Slozeni nosaci

TROZGLOBNI NOSAČI

To su konstrukcijski sustavi sastavljeni od dvaju diskova, međusobno zglobno spojenih (srednji zglob), dok je vanjska veza svakog diska zglobni nepomični ležaj. - trozglobni okviri, - trozglobni lukovi Diskovi mogu biti punostjeni ili rešetkasti.

A

B

C

A

B

C

C

C

A B

A B

- četiri komponente ležajnih reakcija Unutarnje sile mogu se odrediti analitičkim, grafoanalitičkim i grafičkim postupcima.

Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Složeni nosači 73

Trozglobni luk općeg oblika

− Određivanje reakcija u ležajevima analitičkim postupkom

l

C

f

da

A

B

A0

HA’ α

db

AB0

HB’

.

f’a 2

c 2

b 2

. .

.

I II

P3

P4P1

P2

B

C

A

B

P3

P4

AV

HA BVα

P1

P2

A

B

HB

I II

rastavljanje reakcija u dvije komponente:

α

A0

HA’

A

HA

AV

α αα

B0

HB’

B

HB

BV

α′= cosHH AA

α′= cosHH BB

α+=

=α′+=

tgHA

sinHAA

A0

A0

V

α−=

=α′−=

tgHB

sinHBB

B0

B0

V

ll B0

ii0

BM

A0bPA0M =→=−⋅→= ∑∑

ll A0

ii0

AM

B0aPB0M =→=−⋅→= ∑∑

f

MH0cPfHdA0M

0)I(C

AI

iiAa0

)I(C ′=′→=−′⋅′−⋅→= ∑∑

f

MH0cPfHdB0M

0)II(C

BII

iiBb0

)II(C ′=′→=−′⋅′−⋅→= ∑∑

0cPdAMI

iia00

)I(C =−⋅= ∑ ; 0)II(C

0)I(C

IIiib

00)II(C MM;0cPdBM ≠=−⋅= ∑

f

MH

f

MHcosff

0)II(C

B

0)I(C

A ==→α=′


− Određivanje unutarnjih sila u presjeku analitičkim postupkom

C ϕ

x

A

P3

P4P1

P2

A0

HA’

B

B0

HB’

tt

α

y

.

y’

α

l x−

Nx

A

P1

P2

A0

α

Tx

Mx

P3

P4

B

B0

α

Nx

TxMx

y

HB’HB

HB tgα.

C

HB’

y

HA’HA

HA tgα.HA’

Moment savijanja u presjeku t-t:

yHpPxAM A

M

ixi0

x0x

′′−−⋅= ∑44 344 21

l

yHMMcosyy A0xx ⋅−=→α=′ l ili yHMM B

0xdx ⋅−=

Poprečna sila u presjeku t-t:

ϕα+ϕ−ϕ−ϕ−ϕ= ∑∑ costgHsinHPsinPcoscosAT AAixiy0

xll

ili ϕα+ϕ−ϕ+ϕ+ϕ−= ∑∑ costgHsinHPsinPcoscosBT BB

dix

diy

0x

Uzdužna sila u presjeku t-t: ϕα−ϕ−ϕ−ϕ+ϕ−= ∑∑ sintgHcosHPcosPsinsinAN AAixiy

0x

ll

ili ϕα−ϕ−ϕ+ϕ−ϕ= ∑∑ sintgHcosHPcosPsinsinBN BB

dix

diy

0x


− Vertikalno opterećenje trozglobnog luka

C ϕ

x

A

A0

H’

B

B0

H’

α

y

l

da db

f

H

H tgα.H’

Nx

Tx

Mx

P1 P2 P3q1 q2

C

x

A

B

α

y f

AV

H

H

BV

HHH BA ′=′=′ ; ; ; HHH BA == α+= tgHAA 0V α−= tgHBB 0

V

0C

0)II(C

0)I(C MMM == ; 0

x0xd

0x MMM ==l

yHMM 0xx ⋅−= ;

fMH

0C=

( )ϕα−ϕ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ϕ=ϕα+ϕ−ϕ−ϕ= ∑∑ costgsinHPAcoscostgHsinHPcoscosAT i

0i

0x

ll

( )ϕα−ϕ−ϕ= costgsinHcosTT 0xx

( )ϕα+ϕ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ϕ−=ϕα−ϕ−ϕ+ϕ−= ∑∑ sintgcosHPAsinsintgHcosHPsinsinAN i

0i

0x

ll

( )ϕα+ϕ−ϕ−= sintgcosHsinTN 0xx

Spec. : 0=α yHMM 0

xx ⋅−=

ϕ−ϕ= sinHcosTT 0xx

ϕ−ϕ−= cosHsinTN 0xx


Trozglobni okviri

Cϕ2

A

A0

H’

B

B0

H’

α

y

l

f

P1 P2 P3q1 q2

AV

H

H

BV

x l x−

tt

ϕ1

ϕ3

- kut α je negativan:

lB0 MA =

lA0 MB =

fMH

0C=

α−= tgHAA 0V

α+= tgHBB 0V

yHMM 0xx ⋅−=

( )2220xx costgsinHcosTT ϕα+ϕ−ϕ=

( )2220xx sintgcosHsinTN ϕα−ϕ−ϕ−=

C

A

A0

B

B0

l

f

= AV

H H

= BVx l x−

tt

y=f

lB

V0 MAA ==

lA

V0 MBB ==

fMH

0C=

fHMM 0xx ⋅−=

0xx TT =

HNx =


− Određivanje dijagrama unutarnjih sila grafoanalitičkim postupkom Dijagram momenata savijanja dobiva se superpozicijom. Npr. za slučaj vertikalnog opterećenja: yHMM 0

xx ⋅−=

C

a

A

Bf

A

B

P

lb

lPab

H f.

+

−

H y.

Mx0

C

A

B

f

D

EP

H f.

MP

ME H y.

Mx0

+

−

M


Izbor osi trozglobnog luka

yHMM 0xx ⋅−=

Oblik osi luka bira se uz uvjet da momenti za dominantno opterećenje budu u svim presjecima jednaki nuli. Položaj osi:

HM)x(y

0x=

⇒ Oblik osi afin je obliku momentnog dijagrama na ekvivalentnoj prostoj gredi.

⇒ Rezne sile u trozglobnom luku su:

0Mx = ; ; 0Tx = ( )ϕα+ϕ−ϕ−= sintgcosHsinTN 0xx

Rezultanta reznih sila uvijek prolazi kroz os presjeka.

A

B

C

Mx0

H y

y


− Određivanje reakcija i unutarnjih sila u presjeku grafičkim postupkom Trozglobni luk s opterećenjem samo na jednom disku

C

A

B

A

B

P

D

I II

1

r1

2

r 2

R 1d R2l

R2d = BR 1l

= A

P A

B

N1

T1

T2

N2

ravnoteža dijeladesno od presjeka

11 rAM ⋅=

22 rBM ⋅= Trozglobni luk s opterećenjem na oba diska

C

A

B

A

B

P1

D

I II

E

P2

P1A1

B1A1

B1

P2

A2

B2

B1

A2

A2

B2

C C

B

A


NOSAČI SA ZATEGAMA

Nosači sa zategama sastavljeni su iz više elemenata: greda i štapova. - lučni, okvirni i kombinirani nosači

Okvir sa zategom Luk sa zategom

e)

Pr. e) dokaz geometrijske nepromjenljivosti i statičke određenosti:

lnni2nn2n3s ziščd −∑−−+=

7nd = , , , , 0nč = 0nš = 5n 1z = 2n 2z = , 3n =l ili

2nd = , , , , 2nč = 5nš = 1n 1z = 3n =l Funkcija zatega sastoji se u tome da zadrži glavninu horizontalnih sila, koje proizvodi trozglobni sistem, unutar samog sistema.


− Određivanje reakcija i unutarnjih sila u presjeku analitičkim postupkom

Cϕ

x

A

P5

P4

P1

P2

B

B

t

tα

y

l x−

l

P3

AV

AH

1

2

3 4

5

f

Hx A0F →=∑ ; VB A0M →=∑ ; B0MA →=∑

ϕ

x

A

P1

P2

α

y

AV

AH

1

2

Mx Nx

Tx

H tgα.

H Si

ya

Iz sume momenata svih sila s lijeve strane presjeka dobiva se:

∑ ⋅−⋅−⋅−⋅= yHpPyAxAM ixiaHVx Iz sume momenata svih sila s desne strane presjeka dobiva se:

∑ ⋅−⋅−−⋅= yHpP)x(BM ixix l →→ yHMM xox ⋅−=


xoM − moment savijanja lučnog nosača iz jednog elementa uz iste ležajne veze i opterećenog istim opterećenjem kao zadani luk sa zategom:

x

A

P5

P4

P1

P2

B

B

t

l

P3

AV

AH

t

ya

Iz ravnoteže dijela nosača lijevo od presjeka dobiva se poprečna sila:

( )ϕα−ϕ−ϕ−ϕ−ϕ−ϕ= ∑∑ costgsinHPsinPcossinAcosAT iixiyHVxll

xoT − poprečna sila lučnog nosača bez zatega

→ ( )ϕα−ϕ−= costgsinHTT ixox Za uzdužnu silu dobiva se:

( )ϕα+ϕ−ϕ−ϕ+ϕ−ϕ−= ∑∑ sintgcosHPcosPsincosAsinAN iixiyHVxll

xoN − uzdužna sila lučnog nosača bez zatega

→ ( )ϕα+ϕ−= sintgcosHNN ixox H je horizontalna komponenta sila u svim štapovima zatege.

Si+1

αi+1

i

Vi

Si

αi

HcosScosS0S 1i1iiix =α=α→= ++∑

ii cos

HSα

=

( )1iii tgtgHV +α−α=

fM

H0M CoC =→=∑


Proračun sila za vertikalno vanjsko opterećenje

C

x

A

B

α

y

l

1

2

3 4

5

f

ϕ

P1 P2 P3q1 q2

A0

B0

yHMM 0xx ⋅−=

( )ϕα−ϕ−ϕ= costgsinHcosTT i0xx

( )ϕα+ϕ−ϕ−= sintgcosHsinTN i0xx

0xM i su moment savijanja i poprečna sila proste grede istog raspona kao zadani nosač sa

zategom i s istim opterećenjem.

0xT

fMH

0C=


− Određivanje dijagrama unutarnjih sila grafoanalitičkim postupkom Dijagram momenata savijanja dobiva se superpozicijom dijagrama momenata , odnosno

, i dijagrama . xoM

0xM yH ⋅

Izvan područja zatega: odnosno (xox MM = 0xx MM = 0yH =⋅ )


yHMM 0xx ⋅−=


− Određivanje reakcija i unutarnjih sila u presjeku grafičkim postupkom

BA

C

A B

R d

R l

Pr.

tt

S

S

P B

A

SR l

Tt

Nt

rRMt ⋅= l

ili rRM dt ⋅=


OJAČANE GREDE

Ojačane grede --- Langerove grede Ojačane grede nastaju spajanjem dviju ili više greda; neprekinutost novog sklopa na mjestu spoja osigurava se ojačanjem. Ojačanje: sustav štapova postavljenih iznad ili ispod osi grede

AC

B

AC

B

Reakcije ojačane grede za bilo koja opterećenja su istovjetne reakcijama proste grede. Sva horizontalna opterećenja na os grede daju isti utjecaj kao na prostoj gredi jer se tada ne aktiviraju ojačanja.


Ojačana greda opterećena vertikalnim opterećenjem

Ravnoteža bilo kojeg čvora ⇒

HcosScosS 1i1iii =α=α ++

ii cos

HSα

=

( )1iii tgtgHV +α−α−= Izrazi za unutarnje sile u presjeku grede:

yHpPxAM ii0

x ⋅+⋅−⋅= ∑l

yHMM 0xx ⋅+=

fMH

0C−=

sila H je negativna → yHMM 0xx ⋅−=

i0xx tgHTT α−=

HNx = (na dijelu nosača na kojemu je ojačanje)



Ojačane grede kod kojih štapovi koji spajaju čvorove s gredom nisu vertikalni

Za dio između čvorova 0 i 4: 11

0x

)1(x yHMM ⋅−=

Za dio između čvorova 4 i 5: 220x

)2(x yHMM ⋅−=

Za dio između čvorova 5 i 3: 330x

)3(x yHMM ⋅−=

Opći izrazi za unutarnje sile: , , ii

0xx yHMM ⋅−= ii

0xx tgHTT α−= ix HN −=


PODUPRTE I OBJEŠENE GREDE

To su sustavi slični ojačanim gredama. Kod ojačanih greda sile u štapovima ojačanja prenose se unutar sustava; kod poduprtih i obješenih greda sile u štapovima kojima su grede poduprte ili obješene prenose se izvan sustava.

A B

A BC

C


Najjednostavniji slučaj poduprte grede:

BA C

hA

l

hB

DE

α0

y(x)f

x

y

Broj stupnjeva slobode gibanja danog sustava:

012221643nn6n3nni2nn2n3s 3zdziščd =×−×−×−×=−−=−−−+= ∑ ll


− Određivanje reakcija i unutarnjih sila analitičkim postupkom

Ravnoteža bilo kojeg čvora ⇒ HcosScosS 1i1iii =α=α ++

ii cos

HSα

= ; ( )1iii tgtgHV +α−α=

Analogija s trozglobnim nosačem → rastavljanje reaktivnih sila

00

V tgHAA α+= ; 00

V tgHBB α−=

1V tgHAA α−= ; nV tgHBB α−= → ; ( )10

0 tgtgHAA α−α+= ( )n00 tgtgHBB α+α−=

Izrazi za unutarnje sile u presjeku grede: ; yHMM 0

xx ⋅−= fMH 0C=

( )i00xx tgtgHTT α−α+= ; 0Nx =


− Određivanje dijagrama unutarnjih sila primjenom superpozicije


Razupora Izrazi za unutarnje sile u presjeku grede: yHMM 0

xx ⋅−=

( )i00xx tgtgHTT α−α+=

Između točaka 1 i 2 nema štapova podupore: 00xx tgHTT α+=

Na dijelu između točaka 1 i 2 uzdužna sila je: HNx =


Obješena greda Izrazi za unutarnje sile u presjeku grede: yHMM 0

xx ⋅−=

( )i00xx tgtgHTT α−α+=

0Nx =


Documents

Slozeni nosaci