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Sistemas de Comunicaciones I 1
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Sistemas de Comunicaciones I
Problemas Resueltos
Módulo 1
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Problema 1 Una fibra óptica tiene una longitud de 3 Km y una atenuación de 0,4 dB/Km. Suponiendo que la fibra puede modelarse como un canal ideal, mediante un retardo y una atenuación a través de la respuesta impulsional h(t)=α δ(t-τ). Suponer que la velocidad de propagación de la señal a través de la fibra es de 270.000 Km/s. Determinar los valores de la atenuación α y el retardo τ. Solución Para determinar el retardo del canal tendremos que calcular el tiempo que tardará la señal en desplazarse los 3 Km de longitud que tiene la fibra. Teniendo la definición de velocidad como el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo obtenemos:
63 11,1 10270.000 /
L Kmv sKm s
ττ
−= ⇒ = = ⋅
Para calcular la atenuación deberemos tener en cuenta que si la señal se atenúa 0,4 dB en cada Km, en el total de los 3 Km se habrá atenuado 0,4x3 dB = 1,2 dB. Debemos tener también en cuenta que si la amplitud de la señal se multiplica por un factor α, la potencia quedará afectada en un factor α2. De esta forma podemos calcular el valor de la atenuación:
0,122 2
110log 1,2 10 0,8709s
s
P dBP
αα α
= ⇒ = ⇒ =⋅
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Problema 2. Amplificación no lineal La señal generada por un modulador paso banda, con una banda muy estrecha, se puede modelar mediante la siguiente expresión:
( ) ( )cos 2 cx t A f tπ=
donde la potencia de la señal viene dada por: 2
2A
xP = Esta señal se amplifica utilizando un amplificador con un cierto grado de no linealidad. La característica entrada/salida del amplificador puede ser modelada como:
( ) ( ) ( ) ( )2 310 0.1y t x t x t x t= + +
Se pide: a) Determine la expresión de la señal transmitida (señal en la salida del
amplificador) indicando claramente las diferentes frecuencias en las que aparecen componentes.
b) Determine el grado de distorsión armónica en la señal transmitida (THD – Total Harmonic Distortion).
Solución Apartado a Sustituyendo x(t) en la ecuación obtenemos:
)2(cos1.0)2(cos)2cos(10)( 3322 tfAtfAtfAty ccc πππ ++⋅= Podemos utilizar las siguientes relaciones trigonométricas para el desarrollar los factores coseno cuadrado y coseno cubo:
)32cos(41)2cos(
43
)32cos(41)2cos(
41)2cos(
21)2cos()22cos(
21)2cos(
21
)2(cos)22cos(21
21)2(cos)2(cos)2(cos
)22cos(21
21)2(cos
23
2
tftf
tftftftftftf
tftftftftf
tftf
cc
cccccc
ccccc
cc
ππ
ππππππ
πππππ
ππ
⋅+⋅=
=⋅+⋅+⋅=⋅⋅+⋅=
=⋅⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅+=⋅=
⋅+=
Sustituyendo en la expresión de y(t) y agrupando términos en las diferentes frecuencias obtenemos:
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)32cos(4
1.0
)22cos(2
)2cos(431.010
2)(
3
2
3
2
tfA
tfA
tfAA
Aty
c
c
c
π
π
π
⋅⋅+
+⋅+
+⋅⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ⋅⋅+⋅+
+=
Observamos por tanto que existen contribuciones en las frecuencias: continua, cf , 2 cf y 3 cf . Apartado b. Aplicando la definición de THD (Ecuación 5, módulo 1) obtendremos:
1
32
PPPTHD +=
Ya que sólo tenemos el segundo y tercer armónico. Sustituyendo las potencias de cada uno de los componentes obtenemos:
THD =
A2
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
+ 0.1A3
4⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
10A + 0.1A3 34
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2 =
A4
4+ 0.01⋅ A
6
16100A2 + 0.01⋅ 9
16⋅A6 + 3
2A4
=Px2 + 0.01⋅ Px
3
2200 ⋅Px + 6 ⋅Px
2 + 0.01⋅ 92⋅Px
3
Suponiendo una potencia Px=1, la distorsión armónica medida en dBs queda igual a:
THDdB =10log101+ 0.01⋅ 1
2
200 ⋅1+ 6 ⋅1+ 0.01⋅ 92
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟=10log10 0.004( ) = −23.117dB
En el análisis anterior se ha considerado que todos los parámetros vienen dados en unidades normalizadas.
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Problema 3. Introducción a los sistemas de comunicación Suponga que deseamos enviar 20 cintas de vídeo desde Barcelona a Nueva York y nos planteamos utilizar un servicio FEDEX-24 horas o transmitirlas a través de un enlace XDSL de alta velocidad que sabemos que admite una tasa de transmisión media de 10 Mbps. Las cintas son de 60 minutos de duración y están registradas en el formato Mini-DV de manera que su tasa de bits es de 25 Mbps. Determinar si resulta más rentable utilizar el enlace XDSL o FEDEX-24 horas desde el punto de vista de tiempo necesario para enviar toda la información. (Nota: No considere el tiempo necesario para copiar las cintas en soporte informático) Solución Se supone que FEDEX-24 horas entregará la mercancía en 24 horas. Por lo tanto debemos determinar el tiempo que tardaremos en enviar las cintas a través de la conexión XDSL. 20 cintas x 60 (minutos/cintas) x 60 (segundos/minuto) x 25 Mbit/segundo = 1800000 Mbits Si se transmiten a una tasa de 10 Mbits por segundo necesitaremos 180000 segundos, que se corresponden con 50 horas. Por lo tanto, resulta más eficiente desde el punto de vista del tiempo necesario enviar las cintas por FEDEX.
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Problema 4 En un sistema de comunicaciones digital vía radio la señal se transmite con una potencia de 100 W usando una frecuencia portadora 𝑓! y un receptor situado a una distancia de 𝑟 metros. Se sabe que la potencia recibida depende de varios factores como la frecuencia, la distancia, la ganancia de las antenas, etc. Para estimar la potencia recibida puede usarse la fórmula siguiente:
𝑃! = 𝑃!𝐺!𝐺! 𝜆!
4𝜋 ! 𝑟!
donde: 𝑃! = 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑏𝑖𝑑𝑎 𝑃! = 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑎 𝐺! = 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑜𝑟𝑎 𝐺! = 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜𝑟𝑎 𝜆 = 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑟 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑦 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜𝑟 En todo el problema supondremos que las antenas están diseñadas para que 𝐺!𝐺! = 1000, independientemente de la frecuencia de trabajo del sistema. También supondremos que en la antena receptora tenemos un ruido blanco y gaussiano que teniendo en cuenta el ancho de banda con el que se envían las señales se recibe con una potencia equivalente total de 𝑁! = 1/3 𝜇𝑊. Se han realizado diversas pruebas para valorar la probabilidad de error del sistema en función de la relación señal a ruido (SNR) existente en el extremo receptor de la antena obteniendo la siguiente gráfica experimental, que se muestra en la figura adjunta. La gráfica muestra, como parece coherente, que la probabilidad de error disminuye al mejorar la relación señal a ruido (SNR). Se pide que responda a las siguientes cuestiones:
a) Suponiendo que la frecuencia portadora es de 500 MHz y que deseamos obtener una probabilidad de error de 10!!. Determine la distancia a la que deberemos posicionar las dos antenas.
b) Suponiendo que ahora deseamos obtener una probabilidad de error de 10!! con una distancia entre antenas igual a la obtenida en el apartado anterior determine la nueva frecuencia portadora de la señal. A partir del resultado obtenido indique cómo afecta el cambio de la frecuencia portadora sobre la tasa de errores del sistema.
c) Determine a que distancia deberíamos situar las antenas si deseamos obtener una probabilidad de error de 10!! usando una frecuencia portadora de 500 MHz.
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Solución
a) A partir de la gráfica vemos que para obtener una probabilidad de error de 10!! se requiere que la SNR sea de 22.5 dB’s. Por lo tanto, la potencia de la señal recibida deberá ser de:
22.5 𝑑𝐵𝑠 = 10 𝑙𝑜𝑔!"𝑃!𝑁!
de donde podemos obtener el nivel de potencia de señal que debemos recibir
𝑃! = 10!,!" 𝑁! = 59.27 𝜇𝑊 A partir de aquí, usando la ecuación de propagación proporcionada podemos expresar la potencia recibida mediante:
𝑃! = 𝑃!1000 𝑐!
4𝜋 ! 𝑟! 𝑓!
donde hemos usado 𝑓 ∙ 𝜆 = 𝑐 para expresar la relación en función de la frecuencia. La distancia a la que deben situarse las antenas será:
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𝑟 =𝑃!𝑃!1000 𝑐!
4𝜋 !𝑓!=
𝑐4𝜋𝑓
𝑃!1000𝑃!
= 1961 𝑚
b) Para una probabilidad de error de 10!! vemos en la gráfica que la SNR debería ser de
33,75 dBs. Así pues, como en el caso anterior, la potencia de la señal recibida deberá ser:
𝑃! = 10!,!"# 𝑁! = 790.44 𝜇𝑊
Si la distancia no debe modificarse, la nueva frecuencia de trabajo deberá ser:
𝑓 =𝑐4𝜋𝑟
1000 𝑃!𝑃!
= 136,93 𝑀𝐻𝑧
Este resultado nos indica que si se aumenta la frecuencia portadora, manteniendo el resto de parámetros iguales entonces aumenta la tasa de errores del sistema.
c) Aplicando las mismas fórmulas anteriores podríamos calcular cuál sería la distancia entre antenas que deberíamos mantener para asegurar una tasa de errores de 10!! con una frecuencia portadora de 500 MHz
𝑟 =𝑃!𝑃!1000 𝑐!
4𝜋 !𝑓!=
𝑐4𝜋𝑓
𝑃!1000𝑃!
= 537,04 𝑚
Es decir, si queremos mantener la frecuencia portadora y la potencia de transmisión pero mejorar la tasa de errores del sistema deberemos acercar más las antenas.
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Problema 5 Los cables de pares trenzados (UTP: Unshielded Twisted Pair) son uno de los medios más utilizados para establecer comunicaciones mediante conductores eléctricos a distancias cortas o moderadas. Existen varias categorías que se clasifican de acuerdo con el ancho de banda de las señales que pueden transportar y las aplicaciones a las que se orientan. En este problema, consideraremos algunos aspectos específicos que caracterizan este tipo de cables. En concreto, tomaremos como ejemplo de trabajo un cable de categoría 3 cuyas características técnicas se proporcionan en la hoja de especificaciones que se adjunta al final del enunciado. Teniendo en cuenta los parámetros que se proporcionan en esta hoja de características se pide:
a) Defina brevemente que significan los siguientes parámetros: • Pérdidas de Retorno (Return Loss) • Pérdidas de Inserción (Insertion Loss) • Near End Crosstalk
b) Represente en una gráfica las pérdidas de retorno (estructurales) en función de la frecuencia (según las características proporcionadas por el fabricante)
c) Represente en una gráfica las pérdidas de inserción en función de la frecuencia (según las características proporcionadas por el fabricante)
d) Suponga que sólo se utilizan dos pares para transmitir dos señales con una frecuencia de 10 MHz. Cada una de las señales se envía con una potencia de 10 mW en el extremo transmisor. Además, la medida del ruido térmico en el extremo transmisor es de 0.03 mW. Determine la relación señal a ruido más interferencias que se tiene en el extremo transmisor teniendo en cuenta la potencia de la señal deseada, el ruido término y la interferencia provocada por la diafonía entre los dos canales.
e) Suponga que el canal puede modelarse mediante una función de transferencia ideal como:
ℎ 𝑡 = 𝛼 ∙ 𝛿(𝑡 − 𝜏)
donde 𝛼 es una constante multiplicativa que representa la atenuación de la señal y 𝜏 representa el retardo en segundos. Suponga que utilizamos un cable formado por 100 pares para cubrir una distancia de 35 metros. Sabemos que las frecuencias portadoras de las señales que transmitiremos por el cable están alrededor de los 8 MHz y que la velocidad de propagación de las señales en el cable puede aproximarse por 0.75 c (siendo c la velocidad de la luz). Se pide:
• Determine el peso del cable en kg • Determine el valor de la constante de atenuación 𝛼 en el modelo de
canal ideal propuesto • Determine el valor del retardo 𝜏 en el modelo de canal propuesto.
f) El tipo de cable sobre el que hemos realizado este problema es de categoría 3 pero,
como ya se ha comentado en los apuntes, existen otras categorías con prestaciones distintas. En este apartado final se pide que se busque información sobre las diferentes categorías de cables UTP que existen e indique las aplicaciones a las que se orienta cada una de las categorías así como el ancho de banda de las señales que pueden transportar.
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Solución
a) A continuación se definen brevemente cada uno de los conceptos que se piden en el enunciado: Pérdidas de retorno: Es la relación entre la potencia incidente y la potencia reflejada debida a posibles discontinuidades del medio en el cable. En principio, en un caso ideal donde no hubiera discontinuidades y las adaptaciones del cable fueran perfectas, la potencia reflejada debería ser cero. Las pérdidas de retorno estructurales que se proporcionan en el datasheet del cable indican la fracción de energía reflejada respecto a la incidente que obtenemos en el extremo de entrada del cable. Generalmente se expresa en dB’s y es el cociente entre la potencia reflejada y la incidente.
Pérdidas de inserción: Es la pérdida en la potencia de la señal a lo largo de un cable o línea de transmisión. Se mide generalmente en dB’s como en cociente entre la potencia transmitida en un extremo y la recibida en el otro.
Near-End Crosstalk: Se usa para medir la interferencia entre las señales que se transmiten por dos pares de cables próximos en el extremo transmisor. La medida se da en dB’s e indica cuantos decibelios se atenúa la señal del otro par de cables en el cable de interés.
b) El fabricante indica que las pérdidas de retorno estructurales son de 12 dB’s para
frecuencias que están entre 1 MHz y 10 MHz. Para frecuencias entre 10 MHz y 16 MHz pueden calcularse mediante la ecuación: 𝑆𝑅𝐿 = 12 − 10 ∙ 𝑙𝑜𝑔 !
!"!"#
c) En este caso el fabricante nos proporciona las atenuaciones en función de la frecuencia
en una tabla. Observamos que las pérdidas de inserción aumentan al aumentar la frecuencia de la señal. En la gráfica adjunta se representan los valores de la tabla en una gráfica.
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d) Para determinar la relación señal a ruido más interferencias debemos determinar las potencias de cada una de las tres componentes: señal, ruido e interferencias. Las potencias correspondientes a la señal y al ruido nos vienen proporcionadas en el enunciado. La potencia de la interferencia estará, según el datasheet, 28 decibelios por debajo de la potencia de la señal. Así pues, la potencia de la interferencia será:
26 = 10𝑙𝑜𝑔𝑃!𝑃! ⇒ 𝑃! =
𝑃!10!,!
= 0,0251188 𝑚𝑊
Teniendo en cuenta este resultado obtenemos que la relación señal a ruido más interferencias vendrá dada por:
𝑆𝑁𝐼𝑅 = 10𝑙𝑜𝑔𝑃!
𝑃! + 𝑃!= 10 log
100.03 + 0.0251188
= 22,58 𝑑𝐵′𝑠
e) Para determinar el peso del cable en Kg es conveniente pasar las unidades de LBS a kg
y de KFT a metros. En concreto, 440 LBS se convierten en 199,5 Kg mientras que los 1000 FT se convierten a 304,8 mts. Así pues, el peso del cable de 100 pares por metro es de 0,654 kgrs. El peso total que tendremos para los 35 metros de cable será de 22,9 kg.
Para determinar la constante de atenuación del modelo de canal a la frecuencia de 8 MHz tenemos que utilizar que la atenuación del cable es de 8,5 dB’s para cada 100 metros. Si el cable tiene 35 metros la atenuación será de (8,5/100)x35 = 2,975 dB’s. Este valor puede aproximarse a 3 dB’s, que se corresponde con una atenuación en que la potencia se reduce a la mitad y por lo tanto, el valor de la constante de atenuación será:
𝛼 =12= 0,707
Finalmente, para determinar el retardo hemos de tener en cuenta la velocidad de propagación de la señal y la longitud del cable. Obtenemos:
𝜏 =𝑑
0,75𝑐=
350,75 3 10!!
= 155 𝑛𝑠
f) De forma breve, las diferentes categorías de cables UTP pueden ser (algunas categorías
tienen subcategorías que no se tienen en cuenta en esta respuesta pero que se valorarán si se han proporcionado en las respuestas a este problema):
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Categoría 1. Aplicaciones de transmisión de voz en telefonía. Ancho de banda de decenas de kHz. Categoría 2. Usado principalmente en redes Token-Ring. Permite la transmisión de hasta 4 Mbps Categoría 3. Permite la transmisión de hasta 10 Mbps. Tienen un ancho de banda de 16 MHz. Categoría 4. 16 Mbps y 20 MHz de ancho de banda Categoría 5. Permite la transmisión de 100 Mbps y hasta 1000 Mbps. El ancho de banda del cable es de 100 MHz. Categoría 6. Permite transmitir hasta 10 Gpbs y tiene un ancho de banda de 500 MHz. Categoría 7. Tiene un ancho de banda de hasta 1000 MHz y permite la transmisión de datos en redes Ethernet de 10 Gbps.
