Simulacije - Predavanje 1-3

MAŠINSKI FAKULTET NIŠ - PROGRAMSKI PAKETI 2007/2008 dr Miomir Jovanović

1

Education and Culture

Predavanje 1-3

SIMULACIJA TOKOVA MATERIJALA

Modeliranje Sistem

Jedan objekt se može smatrati sistemom ako ispunjava sledeće uslove: - ako se može definisati spolja prepoznatljiva svrha sistema, - ako se može predstaviti određena zavisnos elemenata sistema i njihovo uzajamno

dejstvo, koje njegova funkcija određuje,

Granice sistema Svaki sistem ima okruženje u kome deluje. Povlačenje granica pri posmatranju jednog sistema moguće je tamo: - gde postoji samo slaba veza sa okruženjem, - gde postojeće veze nisu funkcionalno relevantne, - gde delovanje okruženja nije određeno samo na sam sistem.

Model Model je pojednostavljena slika realnog ili zamišljenog sistema sa funkcijskim

procesima u jednom suprotstavljenom sistemu. Model se razlikuje od realnog sistema u pogledu predstavljanja relevantnih osobina, zavisno od kvaliteta matematičkog modeliranja.

Model se koristi da bi se njime rešio zadatak u slučajevima kada njegovo rešavanje direktnim operacijama nije moguće ili bi bilo veoma obimno.

Klasifikacija Osnove za izradu modela i svrha njegovog korišćenja date su u sledećoj tabeli:

Karakteristika klasifikacije Namena - svrha Oblast primene Podrška razvoju / podrška pogonu /

istraživanje / obuka i trening /... Ciljna grupa / Krajnji korisnik Planer / Management / Marketing / eksperti

za simulacije /... Vreme korišćenja (trajanje važnosti, odnosno učestalost korišćenja)

Objekat posmatranja Proizvodni sistem / transportni sistem / upravljanje / oprema za komisioniranje / skladište / trgovački procesi...

Svrha korišćenja Opisivanje / odlučivanje / optimizacija Cilj obrade Analiza / sinteza / prognoza


2

Vrsta i obim opisivanja modela može se takođe dati tabelarnim pregledom

Karakteristika klasifikacije Svrha Vrsta realizacije Materijalno ili fizički / zamišljeno ili

formalno Predstavljanje sistemnih veličina Digitalno / analogno Medijum opisivanja Štampani materijal / rukopis /elektronski

medium (software)... Notiranje Grafiški / tekstom / matematički /

kombinovano.. Metoda istraživanja Analitički model / simulacioni model Koncepti modeliranja:

matematički Na bazi: / automata / Petrijeve mreže / teorije redova čekanja / hibrida

generisanje Entity Relation Models, paradigma orjentisna na objekt ili agente

orjentacija na aplikaciju Paradigma procesnog lanca, koncepti orijentisani na komponente

Ponašanje u vremenu Statičko / dinamičko Slučajno ponašanje Determinističko / stohastičko Odvijanje u vremenu Diskretno / kontinualno / hibridno Upravljanje procesom odvijanja Na bazi događaja / orjentacija na proces /

orjentacija na aktivnosti / orjentacija transakcije / vremensko upravljanje

Simulacija, principi i područja primene Simulacija je postupak predstavljanja jednog sistema sa njegovim dinamičkim procesom pomoću eksperimentalnog modela da bi se došlo do saznanja koja se mogu preneti na realni sistem. U širem smislu pod simulacijom se podrazumeva priprema, sprovođenje i računska obrada eksperimenata sa jednim simulacionim modelom.

Sl. 1.1 Sprovođenje ciljnog eksperimenta sa simulacionim modelom


3

Sl. 1.2 Simulacije u praksi

Sl. 1.4 Komjuterske simulacije sistema toka materijala


4

Simulacija na računaru – principi

Simulacija diskretnih događaja, koristi model fizičkog sistema koji u diskretnim vremenskim tačkama menja svoje stanje. Vrsta i vremenska tačka promene stanja mogu se uvek egzaktno odrediti. Kontinualna simulacija, koristi jednačine koje sistem opisuju u formi intenziteta promena. Monte-Carlo simulacija odslikava stohastičke procese, kod kojih vreme ne igra ulogu. Ona se označava i kao metoda ponovljenih pokušaja. Kombinovana simulacija, primenjuje simulaciju diskretnih događaja na jedan kontinualni model. Hibridna simulacija, koristi kontinualne sub-modele u okviru modela diskretnih događaja. Kompjuterske igre su po pravilu kombinacija svih ovde naznačenih simulacija.

Stanje sistema, promena stanja i prelazna stanja

Stanje sistema je skup i konkretno formiranje svih promenljivih, koje su potrebne da bi se model odnosno sistem opisao u određenom vremenskom trenutku.

Promenu stanja sistema predstavlja promena najmanje jedne promenljive u procesu rada sistema. Postoje kontinualna ili diskretna prelazna stanja.

Kontinualna prelazna stanja opisuju se diferencijalnim jednačinama, a diskretna prelazna stanja određena su događajima.

Primena simulacija

Primena na procesima. Kod ispitivanih postupaka radi se o: • slučajnim procesima kod kojih se može razlikovati:

- nanošenje opterećenja - redosled i dodela, - raspoloživost, otkaz komponenata.

• usko spojenim, kompleksnim sistemima sa zastojima i blokadama

Primena na sistemima. Ispitivanja na realnim sistemima mogu biti: • nemoguća:

- kad sistem još ne egzistira, - kad je verovatno oštećenje ili razaranje sistema.

• neekonomična: - kada je vreme ispitivanja dugo ili - kada ometa regularni rad sistema.

Polja primene simulacije

Novo planiranje. Ovde se primenjuje simulacija da bi se ostvarii sledeći ciljevi: • provera funkcionalnosti, • određivanje učinka, • minimiziranje troškova s obzirom na: dimenzionisanje postrojenja, strategiju

upravljanja, utvrđivanje uskih grla, određivanje vremena protoka, formiranje zaliha.


5

Modifikacija postojećih postrojenj,. Ciljevi: • određivanje graničnih kapaciteta, • analiza slabih mesta i uskih grla, • ocena nastalih promena s obzirom na: kapacitet, proizvodnju, proizvodne planove, strukturu

sistema, organizaciju i strategiju rada (npr. proizvodnje).

U fazi realizacije može se uraditi sledeće: • test učinka postrojenja pri postepenom puštanju postrojenja u rad, • preispitivanje odziva (ponašanja) na bazi zahtevanih promena, • proba i testiranje upravljačkog softvera, • školovanje saradnika.

U toku normalnog rada može da se analizira • operativno poređenje varijanti dispozicionih alternativa za: raspored mašina, utvrđivanje

redosleda, određivanje veličine prostora, primenu personala.

Prednosti, nedostaci i granice primene simulacije Prednosti

1. Sigurni dobitak

• smanjenje rizika, • funkcionalnost sistema, • funkcionalnost upravljanja, • kvalitet obaveza. 2. Ušteda troškova

• jednostavan sistem i upravljanje, • optimizacija međuskladišta, zaliha i odvijanja rada. 3. Poboljšano razumevanje sistema

• osetljivost parametara, • zasnovanost izabranih rešenja, • obuka personala, • dinamička analiza i predstavljanje. 4. Povoljno vođenje procesa

• podrška odluka pri pojavi problema u radu (proizvodnji), • optimizacija procesa prema proizvoljnim funkcijama cilja, • optimizacija upravljanja, • smanjenje troškova smetnji, • skraćenje faze uhodavanja.

Nedostaci

1. Modeliranje i simulacija zahtevaju specijalno obrazovanje

• obrazovanje u modeliranju i simulaciji postaje dodatni sastavni deo inženjerskog obrazovanja, • softveri simulacija nude uvek bolju podršku pri definisanju - uspostavljanju simulacionog

modela i njegovoj validnosti.

2. Simulacioni modeli zahtevaju interpretaciju • softveri simulacija nude uvek bolju podršku pri analizi rezultata simulacije.


6

3. Simulaciona ispitivanja su vremenski obimna i skupa • sposobnost racunanja postaje sve povoljnija, • produktivnost simulacije se povećava poboljšanjem softvera i obrazovanja.

Granice i lista uputstava

• simulacije sprovoditi uvek pre investicija, • simulacija uvek predpostavlja jasnu definiciju cilja i procenu obima, • pre simulacije treba iskoristiti analitičke metode, • simulacija nije zamena za planiranje, • kvalitet rezultata simulacije ne može biti bolji nego što dozvoljavaju podaci sa kojima je

simulacija izvedena, • simulacija je onoliko dobra koliko i saradnja osoblja koji radi studiju.

Istorijat simulacije diskretnih događaja Istorijat

Računarska simulaciona

tehnika

Jezik simulacije

Računska tehnika

Tehnika toka materijala

1955 Analogna simulacija

Počeci traženja rešenja

Veliki računar kao industrijsko postrojenje

60-65 Istovremena po-java više simu-lacionih jezika

GPSS, GASP/SLAM, Simscript, Simula

Prve radne stanice i digitalni računari sa programiranjem u simulacionoj primeni

Prvi visokoskladišni regal u Nemačkoj

65-80 Uska povezanost hardverske baze i jezika imulacije

Diversifikacija jezika simulacije (npr. 14 GPSS diskete)

IBM veliki računar-Dominanz, tržište radnih stanica

Rasčlanjavanje skladišta u proizvodnom procesu, tehnika raspodele

1980 Ozbiljna kompjuterska grafika, prvi PC

Spajanje transportnih i informacionih tokova

1985 Prve vizuelizacije

AutoMod,GPSS, Simple++, SimFactoryll5

Prodor PC Usaglašenost transportnih sredstava i baukasten sis.

1990 Paketi imulacija, orjentacija na objekte

AutoMod II, Witness, ProModel, SimanArena

PC su u potpunosti potisli velike računare

KanBan, Just-in-Time, inteligentna tehnika transpotnih tokova

2000 Integrisana simulacija

Zamena radnih stanica sa PC Virtuelno preduzeće, e-comerce, kompleksna postrojenja traži simul.

Sadašnje stanje

AutoMod Brooks Automation (AutoSimulations)

eM-Plant Tecnomatrix (Simple ++)

Enterprise Dynamik Enterprise Dynamik

• kombinacija opštih

simulacionih jezika i modeliranje orijentisano ugradne komponente, bazirana na Layout

• prava razmera 3D okruženja • baziran na Compiler-u

• okruženje modeliranja

orjentisano na ugradne komponente i objekte

• 2DVizualiziranje (3D per Add-on)

• model okruženja orjentisan na

objekt • 2D modeliranje, razmera 3D

simulacije • Auto-kompilacija

Dalji softveri: Arena, Witness, Dosimis, SimFactoriyll 5,

ProModel, AIM, SimPRO, Quest, Flexsim


7

Dalji izgledi

• dalji razvoj softvera za simulaciju: - poboljšanje korisničkih mesta, - proširenje softverskih preseka: ODBC, TCP/IP, ActiveX, Apls, - poboljšanje alata za analizu: genetsko optimiranje, - automatska proizvodnja modela.

• zatvaranje novih oblasti primene: - povezivanje simulacija: test upravljačkih softvera; operativno nalaženje odluka;

podeljena simulacija, - formiranje računskog modela, - integracija u menadžment podataka preduzeća.

2. STATISTIKA

Slučajne promenjive: neprekidne i diskretne Slučajna promenljiva je ona koja dobija vrednosti kao rezultat slučajnog procesa.

Neprekidne slučajne promenljive mogu uzeti beskonačno mnogo vrednosti, npr. vreme čekanja.

Diskretne slučajne promenljive mogu uzeti samo konačne vrednosti, npr. broj zahteva Statistički brojevi: srednja vrednost, varijanca, kvantili

Srednja vrednost predstavlja aritmetičku sredinu vrednosti niza merenja, kao:

( ) ∑=

=+++=n

1iin21 X

n1X......XX

n1X .

Srednja vrednost se označava i kao očekivana vrednost EX, pa važi:

( ) EYEXYXE +=+ . Varijanca predstavlja meru rasipanja vrednosti jednog niza merenja

( ) ( )2

i

2

i EXXn1XX

n1VX ∑∑ −=−= .

Standardno odstupanje je kvadratni koren varijance: VXs = .

Raspodele: neprekidna i diskretna raspodela Funkcija gustine i funkcija raspodele pri neprekidnoj raspodeli

Definicija: Funkcija gustine jedne neprekidne raspodele je pozitivna funkcija za koju važi:

( ) ( )dxxfbXaPb

a∫=≤≤


8

Grafik predstavlja verovatnoću, da vrednost x leži u intervalu između a i b.

Sl. 2.1 Funkcija gustine kod neprekidne (kontinualne) raspodele a. funkcija verovatnoće gustine raspodele f(t), b. funkcija raspodele F(t)

U oblasti međuvremena dolazaka, gustina verovatnoće može uzeti vrednosti:

( ) ∞≤≤ tf0 (2.7) Pri tome mora biti ispunjen uslov normiranja (2.8), da je površina ispod krive na slici 2.1-a, jednaka 1.

( ) 1dt tf0

=∫∞

(2.8)

VEROVATNOĆA: nastajanja međuvremena dolaska, sa vrednostima ktt0 ≤≤ , odgovara

integralu funkcije verovatnoće gustine od 0t = do ktt = . Verovatnoća P (Probability) je:

( ) ( ) ( )k

t

0k tFdt tftt0P

k

==≤≤ ∫ (2.9)

FUNKCIJA RASPODELE: Češće se umesto funkcije gustine raspodele, koristi funkcija raspodele F(t) sa kojom se raspodela međuvremena dolazaka još jednostavnije određuje (vrednuje). Funkcija raspodele F(t) nastaje integracijom funkcije verovatnosne gustine. Moguća oblast njene vrednosti je:

( ) 1tF0 ≤≤ (2.10.)

f(t)


9

Vrednost funkcije ( )ktF na sl.2.1-b, odgovara integralu prema jednačini (2.9). Uz pomoć funkcije

raspodele, verovatnoća da nastupi međuvreme dolaska u oblasti k1 ttt ≤≤ , može se dati

jednostavno kao razlika vrednosti funkcije ( )1tF i ( )ktF . Za verovatnoću se piše:

( ) ( ) ( )1kk1 tFtFtttP −=≤≤ (2.11) Iz jednačine (2.11) postaje jasno da verovatnoća za nastanak međuvremena dolazaka za 0it = je ( ) ( ) ( ) 0tFtFtP iii =−= . Ovakav slučaj (stanje) važi za sve neprekidne slučajne promenljive (npr.

merenje puta i vremena). Nasuprot tome može se za svako pojašnjenje jedne diskretne slučajne promenljive (npr. broj komada) dati jedna konkretna verovatnoća. Međuvreme dolaska je po svojoj prirodi neprekidna veličina. Očekivana vrednost neprekidne raspodele (prolazno vreme): Koja se srednja vrednost međuvremena dolazaka može očekivati ? Očekivana vrednost E(t) može se odrediti iz funkcije verovatnoće gustine f(t), prema izrazu (2.12). Očekivana vrednost kao izbalansirana vrednost svih mogućih međuvremena dolazaka odgovara težištu površine između apcise i krive f(t). Očekivana vrednost:

( ) ( )dttfttE0∫∞

⋅=

Primer: Radni vek jednog lasera iznosi u proseku 2 godine. Statistička raspodela veka trajanja poseduje funkciju gustine datu izrazom i grafikom:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧≥=

−

inace0

0xe21

xf2x

Sl.2.3 Grafik neprekidne raspodele Verovatnoća da će vek trajanja lasera iznositi između 2 i 3 godine je:

( ) %5.14145.0145.0368.0eee213X2P 2

322

2x3

2==−=−==≤≤

−−−∫ .

Funkcija raspodele radnog veka lasera je

( ) 2xx

0

2t

e1dte21xF

−−−== ∫ .

Verovatnoća daće vek trajanja lasera biti između 2 i 3 godine je:

( ) ( ) ( ) ( ) %5.14145.00368223.0eee1e12F3F3X2P 23

1123

==+−=−=−−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=−=≤≤

−−−−

Verovatnoća da vek trajanja lasera bude ispod 2 godine iznosi:

( ) ( ) %2.63632.0e12F2XP 1 ==−==≤ −


10

Funkcija gustine pri diskretnoj raspodeli

Klasa i=1(1)nt=constantΔ

t Δ

H i

H 2 H 1

0 t 1 t2 t3 tn ti

Slika 2.7. Histogram apsolutne učestalosti izmerenih međuvremena dolaska i vremenskih klasa širine tΔ

U PRAKSI: Funkcija verovatnoće gustine f(t) i funkcija raspodele F(t) međuvremena dolaska u svojoj matematičkoj formi za izvedene sisteme materijalnih tokova u normalnim slučajevima unapred nisu poznate. Merenjem se može odrediti sa kojom učestalošću se javljaju međuvremena dolazaka u unapred zadatom vremenskom intervalu. Kao približenje, dobija se diskretna raspodela koja je u stvarnosti neprekidna raspodela međuvremena dolazaka. Kao rezultat, može se apsolutna učestalost

iH predstaviti, na primer, u formi histograma prema slici 2.7. Pri tome, za relativnu učestalost važi:

∑=

= n

1ii

ii

H

Hh za 1h0 ≤≤ (2.13)

Pod pretpostavkom da je rezultat merenja (sl.2.7) reprezentativan za sva međuvremena dolazaka, tada se empirijski može izjednačiti relativna učestalost ih sa nepoznatom verovatnoćom ip :

ii hp ≈ za 1p0 i ≤≤ (2.14)

pri tome: ( )i1ii tttPp ≤<= − (2.15)

0

0

p 1

t1

t1

p2

t 2

t2

tk

tk

pk

tn

tn

ti

t i

p i

P k

P 1,0

a.

b.

Slika 2.8. Diskretne raspodele međuvremena dolazaka pomoću: a. elemenata vektora verovatnoće, b. funkcija raspodele


11

Kumulativna funkcija diskretne raspodele

Definicija: Funkcija raspodele diskretnih veličina predstavlja kumulativnu funkciju gustine: Vrednosti ip su elementi vektora verovatnoće sa sumom jedan:

∑=

=n

1ii 1p (2.16)

KOLIKA JE VEROVATNOĆA DISKRETNE RASPODELE: Verovatnoća za nastajanje međuvremena dolazaka sa vrednošću ktt0 ≤≤ , određuje model diskretne raspodele, analogno integraciji, procedurom sumiranja. Sada se verovatnoća može napisati:

( ) ∑=

=≤≤k

1iik ptt0P (2.17)

OČEKIVANA VREDNOST DISKRETNE RASPODELE: Verovatnoća nastanka međuvremena dolazaka u oblasti k1 ttt ≤≤ , može se odrediti takođe za diskretnu raspodelu, kao razlika vrednosti

funkcije F(t). Očekivana vrednost diskretne raspodele analogna je jednačini (2.12).

( ) ∑=

⋅=n

1iii pttE (2.18)

U ovom odeljku, uvedene su diskretne raspodele međuvremena dolazaka kao u praksi merljiva približenja neprekidne raspodele. Kad se vrednosti međuvremena dolazaka u stvarnost menjaju skokovito, na primer ako se daju kao cele vremenske jedinice ″dan″, ″sedmica″ ili mesec. Rasipanje vrednosti međuvremena dolazaka

Potreba za velikim stepenom iskorišćenja nameće potrebu da se rasipanje međuvremena dolazaka vrednuje. Za to je pogodna tzv. varijanca ili disperzija kao najpoznatiji parametar rasipanja u statistici. Varijanca je očekivana vrednost kvadrata odstupanja od srednje vrednosti. Za neprekidnu (kontinualnu) raspodelu varijanca se definiše izrazom:

( ) ( )( ) ( )dttftEttVar0

2∫∞

−= (2.20)

Za diskretnu raspodelu varijanca se računa prema: ( ) ( )( )∑=

⋅−=n

1ii

2 ptEttVar (2.21)

Često se kao parametar rasipanja daje standardno odstupanje σ : ( ) ( )tVart =σ (2.22) Da bi se raspodele sa različitim vrednostima očekivanja (rasipanja) mogle upoređivati, pogodno je relativno standardno odstupanje poznato kao koeficijent varijacije v:

( ) ( )( )tEttv σ

= (2.23)


12

Ostale važne raspodele: neprekidne i diskretne raspodele Neprekidna exponencijalna raspodela:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧ ≥⋅λ=

⋅λ−

00xexf

e ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≥−=

⋅λ−

00xe1xF

x

Sl. 2.4 Exponencijalna raspodela

Očekivana vrednost i varijanca: ( )λ

=1XE , ( )

21XVλ

=

Primena: • za vremena između nezavisnih događaja, npr. međuvremena dolaska za slučajno nastale

zahteve (materijal, proizvodi, ljudi), • za modeliranje veka trajanja komponenata koje iznenada otkazuju (npr. sijalice), • pogodna, kada međuvremena dolaska jako osciliraju, kada vrednosti nemaju međusobni

uticaj, kada procenjena srednja vrednost nije suviše velika, • nepogodna za predstavljanje vremena usporavanja.

Neprekidna normalna raspodela:

FORMULACIJA: Normalna raspodela pogodna je za modeliranje kod procesa kod kojih postoji vrlo mnogo pojedinačnih u znatnoj meri nezavisnih uticaja koji deluju na sistem. Funkcija gustine:

2x21

e2

1)x(f⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

σμ−

−⋅

π⋅⋅σ= -∞≤x≤+∞: (3.70)

Gde je: μ - (nepoznata) stvarna srednja vrednost, σ - (nepoznato) stvarno standardno odstupanje.

Ako su vrednosti X normalno raspodeljene, prema jednačini (3.70) iz normalne raspodele N(μ,σ), supstitucijom vrednosti u=(x-μ)/σ, dobija se normalna raspodela sa μ=0 i σ=1. Funkcija gustine ove standardne normalne raspodele, koja je označena kao normirana normalna raspodela N(0,1) je:

2

2u

e4.0e2

1)u(f

2

2u −

⋅≅⋅π⋅⋅σ

=−

(3.71)


13

Gustina njene verovatnoće predstavljena je na slici 3.36.

Slika 3.36 Verovatnoća gustine standardne normalne raspodele N(0,1).

OSOBINA: Izmedju granica -1≤u≤1 leži oko 2/3 svih vrednosti jedne normalne raspodele slučajne veličine a izmedju -2≤u≤2, oko 95 %. Vrednost funkcije f(u) nalazi se u tabelama svih standardnih knjiga statistike (recimo HARTUNG 1993.).

Logaritamska normalna raspodela

( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

σ

μ−−

πσ=

2

2

2

xlnexp2

1x1xf ,

Sl. 2.6 Grafik logaritamske normalne raspodele

Očekivana vrednost i varijanca: ( ) 2

2

eXEσ

+μ= , ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= σσ+μ 1eeXV

222

Primena: • pri mnogostrukom prenošenju velikog broja nezavisnih slučajnih veličina, • za aproksimaciju kose raspodele, • za modeliranje veka trajanja i ostvarenja vremena čekanja.

0 1-1-2 2

f(u)

u


14

Jednaka (ravnomerna) raspodela

( )⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤

−=inace0

0xaab

1xf ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

≤≤−−

<

=

xb0

0xaabax

ax0

xF

Sl. 2.7 Gustina i funkcija raspodele

Očekivana vrednost i varijanca: ( )2

baXE += , ( ) ( )

12abXV

2−= .

Primena: • pogodna, kada proces nije dovoljno poznat, ali se minimum i maksimum mogu proceniti, • generatori slučajnih brojeva proizvode uglavnom jednako raspodeljene slučajne brojeve u intervalu (0,1).

Raspodela oblika trougla

( )

( )

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=≤≤

−−

≤≤−−

=

inace0ac

2hsacxbbcxch

bxaabaxh

xf ( )

( )( )( )

( )( )( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

<

≤≤−−

−−

≤≤−−

−

<

=

xc1

cxbbcac

xc1

bxabcab

ax

xa0

xF2

2

Sl. 2.8 Grafik trougaone raspodele

Očekivana vrednost i varijanca: ( )3

cbaXE ++= , ( )

18bcacabcbaXV

222 −−+++=

Primena: • kada tačna forma raspodele nije poznata, ali minimum, maksimum i uspešno očekivane vrednosti

stoje na raspolaganju, • lako primenljiva i razumljiva, tačno ograničena oblast vrednosti, gruba slučajna procena pri

asimetričnoj raspodeli, • suviše netačna za korektno modeliranje.


15

Bernulijeva raspodela

⎪⎩

⎪⎨

⎧==−

=inace0

1ip0ip1

pi ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤≤−

<=

x111x0p1

ax0xF

Sl. 2.9 Grafik Bernulijeve raspodele

Očekivana vrednost i varijanca: ( ) pXE = , ( ) ( )p1pXV −⋅= .

Primena: Bernulijeva raspodela odgovara jednoj slučajnoj probi sa dva moguća rezultata: • uspeh sa verovatnoćom p i • neuspeh sa verovatnoćom (1- p).

Binomna raspodela

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧−==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

inace0

p1qsan....,,1,0xqpin

xf1ni

,

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

<

= −

=∑

xn1

1x0qpin

0x0

xF 1nix

0i.

Očekivana vrednost i varijanca: ( ) pnXE = , ( ) qpnXV = .

Primena: • za broj grešaka pri ispitivanju n komponenata, • za broj članova u grupama slučajnih veličina, npr. ljudi, zahtevi-nalozi.

Poasonova diskretna raspodela:

FORMULACIJA: Binomna raspodela prelazi za vrlo malo p i veliko n u Poasonovu (Poisson) raspodelu. To izražava relacija:

( )

∞→

⋅λ

=−⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ−−

n

e!x

p1pxn

limx

xnx (3.46)

Proces važi kada proizvod n⋅p teži konačnoj vrednosti λ. Za Poasonovu verovatnoću piše se:


16

0(1)n xza ,e!x

)xX(Px

=⋅λ

== λ− (3.47)

Funkcija raspodele dobija se postepenom simulacijom:

,e!x

)xX(P)xX(P)x(Fx

0x ixxii

i

ix

ni

∑∑=

λ−

≤⋅

λ===≤= (3.48)

Očekivana vrednost i varijanca Poasonove raspodele imaju istu vrednost:

pn)X(Var)X(E ⋅=λ== (3.49)

Poasonova raspodela zove se i raspodelom retkih dogadjaja. Ona se koristi za opisivanje dogadjaja sa malom verovatnoćom nastajanja (malo p) ali za koju postoji veliki broj mogućnosti (veliko n). U transportnim tokovima Poasonova raspodela nalazi veliku mogućnost primene.

PRIMER: Tehnički odeljak kontrole, sa slike 3.28, ima propisanu moć (protok) λA+λB=λ=60 [h-1]

gotovih proizvoda. U proseku je 95 % ispravno a 5 % proizvoda traži naknadnu doradu za koju su predvidjeni kapaciteti (prostor, mašine, personal) koji obezbedjuju granični protok od γ=4 [h-1] proizvoda. Postavlja se pitanje verovatnoće povremenog preopterećenja odelenja naknadne dorade kao i potreba za odredjivanjem površine koja obezbedjuje odlaganje (čekanje) na doradu. Slika 3.30 situacije sa vrednostima:

IspitivanjeA BCekanje ?Dorada

Montaža (A+B)

FTS

WA-L.WA

Slika 3.30 Primer odredjivanja prostora za doradu neispravnih proizvoda

Odelenje naknadne dorade nije preopterećeno, što se utvrdjuje stepenom iskorišćenja:

143

2

22 <=

γλ

=ρ (3.50)

Iz ove relacije se još ne može utvrditi da li povremeno ne dolazi do preopterećenja P(X>4). Za raspodelu proizvoda sa greškom, može se uzeti Poasonova raspodela jer je p=0.05, n=60, np=3. Verovatnoća nastajanja preopterećenja P(X>4) računa se kao komplementarna vrednost jednačini (3.48):

λ−

=⋅

λ−=≤−=> ∑ e

!x1)4X(P1)4X(P

4

0x

x (3.51)

Za λ=λ2=3, zamenom u jednačini dobija se:


17

18.0827

29

293105.01

!43

!33

!23

!13

!03e1)4X(P

432103 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++++⋅−≅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++++⋅−=> −

Iz ovoga sledi da za oko 18 % svih radnih sati u posmatranom vremenskom intervalu, može biti preopterećenja u odelenju dorade a to znači da pitanje odredjivanja neophodne površine kao medjuskladišta ispred dorade mora ozbiljno da se razmatra. Ovo može da se sprovede samo uz pomoć teorije verovatnoće (videti tačku 4) ili simulacije (tačka 6.6). Na slici 3.31, predstavljena je funkcija raspodele za navedeni primer.

0

1,0

0,5

P(X=0)

P(X=4)

P(X>4)=0,18P(X<4)

P(X<x)

21 3 4 5 6 x

Slika 3.31 Poasonova funkcija raspodele proizvoda sa greškom u odelenju dorade (Δt=1 h).

Primena: • Poasonova raspodela se dobija za veliki broj n iz binomne raspodele, u slučaju da je verovatnoća

pojave jednog od dva događaja vrlo mala i kada je broj proba relativno veliki, • broj nezgoda (povrdeda, udesa i sl.) po danu (odnosno mesečno ili godišnje) na jednoj deonici

autoputa ili broj zahteva (pitanja, interesovanja) za jednim vrlo retko upotrebljavanim rezervnim delom u određenom vremenskom periodu imaju raspodelu Poasona.

3. NUMERIČKE PROCEDURE

Ponašanja realnih transportnih procesa, izraženo je njihovim karakterističnim veličinama kao slučajnim promenljivama. Bazni zadaci proračuna protoka, iskorišćenja, vremena čekanja, zahtevaju rešavanje sledećih matematičkih zadataka:

• Procenu oblasti raspodele nepoznatih parametara slučajne veličine, • Ispitati hipoteze o parametrima ili tipu raspodele (zakonu rasodele).

Generalno, zadatak se sastoji u tome da se na bazi oskudnih informacija (koje potiču iz štih-proba), donese zaključak o stvarnom izgledu celine iz koje je proba uzeta. U ovom slučaju se govori o zatvorenoj (induktivnoj ili ocenjenoj) statistici.

3.1 Slučajni brojevi u simulaciji Za stohastičku simulaciju poterban je veliki broj slučajnih brojeva, koji odgovaraju unapred zadatoj funkciji raspodele. U tu svrhu koriste se generatori slučajnih brojeva: Definicija: Generator slučajnih brojeva je numerički algoritam, koji proizvodi sled slučajnih veličina. Osobine:

• stohastički nezavisni i identično raspodeljen sled članova, • maksimalna gustina, dugi periodi, • jednostavna, brza i reproduktivna proizvodnja redosleda slučajnih brojeva.


18

Linearni kongruentni generatori (LCK) Definicija:

( ) mmodcZaZ 1ii += − ( )ulmod2m ≥ ( )tormultiplikama1 << ( )pomeranjemc0 <≤ ( )stetnavrednocpomZ0 0

(<≤ x mod y je celobrojni ostatak deljenja x sa y. Polazeći od startne vrednosti LCG računa članove slučajnog redosleda posredstvom rekurzije. Osobine: Linearni kongruentni generator proizvodi prirodne brojeve iz intervala [0, m]. Transformacijom:

mZ

U ii = , dobijaju se jednako raspodeljeni standardni slučajni brojevi iz intervala [0, 1].

Primer: 7Z,3c,5a,16m 0 ==== , ( ) 16mod3Z5Z 1ii += −

i Zi Ui i Zi Ui i Zi Ui i Zi Ui 0 7 - 5 10 0.625 10 9 0.563 15 4 0.250 1 6 0.375 6 5 0.313 11 0 0.000 16 7 0.438 2 1 0.063 7 12 0.750 12 3 0.188 17 6 0.375 3 8 0.050 8 15 0.938 13 2 0.125 18 1 0.063 4 11 0.688 9 14 0.875 14 13 0.813 19 8 0.500

Dužina perioda P ( ) k41a,1c,mggT,0c,2mzamP b +==≠==

{ } 0b Z,k8315a,0c,2mza4mP +====

( ) 1mk0mmod1a,0c,mimzahlPrza1mP k −<∀≠−=−=

Testovi slučajnih brojeva

• Testovi na jednakost raspodele: - χ2

– test, - Test Kolmogrova – Smirnova.

• Testovi na nezavisnost - Tekući test: Koliko je uzastopnih brojeva veće (manje) od nihovih predhodnih?

Koliko je uzastopnih brojeva veće (manje) od srednje vrednosti? - Autokorelacioni test - Gap-test: Sa kojim se rastojanjem ponavljanu cifre? • Spektralni test (korelacije na veću distancu): dobri slučajni brojevi proizvode spektar

belog šuma (weisses Rausch): - n – Cube-test (korelacija na kratku distancu), - n – Tupel (xi, xi+1,....xi+n+1) naneti u karakteristične koordinate i ispitati na

homogeno zauzeće, - Ispitati , da li delimične sume sekvenci imaju normalnu raspodelu, - Poker-test.


19

4. TEORIJA OPSLUŽIVANJA 4.1 Modeli opsluživanja

Strukturu modela opsluživanja (sl. 4.1), čini sistem opsluživanja koji povezuje početak (izvor) i kraj (ponor) jednog toka materijala, ovde izraženog transportnim jedinicama (LE). Funkcije vremena dolaska i vremena opsluživanja imaju odgovarajuću raspodelu.

Sl. 4.1 Struktura modela opsluživanja

Osobine: Kendal simbolika A/b/s/n , sa sledećim značenjem:

• A: Raspodela polaznih zaliha, • B: Raspodela vremena opsluživanja, • s: Broj stanica za opsluživanje, • n: Broj mesta za čekanje.

Raspodele:

• M (Markov): Eksponencijalna raspodela, • GI (general independend): Opšta raspodela, • D (deterministc): Konstantna raspodela, • Ek (Erlang-k): Erlangova raspodela.

Discipline opsluživanja: FIFO, LIFO, SIRO Klase zahteva i prioriteti Broj redova čekanja Batch – pogon ?


20

Stacionarni sistem

• sistem u ravnoteži • procesi sa (uvedenim) oscilacijama

Nestacionarni sistem

• funkcija raspodele nezavisna od vremena, npr. oscilatorna faza sistema • funkcija raspodele zavisna od vremena, npr. sa oscilacijama dnevnog, nedeljnog ili

sezonskog rada Raspodela vremena opsluživanja

Funkcija gustine vremena opsluživanja jednog kružnog (karusel) skladišta data je relacijom

( )( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<−

≤≤−

=−

−

tzae1e

t0zae11

tb

gt

g

gt

g

ege

e

μμ

μμ

μμμ

μ

, i dijagramom na sl. 4.2.

Sl. 4.2 Funkcija gustine vremena opsluživanja Sl. 4.3 Funkcija raspodele vremena vožnje regalne dizalice(prosti ciklus)

Funkcija raspodele vremena vožnje regalne dizalice za prosti ciklus definisana je relacijom

( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<<

≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

maxmax*

max

max*

2

max

*

t2ttw2zat

t21

tw2t0zat

tw41

tF

gde je: LH vv

LHw = , ( )w1,wminw* = , ( )Lv,Hvmaxt LHmax = .

i dijagramom na sl. 4.3.


21

4.2 Metode 4.2.1 Proces dolaska i odlaska u sistemu opsluživanja (sl. 4.4)

Sl. 4.4 Proces dolaska i napuštanja sistema opsluživanja

4.2.2 M/M/1 – Sistem opsluživanja

Graf Markov-a za sistem opsluživanja M/M/1, predstavlja se na sledeći način:

Bilansne jednačine za stanje imaju sledeću strukturu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )kpkk1kp1k1kp1k μλμλ +=+++−−

( ) ( ) ( ) ( )1p10p0 μλ =

( ) ( )( ) ( )0p101p

μλ

= ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ,...2,1kza0p

k...211k...10kp =

−=

μμμλλλ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0p

21101p

μμλλ

= ( ) ( )( )∑∞

+−= +

+=

1k1k

1i 1ii1

10p

μλΠ

Rezultat

Pojedinačne verovatnoće, raspodele, Quantili,....

Uslov:

Proces je stacionaran i nije izmišljen (gedaechtnislos)

Za slučaj nestacionarnosti: stanje u vremenskom trenutku t definiše se izrazima:


22

( ) ( ) ( )( )( )

( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

==== ∫

−+−

μλ

μλμλ

μλ

μλ

μλ

μλ

μλπ

μλ

π λμμλ

za0

za1dyy1ksinkysiny1isiniysin

ycos21

ycosee2

i0NktNPtP

k2121

0

t2

2ikt

ik

( ) ( )( )( )

( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=== ∫

−+−

μλ

μλλμ

λ

μλ

μλ

μλπ

μλ

π λμμλ

za0

zadyy1isiniysin

ycos21

ysinee

i0NktNE

21

02

ycost2

2ikt

4.2.3 M/G/1 – Sistem opsluživanja Graf Markov-a za sistem opsluživanja M/G/1 ima sledeći izgled a bilansne jednačine stanja imaju sledeću formu

( ) 010403020010 Pp1...PpPpPpPpPp −=++++= ( ) 11141312102001 Pp1...PpPpPpPpPpPp −=++++=+

( ) 2124232220301202 Pp1...PpPpPpPpPpPpPp −=++++=++ ( ) 313433323040221303 Pp1...PpPpPpPpPpPpPpPp −=++++=+++

Verovatnoće stanja M/G/1 sistema opsluživanja date su spektrom krivih na sl. 4.5

Sl. 4.5 Verovatnoće stanja sistema M/G/1


23

5 SIMULACIJA DISKRETNIH DOGADJAJA

5.1 Osnovni pojmovi i tipične osobine simulacionih modela Sistem: Skup objekata, njihovih atributa i njihovog promenljivog dejstva.

Sl. 5.1 Struktura sistema, njegova unutrašnja povezanost i granice Model: Je apstrakcija jednog realnog sistema sa definisanim prepoznatljivim ciljem. Posmatranja na modelu:

• podaci u sistemu nisu raspoloživi/nisu uočljivi, • brzina procesa je suviše mala ili suviše velika, • sistem ne dozvoljava nikakve eksperimente.

Stanje sistema/modela Ukupnost svih (relevantnih) informacija o sistemu / modelu u jednom odredjenom vremenskom trenutku b) Osobine (karakteristike) modela

Sl. 5.2 Način modeliranja


24

Strukturalno modeliranje sistema tokova materijala Statičko modeliranje Relativno ukupno vreme transporta

• Odnosi izvor – ponor M = mij [pokretanja /h] • Vreme vožnje – puta T = tij • Ukupno vreme transporta: t = M⋅T = Σmij tij

Primena pri:

• optimiranju rasporeda proizvodnih oblast • grubom planiranju transportnih sistema

Granična sposobnost pojedinih komponenata

• rasmatranje mehaničkih, logističkih i upravljačko-tehničkih podataka • analitičko izvodjenje graničnog učinka

Modeli vremena opsluživanja za izračunavanje prostora za čekanje

• analitičko izvodjenje raspodele vremena opsluživanja • analitički proračun grafa Markova

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dtttbe

ktdtttbe

ktdttbe

ktp

const

const

const tconst

tkt

tconst

tk

tk

k ∫∫∫∞

+

−+

−−∞

−+−==1

2

1

10 !!!

λλλ λλλ

Sl. 5.3 Raspodela vremena opsluživanja

Ostale osobine modela

• Spoljno promenljivo delovanje: otvoreno - zatvoreno • Vremenska promenljivost: statička – dinamička • Vremenska raspodela stanja: kontinualna – diskretna • Odnos izmedju elemenata: deterministički – stohastički

5.2 Koncepti i komponente (Sastavni delovi simulacionih modela) Koncepti Entitet (entity) Objekt, komponente Atribut (attribute) Karakteristike (osobine) entiteta Dogadjaj (event) Izvor (Ausloeser) promene stanja Aktivnost (activity) Vremenski raspon definisanog trajanja Pauza (delay) Vremenski raspon nedefinisanog trajanja


25

Rezultati simulacije

Kraj

Inicijaliziranje

Simulacioni satpostaviti na

sledeći dogadjaj

Obrada dogadjaja( )event handling

N

J

a) Pogled na mašinu

b) Pogled na radni komad/transportni sistem

Komponente Simulacioni sat varijabilno simulaciono vreme Lista – spisak skup objekata i dogadjaja Resursi ograničeni kapacitet (mašina) Lista dogadjaja spisak budućih dogadjaja sa vremenskim trenutkom 5.3 Način rada simulatora diskretnih dogadjaja

a) Algoritam odvijanja rada simulatora

Inicijaliziranje

o simulacioni sat, statistike, brojač inicijalizirati o listu dogadjaja sa startnim dogadjajem inicijalizirati o kraj simulacije uneti u listu dogadjaja

Obrada dogadjaja

o stanje aktuelizirati (lokalno/globalno) o statistike aktuelizirati o nove dogadjaje generirati i uneti u listu dogadjaja

Rezultati simulacije

o statistike, rezultate simulacije izdati (štampati)


26

Zapažanja

- za vreme obrade jednog dogadjaja ne protiče vreme for (i=1; i< 100 000; i++) ne menja se vreme simulacije

- ukupni procesi teku kvazi-paralelno (semafori)

b) Opisivanje modela Vremenski intervali:

- fiksni - varijabilni (promenljivi)

Način gledanja:

- stil ojentisan prema aktivnosti (activity scanning approach) obradjuju (vrednuju) se sve aktivnosti koje se ostvaruju

- stil orjentisan prema dogadjaju (event scheduling approach)

šta se dešava, ako se odredjeni dogadjaj pojavi?

- stil orjentisan na procese (process-interaktion approach) životni ciklus objekta

Documents

Simulacije - Predavanje 1-3