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I.E.S. _______________________
CUADERNO Nº 4 NOMBRE: FECHA: / /
Sistemas de ecuaciones - 1 -
Sistemas de ecuaciones
Contenidos
1. Ecuaciones lineales Definición. Solución
2. Sistemas de ecuaciones lineales
Definición. Solución Número de soluciones
3. Métodos de resolución
Reducción Sustitución Igualación
4. Aplicaciones prácticas
Resolución de problemas
Objetivos
Reconocer y clasificar los sistemas de ecuaciones según su número de soluciones.
Obtener la solución de un sistema mediante unas tablas.
Resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, por los métodos de sustitución, igualación y reducción.
Utilizar el lenguaje algebraico y los sistemas para resolver problemas.
Autor: Xosé Eixo Blanco Bajo licencia
Creative Commons Si no se indica lo contrario.
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CUADERNO Nº 4 NOMBRE: FECHA: / /
Sistemas de ecuaciones - 2 -
Lee en la escena el texto del poema y trata de plantear una ecuación y de buscar la solución.
Completa la tabla de premios para obtener la solución de otra forma:
1. Ecuaciones lineales
1.a. Definición. Solución. EJERCICIO: Completa: Respuestas
¿Cuál es el grado de las ecuaciones lineales?
¿Cuál es la expresión general de una ecuación lineal con dos incógnitas?
¿Qué es una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas?
¿Cuántas soluciones tiene una ecuación lineal con dos incógnitas?
¿Qué tipo de línea forman las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas si las representamos gráficamente?
Veamos los ejemplos de las ecuaciones lineales que aparecen en los siguientes recuadros y hagamos la gráfica de la recta que forman las soluciones de cada una de las ecuaciones:
Antes de empezar
Por presumir de certero un tirador atrevido se encontró comprometido en el lance que os refiero. Y fue, que ante una caseta de la feria del lugar presumió de no fallar ni un tiro con la escopeta, y el feriante alzando el gallo un duro ofreció pagarle por cada acierto y cobrarle a tres pesetas el fallo
Dieciséis veces tiró el tirador afamado al fin dijo, despechado por los tiros que falló: “Mala escopeta fue el cebo y la causa de mi afrenta pero ajustada la cuenta ni me debes ni te debo”. Y todo el que atentamente este relato siguió podrá decir fácilmente cuántos tiros acertó.
Aciertos Fallos Premio
16 0 80 15 1 72 14 13 12 11 10 9 8 7 6
Ecuación: 14 yx
x y
Ecuación: 43 yx
x y
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Sistemas de ecuaciones - 3 -
EJERCICIO. Resuelve a continuación los tres ejercicios que siguen.
Soluciones
Halla una solución P(x,y) de la ecuación 1886 yx sabiendo que 3y
Razona si 1x , 9y es una solución de la ecuación: 8189 yx
¿Cuánto vale “c” si 2x , 2y es una solución de: cyx 37 ?
EJERCICIOS
1. Dada la ecuación:3x 2y 17 , razona si los siguientes pares son solución.
a) x=1 , y=3 b) x=5 , y=1
2. Dada la ecuación 5x 2y c , halla el valor de c sabiendo que una solución es:
a) x=3 , y=6 b) x=4 , y=1
3. Halla una solución (x,y) de la ecuación 4x 5y 17 sabiendo que:
a) x=7 b) y=1
Ecuación: 13 yx
x y
Ecuación: 42 yx
x y
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Sistemas de ecuaciones - 4 -
2. Sistemas de ecuaciones lineales
2.a. Definición. Solución.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común.
Fórmula general de un sistema de dos ecuaciones
222
111
2
1
cybxa
cybxa
r
r
Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de valores -coordenadas de un punto P(x,y)- que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar todas sus soluciones.
Veamos dos ejemplos y realicemos las gráficas de las rectas que corresponden a cada una de las ecuaciones. Con la representación ya hecha, deberemos indicar cuál es la solución del sistema:
Sistema:
2
25
2
1
yx
yx
r
r
r1 y =
r2 y =
x y x y
Gráfica
Solución del sistema
P( , )
Sistema:
13
1
2
1
yx
yx
r
r
r1 y =
r2 x =
x y x y
Gráfica
Solución del sistema
P( , )
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Sistemas de ecuaciones - 5 -
Responde, a continuación, a los dos enunciados que siguen:
Respuesta
Escribe un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución sea: x = -2 , y = 1
2
1
r
r
Razona si x = 2, y = 0 es una solución del sistema:
42
022
yx
yx
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Sistemas de ecuaciones - 6 -
2.b. Número de soluciones. Los sistemas se ecuaciones se clasifican dependiendo del número de soluciones que tienen y, geométricamente, cada caso corresponde a una posición relativa de las dos rectas asociadas.
EJERCICIO: Contesta: Respuestas
¿Cómo se llama un sistema que tiene una única solución?
¿Cómo son las rectas que lo forman?
¿Cómo se llama un sistema que tiene infinitas soluciones?
¿Cómo son las rectas que lo forman?
¿Cómo se llama un sistema que no tiene solución?
¿Cómo son las rectas que lo forman?
Caso
Caso
Sistema:
32
3
yx
yx
r1
y =
r2
x =
x y x y
Gráfica
Las rectas son: ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?
Sistema:
4
1233
yx
yx
r1
y =
r2
y =
x y x y
Gráfica
Las rectas son: ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?
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Sistemas de ecuaciones - 7 -
Caso
Sistema:
026
43
yx
yx
r1
y =
r2
y =
x y x y
Gráfica
Las rectas son: ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?
EJERCICIOS
6. Dado el sistema: 3x 2y 17
5x y 11
, razona si los siguientes pares son solución.
a) x=3 , y=4 b) x=5 , y=1 c) x=3 , y=1
7. Escribe un sistema de dos ecuaciones cuya solución sea:
a) x=1 , y=2 b) x=3 , y=1 c) x=2 , y=3
8. Indica (aula 204 con GeoGebra) cuántas soluciones tiene el sistema: x y 2
x 3y 2
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Sistemas de ecuaciones - 8 -
3. Métodos de resolución
3.a. Reducción.
Resolver un sistema por el método de reducción consiste en encontrar otro sistema, que
tenga los coeficientes de una misma incógnita de signo contrario, para que al sumar la
incógnita desaparezca.
Para ello se multiplican todos los coeficientes de una de las ecuaciones, o de las dos, por el
número adecuado.
Mtdo. fácil y recomendado, sobre todo cuando pueda resultar “difícil” despejar incógnitas.
Vamos a ver como se resuelve un sistema por el método de reducción paso a paso. Observa que puedes cambiar la letra que se reduce y que puedes utilizar cualquiera de las dos ecuaciones a la hora de sustituir para hallar el valor de la otra incógnita.
Resolver el sistema:
194
42
yx
yx
Paso 1: Multiplicar la primera ecuación por
Multiplicar la segunda ecuación por
Sumar las dos ecuaciones para eliminar la letra
Paso 2: Sustituir en la ecuación
Paso 3: Despejar la
Paso 4: Dar la solución
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Sistemas de ecuaciones - 9 -
Otro sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resuélvelo en este recuadro.
Y otro ejemplo. Resuélvelo del mismo modo.
Resolver el sistema por reducción:
293
7647
yx
yx
Multiplicar la primera ecuación por
Multiplicar la segunda ecuación por
Sumar las dos ecuaciones para eliminar la letra
Sustituir el valor de en la ecuación
x =
y =
Resolver el sistema por reducción:
706
10073
yx
yx
Multiplicar la primera ecuación por
Multiplicar la segunda ecuación por
Sumar las dos ecuaciones para eliminar la letra
Sustituir el valor de en la ecuación
x =
y =
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Sistemas de ecuaciones - 10 -
3.b. Sustitución.
Para resolver un sistema por el método de sustitución se despeja una incógnita (la que sea
más fácil de despejar) en una de las ecuaciones y se sustituye su valor en la otra ecuación.
De esta forma se obtiene una ecuación de primer grado con una incógnita que resolvemos.
Para calcular la otra incógnita basta sustituir el valor hallado donde se ha despejado en
primer lugar.
Fácil y recomendado, sobre todo cuando pueda resultar “fácil” despejar una incógnita.
Vamos a ver como se resuelve un sistema por el método de sustitución paso a paso. Observa que podrías empezar despejando la misma letra en la otra ecuación o la otra letra en cualquiera de las ecuaciones y siempre obtendrías el mismo resultado. Otro sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resuélvelo en este recuadro.
Resolver el sistema por sustitución:
35
1392
yx
yx
Se despeja la en la ecuación …
Solución: x =
y =
Resolver el sistema:
426
365
yx
yx
Paso 1: Despejar la letra en Paso 2: Sustituir, entre paréntesis, la letra
la ecuación en la ecuación
Paso 3: Resolver la ecuación de una incógnita que resulta:
Paso 4: Calcular la Sustituyendo en la ecuación despejada
Paso 5: Dar la solución
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Sistemas de ecuaciones - 11 -
3.c. Igualación.
Para resolver un sistema por el método de igualación se despeja la misma incógnita en las
dos ecuaciones y se igualan ambas expresiones.
Se obtiene así una ecuación de primer grado con una incógnita que se resuelve. Para hallar la
otra incógnita se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las dos expresiones despejadas
al principio.
Mtdo. menos fácil y NO recomendado
Vamos a ver como se resuelve un sistema por el método de igualación paso a paso. NO veremos más ejemplos de este método de resolución. Observa que podrías empezar despejando la otra letra en las dos ecuaciones y obtendrías el mismo resultado.
Resolver el sistema:
036
8493
yx
yx
Paso 1: Despejar la letra en Paso 2: Igualar las dos ecuaciones
las dos ecuaciones despejadas
Paso 3: Resolver la ecuación de una incógnita que resulta:
Paso 4: Calcular la sustituyendo en la ecuación despejada
Paso 5: Dar la solución
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Sistemas de ecuaciones - 12 -
EJERCICIOS de Refuerzo
Resuelve los siguientes sistemas por el método que consideres más adecuado en cada caso:
a)
11yx3
0y3x2 c)
19y7x2
11y5x e)
17y5x4
2yx2
b)
12y5x2
1y2x3 d)
9y3x4
2y5x2 f)
4y9x2
3y3x4
EJERCICIOS
11. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de reducción:
a) 2x 7y 20
3x 7y 4
b) 2x 3y 9
3x 5y 4
12. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método de sustitución:
a) x 7y 11
3x 5y 7
b) 2x y 7
3x 4y 13
13. Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método que desees:
a) x 7y 23
x 5y 13
b) 2x y 13
x y 9
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Sistemas de ecuaciones - 13 -
4. Aplicaciones prácticas
4.a. Resolución de problemas. Veamos ejemplos de problemas de tres tipos
a) Tipo EDADES. Problema. La suma de las edades de un padre y un hijo es de 50 años y su diferencia es de 4 años ¿qué edades tienen cada uno?
b) Tipo GEOMETRÍA. Problema. Una parcela rectangular tiene un perímetro de 640m. Si mide el triple de largo que de ancho ¿Cuáles son sus dimensiones? ¿Cuál es su área?
c) Tipo NÚMEROS. Problema. Halla dos números sabiendo que el mayor más 10 veces el menor es igual a 78, y que el menor más 10 veces el mayor es igual a 87
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Sistemas de ecuaciones - 14 -
Van ahora tres problemas diferentes más. Plantéalos y resuélvelos (utiliza el método que consideres más adecuado en cada uno de ellos). Después comprueba si lo has hecho bien.
Problema. Luis tiene en su monedero 160 €. Sabiendo que sólo tiene billetes de 5€ y de 10€ y que en total tiene 10 billetes ¿cuántos billetes de cada tipo tiene?
Solución: x = y = Problema. La base de un rectángulo mide 10 dm más que su altura. Si el perímetro mide 108 dm ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? ¿Y cuál es su área?
Solución: x = y =
Problema. En una clase hay 60 alumnos entre chicos y chicas. En el último examen de matemáticas han aprobado el 70% de las chicas y el 60% de los chicos. Si han aprobado 39 alumnos ¿Cuántas chicas y cuántos chicos hay en clase?
Solución: x = y =
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Sistemas de ecuaciones - 15 -
EJERCICIOS
14. Ana tiene en su cartera billetes de 10€ y 20€, en total tiene 20 billetes y 350€ ¿Cuántos billetes tiene de cada tipo?
15. La suma de las edades de Miguel y Pedro es 97. Dentro de 4 años la edad de Pedro será cuatro veces la edad de Miguel. ¿Qué edades tienen ambos?
16. En un taller hay 154 vehículos entre coches y motocicletas, si el número de ruedas es de 458, ¿cuántas motocicletas y coches hay?
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Sistemas de ecuaciones - 16 -
Para practicar más
1. Calcula el valor de c para qué la solución de la ecuación, x 7y c sea:
a) x 1 , y 2 c) x 5 , y 0
b) x 3 , y 3 d) x 2 , y 3
2. Halla una solución (x,y) de la ecuación 4x y 17 sabiendo que:
a) x 1 b) y 7
3. Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas cuya solución:
a) x 4 , y 3
c) x 0 , y 5
b) x 1 , y 2
d) x 1 , y 1
4. Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que:
a) tenga infinitas soluciones
c) no tenga solución
b) tenga una sola solución
5. Razona si el punto (x,y) es solución del sistema:
a) 2x 3y 18
x 3 , y 43x 4y 24
5x 3y 1
x 1 , y 23x 4y 11
6. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas (Aula 204 con Geogebra):
a) x y 6
2x 2y 12
b) x y 8
x y 2
c) x y 6
x y 10
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Sistemas de ecuaciones - 17 -
7. Resuelve por reducción:
a) 2x y 15
x 2y 15
b)
123
734
yx
yx c)
9x 4y 53
9x 8y 61
8. Resuelve por sustitución:
a) x 12y 1
4x 9y 15
b) x 6y 3
9x 2y 83
c) x 2y 17
5x 2y 21
9. Resuelve por el método que creas más adecuado
a) x 2y 17
7x 6y 47
b)
753
527
yx
yx c)
x 2y 14
x 4y 4
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Sistemas de ecuaciones - 18 -
10. Hallar dos números sabiendo que el mayor más seis veces el menor es igual a 62 y el menor más cinco veces el mayor es igual a 78.
11. Al dividir un número entre otro el cociente es 2 y el resto es 5. Si la diferencia entre el dividendo y el divisor es de 51, ¿de qué números se trata?.
12. La base de un rectángulo mide 20 dm más que su altura. Si el perímetro mide 172 dm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
13. En una clase hay 80 alumnos entre chicos y chicas. En el último examen de matemáticas han aprobado 60 alumnos, el 50% de las chicas y el 90 % de los chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase?
14. La base de un rectángulo mide 70 dm más que su altura. Si el perímetro mide 412 dm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
15. Juan ha realizado un examen que constaba de 68 preguntas, ha dejado sin contestar 18 preguntas y ha obtenido 478 puntos. Si por cada respuesta correcta se suman 10 puntos y por cada respuesta incorrecta se resta un punto, ¿cuántas preguntas ha contestado bien y cuántas ha contestado mal?
16. Paco tiene en su monedero 210€ en billetes de 5 y 20 euros. Si dispone de 15 billetes, ¿cuántos billetes tiene de cada clase?
17. La suma de dos números es 85 y su diferencia es 19.¿Cuáles son los números?
18. La suma de las edades de Luisa y de Miguel es 32 años. Dentro de 8 años la edad de Miguel será dos veces la edad de Luisa. ¿Qué edades tienen ambos?
19. María ha comprado un pantalón y un jersey. Los precios de estas prendas suman 77€, pero le han hecho un descuento del 10% en el pantalón y un 20% en el jersey, pagando en total 63’60€. ¿Cuál es el precio sin rebajar de cada prenda?
1. Esinc
2. Haso
3. Esinc
4. Es
5. Re
6. Re
7. Re
8. En31
9. El op
10. Hasi
MA
cribe un scógnitas cuy
alla el valorluciones.
cribe un scógnitas que
cribe una so
esuelve por r
esuelve por s
esuelve por i
ncuentra dos19
cuadrado dpuesto es 96
alla las dimela base es 1
Sis
ATEMÁTICAS Orie
Aut
istema de ya única solu
r de c par
x y
2x 2y
istema de e no tenga so
olución de la
reducción:
sustitución:
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de un núm0. ¿Cuál es e
nsiones de u0 cm mayor
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oevalu
dos ecuacioción sea: x=
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3
c
dos ecuacioolución.
ecuación:
3x y 13
2x y 7
3x 4y 18
5x y 7
x 4y 23
x 5y 28
uya diferenci
ero positivoel número?
un rectángur que la altur
as de E
señanzas Aplicada
uación
ones lineale=5 , y=-9
sistema ten
ones lineale
x y 5
8
ia sea 53 y s
o más el d
lo de perímera.
Ecuac
as 3º ESO 19
es con dos
nga infinitas
es con dos
su suma sea
doble de su
etro 140 cm
ciones
s
s
s
a
u
m
s
20 MATE M
1
2
3
4
5
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7
8
9
Sistem
SoluAUT
1.
2. c=
3. xx4. x
5. x
6. x
7. 18
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9. ba
MÁTICAS orientada
So
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2. a) x 1 y
b) x 6
3. a) x y2x y
c) 2x yx 2y
4. a) x y2x 2
c) x yx y
5. a) no
6. a) Hay infb) x 5 y
7. a) x 3 y
b) x 5 y
c) x 5 y
8. a) x 3
b) x 9
c) x 1
9. a) x 1
b) x 4
c) x 8
mas d
uciones TOEVALU
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x y 7
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=3 y=5
86 y 133
2
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as a las Enseñanz
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) -18 c) 5
y 21 6 y 7
1y 5
b)
xx
y 5y 10
d)
xx
12y 2
b)
12
b) si
finitas soluciy 3 c) No
y 9 y 1 y 2
y 1 / 3 y 1 y 8
y 9 y 7 y 3
de Ecu
UACIÓN
ra=30
zas Aplicadas 3º
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d) 19
x y 1x 3y 5
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iones o hay solució
uacionejercicio
ón
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10. 14
11. 97
12. 52
13. 50
14. 138
15. 48
16. 6 d
17. 52
18. El
19. Lui
20. 91
21. La
22. Lui
23. 149€/
24. 18
25. el p
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8 y 68
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base 30 y la
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kg de 15€/k/kg
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gallinas y 1
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