Click here to load reader

SOAL-JAWAB MATEMATIKA SAINTEK PEMBAHASAN SBMPTN · PDF fileSOAL-JAWAB MATEMATIKA SAINTEK PEMBAHASAN SBMPTN Soal 1 Diketahui dua lingkaran berpusat di titik O(0,0) berjari-jari r dan

  • View
    410

  • Download
    25

Embed Size (px)

Text of SOAL-JAWAB MATEMATIKA SAINTEK PEMBAHASAN SBMPTN · PDF fileSOAL-JAWAB MATEMATIKA SAINTEK...

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 1

SOAL-JAWAB MATEMATIKA SAINTEK

PEMBAHASAN SBMPTN

Soal 1

Diketahui dua lingkaran berpusat di titik O(0,0) berjari-jari r dan R dengan r < R.

Sebuah garis menyinggung lingkaran dalam di titik E dan memotong lingkaran luar di

titik P. Jika diketahui selisih luas antara lingkaran luar dan lingkaran dalam 36 dan

60EOP , maka persamaan lingkaran luar adalah.

Jawab:

Perhatikan gambar berikut!

Dari informasi selisih luas = 36 , maka

3622 rR

3622 rR ... (1)

Karena garis PE menyinggung lingkaran

dalam, maka 90OEP (siku-

siku).

Dari informasi 60EOP , maka

OP

OEEOP cos

Maka R

r60cos

R

r

2

1 Rr

2

1 . (2)

Substitusi (2) ke (1), kita peroleh:

362

12

2

RR

364

1 22 RR

364

3 2 R 483

4362 R .

Dengan demikian persaman lingkaran luarnya adalah:

222 Ryx .48

22 yx

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 2

Soal 2

Misalkan segitiga ABC adalah segitiga siku-siku pada titik C. Jika panjang sisi di hadapan

titik A, B, C berturut-turut adalah a, b, c maka cos 2A = .

Jawab:

AAA22 sincos2cos

22

c

a

c

b

2

2

2

2 c

a

c

b

2

22

c

ab

Ada juga ya soal

SBMPTN yang simpel..

Soal 3

Fungsi xxxxf sectansec)(2 untuk 20 x ,

2

x dan

2

3x

naik pada interval..

Jawab:

Fungsi )(xf naik saat 0)( xf .

Perhatikan bahwa:

Jika nUxy 2sec maka UnUy

n .1

xxxxx2sectan2sec.tan.sec2 .

Jika vuxxy .sec.tan maka '' uvvuy

xxxxx sec.tan.tansec.sec2

xxx sec.tansec23

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 3

Karena xxxxf sectansec)(2 , maka untuk bagian naik,

0)( xf

0)sectan(secsec.tan2232 xxxxx

0)tansectan2(sec22 xxxx

0)tantan1tan2(sec22 xxxx

(sebab xx22 tan1sec )

0)tan21tan2(sec2 xxx

0)1tan2tan2(sec2 xxx ..(*)

Bentuk )1tan2tan2(2 xx adalah definit postif karena Diskriminannya:

04841.2.4)2(422 acbD .

Sehingga (*) menjadi:

0sec x

0sec x

0cos

1

x

Fungsi cos bernilai negatif pada kuadran II dan III, yakni pada interval 2

3

2

x .

Jadi, fungsi )(xf naik pada interval 2

3

2

x .

Soal 4

Jika titik (a, b) dicerminkan terhadap garis y = x 1 menjadi titik (c, d), maka 2c + d = .

(nyatakan dalam a dan b !)

Jawab:

Wah rumus pencerminan terhadap garis y = x 1 tidaklah terkenal, dan kebanyakan

orang tidak hafal!! Tapi soal ini bisa kita kerjakan dengan ide sebagai berikut:

Geser titik P(a, b) dan garis y = x 1, masing-masing digeser satu satuan ke kiri,

sehingga menjadi titik Q dan garis y = x. Lalu titik Q ini dicerminkan terhadap garis

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 4

y = x, bayangannya kita namakan Q. Lalu titik Q ini kita geser satu satuan ke kanan,

menjadi P. Nah, P inilah bayangan titik P jika dicerminkan terhadap garis y = x 1.

Perhatikan koordinatnya:

Titik P(a, b) digeser satu satuan ke kiri, menghasilkan titik Q(a 1, b).

Titik Q(a 1, b) dicerminkan terhadap garis y = x menghasilkan titik Q(b, a 1)

(Ingat pencerminan terhadap garis y=x memenuhi: (x, y) (y, x))

Lalu titik Q(b, a 1) digeser satu satuan ke kanan menjadi P(b + 1, a 1).

Titik P ini pada soal berkoordinat (c, d) maka:

P = (c, d) = (b + 1, a 1).

Sehingga c = b + 1 dan d = a 1.

Jadi, 2c + d = 2(b + 1) + (a 1) =2b + 2 + a 1 = a + 2b + 1.

Soal 5

Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik M berada pada rusuk AD sedemikian sehingga AM :

MD = 1 : 2. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga CN : ND = 1 : 2. Titik P

berada pada rusuk DH sedemikian sehingga DP : PH = 2 : 1. Jika adalah sudut antara

bidang MNP dan bidang ACGE, maka nilai sin

Hmmm, ide ini

sepertinya cukup

menarik .

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 5

Jawab:

Karena pada gambar di atas, bidang MNP tidak berpotongan langsung dengan bidang

ACGE, maka untuk menentukan sudut antara bidang MNP dengan bidang ACGE, ganti

saja bidang MNP dengan bidang lain yang sejajar dengannya, dalam kasus ini kita ganti

dengan bidang ACH. Bidang ACH adalah bidang yang sejajar dengan bidang MNP. (Ingat

bahwa titik-titik M, N, dan P membagi rusuk-rusuk kubus terkait dengan perbandingan

yang sama yaitu 1 : 2).

Jadi, sudut antara bidang MNP dengan bidang ACGE

= sudut antara bidang ACH dengan bidang ACGE = HOR .

(disini O adalah pusat bidang ABCD dan R adalah pusat bidang EFGH)

Maka

OH

HRsin .. (1)

Misal panjang rusuk kubus = r, maka:

22

1

2

1rHFHR

dan

222

222

4

22

2

1rrrrROHROH

62

1

4

6 2 rr

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 6

Substitusi nilai-nilai ini ke persamaan (1), maka:

33

1

3

1

6

2sin

2121

r

r.

Soal 6

Diketahui sisa pembagian suku banyak )()( xgxf oleh 22 xx adalah x , sisa

pembagian )()( xgxf oleh 232 xx adalah 1x , maka sisa pembagian

22 ))(())(( xgxf oleh 1x adalah.

Jawab:

Karena sisa pembagian suku banyak )()( xgxf oleh 22 xx adalah x , maka

dapat kita tuliz:

xxhxxxgxf )()2()()(2

Masukkan x = 1,

1)1()211()1()1(2 hgf

1)1(.0 h

1

Di lain pihak, karena sisa pembagian )()( xgxf oleh 232 xx adalah 1x ,

maka dapat kita tuliz:

)1()()23()()(2 xxHxxxgxf

Masukkan x = 1 ,

)11()1()21.31()1()1(2 Hgf

2)1(.0 H

2

Sekarang, jika 22 ))(())(( xgxf dibagi oleh 1x , misalkan sisanya = C. Kita

tuliz:

Cxhxxgxf )(~

)1())(())(( 22

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 7

Masukkan x = 1,

Chgf )1(~

)11())1(())1(( 22

Ch )1(~

0

C

Jadi untuk mencari C, kita perlu menghitung 22 ))1(())1(( gf . Caranya??

Perhatikan yang berikut ini:

222 ))1(()1()1(2))1(())1()1(( ggffgf

222 ))1(()1()1(2))1(())1()1(( ggffgf

2222 ))1((2))1((2))1()1(())1()1(( gfgfgf

22

22

))1(())1((2

))1()1(())1()1((gf

gfgf

C

2

)1()2( 22

2

5 C

Jadi, sisanya = 5/2.

Soal 7

Grafik

xxy

9

13 1 berada di bawah grafik 13

xy jika.

Jawab:

Grafik

xxy

9

13 1 berada di bawah grafik 13

xy jika:

139

13 1

x

xx

+

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 8

133

13.3

2 x

xx

0133

13.3

2 x

xx

013

1)13(3

2

xx

013

12.3

2

xx

Samakan penyebut, sehingga menjadi

03

313.2.32

22

x

xxx

03

313.22

23

x

xx

Misalkan xp 3 , maka pertidaksamaan menjadi

0122

23

p

pp

012

2

23

p

pp

Karena p = 1 adalah pembuat nol bentuk 1223 pp , maka 12

23 pp habis

dibagi p 1, sehingga dapat difaktorkan. Yuk kita bagi sekarang!!

12

0

)( 11

)(

1

)( 22

121

2

2

2

23

23

pp

p p

pp

p

pp

ppp

Ayuuuuuukk.

Ayuuuuuukk..

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 9

Dari pembagian di atas, kita dapatkan

)12)(1(12223 ppppp

Sehingga pertidaksamaan menjadi:

0)12)(1(

2

2

p