Sistema de Ecuaciones

EconometraSeptima Sesion

Juan Carlos Abanto [email protected]

Giddea Consulting & Training

Enero - 2013

Parte I

Sistema de Ecuaciones

Juan Carlos Abanto Orihuela Econometra


Objetivo

Obtener estimadores consistentes y eficientes de los parametros estructuralesde las ecuaciones que conforman el sistema.Preguntas a realizar

Solo en el caso de sistemas exactamente identificados osobre-identificados sera posible recuperar los parametros de interes.

Ver los potenciales problemas de estimacion:

La existencia o no de variables endogenas en el sistema.La correlacion entre los errores de las diferentes ecuaciones.

Conocer las tecnicas de estimacion asociadas a los sistemas de ecuacionespermite ampliar el abanico de posibilidades de estimacion del que se disponecon el objetivo de mejorar (posiblemente) la consistencia y eficiencia de losestimados.



11y1 + 21y2 + ...+ g1yg + 11x1 + 21x2 + ...+ k1xk + 1 = 0

12y1 + 22y2 + ...+ g2yg + 12x1 + 22x2 + ...+ k2xk + 2 = 0

...

1gy1 + 2gy2 + ...+ ggyg + 1gx1 + 2gx2 + ...+ kgxk + g = 0

donde los parametros ii se normalizan a 1. Es decir, los parametros de lavariable yi en la ecuacion i. Asimismo, se define Xi como el vector de variablesexplicativas exogenas en la ecuacion i e Yi como el vector de variables explica-tivas endogenas en la ecuacion i. Con estas dos condiciones finales se estaraespecificando un sistema (mas general que los anteriores) donde los regresoresincluidos en cada una de las ecuaciones puede diferir.



y1 = 1Y1 + B1X1 + 1

y2 = 2Y2 + B2X2 + 2

...

yg = gYg + BgXg + g

que en terminos matriciales toma la forma:

y1y2...yg

=

1 0 . . . 00 2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . g

Y1Y2...

YM

+B1 0 . . . 00 B2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . Bg

X1X2...Xg

+12...g



Y de manera mucho mas compacta si definimos:

Wi(nx(g+k)) = [Y1,X1]

i(nx(g+k)) = [1,B1]

La ecuacion i quedara definida como:

yi = Wii + i

donde la matriz i de parametros estructurales es la que seintenta estimar, la cual contiene (g+k)-1 parametros estructurales.Por lo tanto el sistema quedaria como:

y1y2...

yg

=

W1 0 . . . 00 W2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . Wg

12...

g

+12...g



Paralelamente, definimos que cada error de cada una de lasecuaciones tiene su propia matriz de varianza-covarianza. Luegopuede definirse

[Var(U)

]= =

Var(1) Cov(1, 2) . . . Cov(1, g )

Cov(2, 1) Var(1) . . . Cov(2, g )...

.... . .

...Cov(g , 1) Cov(g , 2) . . . Var(g )

donde en la diagonal principal se observan las matricesvarianza-covarianza de los errores de cada ecuacion y en lastriangulares las covarianzas entre los errores de distintasecuaciones.


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Estimadores

Caso 1: MCO ecuacion por ecuacionSea cov(i , j ) = 0, Var(i ) = 2i I y Wi = [Xi ]; por lo que en un sistemacomo este no hay correlacion entre los errores de diferentes ecuaciones y nohay variables endogenas en el sistema. De este modo, no existe ninguna fuentede simultaneidad entre las ecuaciones del sistema por ser estimado. Ademas,la varianza del error de cada ecuacion es homocedastico.Si la matriz toma la siguiente forma:

[Var(U)

]= =

21 Inxn 0 . . . 0

0 22 Inxn . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 2g Inxn

Cada una de las ecuaciones de este sistema cumplen las condiciones del mo-delo lineal general. Aparentemente existe heterogeneidad grupal, por lo queel metodo pensado para correccion podra ser MCG, sin embargo es posibledemostrar que via MCO se puede aliviar este problema aparente siempre ycuando se muestre homocedasticidad en cada ecuacion. El estimador sera:

= (X X )1(X Y )


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Estimadores

Caso 2: MCG ecuacion por ecuacionSea cov(i , j ) = 0, Var(i ) = 2i i y Wi = [Xi ]; por lo que en un sistemacomo este hay correlacion entre los errores de diferentes ecuaciones y no hayvariables endogenas en el sistema. De este modo, no existe ninguna fuente desimultaneidad entre las ecuaciones del sistema por ser estimado. Sin embargo,difiere del caso anterior en la medida que los errores de las ecuaciones indivi-duales presentan heterocedasticidad.Si la matriz toma la siguiente forma:

[Var(U)

]= =

211(nxn) 0 . . . 0

0 222(nxn) . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 2gg(nxn)

Notese que en este caso existe tanto heterocedasticidad grupal como individual.El metodo de estimacion por desarrollar debera corregir ambos problemas.Para ello, se plantea un estimador de MCG.

= (X 1X )1(X 1Y )


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Estimadores

Caso 2: MCG ecuacion por ecuacionSe puede demostrar que bajo estas circunstancias es posible estimar por MCGcada una de las ecuaciones del sistema por separado. En terminos practicos, elprocedimiento estandar es estimar los parametros con MCO corrigiendolos porheterocedasticidad (por ejemplo, utilizando el procedimiento de White/Huber)si es que en el planteamiento original se puede demostrar la existencia de estaperturbacion no esferica (por ejemplo, mediante el desarrollo de pruebas dehipotesis sobre la constancia de la varianza del error). La matriz de correccionque utiliza este procedimiento es muy similar al caso estandar de MCG fac-tibles. De este modo, la estimacion de White/Huber no es otra cosa que lamatriz de errores cuadraticos que se obtiene de la estimacion MCO.

Los estimadores resultantes luego de aplicar MCG (factibles) seran consistentesy eficientes.A partir de los casos anteriores se puede ensayar una conclusion: cuando nohaya relaciones de simultaneidad entre las ecuaciones no es necesario realizaruna estimacion del sistema; basta con estimar utilizando MCO ecuacion porecuacion o por MCG factibles (cuando haya que corregir por heterocedasticidadindividual) para obtener estimadores consistentes y eficientes.


Estimadores

Caso 2: MCG ecuacion por ecuacionSe puede demostrar que bajo estas circunstancias es posible estimar por MCGcada una de las ecuaciones del sistema por separado. En terminos practicos, elprocedimiento estandar es estimar los parametros con MCO corrigiendolos porheterocedasticidad (por ejemplo, utilizando el procedimiento de White/Huber)si es que en el planteamiento original se puede demostrar la existencia de estaperturbacion no esferica (por ejemplo, mediante el desarrollo de pruebas dehipotesis sobre la constancia de la varianza del error). La matriz de correccionque utiliza este procedimiento es muy similar al caso estandar de MCG fac-tibles. De este modo, la estimacion de White/Huber no es otra cosa que lamatriz de errores cuadraticos que se obtiene de la estimacion MCO.Los estimadores resultantes luego de aplicar MCG (factibles) seran consistentesy eficientes.

A partir de los casos anteriores se puede ensayar una conclusion: cuando nohaya relaciones de simultaneidad entre las ecuaciones no es necesario realizaruna estimacion del sistema; basta con estimar utilizando MCO ecuacion porecuacion o por MCG factibles (cuando haya que corregir por heterocedasticidadindividual) para obtener estimadores consistentes y eficientes.


Estimadores

Caso 2: MCG ecuacion por ecuacionSe puede demostrar que bajo estas circunstancias es posible estimar por MCGcada una de las ecuaciones del sistema por separado. En terminos practicos, elprocedimiento estandar es estimar los parametros con MCO corrigiendolos porheterocedasticidad (por ejemplo, utilizando el procedimiento de White/Huber)si es que en el planteamiento original se puede demostrar la existencia de estaperturbacion no esferica (por ejemplo, mediante el desarrollo de pruebas dehipotesis sobre la constancia de la varianza del error). La matriz de correccionque utiliza este procedimiento es muy similar al caso estandar de MCG fac-tibles. De este modo, la estimacion de White/Huber no es otra cosa que lamatriz de errores cuadraticos que se obtiene de la estimacion MCO.Los estimadores resultantes luego de aplicar MCG (factibles) seran consistentesy eficientes.A partir de los casos anteriores se puede ensayar una conclusion: cuando nohaya relaciones de simultaneidad entre las ecuaciones no es necesario realizaruna estimacion del sistema; basta con estimar utilizando MCO ecuacion porecuacion o por MCG factibles (cuando haya que corregir por heterocedasticidadindividual) para obtener estimadores consistentes y eficientes.


UsuarioNota adhesivaautocorrelacion o heterocedasticidad

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UsuarioNota adhesivaWi=Xi,Yi --> simultaniedad

Estimadores

Caso 3: MC2ESea cov(i , j ) = 0, Var(i ) = 2i I y Wi = [Yi ,Xi ]; por lo que en un sistemacomo este no hay correlacion entre los errores de diferentes ecuaciones y loserrores de cada ecuacion individual son homocedasticos. Sin embargo, existeuna fuente de simultaneidad entre las ecuaciones al existir variables endogenasal lado derecho de la ecuacion.Si la matriz toma la siguiente forma:

[Var(U)

]= =

21 I1(nxn) 0 . . . 0

0 22 I2(nxn) . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 2g Ig(nxn)

En terminos matriciales el modelo tomaria la siguiente forma para algunaecuacion cualquiera

yi(nxi) = Yi(nxg)i(gxi) + Xi(nxk)Bi(kxi) + i(gxi)


UsuarioNota adhesivaendogeneidad

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Estimadores

Caso 3: MC2ESin embargo, dado que existen regresores estocasticos al lado derecho de laecuacion, resultara util expresarlo en terminos de su forma reducida. Para ello,conviene recuperar el modelo original (antes de la normalizacion).

gxgYgxi + BgxgXgxi + Ugxi = 0

y expresarlo en su forma reducida:

Ygxi = gxgXgxi + Vgxi

La forma reducida ya puede ser estimada mediante MCO para hallar losparametros i de modo que:

i = (Xi Xi )

1X i Yi

Luego se calculan las proyecciones Yi

Yi = Xi i

Este procedimiento se puede repetir para cada una de las variables yi demodo que se construye la matriz Yi . As, reemplazando en la ecuacionoriginal:



UsuarioNota adhesiva1ra etapa

Estimadores

Caso 3: MC2ELa expresion anterior ya estara en terminos de variables exogenas por lo quese procede a construir:

Wi(nx(g+k)) = [Yi ,Xi ]

i(nx(g+k)) = [i ,Bi ]

La ecuacion i quedara definida como:

yi = Wii + i

replicando este procedimiento para cada una de las ecuaciones del sistema, sepuede hallar:

ygx1 = Wgxggx1 + Ugx1

Por lo que el estimador de MC2E seria:

MC2E = (WW )1(W y)

El estimador de MC2E resultara aquel eficiente y consistente bajo las condi-ciones iniciales del modelo expuesto.


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UsuarioNota adhesiva2da etapa

Estimadores

Caso 3: MC2EAl igual que en el caso de MCO/VI, en la aplicacion de MC2E deben cumplirselos supuestos de relevancia y exogeneidad de instrumentos. Se deben realizarlas pruebas de hipotesis previas necesarias para comprobar la validez del pro-cedimiento. En el primer caso, se recomienda el uso de la rule of thumb deStock y Watson (2003) y en el segundo caso una prueba de sobreidentificaciona lo Sargan o el test J. Asimismo, se debe utilizar la prueba de Hausman paraverificar la exogeneidad de las variables.Es util notar que ante la presencia de heterocedasticidad en las ecuacionesindividuales es posible realizar una correccion por MCG sin alterar el procedi-miento descrito anteriormente. La alternativa a la mano es corregir las matricesde varianza covarianza mediante el estimador robusto de White/Huber.


UsuarioNota adhesivaNOTASSARGAN:instrumentos buenosHAUSMAN:exogeneidad de vs

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Estimadores

Caso 4: SUR, regresiones aparentemente no correlacionadasSea cov(i , j ) = ij I , Var(i ) = 2i I y Wi = [Xi ]. En este sistema los erroresde cada una de las ecuaciones individuales son homocedasticos. Asimismo,aunque no existen variables endogenas como explicativas, como fuente desimultaneidad se identifica una correlacion entre los errores de las ecuacionesestructurales. Justamente por esta razon es que el estimador se llama SUR(regresion aparentemente no correlacionada, por sus siglas en ingles): la fuentede simultaneidad no es tan evidente como en el caso anterior.Si la matriz toma la siguiente forma:

[Var(U)

]= =

21 Inxn 12Inxn . . . 1g Inxn21Inxn 22 Inxn . . . 2g Inxn

......

. . ....

g1Inxn g2Inxn . . . 2g Inxn

Cada una de las ecuaciones de este sistema cumplen las condiciones del modelolineal general y al igual que en el caso 1, existe heterocedasticidad grupal. Porello, de modo similar a este caso se plantea una estimacion por MCG comoestrategia para superar este problema.


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UsuarioNota adhesivacomo hay correlacion entre los erroes de las ecuaciones por tanto existe una fuente de simultaniedad entre las disntintas ecuaciones(AHY RELACION ENTRE LOS ERRORES)dentro de cada ecuacion hay homocescedasticidad pero entre ecuaciones existe correlacion de los errores.

UsuarioNota adhesivacomo la varianza es sigma cuadrado por identidad no ahy ni autocorrelacion ni heterocedasticidad dentro de csada ec individual

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UsuarioNota adhesiva1er caso de sur cuando hay homocedast individual

Estimadores

Caso 4: SUR, regresiones aparentemente no correlacionadasSe puede definir el estimador de manera matricial como:

= (X 1X )1(X 1Y )

Sin embargo, en la practica la matriz es desconocida por lo que se requiereestimarla. El procedimiento utilizado en el contexto SUR es muy similar a lacorreccion por White/Huber del caso 2. As, se plantea la siguiente matriz:

[Var(U)

]= =

e21/n e12/n . . . e1g/ne21/n e22/n . . . e2g/n

......

. . ....

eg1/n eg2/n . . . e2g/n

matriz de varianzas - covarianzas de los errores estimados de cada una de lasecuaciones individuales. Por ello, el estimador SUR tambien se define como unestimador en dos etapas.

En la primera, se estiman cada una de las ecuaciones individuales porMCO (posible ya que no hay regresores estocasticos) y se computa lamatriz .

En la segunda etapa se calcula un estimador de MCG incorporando lamatriz .


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Estimadores

Caso 4: SUR, regresiones aparentemente no correlacionadasSin embargo, cuando es necesario realizar una estimacion SUR? La respuestaes bastante obvia: cuando se demuestre la existencia de correlacion entre loserrores. Para llegar a esa conclusion, se dispone de la prueba de hipotesis(Breusch - Pagan):

= ni

j

r2ijd 2g(g1)

2

donderij =

ijiijj

es el coeficiente de correlacion ente los errores estimados por MCO de lasecuaciones i y j.La hipotesis nula a testear sera:

Ho : = Diagonal


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UsuarioNota adhesivaerrores grupales.

UsuarioNota adhesiva la no existencia de correlacion entre loserrores

Estimadores

Caso 4: SUR, regresiones aparentemente no correlacionadasEs importante notar tres caractersticas de este procedimiento. Primero, si esque no existe correlacion entre los errores, el estimador colapsa a un estimadorMCO ecuacion por ecuacion. Segundo, si es que las variables exogenas incluidasen cada una de las ecuaciones individuales son las mismas, los estimadores SURy MCO son identicos (incluso en valor) por lo que la estimacion SUR tambienpuede ser reemplazada por la estimacion MCO ecuacion por ecuacion. Tercero,si es que los errores de las ecuaciones individuales son heterocedasticos, elestimador SUR debe extenderse para incorporar una estimacion por MCG en laprimera etapa (en lugar de MCO). Este nuevo estimador MCG/SUR sera aqueleficiente y consistenteAhora las caractersticas del modelo son cov(i , j ) = ij I , Var(i ) = 2i i yWi = [Xi ].Si la matriz toma la siguiente forma:

[Var(U)

]= =

211 12Inxn . . . 1g Inxn21Inxn 222 . . . 2g Inxn

......

. . ....

g1Inxn g2Inxn . . . 2g g


UsuarioNota adhesiva2do caso de sur cuando hay heteroc individual.

Estimadores

Caso 5: MC3ESea cov(i , j ) = ij I , Var(i ) = 2i I y Wi = [Yi ,Xi ]. En este sistema loserrores de cada una de las ecuaciones individuales son homocedasticos. Asi-mismo, existen dos fuentes de simultaneidad: presencia de variables endogenascomo explicativas y correlacion entre los errores de las ecuaciones estructurales.El estimador de MC3E propone una metodologa para corregir por ambasfuentes de manera conjunta. Como se intuye, este estimador combinara losprocedimientos del MC2E y del modelo SUR. Justamente, esta es la natura-leza de las etapas que definen al procedimiento: las dos primeras similares alMC2E y la tercera similar al SUR.Si la matriz toma la siguiente forma:

[Var(U)

]= =

21 Inxn 12Inxn . . . 1g Inxn21Inxn 22 Inxn . . . 2g Inxn

......

. . ....

g1Inxn g2Inxn . . . 2g Inxn

Luego, haciendo las mismas transformaciones que en el caso 3, se obtiene laforma estructural del sistema

gxgYgxi + BgxgXgxi + Ugxi = 0

y expresarlo en su forma reducida:


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UsuarioNota adhesivasimultaniedad es grupal.simultanediad es analizar en grupo, no las puedo analizar x separado cosa q si podia hacer en caso 1 y 2

UsuarioNota adhesivaendogeneidad

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UsuarioNota adhesivaNota es SUR 1er caso

Estimadores

Caso 5: MC3E

Ygxi = gxgXgxi + VgxiLa forma reducida ya puede ser estimada mediante MCO en la primera etapapara hallar los parametros i de modo que:

i = (Xi Xi )

1X i Yi

Luego se calculan las proyecciones Yi

Yi = Xi i

Este procedimiento se puede repetir para cada una de las variables yi demodo que se construye la matriz Yi . As, reemplazando en la ecuacionoriginal:


La expresion anterior ya estara en terminos de variables exogenas por lo quese procede a construir:

Wi(nx(g+k)) = [Yi ,Xi ]

i(nx(g+k)) = [i ,Bi ]


Estimadores

Caso 5: MC3ELa ecuacion i quedara definida como:

yi = Wii + i

replicando este procedimiento para cada una de las ecuaciones del sistema, sepuede hallar:

ygx1 = Wgxggx1 + Ugx1

Por lo que el estimador de MC2E seria:

MC2E = (WW )1(W y)

Finalmente, para desarrollar la tercera etapa, debe entenderse que el estimadorobjetivo tomara la forma:

MC3E = (W1W )1(W 1Y )

debido a la correlacion entre los errores de las diferentes ecuaciones individua-les. As, el objetivo es obtener la matriz 1 que hace referencia a la matrizde varianzas - covarianzas de los errores de estimados de cada una de las ecua-ciones individuales. Sin embargo, en este caso la estimacion no se ha realizadopor MCO sino por MC2E.


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UsuarioNota adhesivahasta aqui es met de MC2E

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Estimadores

Caso 5: MC3EEste estimador sera consistente y eficiente de acuerdo con las condicionesiniciales del modelo.

Ademas, deberan tomarse en cuenta todas las consideraciones previamentediscutidas en el resto de modelos. Primero, que se cumplan las condicionesde identificacion, relevancia de instrumentos y exogeneidad de los mismos almomento de aplicar el estimador de MC2E. Segundo, que efectivamente existacorrelacion entre los errores, para lo cual se puede utilizar la misma prueba dehipotesis que se explico en el caso 4. Tercero, es igualmente posible extendereste estimador para el caso en que los errores de las ecuaciones individualessean heterocedastico siguiendo un procedimiento similar al explicado en el caso4.


Estimadores

Caso 5: MC3EEste estimador sera consistente y eficiente de acuerdo con las condicionesiniciales del modelo.Ademas, deberan tomarse en cuenta todas las consideraciones previamentediscutidas en el resto de modelos. Primero, que se cumplan las condicionesde identificacion, relevancia de instrumentos y exogeneidad de los mismos almomento de aplicar el estimador de MC2E. Segundo, que efectivamente existacorrelacion entre los errores, para lo cual se puede utilizar la misma prueba dehipotesis que se explico en el caso 4. Tercero, es igualmente posible extendereste estimador para el caso en que los errores de las ecuaciones individualessean heterocedastico siguiendo un procedimiento similar al explicado en el caso4.


Condiciones de Identificacion

Condicion de OrdenEl numero de ecuaciones de identificacion debe ser mayor que numero deparametros por identificar.

q + k g + k 1

Si es que solo se cuenta con restricciones de exclusion, esta condicion puedeexpresarse como el numero de variables excluidas de la ecuacion i debe sermayor o igual al numero de variables endogenas incluidas de la ecuacion imenos 1.As, si es que g1 es el numero de variables endogenas incluidas en la ecuaciony k1 es el numero de variables exogenas incluidas en la ecuacion, entonces elnumero de restricciones de exclusion se define como: q = (g g1) + (k k1)y reemplazando en la ecuacion anterior:

k k1 g1 1

En las condiciones anteriores cuando la desigualdad es estricta () se dice quela ecuacion esta sobre-identificada y cuando existe igualdad (=) se dice quela ecuacion esta exactamente identificada.


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UsuarioNota adhesivaINDIVIDUAL

UsuarioNota adhesivaNro de exogenas excluidas de la ec

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Condicion de RangoEn un sistema de ecuaciones, una ecuacion esta identificada si puede construir-se al menos un determinante diferente de cero de orden (g-1)(g-1) en la matrizformada a partir de los coeficientes de las variables (endogenas y exogenas)excluidas de la ecuacion, pero presentes en otras ecuaciones del sistema. Enotras palabras si dicha matriz es de rango (g-1).

De manera formal:[QW ] = g 1

Donde Q es la matriz de restricciones y W es la matriz de parametros.Esta condicion de rango es importante en la verificacion de la identificacionde los sistemas de ecuaciones debido a que permiten descartar casos cuandola condicion de orden cumple, pero existen ecuaciones que son simplementetransformaciones lineales de otras. Por ello se considera la condicion de rangonecesaria y suficiente.



Condicion de RangoEn un sistema de ecuaciones, una ecuacion esta identificada si puede construir-se al menos un determinante diferente de cero de orden (g-1)(g-1) en la matrizformada a partir de los coeficientes de las variables (endogenas y exogenas)excluidas de la ecuacion, pero presentes en otras ecuaciones del sistema. Enotras palabras si dicha matriz es de rango (g-1).De manera formal:

[QW ] = g 1





[QW ] = g 1

Donde Q es la matriz de restricciones y W es la matriz de parametros.

Esta condicion de rango es importante en la verificacion de la identificacionde los sistemas de ecuaciones debido a que permiten descartar casos cuandola condicion de orden cumple, pero existen ecuaciones que son simplementetransformaciones lineales de otras. Por ello se considera la condicion de rangonecesaria y suficiente.




[QW ] = g 1




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