CYNDY ARGOTE SIERRA

MÉTODOS NUMERICOS

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

MÉTODOS DE ELIMINACIÓN

MÉTODO DE GAUSS

MÉTODO DE GAUSS JORDAN

MÉTODOS ITERATIVOS

MÉTODOS DE DESCOMPOSICIÓN

DESCOMPOSICIÓN LU

MÉTODO DE CHOLESKY

REGLA DE CRAMER

Para poder aplicar la regla de Cramer es buenaidea se debe tener absolutamente claro como sehallan determinantes.

La regla de Cramer es un proceso que ayuda aresolver sistemas de ecuaciones lineales quetengan la misma cantidad de ecuaciones eincógnitas, es un método que aplica losdeterminantes.

1. Hallar la matriz ampliada asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que laprimera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primeraincógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las variables de lasegunda incógnita, y así hasta llegar a la ultima columna que estará constituida porlas entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

2. Calcular el determinante de la matriz dada.

3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:

a) Ir sustituyendo la primera columna del determinante de la matriz, por lostérminos independientes

b) Dividir el resultado de esté determinante entre el determinante de la matrizpara hallar el valor de la primera incógnita.

c) Continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnaspara hallar el resto de las incógnitas.

Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas, encontrar los valores de X e Y.

3X – 2Y = 1

x + 5Y = 3

SOLUCIÓN

1. Hallando la matriz ampliada de A

X Y b

2. Calcular el determinante de A

3. El ultimo paso consiste en calcular las incógnitas

4. Al llegar a este punto hemos hallado nuestras incógnitas de manera sencilla y rápida, también aplica para sistemas de mayor banda.

Este método es también conocido como método deeliminación simple de Gauss, es una de las primerastécnicas empleadas por actuarios, mate máticos eingenieros para la resolución de sistemas de ecuaciones.El método comprende dos fases:

• Eliminación de las incógnitas hacia adelante: tiene el objetivo dereducir el sistema original a una forma triangular superior.

• Sustitución hacia atrás.

Aplicando el método de eliminación de Gauss, resuelva el sistemaoriginal a una forma triangular superior.

SOLUCIÓN

1. Para llevar igualar las ecuaciones 1 y 2 y eliminar una de susincógnitas procedemos a multiplicar la primera ecuación por 0,1/3

1

2

3

2. Resto las ecuaciones 1 y 2

3. Obteniendo como resultado

4. Ahora procedemos a realizar el mismo procedimiento desarrollado anteriormente entre las ecuaciones 1 y 2 pero ahora entre las ecuaciones 1 y 3, obteniendo como resultado

5. Una vez hecho lo anterior se procede a eliminar X2 de la ecuación 3 multiplicando la ecuación 2 por -0,19/7,0033.

1

2

2

3

6. El resultado obtenido se le resta a la ecuación 3.

7. Obteniendo:

8. Ahora entra en juego la segunda fase, sustitución hacia atrás.

9. Cuando se tienen estos valores procedemos a hallar las demás incógnitas.

Reemplazamos el valor de X3 en la ecuación 2, hallando así X2

De igual forma en la primera ecuación para hallar el valor de X1

Este método surge como una simplificación de lafactorización LU sobre una matriz tridiagonal.

Para este método encontramos cuatro ecuacionesfundamentales.

* U11= b1

* Uk,k= bk-Lk,k-1*Uk-1,k

* Uk-1,k= Ck-1

* Lk,k-1= a

Uk-1,k-1

1. Identificar los vectores como se muestra a continuación

a = Banda que se encuentra debajo de la diagonal principal.

b = Diagonal principal.

c = Banda que se encuentra encima de la diagonal principal.

r=Valores a los que esta igualada la ecuación.

2. Aplico las 4 ecuaciones fundamentales de Thomas para un K quevaria, por ejemplo para un sistema de ecuaciones de 4*4 K variadesde 2 hasta 4.

3. Cuando hemos hallado los valores de L y U, y se realiza lasiguiente operación L*d=r . (siendo r un vector deincógnitas).Mediante esta operación y una sustitución progresivahallo los valores de d.

4. Finalmente realizo la operación U*X=d (X vector incógnitas).Mediante una sustitución regresiva hallo los valores de X.

Resolver el siguiente sistema por el método de Thomas.

=

1. Identificar vectores

2. Aplicar las 4 ecuaciones fundamentales de Thomas

Para K=1

Para K=2

Para K=3

Para K=4

3. Ahora L*d=r

* =

Mediante una sustitución progresiva hallo los valores de d

Finalmente U * x = d

* =

Mediante una situación regresiva hallo valores de x