1

KURS SISTEMI I SIGNALI RAUNARSKA VEBA BROJ 2: LVN SISTEMI U KONTINUALNOM VREMENU Novi Sad 2007.

PRIPREMA ZA VEBU 2

Ova veba je posveena modelovanju i odreivanju odziva LVN sistema u kontinualnom vremenu. U vremenskom domenu, sistemi se mogu u Simulink-u zadati/opisati preko blokova koji implementiraju a) opis sistema u prostoru stanja i b) preko blokova mnoaa, sabiraa i integratora (u vremenskom domenu, operator D-1). U oba sluaja se moe simulirati ukupni odziv sistema (odziv na dejstvo generatora i na poetne uslove). Oba naina zadavanja/opisa sistema su ilustrovani u datoteci SIS_VEZBA_2_PRIPREMA_SIMULINK.mdl. Vebu prati i datoteka SIS_VEZBA_2_PRIPREMA.m .

PRVI DEO VEBE: Sistem na slici 1. je zadat i modelovan u Simulink-u (priloeno u prateoj .mdl datoteci). Simulirati njegov odziv na pobudu w(t)=h(t) i poetne uslove x1(0_)=13/18 i x2(0_)= = - 34/18. Formirati (na papiru) opis sistema preko jednaina stanja, tj. matrice A, B, C i D. Za promenjive stanja usvojiti signale x1(t) i x2(t), tj. izlaze iz integratora (signale iza blokova koji su oznaeni sa 1/s, to u vremenskom domenu odgovara operatoru D-1 ; oznaka 1/s e biti jasna nakon predavanja i vebi posveenih Laplasovoj transformaciji).

1Out1

1s

Integrator1

1s

Integrator

1/2

Gain5

12

Gain4

7

Gain3

3

Gain2

9

Gain1

6

Gain

1In1

x2(t)x2(t)

x1(t)x3(t)x3(t)w(t)

y(t)

Slika 1.

REENJE: Odziv sistema na dejstvo generatora i nenulte poetne uslove se jednostavno moe simulirati u Simulink-u. Poetni uslovi se zadaju unutar integratora (levi dvoklik na integrator), a na ulaz treba dovesti Hevisajdovu funkciju, to se moe uraditi na vie naina (preko step-bloka, signal-generator bloka itd.). Matrice A, B, C i D za sistem sa slike 1. se lako postavljaju i iznose

[ ] [ ]5.1,1230,5.0

0,

71210

==

=

= DCBA .

Kada imamo ove etiri matrice mogue je ekvivalentno zadati sistem korienjem bloka State space, to je takoe ilustrovano. Detaljno se upoznajte sa svim korienim Simulink-ovim

2

blokovima i njihovim maskama za unos podataka (Step, Signal Builder, State-space itd.), i uporedite rezultujue signale koji su dobijeni na virtuelnom osciloskopu i prikazani na slici 2.

Slika 2. Komentar: grafici sa slike 2 su isti, ali nisu ni matematiki ni fiziki korektni, tj. u

MathWorks-ovom Simulink-u nije korektno implementirano nalaenje odziva za kauzalne pobudne signale. U matematikom smislu, dobijeni grafici ne predstavljaju funkciju koja zadovoljava odgovarajuu RUI i poetne uslove. Tano reenje u ovom primeru glasi y(t)= tt ee 43 56 ( ) )(149

41 34 thee tt + . Odavde sledi da je npr. y(0+)=6-5-1/4(-9+4-1)1=

=1+3/2=2.5, dok se sa grafika moe oitati y(0+)1.7 (bez obzira na rezoluciju). Takoe, nije zadovoljeno ni y(0

-

)=1. U fizikom smislu, ukoliko su LVN sistemi kauzalni (nema odziva pre nego to pone da deluje pobuda) i ukoliko je pobuda kauzalna (jednaka nuli levo od nekog poetnog trenutka t=0), tada pre trenutka t=0 nema ta da pokrene sistem i proizvede odziv razliit od nule (to ovde takoe nije sluaj). Ova situacija e jo biti komentarisana na vebama.

Kada su (kao to je to ovde sluaj) matrice A, B, C i D numerike (za razliku od simbolikih matrica, pomou kojih smo analizirali LVN RLC kola u drugoj i treoj raunarskoj vebi kursa TEK), u Matlab-u stoji na raspolaganju niz naredbi kojima se moe jednostavno zadavati i analizirati ponaanje LVN sistema u kontinualnom vremenu. Prva meu njima je naredba ss, koja formira opis sistema u prostoru stanja (state space). U Matlab-u,

>> A=[0 1; -12 -7];B=[0;1/2];C=[-30 -12];D=[3/2]; >> sistem=ss(A,B,C,D)

Druga korisna naredba je ss2tf (from state-space to transfer-function), koja vraa koeficijente operatorskog polinoma koji deluje na izlaz (leva strana RUI u vremenskom domenu), i operatorskog polinoma koji deluje na ulaz (desna strana RUI u vremenskom domenu):

>>[rui_desna_strana,rui_leva_strana]=ss2tf(A,B,C,D)

Kao rezultat dobijamo da su koeficijenti operatorskog polinoma koji deluje na ulaz [1.5, 4.5, 3], a koeficijenti operatorskog polinoma koji deluje na izlaz [1, 7, 12]. Odavde sledi da je odgovarajua diferencijalna jednaina koja povezuje ulaz w(t) i izlaz y(t) (tj. RUI) oblika

3

)(3)(5.4)(5.1)(12)(7)( 22

2

2

twdt

tdwdt

twdty

dttdy

dttyd

++=++ .

Funkcijom ss2tf je praktino implementiran ceo postupak izvoenja RUI iz JS korienjem Kejli-Hamiltonove teoreme (to je bila tema raunarskih vebi 2 i 3 u kursu TEK). Poetne uslove y(0_) i dy(0_)/dt za RUI je ipak potrebno izraunati posebno, to je pokazano u prateoj datoteci SIS_VEZBA_2_PRIPREMA.m. Izraunate vrednosti su y(0_)=1 i dy(0_)/dt=2. Ako je pobuda w(t)=h(t), sledi da su dw(t)/dt=d(t) i d 2w(t)/dt2=dd(t)/dt. Prema tome, ukupni problem koji treba reiti glasi

==

++=++

2)0(,1)0(

)(3)(5.4)(5.1)(12)(7)( )1(22

dtdyy

thtttydt

tdydt

tyd ,

ili u Matlab-u

>>resenje=dsolve('D2y+7*Dy+12*y=1.5*Dirac(1,t)+4.5*Dirac(t)+3*Heaviside(t)',... 'y(-0.0000001)=1, Dy(-0.0000001)=2', 't')

odakle dobijamo

resenje =

6*exp(-3*t)*exp(-3/10000000)-5*exp(-4*t)*exp(-1/2500000)-1/4*heaviside(t)*(-9*exp(-4*t)+4*exp(-3*t)-1).

inioci 100000003

e i 25000001

e tee jedinici kada t0 sa leve strane, tako da deo reenja tt ee 43 56 predstavlja odziv na poetne uslove, yae(t) (tj. odziv na akumulisanu energiju), a deo

( ) )(14941 34 thee tt + predstavlja odziv usled ukljuenja (dejstva) generatora, ydg(t).

Vana napomena: prilikom raunanja ukupnog odziva, ukoliko u pobudi figuriu h(t) i d(t) (kao i bilo koji vii izvod delta funkcije u nuli), trenutak u kome se zadaju poetni uslovi nije t=0, ve t=0_ (ukoliko zadamo nenulte poetne uslove tano u nuli, dobiemo pogrene rezultate). 0_ je oznaka za trenutak neposredno pre ukljuenja (kauzalnih) generatora, tj. taka 0_ predstavlja limes(t) kada t0 sa leve strane. U primerima koji su dati, 0_ je aproksimirano sa -0.0000001.

U nastavku vebe, u .m datoteci je ilustrovano korienja funkcija koje su takoe od interesa u kontekstu analize LVN sistema u kontinualnom vremenskom domenu, kao to su step (odreivanje/crtanje jedininog odziva, tj. odziva na pobudu w(t)=h(t)), impulse (odreivanje/crtanje impulsnog odziva, tj. odziva na pobudu w(t)=d(t)), initial (odreivanje/crtanje odziva na poetne uslove, uz ponitenu pobudu w(t)=0), gensig (generisanje signala kao to su povorke etvrtki, povorke impulsa (ealj) itsl.), lsim (simulacija odziva linernog sistema na proizvoljnu pobudu) i ltiview ( simulacija razliitih odziva sistema, kao i grafika rasporeda polova i nula, Bode-ovog, Nikvist-ovog Nikols-ovog grafika itd.). Detaljno se informiite o ovim naredbama na odgovarajuim stranicama Matlab-ove dokumentacije (help-a). Rezultati dobijeni primenom nekih od pomenutih funkcija su prikazani na slici 3.

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

0

1

2

3

t

Indiciona f-ja

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-10

-5

0

5

10Impulse Response

Time (sec)

Ampli

tude

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-10

-5

0

5

10

t

Grinova f-ja (ne moze da nacrta njen singularni deo)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2Response to Initial Conditions

Time (sec)

Ampli

tude

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

2Povorka delta impulsa ("cesalj")

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1

0

1

2Odziv na povorku delta impulsa

Time (sec)

Ampl

itude

0 5 10 15 20 25 30-0.5

0

0.5

t

Odziv na sin(t)h(t), racunat preko konv.

Slika 3.

U pripremi za ovu vebu su takoe odreeni analitiki izrazi za indicionu f-ju (jedinini ili step odziv, tj. odziv kada je w(t)=h(t)) i Grin-ovu f-ju sistema (impulsni odziv sistema, tj. odziv kada je w(t)=d(t)), kao i nalaenje odziva na prozvoljnu novu pobudu, korienjem aperiodine konvolucije i Grin-ove f-je. Naredbe step i impulse vraaju (diskretizovan) vektor odbiraka vrednosti indicione ili Grin-ove f-je, u cilju simulacije/crtanja ovih odziva. Ukoliko elimo da dobijemo analitike izraze za ove funkcije, korienjem simbolikog rauna u Matlab-u (naredba dsolve), potrebno je reiti odgovarajue diferencijalne jednaine,

>>ind=dsolve('D2ind+7*Dind+12*ind=1.5*Dirac(1,t)+4.5*Dirac(t)+3*Heaviside(t)',... 'ind(-0.0000001)=0, Dind(-0.0000001)=0','t')

>>grin=dsolve('D2g+7*Dg+12*g=1.5*Dirac(2,t)+4.5*Dirac(1,t)+3*Dirac(t)',... 'g(-0.0000001)=0, Dg(-0.0000001)=0','t')

Vano: prilikom raunanja indicione i Grin-ove f-je, poetni uslovi su poniteni, odnosno postavljeni na nulte vrednosti. I ovde vai ranija napomena, da trenutak u kome se zadaju poetni uslovi nije t=0, ve t=0_ (ukoliko zadamo nulte poetne uslove u nuli, dobiemo pogrene rezultate).

Budui da za h(t) i d(t) vai veza d(t)=Dh(t), isti odnos vai i za indicionu i Grin-ovu funkciju, g(t)=Dind(t). Odziv LVN sistema, sa jednim ulazom i jednim izlazom (SISO-sistemi, od Single Input-Single Output) i nultim poetnim uslovima, na bilo koju novu pobudu, se moe izraunati kao ynovo(t)=g(t)*wnovo(t), gde je * oznaka za aperiodinu konvoluciju (definisano i ilustrovano na prolim vebama). Kako je g(t)=Dind(t), i s obzirom na odnos operatora D i *, novi odziv se moe izraunati i preko oblika ynovo(t)=(Dind(t))*wnovo(t)=ind(t)*(Dwnovo(t))= =D(ind(t)*wnovo(t)). Sva tri oblika vode ka istom rezultatu, ali ne moraju biti jednako laki za izraunavanje. Kao preporuka, moe se rei da je uvek lake raditi sa oblikom u kome e se napraviti to vie d-impulsa (u formi linearne kombinacije delta impulsa, njihovih pomeraja i viih izvoda), ime se moe izbei ulazak pod konvolucioni integral. U Matlab-u ovo nije od znaaja, ali u raunu koji se sprovodi bez raunara jeste.

U nastavku vebe, po uzoru na primer dat u pripremi, reite sledei zadatak:

5

ZADATAK 2.

Zadat je LVN sistem na slici 4. Modelovati ga u Simulink-u na dva opisana naina i simulirati njegov odziv na pobudu w(t)=h(t) i poetne uslove x1(0_)=1, x2(0_)=1. Odziv simulirajte u intervalu t[-1s,40s]. Odredite (na papiru) opis sistema preko jednaina stanja, tj. matrice A, B, C i D. Za promenjive stanja usvojite signale x1(t) i x2(t), tj. izlaze iz integratora.

Ponovite sve korake iz primera datog za pripremu vebe u .m datoteci (tj. odredite RUI i poetne uslove, odredite i nacrtajte ukupni odziv, indicionu i Grin-ovu funkciju u analitikom obliku i korienjem naredbi step i impulse). Odredite odziv na povorku etvrtki trajanja 5s, u intervalu t[-1s,40s], korienjem naradbi gensig i lsim. Odredite odziv na poetne uslove korienjem naredbe initial. Korienjem aperiodine konvolucije i Grin-ove funkcije, odredite i nacrtajte odziv na pobudu wnovo(t)=sin(t)h(t). Korienjem naredbe ltiview nacrtajte impulsni i jedinini odziv, kao i raspored polova i nula sistema.

1 y(t)1s

Integrator1

1s

Integrator

1/15

Gain5

1/5

Gain4

1/3

Gain3

1w(t)

x2(t)x2(t)

x1(t)x3(t)

x3(t)

(1/3)x2(t)

(1/5)x1(t)

Slika 4.