SISTEMAS DE REGULACIÓN Y CONTROL AUTOMÁTICOS · Los sistemas de control se aplican en numerosos campos de la tecnología y de la ciencia. Se pueden citar ejemplos tales como los

TECNOLOGÍA INDUSTRIAL II SISTEMAS DE REGULACIÓN Y CONTROL

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SISTEMAS DE REGULACIÓN Y CONTROL AUTOMÁTICOS

1.- Introducción

Los sistemas de control se aplican en numerosos campos de la tecnología y de la ciencia. Se

pueden citar ejemplos tales como los pilotos automáticos en barcos o aviones, el control teledirigido de

naves espaciales, controles de posición y velocidad en máquinas herramientas, control de robots, control

de procesos industriales, suspensión activa de los automóviles, controles diversos en electrodomésticos,

etc., en los que los sistemas de control desempeñan un importante papel. La lista de aplicaciones

pudiera resultar interminable ya que, debido al progresivo abaratamiento y miniaturización los

componentes electrónicos, ha sido enorme su proliferación y desarrollo.

Un sistema automático de control es un conjunto de componentes físicos conectados o

relacionados entre sí, de manera que regulen o dirijan su actuación por sí mismos, es decir sin

intervención de agentes exteriores (incluido el factor humano), corrigiendo además los posibles errores

que se presenten en su funcionamiento.

La Automática o Control (automático) de Sistemas trata de regular, con la mínima intervención

humana, el comportamiento dinámico de un sistema mediante órdenes de mando.

Los sistemas de control se empezaron a utilizar cuando surgió la necesidad de controlar las

máquinas de una forma precisa. Uno de los primeros sistemas de control fue el regulador centrífugo,

también llamado “máquina de bolas”.

El regulador consiste en un paralelogramo articulado deformable, que gira dependiente del giro

de los ejes de las ruedas. Las esferas colocadas en los extremos de los brazos se elevan por acción de

la fuerza centrífuga desplazando el vértice inferior en sentido vertical por el mismo eje de giro en función

de la velocidad. Este movimiento de subida se transmite a una válvula que regula la entrada de vapor al

motor.


2

En las aplicaciones industriales es donde más desarrollo tiene la regulación automática, un

ejemplo es el control de centrales eléctricas o cualquier proceso industrial donde intervengan variables

como temperatura, caudal, etc. Controlar el sistema productivo ha supuesto:

• Aumentar las cantidades, y calidad del producto fabricado.

• Reducir costes de producción

• Mejorar los sistemas de seguridad y control del proceso.

En los hogares, desde la automatización de los electrodomésticos hasta la implantación de la

domótica. En los avances científicos, los sistemas automáticos en las misiones espaciales, cuyo control

se extiende tanto al control de vuelo como al de la órbita.

En los avances tecnológicos, el campo es muy amplio y se aplican a la vida diaria en sistemas

como el sistema antibloqueo de frenada (ABS), el control del tráfico de trenes, el control de robots, etc…

2.- Conceptos

Un sistema de control se puede construir con diferentes tecnologías, mecánica, eléctrica,

neumática. A día de hoy, para realizar el control de sistemas se utiliza principalmente electrónica, o bien

a través de la construcción de circuitos o bien a través de elementos electrónicos programables.

Independientemente del tipo de tecnología empleada en todo sistema de control podemos

identificar los siguientes elementos.

SISTEMA DE CONTROL: Conjunto o combinación de componentes que actúan juntos para

realizar el control. Los sistemas de control trabajan, fundamentalmente, con la información facilitada por

los sensores y, tras su procesado, es utilizada para controlar los actuadores.

VARIABLES DEL SISTEMA O SEÑALES : son las magnitudes que se someten a vigilancia y

control y que definen el comportamiento del sistema. Representan una determinada magnitud física

(velocidad, caudal, intensidad, presión, temperatura etc..)

ENTRADA O SEÑAL DE MANDO : Es la señal que se aplica a un sistema de control, mediante

distintos procedimientos, con el fin de provocar una respuesta.

Para introducir una entrada al sistema se puede utilizar un mando o selector de entrada,

elemento que permite fijar el valor deseado de una variable de entrada, se puede introducir a través de

un componente tan simple como un potenciómetro o más sofisticado como un ordenador.

SALIDA : Es la respuesta que proporciona el sistema de control, ejemplos, temperatura de una

habitación, posición de un eje, etc.

SENSORES: elemento que capta una magnitud del sistema para su procesamiento, ejemplos,

sensor de temperatura, de presión, de luz, etc.

ACTUADORES: elementos que a través de su funcionamiento modifican las variables del

sistema, ejemplos, motores, cilindros neumáticos, válvulas para control de líquidos, resistencias, etc.

PERTURBACIÓN : Son las señales no deseadas que influyen de forma adversa en el

funcionamiento del sistema. Ejemplo si controlamos la temperatura de una habitación, los cambios de

temperatura en el exterior serían las perturbaciones.


3

UNIDAD DE CONTROL : Es la parte encargada de gobernar el sistema controlado para producir

la salida deseada sin la acción del operador. Ejemplo, un sistema muy simple de “unidad de control” lo

constituye el termostato que tenemos en nuestra casa y que “controla” el funcionamiento de la caldera

según la “entrada” seleccionada y la temperatura medida por el aparato.

PLANTA o PROCESO: Puede ser una parte de un equipo o un conjunto de elementos de una

máquina que funcionan juntos, y cuyo objetivo es realizar una operación particular. Ejemplo, en el caso

del control de temperatura de una habitación, la “planta” sería la misma habitación con todos los

elementos que hay dentro.

Nosotros llamaremos planta a cualquier objeto físico que se va a controlar (motor, horno,

caldera, ..)

REPRESENTACIÓN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL. DIAGRAMA DE BLOQUES

Los sistemas de control se suelen representar con diagramas de bloques, en los que se ofrece

una expresión visual simplificada de las relaciones entre la entrada y salida de un sistema físico.

El diagrama de bloques mas sencillo es el “ Bloque simple” que consta de una sola entrada y una

sola salida:

La interacción entre los bloques se representa por medio de flechas que indican el sentido del

flujo de la información.

3.- Tipos de sistemas de control

Los sistemas de control pueden ser:

SISTEMAS DE LAZO (O BUCLE) ABIERTO. Son aquellos en los que la acción de control es

independiente de la salida.

SISTEMAS DE LAZO (O BUCLE) CERRADO. En ellos, la acción de control depende de la salida

obtenida del sistema.

3.1.- Sistemas de control en lazo abierto

Son los sistemas en los cuales la salida no afecta la acción de control. En un sistema en lazo

abierto no se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada.

En cualquier sistema de control en lazo abierto, la salida no se compara con la entrada de

referencia. Por tanto a cada entrada de referencia le corresponde una condición operativa fija; como

resultado, la precisión del sistema depende de la calibración. Ante la presencia de perturbaciones, un

sistema de control en lazo abierto no realiza la tarea deseada. En la práctica, el control en lazo abierto

sólo se utiliza si se conoce la relación entre la entrada y la salida y si no hay perturbaciones internas ni

externas. Es evidente que estos sistemas no son de control realimentado.

ELEMENTOS BÁSICOS

Salida Entrada


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1. Elemento de control o controlador : Este elemento determina qué acción se va a tomar dada

una entrada al sistema de control.

2. Elemento de corrección, actuador o accionador : Este elemento responde a la entrada que

viene del elemento de control e inicia la acción para producir el cambio en la variable controlada al valor

requerido.

3. Proceso: El proceso o planta es el sistema en el que se va a controlar la variable.

3.2.- Sistemas de control en lazo cerrado. Sistemas realimentados

En la práctica, los términos control realimentado y control en lazo cerrado se usan

indistintamente.

En un sistema de control en lazo cerrado, se alimenta al controlador con la señal de error de

actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la salida de realimentación (que puede ser la

señal de salida misma o una función de la señal de salida y sus derivadas y/o integrales) a fin de reducir

el error y llevar la salida del sistema a un valor conveniente. El término control en lazo cerrado siempre

implica el uso de una acción de control realimentando para reducir el error del sistema.

A la realimentación también se le denomina, retroalimentación o feedback .

ELEMENTOS BÁSICOS

Entre las variables de Entrada y Salida tenemos distintos elementos. Normalmente las variables

de entrada o salida deben de adaptarse para su comparación a través de un transductor.

Un transductor es un dispositivo capaz de transformar o convertir un determinado tipo de energía de entrada, en otra de

diferente a la salida. Es un dispositivo usado principalmente en la industria, en la medicina, en la agricultura, en robótica, en

aeronáutica, etc. para obtener la información de entornos físicos y químicos y conseguir (a partir de esta información) señales o

impulsos eléctricos o viceversa.

1. Elemento de comparación, comparador : Este elemento compara el valor requerido o de

referencia de la variable por controlar con el valor medido de lo que se obtiene a la salida, y produce una

señal de error la cual indica la diferencia del valor obtenido a la salida y el valor requerido.

2. Elemento de control o controlador o regulador : Este elemento decide qué acción tomar

cuando se recibe una señal de error. La señal de error será la diferencia entre la señal de entrada y la

señal de salida . Ambas señales han de ser de la misma naturaleza para lo cual la variable de salida se

hace pasar por un elemento de medición o captador .


5

3. Elemento de corrección, actuador o accionador : Este elemento se utiliza para producir un

cambio en el proceso al eliminar el error.

4. El proceso o planta , es el sistema donde se va a controlar la variable.

5. Elemento de medición o captador : Este elemento produce una señal relacionada con la

condición de la variable controlada, y proporciona la señal de realimentación al elemento de comparación

para determinar si hay o no error. A los captadores también se les denomina sensores, y si convierten

una magnitud física, temperatura, luz, etc, en otro tipo de señal, electrónica, se les considera

transductores.

Sistemas de control en lazo cerrado contra los sistemas de control en lazo abierto:

Las ventajas de tener una trayectoria de realimentación y, por lo tanto, un sistema en lazo

cerrado en lugar de un sistema en lazo abierto son:

1. Más exacto en la igualación de los valores real y requerido para la variable.

2. Menos sensible a las perturbaciones.

3. Menos sensible a cambios en las características de los componentes.

Pero hay algunas desventajas:

1. Existe posibilidad de inestabilidad.

2. El sistema es más complejo, más caro y más propenso a averías.

Ejemplo de un sistema de Control en lazo abierto

CONTROL DE CAUDAL MEDIANTE UNA VÁLVULA

1. EL operador actúa sobre la señal de mando (a) . El caudal deseado.

2. Un transductor se encarga de transformar la magnitud de entrada en una señal de salida más

apta para su manipulación denominada “señal de referencia”.

3. La señal de referencia se amplifica, se trata y se aplica al actuador, “la válvula”

4. La válvula regula el caudal del fluido; nuestro proceso o planta Los elementos c, d, e y f

constituyen la unidad de control o regulación

Proceso


6

1.Posición del mando del selector = Entrada 2.Potenciómetro = Transductor 3.Elementos c, d, e = Regulador 4.Válvula = Actuador 5. Caudal fluido = Planta o Proceso

Ejemplo de un sistema de Control en lazo cerrado

Si al sistema anterior le dotamos de realimentación conseguimos una regulación del caudal más

precisa.

Completa el diagrama de bloques del sistema.


7

Completa los bloques de un sistema de regulación en lazo cerrado con los posibles

nombres que podemos encontrar.

Representa mediante diagramas de bloques el control que se realiza en los siguientes

sistemas, identifica qué componentes realizan cada función:

• Sistema de regulación de temperatura sin termostato.

• Sistema de regulación de temperatura con termostato.

• Lavadora.

• Sistema de dirección conductor-coche.


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• Sistema de regulación de temperatura del cuerpo.

• Sistema de aprendizaje profesor-alumnos.

Diseña un sistema de control para que a la hora de cocinar con una olla a presión el sistema

redujera el nivel de la placa de forma automática.


9

4.- MODELIZACIÓN DE SISTEMAS

El primer paso para establecer el estudio de un sistema, es modelizarlo. Se pueden

desarrollar distintos tipos de modelos:

□ Modelos físicos (maqueta de un avión).

□ Modelos matemáticos, se utilizan las ecuaciones matemáticas que describen el

funcionamiento del sistema.

La llamada “teoría de control clásica” utiliza modelos matemáticos para determinar el

comportamiento dinámico (en el tiempo) de un sistema. Mediante este recurso se puede analizar el

comportamiento de sistemas simples, que respondan a “ecuaciones diferenciales lineales”.

¿Qué es un sistema lineal? Sabemos que la ley de Ohm viene determinada por la expresión

V=I.R, si voltaje e intensidad son variables podemos expresar la ley como: v(t)=R.i(t). Hemos visto que

para un conductor el valor de resistencia es constante, tendríamos un ejemplo de sistema lineal. Sin

embargo hay materiales como los semiconductores, en los que el valor de resistencia no es constante

sino que varía en función del voltaje, sería un ejemplo de sistema no lineal, para su estudio podemos

suponerlo lineal en un rango determinado.

¿Qué es una diferencial lineal? “sistema de suspensión de un automóvil”

)()()(

)(

)()()()(

2

2

2

2

tkzdt

tdzb

dt

tzdmtf

dt

tzdm

dt

tdzbtkztf

maF

++=

⇒=−−

=∑

Sistemas lineales

Un sistema con una entrada x(t) y una salida y(t), es lineal si entre la entrada y sus primeras n

derivadas y la salida y sus m primeras derivadas es posible establecer una relación funcional de tipo

“ecuación lineal diferencial invariable en el tiempo”.

La ecuación es lineal si los coeficientes an ... a1 y bm ...b1 por los que se multiplican las derivadas

de las variables son valores constantes.


1

4.1.- TRANSFORMADA DE LAPLACE

El método de la transformada de Laplace aporta muchas ventajas cuando se usa para resolver

ecuaciones diferenciales lineales, mediante su uso es posible convertir funciones tales como senoidales,

exponenciales, en funciones algebraicas de una “variable s compleja” . Las operaciones como la

integración y la diferenciación se sustituyen por operaciones algebraicas en el plano complejo.

La transformada de Laplace es un método que transforma una ecuación diferencial en u na

ecuación algebraica más fácil de resolver.

F(t): una función del tiempo t tal que f(t) = 0 para t


1

[ ]

kbsmssF

sZ

kbsmssZsF

sZmssbsZskZsF

dt

tzdm

dt

tdzbtkztf

++=

++==−−

=−−

2

2

2

2

2

1

)(

)(

)()(

)()()()(

cero) a igual iniciales scondicione ndo(considera

términocada a Laplace de ada transformla Aplicando

)()()()(

4.2.- FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

En la “teoría clásica de control” se representan los elementos de un sistema mediante bloques.

Un bloque como el anterior representa que dada una entrada r(t) el Elemento devuelve la salida

c(t). Siendo r(t) y c(t) funciones con la variable tiempo.

Como se ha explicado anteriormente, dado que los sistemas se describen mediante ecuaciones

diferenciales y las mismas se transforman mediante la transformada de Laplace, podemos describir el

bloque anterior mediante la transformada de Laplace de la entrada y la salida:

Se define como función de transferencia a la relación entre la transformada de Laplace de la

salida partido por la transformada de Laplace de la entrada.

La función de transferencia será: )()(

)(sR

sCsG =

Por medio de la función de transferencia se puede conocer:

• Cómo va a comportarse el sistema en cada situación, según la entrada que se produzca

en el sistema sabremos cuál será su respuesta o salida.

• La estabilidad del mismo: es importante saber si la respuesta del sistema se va a

mantener siempre dentro de unos límites determinados.

• Qué valores se pueden aplicar a determinados parámetros del sistema de manera que

éste sea estable.

Tomemos el ejemplo de la suspensión de un vehículo:

Habíamos visto que la descripción física del sistema se realiza a través de una ecuación

diferencial que relaciona fuerza f(t) con desplazamiento z(t).

Mediante el concepto de “Transformada de Laplace” transformamos la ecuación diferencial en

otra con la variable compleja s.

Elemento R(s) C(s)

bsmssG

+=

2

1)(

F(s) Z(s)

Elemento r(t) c(t)


1

Las características de la función de transferencia dependen únicamente de las propiedades

físicas de los componentes del sistema, no de la señal de entrada aplicada. La función de transferencia

nos permite estudiar el comportamiento de un sistema a diferentes entradas sin necesidad de resolver

ecuaciones diferenciales.

En general una función de transferencia tendrá la forma

nnn

mmm

asasa

bsbsbsG

++++++= −

−

...

...)(

110

110

El denominador de la función de transferencia, se conoce como función característica , pues

determina, a través de los valores de sus coeficientes, las características físicas de los elementos que

componen el sistema.

nnn asasa +++ − ...110

Esta función igualada a cero se conoce como ecuación característica del sistema .

Las raíces de la ecuación característica (o valores para los cuales ésta se hace nula) se

denominan polos del sistema.

0...110 =+++−

nnn asasa

A las raíces del numerador se les denomina ceros.

Un sistema físico es realizable si ai y bi son números reales y mn ≥ (tiene igual o mayor número de polos que de ceros).

Ejemplo de regulación de la temperatura de un horno.


1

5.- OPERACIONES DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES

Comenzamos el tema representando a través de diagramas de bloques el funcionamiento de un

sistema. Cuando se analiza el funcionamiento de un sistema de control es necesario conocer la función

que realiza cada bloque del sistema, o cómo modifica la variable de entrada para obtener una salida.

Como se ha visto en el punto anterior, la relación entre salida y entrada de un elemento viene

determinada por su función de transferencia. En este apartado veremos cómo realizar operaciones con

los diagramas de bloques para reducirlos a otros equivalentes pero de más fácil manejo.

5.1.- Bloques en serie

La función de transferencia de un sistema de varios bloques en serie es igual al producto de las

funciones de transferencia.

G(s)=G1(s).G2(s).G3(s)

5.2.- Bloques en paralelo

La función de transferencia de n bloques en paralelo es igual a la suma de las funciones de

transferencia.

G(s)=G1(s)+G2(s)+G3(s)

5.3.- Transposición de sumadores y puntos de bifurc ación

R(s)

G2(s)

G3(s)

C(s)

G1(s)

+

+

+

X1(s)

G(s)[X1(s)+ X2(s)] +

+

G(s)

X2(s)

G(s)X1(s)+ G(s)X2(s) +

+ X2(s)

G(s)

G(s)

X1(s)

G1(s) R(s)

G2(s) G3(s) C(s)


1

Transposición de puntos de bifurcación

5.4.- Sistema realimentado

Veamos cómo podemos simplificar un sistema de regulación en lazo cerrado por otro en lazo

abierto y cuyo resultado sea el mismo.

Dado un sistema en lazo cerrado con G(s) como función de transferencia entre la señal de error

y la salida, y H(s) la función de transferencia entre la salida y el comparador, podemos sustituirlo por otro

en lazo abierto cuya función de transferencia sea )()(

sX

sY:

E(s) = X(s) – Y(s).H(s)

Y(s) = E(s).G(s)

)().(1)(

)().().()()().(

)().()()().(

)()(

sHsG

sG

sHsGsEsE

sGsE

sHsYsE

sGsE

sX

sY

+=

+=

+=

G(s)X1(s)+ X2(s) G(s)X1(s)+ X2(s) +

+ X2(s)

1/G(s)

X1(s)

+

+ X2(s)

G(s) X1(s)

G(s)

G(s)

X(s) X(s)G(s)

X(s)G(s)

G(s) X(s) X(s)G(s)

X(s)G(s) G(s)

X(s)G(s)

G(s) X(s)

X1(s)

X(s)G(s)

1/G(s)

X(s)

X1(s)

X(s)G(s)

G(s)

+

-

Y(s) G(s)

X(s)

H(s)

E(s)

Y(s) X(s)


1

Ejercicios

Obtener la función de transferencia del diagrama de bloques de la figura

H1

+

G1 X(s)

G2

G3

Z(s) +

-

+ +

- -

1

2

3

4

5

6 G1

X(s) G2

H2

Z(s) +

-

+ +

+

H3

7


1

[ ]

kbsmssF

sZ

kbsmssZsF

sZmssbsZskZsF

dt

tzdm

dt

tdzbtkztf

++=

++=

=−−

=−−

2

2

2

2

2

1

)(

)(

)()(

)()()()(



)()()()(

¡PARA NO PERDERSE!

Los modelos matemáticos pueden obtenerse en forma experimental o analítica, y en general, en la práctica, mediante una combinación de ambos métodos.

Normalmente un sistema se describe a través de ecuaciones diferenciales.

MODELIZAR . Para poder estudiar un sistema de control es necesario disponer de un modelo de su funcionamiento

Si estas ecuaciones diferenciales son lineales se les puede aplicar la transformada de Laplace lo que permite convertir estas ecuaciones en otras donde la variable tiempo se sustituye por la variable s que representa un número complejo. Esta transformación permite estudiar el sistema de manera más sencilla.

[ ]

kbsmssF

sZ

kbsmssZsF

sZmssbsZskZsF

dt

tzdm

dt

tdzbtkztf

++=

++==−−

=−−

2

2

2

2

2

1

)(

)(

)()(

)()()()(



)()()()(

En un sistema de control cada elemento tendrá su fu nción de transferencia. A una entrada el

sistema dará un salida que depende de las funciones de todos los elementos.

Dado un esquema que describe un sistema de control conviene reducirlo a un único bloque

equivalente para analizar cómo reacciona el sistema ante distintas entradas.

La función de transferencia nos da la relación entre la salida y la entrada de un elemento o de un

sistema.

bsmssG

++=

2

1)(

F(s)

X(s)

43241

41

....1

.

PPPPP

PP

+Z(s)


1

6.- RESPUESTA DE UN SISTEMA A UNA ENTRADA. ESTABILI DAD DE UN SISTEMA

Ante la modificación de una señal de entrada un sistema reacciona de una manera que no es

instantánea. Las características básicas de una respuesta transitoria son:

• Mp: sobreoscilación máxima

• Tr: tiempo de subida.

• Tp Tiempo de pico.

• Ts Tiempo de establecimiento, tiempo necesario para

alcanzar el régimen permanente.

Estabilidad de un sistema

La estabilidad de un sistema se determina por su respuesta a las entradas o perturbaciones.

Un sistema estable es aquel que permanece en reposo a no ser que se excit e por una

fuente externa y, en tal caso, volverá al reposo una vez que desaparezcan las excitaciones.

La estabilidad se puede definir de las siguientes formas:

• Un sistema es estable si una entrada limitada produce una salida limitada.

Aplicando una entrada en escalón, las siguientes gráficas nos representan la respuesta en

sistemas con distinta función de transferencia.

Sistema inestable

Sistema inestable

Sistema estable

Sistema estable


1

6.1. Estudio de la estabilidad de un sistema a part ir de su función de transferencia

Para que un sistema de regulación sea estable, las raíces de su

ecuación característica (polos), han de estar situadas en la parte negativa

del plano complejo de Laplace.

Ejercicio: Determinar el margen de valores de K para que el sistema representado en el

esquema sea estable.

)2)(1( ++ ssKX(s) Z(s) +

-


1

6.2.- Criterio de estabilidad de Routh

El criterio de estabilidad de Routh indica si hay o no raíces positivas en una ecuación polínómica

de cualquier grado sin tener que resolverla:

Secuencia:

1. Escribimos el polinomio de la forma indicada, donde los coeficientes son cantidades reales (suponemos que an≠0)

2.- Si cualquier coeficiente es nulo o negativo y hay algún coeficiente positivo, el sistema no es estable.

3. Si todos los coeficientes son positivos, se colocan en filas y columnas como se indica:

Términos

1

30211

..

a

aaaab

−=

1

50412

..

a

aaaab

−=

1

70613

..

a

aaaab

−=

sn a0 a2 a4 a6

sn-1 a1 a3 a5 a7

sn-2 b1 b2 b3

. . .

. . .

s2 e1 e2

s1 f1

s0 g1

4. Una fila completa se puede multiplicar por un número positivo para simplificar los cálculos siguientes.

5. EL SISTEMA SERÁ ESTABLE SI EN LA PRIMERA COLUMNA NO EXISTEN CAMBIOS DE SIGNO, YA QUE EL NÚMERO DE CAMBIOS QUE EXISTAN ES IGUAL A LAS RAICES DE LA ECUACIÓN CON PARTES REALES POSITIVAS.

Las siguientes funciones son la función característica de distintos sistemas, analiza su

estabilidad mediante el criterio de Routh.

133 23 +++ sss 123 ++− sss 44234 23456 ++++++ ssssss


2

Ejercicios

Determinar los valores de K para los que el sistema es estable.

Determinar los valores de K para los que el sistema es estable.

Aplicar el criterio de Routh para determinar si el sistema es estable

Determinar el valor de K para que el sistema sea estable.

8

X(s) Z(s) +

- )2).(1.( 2 +++ ssssK

9

X(s) Z(s) +

- 3)1(

1

+sK

10

X(s) Z(s)

23.5.2

132345

3

++++++

sssss

s

11

X(s) Z(s) +

- 6

1

+sK

2.2

12 ++ ss

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