Sistemas articulados. Teorema de Kempe

Rev. Semin. Iberoam. Mat. 4 fasc. II (2013) 19–53

Sistemas articulados. Teorema de Kempe

J.M. Aroca

Desde un punto de vista intuitivo un sistema articulado es un mecanismocompuesto por barras rıgidas unidas por sus extremos mediante articulaciones.Como nuestro estudio es puramente geometrico y nos limitaremos a sistemasarticulados planos, suponemos que las barras son unidimensionales y que lasarticulaciones les permiten girar con completa libertad en el plano. Si llamamosvertices a los extremos de las barras, es claro que cada posicion del sistema que-da determinada por las posiciones de sus vertices, y como el sistema es plano,es decir que todas las barras estan situadas en un plano y estan forzadas amoverse en el, el conjunto de posiciones del sistema esta parametrizado por unsubconjunto de R2n, siendo n el numero de vertices del sistema, este conjun-to se conoce por espacio de configuraciones del sistema articulado. De modoinmediato se plantean dos preguntas sobre estos sistemas.

1. ¿Cual es la geometrıa del espacio de configuraciones de un sistema articu-lado?

2. ¿Como son las trayectorias de los vertices del sistema?

En este trabajo, puramente de revision y sin pretensiones de originalidad, in-tentaremos analizar algunas de las respuestas que se han dado en los ultimosdos mil anos a esas dos preguntas.

1. Un poco de historia

Los primeros sistemas articulados, diferentes de la regla y el compas, de losque se tienen noticias, se deben a los geometras griegos del siglo V antes deCristo y estaban destinados a resolver algunos problemas relativos a conicas yotros asociados a ecuaciones de tercer grado insolubles con regla y compas. Laprimera referencia clasica a un sistema dinamico de construccion de curvas esla del sistema destinado a la construccion de la cuadratriz atribuido a Hippias(460 − 400 a.C.). La cuadratriz es el lugar geometrico descrito por un puntoque gira en torno al origen con velocidad angular constante a la vez que semueve paralelamente al eje y, con velocidad constante (ver [13]). No existendatos sobre un sistema articulado capaz de dibujar esta curva que se puede usarpara resolver los problemas de la cuadratura del cırculo y de la triseccion delangulo. Parece ser que se dibujaba trazando una cantidad suficiente de puntosde ella, ya que es facil dar un metodo elemental para dibujar una familia densanumerable de puntos de dicha curva.

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Hay una interesante controversia entre los historiadores de la matematicasobre la admision en la geometrıa griega de construcciones usando instrumentosdistintos de la regla y el compas, el lector interesado puede consultar el capıtu-lo 8,2 Neusis- Constructions in Greek Geometry de la obra de Fowler [15], elartıculo de Zeuthen [41] y para el punto de vista opuesto el texto de Allman [3].En este ultimo se hace referencia a dos citas de Platon hechas por Plutarco:

We learn from Plutarch (Quaest. Conviv. lib. viii q. 2, I; Plut. Opera, ed Di-dot vol. iv p. 876) that “Plato blamed Eudoxus, Archytas, and Menaechmus, andtheir School for endeavouring to reduce the duplication of the cube to instrumen-tal and mechanical contrivances; for in this way the whole good of geometry isdestroyed and perverted, since it backslides into the things of sense, and does notsoar and try to grasp eternal and incorporeal images; through the contemplationof which God is ever God”

La segunda cita, contenida en la Vida de Marcelo, esta hecha esencialmenteen los mismos terminos, pero anade que “aplican ciertos instrumentos paracalcular medias proporcionales a partir de lıneas curvas y secciones”de estemodo, y eso es de la cosecha de Plutarco, substituyen lo que hay en la geometrıade incorporeo y sensible por una vulgar herramienta. De este modo, y vuelvea ser opinion de Plutarco, Platon diferencia la mecanica de la geometrıa y laexpulsa de ella, de este modo y al ser considerada durante mucho tiempo pordebajo de la filosofıa, la mecanica se transforma en una de las artes de la guerra.

Sin embargo Fowler ([15] pp 286) dice no querer describir: Como de tenuees la evidencia sobre la crıtica que se dice hace Platon al uso de construccionesmecanicas en geometrıa y termina diciendo que todos los comentaristas moder-nos aceptan que en la geometrıa griega se admitıan construcciones mas generalesque las efectuadas con regla y compas. Tambien pone en duda la autorıa de unaparato para duplicar el cubo atribuido por Eutocio (siglo IV despues de Cristo)a Platon, y la existencia de una misteriosa regla - cuerno citada por Diocles.

No se conocen con precision los instrumentos de que disponıan los griegospara dibujar conicas, Allman aventura la hipotesis, contradicha por otros au-tores, de que las pintaban por aproximacion dibujando muchos de sus puntos.Segun cita Allman, tanto Bretschnaider como Cantor no consideraban impro-bable que Menaechmo dispusiera de algun instrumento para dibujar parabolas,imprescindible para su solucion del problema de duplicacion del cubo por mediode la interseccion de dos parabolas. Sin embargo no hay referencias de sistemasarticulados capaces de dibujar conicas hasta epocas muy posteriores. La primeraesta en Proclo (418 - 485 d. C.) que habla de un compas para dibujar parabolasde Isidoro de Mileto. Sı hay referencias en Eutocio y Proclo de dos aparatos, unode ellos el ya citado atribuido a Platon, y otro atribuido a Nicomedes (siglo IIIa.C.) que son esencialmente sistemas mecanicos para el calculo de raıces cubicasy tienen aplicacion directa tanto a resolver el problema Deliano (la duplicaciondel cubo), como el problema de la triseccion del angulo. Esos aparatos son losque describimos a continuacion.

1 Aparato atribuido a Platon

El aparato de la figura esta descrito en [5, 3] y consiste en tres barras, dos


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Figura 1: Aparato para resolver el problema Deliano, atribuido a Platon

de las cuales, α y β, estan rıgidamente unidas por un extremo formandoun angulo recto, con vertice B, y la tercera γ se puede desplazar a lolargo de β, a la que esta unida por uno de sus extremos C, manteniendoseparalela a α (ver figura 1). En cierto sentido es similar al compas y podrıausarse, como este, para dibujar circunferencias.

En la figura citada se puede apreciar como se usa. Si queremos calcular laraız cubica de d/a, es decir de la medida del segmento d tomando a comounidad, en un sistema cartesiano se hace pasar la barra α por el punto(−a, 0), y la barra γ por el punto (0,−d) y a continuacion se desplaza labarra β hasta que se colocan, el vertice C en el eje x (punto (c, 0)) y el Balcanza el eje y (punto (0, b)).

La aplicacion del teorema de la altura a los triangulos rectangulos ABCy BCD establece que:

b2 = a.cc2 = b.d

}⇒ b4 = a2.c2 = a2.b.d⇒ (b/a)3 = d/a

2 La conchoide de Nicomedes


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Figura 2: Aparato atribuido a Nicomedes

El sistema (ver figura 2) consta de tres barras, la barra β esta rıgidamenteunida a la barra α en su punto medio formando con ella un angulo de 90grados y en ella hay un pivote fijo B, a distancia b de la interseccion con labarra α sobre el que desliza la barra γ, esta a su vez tiene otro pivote P adistancia a de su extremo que encaja en una ranura de la barra α. De estemodo el extremo X de la barra γ esta situado en una recta variable porB, de modo que la longitud del segmento de dicha recta contenido entreX y la barra α es de longitud constante igual a a.

Tomando una referencia cartesiana centrada en B con eje de ordenadassobre β, la ecuacion en polares de la conchoide, tomando angulos a partirdel semieje x negativo es

ρ =b

sinϑ+ a.

La ecuacion cartesiana en la referencia fijada de la conchoide, que es unacuartica, es

x2(y − b)2 = y2(a2 − (y − b)2.

La conchoide se puede usar en la resolucion del problema de la duplicaciondel cubo y en el de la triseccion del angulo, veamos como ejemplo laresolucion de este segundo problema.

Tomamos el angulo θ a trisecar (ver figura 3) - supuesto que es agudo

θ = BAC para AC = 1 - tomamos una recta r ortogonal a AB por C y laconchoide γ de r respecto de A para a = 2. Tomamos por C la paralela aAB que cortara a γ en E; AE corta a r en F y FE = 2. Si D es el punto

medio de EF , es ED = DF = 1. Como FCE = π/2, EF es diagonal de

un rectangulo y DC = 1; como AC = 1, ADC = DAC = α. Dado que α


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r

2

F C E β γ β 1

α β F A B 2

γ

Figura 3: Uso de la conchoide en la triseccion del angulo

es un angulo exterior al triangulo CDE, es α = 2β y como θ = α+ β, esθ = 3β, luego hemos trisecado el angulo θ. Los griegos, a esta tecnica demover inclinaciones la llamaron vergeris.

La cisoide, atribuida a Diocles, es una curva cubica de construccion similara la conchoide y con las mismas aplicaciones, y resulta facil disenar un aparatoque la dibuja, pero no hay referencias historicas de un aparato de este tipo hastael siglo XVII, como veremos en la seccion siguiente.

2. De las conicas a las transformaciones cuadra-ticas

Hay referencias a un elipsografo atribuido por Chasles a Proclus (ver Blake[4]), este mismo aparato ha sido atribuido a Leonardo de Vinci por diversosautores (Braunmuhl [5] o Rouse Ball [31], por ejemplo) y consiste en dos barrasrıgidamente unidas con dos ranuras por las que deslizan dos pivotes de unatercera barra. Cualquier punto rıgidamente unido a esta tercera barra describeuna elipse. Un calculo elemental con coordenadas prueba que se dibuja la elipsecentrada en O con semiejes BC y AC (ver figura 4).

Tanto Leonardo como Durero disenaron aparatos para ayudarse en el trazadode ovalos, por ejemplo el de la figura 5, pero estos aparatos, desde nuestro punto


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Figura 4: Elipsografo atribuido a Proclus y Leonardo de Vinci

de vista de sistemas articulados, son sistemas libres que recorren toda una regiondel plano.

Figura 5: Aparato disenado por Durero

Nos remontaremos ahora al siglo XVII, en el que la publicacion de la Geo-metrıa de Descartes [12], en la que se describe la construccion de varias curvasalgebraicas, vuelve a dar interes a los aparatos para la construccion de cur-vas. Pese a describir numerosas curvas como lugares geometricos, Descartes solomenciona dos aparatos, uno de ellos destinado a la construccion de elipses usan-do una cuerda y otro con un doble proposito que es el que aparece en la figura 6.Consiste en dos barras Y Z, Y X que se articulan en Y el punto B esta fijo perotodos los demas son moviles, manteniendose unicamente la ortogonalidad de lasbarras transversales bien a Y Z, bien a Y X. Como el propio Descartes senala endos puntos diferentes de su obra, el aparato tiene una doble aplicacion:


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Figura 6: Aparato disenado por Descartes

1. Los triangulos ABC, ACD, ADE, AEF, AFG, AGH son semejantes yen consecuencia se tiene la proporcion continua:

BC

CD=CD

DE=DE

EF=EF

FG=FG

GH.

Por tanto este aparato proporciona raıces cubicas y se puede usar para laduplicacion del cubo y la triseccion del angulo.

2. El punto B describe una circunferencia pero los puntosD,F yH describen

curvas progresivamente mas complicadas. Si llamamos θ al angulo ZY Xy a = Y B, la ecuacion en polares de la curva descrita por D es:

Y D = a+BD = a+BC tan θ = a+ a tan2 θ

Es decir es la curva cuartica, muy parecida a la cuadratriz:

y4 = a2(x2 + y2).

Un seguidor de Descartes, Franz von Schooten el joven (1615 - 1668), pre-senta numerosos aparatos para dibujar conicas en su tratado “De organica coni-carum sectionum in piano descriptione tractatus”publicado en 1675, el primerode ellos (ver figura 7), aunque es aparentemente diferente del de Proclus - Leo-nardo de Vinci, esta basado en el mismo principio. Si tomamos dos barras de lamisma longitud OP y PQ articuladas en P y sujetas por O a una barra fija porla que desliza Q, cualquier punto X de la barra PQ, diferente de sus extremos,describe una elipse. En efecto, si situamos una barra virtual ortogonal a la OPen 0 y anadimos otra barra virtual identica a la PQ a partir de P , tenemos elprimer elipsografo, la barra de longitud fija 2a que se apoya en dos barras fijas.

Tambien se debe a von Schooten un hiperbolografo que ya esta basado en ladescripcion de la hiperbola como lugar geometrico de los puntos cuya diferencia


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Figura 7: Primer elipsografo de von Schooten basado en el mismo principio delde Proclus-Leonardo

Figura 8: Hiperbolografo de von Schooten basado ya en la definicion habitual dehiperbola


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Figura 9: Casos no degenerados del teorema de von Schooten

de distancias a dos fijos es constante. En el aparato (ver figura 8) los puntos Ay B son fijos, la distancia AB coincide con PQ y AP = PQ, entonces M es elpunto medio de los dos segmentos AB y PQ, en consecuencia:

XP = XQ y XA−XB = XA−XP = AP

y el punto X traza una hiperbola.Von Schooten construye tambien tres tipos de compases deslizantes basados

en el siguiente resultado elemental:

Teorema 1.– Von Schooten. Si un rombo articulado ABCD tiene fijo elpunto A y el punto C se mueve en una circunferencia de radio r centrada enotro punto fijo O, el punto de corte de la recta OC con la diagonal del romboBD describe una conica. Esa conica es una elipse si r < OA, es una hiperbolasi r > OA y degenera en un punto si r = OA. Si C describe una recta (quese puede considerar como una circunferencia de radio infinito), P describe unaparabola.

Al estar situado P sobre la diagonal BD del rombo PC = PA se puedendar tres casos (ver figura 9);

1. Si r > OA, P esta siempre entre O y C y:

PO + PA = PO + PC = OC = r,

por tanto P describe una elipse.

2. Si r < OA, C esta siempre entre O y P y:

PO − PA = PO − PC = OC = r,

por tanto P describe una hiperbola.


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Figura 10: Compases deslizantes (conicografos) de von Schooten

3. Si r = OA, OA = OC ⇒ O ∈ BD ⇒ P = OC ∩ BD = O y P no semueve.

En el caso en que C describa una recta Γ, que se puede considerar una circunfe-rencia de radio infinito con centro en el punto del infinito de la perpendicular aΓ por A, la recta OC es la perpendicular a Γ por C y si P es el punto de cortede OC con la diagonal BD, como P esta en la diagonal BD es PC = PA ycomo PC es perpendicular a Γ, es:

dist(P,Γ) = PC = PA

y en consecuencia P describe una parabola.En la figura 10 se pueden ver los conicografos construidos por van Schooten

aplicando el teorema anterior.Isaac Newton (1642 - 1727) describe en su Enumeratio Linearum Tertii Ordi-

nis [28] setenta y dos tipos de curvas de tercer grado, de entre ellas destacaremosla estrofoide por sus conexiones con la cisoide de Diocles a la que ya hemos he-cho referencia. Segun R. Clare Archibald [6], el primero que estudio esta curvafue Isaac Barrow (1630 - 1677), maestro de Newton, aunque el nombre se debe aMontucci ya en el siglo XIX. Barrow describe la estrofoide de la forma siguiente:

Dados un punto O y una recta r que no pasa por O, una recta variable spor O corta a r en un punto Os, si O

′ es el pie de la perpendicular a r porO, se toman los puntos Xs, Ys sobre s tales que OsXs = OsYs = OsO′. Ellugar descrito por los puntos Xs e Ys es la estrofoide (ver figura 11).

La ecuacion de la estrofoide es facil de obtener, en coordenadas polares con poloO, semieje positivo OO′ y unidad de longitud OO′ son:

ρ = OYs = OOs −OsYs = OOs −OsO′ =1

cosα− tanα.


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Figura 11: Cisoide, estrofoide y fundamentacion del sistema articulado de New-ton que las dibuja

Al pasar a implıcitas, teniendo en cuenta los dos puntos Xs, Ys se obtiene:

x = ρ cosα = 1± sinα = 1± y

ρ⇒ ρ(x− 1) = ±y ⇒ (x2 + y2)(x− 1)2 = y2.

La ecuacion es divisible por x y llevando el origen a O′ resulta:

y2(1 + x)− x2(1− x) = 0.

La cisoide de Diocles tiene tambien una descripcion clasica (ver figura 11):

Dado un punto R en una circunferencia Γ, se toma la recta r tangente a Γen el punto diametralmente opuesto a R, una recta variable s por R cortaa r en un punto Bs y a Γ en un segundo punto As, el lugar de los puntos

Xs tales que−−−→AsBs =

−−→RXs.

De nuevo en polares, con origen en R semieje positivo RP y unidad RP , laecuacion de la cisoide es:

ρ = RXs = AsBs = RBs −RAs =1

cosα− cosα.


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Figura 12: Reproduccion del sistema articulado de Sturm y de su fundamentoteorico

y en la referencia cartesiana con origen en R y la orientacion usual, la ecuacionimplıcita es:

x3 + y2(x+ 1) = 0.

En 1689 J.Ch. Sturm (1635 - 1703), en su Mathesis Enucleata [37], describeun sistema articulado para dibujar la cisoide (ver la figura 12). Manteniendo su

notacion, el punto H esta en las cisoide de vertice D si y solo si−−→DH =

−−→FP ,

por proyeccion sobre el eje x, esto sucede si y solo si DG = KC y por simetrıade la circunferencia, esto es equivalente a GE = KF . Entonces, en el sistemaarticulado de Sturm, las barras [DF ] y [CE] estan forzadas a cortarse en el ejey, el punto E esta forzado a moverse en la circunferencia y la barra [EG] semantiene perpendicular al eje x, de este modo el punto H de corte de las barras[EG] y [DF ] describe la cisoide.

Newton cito la cisoide en su Arithmetica Universalis [28], como un ejemplodel uso de curvas, por parte de los matematicos clasicos griegos, para resolverproblemas de tercer grado. De nuevo la cito junto con la estrofoide en su Enume-ratio Linearum Tertii Ordinis [26] y diseno un aparato muy simple para dibujarambas curvas (ver figura 13).

El sistema de referencia [EFGH] esta formado por dos barras fijas ortogona-les [EF ] y [GH]. La parte movil esta formada por dos barras rıgidas formandoangulo recto, [AB] y [BC], este sistema se mueve de modo que el vertice Arecorre el eje [EF ] y la barra [BC] pasa por un punto fijo D de la barra [GH]tal que HD = AB, entonces el punto B describe la estrofoide y el punto medioM de la barra [AB] describe la cisoide. Algunos autores llaman estrofoides atodas las curvas descritas por los puntos de la barra [AB].

El fundamento del sistema esta en la parte izquierda de la figura 11, en lugarde una prueba usando geometrıa clasica, facil pero mas larga, podemos deducirdirectamente las ecuaciones:


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Figura 13: Sistema articulado de Newton y dibujos de la cisoide y la estrofoide

Para la curva trazada por Q (parte superior de la figura 11), tomandoOA = PQ = 1 es:

x = sin θy = (1− x) tan θ

}⇒ y = (1− x)

x√1− x2

⇒ y2(1 + x) = x2(1− x)

y la curva es la estrofoide.

Para la curva trazada por Q en la parte inferior de la figura 11. Lostriangulos (POS) y (ATS) son iguales, luego OS = ST y al ser Q y R lospuntos medios de los segmentos de longitud 1, [PT ] y [OA], SQ = SR y

en consecuencia SQR = SRQ y llamando α a este angulo, es OSP = 2α,y en consecuencia θ = π/2 − 2α. Entonces las ecuaciones de la curvaası construida son:

x = 1

2− 1

2. sin θ = 1

2(1− cos(2α)) = sin2 α

y = x tanα = x sinα√1−sin2

}⇒ y2(1−x) = x3

y la curva es la cisoide.

Newton en sus Principia [27] dio una descripcion organica de una conica,que es lo mismo que un sistema articulado para trazarla (ver la figura 14):

Dos angulos de magnitud fija giran sobre dos pivotes situados en sus vertices.Uno de los brazos del primer angulo corta a uno de los brazos del segundo en


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Figura 14: Reconstruccion de un conicografo de Newton, junto al dibujo originaldel texto de los Principia de 1687

un punto que traza una lınea recta, entonces el lugar de la interseccion de losotros dos brazos traza una conica. (Libro I, Lema 21)

Desde la optica de la geometrıa proyectiva, el fundamento teorico de la cons-truccion es simple (figura 14). Dentro de un haz plano de rectas de vertice Pla correspondencia gP,θ que asocia a cada recta la que forma con ella un anguloorientado fijo θ es una proyectividad, entonces, si los angulos dados con verti-ces C y B son respectivamente α y β y si la recta descrita por el punto deinterseccion de los dos primeros brazos es r, la composicion de proyectividades:gB,βπrgC,α, donde πr es la composicion de la seccion por r y la proyeccion desdeB, es una proyectividad entre los haces de vertices C y B, y los puntos de cortede rayos homologos forman una conica.

Este lema tiene como consecuencia inmediata que por cinco puntos del planoen posicion general pasa una unica conica, resultado conocido, en la matematicainglesa, por Teorema de Braikenridge - McLaurin. Tanto C. McLaurin (1698 -1746) como W. Braikenridge (1700 - 1768) se adjudicaron este resultado y sugeneralizacion en una agria polemica bien narrada en [35].

McLaurin (ver figura 12) considera un caso particular de la construccion deNewton, con los angulos α = β = π/2, con lo cual su construccion sigue siendometrica, pero prueba que si el punto de interseccion de dos de los brazos recorreuna curva de grado d, el de los otros dos recorre una curva de grado 2d, es decir,tecnicamente se da cuenta de que esta manejando una transformacion cuadrati-ca. Ademas observa que las conicas transformadas de rectas son exactamentelas que pasan por tres puntos y que si transforma una conica que pasa por losvertices de los angulos, el transformado es otra conica mas una recta doble.

Se pueden obtener las ecuaciones de la transformacion. Si los angulos tienencomo vertices O y P y elegimos una referencia metrica con origen en O y con


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Figura 15: Sistema articulado de McLaurin, el transformado de una elipse esclaramente una curva de cuarto grado

−−→OP de coordenadas (1, 0), X tiene de coordenadas (x1, x2) y su transformadoY , (y1, y2), es:

−−→OX ⊥ −−→

OY ⇒ −−→OX.

−−→OY = 0 ⇒ (x1, x2).(y1, y2) = 0 ⇒ x1y1 + x2y2 = 0,−−→

PX ⊥ −−→PY ⇒ −−→

PX.−−→PY = 0 ⇒ (x1 − 1, x2)(y1 − 1, y2) = 0 ⇒ x1 + y1 = 1.

En consecuencia se obtiene:{y1 = 1− x1y2 = x1x2

x1−1,

que corresponde a la transformacion proyectiva involutiva:

β0 = α0(α1 − α0)β1 = −(α1 − α0)

2

β2 = α1α2.

Por el contrario, la construccion de Braikenridge (ver figura 16) es puramenteproyectiva. Por tres puntos fijos no alineados del plano B1, B2, B3 se hacen pasartres rectas variables r1 por B1, r2 por B2 y r3 por B3, llamamos A1 = r2 ∩ r3,A2 = r1 ∩ r3 y A3 = r2 ∩ r1 y forzamos a A1 a recorrer una recta fija r que nopasa por ninguno de los puntos fijos. Braikenridge prueba que si A2 recorre unacurva de grado d, A3 describe una curva de grado 2d

La prueba del resultado es tambien proyectiva, es claro que si A2 recorre unarecta s, tenemos una proyectividad del haz de vertice B1 en el haz de vertice B2

por seccion con r proyeccion desde B3, seccion por s y proyeccion desde B2 ylos puntos A2 son las intersecciones de rayos homologos en esta proyectividad,luego describen una conica. La transformacion es pues cuadratica.

En terminos analıticos, si elegimos una referencia de rectas:

R = {B2 +B3, B1 +B3, B1 +B2, r}


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Figura 16: Transformacion de Braikenridge

las coordenadas proyectivas de B1, B2, B3 son respectivamente [1, 0, 0], [0, 1, 0],[0, 0, 1] y la recta r tiene la ecuacion x0 + x1 + x2 = 0. Entonces. si A2 tienecoordenadas [α0, α1, α2], r3 = B3+A2 tiene por ecuacion α1x0−α0x1 = 0, A1 =r3∩r, tiene por coordenadas [−α0,−α1, α0+α1], r2 = A1+B2 tiene la ecuacion(α0+α1)x0+α0x2 = 0, y como r1 = A2+B1 tiene la ecuacion α2x1−α1x2 = 0,el punto A3 = r1 ∩ r2 tiene coordenadas [α0α2,−α1(α0 + α1),−α2(α0 + α1)].

Luego las ecuaciones de la transformacion son:

β0 = α0α2

β1 = −α1(α0 + α1)β2 = −α2(α0 + α1).

La transformacion de McLaurin es la base para una nueva construccionmetrica de Victor Poncelet (1788 - 1867), que posteriormente generaliza a unaconstruccion puramente proyectiva de las transformaciones cuadraticas involu-tivas. La primera construccion de Poncelet (ver figura 17) parte de dos circun-ferencia exteriores una a la otra y asocia a cada punto X el punto de corte desus polares respecto a las dos circunferencias. Su construccion generaliza la deMcLaurin, que corresponde al caso particular de dos circunferencias de radiocero, reducidas por tanto a sus centros. Posteriormente Poncelet substituye lascircunferencias por dos conicas, y por la linealidad de la polar observa que lacorrespondencia se puede asociar al haz de conicas que generan dichas dos coni-cas, de modo que define la correspondencia asociada a un haz de conicas queasigna a cada punto del plano la interseccion de sus polares respecto a todas lasconicas del haz, pero esta ya es otra historia.


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Figura 17: Transformacion de Poncelet

Figura 18: Mecanismo de Watt, en las proximidades de su centro traza aproxi-madamente una lınea recta

3. ¿Como dibujar una recta?

A.B. Kempe (1849 - 1922) publico en 1877 un curioso libro, de cuyo tıtulohemos sacado el de esta seccion, en el que hace un estudio sistematico de al-gunos tipos de sistemas articulados. Observa en primer lugar que con sistemascompuestos por una o dos barras, con solo un grado de libertad, solo se pue-den dibujar cırculos y que los sistemas interesantes son ya los de tres barras, yel primero de ellos el de Watt. El ingeniero J. Watt (1736 - 1819) patento susistema articulado (ver figura 18) en 1784 como un mecanismo para producirun movimiento paralelo a una direccion de referencia, esencial para controlarel movimiento en lınea recta de un piston. En su ancianidad lo consideraba suinvento mas interesante:

Although I am not over anxious after fame, yet I am more proud of the


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Figura 19: Mecanismo de Evans, a la izquierda el transformado de una recta porE, a la derecha el de una circunferencia

parallel motion than of any other invention I have ever made. (Carta de Watta su colega M. Boulton)

Y aunque se considera el primer metodo de dibujar aproximadamente unsegmento de recta, Watt nunca considero que su invencion, con enormes aplica-ciones practicas, estuviese destinada a ese fin.

En la misma lınea de simplicidad del mecanismo de Watt se encuentra unmecanismo que genera un movimiento conocido por saltamontes, hay dudassobre la primera vez que se utilizo y sobre su autor, Ferguson [14] lo atribuye alingeniero inventor de la maquina de vapor de alta presion Oliver Evans (1765-1819).

El sistema articulado [EHNF ] (ver figura 19), esta compuesto por dos ba-rras, EH y NF articuladas en el punto medio H de NF y tales que EH =

NH = HF . Entonces−−→HF = −−−→

HN y se verifica que:

−−→EF.

−−→EN = (

−−→EH +

−−→HF ).(

−−→EH −−−→

HF ) = (−−→EH)2 − (

−−→HF )2 = 0.

En consecuencia si F se mueve en una lınea recta que llega a E, N describela recta ortogonal a ella por E. Y es facil ver que si F describe una circunferenciade centro E, tambien lo hace N . Sin embargo la transformacion que lleva F aN no es lineal, un calculo elemental en coordenadas lo demuestra, pero tambienhemos incluido en la figura 19 la curva trazada por N cuando F recorre unacircunferencia que pasa por E.

Hay toda una serie de modificaciones y mejoras del invento de Watt, todasaplicables a las maquinas de vapor, pero aparte hay otros que trazan exacta-mente una lınea recta, pero a los que se pueden poner objeciones practicas:

Un ingeniero ingles, J. White [40], usa en 1798 las propiedades de la hipo-cicloide (ver la figura 20). Si una rueda de radio r gira sin deslizar dentrode una circunferencia de radio 2r, el punto de la rueda que al iniciar elmovimiento esta en contacto con la circunferencia exterior se mueve enlınea recta. En efecto, al ser el radio de la circunferencia exterior doble del


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Figura 20: Mecanismo de White, el punto X recorre el diametro OA

de la interior, la longitud del arco AB, que coincide con la del arco XBporque la rueda gira sin deslizar, corresponde a un angulo α, y la del XBa un angulo de 2α, entonces:

−−→OX =

−−→OC +

−−→CX = (r cosα, r sinα) + (r cosα,−r sinα) = (2r cosα, 0).

White recibio en 1801 un premio por su invento concedido por NapoleonBonaparte.

La segunda construccion permite trazar una recta pero en el espacio dedimension tres. Se debe a P.- F. Sarrus (1798 - 1861), que describe enun artıculo de los Comptes Rendues [32] un sistema articulado compuestopor dos triangulos rectangulos isosceles rıgidos de lados paralelos ABC,A′B′C ′, unidos por dos pares de cuadrados rıgidos [ABP ′P ], [A′B′P ′P ],y [BCQ′Q], [B′C ′Q′Q], la figura esta articulada a modo de bisagras enAB, PP ′, A′B′, BC, QQ′, B′C ′, de este modo se garantiza que:

−→AP =

−−→BP ′,

−−→PA′ =

−−−→P ′B′,

−−→BQ =

−−→CQ′,

−−→QB′ =

−−−→Q′C ′,

−−→AB =

−−→PP ′ =

−−−→A′B′,

−−→BC =

−−→QQ′ =

−−−→B′C ′.

Ademas:−−→AB =

−−→PP ′ es ortogonal a

−→AP y a

−−→P ′A′ y lo mismo

−−→BC =

−−→QQ′

es ortogonal a−−→BQ y a

−−→QB′. Entonces:

−−→AA′ =

−→AP +

−−→PA′ =

−−→BP ′ +

−−−→P ′B′ =

−−→BB′

y ambos son ortogonales a−−→AB, por la misma razon:

−−→BB′ =

−−→CC ′ ⊥ −−→

BC.

Luego−−→AA′ es siempre ortogonal al plano ABC y A′ se desplaza en lınea

recta.


38

Figura 21: Mecanismo de Sarrus, el punto A recorre la recta AA′ ortogonal alplano del triangulo

El principal protagonista de la busqueda de la lınea recta durante el sigloXIX fue el matematico ruso P.L. Chebishev (1821 - 1894), quien comenzo ainteresarse en el problema en 1853 tras un viaje a Francia y trabajo en el mismodurante treinta anos. Al parecer llego a pensar que era imposible construir unmecanismo que trazase exactamente una recta:

There is a persistent rumor that Professor Chebyshev sought to demonstratethe impossibility of constructing any linkage, regardless of the number of links,that would generate a straight line; but I have found only a dubious statement inthe Grande Encyclopedie of the late 19th century and a report of a conversationwith the Russian by an Englishman, James Sylvester, to the effect that Chebyshevhad “succeeded in proving the nonexistence of a five-bar link-work capable ofproducing a perfect parallel motion...” (Ferguson [14])

La idea de Chebyshev era refinar el mecanismo de Watt para aproximar me-jor la lınea recta, y el sistema a seguir fue combinar varios mecanismos de formaque se compensaran los errores llegando a alcanzar desviaciones del orden de10−13. En la figura 22 se presenta una modificacion de Chebishev del mecanismode Watt y una combinacion de este mecanismo con el mecanismo de Evans. Elpunto M recorre aproximadamente un segmento de recta, pero realmente es unarco de una curva de grado cuatro, el punto Q transformado de M por el me-canismo de Evans recorre un arco de curva de grado ocho mucho mas proximoa un segmento de recta.

El primer sistema articulado capaz de dibujar en el plano una lınea recta sedebe a C.N. Peaucellier (1832 - 1913) capitan de ingenieros del ejercito francesy antiguo alumno de la Ecole Polytechnique. En una carta al editor de losNouvelles Annales de Mathematiques [29] define el compas compose, en esenciael sistema articulado, y propone construir uno capaz de dibujar circunferenciasde gran diametro, rectas y conicas. De las ultimas frases de su carta parecededucirse que ya disponıa del citado compas. Sin embargo no publica en la


J.M. Aroca 39

Figura 22: Mecanismo de Chebyshev, lo mismo que el de Watt aproxima unarecta en una pequena region

revista citada su modelo y la justificacion geometrica del mismo hasta 1873 [30],esto hace que algunos autores den la autorıa del aparato a Y.T.L. Lipkin (1843- 1875), pero los datos de Lemoine [24] zanjan la cuestion de modo definitivo:

Cette question a ete communiquee, au nom du commandant Peaucellier, parM. Mannheim, a la seance de la Societe Philomathique de Paris du 20 juillet1867. M. Peaucellier l’avait deja posee dans les Nouvelles Annales de Mathema-tique, 2e serie, t. III, p. 414, 1864; il en a, de plus, applique le principe a unappareil pour mesurer les distances, qui se trouve decrit dans le Memorial del’Officier du Genie, no 18, annee 1868. Ces details historiques sont necessaires,parce que M. Lipkin donne, en aout 1871, le meme theoreme dans la Revue Uni-verselle des Mines et de la Metallurgie de Liege, vol. XXX. (E. Lemoine [24]).

Ambos obtuvieron premios en su tiempo por el invento. Kempe [20] aseguraque:

His discovery (de Peaucellier) was not at first estimated at its true value, fellalmost into oblivion, and was rediscovered by a Russian student named Lipkin,who got a substantial reward from the Russian Government for his supposedoriginality. However, M. Peaucellier’s merit has at last been recognized, and hehas been awarded the great mechanical prize of the Institute of France, the “PrixMontyon.”

El compas compose de Peaucellier, del que se presentan dos versiones en lafigura 23, es un aparato que reproduce la transformacion geometrica llamadainversion. Esta formado por un rombo articulado con lados de longitud r enlos vertices [ACBD] con dos barras de igual longitud R articuladas entre si poruno de sus extremos O y articuladas por el otro a vertices opuestos del romboC y D. De este modo el producto de distancias desde O a los vertices A y B esla potencia de O respecto a la circunferencia de centro C y radio r y por tanto:

d = OA.OB = OE.OF = R2 − r2.


40

Figura 23: Dos formas del inversor de Peaucellier, la superior es un modelo delConservatoire National des Arts et Metiers y la inferior es una ilustracion dellibro de Kempe

En consecuencia la transformacion del plano que lleva el punto A al B es lainversion de polo O y razon d y transforma las circunferencias que pasan porO en rectas, luego anadiendo una nueva barra de longitud l con un extremoarticulado en un punto fijo a distancia l del punto O, tambien fijo, y con el otroextremo articulado en A, se fuerza a A a recorrer una circunferencia por O y suinverso B se desplazara a lo largo de una recta.

J.J. Sylvester (1814 - 1897) se entusiasmo con el inversor del que afirmaba[38]:

The perfect parallel motion of Peaucellier looks so simple, and moves so easilythat people who see it at work almost universally express astonishment that itwaited so long to be discovered. But I wonder the more that it was ever foundout, and can see no reason why it should have been discovered for a hundredyears to come.

Ademas, y para poner de manifiesto las aplicaciones practicas del aparato,Sylvester senalaba que el celebre arquitecto Penrose habıa fabricado una bombadomestica con un piston controlado por un inversor y cuyo movimiento eraen perfecta lınea recta, y que del mismo modo se puede disenar una cisternaperfecta para el inodoro. Tambien se usaba un inversor en:

certain machinery connected with some new apparatus for the ventilationand filtration of the air of the Houses of Parliament. In due course, Mr. Prim,


J.M. Aroca 41

Figura 24: Ventilador de la Camara de los Comunes

(engineer to the Houses) was pleased to show his adaptation of the Peaucellierlinkage to his new blowing engines, which proved to be exceptionally quiet intheir operation. (Sylvester [38])

En los ultimos anos del XIX se inventan numerosas mejoras y variantes delinversor, algunas tan complejas como un sistema articulado de Sylvester com-puesto por 78 barras y capaz de trazar el segmento que une dos puntos dados.Pero resulta especialmente interesante, sobre todo por sus aplicaciones integradoen mecanismos mas complejos, el inversor inventado por H. Hart (1848-1920).

El inversor de Hart es simplemente un antiparalelogramo (ver figura 25),consta de 4 barras iguales dos a dos, de longitudes L y l < L, articuladasen sus extremos formando un cuadrilatero no convexo [ABCD], los triangulos[ADB] y [CBD] son iguales por tener los tres lados iguales, y en consecuencia

DAB = DCB, ABC = ADC y [ADE] = [CBE], [ADC] = [CBA]. Ademas lostriangulos [ODY ] y [ADC] son semejantes, como lo son los [OAX] y [DAB].

En consecuencia:

OY

AC=OD

AD,OX

DB=OA

AD⇒ OY

AC

OX

DB=OD

AD

OA

AD.

Los cocientes OD

AD= λ y OA

AD= 1−λ son fijos en el aparato. Y por el teorema

Figura 25: Inversor de Hart


42

de Pitagoras:

l2 = BC2= BP

2+ PC

2, L2 = AB

2= AP

2+BP

2,

luego

L2 − l2 = AP2 − PC

2= AC.DB

y por lo tantoOX.OY = λ(1− λ)(L2 − l2) = cte

y la transformacion que lleva X a Y es una inversion.En su artıculo ya citado de los Nouvelles Annales [30], Peaucellier emplea

un argumento heurıstico que abre la puerta, como conjetura, al impresionanteteorema de Kempe que sera objeto de la proxima seccion:

La ligne que parcourt un point quelconque guide par une combinaison depieces articulees est necessairement algebrique. On concoit que, reciproquement,toute courbe algebrique puisse etre engendree a l’aide d’un systeme articule con-venablement choisi.

4. El teorema de Kempe (Clasico)

A. B. Kempe (1849 - 1922) dio en 1875 una primera prueba (ver [19]),con un error leve en la construccion de dos de los aparatos, de la conjeturade Peaucellier. Su demostracion es, como veremos a continuacion, muy simpledesde el punto de vista conceptual pero enormemente complicada de llevar acabo en la practica para representar curvas concretas. Kempe era consciente deeste hecho, hablando de su prueba escribıa [19]:

... there is a way of drawing any given case; and the variety of methods ofexpressing particular functions that have already been discovered renders it inthe highest degree probable that in every case a simpler method can be found.There is still, therefore, a wide field open to the mathematical artist to discoverthe simplest link-works that will describe particular curves

El enunciado del teorema es el siguiente:

Teorema 2.– Kempe. Dada una curva algebraica real plana f(x, y) = 0 y unpunto P de ella, existen un entorno Ep de P y un sistema articulado S tal quemientras un punto de S recorre un segmento de lınea recta, otro punto de Sdescribe la interseccion de la curva con EP .

La prueba del teorema se hace partiendo de la ecuacion de la curva:

f(x, y) =

i+j=d∑

i+j=0

fijxiyj = 0,

haciendo un cambio de variables:

{x = a cosϕ+ b cosψy = a sinϕ+ b sinψ,


J.M. Aroca 43

donde las variables son ϕ y ψ y a y b son parametros a fijar posteriormente, setiene:

0 = f(x, y) =

i+j=d∑

i+j=0

fij(a cosϕ+ b cosψ)i(a sinϕ+ b sinψ)j

=

i+j=d∑

i+j=0

fij

(i∑

r=0

(i

r

)arbi−r cosr ϕ cosi−r ψ

)(j∑

s=0

(j

s

)asbj−s sins ϕ sinj−s ψ

)

=

i+j=d∑

i+j=0

fij

(r=i,s=j∑

r=0,s=0

(i

r

)(j

s

)ar+sbi+j−r−s cosr ϕ cosi−r ψ sins ϕ sinj−s ψ

).

Podemos transformar esta formula usando las relaciones trigonometricas:

sinα = cos(π2− α).

cosα cosβ = 1

2(cos(α+ β) + cos(α− β)).

Para n impar:

cosn α =2

2n

n−1

2∑

k=0

(n

k

)cos ((n− 2k)α).

Para n par:

cosn α =1

2n

(nn2

)+

2

2n

n

2−1∑

k=0

(n

k

)cos ((n− 2k)α).

Con ellas transformamos todas las funciones trigonometricas en cosenos y redu-cimos las potencias a cosenos de combinaciones lineales con coeficientes enterosde ϕ, ψ y π/2 y reduciendo modulo π se obtiene una expresion del tipo:

f(x, y) = E +∑

1≤r+s≤d

(Ars cos(rϕ+ sψ) +Brs cos(rϕ− sψ)

+ Crs cos(rϕ+ sψ − π

2

)+Drs cos

(rϕ− sψ − π

2

))= 0,

donde los coeficientes E,Ars, BrsCrs son polinomios en a y b. Se tata ahora deconstruir un punto K cuya primera coordenada sea:

∑

1≤r+s≤d



2

)+Drs cos

(rϕ− sψ − π

2

))= f(x, y)− E.


44

Figura 26: El transformador de coordenadas, transforma las coordenadas carte-sianas en trigonometricas

Figura 27: Cuatro juegos de coordenadas trigonometricas del mismo punto

Recordemos que partıamos de un punto C de coordenadas:

(x, y) = (a cosϕ+ b cosψ, a sinϕ+ b sinψ).

Entonces si el punto C recorre la curva f(x, y) = 0, la abscisa de K sera E,es decir al recorrer K la recta x = E, C recorrera la curva f(x, y) = 0, y soloqueda explicar como construir K y como determinar los valores adecuados de ay b.

Veamos en primer lugar los aparatos necesarios para construir K:

El transformador de coordenadas: Consiste en un paralelogramo articulado[OACB] (ver figura 26) con un vertice fijo en el origen O y lados de longitudes

a = OA y b = OB, es claro que si AOD = ϕ, BOD = ψ, las coordenadas de Cson:

x = OE = OD +DE = OA cosϕ+AB cosψ = a cosϕ+ b cosψy = EC = EF + FC = OA sinϕ+AB sinψ = a sinϕ+ b sinψ

El problema es la no unicidad global de las coordenadas trigonometricas, enla figura 27 se muestran cuatro juegos de coordenadas distintos para un mismo


J.M. Aroca 45

Figura 28: El trasladador lleva el vector de origen A y extremo C a la posicioncon origen en G

punto C. Es facil apreciar que estas coordenadas corresponden a un cambio deconfiguracion del paralelogramo, y para cambiar de configuracion el paralelo-gramo debe pasar por el alineamiento de sus cuatro vertices. Las situaciones dealineamiento se producen cuando la distancia de C a O es a + b, o cuando esb− a. Suponemos b ≥ a porque en caso contrario las coordenadas trigonometri-cas estan definidas solamente si C esta en una corona circular centrada el origenO. Entonces el problema es unicamente elegir a y b para que el punto C, encuyo entorno queremos dibujar la curva, este en el cırculo abierto de centro enO y radio a + b y no este sobre la circunferencia de centro en O y radio b − a,estas lıneas limitaran tambien el entorno del punto C en que podremos dibujarla curva.

El trasladador: Es el sistema articulado que permite trasladar vectores, constade cuatro paralelogramos [ABED], [DEHG], [BCFE], [EFHI], cada dos deellos con un lado comun, y tales que AB = BC (ver figura 28). Con ellosesta garantizado que:

−−→AB =

−−→DE =

−−→GH,

−−→BC =

−−→EF =

−→HI

y, en consecuencia:

−→AC =

−−→AB +

−−→BC =

−−→DE +

−−→EF =

−−→DF =

−−→GH +

−→HI =

−→GI.

De este modo, si queremos trasladar un vector v, basta colocar A en el origendel vector y C en su extremo, lo cual es posible si |v| < 2AB. A continuacionllevamos G al nuevo origen, que debe estar situado a distancia menor que 2AD

de A y el vector−→GI es el trasladado de v al punto G.

El problema, no previsto por Kempe, de esta construccion es que los para-lelogramos pueden cambiar de configuracion tal como senalamos al hablar deltransformador de coordenadas, pero se puede evitar este problema colocandouna barra intermedia en la forma representada en la figura 29.

El girador: El girador es un paralelogramo [ABCD] (ver figura 30) con dos de


46

Figura 29: La colocacion de una barra intermedia evita el cambio de configura-cion del paralelogramo

Figura 30: Girador

sus lados [AB] y [AD] ranurados, y una diagonal [AC] ranurada y fija en A, porlas ranuras de los lados deslizan cuatro barras con un punto comun I forzado adeslizar por la barra [AC], las barras [IE] e [IG], con los extremos E y G en ellado [AB] y las barras [IF ] e [IH] con sus extremos F y H en la barra [AD],verificando ademas que:

IE = IF , IG = IH.

Por simetrıaAG = AH, EG = FH,

por tanto el girador permite girar un vector con origen en A de modulo menoro igual que AB cualquier angulo, sin mas que desplazar el vertice I hasta que

H se situe en el extremo del vector y luego desplazar C hasta que DAB sea el


J.M. Aroca 47

Figura 31: Duplicador o reversor de angulos y triplicador

angulo deseado, ası−→AG sera el vector girado. Del mismo modo se puede girar

cualquier segmento [FH] el angulo DAB.

Los multiplicadores de angulos: Los procesos de sumar angulos y multi-plicarlos por enteros se pueden efectuar por medio de giradores, pero hay otraconstruccion por medio de antiparalelogramos que detallamos a continuacion.

Los multiplicadores son cadenas de inversores de Hart semejantes, en lafigura 31 se representan un aparato para duplicar angulos y otro que los triplica,expliquemos el fundamento del primero:

Los antiparalelogramos [ABCD] y [ADEF ] (ver figura 31) estan enlazadosde modo que el vertice D es comun y el lado [DC] del primero esta sobre ellado [DE] del segundo. Se han construido ademas para que sean semejantes, esdecir:

AB

AD=AD

DE,

en consecuencia los triangulos [ABC] y [CDA] son iguales y semejantes a lostriangulos, tambien iguales, [ADE] y [EFA]. En consecuencia:

β = CAD = ACB = AED = EAF

y por ser angulos exteriores de triangulos

2β = AGB = AHD

luego:

α = BAD = DAF .

Y esta relacion se mantiene para cualquier angulo que se coloque en BADsiempre que no varıe la configuracion del antiparalelogramo. Veremos luego comoevitarlo.


48

Figura 32: El sumador de angulos es un sistema de dos duplicadores con un ladocomun

El triplicador sigue el mismo principio, basta enlazar al segundo antiparale-logramo un tercero en la misma forma en que enlazamos el segundo al primero.Ası sucesivamente se pueden enlazar cualquier numero de antiparalelogramos yconstruir nα para cualquier angulo α y cualquier entero n.

El sumador de angulos: El sumador de angulos es un sistema compuesto pordos duplicadores: [AKLD], [ANMD] y [ABCD], [ADEF ] con un lado [AD]comun (ver figura 32). De esta forma:

β = NMD = NAD = DAK

α = FED = FAD = DAB

y se obtiene:

α+ β = FAK = NAB, α− β = FAN = KAB.

El funcionamiento correcto de los sistemas que operan con angulos requiereevitar los cambios de configuracion de los antiparalelogramos, para evitarlos hayque anadirles cuatro barras articuladas en un vertice O y en los puntos mediosde los lados [OP ], [OQ], [OR], [OS] (ver figura 33), tales que:

OP = OS = r, OQ = OR = s.

En virtud del resultado probado al hablar del inversor de Hart, teniendo encuenta que P y S son ahora los puntos medios de los lados, la razon de lainversion asociada con centro P (o con centro S) es

ρ =1

4(L2 − l2), l = AB, L = BC.


J.M. Aroca 49

Figura 33: Se puede evitar que el antiparalelogramo cambie de configuracion

Ademas por ser rectangulos los triangulos [OTQ], [OTP ] es:

r2 = OP2= OT

2+ TP

2, s2 = OQ

2= OT

2+ TQ

2,

restando ambas igualdades:

r2 − s2 = TP2 − TQ

2= (TP + TQ)(TP − TQ) = PR.PQ = ρ

P,Q,R, S estan siempre alineados

PQPR = SRSQ = L2−l2

4= r2 − s2

La posicion lımite, que no se puede sobrepasar sin que se tenga la posibilidad decambiar de configuracion, se alcanza cuando los cuatro vertices estan alineados,esta posicion es accesible si:

2r ≥ L+ l, 2s ≥ L− l.

Por tanto para que no sea accesible esta posicion limite:

2r < L+ l, 2s < L− l.

Entonces basta con construir las barras con esta propiedad (de hecho basta conla condicion sobre s para que no haya problemas).

Una vez construidos estos sistemas articulados la construccion de Kemperesulta evidente. Se trata de construir un vector, a partir del punto dado P dela curva cuya abscisa sea:

(∗)∑

1≤r+s≤d



2

)+Drs cos

(rϕ− sψ − π

2

)).

Procedemos en las etapas siguientes:


50

Construimos un transformador de coordenadas [OAPB] con origen en Oy extremo en P , si E es un punto del semieje positivo de abscisas, losangulos de partida son:

EOA = ϕ, EOB = ψ,

a y b se eligen, como dijimos antes, en funcion del entorno de P en que sequiere dibujar la curva.

Construimos multiplicadores de angulos para ϕ, partiendo de [OA] paratodos los multiplos de ϕ que aparecen efectivamente (es decir con coefi-ciente distinto de cero) en (∗), y lo mismo para [OB] y ψ, hay que tener encuenta que si los dos lados iniciales de un multiplicador tienen longitudesu y v y u/v = t > 1, la longitud del lado del n-esimo antiparalelogramoes tn−1v.

Con los sumadores construimos para cada par (r, s) con coeficiente Ars,Brs, Crs, Drs no nulo vectores

ars, brs, crs, drs

respectivamente, sobre las rectas por el origen que formen angulos:

rϕ+ sψ, rϕ− sψ, rϕ+ sψ − π

2, rϕ− sψ − π

2

respectivamente con el semieje positivo de abscisas, si el coeficiente es

positivo de modo que el angulo orientado con el vector−−→OE sea el dado y

si es negativo que el angulo sea el dado mas π.

Construimos en la direccion de esos vectores barras de longitudes |Ars|,|Brs|, |Crs|, |Drs|.

Con trasladadores vamos llevando las barras una a continuacion de otra yel extremo final es el punto buscado.

El proceso es enormemente complicado, en [33] se puede ver la construc-cion detallada del sistema articulado que dibuja una conica, de modo que secomprende la frase ya citada de Kempe:

... renders it in the highest degree probable that in every case a sim-pler method can be found

que deja abierto un interesante problema.

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Sistemas articulados. Teorema de Kempe