GML İLE

3-D KESİMLEME

VE

SINIFLAMA

Ali İSKURT Master Öğrencisi

Boğaziçi üniversitesi Biyomedikal Enstitüsü

İÇİNDEKİLER 1. Giriş 2. Önceki Çalışmalar 3. T1, T2 PD MR kesimleme 4. Veri

a. SPM 3D veritabanı b. BrainWeb

5. Gaussian Maximum Benzeşim Yöntemi 6. K-means ortalama 7. Diskriminant Fonksiyonlar ve Karar Sınırları 8. Tartışma 9. Referanslar

1. GİRİŞ Optimizasyon hayatın bir bakıma özünü teşkil etmektedir. Tüm çalışan sistemler en iyiye doğru geliştirilmeye çalışılır. Optimizasyon denildiğinde genelde adım adım çözümü daha iyiye götüren metodların uygulanması kastedilir. Optimizasyon teknikleri bilindiğine hayatın çeşitli bilim dallarında kullanmamız mümkün olmaktadır. Bu noktadan hareketle acaba Bilgisayarla görme ve imaj işleme işlemlerinde optimizasyon teknikleri nasıl kullanılabilir ve kullanılmış mıdır? Sorusu sorulabilir. Cevabımız bunun sayısız çeşitleri olduğu şeklindedir. Bu çalışmamızda bir görüntüde kesimleme yapmada optimizasyon tekniklerinden nasıl yararlanabiliriz sorusuna cevap ararken ortaya çıkan vaka çalışması incelenmiştir. Görüntüler de faydalı bir bilgi vermesi için tıbbi görüntülerden seçilmiştir. Tıbbi incelemelerde doktorlara yardımcı olacak doku sınıflamaları günümüz tıbbında çok yaygın olarak karşılaşılmaya başlanmıştır.hasta veya sağlıklı dokuların ayırt edilmesi, hacimlerinin bilgisayarla ölçülmesi 3D görüntünün oluşturulması tıbtaki Bilgisayarla Görme uygulamalarından sadece birkaçı durumundadır. Örneğin beyin dokuları ayırt edilmek istendiğinde ,diğer görüntüleme tekniklerine göre Manyetik Rezonans MR görüntüleme beyin dokusu sınıflarının belirlenmesinde daha fazla kullanılmaktadır. Bu sürecin sebebi de ölçüm başına 3 veya daha da fazla özgürlük derecesi vermesidir. T1 , T2 ve Proton yoğunluğu (PD ) ağırlıklı imajlar doku türünün ayırt edilmesini kolaylaştırır. Burada özellikle Cerebro-spinal Sıvı(CSF), Beyaz madde(WM ) ve Gri madde(GM) üzerine yoğunlaşılır. Şekilde çalışmamız esnasında kesimlenmiş ve orijinal resimler sağlıklı ve hasta beyaz madde dokularının durumunu gözler önüne sermektedir.

Bu konuda okuyarak faydalandığım bir çalışma Boğaziçi üniversitesinde bitirmiş bir master teziydi ki Bora B. Ve Mehmed O. Beylerce yapılmışlardı[1]. Bora [1] bu çalışmasında daha çok Doğru T1,T2 ve PD ye odaklandığı için kesimleme adına T1 ve PD boyutlarını kullanarak CSF, WM ve GM dokularını ayırt etmeyi yeterli görmüştür. Ancak elbette elimizde veri varsa T1,T2 ve PD 3 boyutunu kullanma bu çalışmanın farklı tarafı ve temeli olmuştur. Bu çalışmada kullanılabilecek tekniklerden PCA, K-means gruplamasinir ağlar , EM ve Gaussian Maximum benzeşim(GML) sınıflamalarını karşılaştırmayı düşündüm. Ancak gayet güzel kesimleme elde edince GML ve K-ortalamalar teknikleri yeterli geldi. Bir sonraki konuda 3 boyutlu doku ayırt edilmesi ile ilgili değişik tekniklerden bahsedilip kritikleri yapılmaktadır. Takip eden konuda ise Beyin MR imajlarında 3D neye karşılık

gelmektedir tarifi yapılmaktadır. Bu arada GML parametre kestiriminin nasıl yapıldığından bahsedilmektedir.

Takip eden konuda da VERİ nasıl elde edildi kısmı gelmektedir. Daha sonra da deneysel kısma geçilmekted ve pek çok resimle konu izah edilmektedir. Sonra da çalışmamızla diğer bazı sonuçlar kıyaslanmaktadır. En son olarak da bir sonuçlandırma tartışması ile tüm proje bitmektedir.

2. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR

Tıbbi imajlamada kesimleme ve bölge çıkartımı imajların kompleks olmasından ötürü ve her bir anatomik yapıdaki deformasyonları tamamiyle kapsayacak modellerin olamayışından ötürü zorluk arzetmektedir. Özellikle beyin dokusu çok komplike bir yapıdadır ve bilgisayarlı anatomi atlaslarının ortaya çıkmasında kesimlemeler önemli adımlar sayılmaktadır. MRI kesimlemesi çok çeşitli tekniklerle daha önceden öne sürülmüştür. Tümör hacminin ölçümü ve terapiye cevabı X-ray Bilgisayarlı Tomografi ve basit MRI veritabanlarına imaj gri değer metodları kullanılarak ölçülmeye çalışılmıştır.

Bu konuda tam otomatik olduğu iddiasında ve gürbüz Beyin MRI Doku sınıflama

metodları daha önce de ileri sürüldüğü[3] gibi yarı otomatik sınıflama ortaya koyan çalışmalara da rastlanmaktadır[12]. Beyin imajlarında kesimlemede Diskriminant analizi metodu uygulan çalışmalar mevcuttur[4]. Ayrıca yine bir Türk öğrencimizin 2000 yılında Florida’da bu konuda farklı bir gruplama tekniği ortaya koyan bir doktora tezini biliyoruz[5]. Level setler kullanılarak yapılan bir diğer çalışmada da iki farklı level set veren balonlar birisi küçülmeye biri büyüme bırakılarak arada kalan Kortexi yakalamak üzere kullanılmaktadır. Tabii ki ilk koyulacakları yerin belli olması gibi küçük bir bilgi tabanlı katkı ihmal edilemez[6].

Yine 1992 gibi erken denebilecek yıllarda yapay sinir ağları ile fuzzy gruplama

metodlarını kıyaslayan çalışmalara da rastlanmaktadır[7]. Tümör dokuları farklı MRI görüntü verseler de , benzer MRI imaj veren tümörleri

mesela edema, necrotic, ve scar dokularını ayırt etmek mümkün olamadığından terapi düzeyi hakkında kıymetli bilgi verecek bu tümörler arası sınıflama için multi spektral metodlar önerilmiştir [8]. Tüm bu ilerlemeler neticesi olarak ilk olarak nörolojik incelemelerde ameliyat işlemlerini planlamada ve ameliyat simülasyonlarında ve hatta gerçek ameliyat cerrahisinde normal dokularlar lezyon ve kütlenin iyice ayırt edilmesi gerektiğinden kesimleme tekniklerinin kullanılmasına çalışılmaktadır[14].

Belli başlı bazı Tekniklerin Kritiği

Supervised teknikler kullanıcıdan bir eğitim seti isterler. Bu da genellikle Region of Interest (ROI), yani ilgilenilen bölgeyi resimde incelemekle olmaktadır. Maximum likelihood( ML ) metodlar içerisinde Gaussian dağılımlar kullanılmaktadır ve mean ve kovaryans gibi istatistiki bilgiler hesaplanmaktadır. Geride kalan pixeller her bir dokunun benzeşimi(likelihood) hesaplanarak ve en yüksek olasılıktaki doku tercih edilerek sınıflandırılır. Farklı sınıfların özellik dağılımları iyi bilindiğinde parametrik metodlar kullanışlıdır. Ancak bu durum MR imajları için pek de geçerli değildir. Parametrik metodlara kıyasla K en yakın komşuluk KNN algoritması hem doğruluk hem tekrar edilebilirlik açısından daha iyi sonuçlar vermiştir[8]. Yapay sinir ağlarının da genellikle kullanıldığı olur[8][9]. Tüm öğrenilmiş metodlar kullanıcı bağımlıdır. Farklı kullanıcı veya aynı kullanıcının kullanım değişkenlikleri ölçülmüş ve çok geniş bir yelpaze gözlenmiştir.[8]. Bu noktadan tekrar edilebilirlik açısından bakıldığında öğrenilmemiş metodlar tercih edilmeli gibi durmaktadır. Öğrenilmemiş teknikler ki daha çok gruplama diye adlandırılır, verideki yapıyı otomatik olarak bulur. Bir grup dediğimizde özellik uzayındaki yüksek özkütleli bir alanı kastederiz. Gruplama metodları k-means ve fuzzy dengi olan fuzzy c-means gibi algoritmalardır. Bu metodlar ve benzerleri temelde lineer ayrılabilen gruplarla sınırlıdır. Başka bir gelişen metod da yarı öğrenilmiş teknikler kullanmaktır. Sonuçta sınıflandırırken sınıflar arası bir ayırım yapmada kullanılan diskriminant analizlerine dayalı farklı metodlardan bahsedilebilir.

Expectation-maximization (EM) algoritması da MR imajlarını gruplamada

kullanılabilir[10], ki burada kayıp bilgi olarak doku türünü yani sınıfını düşünürüz. Genellikle olduğu gibi metodu uygularken normal dağılım düşünülür ve MR imajlarında çok gözüktüğü gibi bir harici bias alanı da hesaba dahil edilir. Deforme olabilen modeller mesela aktif kontürler model tabanlı yaklaşımlardır ve özellikle eğer yaklaşık bir kontür bilgisi mevcutsa doğru kontürü bulmak için bir ölçüt fonksiyonu minimize etmekten yola çıkar. Böyle bir kontür yüzeysel bir eğri olup bir ilk durumu ve bir ölçüt fonksiyonu vardır. Bu değişken kontürlerlerin özel bir türü olan yılanlar da Witkin[11] tarafından öne sürülmüştür ki ilk pozisyon kullanıcı tarafından girilmekte ve ölçüt fonksiyonu da yılanın enerjisi olarak isimlendirilmektedir. Fiziksel diğer sistemlerdeki gibi yılan enerjisini minimize etmeye çalışır. Enerjisi de internal ve external enerji olarak ikiye ayrılır ve şu şekilde verilir

Internal enerji terimi yılanın yumuşak eğrilerden oluşmasını ve external enerji de

yılanın imajdaki istenen yerlere doğru çekilmesini sağlamaktadır. Değişken kontürlerdeki balon modeli de bu yılan modelinden esinlenmiştir. Yılan enerjisine bir balon kuvveti de eklenir ve büyütme yada küçültme yönünde bir kuvvet olabilir. Tüm bu metodlar bir kullanıcı tarafından bir duvarın kenarının yılana gösterilmesiyle başlar. Bir de genetik algoritma üzerine kurulu bir sınıflama tekniğini de bahsederek bu konuyu kapatabiliriz[13].

Gaussian Çok Değişkenli Maximum Benzeşim Kestirimi

Bu konuda gruplamada GML nin anlatıldığı iyi bir özellik sınıflandırma kitabı olarak Duda’ [15] nınki verilebilir. Belirtildiği gibi bu projede bir parametrik gruplama tekniği olan Gaussian Çok Değişkenli Maximum Benzeşim Kestirimi metodu uygulandı.

Gruplar yani olasılık yoğunluk fonksiyonları çok boyutlu gaussian fonksiyonlar olarak modellendi. Bu da birden çok özelliklerin alakalı veya korelesyona sahip olmasına müsaade etmektedir. Bu yoğunluğun matematiksel şekli şöyle verilebilir

Burada ∑ kovariyans matrisi, x veri vektörü μ veri vektörü Bunu kullanabilmek için ayrık yoğunluk fonksiyonuna çevirmemiz gerekir. Bu da fonksiyonun örnekler arasında doğrusallığı farzedilerek yapılır. Yoğunluktan istenen örnek için olasılı rahatlıkla bir skala faktörüyle çarpılarak elde edilir.

Sınıflama Burada kullanılan sınıflayıcı Maximum Benzeşim veya Bayes sınıflayıcıdır. Teorimiz gayet basittir. Elimizdeki veriye ait en yüksek posteriori olasılığı veren sınıfı tercih etmektir. Posteriori olasılık Bayes Kuralında şöyle gösterilir

Ci sınıfımız ve x bir veri vektörüdür. Priori olasılıkların uniform dağıldıklarını kabul etmekteyiz. Karar verme kuralı da şu hale gelir

Payda bu ifadelerin bir olasılık olmasını zorlamaktadır. Bu normalleştirme de bize bir den çok hasta ve modelin karşılaştırmasını sağlamaktadır.

3. T1, T2 ve PD ağırlıklarında MR Görüntüsü Kesimleme

MRI teorisini açıklamayı kitablara bırakarak sonuçta elimizde T1, T2 and PD gibi 3 boyut

olduğunu söyleyebiliriz. Kısaca T1 doğrusal manyetizmanın ilk değer olan Mz nin 63 % üne ulaşması esnasında geçen süredir, T2 yataydaki manyetizmanın orijinal değeri olan Mxy .nin 37 % sine düşmesine kadarki süredir. T1 ve T2 bilinince de PD de hesaplanabilir.

CSF, WM ve GM dokularına ait T1 ve T2 Serbest kalma değerleri

PD ağırlıklı imajlar: Kısa TE (20 ms) ve uzun TR

T1 ağırlıklı imajlar : Kısa TE (10-20 ms) ve uzun TR (300-600 ms)

T2 ağırlıklı imajlar : uzun TE (80 ms) ve uzun TR (2000 ms)

Mxy

Mz(CSF) Mz(GM) Mz(WM)

TR = 300ms

TE = 40ms

TE = 80ms

4. VERİ

SPM

3D beyin MR gösterimi için çok iyi bir paket SPM’ dir denilebilir. Kesimleme de yapabilmektedir ve imajların pek çok istatiksel bilgilerini vermektedir. Eğitme piksellerinin parlaklık değerleri bu program sayesinde alınmıştır. Dosyalar genelde .MNC uzantılıdır. İstediğiniz dilimi ve açısal dilimi seçebilirsiniz. Öncelikle MNC formatındaki bir resmi alıp bildiğimiz MATLAB formatına çevirmemiz gerekir

Bilgisayar yardımlı imaj analizleri arttıkça algoritma değerlendirme adına objektif metodlara olan ihtiyaç da artmıştır. Canlı (vivo) MRI çalışmalarında referans veri olmadığı için belli bir karmaşa vardır. Bundan ötürü 3 boyutlu beyin MRI imajları üretebilen MRI simülatörleri ortaya çıkarılmıştır. Değişik imaj kontrastlarında , kısmi hacimli ve farklı gürültüye maruz görüntüler gerçeğine oldukça yakın elde edilebilmektedir. Bu bize daha kontrollü veri analizi sağlamaktadır [2]. Brainweb bunlardan biridir.

BrainWeb

Simulasyon programıdır. Simülasyon olarak normal bir beyne ait MRI bizim için iyi bir veri bankasıdır. Zaten .MNC uzantılı veriler üretmektedir. Resimlere sentetik gürültü basılabilmekte, MRI imajlarında çok karşılaşılan inhomojenite eklenebilmektedir.

5. KESİMLEME

Adım adım gitmek için yazılan MATLAB kodları ile imajlara yaptığımız etkileri

inceleyelim. 5.1. SPM den T1, T2 ve PD resimleri elde etme [data,Y_T1,Y_T2,Y_PD] = data_Y(str1 ,str2,str3) ki burada Y_T1 = 3D data Beyin MR , T1 ağırlıklı Y_T2 = 3D data Beyin MR , T1 ağırlıklı Y_PD = 3D data Beyin MR , PD ağırlıklı 5.2. EĞİTİM için seçilen noktaların eldesi

Bunun için kullandığımız data_xy içersinde elimizle etiketlediğimiz X ve Y koordinatları olan 10 noktayı alırız. Daha iyi kestirim için daha fazla nokta da alabiliriz. data_CSF = data_xy('CSF'); data_WM = data_xy('WM'); data_GM = data_xy('GM'); 5.3. EĞİTİM için seçilen noktaların gri değerlerinin bulunması [CSF] = brightness(data_CSF,Y_T1,Y_T2,Y_PD,96); [WM] = brightness(data_WM,Y_T1,Y_T2,Y_PD,96); [GM] = brightness(data_GM,Y_T1,Y_T2,Y_PD,96); 5.4. Eğitim Noktaların Gösterilmesi Bunun için MATLABa ait plot3 fonksiyonunu kullanırız. Aynı anda ya da tek tek ekranda çizdirebiliriz. plot3(CSF(1,:),CSF(2,:),CSF(3,:),'db') Hepsi aynı anda da gösterilebilir plot3(CSF(1,:),CSF(2,:),CSF(3,:),'dr',WM(1,:),WM(2,:),WM(3,:),'db',GM(1,:),GM(2,:),GM(3,:),'dg')

5.4. EĞİTİM Verisinin Gaussian Yoğunluklarının Eldesi Her 3 farklı doku için de aynı fonksiyon çağırılır. Ancak görüldüğü gibi gaussian pdf için gerekli olan kestirimde bulunacağımız μ ve ∑ değerlerini bulmamız gerekmektedir. Bundan sonra mesela CSF dokusunun yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi hesaplanır. [px_CSF_train] = pdf_multiple(d,RV,mean_CSF,covar_CSF,CSF) 5.5.a (μ ve ∑ ) Kestirimi CSF

[mean_CSF] = gaussian_multi(CSF,RV,3) [covar_CSF] = covariance(CSF,3,RV,mean_CSF) RV = [1;2;3] boyutumuzu gösteriyor. Sonuçlar mean_CSF = 1.0e+003 * 0.2031 4.5752 5.9965 covar_CSF = 1.0e+004 * 0.0540 -0.3655 -0.0433 -0.3655 4.6781 0.7963 -0.0433 0.7963 2.2821 Mean ve kovaryansımız olduğuna göre yaklaşık öz yoğunluk fonksiyonumuz çizdirilebilir.Ancak log alarak daha anlaşılır resim çizdiririz. Tabi ki 3. boyut olan PD yi de katarak bir olasılık fonksiyonu çizdiremediğimizden T1 ve T2 üzerine çizmekteyiz. [px_CSF_train] = pdf_multiple(3,[1;2;3],mean_CSF,covar_CSF,CSF) CSF_log = log(CSF); CSF_log = round(100*CSF_log); plot3(CSF_log(1,:),CSF_log(2,:),px_CSF_train,'db')

5.5.b (μ ve ∑ ) Kestirimi WM Yukarıdaki metod ile eğitim setimizi kullanrak GM ve WM için de kestirimleri buluruz. [data_WM] = data_xy(‘ WM’) [ WM] = brightness(data_ WM,Y1,Y2,Y3,z) [mean_WM] = gaussian_multi( WM,RV,3) [covar_WM] = covariance( WM,3,RV,mean_WM) Mean_WM = 1.0e+003 * 0.6979 1.2910 4.4086 covar_WM = 1.0e+004 * 0.0545 -0.1231 -0.1614 -0.1231 2.6162 1.3591 -0.1614 1.3591 1.4035 [px_WM_train] = pdf_multiple(3,[1;2;3],mean_WM,covar_WM, WM) WM_log = log10(WM); WM_log = round(100*WM_log); plot3(CSF_log(1,:),CSF_log(2,:),px_CSF_train ,'db',WM_log(1,:),WM_log(2,:),px_WM_train ,'db') 5.5.c (μ ve ∑ ) Kestirim GM [data_GM] = data_xy(‘GM’) [ GM] = brightness(data_GM,Y1,Y2,Y3,z) [mean_GM] = gaussian_multi( GM,RV,3) [covar_GM] = covariance( GM,3,RV,mean_GM) Mean_GM = 1.0e+003 * 0.5058 1.9999 5.2875 covar_GM = 1.0e+004 * 0.1489 -0.5122 -0.4659 -0.5122 4.2276 1.3453 -0.4659 1.3453 2.1804

[px_GM_train] = pdf_multiple(3,[1;2;3],mean_GM,covar_GM, GM) GM_log = log10(GM); GM_log = round(100*GM_log);

Olasılık öz yoğunluk fonksiyonlarının Görüntülenmesi CSF, WM ve GM için bu fonksiyonlar hesaplandığına göre çizdirebiliriz. plot3(CSF_log(1,:),CSF_log(2,:),px_CSF_train ,'db',WM_log(1,:),WM_log(2,:),px_WM_train ,'db',GM_log(1,:),GM_log(2,:),px_GM_train ,'dg')

5. 7. Gaussian Maximum Benzeşim ile Kesimleme

5.7.a. TEST imajlarının hazırlanması z = 96 eksenini sabitleyerek elde edeceğimiz bir dilimi kesimlemeye çalışalım. Bu

dilime kısaca Tissue=Doku diyeceğiz. [Tissue] = three_D(d,z,Y_T1,Y_T2,Y_PD) .

5.7.b. TEST

Test için Tissue içinde sakladığımız dilimi kesimlemek için tek yapmamız gereken şu fonksiyonu çağırmak olacaktır. [px_CSF,px_WM,px_GM,label] = test_multiple(Tissue,Y_T1,Y_T2,Y_PD,mean_CSF,covar_CSF,mean_WM,covar_WM,mean_GM,covar_GM) Çıktılar genelde şu şekildedir : px_CSF : 181x217 her pixel için z=96 için CSF e ait parametrelere göre px_GM : 181x217 her pixel için z=96 için GM e ait parametrelere göre

px_WM : 181x217 her pixel için z=96 için WM e ait parametrelere göre

Bu olasılık değerleri içerisinde maximum olanı seçeceğiz ve bu ilgili nokta maximum verdiği sınıfa ait çıkmış olacak ki kesimlemeyi bitirmişiz demektir.Tüm test noktaları için de yapılabilir , tüm bir resmin de kesimlenmesi daha uzun sürse de yapılabilir. Label : Bu etiket bilgisini gösterir. CSF 70, GM 1 ve WM 255 olarak tayin edilerek çizdirirken farklı gri değerler alması ve görenlere doğru sınıflama yaptığını bildirilmesi içindir.

5.7.c. Orijinal T1 ,T2 ve PD imajlarıyla kıyaslama

Sol üstteki kesimlenmiş bir resim ve diğerleri de T1,T2 ve PD ağırlıklı orijinal resimlerdir. 5.8. GML ile değişik durumlarda kesimleme denemeleri 21 nokta için karıştırma matrisinde pixel testi Bunun için elbette karıştırma matrisine vereceğimiz test noktalarının elle daha önceden etiketlenmesi gerekmektedir.

a. [test_label,Tiss] = test_data(Y_T1,Y_T2,Y_PD,96)

b. [px_CSF,px_WM,px_GM,label] = test_multiple(Tiss,Y_T1,Y_T2,Y_PD,mean_CSF,covar_CSF,mean_WM,covar_WM,mean_GM,covar_GM)

c. [TT_CSF,TT_WM,TT_GM,FF_CSF_WM,FF_CSF_GM,FF_WM_CSF,FF_WM_GM,FF_GM_CSF,FF_GM_WM]=confusion_matrice(label, test_label)

Manyetizma düzgün z = 96 , 21 pixels μ ve∑ Rf=0

CSF WM GM

CSF

5 0 0

WM

0 6 0

GM

0 0 10

40 % manyetizma bozukluğu katarsak z = 96 , 21 pixels μ ve∑ Rf=0

CSF WM GM

CSF

5 0 2

WM

0 3 0

GM

0 3 8

40 % manyetizma bozukluğu katarsak

z = 96 , 21 pixels μ ve∑ Rf=40

CSF WM GM

CSF

5 0 0

WM

0 6 0

GM

0 0 10

GML ile farklı dilimlerin kesimlenmesi

Bunun için mesela z=96yerine z=75 te sabitlenerek bir resim elde edilebilir. Ya da z değil de Y veya X ekseni sabitlenebilir. Bu durumda önden yandan ve üstten görüntüler elde ederiz. . [Tissue] = three_D(3,75,Y_T1,Y_T2,Y_PD) [px_CSF,px_WM,px_GM,label] = test_multiple(Tissue,Y_T1,Y_T2,Y_PD,mean_CSF,covar_CSF,mean_WM,covar_WM,mean_GM,covar_GM)

z =75 dilimi kesimlenmek için alındığında

x =100 alındığında

y =130 alındığında

6. K-MEANS Tekniği

6.1 K-means ile GML kıyaslaması

K adet çekirdek etrafında K adet farklı doku örneklerinin kümelenmesini istemekteyiz. Sonra iteratif olarak bu ortalamaları yeni gelen veri örneklerine göre adapte ederiz. Yeni noktanın ilavesi k ortalamalara uzaklığına göre yapılır. mean_varılan = 1.0e+003 * 0.6897 0.5094 0.2442 1.3283 2.0477 4.3066 4.4277 5.2317 5.8681 mean_orijinal = 1.0e+003 * 0.1820 0.4710 0.7600 1.0810 2.9425 4.8040 3.9640 5.0890 6.2140

Değişiklik sona erdiğinde yukarıdaki ortalamalar elimizdedir. Ayrıca kararlı duruma 4 iterasyonda varabilmemiz oldukça sevindiricidir.

KMEANS Sınflama z = 96 , eğitim yok Rf=0

CSF WM GM

CSF 32 0 2 WM 0 47 0 GM 3 5 45

GML z = 96, 10 eğitim noktası μ ve ∑ Rf=0

CSF WM GM

CSF 31 0 2 WM 0 47 0 GM 4 5 45

Görüldüğü K-means ve GML hemen hemen aynı sonuçları bu testlerde vermiştir. Ancak tüm resim gözetildiğinde GML daha etkin olduğu gözlemlenmiştir. 6.2 Tüm dilimin K-means ile belirlenmesi Çağırdığımız fonksiyonumuz 4 çekirdek içermektedir. Çünkü fon bilgisini de ayrıca bir çekirdek olarak düşünüp vermek durumundayız. Bu eğitimsiz denen k-means için elle yapılan bir bilgi katkısı gibi görünmektedir. [label_tissue,mean_tissue,mean_original] = cluster_tissue_Kmeans(Tissue,4,7,mean_cloud); Bu da şu fonksiyonu çağırır [labelsx,mean,mean_orijinal] = cluster_kmeans_4D(cloud,K,length,loop,mean) mean_dokular = 1.0e+003 * 0.0318 0.6387 0.4815 0.2427 0.2854 1.3583 2.1063 4.0147 0.3828 4.4153 5.1185 5.5867 Sonuçta K-means ile kesimlenmiş resmimiz

GML ile kesimlenmiş resmimiz Orijinal resmimiz

7. Diskriminant Fonksiyonları ve Karar Yüzeyleri

CSF, WM ve GM ye ait öz yoğunluk fonksiyonlarımız aşağıdaki gibi mevcuttur.

Acaba Gerçekten uzayı doğru olarak bölebilmekte midir? Bu soruya şöyle cevab aranabilir.

Duda [15] teki formülle diskriminant fonksiyonunu yazarsak g i( x ) = xt Wi x + wi x + wio

Wi = - (1 / 2) .inv( ∑i ) wi = inv( ∑i ). μi wio = - (1/ 2).μ’i. inv( ∑i ). μi - (1/2).ln |∑i | + ln P(wi) Karar yüzeyini bulmak için herhangi iki sınıfa ait posterior olasılıkları eşitleriz…

Bunlar yapıldığında ikişerli olarak 3 adet diskriminant fonksiyonu ve karar yüzeyleri elde ederiz. Aşağıda CSF ve GM arasındaki karar yüzeyi gözlemlenebilir. Eğitim noktaları da sağdaki üstteki resimdir.

8. SONUÇ

Sonuçta GML ve K-ortalamalar ile optimize parametreler elde ederek 3D Beyin MR

görüntülerde çok rahatlıkla sınıflandırma yapabileceğimiz bir bilgi birikimine ve MATLAB koda bu projeyle ulaşmış olduk. Ayrıca karıştırma matrisleri ile Etiketlenen dokuların testi de yapılarak doğruluk derecesi ölçülmüş oldu.

Daha da önemlisi Diskriminant fonksiyonları ve karar yüzeylerinin çizdirerek

yaptıklarımızın doğruluğuna kanaatimiz artmıştır. Zira gözlemle de 3 boyutlu uzayı 3 doku için doğru yerlerden ayırabildiğimiz ortadadır.

Aslında gelecek bir çalışma olarak EM ve yapay sinir ağları da karşılaştırma amaçlı

olarak kullanılabilir. Görünen o ki Gaussian bir model bu tarz bir sınıflama da oldukça başarılıdır. Parametreler elde edilirken gaussian olasılık dağılımının bilinmeyen parametreler olan mü ve kovaryansa göre gradient vektörü elde edilip bu değer sıfıra eşitlenmekte, bu da bize global veya locak maximum veya minimum noktayı vermektedir. Bu optimizasyon da pdf fonksiyonu rahat türevi alınıp sonucu çıktığı hemen kullansak da iteratif olarak da rast gele değerlerle başlandıktan sonra eğitim kümesi D’ deki örneklere maximum olasılık değeri verecek optimum parametreleri (mü ve kovaryans) bir optimizasyon algoritması ile elde edebilirdik.

Bu proje ve optimizasyon dersi ile ilgili bu kavramları rahat kullanmamda ve anlayıp uygulamaya koyabilmemde faydalı gelişmeler sağladıklarını söyleyebilirim.

REFERANSLAR

1. Bora B., Master Thesis, True T1, PD Image Computation From A set Of T1 Weighted Images, Bogazici University, 2000.

2. Remi K.-S. Kwan, Alan C. Evans, and G. Bruce Pike, MRI Simulation-Based Evaluation of Image-Processing and Classification Methods , Member, IEEE, IEEETRANSACTIONS ON MEDICAL IMAGING, VOL. 18, NO. 11, NOVEMBER 1999

3. Chris A. Cocosco, Alex P. Zijdenbos, Alan C. Evans , A Fully Automatic and Robust Brain MRI Tissue Classification Method, McConnell Brain Imaging Centre, Montreal Neurological Institute, McGill University, 3801 University Street, Montreal, Quebec, H3A 2B4, Canada

4. B. Alfano, U. Amatoo, A. Antoniadis, M. Larobina , Segmentation Of Mr Brain Images Through Discriminant Analysis ,Istituto di Biostrutture e Bioimmagini CNR, Napoli (Italy) ,Istituto per le Applicazioni del Calcolo ‘M. Picone’ CNR Sezione di Napoli (Italy) LMC-IMAG, Université J. Fourier, Grenoble (France)

5. Erhan G., Ph.D Dissertation , A New Clustering Algorithm For Segmentation Of Magnetic Resonance Images,Unıversıty Of Florida,2000

6. Xiaolan Zeng, Lawrence H. Staib, Robert T. Schultz and James S. Duncan, Segmentation and Measurement of the Cortex from 3D MR Images Using Coupled Surfaces Propagation , ,IEEE TRANSACTIONS ON MEDICAL IMAGING, VOL. 18, NO. 10, OCTOBER 1999

7. Hall, L.O., Bensaid, A.M., Clarke, L.P., Velthuizen, R.P., Silbiger, M.S., Bezdek, J.C., “A comparison of neural network and fuzzy clustering techniques is segmenting magnetic resonance images of the brain,” IEEE Transactions on Neural Networks, V3, p672-682, 1992.

8. Clarke, L.P., Velthuizen, R.P., Phuphanich, S., Shellenberg, J.D., Arrignton, J.A., “Stability of three supervised segmentation techniques,” Magnetic Resonance Imaging, V11, p95-106, 1993.

9. Ozkan, M., Dawant, B.M., “Neural-Network Based Segmentation of Multi-Modal Medical Images,” IEEE Transactions on Med. Imag., V12, N3, p534-544, 1993.

10. Wells, W.M., Grimson, W.E.L., “Adaptive segmentation of MRI data,” IEEE Trans. on Med. Imag., V15, N4, p429-442, 1996.

11. Witkin, A., Kass, M., Terzopoulos, D., “Snakes:Active contour models,” International Journal of Computer Vision,V4, p321-331, 1988.

12. Tadd B. H. , Semi-Automated Brain Tissue Classification 13. Automatic segmentation of 3D-MRI data using a genetic algorithm R. Moller, R.

Zeipelt Automation and Process Control Engineering Department of Electrical and Information Engineering ,University of Wuppertal, Germany

14. Kamada, K., Takeuchi, F., Kuriki, S., Oshiro, O., Houkin, K., Abe, H., “Functional neurosurgical simulation with brain surface magnetic resonance imaging and magnetoencephalograpy,” Neurosurgery, V33, p269-272, 1993.

15. Richard O. Duda, Peter E. Hart, David G. Stork , Pattern Classification, Wiley- Interscience, 2000.