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Unidade I
MATEMÁTICA APLICADA
Prof. Luiz Felix
Conjuntos
Designa-se conjunto uma representação de objetos, podendo ser representado de três modos:
Representação ordinária
A = 0, 1, 2, 3, 4A 0, 1, 2, 3, 4
Representação abstrata
A = x Z 0 x 4
Representação por diagramas de Venn
0 12
3 4
A
Operações entre conjuntos
Interseção – Elementos comuns
Dados os conjuntos A = 0,4,9 eB = 4,8
A B = 4
União Composição de todos os União – Composição de todos os elementos.
Dados os conjuntos A = 1,4,8 eB = 7,8
A B = 1,4,7,8
Diferença
Dados os conjuntos A = 2,3,5 eB = 2,4
A – B = 3,5
Conjuntos numéricos
Números naturais
N = 0, 1, 2, 3, ...
Números inteiros
Z = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
Números racionais
Q = x / x = a/b com a e b Z com
b ≠ de 0
Exemplos: 2/10 = 0,2
47/99 0 474747/99 = 0,4747
Conjuntos numéricos
Números irracionais – Formados por dízimas infinitas não periódicas.
Exemplo: 3 = 1,73205...
Números reais – Formados porNúmeros reais Formados por todos os números racionais e irracionais.
Produto cartesiano
A x B = (x,y) / x A e y B
Exemplo: A = 1,2,3 e B = 1,2,5
A x B = (1,1), (1,2), (1,5), (2,1), (2,2), (2,5),(3,1), (3,2), (3,5)
Plano cartesiano
Funções
Uma relação f: A B é chamada de funçãose:
I. Não há elemento x em A sem correspondente y em B. (Não podem “sobrar” elementos de A.)
II. Qualquer elemento x de A tem um único correspondente y em B. (Não pode haver elemento de A “associado” a mais de um elemento de B.)
Funções - exemplo
Sendo A = -2, -1, 0, 1
B = 2, 3, 4, 5, 7
Verifique se a relação f: A B é uma
função.
A B32
47
5
- 2- 1
01
Função constante
É toda a função y = k em que k é uma constante real. Verifica-se que o gráfico dessa função é uma reta horizontal, passando pelo ponto de ordenada k.
k
Função linear
Sendo A e B conjuntos de números reais e m uma constante real diferente de zero, dizemos que uma função f: A B, com f (x) = m . x, é uma função linear.
Interatividade
Observando o 2º. quadrante do plano cartesiano, podemos afirmar que:
a) x > 0 e y > 0.
b) x < 0 e y < 0.
c) x > 0 e y < 0c) x > 0 e y < 0.
d) x < 0 e y > 0.
e) x = 0 e y = 0.
Resposta
A alternativa correta é:
d) x < 0 e y > 0.
Função do 1º. grau (ou função afim)
Sua sentença é dada por y = m . x + n, sendo m e n constantes reais com m diferente de 0.
n n
m > 0 m < 0
Observações importantes da função do 1º. grau
1. A constante n é chamada de coeficiente linear e representa, no gráfico, a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo y.
2. A constante m é chamada de coeficiente angular. Quando m > 0, o gráfico corresponde a uma função crescente, e, quando m < 0, o gráfico corresponde a uma função decrescente.
Observações importantes da função do 1º. grau
3. Conhecendo-se dois pontos de uma reta A (x1 , y1) e B (x2 , y2 ), o coeficiente angular m é dado por:
m = y2 – y1
x2 – x1
4. Conhecendo-se um ponto P (x0 , y0 ) de uma reta e seu coeficiente angular m, a função correspondente é dada pory – y0 = m (x – x0)
Ou seja:Ou seja:A equação da reta é: y = m (x – x0) + y0
Função do 1º. grau - exemplo
Obtenha o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos.
A (1, 2) e B (2, 7)
Resolução: A (x1, y1) B (x2, y2)
Sendo m = y ySendo m = y2 – y1
x2 – x1
m = 7 – 2 m = 5 m = 52 – 1 1
Função do 1º. grau - exemplo
Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto P(1,3) e tem coeficiente angular m = 2.
Resolução: y = m (x – x0) + y0 e P(1,3)P(x0, y0)
y = 2 (x – 1) + 3
y = 2x – 2 + 3
y = 2x + 1
Função do 1º. grau - exemplo
Qual a equação da reta que passa pelos pontos A (1,2) e B (2,3)?
Resolução: A (x1, y1) B (x2, y2)
Sendo m = y2 – y1
x2 – x1x2 x1
m = 3 – 2 m = 1 m = 12 – 1 1
Sendo y = m (x – x0) + y0 e A(1,2)
y = 1 (x – 1) + 2
y = x – 1 + 2
y = x + 1
Função demanda e oferta de mercado
A demanda (ou procura) de um determinado bem é a quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir.
A oferta de um bem é a quantidade que os vendedores desejam oferecer no mercado.
x é a quantidade demandada ou ofertada e y o preço unitário do produto.
Na demanda y = – m . x + n, esta é umaNa demanda y m . x n, esta é uma função decrescente, pois m < 0.
Na oferta y = m . x + n, esta é uma função crescente, pois m > 0.
Preço e quantidade de equilíbrio
É o ponto de intersecção entre a demanda e a oferta.
Seja a função demanda D(p) = 25 – 4p e a função oferta S(p) = – 5 + 6p Qual é o preço de equilíbrio de mercado para essas funções?
Resolução: D(p) = S(p)
25 – 4p = – 5 + 6p
25 + 5 = 6p + 4p
30 = 10p
30/10 = p
p = 3
Interatividade
Dada a função demanda D(p) = 45 – 18p e a função oferta S(p) = – 35 + 2p. Qual é o preço de equilíbrio de mercado para essas funções?
a) p = 1.
b) p = 2.
c) p = 3.
d) p = 4.
e) p = 5.
Resposta
A alternativa correta é:
d) p = 4.
Resolução:
D(p) = 45 – 18p e S(p) = – 35 + 2p
D(p) = S(p)
45 – 18p = – 35 + 2p
45 + 35 = 2p + 18p
80 = 20p
80/2080/20 = p
p = 4
Receita total
Seja x a quantidade vendida de um produto.
Chamamos de função receita o produto do preço de venda por x e indicamos por R.
R(x) = P.x
Receita total - exemplo
Uma livraria vende uma revista porR$ 5,00 a unidade.
a) Qual a função receita?
Sendo R(x) = P.x então:
R(x) = 5 xR(x) = 5.x
b) Qual a receita da livraria se forem vendidas 10 revistas?
Sendo a função receita
R(x) = 5.x então: ( )
R(x) = 5.10
R(x) = 50 reais
Receita total - exemplo
c) Qual a quantidade que deve ser vendida para se obter uma receita de R$700,00?
Neste caso, temos:
Função receita: R(x) = 5.x
Receita desejada R(x) = 700Receita desejada R(x) = 700
então:
700 = 5.x
x = 700 = 140 5
Custo total
Seja x a quantidade produzida de um produto.
O custo total de produção, ou simplesmente custo, depende de x, e a relação entre eles chamamos de funçãocusto total, ou simplesmente funçãocusto, e indicamos por C.
Custo total
Existem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros e outros. A soma desses custos chamamos de custo fixo e indicamos por CF.
A parcela do custo que depende de x, chamamos de custo variável e indicamos por CV.
C(x) = CF + CV
Para x variando dentro de certos valores,Para x variando dentro de certos valores, normalmente não muito grandes, o custo variável é geralmente igual a uma constante multiplicada pela quantidade x.
Custo total - exemplo
O custo fixo mensal de fabricação de um produto é de R$ 5.000,00, e o custo variável por unidade é de R$ 10,00.Qual a função custo total?
Sendo C(x) = CF + CV, temos:
CF = 5000 e CV = 10, então:
C(x) = 5000 + 10.x
Interatividade
O custo fixo mensal de uma empresa é de R$ 5.000,00, o custo variável por unidade produzida é de R$ 30,00 e o preço de venda é de R$ 40,00. Indique a alternativa que apresenta, respectivamente, a função receita e a função custoreceita e a função custo.
a) R(x) = 30.x e C(x) = 5000 + 40.x.
b) R(x) = 30.x e C(x) = 40 + 5000.x.
c) R(x) = 40.x e C(x) = 30 + 5000.x.
d) R(x) = 40 x e C(x) = 5000 + 30 xd) R(x) = 40.x e C(x) = 5000 + 30.x.
e) R(x) = 40.x e C(x) = 5000 + 40.x.
Resposta
A alternativa correta é:
d) R(x) = 40.x e C(x) = 5000 + 30.x
Resolução:
Preço de venda é R$ 40,00, então: R(x) = 40 xR(x) = 40.x
C(x) = CF + CV
Custo fixo é de R$ 5.000,00
Custo variável é de R$ 30,00, então: C(x) = 5000 + 30.x( )
Ponto crítico (break even point) ou ponto de nivelamento
O ponto de nivelamento é o valor de x tal que R(x) = C(x).
Ponto crítico (break even point) ou ponto de nivelamento - exemplo
Uma editora vende certo livro porR$ 60,00 a unidade. Seu custo fixo é de R$ 10.000,00 por mês, e o custo variável por unidade é de R$ 40,00. Qual o ponto de nivelamento?
Neste caso, temos:
Função receita: R(x) = 60.x
Função custo: C(x) = 10000 + 40.x
Sendo R(x) = C(x) temos:
60.x = 10000 + 40.x
60.x – 40.x = 10000
20.x = 10000
x = 500
Função lucro
A função lucro é definida como a diferença entre a função receita R e a função custo C.
Indicando a função lucro por L, teremos:
L(x) = R(x) – C(x)L(x) R(x) C(x)
Função lucro - exemplo
O custo fixo mensal de uma empresa é de R$ 30.000,00, o preço unitário de venda é de R$ 8,00 e o custo variável por unidade é R$ 6,00.
a) Qual a função lucro?
R(x) = P.x = 8.x
C(x) = CF + CV = 30000 + 6.x
L(x) = R(x) – C(x)
L(x) = 8.x – (30000 + 6.x) =
L(x) = 8.x – 30000 – 6.x
L(x) = 2.x – 30000
Função lucro - exemplo
b) Qual o lucro se 40.000 unidades forem vendidas?
Sendo a função lucro
L(x) = 2.x – 30000 então:
L(x) = 2 40000 30000L(x) = 2 . 40000 – 30000
L(x) = 80000 – 30000
L(x) = 50000
Função lucro - exemplo
c) Quantas unidades devem ser vendidas para se obter um lucro de R$ 60.000,00?
Sendo a função lucro
L(x) = 2.x – 30000 então:
60000 = 2 x 3000060000 = 2.x – 30000
60000 + 30000 = 2.x
2.x = 90000
x = 900002
x = 45000
Interatividade
O custo fixo de fabricação de um produto é de R$ 1.000,00 por mês, o custo variável por unidade é de R$ 5,00 e cada unidade é vendida por R$ 7,00. Indique a alternativa que apresenta, respectivamente, o ponto crítico e a função lucrocrítico e a função lucro.
a) Ponto crítico = 300 e L(x) = 12.x + 100.
b) Ponto crítico = 500 e L(x) = 12.x – 1000.
c) Ponto crítico = 500 e L(x) = 2.x – 1000.
d) Ponto crítico = 300 e L(x) = 2 x 1000d) Ponto crítico = 300 e L(x) = 2.x – 1000.
e) Ponto crítico = 500 e L(x) = 2.x + 1000.
Resposta
A alternativa correta é:
c) Ponto crítico = 500 e L(x) = 2.x – 1000
Resolução:
R(x) = 7.x C(x) = 1000 + 5.x
Ponto crítico:
R(x) = C(x) 7.x = 1000 + 5.x
7.x - 5.x = 1000 2.x = 1000 x = 500
Função lucro:
L( ) R( ) C( )L(x) = R(x) – C(x)
L(x) = 7.x – (1000 + 5.x)
L(x) = 7.x – 1000 – 5.x = 2.x – 1000
ATÉ A PRÓXIMA!