Sistema de Projeção e Orientação Das Plantas Topográficas

7/22/2019 Sistema de Projeo e Orientao Das Plantas Topogrficas

1/17

COBRAC 98 Congresso Brasileiro de Cadastro Tcnico Multifinalitrio UFSC Florianpolis 18 a 22 de Outubro de 1998

Sistema de Projeo e Orientao das Plantas Topogrficas

Silvio Jacks dos Anjos Garns

Curso de Ps-Graduao em Cincias GeodsicasCentro Politcnico - Jardim das Amricas

81531-990 Curit iba - PR

[email protected]

Resumo: O levantamento e mapeamento das reas rurais do pas para fins deescriturao, em sua quase totalidade tem sido realizado pelo processo da poligonaotopogrfica e as plantas elaboradas com caracter apenas relativo. S em casoseventuais, tais levantamentos eram amarrados ao Sistema Geodsico Brasileiro.Esforos conjunto da comunidade tcnica culminaram na elaborao da norma NBR13133 Execuo de levantamento topogrfico publicada em Maio de 1994. Tal normatrouxe grandes avanos, pois de certa forma faz com que haja uma homogeneizao nostrabalhos topogrficos realizados no pas. No entanto, por ser uma norma, deixa de

abordar importantes conceitos tericos estabelecidos. Com este trabalho ser resgatadoconceitos sobre: sistema de projeo topogrfica; convergncia meridiana no sistema deprojeo topogrfica; efeito do erro da direo do norte na orientao das plantas; efeitodo erro da posio geogrfica na orientao das plantas. Para ilustrar os procedimentos,um exemplo prtico ser apresentado.

Abstract: The surveying and mapping of the rural areas of our country for registerpurpose, in almost its totality has been accomplished by the process of the topographicaltraverse and the maps just elaborated with relative character. Only in eventual cases,such surveying were tied to the Brazilian Geodesic System. Effort the technicalcommunity culminated in the elaboration of the norm - NBR 13133 Execution oftopographical surveying - published 1994/May. Such norm brought great progresses,because in a certain way it allows an homogenization in the topographical works

accomplished at the country. However, for being a norm, it doesnt mention importantestablished theoretical concepts. To this work, it will be rescued concepts about: systemof topographical projection; meridian convergence in the system of topographicalprojection; effect of the error of the direction of the north in the orientation of the maps;effect of the error of the geographical position in the orientation of the maps. To illustratethe procedures, a practical example is be presented.

1. Introduo

Os levantamentos topogrficos so realizados sobre a superfcie fsica da Terra atravs deinstrumental tais como: teodolitos, trenas, medidores eletrnicos de distncia, estaes totais,rastreadores de sinais de satlites artificiais, entre outros.

Na representao desses levantamentos em planta, algum tipo de sistema de projeo

utilizado. Um tipo muito comum, principalmente para fins de Cadastro, o sistema UTM (UniversalTransversa de Mercator). Ocorre porm, que para aplicao deste sistema, as medidas realizadas nasuperfcie devem ser reduzidas ao elipside e atravs de transporte de coordenadas sodeterminadas as coordenadas dos pontos levantados. Para ilustrar alguns dos efeitos das reduo aserem consideradas no sistema UTM, suponha uma distncia de 100 m medida numa altitude de1000 m prxima do meridiano central de um dos fuso UTM. A distncia de 100 m quando reduzida aoelipside passa a ser de aproximadamente 99, 984 m e quando reduzida ao sistema UTM passa a seraproximadamente 99,944 m , ou seja , perde-se a em torno de 6 cm s com redues. Se a distnciamedida for de 1000 m s de redues tem-se 56 cm aproximadamente. Outros sistemas baseadosna projeo transversa de Mercator foram concebidos, por exemplo a RTM (Regional Transversa deMercator) e a LTM (Local Transversa de Mercator), mas apesar de minimizarem os erros de projeoem si, no alteram o conceito da reduo das observaes ao elipside e para lugares de atitudeselevadas como no exemplo ilustrado a perda por reduo continua ainda muita significativa.

Pensando nisto a comisso que elaborou a NBR 13133 introduziu no itm (3.40) da referidanorma, a definio do sistema de projeo topogrfica ou sistema topogrfico local, um dos assuntosa serem abordados neste trabalho. Tambm ser abordado: convergncia meridiana do sistema
mailto:[email protected]:[email protected]


2/17


topogrfico local, efeito do erro da direo norte na orientao das plantas e efeito do erro dalocalizao geogrfica onde este foi determinado.

2. Sistema de Projeo Topogrfica ou Sistema Topogrfico Local

Segundo consta na NBR 13133 (1994) o sistema topogrfico local tem as seguintescaractersticas:

a) as projetantes so ortogonais superfcie de projeo, significando estar o centro deprojeo localizado no infinito;

b) a superfcie de projeo um plano normal vertical do lugar no ponto da superfcieterrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimtricoreferido ao datum vertical brasileiro;

c) as deformaes mximas inerentes a desconsiderao da curvatura terrestre e arefrao atmosfrica tem as seguintes expresses aproximadas:l (mm) = - 0,004 l 3(Km)h (mm) = + 78,5 l2(Km)h(mm) = + 67,0 l2(Km)

ondel = deformao planimtrica devida a curvatura da Terra, em mmh = deformao altimtrica devida curvatura da Terra em mmh = deformao altimtrica devida ao efeito conjunto da curvatura da Terra e da

refrao atmosfrica, em mml = distncia considerada no terreno, em Km

d) o plano de projeo tem a sua dimenso mxima limitada a 80 Km, a partir da origem demaneira que o erro relativo, decorrente da desconsiderao da curvatura terrestre, noultrapasse 1/35000 nesta dimenso e 1/15000 nas imediaes da extremidade desta

dimenso;e) a localizao planimtrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de

projeo, se d por intermdio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origemcoincide com a do levantamento topogrfico;

f) o eixo das coordenadas e a referncia azimutal, que, dependendo das peculiaridades dolevantamento, pode estar orientado para o norte geogrfico, para o norte magntico oupara um direo notvel do terreno, julgada importante.

Comentrio: no item (a), no o centro de projeo que esta no infinito mas sim o ponto de vista,tambm conhecido por ponto perspectivo.

Julgou-se importante mostrar de onde vem as expresses do item (c) uma vez que estas noso to imediatas.

Determinao das expresses do Item (c)

i) Deformao Planimtrica Devida a Curvatura Da Terra (l )

R

R

l

l'

Fig. 1- Deformao Planimtrica (l)


3/17


Da (fig.1) tira-se

l = R sen (2.1)l= R (2.2)

l= l l= R (sen- ) (2.3)

Considerando os dois primeiros termos do desenvolvimento em srie da funo sen, isto

sen= -!3

3

+ e substituindo em (2.3) vem

l= R (-!3

3-) = - R

6

3. (2.4)

Elevando ao cubo a equao (2.2) e substituindo na (2.4) tem-se

l= - R3

3

R6

l= -

2

3

R6

l. (2.5)

Tomando como valor mdio para o raio da Terra R = 6 371 Km, chega-se a:

l(mm) - 0,004 l 3(Km) . (2.6)

ii) Deformao Alt imtrica Devida a Curvatura Da Terra (h)

R

R

l

h

Fig. 2 Deformao Altimtrica (h)

Da (fig.2) tira-se

(R+h)2=R2+l 2 (2.7)h2+2Rh - l 2 =0 (2.8)

A soluo exata da equao (2.8)

h = -R + 22R l+ (2.9)

Na literatura freqentemente apresentada uma expresso aproximada obtidadesprezando-se h2na equao (2.8) face sua pequenez em relao a R. Desta forma, tem-se

h =R2

2l

. (2.10)

Tomando R = 6 371 Km e aplicando na equao (2.10) resulta

h(mm) 78,5 l 2(km) (2.11)


4/17


iii) Deformao Altimtrica Devido ao Efeito Conjunto da Curvatura da Terra e da

Refrao Atmosfrica ( h)Segundo Martin (1983), na prtica a trajetria da luz de um ponto a outro na superfcie da Terra

pode ser considerada circular. Chamando R o raio desta trajetria, o efeito linear da refrao r, pode

ser obtido como segue.Do tringulo retngulo em A , (fig. 3) tira-se:

(R+r)2= R2+l 2 2Rr+r2 l 2=0. (2.12)

R

l

R'R'

r

AB

R

Fig. 3 - Efeito da Refrao (r)

Com as mesmas consideraes feitas para a equao (2.8), uma soluo aproximada

r ='R2

2l

. (2.13)

Como o raio da trajetria da luz desconhecido, utiliza-se como artifcio fazer

2k =

R'

R R =

2k

R (2.14)

sendo k denominado coeficiente de refrao. Levando a equao (2.14) em (2.13) tem-se

r =R

kl

2. (2.15)

Usando como valor mdio 2k = 0,146 e R = 6 371 Km e levando em (2.15), tem-se:

r(mm) = 10,202 l 2(Km).

O efeito conjunto da curvatura da Terra e da refrao calculada por

h = h r =R2

2l

-R

2l

k =R2

2l

(1-2k) (2.16)

Tomando 2k = 0,146 e R = 6 371 Km tem-seh 67 l2(Km) (2.17)

Obs. Segundo Gemael (1988, p.9.23) a Diretoria do Servio Geogrfico adota como valor mdiopara o Brasil 2k = 0,13.

Mencionadas e demonstradas algumas das caractersticas do sistema topogrfico local serestudado a seguir a projeo azimutal e a transformao do sistema geodsico para o sistemageodsico topocntrico os quais esto diretamente relacionados com o sistema topogrfico local.

2.1 Sistema de Projeo Azimutal Obliqua Caso Perspectivo

Para um dos objetivos deste trabalho, ser necessrio obter as frmulas de transformao decoordenadas Astronmicas (, ) para coordenadas num sistema cartesiano local (X,Y). A deduo


5/17


das frmulas ser realizada para o caso geral de qualquer tipo de projeo azimutal perspectiva eparticularizada ao caso da projeo ortogrfica. As hipteses simplificativas do problema so:

i) a Terra ser considerada uma esfera cujo raio o raio mdio de curvatura do ponto detangncia do sistema de projeo mais a altitude (geomtrica ou ortomtrica) do ponto;

ii) as verticais dos pontos passam pelo centro da esfera aproximada.

Em santos (1983, p. 62-76) apresentada uma deduo das frmulas a seguir mas com outraorientao dos eixos e em Richardus & Adler (1972, p. 146) as frmulas so as mesmas dasencontradas aqui com diferente denominao dos eixos.

Da (fig. 4) obtm-seX = CP' sen , (2.1.1)Y = CP' cos . (2.1.2)

Dos tringulos semelhantes (SCP) e (SEP) tem-se

CP'

EP=

d

SE =CP'

SE

EPd . (2.1.3)

S

d

C

E

P

PN

PS

T

QQ

Y'

X'

Y

X Rx'

y' P'

90

90

( , ) ( ,)oo

o

Fig. 4 - Sistema de Projeo Azimutal Obliqua

Do tringulo (CEP), vem=R sen , (2.1.4)EP

CE =R cos . (2.1.5)

Da (fig. 4) e da equao (2.1.5) obtm-se

SE = d + = d + R cos. (2.1.6)CELevando as equaes (2.1.4) e (2.1.6) na (2.1.3) tem-se

CP =

cosRd

senR

+d . (2.1.7)

Substituindo a equao (2.1.7) nas equaes (2.1.1) e (2.1.2) resulta

X =

cosRd

sensenR

+d (2.1.8)

Y =

cosRd

cossenR

+

d (2.1.9)


6/17


As expresses cos, sencos , e sensen, so obtidas aplicando as conhecidas frmulasda trigonometria esfrica: 4-elementos, 5-elementos e analogia dos senos respectivamente, aotringulo esfrico (PNTP), ver (fig.4).

Aplicando a frmula dos 4-elementos

cos= cos(90-0)cos(90-)+sen(90-0)sen(90-)cos()cos= sen0sen+cos0coscos() (2.1.10)

Aplicando a frmula dos 5-elementos

sencos= sen(90-0)cos(90-)+cos(90-0)sen(90-)cos()sencos= cos0sen- sen0coscos (2.1.11)

Aplicando a analogia dos senos

sen

sen =

sen

)90sen( sensen= sencos (2.1.12)

Com as equaes (2.1.10) (2.1.12) e fazendo as substituies convenientes na equao

(2.1.8) e (2.1.9) tem-se:

X =)coscoscossen(senRd

sencosR

00 ++

d , (2.1.13)

Y =)coscoscossen(senRd

)coscossen-senR(cos

00

00

++

d . (2.1.14)

As coordenadas acima correspondem as coordenadas do ponto P projetadas em um planoparalelo ao plano de tangncia, e que contm o centro da esfera. Para obter as coordenadas doplano tangente faz-se

d

Rd

X'

X += , e

d

Rd

Y'

Y += , donde

X =d

Rd+X (2.1.15)

Y =d

Rd+Y (2.1.16)

Substituindo (2.1.13) em (2.1.15) e (2.1.14) em (2.1.16) tem-se finalmente

X =)coscoscossen(senRd

)Rd(sencosR

00 +++

(2.1.17)

Y =)coscoscossen(senRd

)Rd)(coscossen-sen(cosR00

00

++ + (2.1.18)

As frmulas acima so gerais para qualquer tipo de projeo azimutal perspectiva, sendo 0,0 as coordenadas astronmicas latitude e longitude respectivamente do ponto de tangncia T. Ascoordenadas astronmicas , , so as coordenadas de um ponto P (qualquer ponto dentro do limitedo sistema), o qual deseja-se obter as correspondentes coordenadas cartesianas X,Y, em umaprojeo azimutal.

O caso de interesse para este trabalho so as frmulas de transformao para a projeoazimutal ortogrfica.

2.1.1 Sistema de Projeo Azimutal Obliqua Ortogrfica

Neste sistema o ponto de vista situa-se no infinito, as projetantes so ortogonais ao plano deprojeo, isto implica colocar d=. Levando este valor, d=, em (2.1.17) e (2.1.18) estas ficariamindeterminadas. Com o auxilio de limites, as coordenadas podem ser calculadas pela expresso


7/17


X =d

lim)coscoscossen(senRd

)Rd(sencosR

00 +++

, (2.1.21)

Y = dlim )coscoscossen(senRd

)Rd)(coscossen-sen(cosR

00

00

++

+. (2.1.22)

A indeterminao retirada dividindo o numerador e o denominador do segundo membro das(2.1.21) e (2.1.22) por d e assim, pela soluo dos limites tem-se:

X = R cos sen, (2.1.23)Y = R(cos0sen- sen0coscos) . (2.1.24)

Segundo Richardus & Adler (1972, p.67) os coeficientes de deformao deste sistema so :

m0= cos (coeficiente de deformao meridiana)m90= 1 (coeficiente de deformao transversal)

2.2 Transformao de Coordenadas

2.2.1 Transformao de Coordenadas Geodsicas Elipso idais em Geodsicas CartesianasTopocntricas

X

Y

Z

x

y z

M.G.

PN

PS

Q Q

Superfcie fsica da Terra

Sistema geodsico cartesiano Topocntrico

Sistema geodsico cartesiano geocntrico

0

0 0

Fig. 5 Sistemas Geodsicos

O interesse na transformao das coordenadas do sistema geodsico elipsoidal nascoordenadas de um sistema geodsico topocntrico est no fato da proximidade entre o sistemageodsico topocntrico e o topogrfico local. No geodsico topocntrico a cota z definida segundo adireo da normal do ponto origem do sistema e no sistema topogrfico local a cota z definidasegundo a direo da vertical no ponto origem. Uma vez encontradas as frmulas de transformao

do sistema geodsico para o sistema geodsico topocntrico, as frmulas para transformao nosistema topogrfico local so facilmente derivadas.As frmulas para transformao de qualquer ponto de coordenadas geodsicas elipsoidais

(, , H) em geodsicas cartesianas geocntricas (X,Y,Z) so facilmente deduzidas com o auxilio da(fig.5)

X = (N+H) coscos (2.2.1)Y = (N+H) cossen (2.2.2)Z=[(N(1-f)2+H] sen (2.2.3)

onde:N : raio de curvatura da seo primeiro vertical;H : altitude geomtrica de um ponto na superfcie da Terra;f : achatamento do elipside considerado;

N(1-f)2: pequena normal.


8/17


Seja uum vetor de comprimento euclidiano unitrio, e cuja direo a direo da normal doponto origem do sistema topocntrico, sendo suas coordenadas elipsoidais denotadas por (0,0,H0).Este vetor pode ser deduzido da (fig.5) em funo das coordenadas ( 0,0) como:

u = , com ||u||=1 . (2.2.4)

0

00

00

sensencos

coscos

Calculando a derivada parcial de uem relao a 0e em relao a 0obtm-se os seguintes

vetores:

n =0

u

= , com ||n||=1; (2.2.5)

0

00

00

cos

sensen

cossen

=0cos

1

0

u= , com ||||=1. (2.2.6)

0cos

sen

0

0

Observe que os vetores u, ne so ortogonais entre si (os produtos internos ,

e so nulos ) e geram o espao tri-dimensional. Alm disso, a base ortogonal formada peloterno cartesiano , n e u forma um sistema destrgiro ( x n=u, onde x indica o produto vetorial ) , ntem sentido positivo para a direo norte e tem sentido positivo para a direo leste (a prova nx u= ). Enfim, os vetores , ne uformam uma base para o sistema geodsico topocntrico.

Denotando por X=X-X0, Y=Y-Y0, Z=Z-Z0, um sistema paralelo ao sistema geocntricoX,Y,Z cuja origem coincide com a do sistema geodsico topocntrico x,y,z , e lembrando que estascoordenadas tem como base a base cannica, com vetores representantes, e1 =[1 0 0 ]

T, e2 =[0 1 0 ]T,

e3 =[0 0 1 ]T.

Matriz de mudana de base

X

Y

Z

x

y

z

Superfcie fsica da Terra

Sistema geodsico cartesiano topocntrico

Sistema geodsico cartesiano geocntrico transladado

ee

e

1

2

3

XY

Z

z

x

y

v

Fig.6 bases dos sistemas

Seja ={e1,e2,e3} a base cannica do sistema X,Y,Z e seja ={, n, u} a base ortogonaldo sistema geodsico topocntrico x,y,z. Sendo vum vetor deste espao, ento este pode ser escritocomo combinao linear dos vetores de ambas as bases como:

v= x e1+y e2+z e3 , (2.2.7)

v= x +y n+z u. (2.2.8)

Escrevendo os vetores da base cannica , como combinao linear dos vetores da base tem-se


9/17


e1 = a11 + a21n + a31u, (2.2.9)e2= a12 + a22n+ a32u , (2.2.10)e3= a13 + a23n + a33u. (2.2.11)

Substituindo estas ltimas na (2.2.7) vemv= x (a11 + a21n + a31u)+y (a12 + a22n+ a32u)+

+z(a13 + a23n + a33u). (2.2.12)

Fazendo o produto e reorganizando os termosv= (x a11+y a12+za13) +( x a21+ya22+za23)n+

+(x a31+y a32+za33)u. (2.2.13)

Comparando com a equao (2.2.8) conclui-se

= , (2.2.14)

z

y

x

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

z

y

x

ou com representao compacta

[v]= [R] [v]

' (2.2.15)

A matriz R a matriz de mudana da base para a base . Para determinar os coeficientesda matriz R, volta-se as expresses (2.2.9) (2.2.11) e explicita-se os sistemas, por exemplo,considerando o sistema a11 + a21n + a31u = e1 na forma matricial, tem-se:

= . (2.2.16)

00

00000

00000

sencos0

sencossensencos

coscoscossensen

31

21

11

a

a

a

0

0

1

Por ser esta uma matriz ortogonal, a transposta igual a inversa, alm disso, ela a mesma

para os outros dois sistemas formados pelas equaes (2.2.10) e (2.2.11). Resolvidos os trssistemas de equaes lineares para os coeficientes a11,a12,. . .,annda matriz R, esta resulta:

R= . (2.2.17)

00000

00000

00

sensencoscoscos

cossensencossen

0cossen

Desta forma, as frmulas para transformar as coordenadas geodsicas cartesianas

geocntricaspara coordenadas geodsicas cartesianas topocntricasso:

= , (2.2.18)

z

y

x

00000

00000

00

sensencoscoscos

cossensencossen

0cossen

0

0

0

Z-Z

YY

XX

a transformao inversa obtida por

= + (2.2.19)

Z

Y

X

00

00000

00000

sencos0

sencossensencos

coscoscossensen

z

y

x

0

0

0

Z

Y

X


10/17


2.2.2 Transformao de Coordenadas Geodsicas elipsoidais em Topogrficas

Conhecidas as coordenadas geodsicas (0,0,H0) do ponto Datum (origem do sistematopocntrico), atravs das equaes (2.2.1) (2.2.3) determina-se as correspondentes cartesianasX0,Y0,Z0 e com a (2.2.18) determina-se as coordenadas geodsicas cartesianas topocntricas de

qualquer ponto de coordenadas geodsicas (X,Y,Z) que esteja dentro do limite do sistematopocntrico.

Se forem conhecidas as coordenadas astronmicas (0,0) do Datum, ento a baseortogonal do sistema topogrfico local ser definida pelos vetores:

= , n = , u = ,

0

cos

sen

0

0

0

00

00

cos

sensen

cossen

0

00

00

sen

sencos

coscos

e a transformao de coordenadas geodsicas cartesianas geocntricaspara topogrficasser:

= , (2.2.20)

zy

x

00000

00000

00

sensencoscoscos

cossensencossen

0cossen

0

0

0

Z-Z

YY

XX

sendo: X,Y,Z e X0,Y0,Z0 calculadas pelas (2.2.1) (2.2.3) em funo das coordenadas geodsicaselipsoidais (, ,H).

Nota: se a equao (2.2.20) for usada, o eixo y ter sentido positivo para norte e a direo a do meridianoastronmico passante pela origem do sistema topogrfico, o eixo x ter orientao positiva para leste.

As relaes entre grandezas astronmicas e geodsicas so dadas pelas seguintesexpresses, ver Gemael, (1977).

Equao de Laplace

A = Aa (-)sen , (2.2.21)onde:A, Aa: azimute geodsico e astronmico respectivamente;, : longitude geodsica e astronmica respectivamente; : latitude geodsica.Componentes do desvio da vertical

= - , (2.2.22)=(- )cos , (2.2.23)

onde:: componente meridiana do desvio da vertical;: componente 1vertical do desvio da vertical;

i= 22 + : desvio da vertical (ngulo formado entre a normal e a vertical num ponto ).

2.3 Convergncia Meridiana

Nesta seo sero desenvolvidas as frmulas para calcular a convergncia meridiana paraambos os sistemas: projeo azimutal oblqua ortogrfica e sistema geodsico topocntrico.

Definio - Convergncia meridiana de um ponto, o ngulo formado entre a direo daquadrcula e a direo da transformada do meridiano neste ponto.

Da (fig.7) obtm-se para a convergncia meridiana do ponto P a expresso:

= arc tg

dy

dx. (2.3.1)


11/17


P

DatumX

Y N

EMe

ridianoCentral Convergncia Meridiana

Paralela ao M.C=

=

Transformada do meridianopassante pelo ponto P

SUPERFCIE DE PROJEO

Fig. 7 Convergncia Meridiana

i) Convergncia meridiana do sis tema de projeo azimutal oblqua ortogrfica

Voltando as expresses (2.1.23) e (2.1.24)x = R cos sen, (2.3.2)y = R(cos0sen- sen0coscos) . (2.3.3)

Diferenciando, resultadx = -R sensend+ R coscosd, (2.3.4)dy = (R cos0cos+R sen0sencos)d+ R sen0cossend.

(2.3.5)Fazendo com que haja variao apenas em latitude, ou seja d=0, tem-sedx = -R sensend , (2.3.6)dy = (R cos0cos+R sen0sencos)d. (2.3.7)

Dividindo (2.3.6) por (2.3.7) vem

dy

dx= -

+

cossensencoscos

sensen

00

(2.3.8)

Substituindo a (2.3.8) em (2.3.1) obtm-se uma expresso para calcular a convergnciameridiana ,, em funo das coordenadas astronmicas do ponto P(,) e do ponto de tangnciaT(0,0) .

= arc

+

cossensencoscos

sensentg

00

(2.3.9)

ii) Convergncia meridiana do sistema geodsico topocntrico

Da equao (2.2.18) tira-sex = -sen0 X + cos0 Y, (2.3.10)y = -sen0cos0X - sen0sen0Y + cos0Z, (2.3.11)

Diferenciando cada uma das expresses acima tem-se:dx = -sen0 dX + cos0 dY , (2.3.12)dy = -sen0cos0dX - sen0sen0dY + cos0dZ. (2.3.13)

Com as equaes (2.2.1), (2.2.2) e (2.2.3) obtm-seX = X-X0= (N+H) coscos- X0, (2.3.14)Y = Y-Y0= (N+H) cossen- Y0, (2.3.15)

Z = Z-Z0= [N(1-e2)+H) sen - Z0. (2.3.16)

O diferencial da (2.3.14) calculado por


12/17


dX =

X d+

X d+H

X

dH , (2.3.17)

alcanado aps algumas operaes pela seguinte expresso:

dX = - cossen( M + H )d- Y d+HN

X+

dH . (2.3.18)

De maneira semelhante os diferenciais dY e dZ so obtidos pelas seguintes expresses:

dY = - sensen( M + H )d- X d+HN

Y

+dH , (2.3.19)

dZ = cos( M + H )d+ sendH . (2.3.20)

Substituindo as expresses dos diferenciais dX, dY e dZ nas (2.3.12) e (2.3.13) tem-se

dx = -sen0 [ - cossen(M+H) d- Y d+HN

X

+dH ] +

+ cos0 [ - sensen(M+H) d- X d+ HN

Y

+ dH ] , (2.3.21)

dy = -sen0cos0[ - cossen(M+H)d- Y d+HN

X

+dH ]

- sen0sen0[ - sensen(M+H)d- X d+HN

Y

+dH ] +

+ cos0[cos(M+H)d+ sendH]. (2.3.22)

Colocando d=0 em (2.3.21) e fazendo algumas manipulaes obtm-sedx = - sen sen(M+H) d+ sen cosdH . (2.3.23)

Fazendo o mesmo para a equao (2.3.22) tem-sedy = (sen sencos+ cos cos)(M+H)d-0 0

-(sen0coscos+ cos0sen)dH . (2.3.24)

Colocando dH em funo da variao da latitude d, e com o auxlio da expresso (2.10)resulta:

dx = ( - sen sen + 21 sen cosd) (M+H) d (2.3.25)

dy = [(sen0sencos+ cos0cos) -

-21 (sen0coscos+ cos0sen)d] (M+H)d (2.3.26)

Dividindo a equao (2.3.25) pela (2.3.26) e lembrando da (2.3.1), a convergncia meridiana

para o sistema geodsico topocntrico e consequentemente para o sistema topogrfico local pode sercalculada pela expresso:

= arc tg

++

+

d)sencoscoscos(sencoscoscossensen

dsencossensen

0021

00

21

.

(2.3.27)Observe que d deve estar em radianos, assim para pequenas variaes na latitude, as

segundas parcelas do numerador e denominador tero pouca influencia no clculo da convergnciameridiana e para certos casos, podem ser negligenciados. Se isto acontecer, a expresso (2.3.27)torna-se

= arc tg

+

coscoscossensen

sensen

00, (2.3.28)

que a mesma (2.3.9) do sistema de projeo azimutal ortogrfica deduzida anteriormente.


13/17


2.4 Erros de posicionamento e orientao

Suponha que o sistema topogrfico local de uma determinada regio j esteja definido, isto ,existe um ponto Datum materializado no terreno com as componentes do desvio da vertical eondulao geoidal j determinados. Suponha ainda, que o nmero de pontos materializando o

sistema sejam poucos, ou at mesmo, que no tenham sido implantados pontos alm do pontoDatum1. Neste caso, um transporte de coordenadas pode ser invivel ou mesmo no ser possvel edependendo da aplicao, se justifica determinar em um ponto de partida do levantamento, umazimute astronmico (determinado pelo sol ou estrelas) e a posio geogrfica do ponto via GPS denavegao. Com a posio geogrfica calcula-se a convergncia meridiana no ponto de partida ecom o azimute astronmico calcula-se o azimute de quadrcula. A seguir faz-se uma analise do efeitodestes erros na orientao das plantas.

i) Efeito do Erro do Posic ionamento Geogrfico na Orientao das Plantas Topogrficas

O efeito do erro da posio geogrfica de um ponto na orientao da planta topogrfica podeser analisado diferenciando por exemplo, a expresso da convergncia meridiana (2.3.28)

d=

d+

d, (2.3.29)

o resultado :

d ="1sen]sensen)cossensencos[(cos

)sensencoscoscos(sencossen222

00

0

2

00

++

+ dd. (2.3.30)

O erro da convergncia meridiana d funo da posio do ponto (,) e do erro destaposio de dno plano topogrfico. Ao erro d, corresponde o erro da orientao de uma planta emrelao a orientao do plano topogrfico por causa do erro na determinao geogrfica do ponto.Obs.: Esta anlise tambm poderia ser realizada aplicando a lei especial de propagao das

covarincias = (2

)

2+ (

)

2, sendo a varincia da convergncia meridiana e

2

e

os desvios padres da latitude e longitude respectivamente.

ii) Efeito do Erro da Direo do Meridiano

Infelizmente a NBR 13133 (1994) no rigorosa em relao ao item ( f ) da definio dosistema topogrfico local. Como est, a planta ou carta teria uma orientao quase arbitrria.Entende-se que o ideal em uma planta ou carta topogrfica que a direo do eixo coordenado dereferncia azimutal deva coincidir com a direo do meridiano (astronmico ou geodsico, conformeseja a definio da orientao do sistema topogrfico) passante pelo Datum do sistema topogrficolocal. Com isto, pode ser obtida a convergncia meridiana de qualquer ponto dentro do sistema deprojeo com o auxlio da frmula (2.3.27).

Considere uma poligonal de quatro vrtices definida dentro de um sistema de projeotopogrfica, (fig.8), onde foram medidos, reduzidos ao plano da projeo e ajustados os ngulos1,2,3 e 4 e as distncias d12, d23, d34 e d41. Determinando um azimute de partida AZ12 emrelao ao norte de quadrcula do sistema e considerando um ngulo , o erro deste azimute, apoligonal ficar rotacionada e todas as coordenadas tero modificaes. O efeito do erro do azimutenas coordenadas pode ser avaliado pelo seguinte procedimento.

Tomando como exemplo o clculo das coordenadas do ponto 2.x2+dx2= d12sen(AZ12+) + x1 (com erro no azimute) (2.3.31)

x2= d12sen(AZ12)+x1 (sem erro no azimute) (2.3.32)onde:

: erro no azimute;dx2: erro na coordenada x2devido ao erro do azimute.

Subtraindo a (2.3.32) da (2.3.31) tem-se

dx2 = d12[sen(AZ12+) sen(AZ12)] ,

1Mesmo com o uso do GPS dever levar ainda alguns anos para ser implantado no Brasil os sistemas

topogrficos locais.


14/17


dx2= d12[sen(Az12)cos()+cos(AZ12)sen()-sen(AZ12)].

Datum X

Y N

E

MeridianoCe

ntral

=

=

SUPERFCIE DE PROJEO

12

34

AZ

d

1-2

1-2

AZ

d

AZ

d

AZ

d 2

-3

2-3

3-4

3-4

4-

1

4-

1

1

2

34

Fig. 8 Poligonal topogrfica

Considerando ser o erro em azimute , pequeno, pode-se usar a seguinte aproximaodx2 = d12[sen(Az12)+cos(AZ12) -sen(AZ12)]dx2 = d12cos(AZ12) . (2.3.33)

De modo semelhante, o erro na coordenada, y2y2= d12cos(AZ12)+y1 (2.3.34)

pode ser expresso pordy2= - d12sen(AZ12) . (2.3.35)

Observe que o erro das coordenadas devido ao erro no azimute ,, pequeno, pode serobtido diferenciando a expresso que fornece o valor da coordenada.

Como ilustrao adicional, ser verificado o erro da coordenada do ponto 4(x4,y4) usandodiferenciao. Para a poligonal convexa do exemplo, (fig.8), as coordenadas do ponto 4 semconsiderar o erro do azimute podem ser calculadas por:

x4= d34sen(AZ12+2+3-360)+d23sen(AZ12+2-180)+d12sen(AZ12)+x1,y4= d34cos(AZ12+2+3-360)+d23cos(AZ12+2-180)+d12 cos(AZ12)+y1.

Diferenciando tem-sedx4= [d34cos(AZ12+2+3-360)+d23cos(AZ12+2-180)+d12cos(AZ12)] ,dy4= - [d34sen(AZ12+2+3-360)+d23sen(AZ12+2-180)+d12 sen(AZ12)] .

ou

dx4 = (y12+y23+y34) dy4 = - (x12+x23+x34)

onde: xije yij : so as coordenadas parciais do alinhamento i-j;: erro no azimute em radianos.

3. Exemplo Prtico

Neste exemplo o Datum do sistema topogrfico local ser considerado o vrtice Chu em MinasGerais (Datum do Sistema Geodsico Brasileiro), os dados referente a este Datum so(Gemael,1981):

Coordenadas astronmicas Coordenadas geodsicas= 19o45 41.34 S = 19o45 41.6527 S

= 48o06 07.80 W = 48o06 04.0639 WComponentes do desvio da vertical Ondulao geoidal=-0.31 = 3.59 N = 0


15/17


O elipside do Sistema Geodsico Brasileiro o elipside sul americano 1969 de parmetrosgeomtricos (Fischer,1973) :

a = 6 378 160 m (semi-eixo maior); f = 1/298,25 (achatamento)

A altitude geomtrica do vrtice Chu H = 763,280 m

1a parte: Dadas as coordenadas geodsicas elipsoidais de quatro pontos na superfcie fsica da

Terra, calcular as correspondentes topogrficas.Tabela 01 Coordenadas geodsicas elipsoidais

Vrtice Latitude (S) Longitude (W) Altitude (m)1 19o3526.51 48o2706.71 600,0002 19o3736.01 47o4848.48 703,4193 19o5524.41 47o5234.67 790,1004 19o5629.16 48o2948.58 750,827

a) Soluo usando a projeo azimutal obliqua ortogrfica

Assumindo ser constante o desvio da vertical para o plano topogrfico, as coordenadasgeodsicas so passadas astronmicas usando as expresses:

= + ; = + sec()

Tabela 02 Coordenadas astronmicasVrtice Latitude (S) Longitude (W)

1 19o3526.2 48o2712.122 19o3735.7 47o4853.833 19o5524.1 47o5240.024 19o5628.85 48o2954.00

Raio mdio de curvatura no vrtice Chu

R = M N = 6 361 643,249 8 m

Com as frmulas (2.1.23) , (2.1.24), calcula-se as coordenadas x, y e com a frmula (2.3.9) aconvergncia meridiana. Os resultados so mostrados na tabela a seguir.

Tabela 03 Coordenadas na projeo azimutal obliqua ortogrficaVrtice x (m) y (m) C. M. ()

1 -36 736.789 18 934,124 -0o0703.9222 30 036,954 14 952,697 0o0547.2983 23 422,485 -17 989.035 0o0435.2624 -41 349,334 -20 018,880 -0o0806.416

b) Soluo usando o sistema topocntrico

A partir dos dados da tabela 01, usando as equaes (2.2.1), (2.2.2) e (2.2.3) obtm-se ascoordenadas geodsicas geocntricas, apresentadas a seguir.

Tabela 04 Coordenadas geodsicas cartesianas geocntricasVrtice X (m) Y (m) Z (m)

Chu 4 010 615,308 - 4 470 080,981 - 2 143 140,5001 3 987 229,527 - 4 499 199,974 - 2 125 272,3392 4 036 349,565 - 4 453 576,470 - 2 129 058,6143 4 024 061,724 - 4 449 815,323 - 2 160 007,9504 3 975 159,490 - 4 492 599,224 - 2 161 866,642

Com as coordenadas geodsicas do vrtice Chu, calcula-se a matriz R de mudana de base

(matriz de rotao) e com a equao (2.2.18) obtm-se as coordenadas geodsicas cartesianas


16/17


topocntricas, com a equao (2.3.27) calcula-se a convergncia meridiana. Os valores somostrados na tabela a seguir.

Tabela 05 Coordenadas cartesianas geodsicas topocntricasVrtice x (m) y (m) z (m) C. M. ()

1 -36 800,696 18 879,429 -297,492 -0o0704.742 30 176,651 14 909,661 -148,735 0o0548.733 23 542,269 -17 938,052 -41,968 0o0434.994 -41 428,727 -19 962,051 -178,343 -0o0804.23

Utilizando agora para determinar a matriz R, as coordenadas astronmicas do vrtice Chu ecalculando a convergncia com relao aos meridianos astronmicos, obtm-se as coordenadastopogrficas dos vrtices. O resultado mostrado na tabela a seguir.

Tabela 06 Coordenadas topogrficasVrtice x (m) y (m) z (m) C. M. ()

1 -36 800,586 18 879,654 -296,837 -0

o

0704.742 30 176,740 14 909,477 -149,227 0o0548.733 23 542,158 -17 938,196 -42,396 0o0434.994 -41 428,852 -19 962,797 -177,668 -0o0804.23

2aparte: Considere o ponto 1 como sendo o vrtice inicial de uma poligonal a ser levantada dentro

dos limites do sistema topogrfico em questo. Considerando que a posio geogrfica deste pontofoi determinada usando um receptor GPS de navegao com um erro de 10 (aproximadamente 300m). Calcular qual a influncia deste erro na convergncia meridiana.Soluo:

Usando as equao (2.3.30) e levando em conta primeiro o erro s em latitude e depois sem longitude, chega-se a:

d= 10 , d=0 d =0,06

d= 0 , d=10 d =3,35

Concluso: um erro de 300 m na posio geogrfica significativa no clculo daconvergncia meridiana e portando um receptor GPS de navegao fornecendo coordenadas comeste erro, no seria satisfatrio para determinar o ponto de partida de um levantamento.

3a parte: A tabela a seguir mostra os ngulos e as distncias reduzidas e ajustadas ao plano

topogrfico. O azimute astronmico determinado (em relao ao norte) em campo do alinhamento 1-2foi AZ12 = 93

o3037.09 . Calcule qual o erro nas coordenadas do sistema topogrfico, se aconvergncia meridiana no for considerada.

Tabela 07 Valores calculados sem correo da convergncia meridianaEst ngulo Azimute Dist. x y X y

1 266o3549.61 93o3037.09 67 094,893 66 969,010 -4 108,087 -36 800.586 18 879,6542 278o0136.01 191o3213.1 35 511,003 -6 702,208 -32 833,942 30 168,424 14 771,5673 256o4749.35 268o2002.45 65 002,489 -64 975,012 -1 889,807 23 466,216 18 062,3754 278o3445.03 6o5447.48 39 116,226 4 708,239 38 831,840 -41 508,796 -19 952,182

Os erros em relao as coordenadas corretas da tabela 06 so:

dx1= 0; dy1= 0;dx2= -8,316; dy2= -137,910;dx3=-75,942; dy3=-124,179;dx4=-79,944; dy4=9,615Usando as expresses diferenciais desenvolvidas no item (ii) da seo 2.4 os valores

encontrados so:

dx1= 0; dy1= 0;dx2= -8,175; dy2 = -137,920;dx3 =-75,815; dy3 =-124,258;dx4 =-79,982; dy4 =9,530


17/17


Valores estes, bastante razoveis em se considerando as distncias entre os vrtices.

4. Consideraes Finais

Na seo 2 deste trabalho resgatou-se a definio do sistema de projeo topogrfica ou sistematopogrfico local conforme definido na NBR13133(1994), demostrou-se as expresses do item (c)desta definio e introduziu-se dois sistemas relacionados a definio dos itens (a), (b) e (e); osistema de projeo azimutal obliqua ortogrfica (seo 2.1) e o sistema geodsico topocntrico(seo 2.2), para ambos os sistemas foram desenvolvidas as expresses da convergncia meridiana(seo 2.3). Sobre o item (f) da definio do sistema de projeo foram tecidos alguns comentrios naseo (2.4 item ii).

Durante o desenvolvimento deste trabalho e principalmente com os resultados apresentados noexemplo prtico, chegou-se a concluso que fundamental a completa definio dos sistema deprojeo topogrfica, atravs dos parmetros: coordenadas geodsicas (,,H) do Datum (pontoorigem do sistema), componentes do desvio da vertical (,), ondulao geoidal (N) e parmetros doelipside (a, f).

Apesar do sistema de projeo azimutal obliqua ortogrfica estar de acordo com os itens (a),(b), e(e) da definio da norma, no recomenda-se que este seja adotado para realizao dos clculos,isto por no tratar o aspecto da altitude simultaneamente e por considerar esfrica a aproximao daforma da Terra.

Pelo fato dos sistemas topogrficos locais levarem ainda alguns anos para serem completamenteimplantados no Pas, recomenda-se amarrar qualquer tipo de medio ao Sistema GeodsicoBrasileiro, ou quando para uma certa aplicao isto torna-se invivel , apontar na planta qual aposio geogrfica do ponto onde determinou-se o azimute de partida (mesmo se este ponto fordeterminado via GPS de navegao, veja conseqncias na seo 2.4). Este apontamento maistarde servir para orientar a planta em relao a um sistema topogrfico local.

5. Referncias Bibliogrficas

Fischer, I.:The Basic Framework of The South American Datum of 1969 , Washington, DoD: DefenseMapping Agency, Topographic Center, In: XII Pan American Consulation on Cartography PIGH,Panam, 1973, 18 p.

Gemael, C.: Introduo Geodsia Geomtrica: 1o parte, Curso de Ps-Graduao em CinciasGeodsicas, Curitiba, 1977.

Gemael, C.: Referenciais Cartesianos Utilizados em Geodsia, Curso de Ps-Graduao emCincias Geodsicas, Curitiba, 1981.

Gemael, C.: Introduo Geodsia Geomtrica: 2o parte, Curso de Ps-Graduao em CinciasGeodsicas, Curitiba, 1988.

Martin, F. A.:Geodesia y Cartografa Matemtica, Madrid, Editorial paraninfo, 1983.

NBR 13133: Execuo de Levantamento topogrfico, ABNT Associao Brasileira de NormasTcnicas, Rio de Janeiro, Maio, 1994, 35 p.

Richardus, P.; Adler, R. K.: Map Projections: for geodesists, Cartographers and Geographers,Amsterdan, North-Holland Publishing Company, 1972.

Santos, A. A. dos : Representaes Cartogrficas, Recife, Universidade Federal de Pernambuco,Ed. Universitria, 1985.

Documents

Sistema de Projeção e Orientação Das Plantas Topográficas