Simetria em cristais

Difração de elétrons (Microscópio Eletrônico de Transmissão)

imagem

difração

Ti hexagonal

imagem

difração

Ti cúbico

Simetria na natureza e na arte

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) artista gráfico holandês

simetria e música

simetria e música

simetria e música

Simetria na química e física

Simetria na química

Simetria em física das partículas

Simetria em magnetismo

Distribuição de energia

Simetria em cristais

voltando à

Simulação de difratogramas

Programa PowderCell

grupo espacial posições atômicas posições Wyckoff

International Table for X-ray crystallography [International Union of Crystallography (IUCr)]

notação internacional

notação de Schoenflies

posições Wyckoff

número do grupo

posições gerais

corpo centrado

posições Wyckoff

Grupos espaciais

Ex: P4mm (#99)

Wyckoff

position8g x, y, z -x, -y, z -x, y, z x, -y, z

y, x, z -y, -x, z -y, x, z y, -x, z

4f x, 1/2, z -x, 1/2, z 1/2, x, z 1/2, -x, z

4e x, 0, z -x, 0, z 0, x, z 0, -x, z

4d x, x, z -x, -x, z -x, x, z x, -x, z

2c 1/2, 0, z 0, 1/2, z

1b 1/2, 1/2, z

1a 0, 0, z

Posições equivalentes

a b

c

PowderCell 2 .0

átomo posição

Wyckoff

x y z

A 1a 0 0 0,15

B 1b 1/2 1/2 0,4

C 2c 1/2 0 0,6

D 4f 0,8 1/2 0,3

ABC2D4

A

B

C

D

Referência:

International Tables for X-ray crystallography

14v

C

P. Villars, L. D. Calvert. Pearson´s Handbook of Crystallographic Data for Intermetallic Phases. ASM International, v.1 a v.4, 1997.

Simetria: elementos, operações e grupos

Teoria de grupos

Elementos de simetria

• Eixos de rotação

• Plano espelho

• Centro de inversão

Operações de simetria

• Rotação

• Reflexão

• Inversão

• Translação

230 Grupos espaciais

grupos pontuais +

redes de Bravais +

operações de translação

32 Grupos pontuais

𝐸 𝑋 = 𝑋′

(conjunto de operações)

Elementos de simetria /

Operações de simetria

plano espelho centro de inversão

eixo de rotação

Rotação (N)

1

2

3

4

6

grupo C1

grupo C2

grupo C3

grupo C4

grupo C6

símbolo

𝛼 =360°

𝑁

notação internacional

notação de Schoenflies

Grupos de simetria

grupo C2 ou 2

(x y z)

(-x -y z)

(x y z)

(x y z)

(-x -y z)

(-x -y z)

(-x -y -z)

(x y -z)

grupo C2v ou mm2

grupo C2h ou 2/m

(x -y z)

(-x y z)

x

y

z

notação internacional

notação de Schoenflies

Rotação – inversão ou

Rotação - reflexão

grupo S2

grupo S1

grupo S6

grupo S4

grupo S3

(𝑁 )

(𝑁 )

2 = 1

3 = 6

4 = 4

6 = 3

1 = 2

notação internacional

notação de Schoenflies

Grupos de simetria

(x y z)

(-x -y z)

(-x -y -z) (x y -z)

Exemplo: grupo C2h ou 2/m

a

b

c

PowderCell 2 .0

b

a c

InSe

Nomenclatura Pearson: mP8

Rede: monoclínica

Grupo espacial: P2/m (#10)

Parâmetros de rede: a=11,02 Å, b=4,11 Å, c=4,61 Å

Posições atômicas: In(1): 2m (0,116, 0, 0,879)

Se(1): 2e (0,340, 0, 0,018)

In(2): 4j (0,384, 1/2, 0,621)

Se(2): 4j (0,160, 1/2, 0,482)

Grupos de simetria

Exemplo: grupo C2v ou mm2

(x y z)

(-x -y z)

(x -y z)

(-x y z)

b a

c

TiSi

a b

c

PowderCell 2 .0

Nomenclatura Pearson: oP8

Rede: ortorrômbica

Grupo espacial: Pmm2 (#25)

Parâmetros de rede: a=3,618 Å, b=6,492 Å, c=4,973 Å

Posições atômicas: Ti(1): 1a (0, 0, 0)

Ti(2): 1b (0, 1/2, 0)

Ti(3): 1c (1/2, 0, 0,50)

Ti(4): 1d (1/2, 1/2, 0,50)

Si(1): 2g (0, 0,234 0,625)

Si(2): 2h (1/2, 0,288, 0,078)

Notações

Grupos pontuais ou internacional

32 grupos pontuais

notação de Schoenflies

notação internacional

grupo Cn

grupo Cnv

grupo Cnh

grupo Sn

grupo Dn

grupo Dnh

grupo Dnd

Grupos pontuais não cúbicos

Grupos pontuais cúbicos

grupos Oh, O

grupos Th, Td, T

14 redes de Bravais

Exemplos:

Exemplos (cont.):