Sistemas

No Lineales

y Mtodo de

Linealizacin

Modelado Matemtico de Sistemas

M. en C. Rubn Velzquez Cuevas

2

En general los modelos que representan sistemas fsicos reales mediante expresiones matemticas son idealizaciones bajo condiciones especficas o hiptesis. Una de estas consideraciones es la propiedad de Linealidad; sin embargo, dicho comportamiento se presenta siempre dentro de un margen de operacin acotado. Cuando se desea conocer el comportamiento de un sistema fuera de ese margen o el sistema simplemente no posee condiciones de linealidad, entonces lo que se obtiene es un modelo No Lineal.

Como se sabe, la propiedad de linealidad satisface el principio de superposicin. Es decir, que la relacin matemtica que existe entre las variables del dominio o argumento y la imagen satisface las condiciones de homogeneidad (o proporcionalidad) y aditividad. En otras palabras, una funcin = es lineal si y solo si dados , , , constantes & = , = respectivamente; entonces la ecuacin (1) se cumple:

+ = + (1) Lo anterior se puede visualizar en los siguientes diagramas:

Para:

Si y solo si:

Bsicamente, la relacin lineal salida/entrada queda representada mediante la expresin matemtica de la ecuacin de la recta que pasa por el origen (ecuacin (2)).

= (2) Cabe mencionar que la expresin se puede extender para el caso dimensional (ecuacin (3)).

= , , , =

(3)

+

+

3

Sin embargo, como ya se mencion los sistemas fsicos reales son localmente lineales dentro de un margen de operacin y no as a nivel global. Por ejemplo, un motor de CD representado mediante un modelo lineal indicara que la velocidad de salida se puede incrementar ilimitadamente si se incrementa el voltaje de entrada. Sin embargo, en la prctica esto no es cierto debido a que se presenta una caracterstica de saturacin que limita la velocidad mxima, as que por ms que se incremente el voltaje en la entrada la velocidad no aumentar ms. Evidentemente que los sistemas o funciones matemticas que no satisfacen esta condicin se conocen como no lineales. En general las caractersticas no lineales se pueden clasificar en dos tipos: Estticas y Dinmicas.

No linealidades Estticas

Las no linealidades estticas son aquellas que guardan una relacin funcional invariante; es decir algebraica fija. Algunas de las no linealidades ms representativas son las siguientes:

1. Saturacin. Es la propiedad que define un intervalo de valores dentro de los cuales la relacin salida/entrada es lineal (ecuacin de la recta) pero que fuera de ese intervalo es igual a una constante y por lo tanto no lineal (ver figura 1). La combinacin de una relacin lineal con una no lineal dar por resultado una relacin total NO LINEAL.

Figura 1. Caracterstica de saturacin

2. Zona muerta. Es la propiedad no lineal que define una relacin nula (igual a cero) dentro de un intervalo de valores, mientras que fuera de dicho intervalo se establece otra relacin. En la figura 2 se muestra el efecto de la zona muerta (caracterstica de acoplamientos mecnicos).

Figura 2. Caracterstica de zona muerta

4

3. Friccin de Coulomb. Esta propiedad no lineal se conoce como la fuerza de amplitud constante a cualquier cambio de velocidad, pero si el sentido de la velocidad cambia, el signo de la fuerza de friccin tambin cambia. La friccin de coulomb se caracteriza mediante la funcin signo y tambin se le conoce como relevador de dos posiciones.

Figura 3. Caracterstica de friccin de Coulomb

4. Histresis. Es la propiedad no lineal que se compone de una caracterstica o grfica con dos caminos que dependen del valor actual de y de la forma en cmo lleg a dicho valor. Por ejemplo, en la figura 4 se muestra el efecto de histresis: si est en el extremo izquierdo, cuando va de menos a ms se adopta el camino de la derecha. Siempre que no llegue al otro extremo en que ambas grficas se unen, el valor de seguir dependiendo de dicha grfica. Para el caso contrario en que () est en el extremo derecho, cuando va de ms a menos se adopta el camino de la izquierda y se mantendr en el siempre que no llegue al extremo de la derecha. Esto quiere decir que los puntos de cambio en ambos caminos son los extremos de la grfica por lo que este ancho o diferencia entre ambas grficas se conoce como histresis. Obsrvese que cuando la histresis es igual a cero, ambas grficas coinciden, hacindose una sola grfica.

Figura 4. Caracterstica de Histresis

En conclusin, existen diversas combinaciones entre estas caractersticas que dan por consecuencia una no linealidad esttica compuesta. En la figura 5 se muestran algunos ejemplos.

5

Figura 5. Algunas no linealidades estticas compuestas

No linealidades Dinmicas

Por otro lado, las no linealidades dinmicas se relacionan mediante ecuaciones diferenciales no lineales. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales de la (4) a la (8) son no lineales:

a) 2 ( ) ( ) ( )d y t y t x tdt

+ = (4)

b) 0d dy xy xdt dt

+ + = (5)

c) 2 3 0x x x + = (6)

d) 2

2 sind

a y by k ydt

+ = (7)

e) 1x x= +& (8)

Si los sistemas en la realidad son no lineales, ciertamente presentan un comportamiento lineal para determinadas condiciones o bien, es posible aproximar dicho comportamiento de forma local mediante un comportamiento lineal. A ste procedimiento se le conoce como linealizacin. Linealizar una funcin significa reemplazarla por otra funcin lineal. Usualmente, esta linealizacin se realiza alrededor de un punto fijo denotado como (ver figura 6).

6

Figura 6. Explicacin grfica de la linealizacin

Para este ejemplo, la lnea continua corresponde a la funcin no la lineal, mientras que la lnea punteada representa la funcin de aproximacin lineal. En general el tamao de la regin donde es vlida la linealizacin suele ser pequeo y vara segn la no linealidad y el punto que se elija para aproximar dicha funcin. Esto quiere decir que se puede elegir ms de un punto fijo que representa condiciones de operacin especficas (o deseadas) alrededor de las cuales se puede establecer un sistema de control.

Punto de Equilibrio

Adems de los puntos fijos mencionados anteriormente, existe uno en particular llamado punto de equilibrio #$. Este punto tiene la caracterstica primordial de que la funcin o ecuacin que describe el comportamiento de un sistema evaluado en dicho punto es igual a cero (conocido tambin como solucin del sistema) #$ = 0. Para el caso de los sistemas lineales este punto de equilibrio es nico y para la relacin salida/entrada es el origen &' = &0', dependiendo del nmero de componentes de . Sin embargo, para el caso de los sistemas no lineales los es posible que tambin exista un nico punto de equilibrio, pero tambin se puede dar el caso en que existan dos o ms puntos de equilibrio, un nmero infinito de puntos de equilibrio, o bien que no existan puntos de equilibrio.

Ya sea el caso de sistemas lineales o no lineales, en general existen tres tipos de puntos de equilibrio que se pueden caracterizar mediante el concepto de estabilidad. La estabilidad est relacionada con la convergencia o divergencia hacia una condicin o estado de equilibrio. De ese modo, un sistema se dice estable si a partir de un estado ligeramente perturbado al estado de equilibrio el sistema converge (o tiende a regresar) a dicho estado. Un sistema se dice inestable si por el contrario diverge (o se aleja) del estado de equilibrio. Finalmente existe una tercera condicin que establece que un sistema es marginalmente estable si a partir de un estado diferente al de equilibrio el sistema no diverge pero tampoco converge al estado de equilibrio, sino que la diferencia se mantiene constante.

De ese modo, los diferentes puntos de equilibrio son estables, inestables, y marginalmente estables. En la figura 7 se muestra un esquema de ejemplo para cada uno de los diferentes puntos de equilibrio.

7

Figura 7. Diferentes puntos de equilibrio: inestable, estable y marginalmente estable

Mtodo de Linealizacin de Taylor

Sea el sistema dinmico no lineal definido mediante la ecuacin (9):

( = (9) El comportamiento de dicha funcin se puede aproximar mediante la serie de Taylor siguiente:

= ) 1+! -.-. /

.0 .

= + -- + 12! -- + 13! -3-3 3 + El mtodo de linealizacin por Taylor consiste en truncar la serie hasta + = 2, utilizando slo los primeros dos trminos de la serie y despreciando el resto (llamados Trminos de Orden Superior). Adicionalmente, si se considera que el punto fijo es igual a un punto de equilibrio #$, entonces = #$ = 0. Por lo tanto:

= ( *)f x + -- =*

( )x x

d f xdx

=

Definiendo: 4 =

*

( )x x

d f xdx

=

; = ; La aproximacin lineal se define en (10) como:

( )x f x x= =& (10)

Nota: La aproximacin lineal puede hacerse en un punto x #$ tal que fx 0, en cuyo caso se considera que las condiciones iniciales no son cero.

8

Para este caso es posible hacer la aproximacin lineal con condiciones iniciales igual a cero y posteriormente, extrapolar los resultados obtenidos hacia las condiciones iniciales (lo que significa simplemente un desplazamiento de los ejes). Es decir, si las condiciones iniciales se definen como 0 = , entonces se tiene la ecuacin (11):

0x x x =& (11)

Donde en el lado derecho de la ecuacin se sigue manteniendo una expresin lineal

Linealizacin general para el modelo matemtico no lineal de un sistema

El caso anterior podra referirse a un sistema autnomo; es decir, que no tiene entrada. Sin embargo, en los sistemas de control, los modelos de los sistemas disponen regularmente de una variable de entrada 9 que permita interactuar y hacer control sobre el sistema. Por lo tanto, es posible calcular la aproximacin lineal alrededor del punto , 9 para dos casos particulares:

1. Para el caso unidimensional, se tiene que la expresin no lineal est dada por (12)

( , )x f x u=& (12)

De donde se sabe entonces que su serie de Taylor es:

, 9 = , 9 + :: , 9 + ::9 , 99 9 + ;. =. >. Definiendo:

( *, *)( , ) ;

x u

a f x ux

=

( *, *)( , ) ;

x u

b f x uu

=

= ; 9? = 9 9 Se tiene entonces que la aproximacin lineal respecto a las variables linealizadas x?, u? es:

x ax bu= +& (13)

Lo anterior es cierto para , 9 = 0 = 0; de lo contrario se tiene que: 0x x ax bu = +& 2. Para el caso multivariable, se tiene que [ ]1 2 ;Tnx x x=x L [ ]1 2 Tru u u=u L y la

expresin no lineal es:

1 1 1

2 1 1

1 1

( , , , )( , , , )( , )

( , , , )

n r

n r

n n r

f x x u uf x x u u

f x x u u

= =

x f x u

L L

L L&

M

L L

(14)

Donde x y u tiene y A componentes respectivamente. Por lo tanto, la aproximacin lineal de Taylor alrededor del estado estacionario B *, *x u C = , , , 9, , 9D est dada por:

9

( ) ( ) ( )( , ) *, * *, * ( *) *, * ( *) . . .T O S = + + + f x u f x u f x u x x f x u u ux u

Entonces, para ( )*, * 0;=f x u ( *);= x x x ( *)= u u u y omitiendo los trminos de orden superior, se tiene:

( ) ( )( , ) *, * *, * = = + x f x u f x u x f x u ux u& (15)

11 1 1 1

1 211

2 2 2 221 2

1 2

( *,( *, *) ( *, *) ( *, *)

( *, *) ( *, *) ( *, *)

( *, *) ( *, *) ( *, *)

n

n

nn

n n n

n

ff f f ux x x

xx

f f f xxx x x

xx

f f fx x x

= +

x ux u x u x u

x u x u x u

x u x u x u

L

&

& L

MMM M O M

&

L

1

2 2 11

1

*) ( *, *)

( *, *) ( *, *)

( *, *) ( *, *)

r

r

r

n n

r

fu

f f uu u

u

f fu u

x u

x u x u

x u x u

L

L

M

M O M

L

Donde:

1 2 ;T

nx x x = x& & & &L [ ]1 2 ;Tnx x x=x L [ ]1 Tru u=u L

Finalmente, definiendo:

1 11 1 1 1

1 2

2 22 2 2 1

1 2

1 2

( *, *) ( *, *)( *, *) ( *, *) ( *, *)

( *, *) (( *, *) ( *, *) ( *, *);

( *, *) ( *, *) ( *, *)

r

n

r

n

n n n

n

f ff f f u ux x x

f ff f f u ux x x

f f fx x x

= =

x u x ux u x u x u

x u xx u x u x u

A B

x u x u x u

LL

LL

M M O M

L

1

*, *);

( *, *) ( *, *)n nr

f fu u

u

x u x u

M O M

L

Se tiene que la aproximacin lineal del sistema multivariable alrededor de B *, *x u C es: = +x Ax Bu& (16)

Con: ( )n nA & ( )n rB

Nota: para el caso en que las condiciones iniciales son diferentes de cero, se tiene entonces:

0 = +x x Ax Bu& , donde 0 ( *, *) 0= x f x u

10

EJEMPLOS RESUELTOS

Ejemplo 1. Determinar el modelo linealizado para el sistema autnomo descrito por la ecuacin diferencial no lineal:

( = 2 sin Alrededor del punto = 2H; donde = 0,1,2,3, Solucin:

Para la linealizacin, se toma en cuenta que:

= 2 sin = 2 sinH = 0

4 = J -- KL = J2 cos |L = 2 Por lo tanto, la expresin linealizada alrededor de es: 2x x=& Donde = ; es la variable linealizada.

Ejemplo 2. Obtener la linealizacin por el mtodo de Taylor para el pndulo simple de la figura 8, alrededor del punto de equilibrio P, Q = 2H, 0; con = 0,1,2,3,

Figura 8. Sistema de pndulo simple

Solucin:

La ecuacin de equilibrio del sistema est dada por la ecuacin diferencial (no lineal) siguiente:

RQS + Q( + RTU sin Q = 0

11

Definiendo: = Q; = Q( se reescribe la ecuacin del sistema como: 2

1 1 1 2

2 2 1 21 2

( , )( , )sin

xx f x x

g bx f x xx x

l m

= =

&

&

Calculando la matriz Jacobiana y evaluando para P, Q = , = 2H, 0 se tiene:

( )( )

1 2

1 1 2 1 1 21 2

12 1 2 2 1 2 2 ,0

1 2 *, *

( , ) ( , ) 0 1 0 1

cos( , ) ( , )n

x x

f x x f x xx x

A g b g bxf x x f x x l m l m

x xpi

= = =

Por lo tanto, el modelo linealizado del pndulo simple alrededor del punto, = 2H, 0 es: 11

22

0 1xx

g bxx

l m

=

&

&

Ejemplo 3. Calcular el modelo linealizado para el sistema descrito mediante: 2 1x x u+ = +&

En el punto de equilibrio #$ , 9#$ = 4,1 Solucin:

Reacomodando la ecuacin diferencial se tiene que:

( = + 9 + 1 = , 9 Debido a que

2 2

(4,1)( , ) (4,1) 1 4 1 1 0eq eqf x u f x u = = + + = + + =

Entonces:

( , ) ( , )eq eq eq eqd dx f x u x f x u udx du

= +

&

Por lo tanto:

12

4

1 1( , )42

eq eq

x

da f x u

dx x=

= = =

1( , ) 2 2eq eq

u

db f x u udu =

= = =

Finalmente, el modelo linealizado alrededor de #$ , 9#$ es: 1 24

x x u= +&

CASOS DE ESTUDIO.

Los siguientes sistemas no lineales propuestos representan caractersticas importantes que se toman en cuenta para posteriormente disear sistemas de control. Los algoritmos generados que se han basado en los siguientes modelos han permitido desarrollar diversas aplicaciones importantes, tales como sistemas de navegacin, estabilidad de naves areas y martimas, sistemas contra sismos, etc.

I. Sistema de giroscopio

En la figura 9 se muestra el esquema de un giroscopio con un grado de libertad.

Figura 9. Esquema de un giroscopio con un grado de libertad

Aqu, el volante interno se monta en un Soporte mvil que a su vez se monta en el Cuerpo del giroscopio. El Soporte tiene la libertad de moverse en relacin con el Cuerpo alrededor del eje de salida OB. Ntese que el ele de salida es perpendicular al eje del volante giratorio OH. El eje de entrada alrededor del cual se mide la tasa de cambio en el ngulo (es decir, la velocidad P) es perpendicular tanto al eje de salida como al eje de giro del volante.

13

La informacin de la seal de entrada se obtiene del movimiento angular resultante del Soporte en relacin con el eje de salida, con respecto al Cuerpo. La figura 10 muestra un diagrama funcional del sistema del giroscopio.

Figura 10. Diagrama funcional del giroscopio de la figura 9

La ecuacin de movimiento respecto al eje de salida se obtiene igualando la razn de cambio del momento angular con la suma de los pares externos:

El cambio en el momento angular con respecto al eje OB tiene dos partes:

1. XQS , que es el cambio debido a la aceleracin del soporte alrededor del eje OB 2. El cambio debido al giro del vector del momento angular del volante alrededor del eje

OA es: ZP cos Q El par externo est formado por el par de amortiguamiento Q( y el par del resorte Q. Por lo tanto la ecuacin del sistema del giroscopio es:

cosJ H b k = && &

O bien:

cosJ b k H + + =&& & 17 Definiendo las variables: = Q; = Q( ; 9 = P; = Q; entonces se obtienen las ecuaciones de estado (no lineales)

1 2

2 1 2 1cos

x x

k b Hx x x u x

J J J

=

=

&

&

Por lo tanto el modelo del giroscopio esta dado por:

21 1 1 2

2 2 1 2 1 2 1

( , , )( , , ) cos

xx f x x u

k b Hx f x x u x x u x

J J J

= =

&

& 18

14

II. Sistema de pndulo invertido

La figura 11 muestra el esquema de un pndulo invertido de dos dimensiones (debido a que solo tiene movimiento en el plano) montado sobre un carro que se maneja mediante un motor que aplica una fuerza de control 9.

Figura 11. Esquema de un pndulo invertido montado en un carro.

Suponiendo que el centro de gravedad de la barra del pndulo se encuentra en su centro geomtrico, la distancia entre un extremo y el centro de gravedad es . Definiendo las coordenadas del centro de gravedad de la barra como ^ , ^ se tiene que:

sincos

G

G

x x

y

= +

=

l

l

Por lo tanto, para obtener las ecuaciones del sistema, se considera el diagrama de cuerpo libre de la figura 12. En ella se observa que el movimiento rotacional de la barra del pndulo alrededor de su centro de gravedad se describe mediante:

sin cosJ V H = && l l (19)

Donde X es el momento de inercia de la barra alrededor de su centro de gravedad; _ describe la fuerza vertical y Z la fuerza horizontal.

15

Figura 12. Diagrama de cuerpo libre del pndulo invertido en la figura 11

Los movimientos horizontal y vertical de la barra del pndulo estn dados respectivamente por:

( )2

2 sindH m xdt

= + l (20)

( )2

2 cosdV mg mdt

= l (21)

Finalmente, el movimiento horizontal del carro se describe mediante:

2

2dM x u Hdt

= (22)

Sustituyendo (20) y (21) en (19) se obtiene:

( ) ( )2 2

2 2cos sin sin cosd dJ mg m m xdt dt

= + +

&& l l l l

( ) ( )cos sin sin cosJ mg m mx m = && &&l l l l sin cosJ m g m x = && &&l l (23)

16

Sustituyendo (20) en (22):

( )2 2

2 2 sind dM x u m xdt dt

= +

l

( )sinMx u mx m = && && l ( ) sinM m x u m + = +&& l (24)

Despejando S de (24): ( ) ( )

1sinmx u

M m M m= +

+ +

l&&

(25)

Despejando QS de (23) y sustituyendo (25) se obtiene: ( ) ( )

1sin sin cosm g m mu

J J M m M m

= + + +

l l l&&

( )( )( )

2

sin cos sin cosmm g m

uJ J M m J M m

= + +

ll l&& (26)

Por lo tanto, (25) y (26) son las ecuaciones del pndulo invertido de la figura 11. Definiendo:

= ; = ( ; 3 = Q; ` = Q( Entonces se tiene que:

( ) ( )2 31

sinmx x uM m M m

= ++ +

l&

( )( )( )

2

4 3 3 3 3sin cos sin cosmm g m

x x u x x xJ J M m J M m

=

+ +

ll l&

Finalmente, el modelo matemtico no lineal del sistema del pndulo invertido est dado por:

( )( )( )( )

( ) ( )

( )( )( )

2

1 1 2 3 413

2 1 2 3 42

43 1 2 3 432

4 1 2 3 443 3 3 3

1, , , , sin, , , ,

, , , ,

, , , ,

sin cos sin cos

x

mf x x x x ux x uM m M mf x x x x ux

xf x x x x uxf x x x x ux mm g m

x u x x xJ J M m J M m

+ + + = =

+ +

l&

&

&

& ll l

(27)

III. Sistema barraesfera La figura 13 muestra el esquema de un sistema barracambian segn la posicin del actuador. barra un motor que permite controlar la posicin angular de la barra que a su vez modifica la posicin de la esfera en la barra.

Figura 13. Esquema de un sistema barra

La figura 14 muestra un diagrama de cuerpparmetros principales del sistema.

Figura 14. Diagrama de cuerpo libre para el sistema barra

Como se observa en la figura el largo de la barra es respectivamente. La masa de la barra se representa mediante

17

La figura 13 muestra el esquema de un sistema barraesfera. Existen diferentes configuraciones que cambian segn la posicin del actuador. En la configuracin aqu presentada se muestra al centro de la barra un motor que permite controlar la posicin angular de la barra que a su vez modifica la posicin

Figura 13. Esquema de un sistema barraesfera

La figura 14 muestra un diagrama de cuerpo libre del sistema donde se visualizan las variables y

. Diagrama de cuerpo libre para el sistema barraesfera de la figura 13

Como se observa en la figura el largo de la barra es 2U, R y A son la masa y el radio de la esfera La masa de la barra se representa mediante a.

Existen diferentes configuraciones que presentada se muestra al centro de la

barra un motor que permite controlar la posicin angular de la barra que a su vez modifica la posicin

o libre del sistema donde se visualizan las variables y

esfera de la figura 13

son la masa y el radio de la esfera

18

Evidentemente el sistema es electromecnico puesto que el actuador es un motor elctrico. Sin embargo el principal inters es conocer el modelo no lineal de la parte mecnica. Por lo tanto, la variable de entrada para la parte mecnica est dada por la posicin angular Q mientras que la variable de salida es la posicin traslacional (a lo largo de la barra). Una tercera variable intermedia que aparece es la posicin angular de la bola o esfera b sin embargo, es posible relacionar esta variable con la variable de salida a travs del radio de la esfera A:

= Ab La componente de fuerza a lo largo de la barra es sinmg y a su vez es igual a la suma de fuerzas en la esfera; es decir:

sin T Rmg F F = + (28)

Donde cd es la fuerza traslacional y ce la fuerza rotacional. La fuerza traslacional se define simplemente como:

TF mx= && (29)

Mientras que para la fuerza rotacional se tiene que el par producido en la esfera es igual a la fuerza rotacional multiplicada por el radio de la esfera:

f = ceA = XbS = XA S Donde X = g RA; es el momento de inercia de para una esfera slida. Por lo tanto la fuerza rotacional es:

2

2 22 25 5R

J mrF x x mxr r r

= = = =&& && &&

(30)

Por lo tanto, sustituyendo (29) y (30) en (28) se tiene:

2 7sin

5 5mg mx mx mx = + =&& && &&

5sin

7x g =&& (31)

Definiendo = ; = ( ; 9 = Q; se obtienen las ecuaciones diferenciales no lineales correspondientes a la parte mecnica del sistema barraesfera:

21 1 1 2

2 2 1 2

( , , )5( , , ) sin7

xx f x x ux f x x u g u

= =

&

& (32)

19

PROBLEMAS PROPUESTOS.

1. Considrese la ecuacin del oscilador de Van Der Pol:

( )21 0x x x x + =&& & Determinar:

a) El punto de equilibrio del sistema b) El modelo matemtico linealizado alrededor del punto de equilibrio

2. Considrese la operacin isotrmica de un reactor tanque agitado donde se efecta la reaccin de segundo orden h j. El modelo matemtico del proceso que describe la variacin de concentracin en el reactivo h est dada por:

( ) 20A A A Aqc c c kcV= &

Donde kl0 es la concentracin inicial (constante), m es la entrada de flujo volumtrico y kl es la concentracin de salida. Determinar el modelo matemtico linealizado alrededor del punto de equilibrio nol#$ , m#$p

3. Obtener el modelo matemtico linealizado alrededor del punto de equilibrio para el sistema de giroscopio en la ecuacin (18)

4. Obtener el modelo matemtico linealizado alrededor del punto de equilibrio para el sistema de pndulo invertido en la ecuacin (27)

5. Obtener el modelo matemtico linealizado alrededor de un punto de equilibrio para el sistema barraesfera en la ecuacin (32)