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CONTROLLI AUTOMATICI I Prof. Francesco BASILE

SINTESI DEI SISTEMI DI CONTROLLO ATEMPO CONTINUO

Requisiti e specifiche

Approcci alla sintesi

Esempi di progetto

Principali reti stabilizzatrici

Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 1


REQUISITI E SPECIFICHE

� Schema di un sistema di controllo

� Sintesi = nota��

, progettare � �� : sistema di controllo ca-ratterizzato da determinate prestazioni� �� soddisfa le condizioni di applicabilita del criterio di

Bode ( � � e diagramma di Bode di � �� attraversauna sola volta l’asse a � dB)



Requisiti principali

� Stabilita in condizioni nominali�� , ��

� Stabilita in condizioni perturbate valori elevati di � � e � � non eccedere nella scelta di

��(attenzione: ritardi di tempo)

� Precisione statica aumentare tipo e/o guadagno d’anello � (riduzione � �

per � e � canonici)

� Precisione dinamica allargare la banda passante di � �� (

� �sufficientemente

elevata) smorzamento minimo ai poli dominanti di � �� ( �� suffi-

cientemente elevato)



� Attenuazione dell’effetto del disturbo � � �� nello spettro del disturbo (vincolo sul minimo

di��

)

� Attenuazione dell’effetto del disturbo � per � confinato in alta frequenza: vincolo sul massimo di

� �

� Moderazione della variabile di controllo � � �� limitato per

� � � �(unico requisito discriminante

tra � �� e��

)

� Realizzabilita del regolatore � �� propria ( � �� )



Rappresentazione grafica dei vincoli

� Regione di ammissibilita per il diagramma di Bode di � �� M

odul

o (d

B)

0

w

–gmin

–kmin

wcmin wcmax

vincoli su � � presumibilmente soddisfatti per funzionid’anello a fase minima (pendenza � � )



� Esempio di progetto: regolatore per��

asintoticamente sta-bile di tipo � e grado relativo

�

� Requisiti

a) � � � per � �� b) risposta � per variazione � a scalino: �� , �� c) disturbo � con componenti spettrali in [0,0.1] attenuato di

almeno� � dB

d) disturbo � con componenti spettrali in [10,100] attenuato dialmeno

� � dB

� Scelte progettuali

a) ��

b) � �� (sistema retroazionato assimilabile asistema con polo dominante in

� � � � ); � ��"! #%$ � � �� &#c) �'� �� )(+* � � � � per

� , - ��. �� 0/1� � �� )(+* � � �(�� : gia garantito)

d) � � �� )(+* � � � � per�2,3- � ��. � � �4/5� � �� )(+* � � � �

(non in conflitto con la specifica su� �

)



� Regione di ammissibilita per il diagramma di Bode di � ��

w10

–110

–210

210

010

1

–60

–50

–40

–30

–20

–10

0

10

20

30

40

–1

–2

Mod

ulo

(dB

)

vincolo su � � da verificare a parte



Altri requisiti

� Evitare regolatori di ordine elevato (se possibile, proporzionali)

� Regolatori asintoticamente stabili (comportamenti indesideratiin caso di malfunzionamenti)



APPROCCI ALLA SINTESI

� Sintesi per tentativi si comincia a considerare come candidati alla soluzione

regolatori molto semplici si complicano, se necessario, in modo da rispettare tutte le

specifiche di progetto lettura dei diagrammi di Bode di �� a ogni tentativo

� Funzione di trasferimento del regolatore

� ��

parte statica

� � ��

parte dinamica (rete stabilizzatrice)

� � ��

� Progetto statico: scelta del tipo � e del guadagno �� (a volte indeter-

minato) dinamico: possibilita di � � �� per assicurare asintotica

stabilita + rispetto di altri vincoli



ESEMPI DI PROGETTO

� Controllo di un sistema a fase minima

�� # ��

� Specifiche

a) � � � � � �� per � � � �� e � � � � �� con�)� � � � e �� #

b)��

c) ��



� Progetto statico regolatore di tipo � � e guadagno � � � � , � e � di

ampiezza massima e segno discorde:

� � � � �� # ��

per garantire robustezza:

� � ��

regolatore di tipo � �

� � ��



� Progetto A ( � � �� )

��

� �� # ��

primo tentativo: � � �� diagrammi di Bode

� � ! � , �� (instabile!)



�� : rete stabilizzatrice che anticipi in vicinanza della� �

desiderata funzione d’anello di tentativo �� : �� , pendenza� �

� �� # � �� ! �� . � � ! � � �

�

��

� � � � �� 3# �� # � ��



� Progetto B il precedente regolatore dinamico opera per cancellazione soluzione piu leggera (rinunciando a cancellare il polo ad

alta frequenza di��

)

� � �� 3# �� # � �� !�� . �� !2� � �



� Progetto C in assenza di controindicazioni su un ampliamento smode-

rato della banda passante

� �� 3# ��

�� ! � ��. � � ! � � �



possibili inconvenienti in termini di moderazione dell’azionedi controllo e di robustezza nei confronti di fenomeni dina-mici in altra frequenza non modellizzati

potrebbe non reagire in maniera cosı veloce a una variazionedi disturbo (

� �� con �

��a poli lenti)



� Progetto D ( � � �� $ � ) primo tentativo: � � �� diagrammi di Bode ( � �� $ � , �� )

� ! �� : massimo valore di� �

a fronte di � � � � �� (conscelta opportuna di � � )



zero che cancella il polo lento (� � �� )

� ��

diagrammi di Bode ( � �� $ �� : linea a tratti)��ancora troppo bassa

aggiunta di un altro zero che cancella il polo in� � �� e

di un altro polo (fisica realizzabilita)

� �� 3# ��

per � � �� #�� !�� e � � ! � � �



� Confronto tra i regolatori progettati

soluzione C (migliori prestazioni dinamiche): piu critica perla moderazione del controllo



risposte a uno scalino di riferimento �



andamenti della variabile di controllo ad uno scalino diriferimento � (curva C scalata di � �� !)

regolatore�

unico a garantire errore nullo a transitorioesaurito (dotato di azione integrale)



robustezza nei riguardi di ritardi non modellizzati

��

� � � !��

�� ! � �� ! � �� ! � �&# � robustezza nei riguardi di incertezze sul guadagno

� �� ! � # �� ! � �� ! � � �&# # � ��! � ��



dinamica oscillatoria associata a coppia di poli con��

e� �� , non portata in conto in fase di progetto

regolatore C produce un sistema instabile risposta ad uno scalino di �

regolatore D risente meno (modulo della funzione d’anellopiu basso in

� �)



disturbo sul trasduttore � � � 2�� risposta ad uno scalino di �

regolatore D capace di garantire la maggiore attenuazionedel disturbo



� Possibile strategia di progetto per sistemi a fase minima ( � ��e grado relativo � )

� ��

� � � � ��

poli aggiuntivi per il vincolo di realizzabilita funzione d’anello

��

� � � � �� ! �� . �� !��

prestazioni scadenti in termini di moderazione del controllo,robustezza nei confronti di dinamica in alta frequenza nonmodellizzata, sensitivita rispetto ai disturbi sulla linea diretroazione



� Controllo di un sistema a fase non minima

��

� Specifiche: � � � � �� con massima� �

zero a �� e polo nell’origine non sono cancellabili �massima

��ottenibile non potra eccedere di molto

� ��&#(sfasamento dovuto a polo e zero: � � � # � )

primo tentativo: � ��



diagrammi di Bode di��

�� in� ! �� %#



introduzione di un anticipo di fase

� ��

funzione di anello �� ( � �� linea a tratti)

� ��

�� in� ! �� per � � �� %! � � � dB

( �� ! � �&# )� � ! � �� : stabilita poco robusta nei confronti di eventualiperturbazioni sul guadagno d’anello



� Controllo di un sistema con ritardo di tempo

��

� Specifiche

a) � � � � � in presenza di una variazione a scalino del riferi-mento

b)� � � ��

c) � � � � �� Scelte progettuali

azione integrale per a) � sfasamento negativo di � � � � �� $ �

massimo valore di� �

che garantisce la asintotica stabilita:�� $ � ! �� per b):

� � , - �� . �� / regolatore

� �� ! �� . �� ! � � �

aggiunta di uno zero

� �� ! �� . �� ! � � �



� Controllo di un sistema del terzo ordine

�� #� � ��

� Specifiche

a) � � � �� %# quando � � � 2�� b) �� #%�c) � � � �



� Progetto A

a) azione integrale oppure regolatore di tipo zero con � � �� $ # : � � �

diagrammi di Bode associati a � ��

regolatore del primo ordine:� �� %# � valori di

� �molto

inferiori a� �

polo a bassa frequenza:� � ��

� �� ! � � � ��. �� ! � � � . � � ! � � � �



introduzione di uno zero per aumentare il margine di fase:attenzione a pulsazione inferiore a

� � � picco di risonanzavicino all’asse a � dB (riduzione del margine di guadagno)

� �� $ � �� ! # � � . � � ! � � � �

capacita di attenuare l’effetto del disturbo�� : � �� , � ��

diagrammi di bode di � � ��

componenti a bassa e ad alta frequenza vengono attenuate



risposta a uno scalino di��



robustezza in presenza di incertezze su� �

: relativa insensi-bilita poiche a frequenza elevata rispetto a

�� risposta a uno scalino di � (

� � � � , � � � � : linea atratti)



� Progetto B

regolatore di ordine piu elevato (cancellazione dei poli delsistema a basso

�)

� �� # ��

diagrammi di Bode di � �� (filtro a spillo)

funzione d’anello

�� # ��

� � ! ��%# . �� ! � � �4.� � ! � � � �



azione filtrante nei confronti del disturbo (linea a tratti pre-cedente)

� ��ha le radici di � �� e i poli complessi coniugati di�� risposta a uno scalino di

�� con oscillazioni moltopoco smorzate (linea a tratti precedente)

scarsa robustezza nei confronti di eventuali incertezze su� �



PRINCIPALI RETI STABILIZZATRICI

� Uso di regolatori di struttura semplice, riconducibile a una pre-cisa tipologia

Rete anticipatrice (lead network)

� Funzione di trasferimento

� ��

�� . � � ��. � � � � �

diagrammi di Bode

anticipo di fase massimo per�� $ � � � � � (punto medio

tra pulsazioni � $ � e �� )



� scelto in modo che��

nei pressi di��

desiderata � effettostabilizzante (margini di fase piu elevati)

azione piu efficace riducendo � � maggiore amplificazionead alta frequenza (effetti negativi sulle prestazioni in terminidi moderazione del controllo, robustezza e attenuazione deidisturbi di misura in alta frequenza)

� �� : zero e polo a distanza di una decade (buon com-promesso: anticipo massimo di # # �

attenzione a non aumentare troppo� �

: inefficaciadell’anticipo di fase (stabilita pregiudicata)



� Effetto tipico dell’introduzione di una rete anticipatrice

caso limite: � �� (regolatore PD)



Rete ritardatrice (lag network)


� ��

� � � ��. � � ��. � � �

diagrammi di Bode

ritardo di fase massimo per�� $ � � � � �

impiego per migliorare la precisione statica (aumento delmodulo della funzione d’anello a bassa frequenza)

� � � $ �� per evitare di pregiudicare il valore di � � (ad es.�� $ �� sfasamento negativo a

� �inferiore a � �



� Effetto dell’introduzione di una rete ritardatrice ( � � � : com-portamento in alta frequenza inalterato)



� Effetto dell’introduzione di una rete ritardatrice ( � � � : utileper abbassare il diagramma di � �� in modo da ridurre lapulsazione di attraversamento e migliorare il margine di fase)

caso limite: � � (regolatore PI)



Rete a sella (lead-lag network)


� ��

�� . � � � � � � � � � � � � �

diagrammi di Bode

spesso � � � � � � �� : � � �� per��

�



� Effetto dell’introduzione di una rete a sella ( � � � � $ �� per beneficiare dell’anticipo di fase)

struttura analoga a quella di un regolatore PID


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