-
1
SISTEME DE REGLARE A MIŞCĂRII
Arhitecturi de control bazate pe calculul momentului forţei,
respectiv
forţei de acţionare necesare
1.1. Formularea problemei
Un robot implicat într-o aplicaţie tehnologică specifică trebuie
să execute
anumite mişcări, traiectorii, în spaţiul său de operare în
conformitate cu protocolul
de funcţionare impus. În funcţie de specificul procesului,
mişcarile acestuia pot fi
grupate în trei categorii (figura 1.1):
traiectorii cu punct iniţial şi final fixat, specifice
operaţiilor de paletizare. În
acest caz, cu excepţia punctelor iniţiale şi finale, traiectoria
este
nerestricţionată;
traiectorii cu restricţii asupra punctului iniţial şi al unei
zone finale de operare.
Această funcţie este specifică anumitor operaţii de asamblare şi
paletizare;
mişcări cu restricţii pe întreaga traiectorie. Acestea pot fi
extrem de riguroase
ca în cazul operaţiilor de sudură sau mai puţin severe ca în
cazul operaţiilor de
vopsire.
Indiferent de specificul mişcării, atingerea unui punct curent
în spaţiul de
operare cu anumite restricţii asupra vitezei, acceleraţiei şi a
altor elemente ale
mişcării reprezintă o cerinţă permanentă. Desigur, o proiectare
corectă a
traiectoriei, a tuturor regimurilor de mişcare, rezolvă în mare
parte aceste
deziderate dar nu întotdeauna toţi factorii ce influenţează
mişcarea pot fi
previzibili, interpretabili analitic sau chiar măsurabili.
Mişcarea sub influenţa
perturbaţiilor reprezintă în prezent o modalitate unanim
acceptată de studiu în
vederea determinarii legilor de conducere ale roboţilor.
Perturbaţiile pot fi
determinate de factorii externi generaţi de mediul în care
operează robotul şi de
factorii interni provocaţi de anumite marimi fizice interne, de
aproximare al
modului matematic al robotului, de neglijarea anumitor
componente din sistemul
de acţionare etc.
-
Figura 1.1
Desigur că asigurarea unui regim corect de conducere în raport
cu toate
perturbaţiile aferente sistemului este nepractică, complexitatea
echipamentului
solicitat depăşind sub raport tehnic şi economic facilităţile
introduse de robot în
proces. Din acest motiv, majoritatea sistemelor de conducere iau
în considerare
numai perturbaţiile cu efect predominant neglijând celelalte
componente. Structura
generală a unui sistem de conducere este prezentată în figura
1.2.
Figura 1.2
Generatorul de traiectorii determină mişcarea dorită, impuse
robotului în
contextul executării unei anumite funcţii tehnologice. Ieşirea
generatorului
reprezintă o secvenţă de coordonate idid qq , asociate
elementelor robotului, executarea lor asigurând realizarea
traiectoriei dorite în spaţiul de operare.
Sistemul de acţionare şi sistemul senzorial asigură funcţia de
mişcare şi
respectiv măsurarea acestei mişcări, independent pe fiecare grad
de libertate.
Funcţia de bază într-o astfel de structură de conducere o
îndeplineşte
sistemul de reglare. Acesta trebuie să asigure satisfacerea
condiţiilor impuse
(urmărirea unei traiectorii date, realizarea unor anumite
secvenţe de forţe pe
Pi Pi
Zf Pf
a b
c
Robot M Sistem
de acţionare
Sistem de
reglare
u Generator de
traiectorii
dd qq , Sistem
senzorial
qq ,
-
elementul terminal, de exemplu la asamblare etc.), atât la nivel
staţionar cât şi în
regim dinamic. Îndeplinirea condiţiilor de stabilitate a
sistemului, eliminarea
efectului perturbaţiilor, satisfacerea unor condiţii
suplimentare privind optimizarea
unor indicatori de performanţă sunt câteva din cerinţele ce se
impun unui bun
sistem de reglare.
În capitolele precedente s-a arătat că dinamica unui robot este
guvernată de o
ecuaţie de forma,
M)qN(q,qJ(q) (5.1)
unde Tn tqtqtq ))(),...,(()( 1 este vectorul asociat celor n
grade de libertate ale
robotului. În funcţie de complexitatea sistemului de acţionare
adoptat, vectorul
momentelor M este o funcţie M(u), determinată de mărimile de
ieşire
Tn ))t(u),...,t(u( 1 generate de sistemul de reglare. Existenţa
variabilelor de
control ui asociate fiecărui grad de libertate qi sugerează
decompoziţia sistemului
general de conducere în subsisteme individuale, pentru fiecare
grad de libertate în
parte.
Figura 5.3
O structură de conducere de forma celei prezentate în figura 5.3
este extrem
de avantajoasă întrucât simplifică considerabil problema
conducerii prin
construcţia unei legi independente pentru fiecare grad de
libertate în parte.
iiiii qqhu ),( (5.2)
SA1
SAn-1
SAn
SS1
SSn Mn
Mn-1
M1
SRn-1
SR1 u1
un-1
SRn un ndnd qq ,
dndn qq 11 , Generator
de
traiectorii
dd qq 11 ,
SSn-1 11, nn qq
nn qq ,
11,qq
R
-
unde ih este legea de reglare a buclei.
O astfel de independenţă a buclelor de reglare este evident
formală,
intercondiţionarea lor fizică impunând metode speciale de
decuplare.
În realitate, decuplarea este posibilă numai începând de la
nivelul sistemului
de acţionare, sistemul de reglare rămânând nedecuplat (figura
5.4).
nnii q,q,...,q,q,q,qhu 2211 (5.3)
Figura 5.4
După cum se va vedea ulterior, în anumite condiţii, utilizând o
prelucrare
substanţială a modelului dinamic al robotului, este posibilă
realizarea decuplării şi
la nivelul sistemului de reglare.
5.2. Performanţele sistemului de reglare
În cele ce urmează se va studia o buclă de reglare simplă pentru
acţionarea
unei articulaţii de tip rotaţie sau translaţie în vederea
definirii principalilor
parametrii ai sistemului de reglare.
a) Eroarea staţionară. Acest indice de calitate defineşte
precizia de
funcţionare a sistemului de conducere în regim staţionar.
)t(q)t(q)t(e d (5.4)
Generator
de
traiectorii
ndnd qq ,
dd qq 11 ,
Sistemul
de
reglare
SAn
dndn qq 11 , SAn-1
SA1
SSn-1
SS1
SSn nn qq ,
11, nn qq
11,qq
R
-
Figura 5.5
În condiţiile în care generatorul de traiectorii prescrie o
anumita valoare
dorită dq , eroarea staţionară va desemna abaterea realizată de
articulaţia robotului
q faţă de valoarea prescrisă în regim staţionar.
Considerând (s)Y (s),Y (s),Y ROBSR , funcţiile de transfer ale
sistemului de
reglare, de acţionare, respectiv a robotului, şi utilizând
procedura dezvoltată [93] se
obţine,
)()(/)(1
1)(
)()(
)()( sq
sesqsq
sqse
sese dd
(5.5)
unde e(s), q(s), qd(s) sunt transformatele Laplace ale mărimilor
e(t), q(t),
qd(t) respectiv. Notând cu Y(s) funcţia de transfer a căii
directe a sistemului de
conducere,
)()()()( sYsYsYsY ROBSR (5.6)
)()(1
1)( sq
sYse d
(5.7)
Daca se consideră E, valoarea staţionară a erorii,
))((lim)(lim0
ssEteEst
(5.8)
din (5.7) rezultă:
)]()(1
1[lim
0sq
sYsE d
s
(5.9)
GT -
SR SA e qd M
q M q
-
Presupunând un sistem de reglare simplu, cu rol numai de
amplificator, deci
de tip proporţional
,RR KY
sistemul de acţionare realizat printr-un motor de curent
continuu comandat în
curent iar dinamica braţului exprimată printr-o relaţie de
forma:
qFqJM (5.10)
se obţine
)( qqKI dR (5.11)
IKM m (5.12)
qFqJqqKK dRm )( (5.13)
Dacă, pentru simplitate, se alege unghiul prescris 0dq atunci
expresia
(5.13) poate fi rescrisă sub forma
01 qJ
kq
J
Fq (5.14)
unde s-a notat Rm KKk 1
Definind
J
k
J
F 12
2 4 (5.15)
si presupunând respectată condiţia
1
2
4k
J
F (5.16)
-
atunci soluţia ecuaţiei (5.14) este de forma
)()( 222
12
ttt
J
F
eCeCetq
(5.17)
Figura 5.6
Este evident că
0)(lim
tqt
deci abaterea valorii unghiulare faţă de valoarea prescrisă 0dq
este zero, deci
eroarea staţionară 0E .
Acelaşi rezultat este obţinut utilizând expresia (5.3) pentru un
semnal de
intrare dq arbitrar. Considerând o variaţie treaptă *
dq a mărimii unghiulare
prescrise dq , rezultă
)(1lim
)(1
1lim
*
0
*
0 sY
q
s
q
sYsE d
s
d
s (5.18)
unde )(sY se va obţine din (5.6) si (5.10) – (5.12).
)()( 1
FJss
ksY
(5.19)
deci
q
qi
qd = 0
-
0)(
lim1
2
*
0
kFsJs
FJssqE d
s (5.20)
Pentru a putea obţine o analiză comparativă a diferitelor
sisteme, eroarea
staţionară se calculează pentru o mărime 1* dq , unitatea fiind
de obicei apreciată
în sens relativ.
Aprecierea erorii staţionare într-o operaţie de pozitionare este
extrem de
importantă întrucat ea determină posibilitatea atingerii
anumitor puncte impuse ale
traiectoriei şi permite evaluarea preciziei de poziţionare.
Desigur, în proiectarea
sistemului de reglare al unui robot, impunerea unei erori
staţionare sau eventual
anularea ei depinde de operaţia tehnologică executată. În acest
context, eroarea
staţionară reprezintă o condiţie extrem de severă pentru
operaţii de asamblare şi
una mai puţin restrictivă la procese de vopsire.
b) Eroarea de supraurmărire. Roboţii sunt, în general, sisteme
mecanice ce
antrenează în mişcare mase substanţiale. Din acest motiv, un
risc posibil într-o
mişcare de poziţionare constă în depăşirea valorii cotelor
prescrise datorită inerţiei
maselor proprii sau ale sarcinii.
Daca se reconsideră exemplul anterior pentru care momentul de
inerţie J este
suficient de mare în raport cu coeficientul de frecare F astfel
încat inegalitatea
(5.16) devine
1
2
4k
J
F (5.21)
atunci soluţia (5.17) are forma prezentată în figura 5.7.
Figura 5.7
q
qi
qd = 0
t
-
Se observă ca evoluţia spre valoarea prescrisa 0dq se realizeaza
printr-o
trecere în domeniul valorilor negative după care regimul
tranzitoriu continuă cu o
oscilaţie amortizată.
Această supradepăşire (în sens absolut) a valorii prescrise
reprezintă o
marime foarte importantă în aprecierea caracteristicilor
sistemului de conducere în
regim dinamic. Este evident că o evoluţie în acest mod este
intolerabilă pentru o
clasa mare de aplicaţii robotizate, sistemului de reglare
impunându-i-se restricţii
severe în această direcţie. Formal, supraurmărirea este definită
ca depaşirea
maximă realizată de marimea de ieşire a sistemului q faţă de
valoarea utilizată în
regim staţionar stq , pentru o mărime de intrare de forma unei
trepte unitare,
1dq (figura 5.8).
Variaţii în jurul valorii staţionare precum şi regimurile
amortizate
corespunzătoare se pot produce şi prin modificări ale unor
parametrii interni sau ai
unor factori perturbatori externi.
Figura 5.8
Deviaţia maximă realizată în acest caz, în raport cu valoarea
stationară, se
numeşte abaterea maximă [93]. Această marime are aceleaşi efecte
ca şi
supraurmărirea, ea putând fi însă mai puţin controlabilă
datorită numarului mare de
perturbaţii, o parte din ele nemăsurabile, la care este supus un
robot într-un mediu
real de operare.
5.3. Analiza sistemului de reglare pentru configuraţii
mecanice tipice
Înainte de discutarea metodelor de proiectare adecvate pentru un
sistem
mecanic complex, se vor analiza câteva sisteme de reglare
utilizate în acţionarea
unor mecanisme cu un număr redus de elemente supuse unor mişcări
de translaţie
1q*d
t
stq
-
sau de rotaţie. Se va considera cazul în care sistemul de
reglare este un simplu
element amplificator, deci un sistem de tip proporţional.
5.3.1 Configuraţie mecanică cu elemente de translaţie
Structura generală a sistemului de conducere este prezentată în
fig. 5.9.
Dinamica elementului este definită prin relaţia,
)t(zk)t(zmG)t(F f (5.22)
unde F este generată de un motor de c.c. comandat în curent iar
kf introduce
componenta de frecare. Din (5.22) se obţine,
skms
sG
skms
sFsz
ff
22
)()()( (5.23)
Figura 5.9
În relaţia 5.23 primul termen defineste funcţia de transfer a
părtii mecanice
iar ultimul termen se poate interpreta ca o mărime perturbatoare
ce afectează
dinamica sistemului (fig.5.10).
Figura 5.10
G
dz Rk
F z mk )kms(s f
1
v
GT SR SA
F
zd
z
F G z
-
-
Daca perturbaţia introdusă G este neglijabilă, atunci eroarea
staţionară se
obţine din expresia (5.9),
)(
)(1
1lim
0sz
sYsE d
s (5.24)
unde
)(
1
fkmss
kY
(5.25)
coeficientul fmkkk 1 corespund actionarii prin motor de c.c.
comandat în curent.
Deci,
skskms
)kms(sslimE
f
f
s
1
120
(5.26)
În cazul sistemului perturbat 0G (pentru simplitatea tratării se
va
presupune marimea prescrisă 0dz ) se obţine,
)()( tzte (5.27)
deci,
)kms(s
)s(G
)kms(s
)s(zk)s(z
ff
1 (5.28)
sau,
)(1
)(
12
sGkskms
sz
f
(5.29)
-
Considerând un semnal treaptă de forma GG eroarea staţionară
corespunzătoare va fi,
1120
1
k
G
s
G
kskmsslim)t(zlimE
fst
(5.30)
La acelaşi rezultat se poate ajunge direct din expresia (5.22)
ce
caracterizează dinamica sistemului mecanic, considerând ca în
regim staţionar F=G
0 zz Dar,
EkzkF 11 deci 1k
GE
5.3.2. Configuraţii mecanice cu elemente în mişcare de
rotaţie.
Se va aborda sistemul de conducere al articulaţiei de rotaţie
din figura 5.11a.
Pentru a crea posibilitatea unei eventuale generalizări a
problemei de
conducere, articulaţia supusă reglării, articulaţia 2, este
perturbată de o a doua
articulaţie de rotaţie, articulaţia 1.
După cum s-a arătat în capitolele precedente, dinamica unui
astfel de sistem
mecanic poate fi aproximată prin ecuaţiile,
11111 qkqJM f (5.31)
222122 )( qkqqJM f (5.32)
unde 2121 ,,, ff kkJJ au semnificaţiile prezentate. Dupa câteva
prelucrari şi
aplicând transformata Laplace, rezultă:
)()(
1)( 1
11
1 sMksJs
sqf
(5.33)
)()(
)(
1)( 1
22
2
11
2
2
2
2
22
2 sMskJsskJs
JssM
ksJssq
fff
(5.34)
Relaţiile (5.34), (5.35) pun în evidenţă intercondiţionarea
buclelor de
conducere pentru cele două articulaţii. Dacă articulaţia 1 este
practic independentă
de cealaltă (în realitate şi articulaţia 1 este afectată
indirect de modificarea
momentului de inerţie J1 ), controlul poziţiei articulaţiei 2
este direct afectat de
-
articulaţia 1. Ultimul termen din (5.35) pune în evidenţă acest
efect perturbator şi el
poate fi bine urmărit în figura 5.11b.
Figura 5.11
Se poate defini deci o funcţie de transfer pentru fiecare cale
proprie de
conducere,
2,1,)(
1
)(
)()(
i
ksJssM
sqsY
fiii
ii (5.34)
şi o funcţie de transfer corespunzătoare perturbaţiei introdusă
de un element asupra
elementului superior, în acest caz,
22112
1
22
)(
)()(
ffp
ksJksJ
J
sM
sqsY
(5.35)
Pentru a pune în evidenţă căile comune de propagare a semnalului
propriu
prin bucla de conducere 2 şi a perturbaţiei buclei 1, din (5.37)
se obţine
)()()( 1222 sYsYsY pp (5.36)
a
b
GT SR SA
I1
M qd q M1 M2
q2
q1d
q2d
kR1
kR2
km1
km2
q1
q1
M1
I2 M2
)skJ(s
1
f112
)skJ(s
sJ
f112
2
)skJ(s
1
f222
q1
-
unde )(2 sY este dat de relaţia (5.36), iar în )(12 sYp
sintetizăm numai efectul
braţului inferior asupra celui superior,
11
212 )(
fp
ksJ
sJsY
(5.37)
Relaţiile stabilite permit calculul performanţelor sistemului de
reglare.
)(
)(
)(1
1
)()(
)()()( sq
se
sqsqse
sqsese d
i
iii
dii
(5.38)
)()(
)(2
sqkskJs
ksJsse d
ifii
fiii
(5.39)
unde mRii kkk (s-a presupus o reglare de tip proporţional şi o
acţionare cu
o comanda prin curent). Deci,
21020
,i,kskJs
)ksJ(s
s
qslimE
ifii
fii*id
si
Deci un astfel de sistem de conducere, prin bucle separate de
reglare,
realizează o eroare stationară nulă la un semnal treaptă *)(
idid qtq .
Pentru a calcula eroarea staţionară Ep determinată în
articulaţia 2 de
perturbaţia introdusă de primul element, se va considera mărimea
prescrisă
02 dq .
2222
11122
22 )()(
fff ksJs
kqsM
ksJksJs
sJsq
)()( 1
2222
11
22 sM
kskJsksJ
sJsq
ffr
-
Considerând o perturbaţie treaptă unitară, se obţine,
01
2222
11
2
02
)kskJs)(ksJ(
sJ
sslim)t(qE
ffs
p
Rezultatele de mai sus confirmă obţinerea unor erori staţionare
nule, atât
prin efectul căii directe cât şi al perturbaţiei determinate de
elementul inferior, dacă
mărimile aplicate sunt constante în timp. În multe situaţii
mărimea prescrisă dq şi,
în special, cuplul perturbator 1M nu respectă această condiţie.
Dacă se vor
considera, de exemplu, legi liniare în timp, de forma
tktq d )(1
tktM p )(1
atunci din relaţiile (5.35) si (5.39) rezultă,
21220
,i,k
kk
kskJs
)ksJ(s
s
kslimE
i
fid
ifii
fiid
si
21
2
2222
11
2
20 kk
Jk
)kskJs)(ksJ(
sJ
s
kslimE
f
p
ff
p
sp
Funcţionarea corectă a sistemului va cere, în acest caz,
restricţionarea
acestor valori,
2,1, iEk
kkadm
i
fid (5.40)
admf
pE
kk
Jk
21
2 (5.41)
c) Sistem mecanic cu n elemente de rotaţie.
Se va studia în continuare o generalizare a cazului anterior
considerând un
sistem mecanic cu n articulaţii de rotaţie (figura 5.12a).
Comportarea dinamică se obţine prin extinderea relaţiilor
(5.31)-(5.32),
-
11111 qkqJM f
222122 )( qkqqJM f
............................................
ifiiii qkqqqJM )...( 21 (5.42)
............................................
nfnnnn qkqqqJM )...( 21
Elementul cel mai afectat este elementul n a cărui mişcare este
perturbată de
toate elementele inferioare. Din acest motiv dezvoltările
ulterioare se vor referi
numai la acest element. Utilizând aceleaşi proceduri ca şi în
cazul precedent se
obţine
)s(M...))...)
skJs
Js
(skJs
Js
skJsskJs
Js
)s(MskJsskJs
Js
skJs
Js
MskJsskJs
Js)s(M
skJs)s(q
f
fffnn
n
n
fnn)n(fn
n
)n(fn
n
n
fnn)n(fn
nn
fnn
n
1
332
32
222
22
1122
2
2211
2
12
222
2
1211
2
2
2
111
1
(5.43)
-
Figura 5.12
Pe baza relaţiei de mai sus se va obţine calculul erorii
staţionare pentru bucla
de conducere n, perturbată sau neperturbată. Dacă se neglijează
efectele buclelor
inferioare ale sistemului mecanic atunci în formula (5.43) se
reţine numai primul
termen, ceea ce duce la o eroare de forma (5.39),
)()(
)(2
sqknskJs
ksJsse nd
fnn
fnn
n
(5.44)
deci o eroare staţionară nulă la un semnal de treaptă *ndnd
q)t(q şi la erori
diferite de zero, pentru semnale ndnd ktq )( (relaţia 5.40).
Pentru a stabili cantitativ performanţele sistemului de reglare
în condiţiile
perturbărilor introduse de elementele inferioare, se va nota cu
nkE eroare
staţionara produsă în bucla n de elementul k, neglijând efectele
celorlalte elemente,
pentru 0ndq .
Din formula (5.43) se obţine,
)))(()()((1
)(2
sqknMssFskJs
sq nnkkfnn
n
(5.45)
qn
a b
Mn-1
M1 Mn-2 Mn-1
Mn qnd kRn kmn
Mn
M1
M2
qn qn-1
q2
q1
)skJs(
Js
)skJs(
Js
1fn1n2
1n2
2fn2n2
n2
)...1(
)skJs(
Js1
)skJs(
Js
2f22
22
1f12
n2
)skJs(
Js
nn
n
112
2
)skJs(
1
fnn2
-
unde )(sFk cuprinde factorii asociaţi componentelor )(sM k în
dezvoltarea (5.43).
Evident )(sFk satisface condiţia,
0)()(
)()( sQcu
sQ
sPsF k
k
kk (5.46)
Eroarea staţionară, pentru un semnal treaptă kk MM , va fi,
020
nfnn
kk
snk
kskJs
)s(sF
s
MslimE (5.47)
Deci, o buclă de reglare cu un sistem de reglare proporţional Rk
păstrează
eroarea staţionară nulă pentru orice element al sistemului
mecanic. Similar, în
cazul unor mărimi pk kM eroarea staţionară va căpăta forma
(5.39).
Discuţiile anterioare s-au referit numai la erorile staţionare
obţinute în
diferite regimuri funcţionale pentru câteva structuri mecanice
tipice. În continuare
se va aborda celălalt parametru semnificativ al sistemului de
conducere, eroarea de
supraurmărire. Problema va fi tratată pe sistemul mecanic cu n
elemente de rotaţie
considerând că acesta acoperă funcţional toate configuraţiile
anterioare.
Din formula (5.43), pentru 0... 121 nMMM se obţine funcţia
de
transfer a sistemului în circuit deschis,
)(
1)(
fnnn
ksJssY
(5.48)
Funcţia de transfer în circuit inchis va fi,
)(1
)(
)(
)()(
sY
nY
sq
sqsY
n
n
nd
non
(5.49)
sau
n
n
n
fn
n
n
on
J
k
J
kss
J
k
sY
2
)(
-
Introducând notaţiile consacrate în literatura de specialitate
pentru aceste
sisteme [82,93]
n
nnn
J
k2 (5.50)
nn
fn
J
k2
unde n este factorul de amortizare iar nn este pulsaţia naturală
a
elementului n neamortizat. Deci funcţia de transfer )(sYon
devine,
22
2
2)(
nnnnn
nnon
sssY
(5.51)
Polii sistemului în circuit închis sunt
2
2,1 1 nnnnnn jp (5.52)
Este evident că valoarea n determinată de parametrii mecanici
ai
sistemului determină o anumită repartiţie a polilor şi implicit
o anumită comportare
în regim tranzitoriu. Pentru 0n se obţine regimul neamortizat
(doi poli
imaginari conjugati) 1n desemnează regimul critic amortizat
(poli reali
confundaţi) iar 1n (poli reali) – indică regimul supraamortizat.
Sistemul
mecanic al robotilor industriali operează în special în regimul
10 n (doi poli
complecşi conjugaţi), denumit şi regim subamortizat.
Considerând o marime prescrisă de forma 1)( td mărimea de ieşire
nq a
buclei de conducere va fi,
)(2
)(22
2
sss
sq dnnnnn
nnn
(5.53)
sau
-
n
nnnn
n
t
n te
tqnnn
22
2
1arctan1sin
1
1)( (5.54)
În figura 5.13 sunt reprezentate funcţiile )(tqn pentru câteva
valori
semnificative ale factorului de amortizare n . Curba a
reprezintă regimul
subamortizat în care se remarcă apariţia unei erori de
supraurmărire iar curbele b şi
c reprezintă evoluţii amortizate critice sau supraamortizate în
care nu apar aceste
erori, bineinteles în detrimetrul unui timp de răspuns mai
mare.
Din relaţia (5.54) se poate obţine imediat supraurmărirea,
nn qq max (5.56)
întrucat eroarea staţionară este zero, deci [82,93]
21 n
n
e
Figura 5.13
Din expresia lui se observă că pentru 0,85< n
-
comandă este neadecvată, dificilă, preferându-se comanda în
tensiune. Se va
analiza în continuare, un sistem de conducere de acest tip
utilizând ca sistem de
reglare tot un element de tip proporţional, RR kY .
Se consideră, deci o buclă de conducere a elementului I a
sistemului
mecanic. Din ecuaţiile funcţionale ale motorului de c.c.
rezultă,
)qku(R
kIkM ibii
i
miimii (5.57)
dar
)( idiRii qqku (5.58)
deci,
)qk)qq(k(R
kM ibiidiRi
i
mii (5.59)
Presupunând că valorile prescrise idq sunt constante (mărimi
treaptă), relaţia
(5.59) poate fi rescrisă în funcţie de eroarea,
)t(qq)t(e idii (5.60)
sub forma
Riiiiii k)t(ekek)t(M (5.61)
Schema bloc a întregului sistem de conducere a elementului I
(neglijând
efectele perturbatoare ale celorlalte elemente) este prezentată
în figura 5.14.
Figura 5.14
Funcţia de transfer a căii directe va fi,
)ksJ(s
)ksk(k
)s(e
)s(q)s(Y
fii
iiRi
i
iriT
(5.62)
qdi kRi ei ui
)ksk( ii Mi qi
)ks(J
1
fii
-
(indicele T semnifică comanda în tensiune). Deci eroarea va avea
forma,
iifii
diid
iTi
k)kk(sJs
)s(q)ksJ(s)s(q
)s(Y)s(e
21
1 (5.63)
Pentru semnalul prescris 1)( tqid rezultă
01
20
iifii
fiis
st k)kk(sJs
)kJ(s
sslim)t(elimE (5.64)
deci comanda în tensiune păstrează eroarea staţionară nulă, ca
şi în cazul comenzii
după curent.
Evaluarea supraurmăririi se obţine din funcţia de transfer a
sistemului în
bucla inchisa,
iifii
iioiT
k)kk(ssJ
ksk)s(Y
2 (5.65)
notând
i
ifinii
i
ni
i
i
i
ii
J
kk;
zJ
k;
k
kz
2 (5.66)
funcţia de transfer devine,
ninii
ii
ni
oiTss
)zs(z
)s(Y22
2
2
(5.67)
)z
s)(s(Y)s(Y oioiT
1
1 (5.68)
unde )(sYoi este funcţia de transfer în circuit închis a buclei
i (5.54) pentru control
după curent. Deci,
-
)s(q)s(Y)s(q idOiTiT
Utilizând formula (5.68), mărimea de ieşire iTq va fi de
forma,
)s(sqz
)s(q)s(q iIi
iIiT
1 (5.69)
sau
dt
)t(dq
z)t(q)t(q iI
iiIiI
1
unde )(tqiI este ieşirea corespunzătoare controlului în curent
(5.54). Se observă că
introducerea unui control după tensiune determină apariţia unei
componente
derivative care va înrăutăţi supraurmărirea, cu atât mai mult cu
cât zeroul introdus
de elementul de acţionare iz este mai aproape de origine )0(
iz
Utilizând tehnicile de calcul expuse în [82,31] se obţine
cantitativ
supraurmărirea controlului,
212 12 i
iii
)(
iiiiT e
(5.70)
unde i , i , i sunt date de relaţiile,
i
ini
z
(5.71)
ii
ii
21arctan
i
ii
21tan
Este evident că, în condiţiile în care 0ik deci se produce
atenuarea
componenţei derivative introdusă de controlul în tensiune, iz
şi, deci,
supraurmărirea iT tinde către valoarea stabilită în formula
(5.56).
-
Figura 5.15
5.3.4 Reglarea după viteză a elementelor braţului
Analiza sistemelor de reglare prezentată in paragrafele
anterioare s-a axat
exclusiv pe reglajul poziţiei ca o cerinţă funcţională de bază
în evoluţia unui robot.
Este însă, bine-cunoscut faptul că asigurarea unor regimuri de
viteză
corespunzătoare este de dorit adeseori, aceasta pentru
satisfacerea unor condiţii
globale de optimizare a traiectoriei (timp minim, energie minimă
etc.), cât şi pentru
respectarea unor restricţii impuse de procesul tehnologic (de
exemplu, în cazul
operaţiilor de sudură). În acest context, se impune analiza
caracteristicilor specifice
reglajului după vitezele generalizate i asociate variabilelor
generalizate iq , unde,
ii q (5.72)
Se va considera modelul matematic al braţului articulat din
figura 5.11a. Din
ecuaţiile (5.31), (5.32) se obţine,
11111 fkJM (5.73)
222122 )( fkJM (5.74)
După câteva prelucrări se obţin funcţiile de transfer
corespunzătoare,
)(1
)( 111
1 sMksJ
sf
(5.75)
t
qiT(t) qi
qi(t)
1
-
)())((
)(1
)( 11122
22
222 sM
ksJksJ
sJsM
ksJs
fff
(5.76)
Schema bloc a sistemului de conducere, considerând elementul de
reglare de
tip proporţional şi acţionarea realizată prin comandă după
curent, este prezentată in
figura 5.16.
Considerând elementul superior, elementul 2 şi neglijând, într-o
primă fază,
efectul perturbator al elementului inferior se obtine,
222 )(
f
Rm
ksJ
kksY
(5.77)
de unde rezultă,
)()(
)( 2222
22s
kksJ
ksJse d
f
f
(5.78)
Deci, pentru un semnal treaptă de viteză dd t 22 )( eroarea
staţionară va
fi
)()(lim
22
2
222
22*2
0
*2
kk
k
kksJ
ksJ
ssE
f
f
f
fd
s
d
(5.79)
In condiţiile în care mişcarea prescrisă de braţul robotului
este uniform
accelerată, deci viteza este dată de o lege liniară în timp de
forma,
dd kt )(2 (5.80)
eroarea staţionară va fi
)(lim
222
22
20 kksJ
ksJ
s
ksE
f
fd
s (5.81)
-
ceea ce indică imposibilitatea asigurării parametrilor de reglaj
doriţi, după viteză,
folosind un sistem de reglare cu un simplu element
proporţional.
Analizând în continuare efectul perturbator produs de elementul
inferior,
pentru o viteză parcursă proprie 02 d , se obţine,
22
221
2211
22
)()(
))(()(
fff ksJ
sksM
ksJksJ
sJs
(5.82)
)())()((
)( 122211
22 sM
kksJksJ
sJs
ff
Eroarea staţionară rezultată în urma mărimi perturbatoare
treaptă 11 )( MtM va fi,
0))()((
lim)(lim22211
21
02
kksJksJ
sJ
s
MstE
ffssp (5.83)
iar pentru o variaţie liniară in timp, tkM p1
)())()((lim
221
2
22211
220 kkk
Jk
kksJksJ
sJ
s
ksE
ff
p
ff
p
sp
(5.84)
Figura 5.16
M1
M2 I km kR
2d2d wq 22 wq
f11
2
ksJ
sJ
f22 ksJ
1
-
Relaţiile de mai sus permit aprecierea erorii staţionare
rezultate în diferite
regimuri de lucru. Celălalt parametru, eroarea de supraurmărire,
este mai puţin
important în reglajul după viteză si nu va fi calculat aici.
Din analiza prezentată se observă că, dacă pentru reglarea după
poziţie, un
simplu element de reglare de tip proporţional putea fi
considerat satisfăcător, în
cazul reglării dupa viteză performanţele sunt cu totul
neacceptabile, impunându-se
utilizarea unor legi de reglare mai complexe.
5.4. Sisteme de conducere cu legi de reglare complexe
Paragrafele anterioare au arătat necesitatea introducerii unei
structuri de
reglare suficient de complexe ca să asigure performanţele
tranzitorii şi staţionare
corespunzătoare exigenţelor impuse de protocolul tehnologic al
robotului.
Se va considera, pentru exemplificare, sistemul de reglare a
vitezei braţului,
descris în paragraful precedent, regulatorul fiind de data
aceasta un sistem de
reglare PI (proporţional-integrator),
t
di
dRc dt)(sT
)(k)t(x0 2222
1 (5.85)
sau
))()()(1
1()( 22 sssT
ksx di
Rc (5.86)
unde cx este mărimea de ieşire a regulatorului (figura 5.17)
Funcţia de transfer în circuit deschis va fi
)(
)1()(
222
fi
iRm
ksJsT
sTkksY
(5.87)
iar in circuit închis
RmRmfii
iRm
kkskkkTsJT
sTkksY
)(
)1()(
2
2
2
02 (5.88)
-
Eroarea staţionară de reglaj a vitezei, neglijând efectul
perturbator al elementului
inferior, va fi
)()(
)()( 2
22
2
22s
kkskkkTsTJ
ksJsTse d
RmRmfii
fi
(5.89)
Ultimul rezultat indică o eroare staţionară nulă pentru un
semnal treaptă
dd t 22 )( , iar pentru o mişcare uniform accelerată tkt dd
)(2
Rm
fid
RmRmfii
fid
s kk
kTk
kks)kkk(TsTJ
)ksJ(sT
s
kslimE
2
22
2
22
20
(5.90)
Impunerea unei restricţii asupra acestei erori de forma
impEE (5.91)
conduce la determinarea unui domeniu de acordare a parametrilor
sistemului de
reglare, Rk şi iT
impm
fd
i
R
Ek
kk
T
k 2 (5.92)
Acest prim rezultat indică deja îmbunataţirea cerută a
performanţelor
staţionare, în reglajul vitezei, prin utilizarea unui regulator
PI fată de sistemul de
conducere cu un simplu reglaj proporţional, descris în
paragraful anterior.
-
Figura 5.17
Considerând acum efectul perturbator al celuilalt element, din
figura 5.17
rezultă 02 dw
12211
22
222
1M
)ksJ)(ksJ(
SJw
)ksJ(sT
)sT(kkw
fffi
iRm
(5.93)
sau
1
1122
2
22
2 M)ksJ)(kks)kkk(TsTJ(
sTJw
fRmRmfii
i
(5.94)
Din aceasta ultimă relaţie se verifică uşor că eroarea
staţionară,
)(lim)(lim 2 tteEt
pt
p
este nulă atât pentru cupluri perturbatoare 1M de tip treaptă
cât şi pentru cele liniar
variabile în timp.
Îmbunătaţirea regimurilor staţionare atât la nivelul buclei de
conducere
directă cât şi al celei de conducere după perturbaţie este
realizată în detrimentul
unei înrăutaţiri a regimului tranzitoriu. Într-adevăr, din
relaţia (5.88) se observă
apariţia unui zero în funcţia de transfer în circuit închis,
M1
km 2dw dw
f11
2
ksJ
sJ
f22 ksJ
1
sT
11k
iR
-
iTz
1 (5.95)
ceea ce conduce la creşterea erorii de supraurmărire. Pentru
sistemele de conducere
după viteză aceste regimuri sunt mai puţin semnificative. În
literatura de
specialitate [82,93,29,30] se pot găsi metode care perimit
acordarea optimă a
parametrilor regulatorului şi în raport cu aceste
performanţe.
Sistemul de conducere discutat a utilizat un regulator de tip
PI. O structură
mai complexă de reglare este oferită de un regulator PID,
T
dDdi
dRc ))t(q)t(q(Tdt))t(q)t(q(T
))t(q)t(q(k)t(x0
1 (5.96)
Mărimea de comandă generată de acest regulator )(txc depinde
deci şi de
derivata erorii )( qqd ceea ce perimite asigurarea unui regim de
anticipare a
evoluţiei pe traiectorie permiţând eliminare regimurilor
tranzitorii nedorite,
suparaurmărirea.
Utilizarea acestei legide reglare este similară cu cea folosită
la regulatorul
PI, restricţiile şi performanţele dorite impunând alegerea
corectă a parametrilor de
reglare, DiR TTk ,,
În sistemele de conducere a roboţilor este preferată o variantă
uşor
modificată a legii de reglare (5.96) de forma,
T
dDdi
RdRc tqtqTdttqtq
T
ktqtqktx
0))()(())()(())()(()( (5.97)
În relaţia (5.97) controlul după derivata erorii )( qqD este
înlocuit cu controlul
după derivata unghiului q, deci a vitezei generalizate wq .
Această soluţie este
preferată pentru a elimina riscurile ce apar în realizarea
fizică a derivatei mărimii
de referintă, )(tqD viteza generalizată q fiind obţinută direct
de la robot cu
sisteme de măsurare adecvate (figura 5.18).
Considerând, pentru exemplificare, bucla de reglare a poziţiei
unghiulare a
elementului 2 şi neglijând efectul perturbator al elementului 1,
utilizând (5.34) se
obţine,
))1(
()(
222
2 sqTkesT
sTk
ksJs
kq dR
i
iR
f
m
-
Deci, funcţia de transfer în circuit deschis va fi,
))((
)1(
)(
)()(
222
22
dRmfi
iRm
TkkksJsT
sTkk
se
sqsY
(5.98)
Pentru o valoare prescrisă dq2 , eroarea de poziţie unghiulară
va fi,
)(
))((
)1(1
1)( 2
222
sq
TkkksJsT
sTkkse d
dRmfi
iRm
sau
)()(
))(()( 22
23
2
222
sqkksTkksTkkTsJT
TkkksJsTse d
RmiRmdRfii
dRmfi
(5.99)
Figura 5.18
Relaţia (5.99) indică erori staţionare nule pentru valori de
poziţie prescrise,
treaptă sau variabile liniar în timp.
Efectul elementului 1 în mişcarea elementului 2 se obţine după o
tratare
similară cu cea utilizată în paragraful 5.3.2
Pentru 02 dq , din (5.34) si figura (5.18) se obţine,
]sqTk
qT
)T(k
)ksJ(s
k[M
)ksJ)(ksJ(
Jq
dR
is
isR
f
m
ff
2
222
12221
22
1
(5.100)
q1 M2
w2 q2
km M2 e qd2
q2 22 wq dRTk
iR
T
11k
Regulator PID
M1
-
sau
)s(M)kksTks)Tkkk(TsJT)(ksJ(
sTJ)s(q
RmimdRmfiif
i12
23
221
22
2
(5.101)
Din formula (5.101) se observă că eroarea staţionara va fi de
asemenea zero şi în
raport cu perturbaţiile cuplului 1M al braţului inferior dacă
acestea sunt constante
sau au variaţii liniare în timp.
Aceste rezultate confirmă, deci, regimurile de lucru net
îmbunătăţite ale
unor structuri de reglare complexe faţă de cele cu simple
sisteme de amplificare a
erorii, atât în ceea ce priveşte reglajul în raport cu mărimile
prescrise, cât şi cel ce
priveşte regimul perturbator determinat de articulaţiile vecine
elementului condus.
5.5 Compensarea directă a efectului perturbator ale
elementelor inferioare
Sistemele de reglare discutate anterior au utilizat aşa numitul
principiu de
reglare după eroare [82,85,93], funcţionarea efectivă a
circuitului de reglare intrând
în funcţiune la apariţia erorii între valoarea mărimii prescrise
şi cea măsurată, în
mişcarea robotului. La un astfel de sistem, unicul regulator
trebuie să satisfacă atât
performanţele privind urmărirea valorilor prescrise elementului
controlat cât si cele
referitoare la perturbaţiile ce afectează mişcarea, perturbaţii
determinate de
elementele inferioare ale braţului robotului.
O structură de reglare îmbunatăţită se poate obţine [12,93]
prin
introducerea unei compensări a perturbaţiilor cu o buclă de
reglare proprie. În acest
fel, sarcina reglării propriu-zise, după eroare, revine
regulatorului principal,
performanţele generale de reglare fiind mult mai uşor de
satisfăcut.
Evident, o astfel de structură de reglare cere măsurarea
mărimii
perturbatoare, legea de reglare proprie intervenind după
măsurarea mărimii
respective. În acest sens, modelele utilizate în analiza
precedentă nu sunt adecvate
întrucât cuplul perturbator iM ce acţionează elementele
inferioare celui condus nu
este o mărime uşor măsurabilă. Se va prefera deci o altă
abordare a modelului
-
dinamic al braţului robotului luând în consideraţie ca mărime
perturbatoare direct
poziţia unghiulară sau mărimi derivate din aceasta.
Analizând, în acest sens, relaţia (5.32), se obţine
122
22
222
)(
1q
ksJ
sJM
ksJsq
ff
(5.102)
Figura 5.19
Considerând 1q mărimea perturbatoare în bucla de reglare a
elementului 2,
compensarea acesteia se poate obţine prin schema prezentată în
figura 5.19. În
această configuraţie RY şi RPY desemnează funcţiile de transfer
ale celor două
regulatoare, de pe bucla directă şi respectiv pentru compensarea
perturbaţiei. Dacă
se notează cu
22sJYp
)(
1
222
fksJsY
(5.103)
Atunci mărimea de iesire 2q este dată de relaţia
))(( 112222 qYqkkqqkkYq pRPmdRm
de unde rezultă
q2
)kss(J
1
f22
q1
elementul 1
km
J2s2
q2d YR
kRP
SR
-
12
2
22
22
1
)(
1q
YYk
YYkYq
YYk
Ykkq
Rm
pRPm
dRm
Rm
(5.104)
Figura 5.20
Independenţa ieşirii elementului 2, 2q , de mişcarea elementului
1 se poate
obţine prin alegerea unui regulator RPY astfel încât,
PRPm YYk (5.105)
ceea ce ţinând cont de (5.103) înseamnă,
22 sk
JY
mRP (5.106)
Legea de reglare cerută de relaţia (5.106) nu poate fi realizată
fizic datorită
elementului dublu derivator solicitat. O astfel de compensare
poate fi, totuşi,
implementată dacă în locul perturbaţiei 1q se măsoară
acceleraţia unghiulară 1
)t(q)t( 11 (5.107)
)s(qs)s( 12
1 (5.108)
q2
)kss(J
1
f22
q1
elementul 1
km
J2s2
q2d YR
kRP
SR
-
deci regulatorul se reduce la un simplu factor de
proporţionalitate
)()( 12
1 sqss (5.109)
Schema de reglare, în această structură, este prezentă în figura
5.20.
Pentru măsurarea acceleraţiei unghiulare se pot utiliza sisteme
speciale de
tip accelerometru. De asemenea, acceleraţia unghiulară poate fi
estimată direct din
variabilele unghiulare de poziţie iq şi din vitezele unghiulare
asociate i utilizând
tehnica observărilor de stare. Modalităţile de aplicare a
acestei metode vor fi
expuse în capitolele ulterioare.
5.6. Proiectarea sistemului de reglare prin metode de
frecvenţă
În foarte multe situaţii, proiectarea sistemului de conducere
utilizând metode
de frecvenţă este extreme de avantajoasă datorită în principal
facilitaţilor de calcul
oferite şi posibilităţilor de algoritmizare a etapelor de
proiectare pentru o prelucrare
ulterioară pe calculator numeric.
5.6.1. Comportarea în regim armonic a elementelor mecanice
Analiza sistemelor mecanice dezvoltată în capitolele anterioare
a arătat că,
pentru o gamă largă de elemente în mişcare, regimul dinamic
poate fi redat prin
ecuaţia
)()()( tMtqktqJ f (5.110)
unde J şi fk sunt momentul de inerţie echivalent şi respectiv
coeficientul de
frecare iar M este cuplul motor. Dacă acest cuplu are forma,
tMtM sin)( 0 (5.111)
unde este pulsaţia impusă, atunci coordonata generalizată q va
avea forma
)sin()( 0 tqtq (5.112)
-
şi reprezintă răspunsul armonic sau răspunsul în frecvenţă al
elementului mecanic.
Funcţia de transfer )( jY asociată va fi,
)(
1
)(
)()(2
fkJjjjM
jqjY
(5.113)
Relaţia (5.113) poate fi rescrisă sub forma,
)()()( 222 jYjYjY (5.114)
unde
fkjjY
1)(2 (5.115)
1
1)(
fk
Jj
jY
(5.116)
Descompunerea de mai sus permite trasarea simplă a
diagramelor
logaritmice amplitudine – pulsaţie asociate modelului (5.110)
(diagramele lui
Bode).
)log(20))((log20 2 fkjY (5.117)
1)(log20))(log(20 22 fk
JjY
(5.118)
Într-o reprezentare Bode, funcţia de transfer va fi redată de o
dreaptă (a) cu
panta,
decadădBjYjY /20)(log20)(log20 1222 (5.119)
-
unde
12 10
O reprezentare aproximativă a funcţiei )(2 jY se obţine
analizând spectrul
frecvenţelor definit în jurul valorii,
J
k f1 (5.120)
Pentru frecvenţele joase în raport cu )( 11 se obţine
1)(2 jY (5.121)
iar pentru domeniul frecvenţelor 1 , rezultă :
fk
Jj
jY
1
)(2 (5.122)
o funcţie de transfer cu o aliură similară cu (5.115). Combinând
cele două rezultate,
pentru întregul spectru de frecvenţă, se obţine curba (b)
(figura 5.21).
-
Figura 5.21
Funcţia de transfer globală )(2 Y va fi,
)(log20)(log20))((log20 222 jYjYjY
În figura 5.21, curba c, obţinută prin însumarea curbelor a şi
b, reprezintă
)(log20 2 jY . Pentru J
k f panta caracteristicii este de decdb /20 iar în
domeniul frecvenţelor înalte ea devine dec/db40 . Deşi această
reprezentare
aproximativa este, în general, suficienta pentru proiectarea
sistemului de
conducere, cu linie punctată s-a reprezentat curba exactă a
funcţiei )(2 jY .
Într-o manieră similară se determină caracteristicile
fază-frecventă
))(arg())(arg())(arg( 2 jYjYjY (5.123)
dar din (5.115) şi (5.116), rezultă
2))(arg( 2
jY
(a)
(log)
(d)
(log)
(b)
(c)
J
k f1
0
J
k f1
Arg(Y)
2-
-
dBY
dB
1
fk
-
0))(arg( 2 jY pentru J
k f
2))(arg( 2
jY pentru
J
k f
Curba aproximativă fază-frecvenţă este reprezentată în figura
5.21 prin
linie neântreruptă iar curba exactă prin linie punctată.
5.6.2 Determinarea funcţiei de trensfer a regulatorului
Litereatura de specialitate oferă numeroase metode [80,82,85] ce
se
utilizează într-o manieră mai mult sau mai puţin complexă
procedurile de lucru pe
bază de frecventă. Dintre acestea, în paragraful de faţă se va
utiliza o metodă grafo-
analitică expusă în [93,15].
Metoda se bazează pe determinarea funcţiei de transfer a
regulatorului astfel
încât sistemul de conducere în circuit închis să aibă o funcţie
de transfer dată, cu
performanţele satisfăcătoare. De cele mai multe ori se preferă o
funcţie de transfer
de ordin doi de forma
22
2
02
)(
nn
n
sssY
(5.124)
unde n - pulsaţia naturală şi factorul de amortizare generalizat
se determină
aprioric pentru satisfacerea unor criterii impuse. Funcţia de
transfer în frecvenţă va
fi
nn
n
jjY
2)(
22
2
0
(5.125)
În circuit deschis, funcţia de transfer corespunzătoare lui
(5.125) este
)()(
2
2
jjjY n (5.126)
unde
-
n 22 (5.127)
Noua funcţie poate fi reprezentată aproximativ într-o diagramă
Bode
ţinând cont de forma lui )(0 jY .
În cazul frecvenţelor joase, 2 , funcţia de transfer (5.126)
poate fi
rescrisă ca
2222
22
242
)(1log20log20
log20log20
n
ndBY
sau
log20log20log20 22
2 ndBY (5.128)
Pentru un interval de frecvanţe de o decadă, 10 rezultă o
pantă
decadădBYY dBdB /20log20log2012 (5.129)
Figura 5.22
În domeniul frecvenţelor înalte, 2 funcţiile de transfer pe
calea
directă şi în circuit închis au aceeaşi comportare, deci
reprezentările Bode coincid.
Punctul de frângere al lui )( jY se produce la pulsaţia 2 dată
de relaţia (5.127).
În fig. 5.23 sunt reprezentate simultan caracteristica în
circuit închis, curba
a şi caracteristica în circuit deschis, curba b, acestea
suprapunându-se în zona
frecvenţelor înalte.
qd q jωYR jωY2
jωY
km
-
Pentru o pulsaţie naturală n în circuit închis impusă, funcţia
de transfer
respectivă are o reprezentare fixă cu cele două ramuri de joasă
şi înaltă frecvenţă
delimitate prin pulsaţia n
În aceste condiţii, funcţia de transfer în circuit deschis poate
fi modificată
prin deplasarea punctului de frângere, pulsaţia 2 , deci prin
modificarea lui
n
2
2 (5.130)
Evident, se impune acea alegere a parametrilor sistemului pentru
care sunt
verificate performanţele solicitate, de exemplu eroarea
staţionara.
impn
EE
2
Considerând că o astfel de funcţie satisface toate condiţiile
impuse, din ea
se poate construi funcţia de transfer a regulatorului (întrucât
aceste funcţii sunt în
domeniul cu fază minimă, calculul complex al sistemului putând
fi obţinut numai
din caracteristici de tip amplitudine-frecvenţă).
dBmdBRdBdB YKYY 2 (5.131)
deci
)(log20log20)(log20)(log20 2 jYkjYjY mR (5.132)
-
Figura 5.23
În figura 5.23 sunt reprezentate de asemenea caracteristica
amplitudinea
frecvenţa a elementului mecanic de rotaţie (curba c) şi
caracteristica regulatorului
RY calculate conform relaţiei (5.123). Se observă că funcţia de
transfer
recomandată pentru reglare este
2
1
s
skY RR (5.133)
Procedura utilizată mai sus se bazează pe echivalarea sistemului
de conducere cu
un sistem de ordin doi cu performanţe satisfăcute din care se
derivă, cu tehnici
specifice procedurilor în frecvenţă, regulatorul sistemului.
Această metodă este simplă şi satisface marea majoritate a
cazurilor practice
întâlnite în conducerea articulaţiilor unui robot.
În cazul in care sistemul de acţionare este mai complicat, când
echivalarea
cu un sistem de ordinal doi nu mai este posibilă se pot construi
reprezentări Bode
în circuit inchis corespunzătoare cerinţelor impuse la joasă,
medie şi înaltă
frecvenţă , din care sunt deduse similar parametrii sistemului
de reglare[4,31].
1ω 2ω nω logω
YdB
a
d
c
-
CONDUCEREA
PRIN
VARIABILE
DE STARE
Sistemele de conducere discutate în capitolul anterior au avut
ca punct de
plecare metodele clasice de analiză şi proiectare bazate pe
funcţii de transfer şi
criterii în frecvenţă. Aceste proceduri oferă rezultate foarte
bune dar ele pornesc de
la premiza că sistemele mecanice conduse sunt liniare, ipoteză
nu întotdeauna
realizabilă.
O abordare mai generală, globală şi mai riguroasă în raport cu
exactitatea
tratării modelului dinamic al robotului este oferită de metodele
bazate pe conceptul
de stare, pe variabilele de stare asociate dinamicii sistemului
mecanic. În general,
starea structurii mecanice de manipulare a robotului este
definită prin vectorii
poziţiilor şi vitezelor generalizate qq , aceşti parametrii
sintetizând complet
aspectele cinematice şi dinamice ale sistemului.
Utilizând acest concept, în cadrul capitolului de faţă se vor
prezenta câteva
metode şi proceduri de bază utilizate în stabilirea unor noi
configuraţii de
conducere pentru roboţi şi manipulatoare.
6.1. Modele intrare-stare-ieşire
În primele capitole au fost puse în evidenţă principalele tipuri
de ecuaţii ce
pot servi ca referinţă pentru definirea modelului dinamic al
unui robot. Forma
generală a acestei dinamici a fost concretizată în ecuaţia
MqGqqqFqVqqJ ji ,2 (6.1)
unde coeficienţii matriciali J , V , F , G au semnificaţiile
stabilite în (2.5), iar q
este vectorul (nx1) al coordonatelor generalizate.
Utilizând proprietatea de nesingularitate a matricei de inerţie
J , ecuaţia
(6.1) se poate rescrie ca
-
n
nninnii
M
M
qqqqBqqqqfq ...,...,,,...,,...,,,...,
1
1111 (6.2)
formă prin care se separă termenii ce definesc evoluţia internă,
proprie, de cei
determinaţi de mărimile externe, intrările de control iM . Noii
coeficienţi sunt
definiţi de
qGqqqFqVqJqqf ,, 21 IqJqqB 1, (6.3)
Orice control dinamic al unui robot trebuie să asigure anumite
specificaţii
tehnologice, atingerea unei poziţii în spaţiul de operare sau o
anumită orientare a
mâinii sau braţului robotului. Altfel spus, acest control
trebuie să realizeze
cantitativ anumite mărimi considerate ca ieşirile
sistemului,
n
nninnii
M
M
qqqqDqqqqCy ...,...,,,...,,...,,,...,
1
1111 ; i=1,2,...,m (6.4)
Funcţiile iC sunt evident neliniare în raport cu variabilele
mişcării,
complexitatea lor fiind legată direct de modelele cinematice
utilizate şi deci de
sistemele de referinţă adoptate. În general, mărimile de ieşire
apelate în sistemele
robotice depind rar de variabilele de intrare aplicate, deci
relaţia (6.4) se poate
rescrie mai simplu,
nnii qqqqCy ,...,,,..., 11 ; i=1,2,...,m (6.5)
Pentru o reprezentare a ecuaţiilor (6.2) - (6.5) în spaţiul
variabilelor de stare,
se introduce vectorul variabilelor de stare x
nx
x
x
x
2
2
1
... (6.6)
-
unde
tqtx ii
tqtx ini i=1,2,...,n (6.7)
Utilizând aceste notaţii, ecuaţiile (6.2) – (6.5) se rescriu sub
forma,
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
M
M
M
xB
xB
xB
xf
xf
xf
x
x
x
x
x
x
x
x
x
...
...
0
...
0
0
...
...
...
...
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
(6.8)
xC
xC
xC
y
y
y
mm
......
2
1
2
1
(6.9)
Introducând notaţiile,
xf
xf
x
x
xA
n
n
n
...
...
1
2
1
xB
xBxB
n
...
0
...
0
1
xC
xC
xC
xC
m
...
2
1
u
M
M
M
n
...
2
1
(6.10)
-
unde A , B , C , u au dimensiunile (2nx1), (2nxn), (mx1), (nx1),
respectiv, atunci
ecuaţiile (6.8), (6.9) devin,
uxBxAx (6.11)
uxDxCy (6.12)
sau
xCy (6.13)
Relaţiile (6.11), (6.12) definesc ecuaţiile intrare-stare-ieşire
asociate
modelului dinamic al unui robot. Forma de mai sus reprezintă una
din modalităţile
de scriere al relaţiilor intrare-stare-ieşire care pune în
evidenţă intrarea u ca
mărime aditivă faţă de modelul intrinsec (liber) al
sistemului.
Pentru exemplificare, se va considera robotul în coordonate
cilindrice descris
de figura 2.11. Ecuaţiile (2.79), (2.81), (2.82) ce determină
modelul său dinamic
pot fi rescrise sub forma,
111
11
1M
JJ
B
22
1F
mgd
(6.14)
3332
3
1F
mmmm
Bd
NN
În conformitate cu (6.6) vectorul de stare va fi
6
5
4
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
d
d
d
d
x
(6.15)
iar coeficienţii matriciali,
-
NmmxB
g
JxB
x
x
x
xA
32
11
6
5
4
(6.16)
Nmm
m
JxB
3
1
100
01
0
001
000
000
000
(6.17)
Matricile de intrare sunt date direct de forţele şi momentele
aplicate,
3
2
1
3
2
1
F
F
M
u
u
u
u (6.18)
Deci modelul intrare-stare poate fi definit printr-un sistem de
ecuaţii
diferenţiale de ordinul 6 de forma (6.11).
Mărimile de ieşire ale acestui robot sunt de fapt reprezentate
direct de
coordonatele generalizate 1 , 2d , 3d , deci vor fi,
111 xy
222 xdy (6.19)
333 xdy
Ieşirea (6.12) se va putea rescrie sub forma,
xCxCy (6.20)
-
unde
000100
000010
000001
C (6.21)
În unele cazuri, vectorul de ieşire poate avea în componenţa sa
şi vitezele
liniare sau unghiulare asociate articulaţiilor, în special când
se doreşte realizarea
unui control după viteză. În aceste situaţii, matricea C va fi
practic matricea
indentitate I .
6.2. Conducerea prin decuplări neliniare
O caracteristică semnificativă a modelelor dinamice, pusă în
evidenţă în
toate exemplele analizate, este neliniaritatea pronunţată a
coeficienţilor ecuaţiilor
diferenţiale ce descriu modelul şi intercondiţionarea, practic
totală, a parametrilor
acestora.
Tehnica decuplării neliniare, dezvoltată de Freund [11, 37]
reprezintă pe de o
parte o abordare teoretică riguroasă a modelelor neliniare ale
roboţilor şi, în acelaşi
timp, constituie punctul de plecare pentru realizarea unei
sinteze eficiente a
sistemului de conducere permiţând utilizarea unor tehnici
avansate de proiectare cu
alocarea adaptivă a polilor sistemului în circuit închis.
Pentru precizarea metodei se va considera modelul dinamic în
forma (6.11),
(6.12). Se va considera o lege de conducere de forma,
wxGxFu (6.22)
unde F , G sunt matrici de reacţie de dimensiune corespunzătoare
iar w este noua
intrare a sistemului în circuit închis. Dacă matricile F , G se
aleg astfel încât,
xCxDxF 1 (6.23)
xDxG 1 (6.24)
unde
ndiag ,...,, 21 (6.25)
-
atunci relaţia (6.12) devine,
wxDxCxDxDxCy 11 (6.26)
sau
wy (6.27)
formulă ce stabileşte o relaţie intrare-ieşire liniară şi
decuplată pentru sistemul
global.
Din nefericire, o asemenea procedură nu poate fi aplicată decât
foarte rar,
întrucât ieşirea y este, cel mai adesea, dată în forma (6.13),
deci independentă de
intrarea u . Totuşi, metoda poate fi utilizată în condiţiile
unei prelucrări
suplimentare a ieşirii y , din relaţia (6.13), astfel încât să
permită introducerea unei
decuplări în forma descrisă mai sus. Tehnica cea mai utilizată
în acest sens constă
în derivarea succesivă a mărimii de ieşire iy ,
uxBxAx
Cx
x
xCxC
dt
dy iiii
; i=1,2,...,m (6.28)
sau
xA
x
xCy ii
(6.29)
întrucât ultimul element al dezvoltării în (6.28) este nul.
Într-adevăr, din relaţiile
(6.10) se obţine ( iC nu depinde de variabilele nn xx 21,...,
),
0...00
...
...
0
0
0...00...
2
121
xB
xBx
C
x
C
x
CxB
x
C
n
iiii (6.30)
O nouă derivare asupra relaţiei (6.29) dă,
-
xxA
x
xC
xxA
x
xC
dt
dy iii
uxBxA
x
xC
xxAxA
x
xC
xy iii
(6.31)
O analiză atentă a formei particulare a matricilor ce intervin
în relaţia (6.10)
permite obţinerea unor simplificări. Ţinând cont de (6.10)
rezultă,
nn
in
in
i
n
n
n
n
n
iiii
xx
Cx
x
Cx
x
C
xf
xf
x
x
x
x
C
x
C
x
CxA
x
C
222
11
1
2
2
1
21
...
...
...
0...00...
iar din relaţia (6.8) se obţine
nn
iiii xx
Cx
x
Cx
x
CxA
x
C
...2
21
1
(6.32)
Deci,
n
iin
jj
j
ii
x
xC
x
xCx
xx
xCxA
x
xC
x.......
11 1
2
(6.33)
Acest rezultat permite aprecierea ultimului termen din (6.31).
Într-adevăr,
-
0
...
0
...
0
.......111 1
2
xB
xBx
xC
x
xCx
xx
xCxBxA
x
xC
x
n
n
iin
jj
j
ii (6.34)
Relaţia (6.31) stabileşte, deci, o legătură directă între
derivata de ordin doi a
ieşirii şi intrarea sistemului
uxDxCy ** (6.35)
unde
Tnyyyy ,...,, 21
Tn xCxCxCxC *,...,*,** 21
Tn xDxDxDxD *,...,*,** 21
iar
xAxAx
xC
xxC ii
*
xBxAx
xC
xxD ii
* (6.36)
Forma ecuaţiei (6.35) permite introducerea unei proceduri de
decuplare de
tipul celei analizate mai sus. Se va considera legea de
conducere,
wxDxMxCxDu 11 **** (6.37)
unde *M este un vector ce permite o alocarea convenabilă a
polilor sistemului
decuplat prin alegerea sa sub forma,
-
xAx
xCxC
xAx
xCxC
xAx
xCxC
xAx
xCxC
xM
nnnn
iiii
10
10
212202
111101
...
...*
(6.38)
iar are forma (6.25).
Substituind mărimea de intrare u din (6.37) în ecuaţia generală
(6.35) se
obţine,
wxMy * (6.39)
Ţinând cont de (6.13), (6.29) şi (6.38), formula de mai sus se
poate rescrie pe
componentele mărimii de ieşire,
iiiiiii wyyy 01 (6.40)
relaţie care confirmă decuplarea totală a variabilelor
sistemului, fiecare
componentă de ieşire iy fiind controlată numai de componenta
corespunzătoare de
intare iw , sistemul pentru fiecare coordonată comportându-se ca
un sistem liniar
de ordinul doi. Mai mult, prin alegerea corespunzătoare a
coeficienţilor i0 , i1 ,
i se poate obţine o comportare dinamică dorită, cu performanţe
impuse.
O reprezentare simbolică a decuplării neliniare este sugerată în
figura 6.1.
Un sistem de calcul suficient de puternic determină matricile de
decuplare xC * ,
xD 1* şi matricea de reacţie pentru alocarea polilor xM * .
Aceste matrici se
recalculează la fiecare modificare a lui x . Evident că o
implementare fizică a unui
astfel de sistem este posibilă numai dacă efortul de calcul
cerut este compatibil cu o
conducere în timp real.
Pentru exemplificare se va analiza modelul dinamic descris prin
ecuaţiile
(6.15) – (6.21)
-
3
2
1
x
x
x
xC
0000011
x
xC
0000102
x
xC
0001003
x
xC
14
1 xxxAx
xC
25
2 xxxAx
xC
36
3 xxxAx
xC
0010001
xA
x
xC
x
xD 1*
xC *
xM *
w u y
x
+
+
-
-
Coeficienţi ij
Calculator
Figura 6.1
-
0100002
xA
x
xC
x
1000003
xA
x
xC
x
Matricile de decuplare se obţin din formulele (6.36),
1
111*
J
xBxAxA
x
xC
xxC
gxAxAx
xC
xxC
22*
NmmxB
xAxAx
xC
xxC
3
233*
001* 11
1 xJxBxAx
xC
xxD
010* 22 mxBxAx
xC
xxD
NmmxBxAx
xC
xxD
3
33 100*
Deci,
Nmm
m
xJ
xD
3
1
100
010
001
*
Alegând matricile xM * şi ,
313303
212202
111101
*
yy
yy
yy
xM
321 ,, diag
-
introducerea unei legi de reglare de forma (6.37) aduce sistemul
studiat la forma
decuplată,
111011111 w
222022122 wddd
333033133 wddd
Tehnica decuplării neliniare dezvoltată mai sus s-a bazat pe
reprezentarea
prin variabilele de stare a modelului dinamic al robotului. O
tratare similară poate
fi obţinută din ecuaţiile dinamicii, date în condiţiile
generalizate ale mişcării,
ecuaţiile (6.2). Ţinând cont de faptul că,
ii qy ; i=1,2,...,n (6.41)
se obţine,
n
iii
M
M
qqBqqfy ...,,
1
(6.42)
Comparând această relaţie cu relaţia (6.37) se obţine,
qqfqqC ii ,,*
qqBqqD ii ,,* (6.43)
Decuplarea neliniară rezultă din (6.35) direct sub forma,
iiiiiiiii wqqqqfqqBM 10
1 ,,* (6.43)
unde 1*iB desemnează linia i a inversei matricei,
qqB
qqB
qqB
qqB
n
,
...
,
...
,
, 2
1
(6.44)
-
NmmxB
g
JxB
xC
32
11
*
iiiiiii wyyy 01 i=1,2,...,n (6.45)
Indiferent de tehnica adoptată, decuplarea neliniară cere câteva
prelucrări
matriciale care, în funcţie de complexitatea modelului dinamic,
pot face ca metoda
să devină neaplicabilă. În cazul exemplului discutat, operaţiile
matematice
solicitate sunt relativ simple, inversarea matricei xD * şi
operaţiile de adunare-scădere şi înmulţirea putând fi realizate
fără dificultăţi mari, forma specială a
acestor matrici permiţând operaţii direct pe componente.
În condiţiile în care decuplarea neliniară este posibilă fără
eforturi mari, ea
reprezintă o soluţie pentru determinarea unei conduceri corecte,
cu performanţe
bune, sistemul global fiind redus la n sisteme liniare de ordin
doi, decuplate, fiecare
sistem condus prin propria variabilă de intrare iw . Mai mult,
prin alegerea
coeficienţilor i0 , i1 , i se permite o alocare convenabilă a
polilor sistemului
decuplat astfel încât să se asigure gama de performanţe
cerute.
6.3. Controlul mişcării perturbate
Scopul oricărui sistem de conducere al unui robot este de a
asigura o mişcare
dorită, o traiectorie nominală impusă în spaţiul de operare.
Deci, dacă dq , dq
reprezintă coordonatele generalizate, vitezele şi acceleraţiile
dorite, aceste mărimi
trebuie să verifice ecuaţiile ce guvernează mişcarea (6.1).
dddddddd MqGqqqFqVqqJ ,, (6.46)
sau într-o formă mai concentrată, grupând forţele Coriolis şi de
frecare,
dddddd MqGqqNqqJ , (6.47)
unde dM este controlul impus, vectorul forţă sau moment, ce
asigură evoluţia
dorită. Dacă, în raport cu valorile prescrise dM , se produce o
abatere M ,
MMM d (6.48)
se va obţine o perturbare a traiectoriei mişcării, parametrii
acesteia modificându-se
-
qqq d
qqq d (6.49)
qqq d
Evident că aceste noi mărimi vor verifica modelul dinamic,
MMqqGqqqqNqqqqJ dddddd , (6.50)
Dezvoltând pe N şi G în serie Taylor în jurul traiectoriei
nominale, neglijând
termenii de ordin superior şi presupunând că
dd qJqqJ
se obţine
MMqGqGqNqNqqNqqqJ dddddd 121, (6.51)
unde N1, N2, G1 sunt matrici (nxn) de forma
dqq
NN
1;
dqq
NN
2 ;
dqq
GG
1 (6.52)
calculate pe traiectoria nominală dd qq , . Ţinând cont de
(6.47), ecuaţia (6.51) devine
MqGNqNqqJ d 121 (6.53)
sau
M
Jq
q
NJGNJ
I
q
q
dt
d
1
11
121
00
(6.54)
Introducând vectorul de stare x, din (6.6), (6.7) rezultă
-
q
qx
(6.55)
şi notând prin M, P matricile,
11
121
0
NJGNJ
IM (6.56)
1
0
JP (6.57)
relaţia (6.54) devine,
uPxMx
Ecuaţiile (6.57) reprezintă modelul perturbat al dinamicii
robotului faţă de o
traiectorie nominală dată. Modelul obţinut este liniar iar forma
matricilor M, P
indică controlabilitatea completă a acestuia.
Să considerăm că asupra robotului se aplică o lege de control de
forma,
wxKu (6.58)
unde K este o matrice de reacţie aleasă corespunzător iar w este
intrarea generală în
sistem. Din (6.57) rezultă,
wPxPKMx (6.59)
În conformitate cu specificaţiile teoriei sistemelor liniare,
controlabilitatea
perechii PM , face ca întotdeauna să existe o matrice K astfel
încât matricea
PKM să aibă valori proprii impuse în semiplanul stâng, deci să
asigure stabilitatea regimului perturbat, revenirea la traiectoria
nominală.
6.4. Sisteme de conducere adaptivă Sistemele de conducere
discutate în paragrafele precedente se bazează în
principiu pe exactitatea modelului matematic al robotului,
corectitudinea acestuia
fiind direct corelată cu performanţele realizate. În realitate,
modelele cinematice
sau dinamice nu sunt complet cunoscute şi nu sunt invariabile în
timp ci se
-
modifică într-un mod asupra căruia nu există informaţia
apriorică necesară. Aceste
modificări se pot produce accidental, în urma operaţiilor
efectuate, sau apar firesc,
printr-o uzură progresivă a componentelor. De asemenea, robotul
este prin esenţa
sa un element de manipulare, sarcina pe care o transferă fiind,
în general, extrem de
diversificată, deci ea va conta ca o mărime perturbatoare în
ecuaţiile ce definesc
regimul static şi dinamic al robotului. Toate aceste elemente
pun în evidenţă
dificultatea obţinerii unui model teoretic exact necesar
asigurării unor game de
performanţe impuse într-o conducere specifică.
Aceste dificultăţi pot fi depăşite prin introducerea unor
structuri de comandă
adaptive. În această direcţie se utilizează două metode: [93,
94, 113, 114] prima
desemnată sub titulatura „control adaptiv cu ajustarea
parametrilor modelului” în
care se obţine un model îmbunătăţit al robotului prin tehnici de
estimare on-line a
parametrilor acestuia şi o a doua cunoscută sub denumirea de
„control adaptiv cu
model de referinţă” care asigură conducerea robotului având ca
referinţă un model
etalon, sistemul de conducere utilizat măsurând în permanenţă
eroarea între
funcţionarea reală a robotului şi cea ideală oferită de model.
Prima metodă necesită
în general tehnici şi sisteme de calcul performante care să
permită „reactualizări”
ale modelului în timp real. Structurile de conducere adaptive
uzuale se bazează în
special pe a doua metodă, mai simplă şi cu implicaţii hardware
mai modeste.
În figura 6.2 este prezentată configuraţia generală a unei
conduceri adaptive
cu model de referinţă. Se remarcă calculul erorii e, abaterea
ieşiri reale y faţă de ye,
ieşirea furnizată de modelul etalon. Un bloc specific de
adaptare asigură
modificarea parametrilor legii de reglare.
Pentru tratarea acestui sistem de conducere se va considera
modelul dinamic
al robotului (6.1) în forma,
uxBxxAx * (6.60)
-
Figura 6.2
Ţinând cont de (6.10) se observă că o astfel de scriere este
întotdeauna
posibilă. Pentru simplificarea scrierii xA* va fi notată cu xA .
Modelul de referinţă va fi descris de o ecuaţie liniară
uBxAx mmmm (6.61)
unde mA , mB , mC sunt matrici constante, de dimensiuni (2nx2n),
(2nxn), (nx2n),
respectiv. Ecuaţiile (6.60), (6.61) sintetizează comportarea
dorită, ideală a robotului
ceea ce înseamnă, în primul rând, un model stabil, deci matricea
mA are toate
valorile proprii în semiplanul stâng.
Sistemul de adaptare preconizat va avea ca sarcină să determine
acele
modificări ale parametrilor legii de conducere astfel încât
comportarea modelului,
deci vectorul coordonatelor generalizate ale robotului, să tindă
către vectorul de
stare al modelului, pentru aceeaşi mărime de intrare u. Un
astfel de mecanism va
opera pe baza diferenţei între coeficienţii matriciali ai
robotului şi modelului. Se
vor nota [93],
xAAm (6.62)
BBm (6.63)
Robot
Ajustarea legii de
conducere
Mecanism de
adaptare
Model
etalon
u y
e
ye
-
-
+
+
-
unde , sunt matrici de dimensiune (2nx2n) şi (2nxn) respectiv şi
ai căror
coeficienţi
ttxaat ijmij ij , i,j=1,2,...,2n (6.64)
ttxbbt ijmij ij , i=1,2,...,2n; j=1,2,...,n (6.65)
sintetizează legea de adaptare. În relaţiile de mai sus,
coeficienţii ija , ijb
reprezintă, în momentul iniţial, coeficienţii modelului (6.60)
iar ulterior, prin
intervenţia mecanismului de adaptare, noile valori necesare
pentru tinderea spre
zero a erorii. Deci,
00,0 xaxa ijij
00,0 xbxb ijij (6.66)
unde 0x reprezintă parametrii iniţiali ai mişcării
robotului.
Dependenţa directă de timp a acestor coeficienţi este
determinată numai de
sistemul de adaptare, variaţiile efective ale parametrilor
fizici ai robotului
considerându-se lente în timp [113].
În sensul analizat, eroarea de adaptare se va defini prin
xxe m (6.67)
sau
xxe m (6.68)
Introducând mx şi x din (6.60), (6.61) se obţine
uxBBxxAxAe mmm (6.69)
sau, ţinând cont de expresia erorii (6.67),
uxBBxxAAeAe mmm (6.70)
-
Ecuaţia (6.70) reprezintă modelul matematic al erorii şi
defineşte în modul
cel mai semnificativ sistemul de adaptare. Evident, un circuit
de adaptare operează
corect atunci cînd
0lim
tet
(6.71)
Pentru analiza condiţiilor de stabilitate ale ecuaţiei (6.70) se
va utiliza
metoda a doua a lui Liapunov. Se consideră o funcţie Liapunov de
forma [93,113],
n
i
n
jijij
n
i
n
jijij
T vPeeV2
1
2
1
22
1
2
1
2 (6.72)
unde P este o matrice simetrică şi pozitiv definită iar ij , ijv
sunt constante
pozitive. Ţinând cont şi de faptul că anularea erorii e înseamnă
şi anularea
variabilelor ij , ij definite în (6.64), (6.65), rezultă că V
este pozitiv definită.
Derivata V calculată de-alungul soluţiilor ecuaţiei (6.70)
dă,
n
i
n
jijijij
n
i
n
jijijij
TT vePePeeV2
1
2
1
2
1
2
1
22
sau
n
ii
n
jiji
Tjijijm
Tm
T pexePAPAeV2 2
1
2
n
i
n
jiji
Tjijij peuv
2
1
2
1
2 (6.73)
unde s-au notat [93, 16] cu jx elementul j al vectorului x , ip
- coloana i din
matricea P şi ju elementul j al vectorului u.
Datorită stabilităţii impuse modelului de referinţă ( mA
stabilă), există
întotdeauna o soluţie P, pozitiv definită şi simetrică, a
ecuaţiei matriciale [84, 85],
QPAPA mTm (6.74)
-
unde Q este, de asemenea, o matrice pozitiv definită.
Relaţia (6.74) permite aprecierea primului termen al lui V.
Pentru a asigura
condiţia de funcţie negativ semidefinită a lui V este suficient
să anulăm ultimii doi
termeni în dezvoltarea (6.73),
0 iT
jijij pex (6.75)
0 iT
jijij peuv (6.76)
Cu aceste condiţii V devine,
QeeV T (6.77)
deci modelul dinamic al erorii este stabil, modelul ajustat al
robotului tinzând către
cel al sistemului de referinţă.
Relaţiile (6.75), (6.76) reprezintă practic mecanismul de
adaptare impus,
într-adevăr, prin integrarea ecuaţiilor respective se obţin
coeficienţii matriceali ij
ce permit calculul matricilor ajustate A, B prin formulele
(6.62), (6.63). Integrarea
acestor ecuaţii impune calculul unor coeficienţi neliniari ce
depind de starea
robotului jx , intrarea aplicată acestuia ju şi eroarea
determinata în sistemul de
adaptare e. Determinarea vectorilor ip se poate realiza off -
line, aceştia
calculându-se anticipat în funcţie de modelul de referinţă
ales.
Pentru exemplificare, se va considera robotul în coordonate
cilindrice descris
prin ecuaţiile (2.79). (2.81), (2.82). Considerând vectorul de
stare de forma (6.15),
aceste ecuaţii pot fi aduse la forma (6.60) în care matricile xA
şi xB vor fi,
00000
00000
00000
100000
010000
001000
34
2
42
411
nmmx
B
xg
xJBxA
-
nmm
m
xJxB
3
1
100
01
0
001
000
000
000
Modelul de referinţă este preferabil să fie ales de tip
decuplat, relaţiile intrare
- ieşire pe fiecare variabilă fiind definite de ecuaţii
diferenţiale de ordin doi de
forma
iiminminimi uyyy ii 22 i=1,2,3 (6.78)
unde , n şi asigură regimul dinamic dorit. Întrucît ymi = xmi,
matricile
modelului de referinţă vor fi,
233
222
211
3
2
1
02000
02000
02000
100000
010000
001000
nn
nn
