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tem
es d
'Equ
acio
ns L
inea
ls
Apuntes deTeoría
2 Bachillerato* Definición y Conceptos* Solución de un Sistema* Tipos de Sistemas* Estudio de los Sistemas :
Ë ClasificaciónË Resolución
* Regla de Cramer* Método del Pivote* Sistemas Equivalentes* Ideas Complementarias* Sistemas Parametrizados
X.B.Alacant
XB
Apunts
Sistemes
Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 2
1 2 n
9 9 9
1 6 a11x1% a
12x2% ... %a
1nxn ' b1
2 6 a21x1% a
22x2% ... %a
2nxn ' b2
.... % .... % ... % .... ' ...
m 6 am1x1 % am2x2 % ... %amnxn ' bm
( I )
Sistemas de Ecuaciones LinealesEcuación LinealDadas las incógnitas x1 , x2 , x3 , ..., xn y los coeficientes a1 , a2 , a3 , ..., an , b 0 ú.
Llamamos ECUACIO� LI�EAL CO� COEFICIE�TES REALES a una
ecuación de la forma :
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b
Ejemplo 1.-
3x + 2y + z = 5 Es una ecuación lineal, incógnitas x, y, z.
2x1 + x2 - x3 + x4 = 0 Es una ecuación lineal, incógnitas x1 , x2 , x3 , x4
5x2 + 2xy + 3y = 7 NO es una ecuación lineal (los términos de la ecuación 5x2 y
2xy ‘rompen’ la linealidad de la ecuación).
Sistema de Ecuaciones Lineales
Un SISTEMA DE " m " ECUACIONES LINEALES y " n " INCÓGNITAS con
COEFICIENTES REALES ( en adelante, Sistema de Ecuaciones Lineales, o,
simplemente, en este tema, Sistema de Ecuaciones), es un conjunto de m ecuaciones
lineales que deben cumplirse simultáneamente ( m 0 ù, m $ 1 )
Elementos de un Sistema de Ecuaciones Lineales.
< x1, x2, x3, ..., xn son las Incógnitas.
< a11, a12, a13, ..., amn son los coeficientes.
< b1, b2, b3, ...,bm son los términos independientes.
Ejemplo 2.-
2x + 3y + 5z = 2
4x + 3y - 3z = 3 A Es un Sistema de 2 ecuaciones lineales con tres incógnitas (x,y,z)
�OTA : Solemos tomar como incógnitas las letras 'x, y, z' si el sistema es de dos o
tres incógnitas, a partir de cuatro, empleamos letras con subíndice x1, x2, x3, ..., xn.
XB
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Sistemes
X.B. Apunts
Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 3
Un Sistema de Ecuaciones Lineales también podemos escribirlo así :
Expresión Matricial del Sistema :
a11
a12
... a1n
a21
a22
... a2n
.... .... .... ....
am1
am2
... amn
@
x1
x2
...
xn
'
b1
b2
...
bm
O así :
Expresión Vectorial del Sistema :
x1
a11
a21
!
am1
% x2
a12
a22
!
am2
% ··· % xn
a1n
a2n
!
amn
'
b1
b2
!
bm
Dando lugar a nuevos elementos:
< La matriz de COEFICIE�TES, : A '
a11
a12
... a1n
a21
a22
... a2n
.... .... ... ...
am1
am2
... amn
m × n
< La matriz AMPLIADA, : ( A/b ) '
a11
a12
... a1n
b1
a21
a22
... a2n
b2
.... .... .... .... ...
am1
am2
... amn
bm m × (n%1)
De forma que, matricialmente, podemos escribir un Sistema de Ecuaciones Lineales
de la siguiente forma:
A · X = b
XB
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 4
siendo 'A', la matriz de coeficientes, 'b' la matriz columna de términos independientes, y
la matriz columna de incógnitas. X '
x1
x2
...
xn
Ejemplo : El sistema de ecuaciones lineales se escribe2x % 3y % 5z ' 2
4x & 3y % 3z ' 3
matricialmente 2 3 5
4 &3 3·
x
y
z
'2
3
y vectorialmente x2
4% y
3
&3% z
5
3'
2
3
Ejercicios :
1.- Obtener la expresión matricial y vectorial de los siguientes Sistemas de Ecuaciones
Lineales indicando el número de ecuaciones y las incógnitas, así como la matriz de
coeficientes y la matriz ampliada.
1.1 x % 3y ' 4
x & y ' 3
1.2
2x1% x
2' 6
x1& x
2' 3
3x1% x
2' 7
1.3 x1& x
2% x
3% x
4' 1
2x1% x
2& x
3% 2x
4' 3
1.4 x · a % 3b % 2c ' 5
3a & 2b ' 4
a % b & 3c ' 0incógnitas: a,b,c
XB
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 5
1 2 m
9 9 9
1 6 a11x1% a
12x2% ... %a
1nxn
' b1
2 6 a21x1% a
22x2% ... %a
2nxn
' b2
.... % .... % ... % .... ' ...
m 6 am1x1% a
m2x2% ... %a
mnxn
' bm
( I )
1.5 x1
1
2
1
3
% x2
2
1
0
&1
% x3
4
0
1
2
% x4
1
1
&1
0
% x5
0
1
0
1
'
0
0
0
0
<<<< Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales :
Dado el S.E.L.:
"n" valores reales x1*,x2
*,...,xn*, forman U�A SOLUCIÓ� del mismo, si, al sustituir :
se satisfacen las m igualdades del sistema (I)
/0000000000000000000
x1por x (
1
x2por x (
2
......
xnpor x (
n
Ejemplo 3.- Dado el Sistema de Ecuaciones Lineales :
3x % 2y ' 7
2x % y ' 4x ' 1 ; y ' 2 es una solución del mismo,
pues3·1 % 2·2 ' 7 T
2·1 % 2 ' 4 T
Ejercicios:
2.- Comprobar que x = 1, y = 2, z = -1 es una solución del Sistema de Ecuaciones Lineales :
x % y % z ' 2
x % 2y % z ' 4
&x % y % z ' 0
3.- Comprobar que x = 1 - " - $ , y = " , z = $ es solución del Sistema de Ecuaciones
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 6
3x1% 2x
2% x
3' 4
x1& x
2% 2x
3' 0
Sistema ORDINARIO
x % y % z ' 0
x & y % 2z ' 0
3x % 2y % 3z ' 0Sistema HOMOGÉNEO
Lineales : x % y % z ' 1
x % y % z ' 1
x % y % z ' 1œ α, β 0 ú
4.- Comprobar que x = 2 , y = 3 NO es solución del Sistema de Ecuaciones Lineales :
x % 3y ' 11
3x % 2y ' 10
Resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales :
Entendemos por RESOLVER un Sistema de Ecuaciones Lineales al hecho de hallar
todas las soluciones del mismo, si las tiene.
TIPOS DE SISTEMAS DE
ECUACIO�ES LI�EALES
Atendiendo al hecho de que un Sistema de Ecuaciones Lineales tenga o no solución,
y al número de éstas, clasificamos los sistemas de ecuaciones lineales en:
< SISTEMA COMPATIBLE
Un Sistema de Ecuaciones Lineales es COMPATIBLE si posee solución.
a) Si dicha solución es única YYYY COMPATIBLE DETERMINADO ( S.C.D.)
b) Si no es única ( hay infinitas ) YYYY COMPATIBLE INDETERMINADO
(S.C.I.)
<<<< SISTEMA I�COMPATIBLE
Un Sistema de Ecuaciones Lineales es INCOMPATIBLE si no posee solución (S.I.)
Por otro lado, atendiendo a los términos independientes del Sistema de Ecuaciones
Lineales, clasificamos los sistemas en :
< SISTEMA ORDINARIO. Si alguno de los términos independientes es ………… 0
< SISTEMA HOMOGÉNEO. Si todos los términos independientes son ceros
Ejemplo 4.-
Ejercicios:
XB
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 7
x % 3y & z ' 2
2x % y % z ' 0
x1% x
2' 0
x1& x
2' 0
x1% 3x
2' 0
x1& x
2% x
3' x
4
2x1% x
2' x
3
x1% x
2& 3x
3% x
4' 0
2 1 3
1 1 &1
0 2 &1
x1
x2
x3
'
0
a
0
según valores de a 0 ú
1 2
3 4
5 6
7 8
x
y'
0
0
0
0
5.- Clasifica los siguientes Sistemas en Homogéneos y 2o Homogéneos :
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
ESTUDIO DE LOS SISTEMAS DE
ECUACIO�ES LI�EALES
XB
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Sistemes
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 8
Dividiremos este importante e interesante estudio en dos bloques :
a) Clasificar el SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ( Averiguar a qué tipo
pertenece )
b) Resolver el SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ( Buscar su/s solución/es
si la/s tiene )
a) Clasificación de un SISTEMA
Para clasificar un Sistema de Ecuaciones Lineales emplearemos el teorema de
Rouché-Fröbenius, según el cual, dado el sistema de ecuaciones lineales A · X = b
con matriz de coeficientes A y matriz Ampliada (A/b) :
Teorema de Rouché-Fröbenius
µµµµ Sistemas
ordinarios
< Rang(A) = Rang(A/b) = nº Incógnitas Y Sistema
Compatible Determinado
( Solución
Unica )
< Rang(A)= Rang(A/b) < nº Incógnitas Y Sistema
Compatible Indeterminado
(Infinitas
soluciones)
< Rang(A) … Rang(A/b) Y Sistema Incompatible ( No posee
solución )
µµµµ Sistemas
homogé-
neos
< Rang(A) = nº Incógnitas Y Sistema Homogéneo Compa-
tible Determinado
( Solución
trivial,
x1=...=xn=0
)
< Rang(A)< nº Incógnitas Y Sistema Homogéneo Compati-
ble Indeterminado
(Infinitas
Soluciones
)
Siendo Rang(A), el rango de la matriz de coeficientes y Rang(A/b) el rango de la
matriz ampliada
Observa varios detalles :
<<<< El Teorema de Rouché Fröbenius nos permite clasificar un Sistema de
Ecuaciones Lineales hallando tan sólo dos rangos
( El rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada. Cuando
ambos rangos coinciden les llamaremos rango del sistema )
<<<< El Rang(A) nunca puede ser mayor que Rang(A/b)
( El Rango de la matriz de coeficientes nunca puede ser mayor que el rango de la
matriz ampliada ) (¡¡¡...!!! Obvio. )
<<<< En un sistema homogéneo, la matriz ampliada (A/0) tiene el mismo rango que
XB
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 9
la matriz de coeficientes, A.
( Por eso sólo se nombra el Rango de A en el teorema de Rouché Fröbenius).
<<<< En un sistema homogéneo, sólo hay dos opciones, o tiene solución trivial, o
tiene infinitas soluciones.
< El número de Ecuaciones de un Sistema, no "importa" para su clasificación.
Para hallar los rangos de la matriz de coeficientes o de la ampliada, podemos emplear las
técnicas ya conocidas,
< Método del PIVOTE o de Gauss (MdP o MdG)
< Método de Menores Orlados (MMO), según convenga. [ Se estudiaron en
el tema MATRICES ]
ESQUEMA DEL TEOREMA DE
ROUCHÉ-FRÖBE�IUS
µ Sistemas
ORDINARIOS< Si Rang(A) = Rang(A/b) = n YS.C.D.
< Si Rang(A) = Rang(A/b) < n. YS.C.I.
< Si Rang(A) … Rang(A/b) Y S.I.
µ Sistemas
HOMOGÉNEOS< Si Rang(A) = n Y S.H.C.D.
< Si Rang(A) < n Y S.H.C.I.
Veamos, a continuación, a través de unos ejemplos, la forma adecuada de emplear el
teorema.
Ejemplo 5 : Clasificar x % 2y & 3z ' 0
2x % y % 2z ' 5
x & y & z ' &1
[ Sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas ]
Matriz de Coeficientes : A '
1 2 &3
2 1 2
1 &1 &1
Matriz Ampliada : (A/b) '
1 2 &3 0
2 1 2 5
1 &1 &1 &1
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Vamos a hallar sus Rangos mediante el método de Gauss :
Coeficientes : Rang(A) = 3
1 2 &3
2 1 2
1 &1 &1
/000000000
/000000000
1 2 &3
0 &3 8
0 &3 2
/000000000
1 2 &3
0 &3 8
0 0 6
7
7
7
Ampliada : Rang(A/b) = 3
1 2 &3 ! 0
2 1 2 ! 5
1 &1 &1 ! &1
/000000000
/000000000
1 2 &3 ! 0
0 &3 8 ! 5
0 &3 2 ! &1
/000000000
1 2 &3 0
0 &3 8 5
0 0 6 6
7
7
7
nº Incógnitas = 3
En virtud del teorema de Rouché-Fröbenius
Rang(A) = Rang(A/b) = nº de incógnitas :
SISTEMA COMPATIBLE DETERMI�ADO
( El sistema tiene una única solución )
Ejemplo 6 : Clasificar
x1% 3x
2' 5
2x1% 6x
2' 10
&x1& 3x
2' &5
[ Sistema de 3 ecuaciones lineales con 2 incógnitas ]
Matriz de Coeficientes : A '
1 3
2 6
&1 &3
Matriz Ampliada : (A/b) '
1 3 5
2 6 10
&1 &3 &5
Vamos a hallar sus Rangos por el método de Gauss :
Coeficientes : Rang(A) = 1
1 3
2 6
&1 &3
/000000000
/000000000
1 3
0 0
0 0
7
Ampliada : Rang(A/b) = 1
1 3 5
2 6 10
&1 &3 &5
/000000000
/000000000
1 3 5
0 0 0
0 0 0
7
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 11
nº Incógnitas = 3
Según el teorema de Rouché-Fröbenius
Rang(A) = Rang(A/b) = nº de incógnitas :
SISTEMA COMPATIBLE I�DETERMI�ADO
( El sistema tiene infinitas soluciones )
Ejemplo 7 : Clasificar
2x1& x
2% x
3' &1
x1% 3x
2% 2x
3' 2
3x1% 2x
2% 3x
3' 4
[ Sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas ]
Matriz de Coeficientes : A '
2 &1 1
1 3 2
3 2 3
Matriz Ampliada : (A/b) '
2 &1 1 &1
1 3 2 2
3 2 3 4
Vamos a hallar sus Rangos por el método de MENORES ORLADOS :
Coeficientes : Rang(A) = 2/000000000
/000000000
2 &1 1
1 3 2
3 2 3
' 0 ; /0000/0000
2 &1
1 3… 0
Ampliada :
2 &1 1 &1
1 3 2 2
3 2 3 4
6 /0000/0000
2 &1
1 3… 0
/000000000
/000000000
2 &1 1
1 3 2
3 2 3
' 0
/000000000
/000000000
2 &1 &1
1 3 2
3 2 4
… 0
Rang(A/b) = 3
Rang(A) ………… Rang(A/b)
SISTEMA I�COMPATIBLE
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 12
( El sistema no tiene solución )
< Hemos fijado el menor no nulo de orden 2, y los dos menores de/0000/0000
2 &1
1 3
orden 3 se han obtenido mediante orlación. Como uno de ellos es … 0 Y Rang
(A/b) = 3
Ejemplo 8 : Clasificar
x1% 3x
2% 2x
3% x
4' 0
2x1& x
2% x
3% 2x
4' 0
x1& 4x
2&x
3% x
4' 0
[ Sistema Homogéneo de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas ]
Matriz de Coeficientes : A '
1 3 2 1
2 &1 1 2
1 &4 &1 1
Hallaremos el Rango por el método de Gauss
Coeficientes: Rang(A) = 2/000000000
1 3 2 1
2 &1 1 2
1 &4 &1 1
1 3 2 1
0 &7 &3 0
0 &7 &3 0
/000000000
/000000000
1 3 2 1
0 &7 &3 0
0 0 0 0
7
7
nº incógnitas = 3
Rang(A) < nº INCÓGNITAS
SISTEMA HOMOG�EO COMPATIBLE I�DETERMI�ADO
( El sistema homogéneo tiene infinitas soluciones ]
Y con este ejemplo, cerramos esta primera toma de contacto con la técnica apropiada
para clasificar un Sistema de Ecuaciones Lineales. ¡¡ Utilízalas como método !!.
RESOLUCIÓ� DE SISTEMAS DE
ECUACIO�ES LI�EALES
Naturalmente ¡¡ Sistemas Compatibles !!.
Para resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales vamos a seguir dos métodos :
< Regla de CRAMER
< Método del PIVOTE o Método de Gauss
<<<< REGLA DE CRAMER
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 13
<<<< SISTEMAS COMPATIBLES DETERMI�ADOS
Puesto que en un Sistema Compatible Determinado, el rango de la matriz de coefi-
cientes coincide con el rango de la matriz ampliada y con el nº de incógnitas,
seleccionaremos en primer lugar , tantas ecuaciones Linealmente Independientes
como indique el rango de la matriz de COEFICIENTES.
A continuación, el valor de cada incógnita se obtiene como el COCIE�TE de dos
determinantes :
* �UMERADOR: Determinante obtenido reemplazando en la matriz de coefi-
cientes, la columna correspondiente a la incógnita que estamos hallando, por la
columna de términos independientes, det (Ax, Ay, Az, etc).
* DE�OMI�ADOR: Determinante de la matriz de coeficientes.
Veamos la Regla de Cramer mediante un ejemplo :
Ejemplo 9 : Resolver /000000000
x % y & 3z ' &6
x % 2y % z ' 7
&x & y & z ' &6
[ Sistema de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas ]
* Clasificación
Matriz de Coeficientes: Rang(A) = 3A '
1 1 &3
1 2 1
&1 &1 &1
6 det(A) … 0
Ampliada : Sin necesidad de cálculo, Rang(A/b) = 3
[ Al ser un menor de orden 3 no nulo de la matriz ampliada y no poder serA
el rango de ésta superior a 3 ]
Rang(A) = Rang(A/b) = nº de incógnitas
SISTEMA COMPATIBLE DETERMI�ADO
( El sistema tiene una única solución )
* Resolución
Como Rang(A) = 3 Y seleccionamos tres Ecuaciones Linealmente Independientes ,
en este caso, las tres que hay.
XB
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 14
9
x '
/000000000
/000000000
&6
7
&6
1 &3
2 1
&1 &1
det(A)'
&8
&4' 2
9
y '
/000000000
/000000000
1
1
&1
&6
7
&6
&3
1
&1
det(A)'
&4
&4' 1
SOLUCIÓN :
/000000000
x ' 2
y ' 1
z ' 3
9
z '
/000000000
/000000000
1 1
1 2
&1 &1
&6
7
&6
det(A)'
&12
&4' 3
Aplicando el teorema de Cramer /000000000
x % y & 3z ' &6
x % 2y % z ' 7
&x & y & z ' &6
[ Observa el "movimiento" de la columna de términos Independientes en los determinantes
del numerador según la incógnita a la que correspondan ]
Comprobación : ( Sustituyendo la Solución en las Ecuaciones del Sistema )
2 % 1 & 3·3 ' &6 T
2 % 2·1 % 3 ' 7 T
&2 & 1 & 3 ' &6 T
Problemas : Resolver mediante la Regla de Cramer , los sistemas :
6.-
x & 2y ' 0
2x % y ' 5
3x & y ' 5
XB
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 15
(A/b)ÂÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÄÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÃ
AÂÅÅÅÅÅÅÅÄÅÅÅÅÅÅÅÅÃ
/00000000000000
1 1 1 1 ! 2
2 1 3 1 ! &1
1 2 1 0 ! 0
1 &1 2 1 ! &1
1 1 1 1 ! 2
0 &1 1 &1 ! &5
0 1 0 &1 ! &2
0 &2 1 0 ! &3
/00000000000000
/00000000000000
1 1 1 1 ! 2
0 &1 1 &1 ! &5
0 0 1 &2 ! &7
0 0 &1 2 ! 7
/00000000000000
1 1 1 1 ! 2
0 &1 1 &1 ! &5
0 0 1 &2 ! &7
0 0 0 0 ! 0
7
7
7
7.-
x1% x
2% x
3' 3
2x1& x
2% x
3' 3
x1& x
2' 0
<<<< SISTEMAS COMPATIBLES I�DETERMI�ADOS
Para resolver un Sistema Compatible Indeterminado mediante la regla de Cramer,
hemos de introducir una pequeña variante que complementa la técnica anterior:
i) Seleccionar tantas ecuaciones independientes como indique el Rango de
A.
ii) Pasar como términos independientes al segundo miembro de cada
ecuación, las mismas n-r incógnitas en cada ecuación, siendo r = Rang(A) y n el nº de
incógnitas
[ Al nº n-r le llamaremos grado de libertad del sistema. ]
iii) Aplicar la regla de Cramer.
Ejemplo 10.- Clasificar y resolver :
/00000000000000
x % y % z % t ' 2
2x % y % 3z % t ' &1
x % 2y % z ' 0
x & y % 2z % t ' &1
[ Sistema de 4 Ecuaciones Lineales con 4 incógnitas ]
6 Clasificación
Coeficientes y Ampliada a la vez, observa esta nueva técnica para hallar simultánea-
mente, por Gauss, el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz
ampliada:(Generando RECURSOS)
6 Rang(A) = 3
6 Rang(A/b) = 3
6 nº incógnitas = 4
Rang(A) = Rang(A/b) < nº INCÓGNITAS
SISTEMA COMPATIBLE I�DETERMI�ADO
( El sistema tiene infinitas soluciones ]
XB
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X.B. Apunts
Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 16
x '
/000000000
/000000000
2&λ
&1&λ
0
1 1
1 3
2 1
/000000000
/000000000
1 1 1
2 1 3
1 2 1
'4λ&11
&1' 11&4λ
CONJUNTO DE SOLUCIONES :
/000000000000000
x' 11&4λ
y' λ&2
z' 2λ&7
t' λ
œ λ 0 ú
y '
/000000000
/000000000
1
2
1
2&λ
&1&λ
0
1
3
1
/000000000
/000000000
1 1 1
2 1 3
1 2 1
'&λ%2
&1' λ&2
z '
/000000000
/000000000
1 1
2 1
1 2
2&λ
&1&λ
0
/000000000
/000000000
1 1 1
2 1 3
1 2 1
'&2λ%7
&1' 2λ&7
6 Resolución por Cramer (Variante) :
i) Seleccionamos 3 ecuaciones Linealmente Independientes:
x % y % z % t ' 2
2x % y % 3z % t ' &1
x % 2y % z ' 0
[ Como Rang (A) = 3, hemos elegido las tres primeras ecuaciones que son las
que en la tabla final nos han "marcado" el rango de la matriz ]
ii) Pasamos como parámetros 4 -3 = 1 incógnitas. Por ejemplo "t = 8"
[ Grado de Libertad : 1 ]
x % y % z ' 2&λ
2x % y % 3z ' &1&λ
x % 2y % z ' 0
iii) Resolvemos por Cramer
XB
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Sistemes
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 17
Comprobación :
11&4λ % λ&2 % 2λ&7 % λ ' 2 T
2(11&4λ) % λ&2 % 3(2λ&7) % λ ' &1 T
11&4λ % 2(λ&2) % 2λ&7 % ' 0 T
11&4λ & (λ&2) % 2(2λ&7) % λ ' &1 T
œ λ 0 ú
�OTA : El determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas que no
parametrizamos, debe ser distinto de cero. Si es cero, parametrizar otra u
otras incógnitas.
OBSERVA QUE: Para cada valor del parámetro obtenemos una solución diferente del
Sistema
Problemas : Aplica la Regla anterior para resolver los Sistemas siguientes :
8.-
x % y % 3z ' 2
2x % y & z ' 1
3x % 2y % 2z ' 3
9.-
x1% x
2% x
3& x
4' 0
2x1& 2x
2% 2x
3' 0
3x1% x
2% x
4' 0
MÉTODO DEL
PIVOTE
SISTEMAS EQUIVALE�TES:
Dos sistemas de ecuaciones lineales decimos que son EQUIVALENTES si poseen la
misma solución.
Los sistemas que se obtienen multiplicando por constantes y sumando entre sí
ecuaciones de un sistema dado son equivalentes.
Tanto para Sistemas Compatibles Determinados, como para los Sistemas Compati-
bles Indeterminados, el método del PIVOTE o método de Gauss consiste en obtener
un Sistema más sencillo en su estructura, pero con las mismas soluciones que el
original, mediante combinaciones lineales entre sus ecuaciones. Ambos Sistemas
serán, pues, EQUIVALENTES y las soluciones del Sistema más sencillo nos
permitirán conocer las soluciones del original.
Para no arrastrar todas las incógnitas del sistema, estimaremos conveniente operar
solamente con los coeficientes.
XB
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Sistemes
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Ejemplo 10.- Clasificar y resolver : /000000000000
x1% 3x
2% 2x
2' 6
2x1% x
2% x
3' 4
x1& x
2% 2x
3' 2
6 Clasificación
Matriz de Coeficientes : /000000000
/000000000
1 3 2
2 1 1
1 &1 2
'&12 … 0 6 Rang(A) ' 3
Ampliada : es un MENOR no nulo de (A/b) del máximo orden 6A
Rang(A/b) = 3
Nº Incógnitas = 3
Rang(A) = Rang(A/b) = nº incógnitas
SISTEMA COMPATIBLE DETERMI�ADO
( Una única solución )
6 Resolución .- Tratemos de obtener un Sistema Equivalente mediante Combinacio-
nes Lineales.
Método del Pivote :
/000000000000000000
x1x2x3
E1
1 3 2 ! 6
E2
2 1 1 ! 4
E3
1 &1 2 ! 2
x1x2
x3
1 3 2 ! 6
E )
2' &2E
1%E
26 0 &5 &3 ! &8
E )
3' &E
1%E
36 0 &4 0 ! &4
/00000000000000000
/00000000000000000
x1x2
x3
1 3 2 ! 6
0 &5 &3 ! &8
E ))
3' 4E )
2&5E )
36 0 0 &12 ! &12
Sistema Equivalente :
/000000000000
x1% 3x
2% 2x
3' 6
& 5x2& 3x
3' &8
&12x3
' &12
))))))))))))>
x1% 3 % 2 ' 6
x1' 1
))))))))>
&5x2& 3 ' &8
x2'1
)))> x3'
&12
&12' 1
SOLUCION :
/000000000
x1' 1
x2' 1
x3' 1
¿ Sencillo, no ?
Comprobación :
1 % 3·1% 2·1 ' 6 T
2·1% 1% 1 ' 4 T
1 & 1% 2 ' 2 T
XB
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Ejemplo 11.- Clasificar y resolver : /000000000
x % y & z ' 2
2x % 3y % 2z ' 5
x % 2y % 3z ' 3
6 Clasificación
Matriz de Coeficientes : /000000000
/000000000
1 1 &1
2 3 2
1 2 3
'0 6 /0000/0000
1 1
2 3… 0 6 Rang(A) ' 2
Ampliada : 6
1 1 &1 2
2 3 2 5
1 2 3 3
6 /0000/0000
1 1
2 3… 06
/000000000
/000000000
1 1 &1
2 3 2
1 2 3
' 0
/000000000
/000000000
1 1 2
2 3 5
1 2 3
' 0
Rang(A/b) = 2
Rang(A) = 2
Nº incógnitas = 3
Rang(A) = Rang(A/b) < nº incógnitas
SISTEMA COMPATIBLE I�DETERMI�ADO
( El sistema tiene infinitas soluciones )
Grado de Libertad 3-2 = 1
6 Resolución: Método del Pivote
/000000000000
E11 1 &1 ! 2
E22 3 2 ! 5
E31 2 3 ! 3
1 1 &1 ! 2
E )
2' &2E
1% E
26 0 1 4 ! 1
E )
3' &E
1% E
36 0 1 4 ! 1
/0000000000
/0000000000
1 1 &1 ! 2
0 1 4 ! 1
E ))
3' &E )
2% E )
36 0 0 0 ! 0
Sistema equivalente : /0000x % y & z ' 2
y % 4z ' 1
6 x%1&4z&z ' 2 6 x ' 1%5z
6 y'1&4z
XB
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 20
CONJUNTO DE SOLUCIONES :
/000000000000
x ' 1%5zy ' 1&4zz ' z
œ z 0 ú
6 Comprobación :
1%5z % 1&4z & z ' 2 T
2(1%5z) % 3(1&4z) % 2z ' 5 T
1%5z % 2(1&4z) % 3z ' 3 T
6 También podríamos dar un vector solución
x
y
z
'
1
1
0
% z
5
&4
1
�OTA:
* El orden en el que tomemos las ecuaciones de un sistema, no influye
en la solución del mismo. ( Podemos ordenar las ecuaciones en el
orden que nos convenga para operar con mayor sencillez.)
Ejemplo : son Siste-2y % 3x ' 5
&y % x ' 7ó
x & y ' 7
3x % 2y ' 5
mas de Ecuaciones Lineales Equivalentes.
* En ocasiones, puede ser conveniente tomar el orden de las incógnitas
en orden diferente al asignado para operar con mayor facilidad.
¿ Cuándo conviene cambiar el orden ? Generalmente, para agilizar el
proceso en el método del PIVOTE ( Los unos en las esquinas son muy
favorables en los cálculos )
OBSERVA QUE: * Al emplear el método del PIVOTE, no es necesario clasificar
previamente el Sistema, pues con la última tabla obtenida pode-
mos hallar el rango de la matriz de coeficientes y el de la am-
pliada.
* Para cada valor de la variable parametrizada obtenemos una
Solución del Sistema.
DISCUSIÓ� DE SISTEMAS PARA-
METRIZADOS.
XB
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 21
< Clasificar y resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales en el que alguno de los
coeficientes o algún término independiente no toma un valor específico, sino que es
un parámetro, nos puede enriquecer en nuestra visión del tema, puesto que, de una
vez, clasificamos todos aquellos sistemas que se obtienen para diferentes valores del
( ó los ) parámetros.
< La técnica a emplear es un uso riguroso del Teorema de Rouché-Fröbenius y un
especial cuidado en el cálculo del Rango de las matrices. ( Es muy recomendable
utilizar el método de MENORES ORLADOS ).
< Eh ! ¡ Un consejo !. Procura hallar los valores de los parámetros mediante el
cálculo del determinante de la matriz de los coeficientes o la ampliada. Luego
fijaremos de uno en uno, cada valor obtenido y lo sustituiremos en las dos matrices (
coeficientes y ampliada ) pasando a estudiar el rango, bien ya sin parámetros, bien
según él o los parámetros que queden.
Ver los problemas del 6 al 13
IDEAS
COMPLEME�TARIA
S
1º.- ¿ Cómo resolver de forma matricial un S.C.D. ?
Rang(A) = Rang(A/b) = nº incógnitas
Sea A· x = b ( Sistema formado por las Ecuaciones Linealmente Independientes )
6 A es una matriz cuadrada de orden "n" y como Rang(A) = n Y … 0 Y A
A es inversible Y › A-1
A · x = b
[ multiplicando por A-1 izda] A-1 · A · x = A-1 · b
[ A-1 · A = I ] x = A-1 · b 6 permite hallar la solución.
Ejemplo 13.- Resolver matricialmente : /000000000
x % 2y % z ' 4
2x % y % z ' 4
x & y % z ' 1
Podemos expresar matricialmente el sistema anterior :
1 2 1
2 1 1
1 &1 1
·
x
y
z
'
4
4
1
XB
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 22
1 2 1
2 1 1
1 &1 1
·
x
y
z
'
4
4
1
6
x
y
z
'
1 2 1
2 1 1
1 &1 1
&1
·
4
4
1
x
y
z
'
&2
31 &
1
3
1
30 &
1
3
1 &1 1
·
4
4
1
'
1
1
1
(A/b)ÂÅÅÅÅÅÅÅÅÅÄÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÃ
AÂÅÅÅÅÅÅÄÅÅÅÅÅÅÅÃ
/000000000
1 &1 2 ! 0
4 3 5 ! 0
3 4 3 ! 0
1 &1 2 ! 0
0 7 &3 ! 0
0 7 &3 ! 0
/000000000
/000000000
1 &1 2 ! 0
0 7 &3 ! 0
0 0 0 ! 0
y comprobar fácilmente que se trata de un Sistema Compatible Determinado, con det (A)… 0
SOLUCION :
/00000000000
x ' 1
y ' 1
z ' 1
�OTA : La matriz inversa se ha calculado por el procedimiento explicado en el tema
MATRICES.
2º.- ¿ Cómo utilizar el "filtro" de Gauss para resolver un Sistema ?
En temas anteriores, para obtener bases de subespacios vectoriales, resolvíamos de
una forma un poco "artesana" los sistemas homogéneos que aparecían. Veamos
como podemos operar ahora a través de unos ejemplos.
Ejemplo 14.- Resolver: 6666 Resolución :/000000000
x & y % 2z ' 0
4x % 3y % 5z ' 0
3x % 4y % 3z ' 0
Rang(A) = 2
Rang(A/b) = 2
XB
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Tema : Sistemes d'Equacions Lineals Pàgina 23
Nº Incógnitas = 3
Rang(A) = Rang(A/b) < nº incógnitas
SISTEMA HOMOG�EO COMPATIBLE I�DETERMI�ADO
( El sistema tiene infinitas soluciones )
Grado de Libertad 3-2 = 1
x & y % 2z ' 0 6 x '&11z
7
7y & 3z ' 0 6 y '3z
7
Tomando las ecuaciones del Sistema Equivalente y parametrizando una incógnita tal
como indica el grado de libertad del sistema.(Una alternativa sería dejar la solución
en función de 'z' tal como hemos hecho en alguna otra solución. La idea es ir
aportando diferentes maneras de expresar una misma idea)
LAS SOLUCIONES DEL S.H.C.I. SON :
/0000000000000000000000000
x '&11α
7
y '3α
7
z ' α
œ α 0 ú
¡ Claro ! El grado de libertad del Sistema Homogéneo nos indica la DIMENSION
del Subespacio Vectorial definido mediante dichas ecuaciones, y nos hace buena la
fórmula dim ( subespacio ) = dim Espacio - nº ecuaciones libres que lo definen.