1, para j - 1, 2, ..., n) i=i

diremos que s e trata de una matriz estocástica. Estas últimas han sido muy estudia das en Cálculo de Probabilidades en relación con la teoría de cadenas de Markoíf. (Ver, por ejemplo: [23], [28]). Las matrices del tipo Minkowski - Leontief tie-nen especial importancia en relación con los modelos l ineales que se consideran en Economía. (Ver, por ejemplo; [9], [12], [25], [28], [34], [41], [43] y [50] j.

4. Operaciones Algebraicas Fundamentales

Dos matrices A y B son iguales si tienen igual orden y sus elementos ho-mólogos son iguales, e s decir si A " A (m, n)-[a¡j], B ~B (m, n)~ [6 ] y a,," b¡] para i -1, 2, ..., m j » 1, 2, ... n.

Dada una matriz A "A (m, n) •= [a }j ] llamaremos matriz transpuesta de A, que representaremos por ATa la matriz cuya primera, segunda, etc. f i la es, respec-tivamente, la primera, segunda, etc. columna de A y cuyas columnas son las respec-tivas fi las de A. Es decir, A2^' [aj} ] ~AT (n, m). Ejemplos:

-1 2 4 3 0 9

Si A - 0 7 6 1 A T" -1 7 10

9 10 0 5 2 6 0

4 1 5

Si A "AT s e dice que A e s una matriz simétrica. Las matrices simétricas son matrices cuadradas cuyos elementos simétricos, respecto de la diagonal principal, son iguales; e s decir a}j - a¡¡, para todo i y todo j. Las matrices "dia-gonales", y más particularmente las "unitarias", son evidentemente matrices simé-tricas.

Es evidente que lá operación de transposición transforma a una matriz trian-gular superior (inferior) en una matriz triangular inferior (superior). También e s in-mediato que si D e s una matriz diagonal, DTm D.

La suma de dos matrices A~A (m,tn)- [a 3¡] y B ~B(m, n) - [¿ {j ] e s otra matriz de orden m cuyos elementos son la suma de los elementos homólo-gos de las matrices sumadas A + B " [a¡¡ + b¡¡]. Ejemplos

4 6 8 +

- 1 3 0 3 9 8

7 -3 5 4 -2 6 11 -5 11

[ 6

El producto de un escalar (número), c, y una matrizA - [a^] e s una ma-triz cada uno de cuyos elementos se obtiene multiplicando el correspondiente ele-mento de la matriz por el escalar (o número). Es decir: c A - A c - [c a ^ ] . Ejemplo:

6 -2

0 *

7

0,8

30 -10

0 %

35

4

La diferencia de dos matrices A - [ a . . ] y B - [6^], se define asf: 'A + (-1) B " [a.. - b..]' (Como en el caso de la suma, sólo pueden A - u - ~ • \ " "{)•>

restarse matrices del mismo orden.) Ejemplo.

4 6

7 -3

-1 3

4 -2

1 0

6

5 3 8

3 - 1 - 4

El producto, A B de la matriz A - A (m, n) - [a ̂ y de la matriz B

B (n, r) - [b^] e s otra matriz C ~ C(m, r) - [c,y], donde

' u X a fri ik b

k ,

Es decir, el elemento que ocupa la fila i y la columna j en la matriz A B s e ob-tiene como suma de los productos de los elementos de la fi la i de la matriz A por los (correspondientes) elementos de la columna ; de la matriz B. Ejemplo:

2 -3

1 0

1

0

3 -2

1 -3

6 7

4 5

1 - 2

4 1

20 -28 9 29 10

-5 5 - 1 5 - 4 3

donde: c í i - 2 x 1 H- 3) y. 0 + 6 x 3 - 2 + 0 +18 - 20

«2 x 1 + (-3) x 6 + 6 x - 2 -18-12 * -2«

C¿3 - 2 x(-• 3) + (-3) x 7 + <5 x tf - 6 .+ 36 •K 9

CX4 - 2 x 4 + (-3) x 1 + 6 x 4 - 8 - 3 + 2 4 * 29

cxs » 2 x 5 + r-•3)* (-2) + 6 x 1 - 1 0 - 6 + 6 K 10

C21 - 1 X 1 + 0 x 0 + (-2) x 3 - i + 0 - 6 " - 5

C22 - 1 X 1 + 0 x 6 + f -2J . x f -2 j - l + 0 + 4 5

°23 - 1 y. (- 3) + 0 x 7 + f -2Jx 6 - 3 + 0 + 22 « -15

C24 - l x 4 + 0 x 1 + f-2J x 4 ' 4 + 0 - 8 V - 4

C2J - i x 5 + 0 x (-2) + (-2) x i - 5 + 0 - 2 - 3

7 ]

Para evitar equivocaciones puede recomendarse, al principiante, el si guien* te esquema recordatorio del proceso de multiplicación de matrices:

• * * * « » « f l in

>U

J2)

k¡

ni

C«

na. También se utiliza la sigla f i c o para recordar la regla: Fila por Colum-

Para el cálculo numérico, se recomienda la siguiente disposición:

b

r •

3¡

b\ kl

"I

12 — c I )

4

Obsérvese que A debe tener un número de columnas igual al de filas de B; y que A B tiene tantas filas como A y tantas columnas como B. Todo lo cual pue-de expresarse simbólicamente asf: (m, n) x (n, r) • (m, r).

Como casos particulares pueden considerarse:

a) (t , n) x (n, r) - (1, r)

b) (ta, n) x (n, 1) -(m, 1)

c) (1, n ) x ( n , 1 ) - ( 1 , 1 )

d) (m, 1) x(l, r) ' (ra, r)

e) (n, 1) x (1, n) - (n, n)

vector fila x matriz - vector fila

matriz x vector columna ~ vector columna

vector fila x vector columna - escalar (número)

vector columna x vector fila » matriz (rectangular)

vector columna x vector fila - matriz (cuadrada)

En general no se pueden calcular los dos productos A B y B A; y si se puede, en general ocurre que la matriz A B e s diferente de la matriz BA. (si n * l ,

t 8

ación de los casos c) y e), anteriores, constituye un ejemplo de la no la c o m p ^ r

v i ( j a ( j (jei producto de matrices.) En cuanto al producto A B podemos de-conmu 0j,tiene de B mediante premultiplicación por A, o bien que se obtiene

cir que postmultiplicación por B. (Obsérvese que, si A es una matriz de de A me^ ^ ^ ^ m * n, se tiene AAT ~ matriz cuadrada de orden m, ATA "matriz ^adrada de'orden n. Pero si m - n, entonces AAT- ATA - matriz cuadrada y si-métrica.)

Un ejemplo de que, en general, AB + BA

3 -2

1 2

i ] -'J

2 5

2 5

3 4 -2 -1

11 - 4

- 1 -4

26 • 9

2 3

tiene Puede comprobarse fácilmente que s i A e s una matriz de orden m x n s e

ImA - Aln- A

(tal como la "al "a, para todo numero a) y que si A e s una matriz cuadrada de

orden ni

IA - AI " A (donde / - / „ ) .

Para definir el producto A B puede considerarse que A está compuesta por sus m filas (vectores filas de n componentes) y que B está formada por sus r co-lumnas (vectores columnas de n componentes), entonces recordando ei caso c) pre-sentado anteriormente, podemos decir que

AB

ìu b„f H. a2„ ••• a2„

a ¡ „

4. ,

Kr

Kl >.2 ••• a m . b ¡

Desde el punto de vista del cálculo numérico conviene destacar que, en ge-neral (es decir prescindiendo de los casos en que alguno de los factores sea cero o uno), la obtención del producto C - A B requiere m n r multiplicaciones (de dos nümeros cada una); pero en las calculadoras modernas de sobremesa puede obtener-se cada

k-S * °kt ait !/ + a<2 "2 bi> + . . . + a in bnj

mediante una sola unidad operacional (véase [13], págs. 44-47) utilizando los dispositivos que permi ten la acumulación (positiva o negativa) de los productos

9 ]

aik b¿j; asi'pues el cálculo de C - AB s e obtiene mediante m r unidades opera-cionales.

Para comprobar o controlar los resultados numéricos en el producto A B pue-de añadirse a B una columna formada por las sumas (respectivas) de los elementos de cada una de sus f i las, s e tiene a s í B*

B*

"n b21 b22

bí3 ... blr

hr

dontíe b¡ - £ b¡, (i - 1,2, t ] , t n) l-i '

bnl bn2 bn

Realizado el producto A B * , éste tendrá una columna más que el AB,

cii C12 c2r S\

AB* -

C21 c2r s>3 *

«

C m i Cm2"" cmr

«

s< zn

y la comprobación o control consiste en ver si se cumplen todas las igualdades

(i " 1, 2, mj»

Si una igualdad no se satisface, quiere decir que se ha cometido un error en el cál-culo de alguno de los elementos, c¡¡ de la fila correspondiente, o bien s e cometió un error en el cálculo de la cifra de control, sJ.En tal caso hay que calcular de nue-vo toda la f i la para descubrir e l error. Si s e cumple la igualdad, e s muy im -probable que haya error en dicha f i la (tendría que haber varios errores que s e compensasen exactamente) . Aplicando e s t e control (horizontal) al ejemplo anterior resulta

2-3 6 1 0 -2

i 1 -3 4 5 8 0 6 7 1 -2 12 3 -2 6 4 1 12

20 -28 9 29 10 -5 5 - 1 5 - 4 3

52 -16

donde:

s'j - 2 x « + (-3) x 12 + 6 x 12 16 - 36 + 72 ' 52

s'3 - 1 x 8 + 0 x 12 +(-2)*12 - 8 + 0-24-16

y como 20 - 28 + 9 + 29 + 10 - 40 * 52 debe haber un error en la primera fila; mien-tras que - 5 + 5 - 1 5 - 4 + 3 • - 16 ~ - 16 indicaría que la segunda fila está correc-tamente calculada., En efecto c15 e s igual a 10 + 6 + 6 • 22 (en vez de 10-6+6 -" 10 como habíamos obtenido) con lo cual todo queda en orden.

Otro control similar (vertical) consiste en añadir una fila a la matriz A con

las sumas de sus columnas» Aplicado al mismo ejemplo sería:

[ 10

2 3 6 1 O -2

3 -3 4

donde:

3 y. 1 +(-3)x0 + 4x 3- 3 + 0 + 12-.15 3x 1 +(-3)x 6 + 4*(-2)r 3-18- 8--23 3 x(-3)+(-3)x7 + 4x 6—9-21 +24-- 6 3 x 4 +(~3) x 1,+ 4 x 4-12- 3 + 16-25 3 x 5 +(-3X~2) + 4 x 1 -15 i 6 + 4-25

por lo tanto, como

20 - 5 - 15, primera columna correcta; -28 + 5 —23, segunda colum,correcta; 9 - 15 — 6, tercera columna correcta; 29 - 4 " 25, cuarta " "

10 + 3 " 13 - 25, quinta columna incorrecta (en efecto el 10 debe ser 22).

Si s e aplican simultáneamente el control horizontal y el vertical s e locali -zan los errores por intersección de las f i las y columnas incorrectas.

Los errores más frecuentes consisten en equivocar el signo (+ cuando debía ser o bien poner signo negativo a una cantidad que e s positiva), o poner mal la coma decimal ( poner 0,0035, cuando lo correcto seria 0,035, o bien poner 8,39 en vez de 83,9)* Cuando s e aplica un sólo control, pueden ayudar las siguientes consi-deraciones: Si la diferencia entre la suma y el control e s divisible por dos y el co -ciente coincide con uno de los elementos de la línea, e s muy probable que es té mal el signo de es te elemento. Si la diferencia entre la suma y el control e s divisible por nueve y el cociente coincide con uno de los elementos de la línea, e s muy pro-bable que la coma decimal de este elemento es té corrida on lugar a la derecha; con-sideraciones semejantes si e s divisible por 99, o por 999, «..; y análogamente (pe-ro con dezplazamiento hacia la izquierda) s i el cociente coincide en valor absoluto pero tiene el signo contrario»

1 1 - 3 4 5 0 6 7 1 - 2

3 - 2 6 4 1

20 -28 9 29 10 -5 5 - 1 5 - 4 3

15 - 23 - 6 25 25

Si A e s una matriz cuadrada de orden n, al producto A A (que e s otra ma-triz cuadrada de orden n) lo representaremos por A2, análogamente A3 - AA2" - A2A, A* - AA? - A2A2- A3A, etc,; puede verse que ATAS - A'Ar- AT'ta; s e suele convenir en que A° - l; todas las potencias de A son matrices cuadradas de orden n„

Ejemplo. Si partimos de la matriz A, tenemos para sus primeras potencias

3 4 1 16 i -29 20 A - A2" A3'

-2 1 - 8 - 7 -10 -39

Es evidente que / - I2m I3 - . . . (tal como 1 ,» l2m l 3 - 5..)

1 1 ]

Puede demostrarse que el producto de dos matrices triangulares superiores (inferios-es) del mismo orden es otra matriz triangular superior (inferior) de dicho orden» Es decir:

(D1 +Uj) (D3+U3) - D + V, o bien (D ¿ + Lt) (D3 + L3) " D + L

Pueden calcularse productos de matrices con un número cualquiera de fac-tores, por ejemplo A B C D - A (B (C D)) - (A B) (C D) - A ((B C) D) = . . . (propie-dad asociativa)„ En cuanto a los órdenes de dichas matrices: (m, n) x (ri, r) x x (r, s) x (s, t) - (m, t).

El producto de matrices goza de la propiedad distributiva, asf por ejemplo A (B - C) - A B + AC ¡ (A + B) (C + D) - A C + A D + B C + B D.

Puede demostrarse que la transpuesta de un producto e s igual al producto de las traspuestas, por ejemplo:

(A B C D)T - DtCtBtAt,

con los factores en orden inverso al origínalo

Dado un número, a, se llama recíproco o inverso de a, al número r que sa-tisfaga la relación

a r - r a " 1

de donde

r - J - a - i

a

Ejemplos:

a - 0,25, t - a'1 = 4 (aa* ~ 0,25 x 4 - 1) <3,25

a - 4,02, r «-a - 0,24875 (aa^ - 4,02 x 0,24875 - 0,9999750) 4,02

a - 2000, r - a"* - -í— » 0,0005 (aa'i - 2000 x 0,0005 - 1) 2000

Análogamente, dada una matriz cuadrada de orden n, A, s e llama recípro-ca o inversa de A, a la matriz cuadrada (de orden n) R que satisfaga la relación

A R -RA"?

(donde I e s la matriz idéntica de orden n) de donde

R «—- - A'1

A

f 12

Ejemplos:

3 1

-2 0

0 1 1

5 0 8

2 0 0

, A'*-[O - 0,5 '

L i í .5_¡

, A 1 '

0 0

i - 1 / .

0 V, - \ 6

AA'J - A-JA 1

0

AA'1 - A'1 A

0

1

1

h 2

0,998 -3,005

-1,994 7,013 A A*-

1,004 0,004

0,002 1,003

Las matrices cuadradás para las que no existe inversa se llaman singulares o degeneradas. Si existe A'1, diremos que A e s no - singular, (*)

Ejemplo de matrices singulares o degeneradas:

1 2 9 2 0 2 3 -2 -5

1 2 3-1 2 4 6 -2

-1 -2 -3 1 0 0 0 0

En el caso de números, la división se puede reducir a multiplicación por el inverso o recíproco, as í

—— b a'1 - a~*b a

Si se trata, en cambio, de matrices hay que distinguir B A'1 de A (recuér-dese la no conmutatividad, en general, del producto de matrices) ya que, en general, 3 A'1 + A'1B. Además, supuesto que exista A'1, para poder predividir B = B(m,n) por A, A'1 B, tendría que ser A de orden m x m, en tanto que para postdividirB = B (m, n) por A, B A'1, tendría que ser A de orden n x n.

Cuando A e s una matriz cuadrada no - singular, de la relación

AB - C

se puede obtener A-1 A B " A"1C, de donde I B = A'1 C, y por tanto

B - A-íC

(*) A s í como , p a r a que e x i s t a r e c í p r o c o o i n v e r s o d e l n ú m e r o a , é s t e d e b e s e r d i s t i n t o d e c e r o ; a s í ", p a -ra que e x i s t a r e c í p r o c a o i n v e r s a de l a m a t r i z A, é s t a d e b e t e n e r un " d e t e r m i n a n t e " d i s t i n t o de c e r o . L a d e f i n i c i ó n y p r o p i e d a d e s de l o s " d e t e r m i n a n t e s " p u e d e n v e r s e en c u a l q u i e r t r a t a d o de Algebra» V é a n s e (X), (10) , (31) y (40) .

Análogamente si B e s una matriz cuadrada no- singular, de la relación

AB - C

se puede obtener A B B'1 - C B"1, de donde AI - C¿Tí y por tanto

A - CBT1

Se puede demostrar que la inversa de un producto de matrices (cuadradas del mismo orden y no - singulares) e s igual al producto de las inversas, por ejemplo

(ABCD)-*- D4 C1 B~1A'1,

con los factores en orden inverso al original.

Es fácil demostrar que sf A e s simétrica, su inversa, A'1, también e s si -métrica. En efecto: A - AT; A A"1 ~ l que transpuesta da (A'1)7 AT - / T , o sea (A-1)1"* A - ¡, la que postmultiplicada por A'1 da )T A A"1" IA"1, e s de-cir (A"1)T I " A*1, o sea (A'1 )T " Acomo queríamos demostrar.

Puede comprobarse inmediatamente que la inversa de una matriz diagonal no-singular de elementos t . , t j , rn- (todos distintos de cero) e s la matriz dia-gonal cuyos elementos son vr t, ' a , . . , 1 /^ (los recíprocos o inversos), e s decir

D1 (r1; r3; . . . , r )-D f / y Vrn j

Puede demostrarse que la inversa de una matriz triangular superior (inferior) no-singular e s asimismo una matriz triangular superior (inferior).

5. Sistemas de ecuaciones lineales

Gran variedad de problemas c ient í f icos y técnicos requieren la solución de sistemas de n ecuaciones l ineales con n incógnitas; donde n puede ser un nume-ro pequeño como 2, 3 o 5 o bien puede ser un número grande como 30, 120 o 600. Un sistema general de este tipo será de la forma

iit xi +a12 x2 + ... + aln xn = d1

"21 2n n

(5.1) (

n 1 + a 2 x2 + ... + a„n xn - dn

donde l o s " c o e f i c i e n t e s " aij(i, j- 1, 2, ..., n) y l o s " s e g u n d o s miembros" (o c o n s t a n t e s ) d ¡ ( i 1 , 2, ..., n) son datos y l a s x¡ (i - 1, 2, n) son incógnitas. Si s e considera la matriz cuadrada A - [ajj ], e l vector columna d de componentes dlt d2, ..., dh y el vector columna x de componentes xt, x2, . . . , x n e l anterior s i s t ema puede escr ib irse asi':

[ 1 4

aíl *12 "• a l n di

a21 S22 ... a2n X2 d 2

a n i an2 ... am *n dn

1

o más sintéticamente:

(5.2) Ax - d

Si l a matriz A de coeficientes es una matriz no-singular, premultiplicando

por su inversa A1 s e obtiene

A'1Ax - A'1d, es decir / x - A'1 d

o bien

(5.3) x - A'1 d

Por lo tanto, s i s e conoce la inversa de la matriz de coeficientes, la solución (úni-ca) dél sistema de* ecuaciones (5-1) s e puede obtener, simplemente, premultiplican-do (el vector columna que constituyen) los segundos miembros por dicha (matriz) inversa. La inve rsión de matrices e s por ello, un procedimiento de resolución de estos sistemas de ecuaciones lineales, Pero, en general, no puede considerarse un procedimiento eficiente; la inversión de la matriz puede convenir en él caso que interese re-solver k s istemas de ecuaciones (5.1), todos los cuales tengan la misma matriz de coeficientes y diferentes segundos miembros:

í * 2 ' ' n

en un caso;

d(2), dS*),...d<2>

i . f i -

en otro caso;

d<k>, ..., d(*> 1 2 "

en otro caso.

Dada una matriz cuadrada de orden n, A m [a i j t], si representamos por zy. (de componentes, z l j , z2j, ..., zn¡; con j " 1, 2, ti) vectores columnas (supues-to désconocidos) de la matriz inversa, A ' [ z j z2... z J , s e tiene por definición de matriz inversa: A X1" /, e s décir

A [*tí z 2 . . . z „ ] » [ej e 3 . . . e n ] (e¡m vectores unitarios)

que se descompone asi:

(5.4) Az¿ - e1, Az,2 " e2,..., A z„ " e n

1 5 ]

Esto nos indica que puede calcularse la matriz inversa de A resolviendo n s i s t e -mas de ecuaciones l ineales (la solución de cada uno da una columna de la matriz inversa) todos los cuales tienen a A como matriz de coeficientes y cuyos segundos miembros son los vectores unitarios.

Se ve asi que la solución de un sistema de n ecuaciones l ineales y la in-versión de una matriz cuadrada de orden n son dos problemas muy semejantes:

a) la solución de un sistema de n ecuaciones l ineales con n incógnitas pue-de obtenerse, según (5.3), mediante la inversión d e s u matriz de coeficientes y la pre multiplicación de dicha inversa por (el vector columna constituido por) los segundos miembros (esto último representa n2 multiplicaciones)»

b) la inversión de una matriz cuadrada de orden n puede obtenerse, según (5 4), mediante la resolución de n sistemas l ineales (de n ecuaciones y n incóg-nitas cada uno).

6, Modelo de-Leontief

Consideraremos a continuación el modelo estático y abierto de Leontief que desempeña un papel muy importante en el estudio y solución de diferentes cuest io-nes y problemas tanto de Análisis Económico como de Desarrollo Económico.

Para analizar el flujo de bienes y servicios de una economía (nacional, re-gional, etc.) se empieza por clasificar en dos grupos a las unidades económicas (empresas, familias, e tc . ) que constituyen ésta: en el primer grupo figuran las uni-dades, que llamaremos endógenas , y el estudio de cuyas transacciones constituye el núcleo de nuestro^ análisis; el resto de las unidades económicas, que llamaremos exógenas o autónomas, constituye el segundo grupo que será considérado global o conjuntamente. Las1 unidades endógenas que forman el primer grupo se clasifican ahora-en n subgrupos y diremos que cada uno de es tos subgrupos de unidadés eco-nómicas constituye una industria, un sector, o una actividad; cada industria, sec-tor o actividad estará compuesto por unidades económicas que produzcan o consu-man bienes o servicios "similares",, Para un determinádo período (un año determi-nado, un determinado quinquenio, etc„); y de acuerdo con normas convencionales de valoración, sea x (i " 1, 2, n; j - 1, 2, ..., n) el valor de los bienes o servi-c ios que la industria (el sector, o la actividad) j recibió, durante el periodo consi-derado, de la industria (el sector, o la actividad) i; e s claro que, para todo i y j, xtj ^ 0; los x¡¡ son "números concretos" y todos van expresados en las mismas unidades monetarias (pesos/ dólares, etc.); diremos que xtj constituye el influjo (input, en inglés) * a la industria j, procedente de la industria i, con el significa-do (claro etimológicamente) de {lujo, de bienes y servicios, que entra a la industria j; sea x} (j - 1, 2, n) el valor de los bienes o servicios prpducidos por la in-dustria j, durante el período considerado; supondremos que xj > 0 y que

n X. > 2 X¡¡

1 ¡"1 '

para todo j (es decir que todas las industrias producen algo y que puede quedar un

* E n f r a n c é s , ve r (53) , " f l u x e n t r a n t "

[ 16

remanente de producción después de abastecer la demanda de las unidades endóge-nas); diremos que x¡ constituye el eflujo (output, en inglés) * de la industria j, con el significado (ver Diccionario de la Real Academia) de flujo, de bienes y ser-vicios, que sale de la industria j. A la matriz no negativa X - [xjy ] (de n f i lasy n columnas) la llamaremos matriz de transacciones (transaction matrix, en inglés) de acuerdo con [44]. Representaremos pór

, - In—

a los valores "normalizados8' de los influjos: e s claro que 0 < c i y < 1, para todos los valores de i y j; los ctj son "números abstractos" o "sin dimensiones" (es decir son simples números, no expresados en unidades monetarias ni en cual-quier otro sistema de unidades) que denominaremos coeficientestécnicos; c¡y re-presenta el influjo a la industria /', requerido de la industria i para producir un e -flujo unitario de la industria j. A la matriz no - negativa C = [ c ^ ] (de n f i las y n columnas) la llamaremos matriz de coeficientes técnicos.

Si se considera la matriz diagonal Dx, cuyos elementos son los eflujos de las n industrias, e s decir Dx = D (xx¡ x2>- xn ), es claro que Dx e s una ma-triz no-singular, que

1 . 1 . . 1 D-1 = D

X2

y que entre la matriz de transacciones y la de coeficientes técnicos existe la s i -guiente relación

Sea

(6.1) C - X V 1

X. - r xtj ~ dj (j - 1, 2, ..., n) í=I

el valor de los bienes y servicios que las unidades económicas exógenas o autóno-mas reciben, durante el periodo considerado, de la industria j ; es claro que, como consecuencia de lo supuesto anteriormente, d¡ ^ 0. Al vector columna d, de com-ponentes dlt d¡, •'•> <¿n, se le denomina demanda final (bilí of goods, bilí of final demand, en inglés).

Si consideramos el vector columna 1 de n componentes unitarios (es decir n unos) y el vector columna x de componentes x¡ x2 ..., x¿, s e tiene para la de-manda final

x - X 1 - d

que, recordando (6.1), se transforma en

x - CDX 1 - d

y como, fácilmente, puede verse que

D 1 " x X

* E n f r a n c é s , v e r ( 5 3 ) , "flux sort&nt" 17 ]

resulta finalmente

(6.2) (I-C)x- d,

donde I es la matriz unitaria de orden n.

Al sistema (6.2), de n ecuaciones l ineales, se le llama modelo abierto de influjo« eílujo (open input-output model, en inglés) o modelo abierto de Leontief.

Debe observarse que la matriz C de coeficientes técnicos e s del tipo Min-kowski - Leontief ya que las c ^ son números no-negativos y las sumas de sus co-lumnas son todas menores o iguales a uno

n ( 2 c,¡ < 1, para j - 1,2, ..., n)

En general no todas estas sumas serán iguales a uno por lo que C no es, general-mente, una matriz estocástica; pero puede contener matrices estocásticas.

En la aplicación del modelo de Leontief se suponen conocidos, o estadísti-camente estimados, tanto al vector de demanda final, d¡ como a la matriz de coe -ficientes técnicos, C. El problema puede consistir en calcular el vector x - cuyas n componentes representan los eflujos (o producciones) requeridos de las n indus-trias del sistema - que satisfaga una determinada demanda final, d* Este problema consiste pues en la resolución de un sistema de n ecuaciones l ineales con n incóg-nitas.

Otro problema (más importante y frecuente que el anterior) consiste en cal-cular los vectores x<1\ nf?>,..a, x(k) que satisfagan diferentes demandas finales d(1), d-2\.„, d<k>. Se resuelve mediante la inversión de una matriz, ya que de a-cuerdo con (5.3) s e tiene en es te caso (para A "I - C):

xfiJ- (! _ C)-l d(l)> x(2)= (l - C p d(2J X(k) = (1 - C)-l d(k)

puesto que / - C e s una matriz no - singular, ya que la llamada matriz de Leontief, I - C, siempre tiene inversa,

Para que las soluciones x tengan significado económico, deben ser vecto-res no-negativos, lo que requiere la no -negatividad de la inversa de la matriz de Leontief, (I - C/1 .

En relación con estas dos últimas cuestiones pueden consultarse [9], [¿2] [25], [28], , [ 41], [43],y [50],,

Las personas interesadas en conocer una exposición menos "formal", o más "literaria", del modelo abierto de Leontief pueden ver [45]» Para una exposición más detallada ver [12] y [52].

7. Resolución de Sistemas e Inversión de Matrices-

Nos ocuparemos ahora de los problémas de cálculo numérico e íntimamente relacionados, que consisten en resolver un sistema de n ecuaciones con n incóg-nitas o en obtener la inversa de una matriz de orden n. El problema es trivial cuan-do n es igual a dos o tres; pero resulta un problema formidable cuando n e s un nú-mero grande como ocurre, por ejemplo, en las aplicaciones del modelo de Leontief, [ 18

donde n puede ser igual a 30, 40, 100 y hasta 400 y más. Puede afirmarse que en las aplicaciones del modelo de Leontief seguramente conviene disponer de una cal-culadora electrónica para los casos en que n e s mayor que 50 (ver pág. 264 de [i2], y cuando e s mayor que 20 en general, ya queotros sistemas o matrices, presentan mayores dificultades que las encontradas en las aplicaciones del modelo de Leon-tief (ver pág. 332 y 333 de [13]. No debe olvidarse sin embargo que aunque las an-teriores estimaciones s e basan, en el uso de calculadoras automáticas de sobremesa, Gauss resolvió l a mano" sistemas de n ecuaciones l ineales con ti incógnitas pa-ra n igual a 20, a 30 y hasta n * 40, Nagel (en 1890) resolvió un sistema con n " 159 y poco más tarde H. Boltz s e enfrentó con un sistema de 670 ecuaciones y otras tantas incógnitas (ver pág. 127 de [7]).

Resolver un sistema de n ecuaciones con a incógnitas por la regla de Cra-mer (tal como se recomienda en los cursos y libros de texto de Algebra) requiere el cálculo de ti * í determinantes de orden n (el determinante de la matriz formada por los coeficientes que figura en el denominador - y para cada incógnita - como nume-rador - el determinante de la matriz que resulta de substituir en la matriz de coef i -cientes la columna formada por los coeficientes de dicha incógnita por la columna formada por los segundos miembros), Si se calcula cada determinante como suma de ni sumando, cada uno de los cüales requiere (n - 1) multiplicaciones, tendremos pa-ra cada determinante (n - l ) n ! multiplicaciones y para resolver un sistema de n e -cuaciones con n incógjiitas se requieren (n '-l)rtl (n + 1) ™ (n - 1) (n + 1)! multi-plicaciones (sin contar las sumas y divisiones). Este número de multiplicaciones crece tan rápidamente al aumentar n, que pa¿a n - 10 resultan (n - 1) (n + 1)1 -" 359,251.200 multiplicaciones, las que a la velocidad de 10 segundos *por multi-plicación (calculadora automática de sobremesa) suponen 114 anos de tiempo y que aún a la velocidad de 2.600 multiplicaciones por segundo (super - calculadora electrónica SWAC,Universidad de California, Los Angeles) supone 38 horas; para n 26 la misma super-calculadora electrónica estaría trabajando durante un núme-ro de años que vendría expresado * por 3 x 10ls ( se estima que nuestro universo tiene una edad de 3.000 millones de aflos, e s decir unos 101 7segundos; para resol-ver - por determinantes calculados del modo indicado - un sistema de 26 ecuaciones con 26 incógnitas la SWAC tendría que trabajar 30 años por cada segundo transcu-rrido desde la creación de nuestro universo), Si se calcula cada determinante como suma de los elementos de una línea multiplicados por sus respectivos adjuntos pue-de demostrarse ** que el numero de multiplicaciones por cada determinante de or-den ti se reduce a 2 n! (aproximadamente) y para resolver el sistema de ecuaciones se requieren 2 tñ (n + 1) 2 (n + 1)! multiplicaciones. Este número también crece muy rápidamente con n, pues para ti " 10 s e necesitan (aproximadamente) 70.000.000 de multiplicaciones. SÍ se calcula cada determinante por el método (de reducción) llamado de Chíó *** puede demostrarse que el numero de multiplicaciones por cada determinante de orden ti se reduce a

1

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1 9 ]

(aproximadamente) y para resolver el sistema de n ecuaciones se requieren

multiplicaciones. Aun este número crece muy rápidamente pues para n - 10 s e re-quieren unas 3.000 multiplicaciones y para n =100 unos 30.000.000 de multipli-caciones (estas últimas representan 19 días completos de trabajo de la supercal-culadora electrónica Mark III; Universidad de Harvard; máquina que realiza unas 20 multiplicaciones por segundo).

Los métodos de reducción exigen menos multiplicaciones que cualquier otro método conocido y para un sistema de n ecuaciones sólo requieren aproxima-damente

tl3

3

multiplicaciones. Incluso este número crece rápidamente con n ya que, si para ti" 10 representa sólo 429* multiplicaciones, para n = 100 s e requieren unas 300.000 multiplicaciones (que la super-calculadora electrónica Mark III realiza en unas cuatro horas y media).

Se ha resuelto ya un sistema de ecuaciones con n = 2.500**, en relación con problemas de Geodesia. (Lo que representa unos 23 días completos de trabajo de la SWAC, utilizando un método de reducción).Hoy día, con las más veloces su'-per calculadoras electrónicas, se pueden resolver, y se resuelven sistemas de va-rios miles de ecuaciones l ineales con otras tantas incógnitas, en relación con pro-blemas de Fís ica Nuclear, Ingeniería, etc.

Para dar una idea de la velocidad a que pueden realizarse multiplicaciones presentamos a continuación una tabla con estimaciones de los tiempos requeridos para realizar mil multiplicaciones (de dos factores cada una y de diez cifras o dí-gitos cada factor), dichas estimaciones (ver [14], pág. 2) son:

A mano, con lápiz y papel 1 semana Con calculadora electro - mecánica de sobremesa (controlada por presión manual de teclas) 1 día Con calculadora electro - mecánica y tarjetas per-foradas (de lectura y escritura automática) 1 hqra Usando una calculadora electrónica pequeña 1 minuto Usando una super-calculadora electrónica 1 segundo

Debe observarse que la última velocidad e s muy inferior a la de la super-calculadora electrónica NORC, hecha por la IBM para la Marina de E.E. U.U., cu-ya velocidad parece ser de unas 323.000 multiplicaciones por segundo para dos fac-tores de 13 dígitos cada uno, tal como se indica en [14], págs. 7 y 8.

* Aunque K u n z , v e r (32) p á g . 215,, a f i r m a que s ó l o h a c e n f a l t a 410 m u l t i p l i c a c i o n e s , d e b e t r a t a r s e d e u n a e q u i v o c a c i ó n . Más a d e l a n t e d a r e m o s m a y o r e s d e t a l l e s , ve r p á g s . 36 *» Ver p á g i n a 436 de (4) .

[ 20

De la tabla anterior (considerando un día de trabajo - ocho horas) s e dedu-ce que cada multiplicación con calculadora de sobremesa - y dos factores de diez cifras cada uno - requiere unos 30 segundos. Si los factores tienen menos cifras -por ejemplo s e i s o s iete - cada multiplicación exige unos 10 segundos de funciona-miento de la calculadora de sobrémesa. En [49], pág. 46, se estima que una calcu-ladora automática!de sobremesa puede obtener en 4 segundos la multiplicación de dos factores con cuatro dígitos (de promedio cinco) cada uno; en cuyo tiempo s e in-cluye el requerido para "poner" los factores en la máquina y dejarla "limpia" pa-ra poder iniciar cualquier otro cálculo.

Se considera que la división o cociente de dos números, con calculadoras de sobremesa, requiere vez y media el tiempo necesario para su multiplicación. La resolución de un sistema de n ecuaciones l ineales con n incógnitas - si los coe-ficientes y segundos miembroá son de s e i s cifras, o dígitos, cada uno - exige ( s e -gún [14], pág. 125):

Para n igual a: Con calculadora de Con la super-calcu-sobremesa: ladora NORC:

3 10 minutos 0,01 segundos

6 1 hora 0,05 segundos

12 7 horas 0,2 segundos

24 1 semana 1,0 segimdos 48 10 semanas 8,0 segundos 96 2 años 1,0 minutos

El tiempo requerido para invertir una matriz cuadrada de orden n e s , aproxi-madamente, el triple del exigido para resolver un sistema de n ecuaciones l ineales con otras tantas incógnitas.

Existe una gran variedad de métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales e invertir una matriz cuadrada. Sobre el tema hay una abundantísima biblio-grafía, de la que nos limitamos a destacar [4], [7], [«], [10], [13], [17], [19], [21], [22], [26], [29], [30], [32], [35], [36], [37], [3S], [39], [42], [45] y [49]. Dichos méto-dos pueden clasif icarse en tres grupos:

a) métodos directos b) métodos iterativos c) métodos Monte Cario

Se dice que un método e s directo si consiste en una rutina de cálculo (o al-goritmo) con un número finito de etapas, la última de las cuales da la solución del problema (exacta si no existieran errores debidos al redondeo en las multiplicacio-nes y divisiones).

Suele llamarse iterativo (o mejor de aproximaciones sucesivas) a todo mé-todo que paita de una solución inicial (obtenida por cualquier procedimiento) que se "mejora" etapa a etapa y que en un '¡número infinito de éstas daría como límite la solución exacta del problema. Teóricamente s e requiere la existencia de dicho lími-te, e s decir que el proceso sea "convergente". Prácticamente sé requiere algo más.

2 1 ]

que el proceso sea "rápidamente convergente" para asf poder obtener una buena aproximación de la solución mediante unas pocas iteraciones o etapas.

Los llamados métodos Monte Cario consisten en la repetición de determi-nados procesos experimentales de muestreo estadístico basados en los datos del problema y, mediante la utilización de "números aleatorios" (random members, en inglés). La solución o resultado e s el promedio de dichos procesos aleatorios mu-chas veces repetidos y tiene las características probabilísticas de una "estima-ción estadística". Se trata de métodos que han despertado recientemente un gran interés, pero cuya eficiencia aun no ha sido claramente evaluada. Para mayores de-talles ver [35], "Monte Cario Methods" por G. W. Brown^págs. 279 a 303 de [4\) 7 [20]'

8.Métodos' Directos

Aunque la solución de un sistema de ecuaciones por la llamada regla de Cramer (me diante el cálculo de determinantes) constituye un método directo no le dedicaremos nueva atención por no ser conveniente cuando n >; 3. Nos preocupare-mos en cambio extensamente de los métodos de eliminación también llamados de reducción y de condensación. Sus numerosas variantes suelen distinguirse median-te los nombres de los matemáticos que los descubrieron o redescubrieron(en efecto o aparentemente). Desgraciadamente no hay consenso general en las denominacio-nes, de tal modo que un mismo método, por ejemplo, e s denominado de Gauss en una obra, de Gauss - Doolittle en otra, de Gauss - Doolittle - Crout en otra, de Ba-nachiewicz, en otra, de Crout en otra, etc. El proceso de eliminación que consti-tuye la esencia de todos estos métodos consiste en transformar el sistema de ecua-ciones en otro sistema equivalente mediante la utilización de una de las ecuacio-nes para eliminar (o suprimir) una incógnita de todas las otras ecuaciones del s iste-ma. Dicha eliminación puede conseguirse, por ejemplo, dividiendo primero la ecua-ción elegida por el coeficiente que en ella tenga la incógnita que se pretenda e l i -minar (coeficiente al que llamaremos pivote y que supondremos no nulo) y restan-do después de cada una de las otras ecuaciones, la "ecuación nueva" (obtenida después de la división) multiplicada sucesivamente por el coeficiente de dicha in-cógnita en la ecuación de la que s e resta (a los factores por los que se multiplica sucesivamente la ecuación nueva - e s decir a los coeficientes en las otras ecua -ciones de la incógnita que se pretende eliminar - los llamaremos semipivotes). Otra posibilidad consiste en multiplicar las otrab ecuaciones por el coeficiente que ten-ga en la ecuación elegida la incógnita que se pretende eliminar (es decir multipli-car las otras ecuaciones por el pivote; supuesto distinto de cero) y restar luego de cada una de el las la ecuación elegida multiplicada por el coeficiente de dicha in -cógnita en la ecuación de que se restá (es decir multiplicada por el correspondien-te semipivote). Estos procesos de eliminación son ilustrados a continuación median-te un ejemplo literal y otro numérico.

[ 2 2

(8.1)

Dado el sistema

a n X j + a12 x2 + aJ3 x3 + a14 x4 ' d j

a31 xx + a22 x2 +a¿3x3+a24 x4 = d 2

asi X1 + a32 X2 +a33X3 + aS4

aíl X1 +a42 X2 + a43*3 + a44 X4 ' d4

si se elige la segunda ecuación para eliminar la tercera incógnita (suponiendo que el pivote, alv e s distinto de cero), tenemos al aplicar el

primer procedimiento

( a U ~ a 2 j a l 3 ) x l + ( a 1 2 ~ ^ 2 2 a J 3 J x 2 + +(ai4~at24a13)x4 " ( d l ~ d 2 a l 3 )

(8.2 X

a21 T a22 a 2 t a 3 t a24 A4 ~ u2

(a3i~a2i a33)X1 + (a32~aÍ2 833)x2+ +(a34 -a24 a33)x4 - (d3-df2a33)

(a41-a'21 a43)x1 + (a42-a'22a.43)x2+ + (au-a'24 atí)x4 - (d4-d'2a43)

donde

<8J) a'21 - % , a'22= < » / , a - ^ , «f¿ - ^

Segundo procedimiento:

( a 11^23 ~ a2 i a l 3 ) x l + ( a 12 a23 ~ a22 a i s ) x 2 + + ( a I4a23'a24a l3)

X4^(d I a 23~

d2a 13>

a21 x 2+ a 2 3 x2 + a23 x3 + a24 x4= d2

(a31 a23~a21a33^1 +(<*32&23 ~a22 a33^2 + *(a34a23'a24a33-)*<=(cTja23~^3a33)

(a41 a 23 ~a 21a 43>Xl+fa 42a 23 ~ a22

a43 > 2 + +&44a23'a24a*3)X4 ~(d 4* 23~d 2a 43)

Dado el sistema

(8.4/

(8.5)1

4 Xj - 6 x2 + 7 x3 + 8 x4 = 10

9 Xj + 12 x2 + 3 x3 - 6 x4 = 27

18 x1 - 5 x2 - 4 x3+ 12 x4~ 15

10 x1 + 6 x2 + 2x3 - 17 x4" 19

si s e elige la segunda ecuación para eliminar la tercera incógnita, tenemos al apli-car el

2 3 ]

( W

primer procedimiento:

+ + 22 x4 - - 53

3 xt + 4 x3 + x3 - 2 x4 - 9

51

-17 x1 - 34 x3

30 xi + 11 x3 +

4-x , 2 x ,

+ 4 x4

-13 x4

(8.7) (

segundo procedimientoj-,

51 - 102 x 2 + + 66 x4 - - 159

9xj + 12 x3 + 3 x3- 6x4- 27

90 x1 + 33 x3 + + 12 x4 - 153

12x1 - 6 x3 + - 39 x4 - 3

Desde el punto de vista del álgebra matricial debe observarse que, en re-lación con él primer procedimiento de eliminación, si consideramos las matrices

|a12 a13 a 13 a 14 dt

21 A22 A23 A24 <¡2

34 D3 »31 3 32 A33

A41 A42 A43 344 ¿4

asociada con el sistema (8.1), y

«'il a'l2 0 a'l4 ¿ i

a'33 1 3 24 *2

a¡l a32 0 "'34

a \ l *'42 0 a>44 *4

ásociada con el sistema transformado (8.2), ast como .la matriz cuadrada

A13 / 1 -

*23

'23

0 - °3X s a i A23

o - a Y 23

0 o

0 o

1 o

0 1

[ 2 4

formada a base del pivote y los semipivotes (y que difiere solo de la matriz unita-ria en la segunda columna - por haber elegido la segunda ecuación), existe la rela-ción matricial

Pt A - A'

Es decir, la transformación del sistema (8.1) en el (8.2) equivale a premultiplicar la matriz A por la matriz cuadrada P1. Se ve a s í el papel que desempeñan los se-mipivotes y el especial del pivote.

Para los sistemas (8.5) y (8 6) s e tiene pues

1 - Vj 0 0 4 -6 7 8 10 -17 -34 0 22 -53

o % 0 0 9 12 3 -6 27 3 4 1 - 2 9

0 % 1 0 18 - 5 - 4 12 15 30 11 0 4 51

0 1 10 6 2 17 19 4 - 2 0 -13 1

Desde el punto de vista del cálculo numérico dicha relación matricial jus -tifica la utilización de los controles de cálculos mencionados al referirnos (en las páginas 10, 11 y 12) a la multiplicación de matrices. El esquema de cálculo nu-mérico será para es te caso:

XÍ X2 X3 ** - Suma

4 -6 7 8 10 -23 !

9 12 3 -6 27 -45 A

18 -5 -4 12 15 -36 ¡

10 6 2 -17 19 -20

1 - Suma -40 -6 -7 4 -70

-17 -34 0 22 -53 82

A' 3 4 1 -2 9 15

30 11 0 4 51 -96

4 -2 0 -13 1 10

1 - Suma -19 22 0 -10 -7 -14

La comprobación o control de los cálculos consiste en ver:

a) Que la suma de todas las cifras que figuran en cada fila (horizontal) e s igual a cero (o aproximadamente cero, si s e utilizan aproximaciones por redondeo)

2 5 ]

b) Que la suma de todas las cifras que figuran en cada columna (vertical) e s igual a uno (o aproximadamente uno, si se utilizan aproximaciones por redondeo)

c) Que la suma de las cifras de la última fila (1 - Suma) menos la suma de las cifras de la última columna ( - Suma) e s igual al número de columnas - sin con-tar la del control - (o aproximadamente igual a dicho número si hay errores de redon-deo), (En es te caso: n - 5; - 119 - ( - 124) -5; -14 - (- 19) - 5.)

Para obtener A' s e empieza por calcular la fila (destacada por la s dos l í -neas de puntos) correspondiente a la "ecuación nueva". Para ello conviene calcu-lar la inversa del pivote (destacado por una circunferencia de puntos) y multiplicar luego dicha inversa (como "multiplicador f i jo" en la máquina de calcular) por los números de la fila del pivote: estos productos se colocan en la fila correspondien-te de A' y constituyen la "fila nueva". Las otras f i las de A3 s e calculan restan-do de los números de la correspondiente fila en A el próducto del semipivote y del correspondiente número en la "fi la nueva" de A' . (Así , para la primera fila Af 4-3*7--17; - 6 - 4 * 7 - - 34; 7-1*7-0; 8-(-2)*7-22; 10-9x, x 7 - - 53; 23 - 15 * 7 - - 82; para la tercera fila: 18 - 3 x (- 4)- 30; -5-4 x x (- 4) - 11; - 4-1 4) - 0; 12- (- 2) x (- 4) - 4; 15 -9 x (- 4) - 51; 36 - Í 5 * , x (-4) - 96)° En el cálculo de cada una de e s tás filas el semipivote correspondien-te actúa como '"multiplicador fijo", circunstancia que debe utilizarse para simplifi-car los cálculos a máquina. Terminado el cálculo de una fila, se comprueban los cálculos viendo si su último número (que aparece en la columna "suma"): es, en e-fecto igual a la suma de todos los anteriores.

Desde el punto de vista del cálculo numérico puede observarse que sólo s e realizan dos tipos de operaciones:

1) a/b, ó bien 1/b y 1/b x a, para la fila nueva

2) a - b x c , para las otras filas

Considerando el caso general de n ecuaciones con n incógnitas (en lugar de los casos particulares anteriores con n - 4) todo serfa análogo. En tal caso ge-neral puede verse que la eliminación de una incógnita requiere (sin controles):

*

con el primer procedimiento (por analogía con (8,3) y (8.2)). 1 división (in-versa del pivote) y n multiplicaciones para la fila nueva n adicciones (algebraicas) y n multiplicaciones para cada una de las (n - 1 ) filas restantes Total: 1 diviéión, n adicciones y n2 multiplicaciones,

con el segando procedimiento (por analogía con (8,4)): ninguna operación para la fi la elegida n adicciones (algebraicas) y 2n multiplicaciones para cada una de las (n-1) f i las restantes Total: n adicciones y 2n (a - 1) multiplicaciones.

Como el número de adicciones e s igual en ambos procedimientos y una divi-sión representa (en tiempo empleado por la calculadora de sobremesa) menos que dos multiplicaciones, vemos que, si Mt y U2 representan, respectivamente, el número

[ 2 6

de multiplicaciones requeridas por el primer y segundo procedimiento, se tiene

M3 -A/ , - 2n (n - 1) - (n3 + 2) - n (n - 2) - 2

que e s mayor que cero para n > 3 y crece rápidamente con n.

En consecuencia, el primer procedimiento es , en general, más conveniente que el segundo por requerir menos operaciones. En todo lo que sigue solamente con-sideraremos dicho (primer) procedimiento de eliminacións

Basados en el procedimiento de eliminación existen dos métodos directos fundamentales de resolución de sistemas de n ecuaciones l ineales con n incógni-tas (y de inversión de matrices cuadradas) que suelen denominarse métodos de con densación pivotal (pivotal condensation, en inglés - ver [15], págs. 51 y 110 - ) métodos de barrido (sweep - out, en inglés - ver [39], págs. 2 - 5), o simplemente métodos de eliminación. Uno de e l los e s el método de Gauss, o método de triangu-larización; (ver [7], págs. 94 - 99) el otro e s el método de Jordán, o método de dia gonélización (ver [7], págs. 99 -100).

El método de Gauss consta de dos partes:

La primera parte, que suele denominarse "solución progresiva" (forward solution, en inglés - ver [13],' págs 51 y 76), consiste en utilizar la primera ecua-ción para eliminar la primera incógnita (cuyo coeficiente se supone no nulo = pri-mer pivote) de las n - 1 restantes ecuaciones, la primera de estas nuevas n - 1 ecuaciones s e utiliza para eliminar la segunda incógnita (cuyo coeficiente s e su-pone no nulo - segundo pivote) de las n -2 restantes nuevas ecuaciones, y asf s e sigue hasta llegar a una sola ecuación con la última incógnita. Asi pues partiendo del sistema ;

au x2 + a13 x2 + a13 x3 + ... + aln xn - dt

>2Í + a 2 2 x 2 + a23 +

(8.9) (a31 XX + a32 x2 + a33 x3 + ... + a3n xn

'ni *1 Xt + a„ 3 x0 + a_» x, + . . . + a„

s e pasa primero al sistema equivalente

x, + a<*> x, + a(*> x, + ... + a(*> xn - d<*> 1 12 13 ln " 1

22 ' 23 3 2n 2

x2 +a<v x3 + ... + a<p xn - d<{> (8.10^ 32 33 3n

d2

n 2 + a ( i ) n 3

a<'> x„ n n " d<*>

2 7 ]

Olii) <1

luego al sistema

« i + + + • • • + - £

x2 + dl> x3 + ... + flW x„ - d(» * 23 3 2N " 2

dì) x3 +... +aW x -¿a) 33 3 3N 3

a f J ) x , + . . . + d3> xn N3 3 n n " d<3>

hasta llegar finalmente al sistema, equivalente del primero,

t ( ' )

(8.12 Í

x3 + afj> x3 +... + x„ d f 1 *

x3 + ^ xn ~d3<3>

que constituye un sistema "triangular".

La segunda parte que suele denominarse "solución regresiva" (back solu-tion, en inglés, - ver [13] , págs. 53 y 79), consiste en obtener x„ de la última ecua-ción, substituir es te valor en la penúltima ecuación para obtener xn . v etc. , etc., hasta obtener x1 de la primera ecuación (en función de xn, xntm 1 , x 3 y x3, ya calculados).

Ilustraremos el método resolviendo el sistema

(8.13i

26 x¡ - 10 x3 + 15 x3 + .32 x4 '23

19 xx+ 45 x3 - 14 x3 - 8 x4 = 57

-12 x¡ + 16 x3 + 27 x3 + 13 x4 - 47

32 x¡ + 29 x 2 - 35x3 + 28 x4 —68

La solución progresiva aparece a continuación, en la página 33. La solución regresiva consiste en:

x4 - -1,99999

x3 - 1,24169 - 0,87916 x ( - 1,99999) - 3,00000

x3 - 0,76838 - (-0,60000) x (-1,99999) - (-0,47720)*3,00000 - 0,99999

x¡ - 0,88462- 1,23077 *(-1,99999)- 0,57692 x 3,00000-

(0,38462) x 0,99999 - 2,00000

[ 2 8

(La solución regresiva se obtiene mediante operaciones del tipo

a - bt x c 2 - b2 x c¿~ ... )

Desde el punto de vista del álgebra matricial, se parte del sistema . i x = d, que premultiplicado por la matriz

(8.14)0,>

K a21y

- /a

0 0

~3y o i - <au • • •

n 1/ — Xa u

XJ x2 x4 d - Suma

-10 15 32 23 - 86

¡ 19 | i i

45 - 14 - 8 57 - 99 1 1

l- 12 1

l i 16 27 13 47 - 91

[ j 2 \ 29 - 35 28 - 68 14

1 0<68462 r r

0,57692 1,23077 0,88462 3,39769

0 £52,30778>\ 24,96148 -31,38463 40,19222 -36,15389

0 l11,384561 1 ;

33,92304 27,76924 57,61544 -130,69228

0 \41,30784\ 53,46144 •11,38464 96,30784 119,84608

1 -0,38462 0,57692 1,23077 0,88462

- 0,69118

-122,82350

148,39723

0 1 - 0,47720 - 0,60000 , -, 0 0 f39,35575V 34,59998 - ¡ 0 0 1 33,74934] 13,40007-t

0,76838

48,86777

128,04796

- 0,69118

-122,82350

148,39723

1 - 0,38462 0,57692 1,23077

0 1 -0,47720 -0,60000

0,88462

0,76838

- 3,12085

43,07060

0 0 1 0,87916 1,24169 - 3,12085

43,07060 l _ 1

0 0 0 ¡ÚÍ37o7f0{

1 1

•86,14174

- 3,12085

43,07060

29 ]

1 - 0,38462 0,57692 1,23977

0 1 - 0,47720 - 0,60000

0 0 1 0,87916

0,88462

0,76838

124169

0 0 0 1 -1,99999 0,99999

2,00000 0,99999 3,00000 -1,99999 Solución

da el sistema equivalente A1 x " d(1), donde

"i d¿> a<¿> ... a<>>

0 a<¡>...

(8.15) A¡ 0 a í s ) -

0 a ( 1 > ad). n 2 n3

iO)

, (es decir Gt A ~Aj)

despues, el sistema x ~ d , se premultiplica por la matriz

(8.16) G¡-

1 0 0 ... 0

0 l&J) 0 ... 0 ' 22

0 a(sl/ 1 . . . 0 • ; /a<i>-

i 22

0'an2/ 0

obteniéndose el sistema A¡ x- d(2) donde

(8.17) A3

1 a d ) 12

ef» ... 13

a ( i ) tn

0 1 á2> ... 23

a<2> 2n

0 0 a(?> ... 33 a<2>

3n • [

» ; . í

. 1

. i

a(?> ... 33 a<2>

3n • [

. f

0 0 a<2> d*> n3

(es decir G¡ G¿ A~A3)

y asi sucesivamente hasta llegar al sistema triangular 4 n x ~ d^/donde

[ 3 0

(8.18) An

1

O 1

O O • •

• .

O ó

afi) 12 13

a(2) *23 «4V

a(3) 3n

1

, (es decir G„ ... 12 GÏA~ AJ

Como las matrices G¡ G ..., Gn son triangulares inferiores, su producto G**Gn ... G3 G1es, asimismo, una matriz triangular inferior que premultiplica a la matriz de coeficientes, A, dando una matriz triangular superior, An. En términos gráficos, el método de triangularización o método de Gauss puede esquematizarse asT:

(8.19)

Y como la inversa de una matriz triangular inferior es, asimismo, triangular inferior, puede decirse que la esencia del método de Gauss consiste en descomponer la ma-triz de coeficientes, A, en producto de una matriz triangular inferior, G"1, por una matriz triangular superior, An ; o sea:

Para los efectos de ver cual e s el número de multiplicaciones y divisiones requeridas por el método de Gauss, consideraremos el siguiente esquema:

Primera etapa

Xl X 2 • »• x n d

all a12 am di

a21 a22 '" a2n d2

Ki ann dn

a¡p ... di1

0 4P ... d¿

0 W -g f l )

n n di

n

Divisiones:

1

0

Multiplicaciones:

n

n

3 1 ]

Segunda etapa

(n-l)-ésima etapa

n - esima etapa

r

23 2N

O aíl>... a<2> 33 3N

O a(2) N 3 n n

d»

Divisiones

1

O

r

\

L

1 efnml> ^dC-1) n-ln n-1

n n t f f n - j ;

n

(n)

1

O

X1 X2"' Xn-1 Solución

M ultiplicac iones:

(n-1)

(n-1) > (n -1)

>1

" 1

Solución progresiva:

El número de divisiones e s n. El número de multiplicaciones es:

n2 + (n-l)2 + ... + + l)(2n + 1) _ ; 6

(recordando que

P+22+ *„z.n(n+l)(2n + l ) 6

Solución regresiva:

Analizando la solución de (8.12) se ve que para obtener se necesitan 0 multiplicaciones, para obtener luego x„.jhace falta 1 multiplicación, 2 para . . . , y, finalmente, para obtener x¡ s e necesitan (n-1) multiplicaciones. Es decir:

0 + 1 + ... + (n-2) + (n-1) - "O*'1) multiplicaciones

El número total:

n (n + l)(2n + 1) •1 +

n(n-l) „ (n*-l)(n+3)

(8.20)

6 2 3

En resumen, el método de Gauss requiere solamente

(n2 - l)(n + 3)

3

multiplicaciones

[ 3 2

multiplicaciones y n divisiones* para resolver un sistema de n ecuaciones linea-les con n incógnitas.

No hay método conocido que requiera menor número de operaciones que el de Gauss;desde ese punto de vista el método de Gauss es óptimo, pero tiene el in-conveniente de que el "programa" (la "rutina", o el "algoritmo") de cálculos se compone de dos partes diferentes: una correspondiente a la solución progresiva y otra a la solución regresiva; ello representa una mayor complicación de las instruc-ciones que deben suministrarse a la máquina automática calculadora o al calculador humano encargado de realizar las operaciones. Estos inconvenientes no se presen-tan en el método de Jordán que presentamos a continuación.

El método de Jordán consta de una sola parte (solución progresiva); empie-za exactamente igual que el método de Gauss: utilizando la primera ecuación para eliminar la primera incógnita de las (n - 1) ecuaciones restantes; pero utiliza la se-gunda ecuación del nuevo sistema para eliminar la segunda incógnita no sólo de las (n - 2) ecuaciones siguientes, sinó también de la primera ecuación del nuevo siste ma; mediante la tercera ecuación del sistema resultante elimina la tercera incógni-ta de las (n - 3) ecuaciones siguientes, asi como de las dos primeras ecuaciones del sistema obtenido; y asi sigue hasta llegar a un sistema final en que la primera ecuación sólo contiene la primera incógnita, la segunda ecuación sólo contiene la segunda incógnita, etc. y la última ecuación sólo contiene la última incógnita. Asi pues partiendo del sistema (8.9), en la primera etapa pasa al sistema (8.10); pero de este pasa, en la segunda etapa, al sistema

+ a¡p X3 + .o. + a('> ln X n

- rfW

X3 + - + ^ X n - d / 2 J

(8.21) < *3 X n

aH x. + ... + x - d<2> n3 3 n n n n

hasta llegar finalmente al sistema, equivalente del original,

F-(8.22)

d¡n>

d<">

4 n )

•x = d(n) n n

* B o d e w i g (ver (7) , p á g . 98) a f i r m a que e l número d e m u l t i p l i c a c i o n e s e s 1 / 3 n ( n 2 1 ) + « 2 , s u p e r i o r en u n o al que d a m o s aquí* s e g u r a m e n t e c u e n t a u n a d iv is ión y u n a m u l t i p l i c a c i ó n en l a n - é s i m a e t a p a , pe ro con u n a d i v i s i ó n b a s t a .

33 ]

que constituye un sistema "diagonal", cuya solución está a la vista.

Ilustraremos el método resolviendo el mismo sistema (8.21), que utilizamos en relación con el método de Gauss. La resolución aparece a continuación en la pá-gina 38.

Desde el punto de vista del álgebra matricial, se parte del sistema Ax = d que premultiplicado por la matriz J¡ - Gj (definida en (8.14); recuérdese que la pri-mera etapa e s igual en los métodos de Jordan y de Gauss) da el sistema equivalente A<i^x = d(1) (donde Alt definida en (8.15); después, el sistema A(1)x = d(1> se premultiplica por la matriz

fí x3 X3 X4 d - Suma

! 10 15 32 23 -86 i i 1 19 l 1 |

45 -14 - 8 57 -99

! - " ! 16 27 13 47 -91

! » ! 29 -35 28 - 68 14

, ,

1 _J 0,38462j 0,57692 1,23077

0 ! ~¿2~,3077&\ - 24,96148 -31,38463 1 l

0 l 11,38456 l 33,92304 27,76924 1 1

0 \ 41,30784 ¡ 53,46144 11,38464

0,88462

40,19222

57,61544

96,30784

-3,30769

-36,15389

-130,69228

119,84608

1 0 ¡ 0,39338\ 1,00000 1,18015 - 3,57353

- 0,69118

-122,82350

148,39723

0 1 ¡- 0,477201 -0,60000 i +

0 0 l (39,35575] 34,59998

0 0 ¡ -33 ,74834 ¡ 13,40007

0,76838 !

48,86777

128,04796

- 3,57353

- 0,69118

-122,82350

148,39723

1 0 0 j 0,65416\ 0,69169 - 2,34585

0 1 0 ! 0,18046\ 1,36091 - 2,18045

0 0 1 l 0,879161 1,24169 - 3,12085

0 0 0 ¡ C43 ,071$ -86,14174 43,07060

1 0 0 0 2,00000 -3,00000

0 1 0 0 0,99999 -1,99999

0 0 1 0 3,00000 -4,00000

0 0 0 1 1,99999 0,99999

t 3 4

(8.23) U'

'(i> *22

a(D 22

0 ... 0

0 ... 0

obteniéndose el sistema A(3) x - cf2), donde

~1 0 ag> . . . 4V

0 1 d¿>

(8.24) A<*>= 0 0 4i} -• " . •

, (es decir J2JjA-A(^)

0 Ò

• • •

i ? - é >

y así sucesivamente, hasta llegar al sistema diagonal df^>, donde

1 0 0 ... Ó~

0 1 0 ... 0

(8.25) A**- 0 0 1 ... 0 , (es decir /„... J2JjA )

0 0 o ... •1

Como las matrices, J3 , J3, ..., Jn no son triangulares, el producto J"Jn...

J2Jj no será; en general, una matriz triangular; por otro lado, i4fnJes una matriz dia-gonal muy especial ya que en realidad e s una matriz unitaria, e s decir A w - / y el sistema final Aw x=cP> no e s otra cosa que / x= o sea: x = c?w; vemos además que Jn ... J2JtA = A(n) s e reduce a J A = l , de donde J^A1; e s decir,que el producto de las matrices por las que hemos ido premultiplicando sucesivamente el sistema original no e s otra cosa qúe la inversa de la matriz de coeficientes, A En términos gráficos, el método de diagonalización o método de Jordán puede esque-matizarse asi:

( 8.26)

3 5 ]

Para los efectos de ver cual e s el número de multiplicaciones y divisiones requeridas por el método de Jordán, consideraremos el siguiente esquema:

Primera etapa

X1 x2 . . . d

au a12 di

a21 322 ••• a2n d2

kl an2 ... • ann i Divisiones: Multiplicaciones.

~1 a(i) 12

d¡l> 1 n

0 d¡*> 0 n

>

0 a<¿> ..." • <i> d<» tí 0 n

_

Segunda etapa

1 0 a<¿> ... A2) ln

0 1 af>> ...

0 0

o 0 ef»i ti 3

d<3>

d¡a>

0

1

0

(n-l)

(n-l)

(n.l)

(n-l)

(n-l ) ésima

n - esima etapa

I ' 1 0 . . .

i

í o i . . . .

o o ....

o o ...

! 1 0 .... | 0 1 .... o o ....

o o ....

0 d n " 1 > d ( n - 1 ) u ln "i

0 a f r V <q» -i)

i 0 a<n-1Ád("-1)

0 0

0 0

1 ¿ 0 1

<f?>

d(»> 3

m

d<">

o

0

1

o

o

0

¿

1

2

2

: > 2

: >

[ 3 6

El número de divisiones e s n. El número de multiplicaciones es:

n n + n(n - 1) + ... + n. 2 + (a - 1)-1 - n [n + (n-l) + ...+2]+(n •>• 1ym&+2n+2X«-l) 2

Enresumen, el método de Jordán requiere tan sólo

(8.27) rn2 + 2n + 1) 2

multiplicaciones y n divisiones * para resolver un sistema de n ecuaciones linea -les con n incógnitas.

Ciertamente el método de Jordán requiere (para n > 2) mayor número de mul-tiplicaciones que el método de Gauss, esta desventaja se acentúa al crecer n sin llegar a ser excesiva para los casos que pueden resolverse con calculadoras de so-bremesa (es decir hasta n = 20, ver [13] págs. 332 y 333); la desventaja de un nú-mero mayor de multiplicaciones se compensa con la ventaja de que el método de Jor-dán no requiere solución regresiva (como e s el caso en el método de Gauss) con otra rutina de cálculo o algoritmo diferente» El número de multiplicaciones e s

n igual a: Gauss: Jordan

2 5 5

3 16 17

4 35 39

5 64 74

10 429 549

15 1.344 1.799

20 3.059 4.199

30 9.889 13.949

50 44.149 63.749

100 343.299 504.999

Para grandes valores de n, basta con tener idea del "orden" de la cifra de multiplicaciones requeridas; dichos órdenes son

multiplicaciones con el método de Gauss (según (8.20)) 3

* B o d e w i g ( v e r ( 7 ) , f i n a l d e p á g i n a 1 0 0 ) a f i r m a q u e e l n ú m e r o d e m u l t i p l i s a c í o n e s e s

« (n2+ 4n -3) _ s u p e r i o r e n

3 —n (n-1) + 1

a l q u e d a m o s a q u í f p a r e c e q u e B o d e w i g c o n t ó m á s m u l t i p l i c a c i o n e s d e l a s i m p r e s -c i n d i b l e s * p a r a n g r a n d e » m u c h a s m á s . ^

37 j

multiplicaciones con el Tiétono de Jorcan (según (8.27)) 3

lo que representa un 50% ,iás de multiplicaciones en el método de Jordan.

Otra desventaja del método de Jordan frente al de Gauss es que, asf como en este último se pueden ahorrar cerca de la mitad de la s multiplicaciones si la ma-triz de coeficientes, A, e s simétrica; en el método de Jordan la simetría de A no re-presenta ahorro de operaciones,,

El método de Jordan, tiene en cambio, la ventaja de coincidir - en esencia-con el algoritmo de resolución de los problemas de Programación Lineal conocido con el nombre de método sia.plex. Eso quiere decir que cuando se usa el método de Jordan tanto las "instrucciones" para el calculador (humano) como el "programa" para la máquina calculadora electrónica, son esencialmente iguales si s e trata de resolver un sistema de ecuaciones o de invertir una matriz (como veremos más ade-lante) como cuando se trate de resolver un problema de programación lineal.

En todo lo considerado hasta ahora, hemos supuesto que

a l v d & a a f t ' J

(es decir, los pivotes utilizados) eran todos, distintos de cero. Si alguno de el los re-sulta cero no puede seguirse adelante y algunos autores recomiendan volver a em-pezar con las ecuaciones del sistema (o las incógnitas, o ambas cosas) dispuestas en otro orden;ello no e s cómodo ni conveniente. Es posible elegir los pivotes de otros modos; si en vez de tomar como primer pivote el primer elemento de la prime-ra columna, luego el segundo elemento de la segunda columna, etc. se elige prime-ro un elemento cualquiera (distinto de cero) de la primera columna, luego cualquier elemento (distinto de cero y de distinta fila que el primer pivote) de la segunda co-lumna,etc.se llega a un sistema final que (mediante una reordenación de f i las se puede transformar en triangular en el caso de Gauss y en diagonal en el caso de Jordan) no representa novedad esencial respecto a lo ya dicho; otras muchas posibilidades de elección de los pivotes sucesivos constituyen recursos y recetas del "arte de calcular" y se descubren con un poco de práctica. Desde este punto de vista prác-tico, conviene evitar que los pivotes sean números muy "grandes" y menos aun "pequeffos" (es decir tales como: 0,00003, 0,000007, etc.) para evitar pérdida de precisión en los resultados o resultados absurdos. Si se van a utilizar

*W ¿ t i

como pivotes, se recomienda que antes de empezar los cálculos deben reordenar-se las ecuaciones y las incógnitas de modo que la(nueva)primera incógnita tenga el mayor coeficiente entre los de la(nueva) primera ecuación, etc., esta recomenda-ción no e s fácil ni cómoda cuando n e s un poco grande. Las dificultades relacio -nadas con pivotes "pequeños" se presentan en los sistemas (de ecuaciones) mal condicionados (ill-conditioned, en inglés) e s decir en los sistemas de ecuaciones cuya matriz de coeficientes, A, tiene un determinante (no nulo, pues en tal caso no hay solución: el sistema es incompatible) próximo a cero. (Puede demostrarse que el determinante de A e s igual al producto de los n pivotes utilizados en el método de Gauss, o en el de Jordan; por tanto dichos métodos constituyen el proce-

[ 3 8

dimiento más eficiente para calcular determinantes.) La elección de los sucesivos pivotes debe hacerse pues evitando los números muy grandes y dejando para la eta-pa final, o las finales, los pivotes pequeños si no se pueden evitar.

Tanto en el método de Gauss como en el de Jordán puede reducirse cada e-tapa al cálculo de las cifras que figuran en la fila y en la columna destacadas con dos líneas de puntos (es decir la "fila nueva" y la columna del pivote y los semi-pivotes), con. ello se reduce el número de cifras calculadas (resultados intermedios) y registradas, pero no s e modifica (ni aumenta ni disminuye) el número de operado nes (multiplicaciones y divisiones) necesarias para obtener la solución del sistema de ecuaciones. Con ello pueden conseguirse algunas ventajas, como el registro más compacto (en menor area, menos papel)¿ a costa de complicar las operaciones median-te las que se obtienen las (menos) cifras intermedias registradas. Tal e s el« caso de los llamados métodos de Gauss. Doolitle (ver [13], págs 107 - 111) y de Gauss -Crout (ver [13], págs, 103 - 107), en relación con el método de Gauss. Aunque pare-cen no haberse publicado abreviaciones análogas en lo que se refiere al método de Jordán, e s lo cierto que son perfectamente posibles; en otra ocasrfn nos ocupare-mos de dilucidar es te asunto.

Nos preocuparemos ahora de la inversión de matrices por métodos directos, Recordando (5.4) vemos que la inversión de una matriz cuadrada A de orden n pue-de obtenerse resolviendo los n sistemas de ecuaciones lineales:

A X^ ™ f i4 * 62 • ***} A X^ s Gjj

donde el vector xt constituye laprimera columna de A'1, x 2 la segunda columna, . . . , y xn representa la última columna de A'1.

Podemos pues utilizar el método de Gauss o el de Jordán. Pero en vez de resolver por separado cada uno de los n s istemas conviene resolverlos de una vez o conjuntamente. Ello se realiza considerando la matriz

an a12 ... aln 1 0 . . . 0

a21 a22

anJ an2 "•

donde cada una de las columnas que figuran a la derecha de la raya vertical repre-senta los segundos miembros de cada una de las n ecuaciones y la matriz que figu-ra a la izquierda de dicha raya vertical constituye la matriz de coeficientes, que e s igual en los n s istemas de ecuaciones.

Si se aplica el algoritmo de Gauss, triangularizando la matriz A, s e tendrá ahora (ver esquema pág. 35) tal como aparece en la página siguiente.

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0 o

3 9 ]

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0 aC"-^ C("--O . . .cf"-^, 1 nn ni n,n-l

ni nn

Divisiones: Multiplicaciones;

1

0

1

0

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(n -1 )

n

(n -1 )

n

(«T-1)

x u x3i xni Primera columna de A1 (Calculada a base de las

xi2 x22 *•• xn2 Segunda columna de A'1 (Calculada a base de las cf¿>

x in x2n"> xnn Ultima columna de A"J (Calculada a base de las c^-*

En cuanto al número de operaciones:

Solución progresiva:

El número de divisiones e s n. El número de multiplicaciones es:

[(n-1) +id+-[fn-í>fS^. +n] + ... +[(n-l) +n]+(n-l)-

= n(n-l) +n[(n-l) + (n-2)+ ... + 1] =n(n-l) (l + J )

[ 4 0

Solución regresiva. Cada fila de la solución (que constituye una columna de la matriz inversa, A'1) representa la solución de un sistema de n ecuaciones, lo que según vimos al principio de la página 36 requiere

n f o - . i j 2

multiplicaciones.Como ahora son n f i las , la solucipn regresiva requiere

n multiplicaciones. £1 número total de multiplicaciones e s

n(n-l)(l + -j¡- ) + =n*-n

En resumen, el método de Gaus requiere tan sólo

(8.29) n3- n

multiplicaciones* y n divisiones, para invertir una matriz cuadrada de orden n.

Debe notarse que la matri? que s e obtiene al final del método de Gauss no e s la matriz inversa de A sino su transpuesta, e s decir (A1) T-

Si se aplica ahora el algoritmo de Jordán a (8.28), diagonalizando la matriz A, s e tendrá (ver esquema pág. 41).

all a12 aln 1 0 . . . 0

a 21 a 22 a2n 0 1 . . . 0

ki an3 ..

•

'0 • •

0 4

.1 Divisiones: Multiplicaciones

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4P

c<¿> 0

c£i> 1 ... 0 * * » • • »

• » • • «

CÍV o . . . " i

1

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(n-1)

Primera

étape

1 0 a(2) 13 ••• *<iï c i V tígJ 0. ... 0 0

—r n i

0 1 ag> ... cg> 0 ... 0 1 ( n - 1 )

0 0 a (2) 33

« 1 » , 4 <4V c f t l .. 0

• , •

0 n ? •

0

% 0

a<2> a(3) olv

• •

c¿«JO... ¡ 0

•

n

Segunda

etapa

* Bodewig afirma (ver (7), pág, 183) que son n 3 las multiplicaciones requeridas pero con n 3- », bastan . „ , •

41 J

Divisiones : Mu ltiplicaciones:

1

O

O

0

1

O

O

O

0

1

O

O

O

0

1

O

1 . . . . O

O . . . . 1

O . . . O

, ( n - l ) ¿n

l i s - 1 '

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o o c í" >

21

CÁV

Donde A'1 = [c<f>] A 1

0

c^' .V 0

é i ^ o

1

2n

C ( "> nn

G

0

1

0

O

O

n

n

(n-1)

rn-l yésima etapa

(n-1)

i esima etapa

En cuanto al número de operaciones, se ve que el método de Jordán requie-re n divisiones y el siguiente número de multiplicaciones:

n ^ n„ [(n-1) + n + .... + n] + [n + (n-1) +.... +n] + .... + [n + n+"".... + (n-1)] "[n (n-l) +

+ (n-1) n] « n^-n.

En resumen, el método de Jordán requiere solamente

(8.30) n3- n

multiplicaciones * y n divisiones tpara invertir una matriz cuadrada de orden n.

Comparando ahora los métodos de Gauss y de Jordán, vemos que requieren exactamente el mismo número de operaciones para invertir una matriz. Pero el al-goritmo de Jordán e s más sencillo que el de Gauss y por tanto no hay duda de que, para invertir matrices es más conveniente el método de Jordán. Desgraciadamente es te método apenas se ha difundido en la literatura dedicada al Análisis Numérico, habiendo acaparado casi toda la popularidad el método de Gauss que e s claramen-te inferior» Para el economista, el ingeniero, etc tiene, además, el método de Jor dan la gran ventaja de coincidir - en los aspectos esenciales de lo que e s rutina de cálculo - con el método simplex de Programación Lineal. El método de Jordán (jun-

* B o d e w í g a f i r m a (ver (7), p á g . 183) que son n 1 8 S m u l t i p l i c a c i o n e s n e c e s a r i a s , p e r o e s c l a r o que con n ^ • n b a s t a n .

[ 42

to con el de Gauss) requiere menos operaciones que cualquier otro método de in versión de matrices. Por lo tanto, el método de Jordán es óptimo cuando el núme ro de operaciones y la sencillez de la rutina de cálculo son factores decisivos; desde luego, esta e s la situación cuando no s e dispone de una calculadora e lec -trónica, y aun con el la persiste la conveniencia de utilizar una rutina de cálculo fácil de "programar". En el caso de matrices de orden no pequeño (15 <nZ 50) puede realizarse la inversión, mediante el método de Jordán, utilizando dos, tres, cuatro o más calculadores (cada uno con su calculadora de sobremesa) organiza-dos en equipo, entre los que se distribuye fácilmente el trabajo y que se mantienen mutuamente informados; de esta manera puede reducirse a un medio, un tercio, un cuarto* etc. el tiempo requerido para invertir la matriz si se uti l izase un sólo cal-culador.

Debe advertirse claramente que en toda la contabilidad relativa al número de operaciones (multiplicaciones y divisiones), necesarias para invertir una matriz o para resolver un sistema de ecuaciones, hemos considerado el caso más desfa vorable, ya que en Cada problema particular pueden presentarse algunas cifras que sean ceros o unos, lo que permite al calculador humano (pero no a la calculadora automática) ahorrarse multiplicaciones o divisiones (ya que és te sabe que: a. 0" 0, a . 1 - a, a; 1 - a, 0: a - 0)

A continuación presentamos el cálculo de la inversa de la matriz

26 -10 15 32

19 45 —14 - 8

-12 16 27 13

32 29 -35 28

utilizando, primero el método de Gauss y luego el de Jordán.

4 3 ]

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4 5 ]

9. Métodos Iterativos

A diferencia de los métodos llamados directos que dan la solución de un sis-tema de ecuaciones o la inversa de una matriz sólo al cabo de un mmero finito de etapas de cálculo, los métodos denominados iterativos, o de aproximaciones sucesi-vas, arrancan de una "solución inicial" (obtenida por cualquier procedimiento, por ejemplo mediante un procedimiento directo en que se utilicen pocas cifr as decimales para abreviar los cálculos, o considerando una solución aproximada inspirada por la naturaleza del problema, o tomando una solución inicial arbitraria tal como x1

c= - x2 « ,o. = xa - 0 en el caso de un sistema de ecuaciones, etc.) y en las suces ivas etapas se van obteniendo otras tantas "soluciones" más o menos aproximadas cu-yo límite es la solución exacta. En la práctica no se l lega asf a la solución exacta del problema (por que ello requeriría infinitas etapas) sino a una solución "suficien-temente" aproximada.

Es cierto que con los métodos directos tampoco se obtiene, en general, una solución exacta debido a los "errores de redondeo" en que se incurre al conservar un número finito y fijo de cifras (decimales)., Y cuando n e s grande, son tantas las operaciones (aproximadas) que se requieren y tantos los resultados intermedios que pueden "contagiar" sus errores a los otros resultados que en el los se basan, que pueden producirse resultados finales (o, solución) en el método directo sin una sola cifra válida o significativa, por la acumulación de los errores de redondeo.

Esta consideración ha representado el máximo aliento para los métodos i te-rativos, que por su propia naturaleza disponen de cierta capacidad autocorrectiva en lo que se refiere a la acumulación de dichos errores.

Por otro lado, su esencia iterativa (es decir repetitiva o rutinaria) los hace especialmente adaptables a los "programas" de trabajo y a la capacidad de alma-cenamiento ("memoria") de las modernas calculadoras automáticas (es decir sin participación humana durante los cálculos) eléctricas y electrónicas: sus fantásti-cas velocidades de operación permiten extraordinario número de iteraciones, y lo importante e s aquí que cada iteración se realice mediante una "senci l la" rutina de cálculo.

Desde el punto de vista de la calculadora corriente' de sobremesa (Friden, Marchant, etc.) la ventaja de los métodos directos es indudable. Y aun en el caso general, hay opiniones de gran autoridad en favor de los métodos 'directos (ver, por ejemplo, [13], págs. 2 5 2 - 253, [7]"pág. 153).

Una complicación de los métodos iterativos, e s que no siempre son con ver gentes, * por lo que no son universales y antes de aplicarlos a un problema deter-minado hay que averiguar si las soluciones sucesivas convergen a un límite, a la solución exacta. Pero la mayor dificultad en la aplicación de métodos iterativos e s que, aun cuando sean convergentes, la convergencia e s en muchos casos extraor-nariamente lenta; lo cual exige muchas iteraciones para obtener una buena aproxi -mación, y ello a costa de un muy elevado número de operaciones.

Existe una gran variedad de métodos iterativos aplicables a la resolución de sistemas de ecuaciones l ineales, asf como a la inversión de matrices. Empezaremos por referirnos al más c lás ico y conocido. * E s d e c i r , q u e n o s i e m p r e e x i s t e e l l f m i t e .

[ 4 6

l e s El método de Gauss-Seidel para resolver sistemas de ecuaciones l inea-

au xt + aa x2 + . . . + alnxn - d1

<hi x i + * 2 2 * 2 + ••• + a i n x „ " ¿ 2

tp.Í; <

3 n ¿ * J + a « 2 * 2 + «••, + a ™ * n

consiste en lo siguiente;

Se calcula una solución inicial, por ejemplo así:

WTO)- d2 not • tf «22 '

Utilizando dicha solución inicial y la primera ecuación s e calcula

Mediante la segunda ecuación se obtiene

a 33r3

22

Y asi s e sigue hasta completar el primer ciclo calculando

^ i f c t t » - ^ 3 ^ * ^

El segundo ciclo s e inicia calculando

^ 2 , - X . (dl~a12¿i>~a13 ¿p- - a ^ )

Y asi s e sigue, ciclo tras,ciclo, hasta ponseguir que la solución de un ci-*¡k\ ¿2

k>,

difiera suficientemente poco de la del ciclo anterior:

¿k-Dúk-ix j¡(k-í)

El método e s convergente s i la matriz de coeficientes e s definida no-ne-gativa*. Y sólo rápidamente si los términos de la diagonal (a¿¿, a M , ann ) "dominan" a ( e s decir son mucho mayores que) los restantes de la matriz A.

cío

* E s d e c i r , b í O 11 > 0, " j u " a

«22 a22 > 0,

l n «U «12 « «21 «22 " « 2 n

" n i a n 2 - - « n n

> 0

4 7 ]

Obsérvese que cumplido el k-és imo ciclo, al final del que se tiene la solu-ción

x<*>-(*?>, x<2k>, ..., xfk>),

s e inicia el siguiente ciclo calculando la primera componente de x<k+1) mediante la fórmula

(9.2) = f - (dt - 0 - a12 ¿k> - aJ3 - ... - Hnml ^ " ) 11

que utiliza las componentes x^-* de xfkh Luego se calcula

(9.3) (d2 - a2l 0 - a ^ ~a2/l,j - aín**>)

que utiliza las componentes xfkJrl>, x^k>, ^ > Después se calcula

(*•*) ¿ (d3 ~ *3i « t » ~ 0 - W i ~

a3n

que utiliza las componentes x£k+1/ x£k+V , x<k>,...., ,x<k>. Se sigue a s í hasta

(9.5) —i ( d n - a».^ «S*+» "... a* " 0 - i n ) an-l,n-l

que utiliza las componentes xí¡k+1\ . . . x^-t** > • y s e finaliza el ciclo calculando

(9.6) - a n J - 0) nn

que utiliza lás componentes , ..., J^íj^ de xfk+1>

Desde el punto de vista del cálculo numérico s e pueden disponer las cosas asi:

X 1 x2 X 3 X n

4 0 A ! 3 a'm

q 0 A ^ . . .

« I 4 . 1 án 3 • 0

x<k> \xfk> . . . 1 3

¿k>

J(k+D

i / 7

A I (i * i )

[ 4 8

y cada nueva componente K(k*1)se calcula a base de las componentes ya calculadas de x(k+1) ( e s decir de + » , x<k+1>, x f í / 2 ) y de las restantes de x(k)(es de-cir de . . . . . . x(k) ) mediante la formula

(9.7) d¡ - *íi - °-s¡ll+1 Wi---«,•„ < k ) )

que se obtiene en la calculadora de sobremesa con una "unidad operacional" del tipo

a - b 1 x Cj - b2 x c3- -bnx cn

Por ejemplo, para calcular x ^ +1)se utilizan las cifras de la tercera fila del cuadro inicial: d}, ajj, (que no figuran explícitamente) as í como las compo-nentes: xfk+1), x(k+1>, x$k),x(

4k\ x^k) (que hemos destacado con l íneas de tro-

zos).

En este procedimiento se van "corrigiendo" una a una las componentes por eso se dice que el método de Gauss- Seidel e s un método iterativo de escalón sim -pie (single step, en inglés) - y se utiliza inmediatamente cada nueva componente pa-ra corregir las siguientes.

Las fórmulas (9.2) a (9.6) pueden escribirse de esta otra forma:

a n x + 0 + a X 2 x < ^ + a w x W + . . . +

a 2 J xf / + í >+a 2 2 4 k + 1 >+ + 0 + 0 + 3 ^ x ^ + 0 . . +

+ - + a2 n - i Wi+*3n*ík)md2

a3iX<'/C+í' ,+ a 3 2 X S * + i , + a 3 3 X $ k + I , + + 0 + 0 + 0 + — +

+ .oo+ 0 + 0 md n

e s decir, utilizando álgebra matricial:

4 9 ]

(9.8) B xf*+-! + C d

donde B e s una matriz triangular ¡oferioi (formada por los elrauiitou de i4 quees-fén en la diagonal y po.x debajo y a la izquierda de e l la) y C e s una matriz triangu-lar superior (formada per los elementos de A que están encima y : la derecha de r-u dingona!), t a l e s que

(9.9) B + C - A

Premultiplicando (9.8) por la inverna de B, s e despeja xf*+i-> y queda

(9.10) - S 6

donde: S ~ B 1 C e s una matriz cuadrada de orden n, ¿ m B 1 d e s un vector co

lumna de n componentes.

En resumen, el método de Gauss Seidel s e reduce a la fórmula matricial

(9 8), o bien a su equivalente (9 10)

Otro método iterativo al que denominaremos método de Jacobi,o "método de desplazamientos simultáneos", (ver [51], pág. 286)cons i s te en arrancar con una solución inicial cualquiera (por ejemplo, la considerada en el método de GauBs • Seidel, o la solución (0, 0, . . . . . . 0) - 0) y utilizar las fórmulas

«t+1)'é¿<d2-a» W -»-*23 *t> " *1„ #>)

- ... - f l j n ¿ m -alnx<n*>)

n • / ft -1 '

i } — (d ~ a„. ¿,k)-an . - ... - a , x<k> -0 )

n ann >"„ ni 1 n2 2 nfi l An 1

para pasar de xfk> a x(*+ i>.

En e s t e procedimiento s e "corrigen" todas la s componentes de una vez -por eso se dice que é s t e e s un procedimiento iterativo de escalón total (total step,

[ 50

en inglés) - no se utiliza inmediatamente cada nueva componente obtenida para co-rregir las otras de su ciclo (sólo se utiliza en el ciclo siguiente) y las componentes de x<k+1) s e calculan independientemente (sólo dependen de las componentes del ciclo anterior) y pueden obtenerse en cualquier orden. ;

Desde el punto de vista del cálculo numérico, vale todo lo dicho (pág. 57 y 58) en relación con el método de Gauss - Seidel con la única salvedad de que x jk+i ) s e obtiene ahora mediante la fórmula

(9.12) V ^ - r f J - « , « ^ — -

(en lugar de la fórmula (9.7)), por lo que sólo s e utilizan las componentes del c i -clo anterior (es decir las J** , j f p , x<k> que figuran en la fila inmediata-mente superior a la que se está calculando).

a Las fórmulas (9.11) pueden escribirse de esta otra forma:

a n + Ó +aJ2x<2k)+a13<x<3

k>+ +

+ a¿x(1k> + 0 +a23x<k>.+

+ ... + aiW" d2

" i " ' n-1

es decir, utilizando algebra matricial:

\ o»

0 a ^ .

0

0 .(•k+O

¿k+1)

0 a 12

' « I *«2

ln

>

¿k> 4

4*>

¿k> d n n

51 ]

o sea:

(9.13) D E*k> - d

donde D e s una matriz diagonal (formada por los elementos de la diagonal de A) y E e s una matriz con ceros en la diagonal (y formada por los restantes elementos de A), tales que

(9.14) D + E-A

Premultiplicando (9,13) por la inversa de D, se despeja xfk+1> y queda

(9.15) x(k+1>-T ¿k>+h,

donde: T°- D'1 E e s una matriz cuadrada de orden n, h« D1 d e s un vector colum-

na de n componentes,

En resumen, el método de Jacobi - iterativo de escalón total - se reduce a la fórmula (9.13), desde el punto de vista matricial; o a la fórmula equivalente(9.15).

Ejemplos:

Aplicaremos es tos métodos a la solución del siguiente: sistema:

15,032874x¡+ 0,291456x3~ l,754343x3 - 0,032160x4 - 5,067107

J 0,034376x\ 8,852656x3 0,817307X3 1,267660X4 - 7,755243

] 0,198822x¿ 3,893840X2 22,225977X3 0,341238X4 - 49,588894

0,079720x1 0,986Í50X3 0,016570X3 5,313570X4 - 5,283290

El método de Gauss - Seidel da:

x' X2 X3 X4

0,337068 0 0,019388 -0,116700 - 0,002139

-0,876036 - 0,003883 0 0,092323 - 0,143195

- 2,231123 - 0,008945 -0,175193 0 - 0,015353

- 0,994301 - 0,015003 0,185591 0,003118 0

xfi) 0,3 -0,9 - 2,2 -1,0

0,09 - 0,81 -2,39 -0,83

x(*> 0,072 -0,774 - 2,379 -0,842

X(3) 0,07264 -0,77669 -2,37947 -0,84164

Xf4> 0,07264 -0,77659 -2,37945 -0,84166

[ 5 2

y la solución e s (con cuatro decimales): x¡ = 9,9726; x¿ -- 0,7766; x 3 = - 2,3795; x4-~ 0,8416.

El método de Jacobi da:

X1 X 2 X3 *4

0,337068 0 0,019388 - 0,116700 - 0,002139

-0,876036 -0,003883 0 0,092323 -0,143195

-2,231123 -0,008945 -0,17593 0 - 0,015353

-0,994301 -0,015003 0,185591 0,003118 0

x W 0,337 -0,876 - 2,231 - 0,994

xfh 0,091 - 0,811 -2,397 - 0,820

xf') 0,0713 0,7718 - 2,3850 - 0,8347

3(3) 0,0719 - 0,7751 - 2,3785 - 0,8425

x W 0,0727 - 0,7768 - 2,3792 -0,8420

X(S) 0,0727 - 0,7767 - 2,3795 -0,8416

y la solución e s (aproximadamente) la misma que con el método de Gauss - Seidel, pero un ciclo más (A "5 en vez de k -4).

En cuanto al número de operaciones los dos métodos son equivalentes, am-bos requieren: n divisiones y n multiplicaciones, para preparar el cuadro inicial (ver pág„ 54); (,n- l ) multiplicaciones, por cada nueva componente. Para completar k c ic los se requieren pues, además de n divisiones, el siguiente número de multi-plicaciones: n + k n (n - 1), o sea

(9.16) (k + 1) n2 - k n

Este número de multiplicaciones depende del numero de ciclos, k, necesarios para obtener una buena aproximación; y en muchos casos k e s grande.

En general, él método de Jacobi requiere más c ic los que el método de Gauss-Seidel, para alcanzar la misma aproximación. Lo mismo rige al comparar cualquier método de escalón total con uno de escalón simple (ya que en éste se utiliza inme-diatamente cada componente "corregida" para "mejorar" las restantes componen-tes).

Otro método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones l ineales e s el llamado método de relajación (relaxation method, en inglés)„ También fué descu-bierto por Gauss. Muchos años después fué redescubierto por Southwell, quien le dió popularidad y el nombre actual (para la justificación de dicha denominación pue-de verse [42] págs. 3 - 6) La rapidez de la convergencia y, aún más, la convergen-

5 3 ]

cia y, aún más, la convergencia misma dependen de la habilidad e ingenio del' Cf ll-culador (humano), por lo que no suele considerarse como método adecuado para má-quinas automáticas (o de "programa" rígidamente establecido).

Para resolver, por es té método, el sistema de ecuaciones (9.1), s e empieza

por definir a s i l o s residuos , R2, ...., Rn, correspondientes a l a "solución"

' * n"

~Ri " d i - a u x 1 - a » ...... *ln R3 - d 3 ~ S21 X1 ~ a22 a 2n

~dn - a n l X r flnJ X2 nn

Se arranca con una solución i n i c i a l ^ (generalmente xfo*- x<J>"... - ¿ £ > - 0 ) para la que s e calculan, mediante (9.17), los correspondientes residuos. Luego se van considerando otras soluciones - obtenidas mediante la modificación de una, o varias componentes de la solución alcanzada - que den residuos cada vez menores (en valor absoluto) hasta llegar a residuos muy pequeños, y si e s posible nulos,,

v

De (9.17) s e deduce que si se aumenta x¡ en una unidad, sin variar las o-tras componentes (x't , ....o, x¡ l , , xn ), el residuo Rj disminuye en la cantidad aii . Por ello figura la matriz (transpuesta de A) en la llamada tabla de relajación (relaxation table, en inglés):

Variación de las Componentes Variación de los Residuos

A l Ar Ax A R' A R A R 1 n 1 4 n

1 0 0

0 1 0

0 0 ¿ i

all a 21 anl

ai2 a22 an2

ln 2 n n n

que contiene en cada fila las cifras que indican cuanto disminuyen los diferentes residuos al aumentar en una unidad la correspondiente componente.

El método de relajación e s rápidamente convergente (y por lo tanto eficien-te) si los elementos de la diagonal de A "dominan fuertemente9' a los de sus co-lumnas y f i las respectivas (es decir cuando a,, e s mucho mayor que las a^, a13,..., ' '"> > ®ct i,t > ""> ani > P 0 r a

'"1>2,3, nJJSn tal caso al aumentar xl

en una cantidad próxima á R, , se reducirá R, casi a cero, sin afectar apenas a los otros residuos; y, por otro lado, la modificación posterior de las otras componen-tes no modificará mucho al valor reducido de Rt

[ 54

Incidentalmente, puede observarse que el método de Gauss - Seidel aplica exactamente e s t e procedimiento en forma sucesiva a las variables xl , x¡r...., xn

para volver a empezar por x j , x2 • en el ciclo siguiente; en efecto, de (9.7) y (9.17) s e deduce

,/*+«- JL<dt - an x ^ ^ . - a ^ j t f * aü^>~a¡^1x^r...^¡nx^au *(,«)

-Jh<Ri + au ii H

ya que a e s a s alturas del calculo se está considerando la solución x j k + V, xff* . r( k+1) . f t j . »(• k)

'"' i-i ' Xi ' í + J' n '

La ventaja del método de relajación se deriva del hecho de que en cada una de las etapas del cálculo se tienen a la vista los valores de los diferentes residuos; se puede asf concentrar la atención sobre el residuo máximo (en valor absoluto), procediendo a reducirlo exactamente a cero o siguiendo alguna otra alternativa que (disminuya dicho residuo y que) parezca más deseable que ésta,

£1 método de Gauss- Seidel procede, en cambio, a la reducción (exactamen-te) a cero de los diferentes residuos, en un orden prefijado y cícl ico (precisamente en el orden 1, 2, 3, n, 1, 2, n, 1, 2, 3, .... ).

El hecho de que haya que tomar una decisión en cada etapa del cálculo da gran flexibilidad al método, asf como oportunidad a la persona que calcula para que use su ingenio y su conocimiento del problema especif ico a que se refiera el s iste-ma de ecuaciones, Pero ello representa gran desventaja cuando no e s una persona la que calcula sino una máquina calculadora que obedece las instrucciones sumi -nistradas antes de iniciarse los cálculos.

Como ilustración, aplicaremos el método de relajación al siguiente sistema:

15,033xt + 0,291X3 - l,754x3 - 0,032x4 = 5,067

0,343x, - 8,853x, - 0,817x. + l,268xJ = 7,755

0,199x, + 3,894x ~22,226x, + 0,341xÁ =49,589 1 . 2 3 4

0,080x, - 0,986x - 0,016x. - 5,314x, - 5,283 l 2 3 4

(que e s una versión simplificada del sistema considerado en relación con el mé-todo de Gauss - Seidel)

5 5 ]

A continuación figura la tabla con los correspondientes cálculos:

15 - 9 -22 - 5

R1 R2 R3 R4

15,033 0,343 0,199 0,080

0,291 -8,853 3,894 -0,986

- 0,754-0,817 -22,226 -0,016

A x 2 AX3 &x4 - 0,032 1,268 0,341 -5,314

5,1 7,8 49,6* 5,3

- 2 1,6 6,2* 5,1 5,3

• 1 1,9 - 2 , 6 9,0* 4,3

19 -26 90* 43 10 •I

- 4 12 -29 1 43*

- 8 11,7 -18,8* 3,7 0,5

- 2 11,1* -1,1 - 4 , 1 2,5

1 - 3 , 9 3 -4,53 -4,30 2,42

39,3 - 45,3* -43,0 24,2 10 •2

5 140,7 - 1 , 0 62,5 29,1

- 2 -44,2* - 2,6 18,0 29,1

- 3 0,9 - 1,6 - 18,6 29,3 •

- 5 0,7 4,7 20,3 2,7

- 9 7 47 203* 27 10 •3

- 8,8 39,6* 3,0 26,8

.4 - 7,6 4,2 18,6 22,8*

- 4 - 7 , 7 9,3 20,0 1,5

- 77 93 200* 15 10 4

- 9 - 92,7* 85,6 - 0,0 14,8

- 6 - 2,5 87,6* 1,2 15,3

- 10 - 20,0 - 0,9 40,1* 5,4

- 2 - 23,5* 2,5 - 4 , 4 5,4

- 1 - 8,5 2,2 - 4 , 6 5,3

- 85* 22 - 4 6 53 ío- 5

- 6 - 5,2 24,0 -44,8 53,5*

- 10 - 5,5 36,7 -41,4* 0,4

2 - 2,0 38,3* 3,1 0,4

- 4 - 0,8 2,9 18,7 -3,5

Se considera la solución inicial xj® = xj¡°) «= = x<0i = 0 por lo que los primeros residuos (5,1; 7,8; 49,6; 5,3) son, simplemente, los segundos miembros de las respectivas ecuaciones (redondeadas a un sólo decimal).

Las cifras que aparecen, dentro de circuios, encima de la tabla de relaja-ción son (15, - 9, -22, -5) los elementos de la diagonal de A (redondeados) que s e

[ 5 6

utilizan para calcular los

' a i i

En cada etapa, aparece señalado con un asterisco el mayor de los residuos.

Cuando todos estos son pequeños se multiplican por una potencia apropiada de diez (que se indica a la derecha), por lo cual sólo se utilizan valores enteros para los

La solución e s en este caso:

x - 0 + 1x10 1 - 3x10 2 + OxlO'3 - 7x10 * - 6xl0'5 - 0,06924

x =- 1 + 2x10-*+ 5xl0-2- 4x10-3 -10x10-4 _ 4*10-5 = 0,75504

x =- 2 * 4x1o1- 2xl0~2 - 9x19 -3 - Uxlo-4 + 2xlfr<¡ = 2,43008

x = 0-8x10 1-5x10-2-4x10-3+ OxlO 4 - 10x10'5 = 0,85410

(No representa una buena aproximación como puede verse por comparación con la solución obtenida por el método de Gauss - Seidel.)

Consideramos ahora otro método iterativo basado en un desarrollo en serie de potencias de matrices. Nos re ferimos a una de las llamadas series de Neumann (*) (ver [10], pág. 93), en concreto a la serie geométrica matricial:

(9.18) (I -O)'1- I + C + C2+....+ Ck+

que constituye una generalización de la serie geométrica numérica:

(9.19) (1 - c)-1 = 1 +c +c2 + + c* +

[Es bien sabido que: La serie (9.19) converge si el valor absoluto del número c e s inferior a uno. Una serie matricial converge, si son convergentes todas las s e -ries numéricas correspondientes a cada uno de los elementos de la matriz cuadra-da C. La serie (9.18) converge si los módulos de todas las raíces características o valores propios (**) (latent roots, characteristic roots, eigenvalues; en inglés) de C son menores que uno. ]

Dado el sistema de ecuaciones

(9.20) Ax = d

(de acuerdo con las ideas desarrolladas en [32] págs. 238 - 239 y en [5]) suponemos que la matriz A no-singular puede expresarse asi:

(9.21) A = E - H,

donde E e s una matriz no - singular y "fácilmente" invertible.

( * ) M a t e m á t i c o a l e m p n n a c i d o e n 1 7 9 8 y m u e r t o e n 1 8 9 5 .

( * * ) C i t a e n p á g i n a s i g u i e n t e .

De (9.20) y de (9.21) se deduce

(9.22) x ~ A'1 d * (E -R)'1 d-lEd-E'Wd "(l - F ' f l J 1 Fld

Si consideramos ahora la matriz cuadrada F y el vector t ," définidos así:

F - E'lH , t «5 E"1 d

podemos escribir (9.22) en la forma

(9.23) x - ( I - F ) - ' t

y de acuerdo con (9.18)

(9.24) x-O + F + F*^..... + F* + ; t

siempre que la serie sea convergente.

De (9.24) se deduce un procedimiento iterativo para obtener la solución del sistema de ecuaciones (9.20). Consiste en tomar como sucesivas aproximaciones

(9.25)

*0)-t

XV~(l + F)t

x<3>~ (¡ + F + F3 )t • . . . i

x<k)-(l + F + F' +

' ; • J i'

Las fórmulas (9.25) pueden escribirse as í

3f 1> -Fxf°>+i

- F xf*) + t

** 1>m r«te«s o«rneUrf«Meit« 4» C «en U» rafett d* 1« *i(ut«nl* «eutoión • » Ai

°tt ' * ""

c - x / .

"u

c n í ®ní On

para más detallé«, ver, por ejemplo [22] p á p . 64 • 8Z

[ 5 8

y, en general, se tiene la fórmula recurrente

(9.26)

Si, en lugar del sistema de ecuaciones (9.20), se considera la relación matricial

(9.27) AX-I

donde X es, evidentemente, la matriz inversa de A, es decir X = A'1. Se tiene si-guiendo los mismos pasos:

X = A'1! - (E-H)'1! - \.Ea-E-1H)Yll'(I -E1 H)-1^1!

y siendo ahora

T - E'1 / - E'1

(9.28) X = (l~F)-x r = T/ + F + F 2i + Fk ,+ ) T

de donde se obtienen las siguientes aproximaciones sucesivas de la inversa de A

Xf°> = T

X(1) = f/ + F)T

(9.29) m (1 + F + F2 )T

o bien

= (l + F + F2 + + Fk ) T

#0)= T

P - f í ^ T

X(2> =F Jtf^+T

y, en general

(9.30J F X(k)+ T

En el caso particular de que A sea una matriz de Leontieí (A = / - C, dón-de C es la matriz de coeficientes técnicos) y d es el vector de demanda final, tenemos

E = l,H = C,F=E:',H - r 1 C = / C = C,f "Emld'lml d = l d'd,T"Eml'f1 =/

5 9 ]

con lo que (9.26) s e reduce a

(9.31) xf*+i)-C d (con la solución inicial **>" d)

y (9.30) se reduce a

(9.32) CX(k)+/ (con la solución inicial X«»- l )

Las fórtnulás (9 .3Í /s irven para calcular, por un método iterativo, sucesi -vas aproximaciones del eflujo x requerido (de las "industrias" de un modelo de Leontief de matriz de coeficientes Capara satisfacer una demanda final d. Las fórmulas (9.32) sirven para caléular, por un método iterativo, sucesivas aproxima-ciones de la inversa de la matriz de Leontief, (I - C ) mediante la cual pueden lue-go calcularse lo s eflujos , x3,x3. . . . requeridos para satisfacer las diferentes demandas finales dt, d3, d3, .»>««)>

Estos métodos han sido denominados de varias maneras y descubiertos más de tina vez:

Waugh dice (ver [46], pág. 146 publicado en Í9S0) que dichos métodos "han sido utilizados en algunos estudios de Bureau of Labor Statistics". Holley afirma (ver [28], pág. 621, publicado en; 1952) que "esteprocedimiento e s conocido como procedimiento iterativo del Bureau of Labor Statistics y fue propuesto originalmen-te (al menos en lo que él autor - e s decir, Holléy - sabe) por jeróme Cornfield du-rante su trabajo en dicha oficina (*). Solow dice ( ver [43\, pág. 32; publicado en 1952) que dicho procedimiento de iteración " s e debe a Cornfield y sus colaborado-res" y s e refiere a un trabajo mimeografiado del U. S* Bureau of Labor Statistics no publicado, en aquella fecha. Evans menciona es te procedimiento de cálculo (ver [15], pág. 462; publicado jen 1954) como "método de cálculo por desarrollo itera-tivo de potencias" (**) y afirma que dicho método s e ha utilizado désde 1944 en análisis basados en el modelo de Leontief. Evans presenta además (en la misma página)elirfl30iiami«ntóíec<^^^ aplicación del método (y que coin-cide con la justificación del método dada por Ochsenius, ver lo que sigue). Según él fué este razonamiento (y no consideraciones de naturaleza matemática) el que sugirió la primera aplicación de es te método iterativo a los anális is de influjo -eflujo. Vuskovic sin embargo; (ver [45], pág. 21, nota pié de página; publicado en 1956) indica que el procedimiento fué ideado (desarrollado) por Victor Ochsenius (***). Dorfman, Samuelson y.Solow s e refieren al mismo procedimiento iterativo (ver [12], p$g. 253; publicado en 1958) con la denominación de "Cornfield - X-eon-tief multiplier process".

* El origin«1 Inglia die« a»i: "TM» procedure ia known a« the Bureau of Labor Statistic« iterative procedure, «(fed it wa» flret propoaed (aa l§r aa the wrjter ia aware) by Jerome Cornfield during hia aaaofiation with the Bureau*'. ** En ingliai "Method of computation,by iterative ezpaneion in poqrera". •** En inglia dice aai: "The method to be described wae worked out by Vlptor Qchaaniua, and waa originally applied to the matrl* contained In th« chapter on in dm try in the atudy on •Th» Economic Devlopmant ol Colomblt,

[ 6 0

Pero en realidad dicho método iterativo no es sino un caso muy particular del método de Richardson que apareció publicado en Inglaterra el año 1910 (ver [52J, pág. 286 y 297). Esta ascendencia del método no ha sido destacada previamen-te porque, según Young (ver [52], pág. 290), el método de Richardson "parece haber sido poco usado hasta fecha reciente" (la fecha, a que se refiere, 1956).

Obsérvese que el método iterativo de Cornfield - Leontief es un método de "escalón total "(como el método G ya considerado) y por lo tanto menos eficiente que un mé-todo de^'escalón simple" como el método de Gauss - Seidel.

Dedicaremos ahora un mínimo de espacio a una familia de métodos iterati-vos que incluye, como casos particulares, a todos los métodos iterativos que ya he-mos presentado, con la sola excepción del método de relajación; comprende además otros muchos métodos iterativos que no hemos mencionado. Nos referimos a los lla-mados métodos iterativos lineales de primer grado (ver [51]). Su fórmula general pa-ra resolver el sistema de ecuaciones Ax =d e s

(9.33) Mk Nk x<k> - d

donde x(°)es una solución inicial arbitraria y Nk , Mk son matrices cuadradas del mismo orden que A y tales que

(9.34) Mk +Nk = A

Comparando (9.8) y (9.9) con (9.33) y (9.34) s e ve que el método de Gauss-Seidel e s el caso particular que corresponde a

Mk-B,Nk-C (para k - 1, 2, 3, )

Comparando (9.13) y (9.14) con (9.33) y (9.34) s e ve que el método de Ja-cobi es el caso particular que corresponde a

Mk -D, Nk -E (para k- 1, 2, 3, )

Comparando (9.32) y A = I-C con (9.33) y (9.34) se ve que el método de Cornfield - Leontief es el caso particular que corresponde a

Mk~l>Nk~~C (Para k = 2> * i

Finalmente nos referiremos, simplemente a la existencia de otros muchos métodos iterativos tales como el método de gradientes conjugados (method of con-júgate gradients, en inglés), el método de descenso máximo (method of steepest descent, en inglés), el método de ortogonalización (method of orthogonalization.en inglés), etc<, Para el estudio de dichos métodos ver, por ejemplo [30], págs. 44 - 65; [4], págs, 428 - 480; [S], págs. 59 - 72 - 83 - 102 - 127 - 176, 283 - 298.

Por último, mencionaremos el método de Hotelling Bodewing (ver [30], págs. 56 - 57; [22], págs. 120 - 121; [46], final de pág. 149 y principio de pág* 150; [5] , principio de pág. 157; [4], págs. 394-395) como ejemplo de método iterativo "cua-drático" (en vez de "l ineal" como los anteriores). Si se trata de obtener la inversa

6 1 ]

de la matriz A, s e parte de una "solución inicial" se calículan aproximacio-nes sucesivas mediante las fórmulas

*Tk+ -0= X<*>(2I - AX(k>)

Puede observarse que si A es de orden n, cada iteración con el método de Hote -Uing- Bodewing requiere 2n3 multiplicaciones (n3 para el producto de Xk> por (2 / --- AX (k)y n3 para el producto de A por X(k>)

10. Métodos Monté Cério

El pintoresco nombre de método Monte Cario (en recuerdo del famoso casi-no) fué propuesto por J. yon Neumánn y S. Ulam, durante l'enúl tima guerra mundial, como denominación de un procedimiento de cálculo numérico utilizado en Los Ala-mos en relación con el diseño de la bomba atómica. Rápidamente adquirieron gran popularidad tanto el nombre como el método, como lo revela la abundante bibliogra-fía producida y las variadas as í como numerosas aplicaciones (ver [35], y [4], págs. 279-303). Hace unos ocho aftos (ver [35], pág. 4) se descubrió la posibilidad de a-plicar este procedimiento a la inversión de matrices y Solución de sistemas de ecua-ciones. Hasta ahora no se ha llegado a una evaluación,aceptada por todos, sobre la eficiencia del método frente a las alternativas constituidas por los métodos di-rectos e iterativos. (Un esfuerzo en dicho sentido puede verse en [35], págs. 191-233). Parece que el método Monte Cario sería sólo recomendable en el caso de que n (orden de la matriz o número de ecuaciones y de incógnitas) sea muy grande y se disponga además de una calculadora electrónica. En esencia el método consiste en lo siguiente:

Se trata de invertir la matriz / - C , donde, ct¡> 0 (por ejemplo, una matriz de Leontief) y se considera el desarrollo en serie

(10.1) ( I + C + C + C5,+

Si representamos por t al elemento típico de la matriz inversa (es decir si (I • C) - [t^ ]) y si representamos por cfk> a los elementos correspondientes en las diferentes potencias de C que figuran como sumandos, se tiene

(10.2) t¡¡ .C<f + + ct» + - l o c u

donde

cfjV- cn y cf^' 1 o 0 (según que i - j o i • ¡X

Para cada c^ se eligen números z y p mediante los que se obtienen los , p(*> tales que

W Pn - ' pf)° > 0 Y J / f V - 1

y se considera la variable aleatoria £ cuya distribución se define mediante

[ 6 2

Probabilidad de (<f¿/ = k) =pj<;fc-) (para k = 0, 1. 2, 3, )

Dicha variable tiene un valor medio teórico (o esperanza matemática) igual al va-lor buscado t^

En la práctica, se realiza una serie de m repeticiones independientes de un experimento aleatorio (muestreo experimental) mediante el uso de una tabla de números aleatorios(random numbers, en inglés) obteniéndose m valores experimen-tales de la variable aleatoria £ . La media aritmética de dichos m valores, da ¡i una buena "estimación" de la media teórica de (y por tanto de t¡j ), sin m e s un número grande.

11, Conclusiones

Centraremos nuestras consideraciones finales alrededor de los tres proble-mas siguientes:

a) método más conveniente (e f icaz) para la inversión de 1 a matriz de Leon-tief (a fin de poder con ella calcular los eflujos requeridos de las "industrias" del sistema que satisfagan a varias demandas finales alternativas),

b) método más conveniente (eficaz) para resolver un sistema de ecuaciones de Leontief (para determinar el eflújo requerido de las industrias del sistema que satisfaga una determinada demanda final),

c) acumulación de errores de redondeo,

d) instrumentos de cálculo requeridos (calculadoras de sobremesa o calcu-•j

ladoras electrónicas).

En relación con el punto a) no hay duda de que los métodos directos son los más ef icaces , por requerir menor número de operaciones Evans expresa muy claramente (ver [26]) la desventaja de ios métodos iterativos, al criticar el traba-jo de Berger y Saibel titulado "Power Series Inversión of theLeontief Matrix"(ver [5]J : empieza diciendo: "parecerían necesarios algunos comentarios por si di-cho trabajo tentase a alguien a invertir por métodos iterativos una matriz de Leon-tief de dimensión razonable"; más adelante affade: "la experiencia ha demostra-do que los métodos iterativos son muy ineficientes en la inversión de grandes ma-trices de Leontief". Replicando a las críticas, (ver [6]), Berger reconoce tal ine-ficiencia al afirmar: "Es.elemental que la inversión de una matriz por un método directo requiere menos multiplicaciones que las exigidas por métodos basados en series de potencias". Pues bien, los métodos directos más ef icaces son el de Gauss y el de Jordán. Ambos requieren el mismo número de operaciones ( n 3 ~ n) multipli-caciones. Por las consideraciones que hicimos al discutir la inversión de matri-c e s por estos dos métodos, nos inclinamos decididamente a recomendar el método de Jordán.

Con referencia al punto b) los métodos directos no siempre son más efica-ces que los iterativos. Se ha observado (ver [12]"pág. 264) que reordenando ade-cuadamente las "industrias" del sistema de Leontief se puede conseguir que,en la práctica, la matriz de transacciones, X, (y por lo tanto la de coeficientes téc-nicos, C, y la de Leontief, I - C) sea casi triangular (inferior), en el sentido de

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que son próximos a cero todos los elementos que aparecen por encima y a la dere-cha de la diagonal. Hecha esta reordenacion de "industrias" (es decir de ecua -ciones e incógnitas) puede aplicarse con ventaja el método iterativo de Gauss Sei-del.

Frente a lo recomendado en [45], está la opinión de Evans que afirma (ver \_16\) lo siguiente; "Excepto en circunstancias especiales , el método de Gauss Seidel (más rápidamente convergente) es mejor que el procedimiento basado en el desarrollo en serie".

En lo que se refiere al punto c) puede decirse que s i bien ha existido cier -ta preocupación por la posibilidad de que los métodos directos de cálculo pudieran originar acumulación de errores de redondeo que invalidasen total o grandemente los resultados, tal problema carece en absoluto de importancia cuando se trata de la inversión de matrices de Leontief, En Vl2], pág. 264, Dorfman, Samuelson y So low destacan la circunstancia de que la resolución de los sistemas de Leontief es extraordinariamente inmune a la aopmulacióh de errores de redondeo. Evans (ver [16]) menciona el hecho de que cierto numero de matrices de Leontief de orden 200 ya hán sido invertidas por procedimientos directos sin haber tropezado con dificul-tades en cuanto a los errores de redondeo se refiere. Para un análisis más detalla-do de este asunto ver» [25].

En relación con el punto d), las opiniones deben referirse a ciertos datos fundamentales tales como el tamaSo del problema (orden de la matriz que se desea invertir, número de ecuaciones y de incógnitas) y el plazo o tiempo requerido o dis ponible. Es claro que cuanto menor sea la eficacia (velocidad y capacidad) del ins trumento de cálculo utilizado,, mayor ha de ser la preocupación por ía ef icacia del método de cálculo» Por ello no creemos que el conocido y poco eficaz procedimien-to iterativo recomendado en [45], pág. 21, sea la mejor solución ante la falta de una calculadora electrónica. ¡Creemos, en cambio, que con calculadoras de sobremesa corrientes(Friden, Marchant, etc . ) y el método de Jordán, se pueden invertk eficien-temente matrices de Leontief cuyo orden no sea mayor que 50. (Y no tenemos noti-cia de haberse considerado, hasta ahora, en América Latina matrices de Leontief con más de 50 "industrias".) La inversión de una matriz de orden n, por el método de Jordán, requiere (aproximadamente) el triple de multiplicaciones (y por lo tanto de tiempo) que la resolución, por el método de Gauss, de un sistema de n ecuacio-nes (n3 frente a n 3 / 3 ), de la tabla que figura al principio de la pág, 23, se dedu-ce que para invertir una matriz de Leontief con 50 "industrias", un solo operador (con su calculadora de sobremesa) empleariáunos8meses,pero tambnén podaa realizar-se el trabajo de inversión en sólo 2 meses empleando un equipo de cuatro operado-res (con sus respectivas calculadoras de sobremesa). Compartimos, sin duda, la opinión expresada por Dorfman, Samuelson y Solow (ver [12], pág. 264) cuando di -cen que para la inversión de matrices de Leontief de orden mayor que 50 conviene disponer de una calculadora electrónica.

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INDICE

1„ Resumen Historico 1 2„ Definición de Matriz 1 3. Principales tipos de Matrices, 4 4o Operaciones Algebraicas Fundamentales 6 5 Sistemas de ecuaciones l ineales 14 6 Modelo de Leontief 16 7o Resolución de sistemas e Inversión de Matrices 18 8 Mfetodos directos 22 9 Métodos iterativos 46

10. Métodos Monte Cario 62 1L Conclusiones 63 12 Bibliografía 65

Indice

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Santiago de Chile 1962