Upload
jenski
View
33
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Síkhullámok visszaverődése és törése. Síkhullámok visszaverődése és törése. Síkhullámok visszaverődése és törése. Síkhullámok visszaverődése és törése. Snellius-Descartes törvény A közegek határán az elmozdulásnak és a feszültségnek folytonosnak kell lennie. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Snellius-Descartes törvény
A közegek határán az elmozdulásnak és a feszültségnek folytonosnak kell lennie.
Ha az elmozdulás nem lenne folytonos, felszakadások és végtelen sűrűségű helyek alakulnának ki.
Ha a feszültség nem lenne folytonos, végtelen nagy erők lépnének fel a határfelületen.
α – longitudinális hullám (P hullám) sebessége
β - transzverzális hullám (S hullám) sebessége
ρ – sűrűség
Az x tengelyt vegyük fel a határon, a z tengelyt irányítsuk lefelé.
Legyen a beeső hullám egységnyi amplitúdójú.
A beeső hullám a határon
látszólagos sebességgel az x tengely pozitív iránya felé haladó hullámmozgást hoz létre.
Tételezzük fel azt is, hogy k0 hullámszámú harmonikus síkhullám esett be.
Ekkor a részecskemozgás x, illetve z irányú komponenseit a határon a következő függvények írják le:
A két komponens látszólagos terjedési sebessége azonos kell, hogy legyen, mert ugyanannak a részecskének a mozgás összetevői.
k0 az x tengely mentén mért hullámszámot jelöli.
A visszaverődő P hullám látszólagos terjedési sebessége:
Jelöljük a visszavert P hullám amplitúdóját rP-vel. A részecskemozgás x és z irányú komponensei:
A z irányú komponens negatív előjele azt fejezi ki, hogy a terjedési irány vetülete a z tengely irányával ellentétes.
k1P a visszavert P hullámnak az x tengelyen mért hullámszámát jelöli.
Vezessük be az előbbiekhez hasonlóan a visszaverődő S hullámra, továbbá az áthaladó P és S hullámra a látszólagos terjedési sebességeket:
Az áthaladó P és S hullámok amplitúdóit tp-vel és ts-sel jelölve, az előző megfontolásokkal azonos módon kapjuk a megfelelő részecske elmozdulásokat leíró egyenleteket.
A folytonossági feltétel miatt a részecske elmozdulások mindkét komponensének meg kell egyeznie a felső és az alsó közegben a határ két oldalán:
Az előbbi két egyenlőségnek minden x helyre és minden t időre érvényesnek kell lennie. Ez csak úgy oldható meg, ha az x és (külön) a t változók szorzói minden kifejezésben egyformák. Ebből következik, hogy:
Az első egyenletsor értelmében a visszavert és az áthaladó hullámok x tengely mentén mért hullámszámai megegyeznek a beeső hulláméval.
A második egyenőség sor éppen a törési törvényeket adja. Írjuk be a látszólagos sebességeket:
Az egyes hullámok időbeli frekvenciáját is kiszámíthatjuk a fenti egyenlőségből:
Ez azt jelenti, hogy a visszaverődés, illetve az áthaladás a réteghatáron nem változtatja meg a hullám időbeli frekvenciáját.
Vegyünk egy speciális esetet. Válasszunk olyan x és t párokat, melyekre
Ezen az x helyen és t időben az összes argumentum 90o.
Egyszerüsítés: szorítkozzunk két folyadékközeg esetére. Folyadékban transzverzális hullámok nem terjednek, így csak két együtthatót kell meghatározni, az r reflexiós és a t transzmissziós együtthatókat.
Mivel a folyadékrészecskék egymáson elmozdulhatnak, az u irányú elmozdulás folytonosságát nem kell megkövetelni. Nyírófeszültségek sem keletkeznek, emiatt a pxz feszültségkomponens a határ mindkét oldalán nulla.
Marad két határfeltétel: ezek a w elmozduláskomponens és a pzz feszültségkomponens folytonosságát követelik meg. A felesleges rs és ts elhagyásával:
Folyadékban a nyíró komponensek eltűnnek, ezért:
A beeső longitudinális hullámban a részecskemozgás két komponensét az x, z helyen és t időben a következő függvények írják le, ahol k a valódi hullámszámot jelöli:
A beeső hullám miatt fellépő pzz feszültség értéke tetszőleges x, z helyen, pzz
előbbi definíciója alapján :
A határon, z=0 esetén ebből a második tag kiesik. Ugyan ezt leírhatjuk a visszvert és az áthaladó hullám esetére is :
Az első két pzz összegének azonosnak kell lennie a másik oldali (harmadik) pzz-vel.
Használjuk fel a már korábban megismert egyenlőségeket :
valamint a folyadékokra érvényes kapcsolatot :
Ekkor a pzz folytonosságát előíró egyenlet jelentősen egyszerüsödik :
A korábban felírt
egyenletből, φ0 és φ1 azonossága miatt az r reflexiós és t transzmissziós együtthatók a következő alakúak lesznek :
Vezessük be a normál impedanciának, vagy más esetekben akusztikus impedanciának nevezett mennyiségeket :
Ekkor a két együttható :
A fenti összefüggés a P hullám amplitúdóviszonyait írja le, folyadék közegek esetére.
A gyakorlati szeizmikus kutatások során ezeknek a képleteknek a φ = 0 esetére egyszerűsített változatát szokták használni.
1919-ben Zoeppritz levezette és publikálta a longitudinális és transzverzális hullámokat is magába foglaló eddig ismert legteljesebb megoldást.
A kiindulás : két homogén közeg határára beesik egy sík P-hullám, A0 amplitúdóval.
A Zoeppritz egyenletek megadják mind a visszavert, mind az áthaladó P és a beeső hullám által gerjesztett S hullámok amplitúdóját.
A Zoeppritz egyenleteket többen megpróbálták használható alakra hozni. A leegyszerüsített végeredmény a visszavert P hullám amplitúdójára ad meg egy formulát, miszerint az amplitúdó függ a beesési szögtől ( θ ) és a határos két réteg Poisson állandója ( σ ) közötti különbségtől.
ahol r0 a merőlegesen (0 szögben) beeső hullám reflexiós együtthatója, ri pedig a θi szögben beeső hullámé. α a két rétegben a P hullám terjedési sebességének átlaga, Δα pedig a két sebesség különbsége. A0 a beeső P hullám amplitúdója.
Ezeket a mennyiségeket becsülni tudjuk a mért szeizmikus hullám amplitúdója segítségével. Ezekből a Poisson állandó helyi változásai kimutathatók.
A folyadékok gyakorlatilag összenyomhatatlanok, Poisson állandójuk 0.5 közeli. A gázok majdnem teljesen összenyomhatók. Ezért Poisson állandójuk 0.0 közeli.
Képzeljük el, hogy egy rétegben egyik helyről a másikra a pórustartalom folyadékról (vízről) gázra változik. Ha megvizsgáljuk a reflektált hullám amplitúdóját a beesési szög függvényében, a két hely között jeletős anomáliát fogunk találni.
Ez felhasználható közvetlen pórustartalom becslésekre.
Az ábrán a vizszintes tengelyen a beesési szög látható, 0-tól 45 fokig.
A függőleges tengely a hullám kétszeres terjedési ideje (lement és feljött)
A pirossal jelölt zónában egy ismert gáztelep található.
Két példa a gázakkumuláció kimutatására.