Sin título de diapositivarobertominguez.altervista.org/ProgramaNumerico_archivos/Parte2.pdf · • Iteración simple de punto fijo, también conocido como iteración de un punto

E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 1

Análisis Numérico

Parte 2


Raíces de ecuaciones• Motivación:

• Los valores calculados mediante la fórmula cuadrática se les llama raíces de la ecuación, y son los valores de x que hacen que la ecuación sea igual a cero.

• El problema surge de que hay muchas funciones diferentes que no tienen una solución directa como la anterior, y hay que recurrir a métodos numéricos. (Ejemplo Tsunami)

• Las raíces de las ecuaciones pueden ser reales o complejas, normalmente las raíces complejas sólo son importantes para polinomios, así pues los métodos para encontrar raíces se pueden dividir en dos:

0cx*bx*a)x(f 2 =++=

a2ac4bbx

2 −±−=


Raíces de ecuaciones– Raíces reales de ecuaciones algebraicas y

trascendentales, que calculan el valor de una raíz simple conociendo una estimación previa aproximada.

– Raíces reales y complejas de polinomios, que determinan todas las raíces de un polinomio.

• Una función algebraica es del tipo:

• Una función trascendental es una que no es algebraica, incluye funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y otras menos familiares.

0fyfyfyf 0n

11n

1nn

n =++++ −− K

donde:i

ii2

i2i1i0i xaxaxaaf ++++= K


Métodos que usan intervalos• Métodos gráficos:

– Determinar el coeficiente de rozamiento c necesario para que un paracaidista de masa 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/seg a los 10 segundos.

– Reorganizando.

– Dibujando

4 8 12 16 20-20

0

20

40

f(c)

c

Raíz

Ejemplo 3


Métodos que usan intervalos– Los métodos gráficos tienen un valor práctico limitado,

ya que son imprecisos. Pero se pueden usar como aproximación para otros métodos.

– Además las interpretaciones gráficas son herramientas importantes en la comprensión de las propiedades de las funciones.


Métodos que usan intervalosf(x)

f(x)

f(x)

f(x)

xl xu

a)

b)

c)

d)

x

x

x

x

En la figura a) tenemos el caso en el que f(xl) y f(xu) tienen el mismo signo, y no hay raíz en el intervalo (xl,xu).

En la figura b) tenemos el caso en el que f(xl) y f(xu) tienen distinto signo, y hay una raíz en el intervalo (xl,xu).

En la figura c) tenemos el caso en el que f(xl) y f(xu) tienen el mismo signo, y hay un número par de raíces.

En la figura d) tenemos el caso en el que f(xl) y f(xu) tienen distinto signo, y hay un número impar de raíces.


Métodos que usan intervalos• Aunque las generalizaciones anteriores son usualmente

verdaderas, hay casos en los que no se cumplen.

En la figura a) tenemos el caso en el que f(xl) y f(xu) tienen distinto signo, pero hay una raíz doble.

f(x)

f(x)

f(x)

xl xu

a)

b)

c)

x

x

x

En la figura b) tenemos el caso en el que f(xl) y f(xu) tienen distinto signo, pero hay dos discontinuidades.

En la figura c) tenemos el caso en el que f(xl) y f(xu) tienen el mismo signo, pero hay una raíz triple.


Métodos que usan intervalos• Método de la bisección: también conocido como de

corte binario, de partición en dos intervalos iguales o deBolzano, es un método de búsqueda incremental que aprovecha el cambio de signo a ambos lados de una raíz y en el que el intervalo se divide siempre en dos.

f(x)

xxl

xu

xr

∆X/2 ∆X/2


Métodos que usan intervalos• Paso 1: Se eligen los valores inferior xl y superior xu

de forma que la función cambie de signo en el intervalo. f(xl)*f(xu)<0.

• Paso 2: La primera aproximación de la raíz se toma.

• Paso 3:Se determina el subintervalo en el que está la raíz.– Si f(xl)*f(xr)<0, está en el subintervalo inferior. Se toma

xu=xr, y se continúa en el paso 2.– Si f(xl)*f(xr) >0, está en el subintervalo superior. Se toma

xl=xr, y se continúa en el paso 2.• Paso 4: Si f(xl)*f(xr) =0, la raiz es xr; se termina el

cálculo.

2xxx lu

r+=


Métodos que usan intervalos• Criterio de parada y errores:

– Se puede utilizar como criterio de parada el error relativo aproximado, asi pues cuando este valor sea menor que un valor previamente prefijado, pararemos.

– Observese que en este método se cumple

%100X

XXnuevor

anteriorr

nuevor

a−=ε

2xxXX luanterior

rnuevor

−=−It. anterior

It. nueva

anteriorr

nuevor XX −

nuevorX

anteriorrX

2/X∆


Métodos que usan intervalos– Un beneficio de este método es que se puede calcular a

priori el número de iteraciones necesarias para obtener un error absoluto predefinido.

)2log()E/xlog(

n

2xE

2xE

xxxE

d,a0

n

0na

01a

00l

0u

0a

∆=

∆=

∆=

∆=−=

M

Ejemplo 4


Métodos que usan intervalos

Iteración xl xu xr Eaproximado Ereal1 2.000000 30.000000 16.000000 1.000000 0.0749292 2.000000 16.000000 9.000000 0.777778 0.6445713 9.000000 16.000000 12.500000 0.280000 0.1840914 12.500000 16.000000 14.250000 0.122807 0.0386765 14.250000 16.000000 15.125000 0.057851 0.0214136 14.250000 15.125000 14.687500 0.029787 0.0077377 14.687500 15.125000 14.906250 0.014675 0.0070528 14.687500 14.906250 14.796875 0.007392 0.0002889 14.796875 14.906250 14.851563 0.003682 0.003395

10 14.796875 14.851563 14.824219 0.001845 0.00155711 14.796875 14.824219 14.810547 0.000923 0.000635



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Error aproximado

Error real

Iteraciones

Erro

r re l

ativ

o



0 10 20 300123456789

101112

c

Itera

cion

es


Métodos que usan intervalos• Método de la falsa posición: también conocido como

método de la interpolación lineal, “regula falsi”. Es un método parecido a la bisección, pero que no toma el punto medio como supuesta raíz, sino que usa una interpolación lineal.

f(x)

xxl

xu

xr

f(xu)

f(xl)


Métodos que usan intervalos• Usando triángulos semejantes, la intersección de la

línea recta con el eje de las x se estima como:

• Pasemos ahora a calcular el ejercicio anterior pero con el método de la falsa posición.

Ejemplo 5



Iteración xl xu xr Eaproximado Ereal1 2.000000 30.000000 21.999877 1.000000 0.3272172 2.000000 21.999877 18.119606 0.214148 0.1831423 2.000000 18.119606 16.305469 0.111259 0.0922594 2.000000 16.305469 15.477101 0.053522 0.0436755 2.000000 15.477101 15.103591 0.024730 0.0200256 2.000000 15.103591 14.936201 0.011207 0.0090437 2.000000 14.936201 14.861398 0.005033 0.0040558 2.000000 14.861398 14.828012 0.002252 0.0018139 2.000000 14.828012 14.813120 0.001005 0.00080910 2.000000 14.813120 14.806479 0.000449 0.000361



0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Error aproximado

Error real

Iteraciones

Erro

r re l

ativ

o



0 10 20 30

123456789

10

c

Itera

cion

es


Métodos que usan intervalos• El método de la falsa posición es más eficiente que la

bisección, ya que converge más rápidamente hacia la solución.

0 2 4 6 8 10 120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Bisección

Falsa posición

Iteración

Err

or u

nita

rio


Métodos que usan intervalos• Pero hay ciertos casos en los que el método de la

falsa posición funciona deficientemente, y es mejor usar la bisección.

x

f(x)

1x)x(f 10 −=


Métodos abiertos• Hasta ahora, los métodos estudiados usaban

intervalos en los que sabíamos que se encontraba la raíz. Estos métodos se denominan convergentes, porque se van acercando a la raíz a medida que avanza el cálculo.

• En contraste, tenemos los métodos abiertos, requieren sólo un valor de inicio, y como tales unas veces divergen alejándose de la raíz verdadera. Sin embargo cuando convergen, generalmente lo hacen más rápidamente que los métodos de intervalos.


Métodos abiertos• Iteración simple de punto fijo, también conocido

como iteración de un punto o sustitución sucesiva. Estos métodos lo que hacen es utilizar una fórmula de predicción de la raíz, rearreglando la ecuación f(x)=0, de forma que la x quede despejada en un lado de la misma.

• Esta transformación se consigue con simples manipulaciones algebraicas:

23xx;03x2x

22 +==+−

)3/xtgh(*)x(sinxx;0)3/xtgh(*)x(sin 22 +==


Métodos abiertos• De esta forma conseguimos la fórmula que nos

permite predecir un valor a partir de otro.

• Con estas fórmulas, el error aproximado es fácil de obtener.

• Vamos a usar la iteración simple de punto fijo para localizar la raíz de:

)x(gx i1i =+

%100x

xx1ii1i

a+

+ −=ε

Ejemplo 60xex;xe)x(f 0

x1i

x i ==−= −+

−


Métodos abiertosIteración xr Error aproximado Error real

1 1.0000 1.0000 0.43292 0.3679 1.7183 0.54173 0.6922 0.4685 0.18074 0.5005 0.3831 0.13325 0.6062 0.1745 0.06456 0.5454 0.1116 0.03997 0.5796 0.0590 0.02158 0.5601 0.0348 0.01259 0.5711 0.0193 0.007010 0.5649 0.0111 0.004011 0.5684 0.0062 0.002312 0.5664 0.0036 0.001313 0.5676 0.0020 0.000714 0.5669 0.0011 0.000415 0.5673 0.0006 0.0002

0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

Error aproximado

Error real

Iteración

Err

or re

lativ

o

Valor exacto=0.56714329


Métodos abiertos• Obsérvese que el error relativo verdadero es casi

proporcional al error de la iteración anterior, a esta propiedad se la conoce como convergencia lineal.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

x

Itera

ción


Métodos abiertos

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2-2

-1

0

1f(x)

f(x)

x

x

xe)x(f x −= −

x2 e)x(f −=

x)x(f1 =

Raiz

Raiz

• Un planteamiento gráfico alterno para comprender el funcionamiento del método y la convergencia es separar la función en dos partes.

)x(fy)x(fy)x(f)x(f

22

11

21

=

==


Métodos abiertos

x

y xy1 =

)x(gy2 =

0x1x2x x

xy1 =

)x(gy2 =

0x1x 2x

x

xy1 =)x(gy2 =

0x 1x 2x x

xy1 =)x(gy2 =

0x1x

y

yy


Métodos abiertos• Analizando las figuras anteriores se observa que la

convergencia ocurre si la magnitud de la pendiente de g(x) es menor que la de f(x)=x.

)x(gx i1i =+ supuesta la solución verdadera )x(gx rr =

restando )x(g)x(gxx ir1ir −=− +

por el teorema del valor medio )('g)xx()x(g)x(g irir ξ−=−

sustituyendo )('g)xx(xx ir1ir ξ−=− +

definiendo el error verdadero en la iteración i: iri,t xxE −=

)('gEE i,t1i,t ξ=+

Si los errores disminuyen1)('g <ξ

Si los errores aumentan1)('g >ξ

Si los errores son positivos0)('g >ξ

Si los errores oscilarán0)('g <ξ


Métodos abiertos• Método de Newton-Raphson, quizás este sea el

método más usado de localización de raíces. Basado en el polinomio de Taylor de primer orden.

x

f(x)

ix1ix +

)x(f i

)x(f i

1ii xx +−

Pendiente = )x('f i

1iii

i xx)x(f)x('f+−

=

)x('f)x(fxxii

i1i −=+


Métodos abiertos• El error aproximado como en los casos anteriores es:

• Vamos a usar el método de Newton-Raphson para localizar la raíz de:

%100x

xx1ii1i

a+

+ −=ε

0xex;xe)x(f 0x

1ix i ==−= −

+−

Ejemplo 7


Métodos abiertosIteración xr Error aproximado Error real

1 0.500000 1.000000 0.1342872 0.566311 0.117093 0.0014703 0.567143 0.001467 0.0000004 0.567143 2.210639E-07 7.225352E-10

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Iteración

Err

or re

lativ

o

Error aproximado

Error real



Métodos abiertos• Obsérvese que en este método el error es casi

proporcional al cuadrado del error en la iteración anterior.

x

Itera

ción

0 0.2 0.4 0.6 0.81

1.5

2

2.5

3

3.5

4


Métodos abiertos• Análisis del error:

• El error es casi proporcional al cuadrado del error anterior. Tiene una convergencia cuadrática.

2i,t1i,t E

)x('f2)(''fE ξ−=+

suponiendo que xi+1 es la raiz, y con la fórmula de Newton-Rapson

Sustituyendo el valor de f(xi) y suponiendo que iri,t xxE −=

Partiendo del desarrollo de Taylor2

i1ii1iii1i )xx(!2)(''f)xx)(x('f)x(f)x(f −ξ+−+= +++

)x('f)x(fxxii

i1i −=+

2iririi )xx(

!2)(''f)xx)(x('f)x(f0 −ξ+−+=

)x(f)x('f)xx( iii1i =−− +

2iririi1ii )xx(

!2)(''f)xx)(x('f)xx)(x('f0 −ξ+−+−−= +

1ir1i,t xxE ++ −=

2i,t1i,ti E

!2)(''fE)x('f0 ξ+= +


Métodos abiertos• Desventajas del método:

– Hay casos en los que no se comporta eficientemente, y converge muy lentamente.

– Tiene problemas con las raíces múltiples.– Se precisa conocer la derivada de la función.

• Criterios de convergencia:– No hay un criterio general de convergencia, ya que

ésta depende no sólo de la naturaleza de la función, sino también del punto inicial que tomemos.


Métodos abiertos

f(x)

x0x

1x 2x

a)

a) Punto de inflexión en la vecindad de una raíz.

x0x 1x2x

f(x)

b)3x

b) Oscilación en torno a un máximo o un mínimo.

f(x)

x0x1x2xc)

c) Saltos en funciones con varias raíces.

f(x)

x0x 1x d)

d) Existencia de una derivada nula.


Métodos abiertos• Método de la secante, implementación del método

de Newton-Raphson, pero sustituyendo el valor de la derivada por una aproximación.

x

f(x)

ix1ix −

)x(f i

)x(f 1i−

Pendiente = )x('f i

1ix +

i1ii1i

i xx)x(f)x(f)x('f

−−≅

−

−

)x(f)x(f)xx)(x(fxxi1ii1ii

i1i −−−=

−

−+



• Vamos a usar método de la secante para localizar la raíz de:

%100x

xx1ii1i

a+

+ −=ε

0xex;xe)x(f 0x

1ix i ==−= −

+−

Ejemplo 8


Métodos abiertos


Iteración xr Error aproximado Error real1 0.612700 0.632121 0.0743542 0.563838 0.086659 0.0058613 0.567170 0.005875 0.0000484 0.567143 0.000048 2.927825E-08

Iteración

Err

or re

lativ

o Error aproximado

Error real

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


Métodos abiertos

0 5 10 150

0.5

1

1.5

2Iteración simple de pto. fijo

Bisección

Secante

Falsa posición

Newton Raphson

Iteraciones

Err

or a

prox

imad

o


Métodos abiertos• Diferencias entre el método de la secante y la

falsa posición.– Obsérvese que ambos métodos son muy similares.

– En ambos casos se usa una aproximación de la pendiente de la función.

– Pero en la falsa posición, la última aproximación de la raíz reemplaza a alguno de los valores extremos, por tanto los nuevos valores siempre encierran a la raíz, y siempre convergen.

Falsa posición Secante

)x(f)x(f)xx)(x(fxxi1ii1ii

i1i −−−=

−

−+

)uf(x)lf(x)lxu)(xuf(x

uxrx −−

+=


Métodos abiertos– En el caso de la secante no ocurre así, los valores se

reemplazan en una secuencia estricta, xi+1 a xi, y éste a xi-1. Por eso los nuevos valores pueden caer al mismo lado de la raíz, y a veces divergen.

rx

)uf(x

)lf(x

f(x) f(x)

f(x) f(x)

x x

x xrx

)uf(x

)lf(x

rx)1i-f(x

)if(x

)1i-f(x

rx

)if(x

Falsa posición Secante


Métodos abiertos• Método de la secante modificado, este método al

igual que el método de la secante ya estudiado, hace una estimación de la derivada pero con una pequeña perturbación fraccionaria.

– La elección del valor adecuado del incremento no es trivial, ya que si es demasiado pequeño pueden producirse errores de redondeo causado por la cancelación por resta del denominador de la última ecuación. Y si es muy grande puede ser lento e incluso divergente.

– Sin embargo puede ser adecuado cuando es complicado el cálculo de la derivada y la elección de dos valores iniciales es inconveniente.

f 0( xi) =f ( x i + ±xi) ° f ( x i)

±xixi+1 = xi °

f ( x i) ±xif ( x i + ±xi) ° f ( x i)


Raíces múltiples• Raíces múltiples, en estos puntos la función es

tangente al eje x, si la multiplicidad de la raíz es par, la función no cruza el eje, pero si es impar si lo hace.

• Éste tipo de raíces introducen dificultades a los métodos ya vistos:– No se pueden usar métodos de intervalos con las

raíces de multiplicidad par, porque no cambian de signo.

– Además, en estos casos no sólo f(x) se aproxima a cero, sino que también lo hace f’(x). Esto afecta tanto al método de Newton-Raphson como al de la secante.


Raíces múltiples– Estos últimos convergen de forma lineal, en vez de

cuadrática. Para solucionarlo Ralston y Rabinowitz proponen:

– Pero no se conoce de antemano la multiplicidad de la raíz.

– Otra alternativa es usar otra función auxiliar que tiene raíces en las mismas proporciones que la función original.

)i(xf')if(x

mix1ix −=+m=2 para raíz doblem=3 para raíz triple

)i(xf')if(x

xu =

llegando a


Raíces múltiples– Es fácil demostrar que cuando f(x) tiene una raíz de

multiplicidad n, f’(x) tiene una raíz de multiplicidad n-1 en ese punto.

– Por tanto f(x)/f’(x) sólo tiene una raíz simple en x=r.– Pero esta técnica funciona bien con polinomios

porque cuando hay funciones trascendentes se pueden producir discontinuidades en máximos y mínimos, y dificultar la convergencia.

0)r(F),x(F)rx()x(f n ≠−=

[ ])x('F)rx()x(nF)rx(n)x('F)rx()x(F)rx(n)x('f

1n

n1n

−+−=−+−=

−

−


Raíces de polinomios• En esta parte se tratarán las raíces de polinomios

con coeficientes reales de la forma:

• Las raíces de este tipo de polinomios cumplen:– Toda ecuación de orden n, tiene n raíces, reales o

complejas, y no necesariamente distintas.– Si n es impar, al menos hay una raíz real.– Si hay raíces complejas, existe un par conjugado

nn

2210n xaxaxaa)x(f ++++= K

ix

ix

1j

jµ−λ=

µ+λ=

+


Raíces de polinomios• Antes de comenzar con los métodos específicos de

localización de raíces se analizarán operaciones fundamentales que involucran polinomios.

• Evaluación y diferenciación– Una forma común de presentar un polinomio es

– evaluar este polinomio implica realizar n(n+1)/2 multiplicaciones y n sumas. Pero organizando el polinomio de la forma (Algoritmo de Horner)

– se realizan n multiplicaciones y n sumas, con lo que se reducen el número de operaciones y por tanto los errores de redondeo.

nn

22103 xaxaxaa)x(f ++++= K

))))x*aa(*x(*xa(*xa(*xa)x(f n1n2103 KK +++++= −


Raíces de polinomios– Veremos ahora el algoritmo de la división sintética,

que es un esquema para evaluar polinomios y derivadas (es equivalente al método de Horner).

03x3xx 23 =−−+Suponemos

2x0 = 1 1 -3 -3

2 6 6

1 3 3 3

2 10

1 5 13

)2(fsiduoRe =

)2('fsiduoReSegundo =

2x33x3x

2x3x3xx 2

23

−+++=

−−−+


Raíces de polinomios– La demostración es simpleDado un polinomio de grado n

011n

1nn

nn axaxaxa)x(P ++++= −− K

Al dividirlo entre (x-x1) tenemos

11n

1n

xxR)x(Q

xx)x(P

−+=

− − R)x(Q)xx()x( 1n1n +−= −reordenando P

obsérvese que en x=x1 RR)x(Q)xx()x(P 11n111n =+−= −

Teorema del residuo: el residuo de la división de un polinomio entre (x-x1) es el valor del polinomio en x=x1.

Al derivar Pn(x) se obtiene)x(Q)x('Q)xx()x('P 1n1n1n −− +−=

Al particularizar en x=x1 )x(Q)x('P 11n1n −=


Raíces de polinomios– A continuación se desarrolla el algoritmo de la división

sintética

– Al multiplicar e igualar coeficientes e x

R)bxbxb)(xx(R)x(Q)xx(

axaxaxa)x(P

011n

1n1

1n1

011n

1nn

nn

++++−=

+−=++++=

−−

−

−−

K

K

0100

1101

2n13n2n2n

1n12n1n1n

1nnn

bxRa:xbxba:x

bxba:xbxba:x

ba:x

−=

−=

−=

−=

=

−−−−

−−−−

−

M

010

1110

2n12n3n

1n11n2n

n1n

bxaRbxab

bxabbxab

ab

+=+=

+=+=

=

−−−

−−−

−

M


– Este último método se conoce como algoritmo deHorner.

– La derivada también es sencilla de evaluar, incluso se puede calcular a la vez.

p=0;

Do j=n,0,-1,

p=p*x+a(j);

end

p=0;df=0;

Do j=n,0,-1,

df=df*x+p;p=p*x+a(j);

end

df=0;

Do j=n,1,-1,

df=df*x+j*a(j);

end

Raíces de polinomios


Raíces de polinomios• Pasaremos a describir los métodos de obtención de raíces en

polinomios.– Si sólo existen raíces reales se pueden usar cualquiera de

los métodos vistos. Si bien es difícil encontrar valores iniciales, y los abiertos son susceptibles de divergencia.

– Con raíces complejas, los métodos de intervalos no se pueden usar.

– De los abiertos, el de Newton se puede usar para obtener raíces reales y complejas, pero es susceptible de problemas de convergencia.

– Por eso se describirán a continuación dos métodos especiales para encontrar tanto raíces reales como complejas.


Raíces de polinomios• Método de Muller. El método consiste en tomar una

parábola que pase por tres puntos y calcular sus raíces. Es similar al método de la secante pero usando una parábola en vez de una recta.

x

f(x)

0x1x

Raíz estimada

x

f(x)

0x 1x2x

Raíz estimada

Parábola

MullerSecante


Raíces de polinomios• La aproximación parabólica se consigue:

c)xx(b)xx(a)x(f 22

2 +−+−=

Como tiene que pasar por los puntos x0,x1 y x2

c)xx(b)xx(a)x(f

c)xx(b)xx(a)x(f

c)xx(b)xx(a)x(f

222

222

212

211

202

200

+−+−=

+−+−=

+−+−=

Operando

)xx(b)xx(a)x(f)x(f

)xx(b)xx(a)x(f)x(f

c)x(f

212

2121

202

2020

2

−+−=−

−+−=−

=Definiendo

1212

10101

0

121010

xx)x(f)x(f

xx)x(f)x(f

xxhxxh

−−=δ

−−=δ

−=−=

Sustituyendo

11211

11002

1010

hahbh

hha)hh(b)hh(

δ=−

δ+δ=−−−Operando

)x(fcahb

hha

2

11

0101

=δ+=

+δ−δ=


Raíces de polinomiosAplicando la fórmula cuadrática

ac4bb

c2xx223−±

−=−ac4bb

c2xx223−±

−=

Nótese que se usa una forma alternativa de la fórmula cuadrática para evitar problemas de redondeo. Además el empleo de esta fórmula permite calcular raíces reales y complejas.

Obtenemos dos raíces, nos quedaremos con el valor más cercano a x2, para ello el valor absoluto del cociente ha de ser máximo.

Si b>0 tomamos ac4bb 2 −+

Si b<0 tomamos ac4bb 2 −−



• Vamos a usar método de la Muller para localizar las raíz de:

%100xxx323

a−=ε

i1x3x;5xx2x)x(f 0023 +=−=+−+=

Ejemplo 9-10 -5 0 5 10 15

-10

-5

0

5

10

15


Métodos abiertosIteración x0 x2 x1 xr Error aprox. Error real

1 -4.00000 -2.00000 0.00000 -2.71107 0.26228 0.079222 -4.00000 -2.71107 -2.00000 -2.91049 0.06852 0.005283 -4.00000 -2.91049 -2.71107 -2.92558 0.00516 0.000094 -4.00000 -2.92558 -2.91049 -2.92585 0.00009 0.00000

Valor exacto=-2.92585

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Err

or re

lativ

o Error aproximado

Error real

Iteración


Métodos abiertos

x

Itera

ción

-4 -3 -2 -1 01

1.5

2

2.5

3

3.5

4


Raíces de polinomios• Método de Bairstow. Éste es un método iterativo

cuyas bases para determinar las raíces son:– Se supone un valor de la raíz, x=t.– Se divide el polinomio por (x-t).– Si el residuo es nulo, efectivamente el valor x=t es

una raíz. Si hay residuo se modifica el valor de x y se vuelve a hacer la comprobación del residuo.

• Para permitir la evaluación de raíces complejas, el método divide el polinomio original por un factor cuadrático (x2-rx-s). Una vez obtenidos los valores de r y s que anula el residuo, se obtienen las raíces mediante la fórmula cuadrática.


Raíces de polinomios• Partiendo de:

• Al multiplicar e igualar coeficientes01

232n

n2

2n2

011n

1nn

nn

b)rx(bRR)bxbxb)(srxx(

R)x(Q)srxx(axaxaxa)x(P

+−=++++−−=

+−−=

++++=

−−

−−

K

K

2100

3211

1n2n3n3n

n1n2n2n

n1n1n

nn

sbrbbasbrbba

sbrbbasbrbba

rbbaba

−−=−−=

−−=−−=

−==

−−−−

−−−

−−

M

2100

3211

1n2n3n3n

n1n2n2n

n1n1n

nn

sbrbabsbrbab

sbrbabsbrbab

rbabab

++=++=

++=++=

+==

−−−−

−−−

−−

M


Raíces de polinomios• Lógicamente es deseable que los valores de b1 y b0

sean nulos, porque así el residuo será nulo. Normalmente esto no sucede, y tengo que modificar tanto r como s. Como los valores de b1 y b0dependen de r y s los desarrollo como una serie de Taylor, y tomo los términos de primer orden.

• Nótese que igualo ambas expresiones a cero, porque mi objetivo es que al tomar los nuevos valores de r y s el residuo sea nulo.

0ssbr

rbb)ss,rr(b

0ssbr

rbb)ss,rr(b

0000

1111

=∆∂∂+∆

∂∂+=∆+∆+

=∆∂∂+∆

∂∂+=∆+∆+


Raíces de polinomios• Por tanto he de resolver el sistema.

• Si las derivadas parciales de las b se pueden determinar, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

• Bairstow demostró que las derivadas parciales requeridas pueden obtenerse a partir de las b por medio de una segunda división sintética entre el factor (x2-rx-s).

000

111

bssbr

rb

bssbr

rb

−=∆∂∂+∆

∂∂

−=∆∂∂+∆

∂∂



2301454n

n22

01232n

n2

011n

1nn

nn

c)rx(cb)rx(b)cxcxc)(srxx)(srxx(b)rx(b)bxbxb)(srxx(

axaxaxa)x(P

+−++−++++−−−−=

+−++++−−=

++++=

−

−

−−

K

K

K

24321321

22102

110

354324323211

33213

221

4322

1nn1n2nn1n2n

1n1n2n3n1n

2n2n3n

1n2n3n3n

n0n1n2n

1n1n1n2n

n1n2n2n

nn1nnnn

n1nn1n1n

nnnn

cscrcbcscrcb

bsbs

sbr

sb

rbsb

rbr

rb

cscrcbcscrcbscrcbc

bsbs

sbr

sb

rbsb

rbr

rbscrcbc

crcbcscrcb

bs

bss

brs

br

bsbr

brr

bscrcbc

bbsbs

sbr

sbcb

rbr

rbscrcbc

0sbr

sb

sbcbb

rbr

rbrcbc

0sb0

rbbc

=++==++=

+∂∂

+∂∂

=∂∂

∂∂

++∂∂

=∂∂

=++==++=++=

+∂∂+

∂∂=

∂∂

∂∂++

∂∂=

∂∂++=

=+==++=

+∂

∂+

∂∂

=∂

∂∂

∂++

∂∂

=∂

∂++=

==∂∂

+∂

∂=

∂∂

=+∂

∂=

∂∂

++=

=∂∂+

∂∂=

∂∂==+

∂∂=

∂∂+=

=∂∂

=∂∂

=

−−−−−

−−−−−

−−−

−−−−

−−−−

−−−−−

−−−−

MMM


Raíces de polinomios• Veámoslo con un ejemplo, encontrar los factores

cuadráticos de03.3x5.0x3.2x1.1x 234 =+++− tomando 1sy2r −=−=

1s −=

1 -1.1 2.3 0.5 3.3

-2.0 6.2 -15 22.8

-1.0 3.1 -7.5

1 -3.1 7.5 -11.4 18.6

-2.0 10.2 -33.4

-1.0 5.1

1 -5.1 16.7 -39.7

1b

2r −=

0b

3c 2c 1c

4a 3a 2a 1a 0a

1x2x6.18)2x(4.115.7x1.3x

1x2x3.3x5.0x3.2x1.1x

22

2

234

++++−++−

=++

+++−

22

22

234

)1x2x(7.16)2x(1.51

)1x2x(3.3x5.0x3.2x1.1x

++++−+

=++

+++−


Raíces de polinomios• El sistema se transforma en.

• Resolviendo el sistema tenemos los incrementos de los valores iniciales de r y s.

• Los errores aproximados en r y s se pueden calcular como:

021

132bscrcbscrc

−=∆+∆

−=∆+∆

%100ss

%100rr

s,a

r,a

∆=ε

∆=ε


Raíces de polinomios• Cuando ambos errores son menores que uno dado,

se calculan las raíces mediante la fórmula cuadrática.

• En este punto hay tres posibilidades:– El cociente es un polinomio de tercer grado o mayor,

se vuelve a aplicar el método tomando como valores r y s los anteriores.

– Cociente cuadrático, se evalúan directamente las raíces.

– El cociente es un polinomio de primer orden, la raíz se evalúa como

2ac4rrx

2 −±=

rsx −=


Métodos abiertos• Vamos a usar método de Bairstow para localizar las

raíz de: %11sr;25.1x875.3x125.2x75.2x5.3x)x(f s

2345 =ε−==+−++−=

-2 -1 0 1 2 3-10

-5

0

5

10

i5.01xi5.01x

2x5.0x1x:Raíces

−=+=

==−=

Ejemplo 10


Métodos abiertos• Vamos a usar método de Bairstow para localizar las

raíz de: %11sr;25.1x875.3x125.2x75.2x5.3x)x(f s

2345 =ε−==+−++−=

-2 -1 0 1 2 3-10

-5

0

5

10

i5.01xi5.01x

2x5.0x1x:Raíces

−=+=

==−=

Ejemplo 10


Raíces de polinomios• Método de Laguerre.Sea

• Calculando la derivada de

• Calculando la segunda derivada de

• Sea x1 la raíz a determinar, se supone que las demás raíces están lejos de x1, y agrupadas en torno a x=X (hipótesis temeraria pero que funciona). Definiendo

ln

)xx()xx)(xx)(xx()x(P n321n −−−−= K

nP

∑= −

==n

1i in

n)xx(

1P'PA

nPln

∑= −

=−=n

1i2

i2n

nnnn)xx(

1P

'P'PP''PB



,b)1n(

a1B

,b)1n(

a1A

22−+=

−+=

• A partir de aquí se elimina b:

• donde se usa el signo “+” si A es positiva y menos si es negativa. Comenzamos con un valor de x0, calculamos a, y en la siguiente iteración usamos el punto x1=x0-a, y así sucesivamente hasta que a sea lo suficientemente pequeño.

,a)AnB)(1n(A

n2−−±

=

Documents

Sin título de diapositivarobertominguez.altervista.org/ProgramaNumerico_archivos/Parte2.pdf · • Iteración simple de punto fijo, también conocido como iteración de un punto