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Ana M. Abreu - 2006/07
Capítulo 5
Testes de Hipóteses Estatísticas
Resenha
Hipótese nula e hipótese alternativa
Erros de 1ª e 2ª espécie; potência do teste
Teste a uma proporção; testes ao valor médio de uma v.a.: σσσσ conhecido e σσσσ desconhecido; teste à variância (desvio padrão) de uma v.a.
Testes à diferença de duas proporções e às diferenças dos valores médios de duas v.a.’s
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Resenha:Definições
�Em Estatística, uma hipótese é uma afirmação ou asserção sobre uma propriedade da população.
�Um teste de hipóteses (ou teste de significância) éum procedimento padrão para testar uma afirmação sobre uma propriedade da população.
�Se, sob uma certa hipótese, a probabilidade deocorrência de um determinado acontecimento formuito pequena, concluímos que essa hipótese não deve ser verdadeira.
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Hipótese Nula: H0
�A hipótese nula engloba o valor do parâmetro que se assume como verdadeiro para apopulação. Tem que ser uma afirmação escrita na forma de uma igualdade (=).
�Testar a hipótese nula directamente
� Rejeitar H0 ou não rejeitar H0
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Hipótese Alternativa: H1
�A hipótese alternativa (denotada por H1ou Ha) é a afirmação que indica que oparâmetro tem um valor que é diferentedo indicado na hipótese nula.
�Então, pode ser escrita numa das 3formas que se seguem: ≠≠≠≠, <, >.
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Exemplo: Identifique a hipótese nula e a hipótese alternativa em cada uma das situações que se seguem. Escreva as hipóteses referidas numa forma simbólica.
a) A proporção de condutores que admitem“passar no vermelho” é maior do que 0.5.b) A altura média dos jogadores profissionais de basquetebol é no máximo 2m.
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Erro do Tipo I
�Um erro do tipo I ocorre quando a hipótese nula é rejeitada, apesar de ser verdadeira.
�O símbolo αααα (alfa) é usado para representar a probabilidade de ocorrênciade um erro do tipo I .
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Erro do Tipo II
�Um Erro de tipo II ocorre quando ahipótese nula não é rejeitada, apesar de ser falsa.
�O símbolo ββββ (beta) é usado para representar a probabilidade de ocorrênciade um erro do tipo II .
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Definição
Potência de um teste de hipóteses
A potência de um teste de hipóteses éa probabilidade (1 - β β β β ) de rejeitar ahipótese nula quando ela é falsa.
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Estatística de Teste
A estatística de teste é um valor calculado apartir da amostra e que é usado para tomara decisão acerca de rejeitar ou não ahipótese nula.
Estatística de teste para proporções
(sob as mesmas hipóteses das referidas no cap. 4)
T = X − np0
np0q0
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Estatística de Teste
Estatística de teste para a média (σ conhecido)
(sob as mesmas hipóteses das referidas no cap. 4)
T = X − µ0
σ n
Estatística de teste para a média
(σ desconhecido)(sob as mesmas hipóteses
das referidas no cap. 4)
T = X − µ0
s n
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Exemplo: Um inquérito a n = 880 condutores
seleccionados aleatoriamente mostrou que 493 dos inquiridos admitem “passar no vermelho”. Determine o valor da estatística de teste para testar a hipótese de que a maioria dos condutores admite “passar no vermelho”.
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Figure 5-1
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Região Crítica(ou Região de Rejeição de H 0)
A região crítica (ou região de rejeição ouzona de rejeição ) é o conjunto de valoresda estatística de teste que nos levam a rejeitar a hipótese nula.
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Nível de Significância
O Nível de Significância (denotado por αααα) é a probabilidade de o valor da estatística de teste tomar valores na região crítica quandoa hipótese nula é verdadeira. Este αααα é omesmo do que o referido no capítuloanterior. Escolhas habituais para o valor de αααα são 0.05, 0.01 e 0.10.
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Teste Bilateral,unilateral à direita
ou unilateral à esquerda
As caudas de uma distribuiçãosão as regiões extremasdelimitadas pelos valores críticos.
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Teste bilateralH0: =
H1: ≠≠≠≠αααα é repartido de igual modo para as 2
caudas da região crítica
Significa menor ou maior
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Teste unilateral (à direita)
H0: =
H1: > Valores à direita
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Teste unilateral (à esquerda)
H0: =
H1: <
Valores à esquerda
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P-Value
O P-value (ou p-value ou valor da probabilidade) é a probabilidade de obterum valor da estatística de teste que sejapelo menos tão extremo quanto o representado pelos dados, admitindo quea hipótese nula é verdadeira. A hipótese nula é rejeitada se o P-value for muito pequeno, digamos 0.05 ou inferior.
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Método tradicional : Rejeitar H 0 se o valor da estatística de
teste se encontrar na região de rejeição.Não rejeitar H 0 se o valor da estatística
de teste não se encontrar na região derejeição.
Método do P -value : Rejeitar H 0 se o P-value ≤≤≤≤ αααα (onde αααα é o
nível de significância, por exemplo, 0.05).Não rejeitar H 0 se o P-value > αααα.
Critério de Decisão
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Aceitar versus Não Rejeitar
�Alguns textos usam “aceitar a hipótesenula.”
�Não estamos a provar a hipótese nula.
�Os dados não nos fornecem evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula(tal como os factos podem não apresentar evidência suficiente paracondenar um arguido).
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� Dada uma afirmação, pretende-se identificar a hipóte se nula, a hipótese alternativa e expressar ambas numaforma simbólica.
� Dada uma afirmação e uma amostra, calcular o valor da estatística de teste.
� Dado um nível de significância, identificar o valor c rítico ou a região de rejeição da hipótese nula.
� Dado o valor da estatística de teste, identificar o P-value (se a resolução for através do SPSS).
� Indicar a conclusão do teste de hipóteses de uma forma simples e com termos não demasiado técnicos.
Em resumo:
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Resumo do procedimento para efectuar um teste de hipóteses
1. Identificar H 0 e H1.2. Decidir o nível de significância, .3. Escolher uma estatística de teste
apropriada.4. Identificar a região de rejeição.5. Efectuar os cálculos para determinar
o valor da estatística de teste.6. Concluir pela rejeição ou não de H 0.
α
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Duas amostras
Para efectuar testes de hipóteses relativos a duas populações, seráadoptada a mesma notação que a usada no capítulo 4, nomeadamente no que diz respeito às proporções e às médias. Além disso, também os pressupostos serão os mesmos ( σσσσ conhecido ou desconhecido, dimensão da amostra, …).
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Estatística de teste paraduas proporções
H0: p1 = p
2
H1: p1 ≠≠≠≠ p
2 ou H1: p1
< p2
ou H1: p 1> p
2
z =ˆ p 1 − ˆ p 2
ˆ p ̂ q 1n1
+ 1n2
onde ˆ p = X1 + X2
n1 + n2
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Estatística de teste para duas médias:
Se as amostras são
independentes e σσσσ1 e σσσσ2são desconhecidos.
T =X 1 − X 2( )− d0
s12
n1+ s2
2
n2
H0: µµµµ1111 - µµµµ2222 = d0
H1: µµµµ1111 - µµµµ2222 ≠d0 ou H1: µµµµ1111 - µµµµ2222 >d0 ou H1: µµµµ1111 - µµµµ2222 <d0
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Estatística de teste para duas médias:
Se as amostras são
independentes e σσσσ1 e σσσσ2são conhecidos.
H0: µµµµ1111 - µµµµ2222 = d0
H1: µµµµ1111 - µµµµ2222 ≠d0 ou H1: µµµµ1111 - µµµµ2222 >d0 ou H1: µµµµ1111 - µµµµ2222 <d0
T =X 1 − X 2( )− d0
σ12
n1+ σ2
2
n2
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Estatística de teste para duas médias:
Se as amostras são emparelhadas.
H0: µµµµd = d0
H1: µµµµd≠d0 ou H1: µµµµd >d0 ou H1: µµµµd <d0
T = d − d0
sd n