SOAL DAN SOLUSI KOMPETISI SAINS NASIONAL TINGKAT …

MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR) 083831611481

SOAL DAN SOLUSI

KOMPETISI SAINS NASIONAL TINGKAT KOTA 2021

BIDANG MATEMATIKA SMA

MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)

SURABAYA

2021


KEMAPUAN DASAR

1. Misalkan 𝑢1, 𝑢2, dan 𝑢3 barisan aritmatika dengan suku-suku bilangan real positif,

jika 𝑢1 + 𝑢2

𝑢3=

21

41, maka nilai dari

𝑢2 + 𝑢3

𝑢1 adalah ….

2. Koefisien dari 𝑥8 dari ekspansi (1 + 𝑥) (2 + 𝑥²) (3 + 𝑥3) (4 + 𝑥4) (5 + 𝑥5) adalah...

3. Jika 𝑓(𝑥) adalah fungsi yang memenuhi

(𝑥 + 1)𝑓(−𝑥) + (1 − 𝑥

5𝑥) 𝑓 (

1

𝑥) =

100(𝑥2 + 5)

𝑥

Maka hitunglah 𝑓(2) + 𝑓(3) + ⋯ + 𝑓(500).

4. Jika bilangan bulat positif A dan B dibagi oleh 7 sisanya berturut-turut adalah 3 dan 4 maka sisa

pembagian A(A+1)+7B oleh 49 adalah...


5. Bilangan asli 𝑛 dikatakan menarik jika ada polinom tak konstan 𝑝(𝑥) dengan koefisien bilangan

bulat yang memenuhi 𝑝(10) = 2021, 𝑝(𝑛) = 2057. Tentukan banyaknya bilangan prima 𝑛 menarik.

6. Sebuah persegi panjang dibagi menjadi 2 persegi, dengan panjang sisi 9 seperti pada gambar.

Hitunglah luas daerah yang diarsir.

7. Segiiempat talibusur ABCD dengan lingkaran yang melaluinya berjari-jari 𝑟. Jika AB= 10, CD = 4,

perpanjangan AB dan CD berpotongan di P, BP = 6, dan sudut DPA = 60°, maka 𝑟2 = ⋯


8. Jika m=12345678910111213....998999, maka digitke 2020, 2021, dan 2022 dari m adalah ....

9. Ada 6 pasang suami isteri, akan dipilih 6 orang sehingga banyaknya pasangan suami isteri yang

terpilih maksimal 1, tentukan banyaknya cara memilih.


10. Pada segitiga, AB > AC, garis bagi sudut A memotong BC di D. E pada AC, F pada AB sehingga DE

sejajar AB, DF sejajar AC. Lingkaran luar BCE memotong AB di K, luas CDE = 75, luas DEF = 95, maka

luas DEKF = ....


KEMAMPUAN LANJUT

11. Tentukan bilangan asli 𝑎 > 1 sedemikian hingga jumlah solusi real 𝑥 dari persamaan

⌊𝑥⌋2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎 = 0

adalah 61.

12. Diberikan 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 real sehingga |𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐| ≤ 1 untuk setiap 0 ≤ 𝑥 ≤ 1. Nilai maksimum dari

22𝑎 + 21𝑏 + 20𝑐 adalah...

13. Misalkan 𝑥, 𝑦, 𝑧 bilangan asli yang memenuhi

𝑥2 + (𝑦 + 2)𝑥 + (𝑛 + 1)𝑦 = 𝑛2 + 246

Tentukan nilai maksimum dari 𝑦.


14. Jika dua digit terakhir dari 𝑎777 adalah 57, maka dua digit terakhir dari a adalah....

15. Difenisikan 𝑎𝑛 = 𝑛2 + 21𝑛 + 𝑏, untuk 𝑛 = 1, 2, 3, …. Carilah bilangan ganjil terbesar 𝑏 sehingga

FPB (𝑎𝑛, 𝑎𝑛+1) = FPB(𝑎𝑛+1, 𝑎𝑛+2) untuk setiap bilangan asli 𝑛.

16. Banyaknya barisan ternary (terdiri dar 0, 1, atau 2) dengan 15 unsur dan lima angka 0 serta diantara

angka dua angka 0 terdapat setidaknya 2 bilangan yang lain adalah....


17. Banyaknya fungsi dari A = {1, 2, 3, 4, 5} ke B = {6, 7, 8, 9, 10} dengan 9 dan 10 merupakan prapeta

(ada 𝑥 dan y di A sehingga 𝑓(𝑥) = 9 dan 𝑓(𝑦) = 10) adalah....

18. Maksimal banyaknya ubin 3 x 1 yang dapat diletakkan pada papan 109 x 21 sehingga :

a. Tidak ada ubin yang saling menumpuk, dan

b. Tidak ada dua ubin yang bersebelahan (tidak ada dua ubin yang memiliki titik persekutuan)

adalah....


19. Pada segitiga ABC, AB = 6, BC = 7, CA = 8 . Titik garis bagi segitiga ABC adalah L, maka AL²=....

20. Diberikan segitiga siku-siku dengan sudut ACB = 90°, dibuat setengan lingkaran 𝑤1dengan titik

pusat terletak pada BC sehingga 𝑤1 menyinggung AC dan AB. Titik D dan E berturut-turut terletak

pada AB dan AC sehingga DE sejajar BC. Dibuat setengah lingkaran 𝑤2 dengan pusat terletak pada AE

sehingga 𝑤2menyinggung AD dan DE. Dibuat setengah lingkaran 𝑤3dengan titik pusat pada CE

sehingga 𝑤3menyinggung DE dan 𝑤1. Jika 2AC + 5BC = 5AB dan perbandingan jari-jari 𝑤2 dan

𝑤3dapat dinyaatakan dalam 𝑘 ∶ 25, nilai dari 𝑘 adalah.....


Documents

SOAL DAN SOLUSI KOMPETISI SAINS NASIONAL TINGKAT …