SISTEMI E MODELLI - · matematici dei sistemi e dei problemi connessi con la loro ... Nella pratica, anche se è chiaro che tutte le caratteristiche dei sistemi fisici ... una certa

Prof. Claudio Melchiorri

DEIS-Università di Bologna

Tel. 051 2093034

e-mail: [email protected]

http://www-lar.deis.unibo.it/~cmelchiorri

SISTEMI E MODELLISISTEMI E MODELLI

CONTROLLI AUTOMATICI LSIngegneria Informatica

Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 2008/2009

2SistemiSistemi e e ModelliModelli

Da diversi anni, i termini:“Sistema”, “Teoria dei Sistemi”, “Ingegneria dei Sistemi”…

sono divenuti di uso corrente in campi e discipline anche molto diverse: controllo dei processi, elaborazione dati, biologia, economia, ecologia, gestione aziendale, gestione traffico, …

Sistema: “elemento” comune in questa terminologiaNecessità di definire e studiare le proprietà strutturali dei “sistemi”



Sistema:insieme, isolato artificialmente dal contesto, costituito da più parti tra loro interagenti di cui si vuole indagare il comportamento

2

1 3

4

1 – 4: collegamenti

Ambiente esterno



Sistema:L’evoluzione di un sistema nel tempo si manifesta attraverso la variazione di un certo numero di attributi misurabili

Attributo misurabile:Caratteristica che può essere posta in relazione con uno o più numeri interi, reali o complessi o semplicemente con un insieme di simboli

Modello matematico:Riproduzione con equazioni delle relazioni intercorrenti tra i diversi attributi misurabili (variabili) del sistema.

2

13

4


5SistemiSistemi e e ModelliModelliLo studio di un sistema e delle sue proprietà è basato su di un modello matematico (anche se sono utilizzabili altri tipi di modelli) che descrive, con una certa approssimazione, le relazioni che intercorrono tra le diverse variabili del sistema.

Ad uno stesso sistema si possono associare più modelli, in dipendenza del tipo di rappresentazione desiderato, alla precisione e alla semplicità desiderate.

Oggetto della Teoria dei Sistemi è lo studio dei modelli matematici dei sistemi e dei problemi connessi con la loro deduzione ed utilizzazione.


6SistemiSistemi e e ModelliModelliUn sistema viene rappresentato graficamente con un blocco, e le sue variabili mediante collegamenti con l'ambiente esterno o con altri sistemi.

S

S1 S2


7SistemiSistemi e e ModelliModelliUn sistema orientato è un sistema in cui le variabili sono suddivise in

Variabili di ingresso (cause)Variabili di uscita (effetti)

Non sempre la suddivisione tra ingressi ed uscite (cause ed effetti) è univoca

Su1(t)

u2(t)

u3(t)

y(t)

ingressi

uscita

Ra La c(t), ω(t)

Le

va(t)

ia(t)

ve(t)

ie(t)


8SistemiSistemi e e ModelliModelli: : sistemisistemi staticistatici e e dinamicidinamiciSi considerano due tipi di sistemi:

1. Sistemi statici o privi di memoriamodello matematico dei sistemi statici:

equazioni algebriche - l'uscita del sistema dipende solo dal valore assunto dall'ingresso in quell'istante (relazione tra tensione e corrente in un resistore)

2. Sistemi dinamici o con memoriamodello matematico dei sistemi dinamici (a parametri concentrati):

equazioni differenziali - l'uscita del sistema non dipende solo dal valore assunto dall'ingresso in quell'istante, ma anche da quelli passati (relazione tra tensione e corrente in un condensatore)

concetto di stato


9ModelliModelli a a parametriparametri concentraticoncentratiLe caratteristiche fisiche dei sistemi dinamici sono distribuite nel sistema fisico stesso:

- massa- elasticità- resistenza- ...

Nella descrizione dei modelli dinamici, se è possibile fare delle approssimazioni che permettono di concentrare in uno (o pochi) punti tali caratteristiche e quindi ottenere notevoli semplificazioni nelle loro espressioni matematiche. Si hanno i cosiddetti modelli a parametri concentrati.

Nella pratica, anche se è chiaro che tutte le caratteristiche dei sistemi fisici sono distribuite, si cerca ove possibile di avere modelli a parametri concentrati.


10ModelliModelli a a parametriparametri concentraticoncentratiI modelli a parametri concentrati sono espressi da equazioni differenzialiordinarie (tempo continuo) o equazioni alle differenze (tempo discreto), chesono funzioni solo del tempo:

Se non è possibile considerare come concentrati alcuni dei parametri del modello, allora si deve ricorrere a equazioni alle differenze parziali. Infatti, la dinamica in questo caso non dipende solo dal tempo ma anche, per esempio, dallo spazio:



Sistema statico (algebrico)

Sistema dinamico

i(t)

v(t) R

i(t)

v(t) R

C

0 50 100 150 200 250 3000

10

20

30

40

50

60

Tempo (s)

V, I

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

q

v


12SistemiSistemi e e ModelliModelliRete elettrica resistiva

Rete combinatoria

vi(t)

R1

R2 vu(t)

u1

u2u3

y

yu3u2u1

0000

1010

0101

1001

1111

0011

0110

1100 Gli ingressi ui potrebberorappresentare le posizioni di tre interruttori e l’uscita y l’accensione di una lampada


13SistemiSistemi e e ModelliModelliSistemi dinamici: dotati di memoria. I valori dell’uscita, in un datoistante, dipendono anche dalla evoluzione degli ingressi negli istantiprecedenti (storia – memoria).

Rete elettrica con elementi che accumulano energia (capacità e/o induttanze)

R1

u(t) R2 vu(t)vc(t) x

u(t) vu(t)

x

ingresso uscita

stato


14SistemiSistemi e e ModelliModelliRete elettrica con elementi che accumulano energia (capacità e/o induttanze)

Si ha:

R1


u(t) vu(t)

x

ingresso uscita (y)

stato


15SistemiSistemi e e ModelliModelliIn definitiva si hanno due equazioni, una differenziale ed una algebrica:

Funzione di velocità di transizione dello stato

Funzione di uscita

u x y


16SistemiSistemi e e ModelliModelliIn definitiva si hanno due equazioni, una differenziale ed una algebrica:

In generale la soluzione dell’eq. differenziale può essere molto difficile. Per una certa categoria di sistemi (sistemi lineari tempo continui a parametri concentrati) si ha che, dato x(0) = x0 (valore dello stato per t =0):

Funzione di velocità di transizione dello stato

Funzione di uscita

Funzione di transizione dello stato


17SistemiSistemi e e ModelliModelliLa formula

valida anche nel caso vettoriale, viene detta Formula di Lagrange

Si ricava dalla regola di calcolo della derivata di un integraledipendente da parametri

con


18SistemiSistemi e e ModelliModelliI principali problemi di analisi della Teoria dei Sistemi sono:

Analisi del moto o della risposta: determinazione del moto o della funzione di uscita, dati lo stato iniziale e la funzione di ingresso

Analisi della controllabilità: possibilità di influire sul moto o sulla funzione di uscita agendo sulla funzione di ingresso

Analisi dell’osservabilità: possibilità di determinare lo stato in un dato istante, note le funzioni di ingresso e di uscita

Analisi della sensitività: influenza sul moto o sulla funzione di uscita di variazioni dello stato iniziale, della funzione di ingresso e dei parametri del sistema

Analisi della stabilità: proprietà che a variazioni limitate dello stato iniziale o della funzione di ingresso corrispondano variazioni limitate del moto e della funzione di uscita.


19SistemiSistemi e e ModelliModelliI principali problemi di sintesi della Teoria dei Sistemi sono:

Sintesi dell’ingresso: determinazione di una funzione di ingresso che, a partire da un dato stato iniziale, origini un moto o una funzione di uscita con caratteristiche “desiderate”

Sintesi dell’ingresso e dello stato iniziale: determinazione di una funzione di ingresso e di uno stato iniziale corrispondenti ad un moto o ad una funzione di uscita con caratteristiche “desiderate”

Sintesi di un dispositivo di controllo: realizzazione di un dispositivo che, collegato al sistema in modo opportuno, dia luogo ad un sistema complessivo con determinate caratteristiche in relazione alla risposta, controllabilità, stabilità, sensibilità ai disturbi, …


20SistemiSistemi e e ModelliModelliConcetto di stato di un sistema dinamico.Lo stato è l’informazione che occorre in ogni istante della “situazione interna” di un sistema dinamico per potere predire l’effetto della storia passata del sistema stesso sul suo comportamento futuro

Nei sistemi fisici la “situazione interna” è tipicamente determinata da accumuli di energia, di quantità di moto o di massa e perciò può essere opportuno scegliere come variabili di stato quelle variabili da cui questi accumuli dipendono (es. neicircuiti elettrici le tensioni ai capi di condensatori o delle induttanze, nei sist. meccanici le posizioni o velocità di masse)

Le variabili e le equazioni di stato NON sono definite in modo univoco!


21SistemiSistemi e e ModelliModelliConsiderazioni energeticheIn ogni dominio fisico (escluso quello termico) esistono due parametri che caratterizzano, ciascuno, un diverso meccanismo di accumulo dell'energia:

elettricoCapacità (C) e Induttanza (L)

meccanico traslanteMassa (M) e reciproco della rigidità longitudinale (1/K)

meccanico rotanteMomento di inerzia (J) e reciproco della rigidità torsionale (1/K)

fluidico (idraulico/pneumatico)Capacità fluidica (Cf) e Induttanza fluidica (Lf)

termicoCapacità termica (Ct)


22

Considerazioni energeticheI due meccanismi elementari di accumulo della energia:

SistemiSistemi e e ModelliModelli

Le variabili ai morsetti sono in realtà differenze

dominio accumulo “capacitivo” accumulo “induttivo”

E Cv=12

2 E Li=12

2elettrico

meccanicotraslante E Mv=

12

2 EK

f=12

1 2

meccanicorotante

E J=12

2ω EK

c=12

1 2

idraulico/pneumatico E C pf=12

2 E L qf=12

2

termico E C Tt= mancavariabilipassanti

variabiliai morsetti

l'energia accumulatadipende dalle


23SistemiSistemi: : esempiesempi

Definizione

Lo stato di un sistema dinamico Σ è: un elemento di un insieme X, detto insieme degli stati, soggetto a variare nel tempo,con la proprietà che lo stato x(t0) in un istante t0, unitamente al segmento della funzione di ingresso u|[t0,t1], determinaunivocamente la funzione di uscita y|[t0,t1]


24SistemiSistemi e e ModelliModelli -- EsempiEsempiCircuito RLC

R

vu(t)

L

Cvi(t) i

Scelta della variabile di stato:variabile i cui valori sono legati adaccumuli di energia

i vc


25SistemiSistemi -- EsempiEsempiCircuito RLC

R

vu(t)

L

Cvi(t) i

2 stati1 uscita


26SistemiSistemi -- EsempiEsempiCircuito elettrico a più maglie

R1 R2

R3C2

C1

vi(t) vu(t)v2

v1

i1i2 i3

i5

i4



R1 R2

R3C2

C1

vi(t) vu(t)v2

v1

i1i2 i3

i5

i4

2 stati1 uscita



R1 R2

R3C2

C1

vi(t) vu(t)v2

v1

i1i2 i3

i5

i4

Discontinuità sull’uscitadovute alla presenza del termine D

0 0.5 1 1.5 2-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Stati x1 e x2

0 0.5 1 1.5 2-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Ingresso ed uscita


29SistemiSistemi -- EsempiEsempiSistema meccanico

f(t) k2

m1

x1(t)

m2

x2(t)k1

b1

b2

4 stati2 uscite


30SistemiSistemi -- EsempiEsempiSistema meccanico

f(t) k2

m1

x1(t)

m2

x2(t)k1

b1

b2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo

Posizione due masse

x1

x2

f

m1 = 10;m2 = 5;k1 = 100;k2 = 50;

b1 = 10;b2 = 20;

0 10 20 30 40 50-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo

Posizione due masse

x1

x2

f

b1 = 50;b2 = 20;

f = 100 N


31SistemiSistemi -- EsempiEsempiMotore elettrico in C.C.

Ra La Cm(t), ω(t)

Le

va(t)

ia(t)

ve(t)ie(t)

vc(t)Cr(t)

u y

x

3 stati2 ingressi1 uscita


32SistemiSistemi: : esempiesempi

Rete sequenziale (sistema a stati finiti)

Modello matematico:

u1

sinc

yu2

Il sistema è sincrono: l’uscita è 1 se il simbolo di ingresso attuale è 01 e se in precedenza, fra i simboli 00 e 11, si è presentato per ultimo 11

1110110000

11100100

0010100000

11100100

u1 u2

u1 u2

x

x

Funzione di stato futuro

Funzione di uscita

Sistema dinamico a tempo discreto


33SistemiSistemi: : esempiesempiAltri sistemi a tempo discreto si hanno p.e. quando un sistema a tempo continuo viene controllato con un elaboratore digitale

u(k)

y(k) T

T

R1



34SistemiSistemi: : esempiesempiAltri sistemi a tempo discreto si hanno p.e. quando un sistema a tempo continuo viene controllato con un elaboratore digitale

Se all’ingresso è applicata una funzione costante a tratti e se l’uscita è“campionata” negli stessi istanti kT in cui l’ingresso varia:

R1


u

t

u(0)u(1)

u(2)

u(3)u(4)

0 T 2T 3T 4T


35SistemiSistemi: : esempiesempiLa funzione di transizione dello stato si ottiene (per verifica diretta) come


36SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniIl modello matematico di un sistema dinamico in generale ècaratterizzato da:1. un insieme dei tempi 2. un insieme delle variabili di ingresso3. un insieme delle funzioni di ingresso 4. un insieme delle variabili di uscita5. un insieme delle variabili di stato

D.1 Il sistema è a tempo continuo, o, semplicemente, continuo, se è

D.2 Il sistema è a tempo discreto, o, semplicemente, discreto, se è


37SistemiSistemi e e ModelliModelliDefinizione:

Un modello si dice causale quando l'uscita corrispondente ad una data sollecitazione si manifesta soltanto in istanti non anteriori a quello iniziale di applicazione della sollecitazioneUn modello non causale si dice anticipativo. Un modello anticipativo non può corrispondere ad alcun sistema fisico

non è immaginabile un sistema che reagisce ad una sollecitazione ancor prima che questa sia applicata!

è non causale se consideriamo x come ingresso ed y come uscita (si pensi alla derivata come rapporto incrementale)⇒ occorrono sia il valore passato che quello futuro della variabile

Non si può costruire underivatore

ideale

Il modello

è causale se consideriamo y come ingresso ed x come uscita

Modelli non causali sono utilizzati per comodità di analisi e manipolazione


38SistemiSistemi e e modellimodelli causalicausaliIn altre parole, un sistema (modello) si dice causale quando la sua uscita in un dato istante dipende dagli ingressi precedenti (fino a quell'istante) e non dai valori futuri (l'ingresso influenza solo i valori futuri dell'uscita o al massimo il suo valore attuale, non quelli passati).

Non si ha conoscenza di sistemi fisici non causali o anticipativi, la cui definizione è quindi solo matematica.

Un importante esempio di modello matematico anticipativo è dato dall'azione derivativa:

Infatti dalla definizione di derivata si ha:

da cui si vede come per il calcolo sia necessaria la conoscenza del valore futuro della variabile u(t).


39SistemiSistemi e e modellimodelli causalicausaliEsempio (impossibilità fisica):

L’ampiezza (e quindi l’energia) del segnale di uscita y(t) crescerebbe all’infinitoall’aumentare della pulsazione ω in ingresso!

x(t) y(t)

0 2 4 6 8 10-4

-2

0

2

4A = 1, ω = 2 rad/sec

0 2 4 6 8 10-4

-2

0

2

4A = 1, ω = 4 rad/sec

Tempo (sec)


40SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniD.3 Un sistema privo di memoria o puramente algebrico ècomposto dagli insiemi e da una funzione ingresso/uscita

D.4 Un sistema dinamico a tempo continuo è composto dagli insiemi , da una funzione di velocitàdi transizione dello stato

con soluzione unica per ogni stato iniziale e per ogni funzione di ingresso ammissibile, e da una funzione di uscita


41SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniD.5 Un sistema dinamico a tempo discreto è composto dagli insiemi , da una funzione di stato futuro

e da una funzione di uscita

D.6 Un sistema puramente dinamico è un sistema dinamico la cui funzione di uscita è

(non dipende direttamente dall’ingresso)


42SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioni

uz

y

Sistema puramente dinamico

Sistema puramente algebrico

Manca nei sistemi puramente dinamici

Proprietà di separazione: parte dinamica (con stato)parte algebrica

D.7 Un sistema è stazionario o invariante nel tempo se il tempo non compare esplicitamente nelle funzioni del suo modello matematico; altrimenti si dice non stazionario o variante nel tempo.


43ModelliModelli a a parametriparametri costanticostanti nelnel tempotempoSe le proprietà di un dato sistema sono indipendenti dal tempo (costanti), allora i relativi parametri sono costanti. I relativi modelli sono detti stazionari o invarianti.

Per tali sistemi si ha la ripetibilità degli esperimenti: l'uscita che si ottiene applicando al sistema con un dato stato iniziale x0 un ingresso al tempo t0 èuguale (a parte una traslazione nel tempo) a quella che si ottiene (con lo stesso stato iniziale x0) applicando lo stesso ingresso all'istante t-δ.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo (s)

x, y

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo (s)

x, y


44ModelliModelli a a parametriparametri costanticostanti nelnel tempotempoDa un punto di vista pratico, è raro che i parametri di un sistema non cambino nel tempo.

D'altra parte, è sufficiente che essi non varino in modo apprezzabile in un arcotemporale confrontabile alla durata dell'esperimento.

Nei modelli stazionari, non ha importanza l'istante di inizio dell'osservazione, che viene quindi solitamente considerato uguale a zero: t0 = 0


45SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniD.8 Un sistema è lineare se 1. gli insiemi sono spazi vettoriali (tutti nello

stesso campo )2. le funzioni che compongono il suo modello matematico sono

lineari in x, u per tutti i t ammissibili.

Nel caso opposto il sistema si dice non lineare

In genere si indicano con:

Sistemi lineari Sistemi non lineari



Sistema puramente algebrico

Sistema dinamico a tempocontinuo

Sistema dinamico a tempodiscreto


47SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniSpesso l’insieme degli ingressi viene assunto limitato per tener conto di limitazioni di carattere fisico

Esempi: tensione in ingresso ad un motore elettrico -Va < v < Va

portata in ingresso ad un serbatoio 0 < u < U…

u1

u2



Classificazione sulla base dello stato

D. 9 Si definiscono quindi:Sistemi a stati finitiSistemi a dimensioni finiteSistemi a dimensioni infinite

= insieme degli stati

insieme finito

spazio vettorialecon dimensioni

finite

infinite


49SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniFunzione di transizione dello stato

La soluzione delle equazioni

è del tipo

e si chiama funzione di transizione dello stato


50SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniProprietà della funzione di transizione dello stato

1. Orientamento nel tempo: è definita per t ≥ t0 , ma non necessariamente per t < t0

2. Causalità: dipende dalla funzione di ingresso limitatamente all’intervallo [t0, t]

3. Consistenza:4. Composizione: congruenza tra due successive transizioni


51SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniRappresentazione dell’evoluzione dei sistemi

L’evoluzione dello stato nel tempo può essere rappresentata con una traiettoria nello spazio degli stati, parametrizzata in funzione del tempo

x2x1

x3

x(0)

tt1

t2

t3

t

u

t1 t2 t3

Traiettoria:

Funzione di ingressoLa scelta dell’ingresso in un dato istantepermette di imporre orientamenti diversialla tangente alla traiettoria in t: si agiscedirettamente sulla velocità

Possibili scelte di controllo


52SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniEvento: coppia stato-tempo {t, x(t)} ∈ T x XMoto o Movimento per t ∈ [t0, t1] l’insieme degli eventi definiti dalla funzionedi transizione

Il moto è definito nello spazio T x XTraiettoria: immagine in X della funzione di transizione in t ∈ [t0, t1]La traiettoria è definita in X

0 2 4 6 8 10

01

230

0.5

1

1.5

2

tX1

x 2

Traiettoria

Moto


53SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniAnalogamente, si ottiene una funzione che descrive le traiettorie delle uscite. Da:

Dalla (1) si è dedotta la funzione di transizione (dello stato)la quale, sostituita in (2), fornisce la funzione di risposta

Traiettoria delle uscite:


54SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniRiepilogando:

Un sistema, una volta che sia risolta l’equazione del suo modello matematico, è caratterizzato da una funzione di transizione (dello stato)

e da una funzione di risposta



D. 10 Stati indistinguibili in [t0, t1] : gli stati lo sono se

D.11 Stati equivalenti: gli stati lo sono se sono indistinguibili per ogni coppia di istanti

D.12 Sistema in forma minima: è un sistema privo di stati equivalenti

Un sistema non in forma minima può essere ridotto in forma minima definendo un nuovo insieme degli stati in cui ogni nuovo stato corrisponde ad una classe di vecchi stati equivalenti


56SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniEsempio:

vu(t)

vi(t)

R R

RR

R1

C

vu(t)

vi(t)R

R1

Sistema non in forma minima Sistema in forma minima



θ(t), ω(t)va(t)

cr(t)q(t)

z

Motore

Pompa volumetrica

Pompa: cr = kp ω, q = kq ωSerbatoio: dz / dt = ks q

Unendo i modelli, si trovano due stati equivalenti (θ, z). Uno dei due, θ in questo caso, non interessa e può essere eliminato.



D.13 Sistemi equivalenti: Σ1 e Σ2 lo sono se è

ed ad ogni stato dell’uno si può associare uno stato dell’altro tale che

Σ1

Σ2

u(.)

x1

x2

y1

y2



I sistemi sono equivalenti se

Gli stati iniziali devono essere legati dalla relazione

R1 vu(t)

L

vi(t) i0

R2

Cvi(t) vu(t)vc


60SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniInfatti:

R1vu(t)

L

vi(t) i0

R2

Cvi(t) vu(t)vc

I due sistemi sono equivalenti se

L’evoluzione degli stati è tale che



D.14 Stato di equilibrio temporaneo di un sistema dinamico Σ: lo è, nell’intervallo [t0, t1] se esiste una funzione di ingresso

tale che

f

m

s

s0

Particolari moti sono quelli costanti. La corrispondente traiettoria si riduce ad un unico stato detto di equilibrio.

ingresso


62SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniD.15 Stato di equilibrio è uno stato di equilibrio temporaneo in [t0, t1] per ogni coppia t0, t1 in

Esempio:

fs

s0

N.B. Può essere che non tutti i valori di s siano di equilibrio, poiché f è limitata


63SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniModelli matematici:

Casi particolari: modelli stazionari, modelli lineari, modelli lineari stazionari

Modello differenzialeingresso-stato-uscita

Modello alle differenzeingresso-stato-uscita

Modello globaleingresso-stato-uscita

Modello globaleesterno


64SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniSistemi stazionariSoddisfano la proprietà di transizione nel tempo di cause ed effetti

Per sistemi stazionari, la funzione di transizione e la funzione di risposta soddisfano le relazioni

tτ0

u(t)uΔ(t)

uΔ(t) = u(t-τ) funzione di ingresso traslata

Si suppone che sia:



In particolare, per τ = -t0, si ha

e quindi si ottiene che nei sistemi stazionari:

1. si può sempre assumere l’istante iniziale t0 = 02. le funzioni di transizione e di uscita dipendono dalla differenza

t-t0 e non da t e t0 separatamente


66SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniSistemi lineari

Le funzioni e sono lineari rispetto allo stato iniziale e alla f. di ingresso

Siano α e β due scalari arbitrari, e


67SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniImportante conseguenza: per i sistemi lineari vale la proprietàdi scomposizione del moto e della risposta

Inoltre:1. Stati indistinguibili in [t0, t1] danno luogo alla stessa risposta

libera in [t0, t1]2. Un S.L. è in forma minima se non esistono due diversi stati

iniziali corrispondenti alla stessa risposta libera.

Moto libero Moto forzato

Risposta libera Risposta forzata


68SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniControllabilità e Raggiungibilità

Rappresentano la possibilità di influire sul moto x(·) o sulla risposta y(·) di un sistema dinamico Σ mediante una opportuna scelta della funzione di ingresso o di controllo u(·)

1. D.16 Insiemi degli stati raggiungibili all’istante t1 a partire dallo stato x0 all’istante t0

2. D.17 Insieme degli stati raggiungibili in un istante dell’intervallo [t0, t1] a partire da x0 in t0



3. D.18 Insiemi degli stati controllabili allo stato x1 all’istante t1 a partire dall’istante t0

4. D.19 Insieme degli stati controllabili allo stato x1 all’istante t1 a partire da un istante dell’intervallo [t0, t1]

Si ha che


70SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniRappresentazione in X = <2

Spazio delle coppietempo-stato (t, x)

tt0 t1

x(t1)

Coppie (t,x) relative agli istanti t0, t1

x(t0)

Traiettoria x(t)relativa a [t0 t1]

x’(t0)

x”(t0) x’(t1)

x”(t1)


71SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniRappresentazione in X = <2

Spazio delle coppietempo-stato (t, x)

t

Coppie (t,x) relative agli istanti t0, t1Insieme di tutti i moti ammissibili cui appartengono(t1, x1) e (t0, x0)

t0 t1

x0

x1


72SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniDefiniamo inoltre:

Si ha che:

E inoltre:

Proiezione lungo l’asse t su P0 di

Proiezione lungo l’asse t su P1 di


73SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniLo stato di un sistema (o il sistema stesso) si dice completamente raggiungibile dall’evento (t0, x) nell’intervallo

[t0, t1] quando

Lo stato di un sistema (o il sistema stesso) si dice completamente controllabile all’evento (t1, x) nell’intervallo

[t0, t1] quando

tt0 t1x

tt0 t1

x



Nel caso di sistemi stazionari, potendo assumere t0 = 0, si adotta una notazione semplificata:

Si definiscono gli insiemi e come

cioè gli insiemi degli stati raggiungibili da x e controllabili a x in un tempo comunque elevato.


75SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniUn sistema stazionario si dice fortemente connesso se èpossibile ottenere la transizione fra due stati qualunque, cioèse

tt0 t1x0

x1x0


76SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniOsservabilità (e Ricostruibilità)

La “osservabilità” indica la possibilità di determinare lo stato iniziale x(t0) o lo stato finale x(t1) (si parla in questo caso talora di “ricostruibilità”) conoscendo l’evoluzione dell’ingresso e dell’uscita nell’intervallo [t0, t1].

Il problema dell’osservazione dello stato iniziale non ammette soluzione se lo stato iniziale appartiene ad una classe di statiindistinguibili in [t0, t1].



Osservabilità (e Ricostruibilità)Si definiscono gli insiemi:

Stati iniziali compatibili con le funzioni u(·) e y(·) in [t0, t1]

Stati finali compatibili con le funzioni u(·) e y(·) in [t0, t1]

dove la funzione y(·) non è arbitraria, ma vincolata ad appartenere al seguente insieme delle funzioni ammissibili


78SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniLo stato di un sistema (o il sistema stesso) si dice:

diagnosticabile in [t0, t1] se esiste una u(·) ∈ UF tale che l’insieme comprenda un solo elemento x0

per ogni y(·) ∈ Yf ,

incasellabile in [t0, t1] se esiste una u(·) ∈ UF tale che comprenda un solo elemento x1 per ogni

y(·) ∈ Yf

Lo stato di un sistema (o il sistema stesso) si dice:

Completamente osservabile in [t0, t1] se è diagnosticabile in [t0, t1] con qualunque u(·) ∈ UF

Completamente ricostruibile in [t0, t1] se è incasellabile in [t0, t1] con qualunque u(·) ∈ UF


79SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniPer sistemi stazionari si può usare la notazione

Implicazioni:

Sistemadiagnosticabile

Sistemaincasellabile

Sistemacompletamente

ricostruibile

Sistemacompletamente

osservabile


80SistemiSistemi e e ModelliModelli -- DefinizioniDefinizioniProblemi di controllo e di osservazione:

1. Controllo tra due stati assegnati2. Controllo per ottenere un’uscita assegnata3. Controllo per ottenere una funzione di uscita assegnata4. Osservazione dello stato5. Ricostruzione dello stato6. Diagnosi7. Incasellamento

Prof. Claudio Melchiorri

DEIS-Università di Bologna

Tel. 051 2093034

e-mail: [email protected]

http://www-lar.deis.unibo.it/~cmelchiorri

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