Sisteme de forţe (continuare)

Mecanica I 1

CURS 3

SISTEME DE FORŢE (continuare)

CUPRINS

3. Sisteme de forţe (continuare)……...………………………………………………………1

Cuprins……………………………………………………………………………………..1

Introducere modul………………………………………………………………………….1

Obiective modul...………………………………………………………………………….2

3.1. Momentul forţei în raport cu un punct ………………………………………....2

Test de autoevaluare 1………………………………………………………………...5

3.2. Momentul forţei în raport cu originea sistemului de referinţă cartezian..........5

3.3. Momentul forţei în raport cu o axă ......................................................................6

Test de autoevaluare 2...................................................................................................8

3.4. Cuplu de forţe ........................................................................................................8

3.5. Teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe concurente ...............................9

Test de autoevaluare 3.................................................................................................10

Bibliografie modul……………………………………………………………………………10

Rezumat modul……………………………………………………………………………….11

Rezolvarea testelor de autoevaluare…………………………………………………………..11

3. Sisteme de forţe (continuare)

Introducere

modul

Pentru definirea poziţiei dreptei suport a forţei în raport cu un reper

oarecare este nevoie de o nouă noţiune, introdusă în acest modul.

Se vor defini noţiunile de moment al forţei în raport cu un punct şi

moment al forţei în raport cu o axă. Se va studia cuplul de forţe şi se

va enunţa teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe concurente.

Sisteme de forţe (continuare)

Mecanica I 2

Obiective modul

După parcurgerea acestui modul cursantul va şti:

- să determine momentul unei forţe într-un punct;

- să determine momentul unei forţe în raport cu o axă;

- să determine sistemul echivalent cel mai simplu pentru un

cuplu de forţe;

- să enunţe teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe

concurente;

Durata medie de

studiu individual

2 ore

Acest interval de timp presupune asimilarea noţiunilor prezentate în

acest modul şi realizarea testelor de autoevaluare.

3.1. Momentul forţei în raport cu un punct

Expresiile forţei găsite până acum nu pun în evidenţă decât trei dintre caracteristicile forţei:

mărimea, direcţia şi sensul. Rezultă ca este nevoie de o noţiune care să indice poziţia

punctului de aplicaţie al forţei în raport cu un reper oarecare. Cum o forţă care acţionează

asupra unui solid rigid are caracter de vector alunecător (nu interesează poziţia punctului de

aplicaţie al forţei pe dreapta suport a acesteia) rezultă că în Mecanica teoretică este suficientă

cunoaşterea poziţiei dreptei suport a forţei în raport cu un reper oarecare.

Poziţia dreptei suport a forţei în raport cu un reper oarecare are o importanţă deosebită, după

cum se observă în exemplul următor, în care s-a considerat o bară având un punct fix (O)

acţionată de aceeaşi forţă în trei puncte diferite.

Fig. 3.1. Influenţa poziţiei dreptei suport a forţei asupra

efectului mecanic produs de forţă

O O O

Sens de rotaţie

Sens de rotaţie

a) c) b)

Sisteme de forţe (continuare)

Mecanica I 3

După cum se observă efectul mecanic produs de forţă este diferit. Astfel, dacă forţa

acţionează în dreapta punctului fix O (figura 3.1.a), bara se va roti în sens orar, dacă forţa

acţionează în stânga punctului fix O (figura 3.1.b), bara se va roti în sens trigonometric iar

dacă forţa acţionează chiar în punctul fix O bara nu se roteşte.

Noţiunea care defineşte poziţia punctului de aplicaţie al forţei în raport cu un reper oarecare

este momentul forţei în raport cu un punct.

Se numeşte moment al unei forţe în raport cu un punct O produsul vectorial dintre vectorul ce

uneşte punctul O cu punctul de aplicaţie al forţei şi forţă.

S-a notat cu vectorul ce uneşte punctul O cu punctul de aplicaţie al forţei . Acest vector se

numeşte vectorul de poziţie al punctului de aplicaţie al forţei în raport cu punctul O.

Caracteristicile momentului forţei în raport cu un punct rezultă din proprietăţile produsului

vectorial.

Mărimea este:

unde d este distanţa de la punctul O la dreapta suport a forţei şi se numeşte braţul forţei. Se

observă că momentul forţei în raport cu punctul O este zero atunci când braţul forţei d este

zero, adică atunci când dreapta suport a forţei trece prin punctul O.

O

A d

α

Fig. 3.2. Momentul forţei în raport

cu punctul O

A

B

O

O1

Fig. 3.3. Momentul forţei vector

alunecător

Sisteme de forţe (continuare)

Mecanica I 4

Direcţia vectorului este perpendiculară pe planul format de vectorii şi . Cum are

vârful pe dreapta suport a forţei este suficient să cosiderăm planul format de punctul O şi

dreapta suport a forţei.

Sensul vectorului se determină utilizând regula burghiului drept (se roteşte peste pe

drumul cel mai scurt, sensul de înaintare al burghiului drept fiind sensul vectorului ) sau

regula mâinii drepte (se aşează palma dreaptă întinsă, cu degetul cel mare făcând un unghi

drept cu degetul arătător, astfel încât vectorul să înţepe palma iar vectorul să fie în sensul

degetului arătător; degetul cel mare va indica sensul vectorului ). Se observă că vectorii ,

şi formează un triedru drept.

Punctul de aplicaţie este punctul O.

Pentru forţa vector alunecător se va arăta că este suficient ca vârful vectorului de poziţie să

fie pe dreapta suport a forţei. Pentru aceasta considerăm pe dreapta suport a forţei punctul B

(figura 3.3) şi vom arăta că momentul forţei (acţionând în punctul A) în raport cu punctul

O (notat ) este acelaşi cu momentul forţei (acţionând în punctul B) în raport cu punctul

O (notat ):

Demostraţie

Vectorul de poziţie se poate scrie:

Cunoscând că produsul vectorial este distributiv în raport cu

adunarea vectorilor şi că produsul vectorial a doi vectori coliniari

este zero, rezultă:

Dacă se schimbă punctul în raport cu care se calculează momentul forţei, atunci se va

modifica şi momentul forţei. Pentru a determina relaţia de variaţie a momentului forţei la

schimbarea punctului în raport cu care se calculează, se consideră punctul O1 (figura 3.3) şi se

determină momentul forţei în raport cu punctul O1 (notat ) în funcţie de momentul

forţei în raport cu punctul O.

Sisteme de forţe (continuare)

Mecanica I 5

Vectorul de poziţie se poate scrie:

Înlocuind în expresia momentului:

S-a obţinut relaţia de variaţie a momentului unei forţe la schimbarea punctului în raport cu

care se calculează:

Test de

autoevaluare 1

1. Expresia este:

a) adevărată

b) falsă

2. Sensul momentului forţei în raport cu un punct se determină cu:

a) regula mâinii drepte;

b) regula mâinii stângi;

c) regula burghiului drept.

3. Scrieţi relaţia de variaţie a momentului forţei la schimbarea

punctului în raport cu care se calculează.

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.

3.2. Momentul forţei în raport cu originea sistemului de referinţă cartezian

Fie forţa exprimată într-un sistem de referinţă

cartezian, iar punctul O originea acestui sistem

de referinţă. Se notează vectorul de poziţie al

punctului de aplicaţie al forţei în raport cu

originea sistemului de referinţă cu (figura 3.4).

Expresiile analitice ale vectorilor şi sunt:

O

z

y

A(x,y,z)

x

Fig. 3.4. Momentul forţei în raport cu

originea sistemului de referinţă cartezian

Sisteme de forţe (continuare)

Mecanica I 6

unde x, y şi z sunt coordonatele punctului de aplicaţie al forţei (punctul A), adică exact

proiecţiile pe axele sistemului de referinţă ale vectorului de poziţie în raport cu originea

sistemului de referinţă (vectorul ).

Cunoscând produsele vectoriale între versori:

şi efectuând produsul vectorial se observă că momentul forţei în raport cu originea

sistemului de referinţă poate fi exprimat cu ajutorul determinantului:

unde Mx, My şi Mz sunt proiecţiile pe axele Ox, Oy, respectiv Oz ale momentului forţei în

raport cu originea sistemului de referinţă. Conform definiţiei momentului forţei în raport cu o

axă (noţiune introdusă în paragraful următor), Mx, My şi Mz sunt momentele forţei în raport

cu axele sistemului de referinţă Ox, Oy, respectiv Oz.

3.3. Momentul forţei în raport cu o axă

Momentul forţei în raport cu o axă (Δ) este, prin definiţie, proiecţia pe axa (Δ) a

momentului forţei calculat în raport cu un punct oarecare de pe axa (Δ).

unde este versorul axei (Δ).

Se va arăta că putem alege orice punct pe axa (Δ)

pentru calculul momentului forţei în raport cu

această axă. În acest sens se va considera un punct

A pe axa (Δ), astfel încât:

P

O

A

(Δ)

Fig. 3.5. Momentul forţei în

raport cu axa (Δ)

Sisteme de forţe (continuare)

Mecanica I 7

Vectorul de poziţie se poate scrie:

Înlocuind în expresia lui :

Observaţie: deorece este un produs mixt cu doi vectori coliniari.

Momentul unei forţe în raport cu o axă se exprimă printr-un produs mixt. Acesta se anulează

dacă cei trei vectori , şi sunt coplanari. Deoarece vectorul se sprijină pe dreptele

suport ale vectorilor şi este suficient ca vectorii şi să fie coplanari, adică forţa şi

axa (Δ) să fie în acelaşi plan. Rezultă două caracteristici utile în aplicaţii:

- momentul forţei în raport cu o axă este zero dacă dreapta suport a forţei este paralelă

cu axa sau intersectează axa respectivă;

- mărimea momentului forţei faţă de o axă este egală cu mărimea momentului

componentei forţei dintr-un plan normal pe axă, calculat în raport cu punctul în care

axa intersectează planul (figura 3.6):

Fig. 3.6.

A

O

(P)

(Δ)

Sisteme de forţe (continuare)

Mecanica I 8

Demostraţie

În figura 3.6 se reprezintă planul (P) ce conţine punctul A şi este

perpendicular pe axa (Δ). Forţa se descompune în componenta

normală la planul (P), notată şi în componenta din planul (P),

notată .

Pentru determinarea semnului momentului forţei în raport cu o axă vom observa sensul de

rotaţie produs de forţă în jurul axei. Dacă observatorul priveşte astfel încât axa să-i înţepe

pieptul iar sensul de rotaţie produs de forţă în jurul axei este trigonometric, atunci momentul

forţei în raport cu axa respectivă are semnul ,,+”.

Fig. 3.7. Determinarea semnului momentului forţei în raport cu o axă

O altă modalitate de determinare a semnului momentului forţei în raport cu o axă este dată de

relaţia de calcul a momentului :

Vectorii , şi (figura 3.6) formează un triedru drept. Sensul momentului

se determină cu regula mâinii drepte. Cum vectorul are punctul de aplicaţie pe axa (Δ) şi

vârful pe dreapta suport al forţei , este suficient să aşezăm palma către axă, cu degetele

orientate pe direcţia şi în sensul de acţiune al forţei . Sensul degetului mare va indica sensul

vectorului moment . Dacă sensul momentului coincide cu sensul axei, atunci

semnul momentului MΔ este ,,+”.

(Δ) (Δ)

MΔ are semnul ,,+” MΔ are semnul ,,-”

Sisteme de forţe (continuare)

Mecanica I 9

Test de

autoevaluare 2

1. Scrieţi expresia momentului forţei în raport cu originea sistemului

de referinţă.

2. Definiţi momentul unei forţe în raport cu o axă.

3. Momentul unei forţe în raport cu o axă este zero dacă:

a) dreapta suport a forţei şi axa sunt coplanare;

b) dreapta suport a forţei intersectează axa;

c) dreapta suport a forţei este paralelă cu axa.

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.

3.4. Cuplu de forţe

Cuplul de forţe este, prin definiţie, sistemul format din două forţe paralele, egale ca mărime şi

de sensuri opuse.

Dacă se proiectează cele două forţe pe o axă de direcţie oarecare şi se aplică teorema

proiecţiilor, se observă că efectul de forţă este zero pe direcţia acelei axe. Cum axa este de

direcţie oarecare, proprietatea este valabilă pentru orice direcţie. Se poate afirma pentru acest

sistem de forţe că:

Fig. 3.8. Cuplu de forţe

Pentru a determina efectul de moment al cuplului de forţe în raport cu un punct trebuie

introdusă noţiunea de moment rezultant al unui sistem de forţe în raport cu un punct. Prin

O

B

A (P)

Sisteme de forţe (continuare)

Mecanica I 10

moment rezultant al unui sistem de forţe în raport cu un punct se înţelege suma momentelor

forţelor din sistem în raport cu acel punct.

Dacă se calculează momentul rezultant al sistemului în raport cu un punct oarecare O, se

obţine (figura 3.8):

Deoarece momentul cuplului nu depinde de poziţia punctului în raport cu care se calculează

(în exemplul considerat, punctul O) rezultă că momentul cuplului este un vector liber.

Mărimea lui se determină ca moment al unei forţe din cuplu în raport cu un punct de pe

dreapta suport a celeilalte forţe şi este egală cu produsul dintre intensitatea unei forţe şi

distanţa dintre dreptele suport ale celor două forţe (distanţă denumită braţul cuplului, notată în

continuare cu d):

Direcţia momentului unui cuplu este perpendiculară pe planul format de forţele cuplului

(figura 3.8) iar sensul se determină cu regula mâinii drepte sau cu regula burghiului drept.

Un cuplu de forţe poate fi rotit în planul său sau poate fi deplasat paralel cu el însuşi fără ca

momentul cuplului să se schimbe.

3.5. Teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe concurente

Pentru un sistem de forţe concurente momentul rezultant al sistemului calculat în raport cu un

punct oarecare este egal cu momentul rezultantei sistemului în raport cu acelaşi punct:

Demostraţie

unde este vectorul de poziţie al punctului de concurenţă al forţelor

în raport cu punctul faţă de care se calculează momentul.

Sisteme de forţe (continuare)

Mecanica I 11

Test de

autoevaluare 3

1. Definiţi cuplul de forţe.

2. Ce caracter prezintă momentul unui cuplu de forţe:

a) vector legat;

b) vector liber;

c) vector alunecător.

3. Enunţaţi teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe concurente.

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.

Bibliografie modul

[1]. Hangan, S., Slătineanu, I., ,,Mecanică”, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1983, pag. 38-43;

[2]. Szolga, V., Szolga, A. M., ,,Mecanica Teoretică. Note de curs şi

îndrumător de seminar. Partea I”, Editura Conspress, Bucureşti,

2003, pag. 21-34;

[3]. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R., ,,Mecanica Teoretică”,

Editura Tehnică, Bucureşti, 1963, pag. 44-48, .

Rezumat modul

În acest modul s-a prezentat noţiunea de moment al forţei în raport

cu un punct, noţiune cu ajutorul căreia se caracterizează complet o

forţă.

S-a introdus noţiunea de moment al forţei în raport cu o axă, s-a

studiat cuplul de forţe (sistem de forţe particular) şi s-a enunţat şi

demonstrat teorema lui Varignon pentru sisteme de forţe

concurente.

Sisteme de forţe (continuare)

Mecanica I 12

Rezolvare

test de autoevaluare

1

1. b – produsul vectorial nu este comutativ;

2. a, c;

3. Consultare aspecte teoretice pag. 5

Rezolvare

test de autoevaluare

2

1. Consultare aspecte teoretice pag. 6;

2. Consultare aspecte teoretice pag. 6;

3. a, b, c.

Rezolvare

test de autoevaluare

3

1. Consultare aspecte teoretice pag. 8;

2. b;

3. Consultare aspecte teoretice pag. 9.