Statistinis modeliavimas ir analiz

Doc. Kstutis ilinskas

Informatikos katedra

iauli universitetas

2013

3. SVEIKASKAIIAI ATSITIKTINIAI DYDIAI

3.1. Bernulio skirstinys

Bernulio bandymai yra kertin tikimybi teorijos schema.

Bernulio bandymai gali pasibaigti tik dviem vykiais, kuri tikimybs,

kartojant bandymus, lieka tos paios. Taigi, atsitiktinis Bernulio dydis

gyja dvi reikmes 1x ir 2x su tikimybmis atitinkamai 1p ir 2p . Kadangi

121 pp pagal pilnos tikimybs dsn (2.9), tai galima paymti pp 1 ,

pp 12 . Paprastumo dlei tarkime, kad 11 x , 02 x . Kartais reikm

11 x vadinama skmingu bandymu, o 02 x neskmingu. Bernulio

skirstin galime urayti tokiu bdu:

.1,1

,10,1

,0,,0

)Pr()(

Xjei

Xjeip

jeiX

xXxF (3.1)

3.1 pav. Bernulio skirstinio tikimybs

p=0.25

00.20.40.60.81

0 1

k

pk

Vidurkis, dispersija bei treiasis momentas gaunami pagal formules

(2.16), (2.19):

pEX , (3.2)

)1(2 ppXD , (3.3)

)21()1(3 pppX . (3.4)

Paprastai Bernulio atsitiktiniam dydiui taikomas vykiui, su tam

tikromis tikimybms gyjaniam tik dvi skirtingas reikmes, modeliuoti.

Pavyzdiui, metant monet, gali ikristi skaiius arba herbas.

Bernulio bandym modelis ypa svarbus vertinant vairi vyki

tikimybes statistinio modeliavimo bdu, kai Bernulio atsitiktinis dydis

gyja reikm 1 arba 0, priklausomai nuo to, ar vykis vyko arba ne.

Su Bernulio bandym schema susij daugelis tikimybini skirstini:

binominis, geometrinis, neigiamas binominis ir kt.

3.2. Binominis skirstinys

Binominis skirstinys nusako, kiek kart vyksta vykis 11 x , jei

Bernulio bandymus kartotume kelet kart. Tikimyb, kad pakartojus

bandymus n kart, skmingas vykis vyks k kart, nusakoma formule.

knkk

n ppCkX )1()Pr( , (3.5)

ia p tikimyb vykti vykiui 11 x , atlikus vien bandym, 10 p . i

tikimyb vadinama binominio skirstinio parametru. Galim binominio

atsitiktinio dydio reikmi aib yra }...,,2,1,0{ n .

3.2 pav. Binominio skirstinio tikimybs

p=0.25, n=10

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k

pk

I Niutono binomo formuls iplaukia skleidinys

1)1()1(8

nn

k

knkk

n ppppC .

i kurio matyti, jog tikimybs (3.5) tenkina pilnos tikimybs

formul. I ia kilo io skirstinio pavadinimas.

Binominio dsnio skirstinys:

][

0

)1()Pr()(z

z

znzz

n ppCxXxF

ia ir toliau [x] ymi sveikj skaiiaus x dal.

Pastebsime, kad binominis atsitiktinis dydis yra keli

nepriklausom Bernulio dydi suma.

pnEX , (3.6)

)1(2 ppnXD . (3.7)

)21()1()( 33 pppnpnXEX . (3.8)

Pasinaudojus tuo, kad binominis atsitiktinis dydis yra keli

Bernulio dydi suma, jo skirstiniui apytikriai apskaiiuoti galima

pritaikyti normalj skirstin, jei n pakankamai didelis (r. skyri 9)

3.3. Geometrinis skirstinys

Atsitiktinis diskretusis dydis X, gyjantis reikmes i sveikj skaii

aibs ...},,...,2,1,0{ k , yra pasiskirsts pagal geometrin dsn, jei jo galim

reikmi tikimybs:

kppkX )1()Pr( , (3.10)

ia p skirstinio parametras, 10 p .

Geometrinio dsnio skirstinys

]1[11)Pr()( xpxXxF . (3.11)

Tegul, Bernulio bandym schemoje vykis 11 x pasirodo su

tikimybe p. Tuomet geometrinis skirstinys nusako tikimyb, kad

skmingas vykis pirmkart vyks pakartojus Bernulio bandymus k-tuoju

kartu.

Pavyzdiui, vi skaiius, reikalingas pirmkart kliudyti taikin,

pasiskirsts pagal dsn, kai pataikymo vienu viu tikimyb lieka ta

pati.

is dsnis gana danai pasitaiko aptarnavimo teorijoje, pavyzdiui,

vienkanals aptarnavimo sistemos laukimo eils ilgis yra pasiskirsts

pagal geometrin dsn.

3.3 pav. Geometrinio skirstinio tikimybs

p=0.25

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

k

pk

p

pEX

1

, (3.12)

2

2 1

p

pXD

, (3.13)

3

3 21

p

ppX

. (3.14)

3.4. Puasono skirstinys

Atsitiktinis diskretusis dydis yra pasiskirsts pagal Puasono dsn,

jei jis gyja reikmes ...},,...,2,1,0{ k su tikimybmis

!)Pr(

k

epkX kk

, (3.14)

ia parametras.

Nesunku sitikinti, kad atsitiktinio dydio, pasiskirsiusio pagal

Puasono dsn, vidurkis, dispersija, bei treiasis momentas,

atitinkamai:

EX , (3.15)

XD2 , (3.16)

3X . (3.17)

3.4 pav. Puasono skirstinio tikimybs

=3.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

k

pk

Keli atsitiktini dydi, pasiskirsiusi pagal Puasono dsn su

parametrais m ...,,, 21 , suma taip pat pasiskirsiusi pagal dsn, bet

su parametru m ...21 .

Teisingas ir atvirkias teiginys: jei dviej diskreij atsitiktini

dydi sumos skirstinys Puasono, tai dmenys irgi pasiskirst pagal

Puasono dsn.

Daugelis Puasono dsnio pritaikym susij su tokia jo savybe.

Pasirodo, kad vyki skaiius kuriuo nors laiko intervalu pasiskirsts

pagal Puasono dsn, jei trukms tarp vyki pasiskirsiusios pagal

eksponentin dsn.

Pavyzdiui, telefon skambui skaiius telefono stotyje,

kompiuteri inui skaiius serveryje, draudimini vyki skaiius

modeliuojami iuo skirstiniu.

Puasono dsnis taip pat danai taikomas aproksimuoti binominio

dsnio tikimybms, kai bandym skaiius didelis, o vykio tikimyb

maa. Btent, pasinaudojus Stirlingo formule

n

e

nnn

2! ,

taikytina, kai n didelis, galima gauti:

!

)1(),(k

pneppCpnb

kpnknkk

nk

.

i aproksimacija taikoma, kai n didja, taiau sandauga np lieka

pastovi.

Skirstinys Skirstinio

parametrai

Tikimybi funkcija ir

skirstinio funkcija

Vidurkis

EX

Dispersija

XD2 Grafikas

Bernulio

p- tikimyb

1,1

,0,1

kjei

kjeippk

;

.1,1

,10,1

,0,,0

)(

xjei

xjeip

xjei

xF

p )1( pp

Binominis

p- tikimyb,

n- bandym

skaiius

knkr

nk ppCp )1(

][

0

)1()(z

z

znzz

n ppCxF

pn ppn 1

Geometrinis

p- tikimyb

k

k ppp )1( ;

]1[11)( xpxF

p

p1

2

1

p

p

Puasono

-

intensyvumas !k

ep kk

;