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Sistema de ComputaçãoSistema de ComputaçãoGráficaGráfica
Professor: Giácomo A. A. Bolan ( Kinho )
Transformações GeométricasTransformações Geométricas
“Translandar significa movimentar o objeto.”
Transformação de TranslaçãoTransformação de Translação
Y
X
(4,5)
(3,2) (5,2)
x’ = x + Tx
y’ = y + Ty
B
A C
Y
X
(4,5)
(3,2) (5,2)
Tx = 2 Ty = 1
B
A C
Ax’ = Ax + TxAx’ = 3 + 2Ax’ = 5
Ay’ = Ay + TyAy’ = 2 + 1Ay’ = 3
Transformação de TranslaçãoTransformação de Translação
Y
X
(6,6)
(5,3) (7,3)
B’
A’ C’
Transformação de TranslaçãoTransformação de Translação
Y
X
(4,5)
(3,2) (5,2)
x’ = x . Sx
y’ = y . Sy
B
A C
Transformação de EscalaTransformação de Escala
Representação Matricial:
[x y] . Sx 0 0 SY [ ]
Y
X
(4,5)
(3,2) (5,2)
Sx = 1,0
B
A C
Transformação de EscalaTransformação de Escala= 100%
Sy = 0,5 = 50%
Ax’ = Ax * SxAx’ = 3 * 1Ax’ = 3
Ay’ = Ay * SyAy’ = 2 * 0,5Ay’ = 1
Y
X
(4, 2.5)
(3,1) (5,1)
B’
A’ C’
Transformação de EscalaTransformação de Escala
Y
X
P (x,y)
α
Transformação de RotaçãoTransformação de Rotação
r
Y
X
Transformação de RotaçãoTransformação de Rotação
r . cos (α)
α
r . sen(α)r
Y
X
P (x,y)
α
Transformação de RotaçãoTransformação de Rotação
β
r
P’ (x’,y’)
Y
X
Transformação de RotaçãoTransformação de Rotação
r . cos (α)
α
r . sen(α)r
Y
X
Transformação de RotaçãoTransformação de Rotação
r . cos (β + α) r . cos (α)
α
β
r . sen (β + α)
r . sen(α)r
r
Transformação de RotaçãoTransformação de Rotação
x’ = x . cos (β) – y . sen (β)
y’ = y . cos (β) + x . sen (β)
Representação Matricial:
[x y] . cos(β) sen(β) -sen(β) cos(β) [ ]
Y
X
(4,5)
(3,2) (5,2)
B
A C
Transformação de RotaçãoTransformação de Rotação
β = 45º
A’ =?B’ = ?C’ = ?
Y
X
Transformação de RotaçãoTransformação de Rotação
β = 45º
A’ =?B’ = ?C’ = ?
β(3,2) (5,2)A C
(4,5)B
Y
X
Transformação de RotaçãoTransformação de Rotação
β
[3,2] . cos(β) sen(β) -sen(β) cos(β) [ ]
[4,5] . cos(β) sen(β) -sen(β) cos(β) [ ]
[5,2] . cos(β) sen(β) -sen(β) cos(β) [ ]
Y
X
(-0,707 6,366)
(2,121 4,949)
B’
A’
C’
Transformação de RotaçãoTransformação de Rotação
β
[3,2] . 0,707 0,707 - 0,707 0,707 [ ]
[ 3 . 0,707 + 2 . (- 0,707); 3 . 0,707 + 2 . 0,707) ]
(0,707 3,535)
Y
X
(4,5)
(3,2) (5,2)
B
A C
Transformação de RotaçãoTransformação de Rotaçãoβ = 45º com eixo de rotação no Ponto A
B’ = ?C’ = ?
Y
X
Transformação de RotaçãoTransformação de Rotação1º Passo
Translação Tx e Ty. Mas quanto translandar?Valores em que o Ponto “A” fique na coordenada (0,0)
Y
X
Transformação de RotaçãoTransformação de Rotação
β
2º Passo
Aplicar a matriz de rotação para todos os pontos menos o ponto fixado, no caso aqui o “A”
Y
X
Transformação de RotaçãoTransformação de Rotação3º Passo
Somar os pontos B e C, o valores que foram diminuidos, (3,2), para que o Ponto A ficasse na origem do sistemas de coordenadas,
(1,586 ; 4,828)B’
4,414 ; 3,141)
C’
(3,2)A
AtividadesAtividades
Desenvolver um aplicativo para calcular:Desenvolver um aplicativo para calcular:
1.1. Translação do ponto.Translação do ponto.
2.2. Escala do ponto.Escala do ponto.
3.3. Rotação do ponto.Rotação do ponto.
4.4.Plotar o antes e o depois no gráficoPlotar o antes e o depois no gráfico
