Składanie Funkcji i Funkcja Odwrotna

www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI

SKADNIE FUNKCJI I FUNKCJA ODWROTNAPoradnik stanowi kontynuacje poradnika o funkcjach - radzimy tam zajrzec w celu przypo-mnienia najwazniejszych pojec dotyczacych funkcji.

Skadanie funkcjiBardzo wazna cecha funkcji jest to, ze (czasami) mozna funkcje wykonywac jedna po dru-giej.

Niech f : X Y oraz g : Y Z. Funkcje h : X Z dana wzoremh(x) = g( f (x))

nazywamy zozeniem (superpozycja) funkcji f i g oraz oznaczamy h = g f .W pierwszej chwili mozna sie zagubic w rznych literkach wystepujacych w powyzszejdefinicji, dlatego warto zapamietac ponizszy diagram:

Xf//

g f

;;Yg// Z

Jezeli f (x) = 2x i g(x) = x2 to

g f (x) = g( f (x)) = g(2x) = (2x)2 = 4x2f g(x) = f (g(x)) = f (x2) = 2x2.

Jezeli f (x) = log x i g(x) = x2 to

g f (x) = g( f (x)) = g(log x) = log2 x.Zozenie f g natomiast nie ma sensu, bo logarytmowac mozemy tylko liczby do-datnie.

Funkcja odwrotnaJezeli myslimy o funkcji f : X Y jak o zbiorze strzaek, ktre przyporzadkowuja ele-mentom zbioru X (dziedziny) elementy zbioru Y (przeciwdziedziny), to funkcja odwrotnaf1 : Y X ma byc przyporzadkowaniem dziaajacym dokadnie na odwrt, tzn. ma przy-porzadkowywac elementom zbioru Y elementy zbioru X na odwrt niz robi to funkcja f .

X Y X Yf f-1

Materia pobrany z serwisu www.zadania.info1


W jezyku powyzszego obrazka, zamiana funkcji na funkcje odwrotna polega na zmianiezwrotw wszystkich strzaek.

Bardziej precyzyjna definicja funkcji odwrotnej f1 jest warunek:

f1(y) = x f (x) = y.

Nie kazda funkcja f : X Y posiada funkcje odwrotna.Funkcja f na lewym diagramie nie posiada funkcji odwrotnej, bo sa rzne strzakiprowadzace do tego samego elementu zbioru Y (funkcja f nie jest rznowartoscio-wa). W przypadku funkcji g na prawym diagramie problemem jest to, ze nie kazdyelement zbioru Y jest koncem pewnej strzaki (funkcja g nie jest na zbir Y).X Y X Yf g

W obu przypadkach zmiana zwrotw strzaek prowadzi do przyporzadkowania,ktre nie jest funkcja.

Podsumowujac,

funkcja f : X Y posiada funkcje odwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy f jestwzajemnie jednoznaczna, tzn. gdy jest rznowartosciowa i na.

Wyznaczmy funkcje odwrotna do funkcji f (x) = 2x.Funkcja f wysya liczbe x na liczbe y = 2x. Funkcja odwrotna wysya w takim razieliczbe y na liczbe x = y2 . Jest to wiec funkcja: f

1(y) = y2 .

x=y/2 x

y

y=2x

y=2x

y=1/2x

x

y=1/2x

Na og jednak argument funkcji oznaczamy literka x (mwiac inaczej: rysujac wy-kres argumenty zaznaczamy na osi Ox, a nie Oy), wiec ostatni wzr zapisujemy wpostaci f1(x) = x2 .Jezeli chwile sie zastanowimy, to powyzszy rachunek ma sens: funkcja f zmienialiczby mnozac je przez 2, aby odwrcic skutki tej operacji musimy liczby dzielicprzez 2.



Funkcja f : R R dana wzorem f (x) = x2 nie posiada funkcji odwrotnej, bo niejest ani rznowartosciowa, ani na. Sprbujmy poprawic funkcje f tak, aby byawzajemnie jednoznaczna. Zmieniajac przeciwdziedzine na przedzia 0,+) spra-wiamy, ze funkcja jest na. Aby rozwiazac problem rznowartosciowosci zmienia-my dziedzine na przedzia 0,+).

+1 +4 x-0.5

+1

+4

y

y=x2

x= y x

xy= x

y=x2

Tak poprawiona funkcja f : 0,+) 0,+) posiada funkcje odwrotna i jest niafunkcja: f1(x) =

x.

Funkcja logarytmiczna y = loga x, gdzie a > 0, a 6= 1 jest zdefiniowana jako funkcjaodwrotna do funkcji wykadniczej y = ax.

Przygladajac sie definicji funkcji odwrotnej nie jest trudno zauwazyc, ze wykresyfunkcji y = f (x) i y = f1(x) sa symetryczne wzgledem prostej y = x. Symetria tapozwala atwo naszkicowac np. wykres funkcji y =

x jako odbicie prawej gaezi

paraboli y = x2. Symetrie te dobrze tez widac na przykadzie funkcji f (x) = ax if1(x) = loga x.

x

y

x

y

y=log xa

y=log xa

y=axy=ax

a>1 a


Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!Jezeli myslimy o funkcji jak o maszynce, do ktrej wkadamy liczbe i w zamian otrzymujemyinna liczbe, to skadanie funkcji odpowiada przepuszczeniu liczby przez kilka kolejnychmaszynek.

Zozenie fn f2 f1 wyobrazamy sobie jako ciag maszynek:f1 f2 f3 fnx

2

Przypomnijmy, ze obliczajac g f (x) najpierw obliczamy wartosc funkcji f , a dopiero potemwartosc funkcji g. Z tego powodu przyjeo sie zapis g f czytac: zozenie f z g, czyli od prawejdo lewej.

3Czestym bedem przy pierwszym spotkaniu ze skadaniem jest mylenie zozenia z iloczy-nem funkcji.

Jezeli f (x) = 2x i g(x) = sin x to

(g f )(x) = ( f g)(x) = f (x) g(x) = 2x sin x(g f )(x) = g( f (x)) = sin 2x( f g)(x) = f (g(x)) = 2sin x.

4

Piszac skomplikowane wzory czesto (nieswiadomie) skadamy funkcje.

Funkcja f (x) = sin 2x+1

52x jest zozeniem funkcji f = f3 f2 f1, gdzie

f1(x) = 2x

f2(x) =x + 15 x

f3(x) = sin x.



Jezeli f (x) = x3 i g(x) = ln x to zozenie g f nie ma sensu, bo zbiorem wartoscifunkcji f jestR, a dziedzina funkcji g jest mniejsza. Jezeli jednak myslimy w jezykuwzorw, to nie ma problemu z tym zozeniem:

g f (x) = ln x3.Tak jest, bo skadajac wzory automatycznie obcielismy dziedzine funkcji f do prze-dziau (0,+) tak, zeby otrzymany wzr mia sens.

5O skadaniu funkcji mozemy myslec jak o dziaaniu (mnozeniu) na funkcjach: z dwch funk-cji f i g tworzymy trzecia funkcje g f . Ciekawa wasnoscia tego dziaania jest to, ze nie jestono przemienne jak juz widzielismy w przykadach na og g f 6= f g.

6Skoro juz wspomnielismy, ze o skadaniu mozna myslec jak o mnozeniu, to dodajmy, zemnozenie to ma element neutralny (jedynke).

Dla dowolnego zbioru X oznaczamy przez idX : X X identycznosc na X, czylifunkcje dana wzorem:

idX(x) = x dla dowolnego x X.

Czesto, gdy jest jasne z kontekstu jaki zbir X mamy na mysli piszemy krtko id zamiastidX.

Jezeli f : X Y tof idX = idY f = f .

Z tego powodu identycznosc czasem oznacza sie symbolem: 1X = idX.

7Jedna z najwazniejszych wasnosci skadania funkcji jest acznosc: jezeli mamy trzy funkcje

Xf Y g Z hW.

to

h (g f ) = (h g) f .

Aby uzasadnic te rwnosc wystarczy obliczyc wartosc kazdej stron na argumencie x, w obuprzypadkach wyjdzie: h(g( f (x))).

Wasnosc acznosci oznacza, ze kolejnosc w jakiej wykonujemy kolejne zozenia (skada-jac ze soba kilka funkcji) nie ma znaczenia. Innymi sowy, w wyrazeniach, w ktrych skada-my kilka funkcji nie ma potrzeby pisania nawiasw. Podobnie jest oczywiscie ze zwykymdodawaniem i mnozeniem, wasnie dlatego wyrazenie 2+ 5+ 4+ 6 mozemy pisac bez na-wiasw (wynik nie zalezy od kolejnosci dodawan).



8Inny sposb myslenia o skadaniu funkcji to podstawianie.

Jezeli g : R R jest funkcja kwadratowag(t) = t2 + bt + c

oraz f : R R dane wzorem f (x) = x2 to zozenieg f : R R

jest funkcja dwukwadratowa

g( f (x)) = g(x2) = x4 + bx2 + c.

Patrzac na te sytuacje od drugiej strony, podstawienie w powyzszym wzorze x = t2

pozwala rozozyc pozornie skomplikowana funkcje g f (wielomian stopnia 4) jakozozenie dwch prostszych funkcji f i g. Dzieki temu, ze bardzo dobrze rozumiemywasnosci funkcji f i g, sporo mozemy powiedziec o wasnosciach funkcji dwukwa-dratowej g f .

Wyznaczmy zbir wartosci funkcji h(x) = sin(cos x).Dana funkcja to zozenie h = g f funkcji t = f (x) = cos x i y = g(t) = sin t.Zbiorem wartosci funkcji f jest przedzia 1, 1, a funkcja g(t) = sin t na tymprzedziale jest rosnaca, wiec zbiorem wartosci funkcji h = g f jest przedziasin(1), sin 1 0, 84; 0, 84.

9

Umiejetnosc przedstawiania funkcji jako zozenia prostszych funkcji jest niezbedna przyliczeniu pochodnych. Powodem tego jest wzr na pochodna zozenia

[g( f (x))] = g( f (x)) f (x).

Niech f (x) = sin x i g(x) = x2. Korzystajac ze wzorw f (x) = cos x i g(x) = 2xobliczamy pochodna funkcji sin2 x = g f (x).

(sin2 x) = [g( f (x))] = g( f (x)) f (x) = 2 sin x cos x = sin 2x.

10

Jezeli ktos nie zauwazy: przejscie od funkcji do funkcji odwrotnej zamienia dziedzine i prze-ciwdziedzine miejscami, tzn. jezeli f : X Y to f1 : Y X.



Niech a 6= 0 i f (x) = ax. Poniewaz f : R (0,+), dziedzina funkcji odwrotnejf1(x) = loga x jest przedzia (0,+). Wiemy tez, ze zbiorem wartosci funkcji f

1jest R.

x

y

x

y

y=log xa

y=log xa

y=axy=ax

a>1 a


Wyznaczmy funkcje odwrotna do funkcji f (x) = 4 log5(3 2x) + 1.

y = 4 log5(3 2x) + 1y 1

4= log5(3 2x) /5( )

5y1

4 = 5log5(32x) = 3 2x

x =3 5 y14

2.

Zatem f1(x) = 35x1

42 .

13

Wiemy juz, ze funkcja odwrotna do funkcji f istnieje tylko wtedy, gdy funkcja ta jest rz-nowartosciowa, ale jest tez odwrotnie: jezeli istnieje funkcja odwrotna f1 do f , to f jestfunkcja rznowartosciowa. Ponadto zbir wartosci funkcji f jest rwny dziedzinie funkcjif1.

W jednym z poprzednich przykadw sprawdzilismy, ze funkcja f (x) = 432x3 po-

siada funkcje odwrotna dana wzorem f1(x) = 3

32 2x . To oznacza, ze funkcja f

jest rznowartosciowa. Ponadto, ze wzoru na f1 widac, ze jej dziedzina jest zbirR \ 0. Taki sam jest wiec zbir wartosci funkcji f .

Oglniej: jezeli wzr funkcji y = f (x) ma te wasnosc, ze mozna z niego wyliczyc xw zaleznosci od y to funkcja jest rznowartosciowa.



14

Czesto wyznaczenie wzoru funkcji odwrotnej jest niemozliwe i musimy zadowolic sie fak-tem, ze funkcja ta istnieje.

Mozna uzasadnic, ze funkcja f (x) = x5 + x jest wzajemnie jednoznaczna, wiec mafunkcje odwrotna. Nie umiemy jednak wyznaczyc jej wzoru.

Pomimo opisanego problemu zdarza sie, ze funkcja odwrotna jest nam potrzebna. W takiejsytuacji wprowadzamy nowe symbole na oznaczenie funkcji odwrotnej, dokadnie w tensposb pojawiaja symbole: n

, loga, arcsin, arccos, arctg, arcctg.15

Uzywajac zozenia funkcji mozna bardzo elegancko zdefiniowac funkcje odwrotna.

Funkcja g : Y X jest funkcja odwrotna do funkcji f : X Y wtedy i tylkowtedy, gdy

g f = idXf g = idY.

Znane ze szkoy wzory: aloga x = x oraz loga ax = x sa szczeglnym przypadkiem

powyzszych rwnosci.

Podkreslmy, ze w powyzszym warunku potrzebne sa oba zozenia jezeli zachodzi tylkojedna z rwnosci, funkcja g nie musi byc funkcja odwrotna do f .

Jezeli f : R R dana wzorem: f (x) = 2x oraz g : R R dana wzorem

g(x) =

{log2 x dla x > 00 dla x 6 0

to g f = idR. Jednak nie sa to funkcje odwrotne.

16

Zauwazmy, ze jezeli f1 i g1 sa funkcjami odwrotnymi do f i g to korzystajac z acznoscimamy

( f g) (g1 f1) = f (g g1) f1 = f id f1 = f f1 = id(g1 f1) ( f g) = g1 ( f1 f ) g = g1 id g = g1 g = id.

Wykazalismy zatem wzorek

( f g)1 = g1 f1.



17Funkcje trygonometryczne nie sa odwracalne, ale mozemy rozwiazac ten problem odpo-wiednio ograniczajac ich dziedziny. Takie ograniczenia sa dosc naturalne:

sin :pi

2,pi

2

1, 1

cos : 0,pi 1, 1tg :

(pi

2,pi

2

) R

ctg : (0,pi) R.Odwracajac te funkcje otrzymujemy kolejno.

arcsin : 1, 1 pi

2,pi

2

arccos : 1, 1 0,piarctg : R

(pi

2,pi

2

)arcctg : R (0,pi).

Sa to tzw. funkcje cyklometryczne (albo koowe).

-1 +1 x

-1

+1

y

x

y

22

2

-

2-

y=sin x

y=arcsin x

+1

+1

-1

-1 2

2

y=cos x

y=arccos x

x

y

2

2

2-2-

y=tg x

y=arctg x

x

y

2

2

y=ctg x

y=arcctg x



Jednym z rozwiazan rwnania sin x = 13 jest liczba x = arcsin13 . Zatem wszystkie

rozwiazania tego rwnania dane sa wzorem:

x = arcsin13+ 2kpi x = pi arcsin 1

3+ 2kpi, k C.

Z definicji funkcji y = arcsin x jest jasne, ze zawsze

sin(arcsin x) = x.

Poniewaz jednak odwracajac sinusa obcielismy jego dziedzine, odwrotne zozeniejest identycznoscia tylko na przedziale

pi2 , pi2 . Np.arcsin(sin 3pi) = arcsin 0 = 0.

18

Poniewaz zmieniajac przeciwdziedzine Y funkcji f : X Y na zbir wartosci f (X) sprawia-my, ze funkcja jest na, problem istnienia funkcji odwrotnej to przede wszystkim problemrznowartosciowosci. Jak widzielismy, czasem mozna atwo ograniczyc dziedzine tak, abyotrzymac funkcje rznowartosciowa (np. w przypadku y = x2, albo w przypadku funkcjitrygonometrycznych). Czasami jednak nie da sie tego zrobic.

Na wykresie ponizej przedstawiony jest fragment wykresu funkcji f (x) = sin 1x .

+0.125 x

-1.25

-0.25

+0.25

+1.25

y

Wykres ten jest daleki od doskonaosci, bo wykres funkcji f zblizajac sie do osi Oyjest coraz mocniej zageszczajaca sie sinusoida. W szczeglnosci, w okolicy x = 0,nie da sie obciac funkcji f do przedziau, na ktrym funkcja byaby rznowarto-sciowa. Powinno byc teraz jasne, ze nie ma prostego sposobu na odwrcenie tejfunkcji.



19

Nawet jezeli da sie obciac funkcje tak, aby otrzymac funkcje rznowartosciowa, to na ogmozemy to zrobic na wiele rznych sposobw i jest kwestia konwencji, ktry z tych sposo-bw wybierzemy.

Zwyczajowo funkcje y = tg x odwraca sie na przedziale(pi2 , pi2 ), ale rwnie dobrze

mgby to byc zbir0, pi2

) (pi2 ,pi) lub (pi2 , 3pi2 ).Funkcje y = x2 mozemy odwrcic na przedziale 0,+), ale mozemy tez naprzedziale (, 0. W pierwszym przypadku jako funkcje odwrotna otrzymuje-my funkcje y =

x, a w drugim funkcje y = x.

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

y

-5 -1 +5 x

-5

-1

+1

+5

yy=x2 y=x2

y= x

y=- x

20

Niech X bedzie zbiorem skonczonym, np. X = {1, 2, . . . , n} oraz S(X) niech oznacza zbirwszystkich wzajemnie jednoznacznych przeksztacen zbioru X (tzn. funkcji f : X X, ktresa wzajemnie jednoznaczne). Elementy zbioru S(X) to permutacje zbioru X. Jest to troszkeinny sposb patrzenia na permutacje od tego, z jakim spotykacie sie w szkole, wiec sprbu-jemy to troche wyjasnic. Funkcja f S(x) wysya 1 na element f (1), 2 na f (2) itd., mozemywiec myslec, ze f przestawia elementy zbioru X tak, ze 1 bedzie na miejscu f (1), 2 na f (2)itd. Dzieki temu, ze f jest wzajemnie jednoznaczna, zadne dwa elementy nie laduja na tymsamym miejscu, wiec mamy do czynienia z prawdziwa permutacja.

Elementy zbioru S(X) czesto zapisujemy uzywajac tabelki (tzw. postac tabelarycz-na permutacji). Np.

f =(

1 2 3 4 5 64 3 2 5 6 1

)oznacza permutacje zbioru 6-cio elementowego, ktra wysya 1 na 4, 2 na 3, 3 na 2itd.

Zaleta funkcyjnego patrzenia na permutacje jest to, ze dzieki temu widac, ze permutacjemozemy ze soba skadac (wykonywac jedna po drugiej).



Jezeli f =(

1 2 3 42 3 1 4

)i g =

(1 2 3 44 2 1 3

)to f g wysya 1 na f (g(1)) = f (4) =

4, 2 wysya na f (g(2)) = f (2) = 3, 3 na f (g(3)) = f (1) = 2 i wreszcie 4 naf (g(4)) = f (3) = 1. Zatem(

1 2 3 42 3 1 4

)(

1 2 3 44 2 1 3

)=

(1 2 3 44 3 2 1

)

Zbir S(X) z dziaaniem ma nastepujace wasnosci(1) idX f = f idX dla f S(X) (istnienie elementu neutralnego);(2) dla dowolnego f S(X) istnieje f1 S(X) taka, ze

f f1 = f1 f = idX (istnienie elementu odwrotnego);

(3) dla dowolnych f1, f2, f3 S(X) mamyf1( f2 f3) = ( f1 f2) f3 (acznosc).

Dowolny zbir z dziaaniem speniajacym powyzsze trzy wasnosci nazywamy grupa. ZbirS(X) jest wiec (bardzo waznym) przykadem grupy.


Documents

Składanie Funkcji i Funkcja Odwrotna