SISTEM BILANGAN

Sistem bilangan yang biasa digunakan pada

piranti digital adalah sistem-sistem bilangan

biner, desimal, dan heksa-desimal. Sistem

desimal tidak mudah diterapkan dalam mesin

digital.

Sistem bilangan yang paling mudah diterapkan di dalam mesin digital adalah sistem biner (basis-2) karena sistem tersebut hanya mengenal 2 (dua) keadaan.

Semua sistem bilangan tersebut temasuk ke dalam

sistem bilangan berbobot, artinya nilai suatu angka

tergantung dari posisi relatifnya terhadap koma atau

angka satuan.

Misalnya bilangan 5725,5 dalam desimal. Ketiga

angka 5 memiliki nilai yang berbeda, angka 5 paling

kanan bernilai lima persepuluhan, angka 5 yang

tengah bernilai lima (satuan) sedangkan angka 5

yang tersisa bernailai lima ribuan.

Dikenal beberapa cara menyatakan suatu bilangan

dalam basis-16 atau heksa-desimal, misalnya 9616 =

96h = H96 = #96 = $96 = 96H.

Untuk membedakan suatu bilangan dalam sistem bilangan tertentu digunakan konvensi notasi. Contoh bilangan ‘101’ basis-2 akan ditulis dalam bentuk ‘1012’ atau ‘101 B’ untuk mencegah terjadinya salah pengertian dengan bilangan ‘1018’, ‘10110, atau ‘10116’.

Dalam konvensi tersebut dijumpai bahwa suatu bilangan yang tidak disertai indeks berarti bilangan tersebut dinyatakan dalam desimal atau basis-10.

Basis-10 (desimal)

Dalam sistem desimal (basis-10) memupnyai simbol angka (numerik) sebanyak 10 buah simbol, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Nilai suatu bilangan dalam basis-10 dapat dinyatakan sebagai

(N x 10a) dengan

N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

a = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

(bilangan bulat yang menyatakan posisi

relatif N terhadap koma atau satuan).

Contoh :

32510 = 3 x 102 + 2 x 101 + 5 x 100

0,6110 = 0 x 100 + 6 x 10-1 + 1 x 10-2 = 6 x 10-1 + 1 x 10-2

9407,10810 = 9 x 103 + 4 x 102 + 7 x 100 + 1 x 10-1 + 8 x 10-3.

Basis-2 (biner)

Dalam sistem biner (basis-2) memupnyai simbol

angka (numerik) sebanyak 2 buah simbol, yaitu 0,

dan 1. Nilai suatu bilangan basis-2 dalam basis-10

dapat dinyatakan sebagai

(N x 2a)

dengan

N = 0 atau 1; dan

a = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …(bilangan bulat dalam

desimal yang menyatakan posisi relatif N terhadap

koma atau satuan).

Contoh :

11012 = 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 20

= 8 + 4 + 1

= 1310.

0,101 = 0 x 20 + 1 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3

= 0 + 0,5 + 0 + 0,125

= 0,62510

11,01 = 1 x 21 + 1 x 20 + 1 x 2-2

= 2 + 1 + 0,25

= 3,2510.

Basis-8 (oktal)

Dalam sistem oktal (basis-8) memupnyai simbol

angka (numerik) sebanyak 8 buah simbol, yaitu 0,

1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Nilai suatu bilangan basis-8

dalam basis-10 dapat dinyatakan sebagai

(N x 8a)

dengan

N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, atau 7; dan

a = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …(bilangan bulat dalam

desimal yang menyatakan posisi relatif N terhadap

koma atau satuan).

Contoh :

647,358 = 6 x 82 + 4 x 81 + 7 x 80 +

3 x 8-1 + 5 x 8-2

= 384 + 32 + 7 +

0,375 + 0,078125

= 423,45312510.

Basis-16 (heksa-desimal)

Sistem heksa-desimal (basis-16) mempunyai

simbol angka (numerik) sebanyak 16 buah simbol.

Karena angka yang telah dikenal ada 10 maka

perlu diciptakan 6 simbol angka lagi yaitu A, B, C,

D, E, dan F dengan nilai A16 = 1010; B16 = 1110, C16 =

1210, D16 = 1310, E16 = 1410, dan F16 = 1510. Dengan

demikian simbol angka-angka untuk sistem heksa-

desimal adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D,

E, dan F.

Nilai suatu bilangan basis-16 dalam basis-10 dapat

dinyatakan sebagai

(N x 16a)

dengan

N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, atau 15;

a = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …(bilangan bulat dalam

desimal yang menyatakan posisi relatif N terhadap

koma atau satuan).

Contoh :

584AED16 = 5 x 165 + 8 x 164 + 4 163 + 10 x 162 +

14 x 161 + 13 x 160

= 5242880 + 524288 + 16384 + 2560 +

224 + 13

= 578634910.

E,1A16 = 14 x 160 + 1 x 16-1 + 10 x 16-2

= 14 + 0,0625 + 0,0390625

= 14,0664062510.

Konversi (Pengubahan) Bilangan

9810 = (N x na)

= (N x 2a)

= N x 64 + N x 32 + N x 21

= 1 x 26 + 1 x 25 + 1 x 21 (semua posisi belum

diperhitungkan)

= 1 x 26 + 1 x 25 + 0 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20

= 1 1 0 0 0 1 0

= 11000102.

1900610 = (N x na)

= (N x 16a)

= N x 4096 + N x 256 + N x 16 + N x 1

= 4 x 163 + A x 162 + 3 x 161 + 14 x 160

= 4 A 3 E

= 4A3E16.

Cara pembagian berulang :

Cara ini sangat baik untuk bilangan desimal yang kecil maupun yang besar. Cara konversinya adalah membagi bilangan desimal dan hasil baginya secara berulang dengan basis tujuan kemudian menuliskan sisanya hingga diperoleh hasil bagi 0.

Hasil konversinya adalah menuliskan sisa pertama pada posisi yang paling kecil dan sisa terakhir pada

posisi yang paling besar.

Untuk mengubah bilangan tidak bulat (pecahan) dilakukan dengan dua tahap.

Tahap pertama mengubah bagian bulat (di sebelah kiri tanda koma) dengan cara seperti yang telah dijelaskan di atas.

Tahap ke dua mengubah bagian pecahannya (di sebelah kanan tanda koma) dengan cara bahwa bilangan pecahan dikalikan berulang-ulang dengan basis tujuan sampai hasil perkalian terakhir sama dengan 0 setelah angka di sebelah kiri tanda koma dari hasil kali setiap perkalian diambil.

Selanjutnya angka-angka di sebelah kiri koma yang

diambil tadi dituliskan secara berderet dari kiri ke

kanan. Misalnya mengubah bilangan 98,37510

menjadi basis-2.

Tahap pertama mengubah bilangan bulat 9810 ke

dalam basis-2 yang hasilnya adalah 11000102.

Tahap ke dua mengubah bilangan pecahan 0,37510

ke dalam basis-2.

0,375 x 2 = 0,75 dan angka di sebelah kiri koma adalah 0

0,75 x 2 = 1,5 dan angka di sebelah kiri koma adalah 1

0,5 x 2 = 1,0 dan angka di sebelah kiri koma adalah 1.

Hasil pengambilan angka di sebelah kiri koma adalah 0,011.

Selanjutnya hasil konversi kedua tahap tersebut digabungan sesuai dengan posisinya.

Hasil gabungannya adalah 1100010,011. Dengan demikian 98,37510 = 1100010,0112.

Tidak semua pecahan mudah dikonversi. Ada

kalanya hasil konversi bilangan pecahan tersebut

sangat panjang atau bahkan tidak pernah dihasilkan

bilangan yang tepat.

Pecahan 2/3 yang dikonversikan ke dalam bentuk

desimal menghasilkan 0,666666…. di mana angka 6

tidak akan pernah berakhir.

Misalnya bilangan 34,27510 diubah ke dalam bilangan

basis-8. Bagian bulatnya menghasilkan

4 x 81 + 2 x 80 atau 428.

0,275 x 8 = 2,2 dan angka di sebelah kiri koma adalah 2

0,2 x 8 = 1,6 dan angka di sebelah kiri koma adalah 1

0,6 x 8 = 4,8 dan angka di sebelah kiri koma adalah 4

0,8 x 8 = 6,4 dan angka di sebelah kiri koma adalah 6

0,4 x 8 = 3,2 dan angka di sebelah kiri koma adalah 3

0,2 x 8 = 1,6 dan angka di sebelah kiri koma adalah 1

dan seterusnya.

Jadi 34,27510 = 42,214631463.….8 di mana angka

1463 tidak akan pernah berakhir.

Tahap 1 :

2378 = 2 x 82 + 3 x 81 + 7 x 80

= 128 + 24 + 7

= 15910.

Tahap 2 :

15910 = 1 x 53 + 1 x 52 + 1 x 51 + 4 x 50

= 11145.

Jadi 2378 = 11145.

Operasi Bilangan

Telah dikenal dengan baik mengenai operasi-dasar

bilangan seperti penjumlahan, pengurangan,

perkalian dan pembagian. Operasi-operasi

bilangan tersebut juga dapat dikenakan pada

sistem bilangan yang lain.

Prinsip-prinsip operasi bilangan itu sama dengan

yang diterapkan pada sistem desimal. Oleh karena

belum akrab dengan sistem bilangan selain

desimal, maka untuk memudahkan pelaksanaan

operasi hitung perlu pertolongan tabel operasi.

1. Berapakah banyaknya bit (dalam sistem biner)

yang diperlukan untuk memilahkan di antara 99

keadaan yang berbeda ?

2. Ubahlah bilangan biner berikut ke dalam desimal

:

a. 10111

b. 110001011

c. 11011,10111

d. 0,00010011

e. 110001111,011101

SOAL-SOAL :

DITERUSKAN KESISTEM SANDI

3. Kerjakanlah penjumlahan bilangan berikut

sesuai dengan basisnya :

a. 1011,1012 + 101,012

b. 231,214 + 3112,0034

c. 35478 + 230518

d. A87B12 + 79B412

e. 581DF716 + AE5C0716