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7/29/2019 Signal System Analisys

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V i e t n a m O p e n C o u r s e W a r e m o d u l e : m 1 0 8 8 5 1

C O N T I N U O U S - T I M E S I G N A L S

V e r s i o n 1 . 2 : M a r 2 0 , 2 0 0 8 1 0 : 3 1 p m G M T - 5

N g u y e n H u u P h u o n g

T h i s w o r k i s p r o d u c e d b y T h e V i e t n a m O p e n C o u r s e W a r e P r o j e c t u s i n g C o n n e x i o n s s o f t w a r e t o o l s

a n d l i c e n s e d u n d e r t h e

C r e a t i v e C o m m o n s A t t r i b u t i o n L i c e n s e

C O N T I N U O U S - T I M E S I G N A L S

S i g n a l s i s t h e v a r i a t i o n o f a n a m p l i t u d e w i t h t i m e . T h e a m p l i t u d e c a n b e v o l t a g e , c u r r e n t ,

p o w e r , . . . B u t i n c i r c u i t s a n d s y s t e m s t h e m o s t o f t e n u s e d r e p r e s e n t a t i v e i s v o l t a g e . T h u s t h e

t w o e l e m e n t s c o n s t i t u t i n g s i g n a l s a r e a m p l i t u d e a n d t i m e .

C o n t i n u o u s t i m e ( a l s o t a k e n t o m e a n a n a l o g ) s i g n a l s h a v e t h e i r a m p l i t u d e s v a r y i n g

c o n t i n u o u s l y w i t h t i m e . T h e y a r e g e n e r a t e d b y e l e c t r o n i c c i r c u i t s , o r b y n a t u r a l s o u r c e s , s u c h

a s t e m p e r a t u r e , v o i c e , v i d e o . . . , a n d c o n v e r t e d t o e l e c t r i c s i g n a l s b y s e n s o r s o r t r a n s d u c e r s .

S i g n a l s a r e o f t e n d e p i c t e d b y t h e i r w a v e f o r m s w h i c h a r e t h e g r a p h i c a l i l l u s t r a t i o n s f o r e a s y

v i s u a l i z a t i o n .

1 M a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f s i g n a l s

I n s t e a d o f d e s c r i b i n g s i g n a l s b y w o r d s o r b y p l o t t i n g t h e i r w a v e f o r m s , t h e m o r e o b j e c t i v e

a n d c o n c i s e w a y i s t o e x p r e s s t h e m m a t h e m a t i c a l l y , w h e n e v e r p o s s i b l e . M a t h e m a t i c a l r e p r e -

s e n t a t i o n o f s i g n a l s i n t i m e d o m a i n a n d t r a n s f o r m d o m a i n i s n e e d e d i n a n a l y s i s a n d d e s i g n

o f c i r c u i t s a n d s y s t e m s . F o r e x a m p l e a s i m p l e p r o b l e m i n F i g u r e 1 c a n n o t b e s o l v e d j u s t b y ,

l a n g u a g e d e s c r i p t i o n o f t h e s i g n a l a n d t h e c i r c u i t .

S i n u s o i d a l s i g n a l

h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /

F i g u r e 1 : W h a t i s t h e o u t p u t s i g n a l ?

h t t p : / / w w w . v o c w . e d u . v n / c o n t e n t / m 1 0 8 8 5 / l a t e s t /


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F i g u r e 2 : S i n u s o i d a l s i g n a l

S i n u s o i d o r s i n e w a v e i s t h e m o s t p o p u l a r a n a l o g s i g n a l ( F i g u r e 2 ) . I t i s s m o o t h , e a s y t o

g e n e r a t e , a n d h a s m a n y p r o p e r t i e s a n d a p p l i c a t i o n s . T h e m a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n i s

x (t) = Acos(t + 0) ( 1 )

w h e r e A i s t h e p e a k v a l u e , a n g u l a r f r e q u e n c y ( r a d / s ) , t t i m e ( s e c ) , 0 i n i t i a l p h a s e ( r a d i a n ) i . e . p h a s e a t t = 0 , = 2F w i t h F i s f r e q u e n c y ( H z ), T = 1 / F = 2/ t h ep e r i o d ( s e c ) .

A b o v e e x p r e s s i o n c o n t a i n s a l l p a r a m e t e r s w e n e e d : A m p l i t u d e ( p e a k , r m s , a v e r a g e ) , a n d

p e r i o d i c i t y ( p e r i o d , f r e q u e n c y ) . O t h e r w a v e f o r m s , e x c e p t t h e c o n s t a n t v a l u e , d o n o t h a v e

t h i s c o m p a c t n e s s . F o r e x a m p l e , f o r t h e s y m m e t r i c s q u a r e w a v e ( F i g u r e 3 ) t h e m a t h e m a t i c a l

e x p r e s s i o n c o n s i s t s o f o n e p a r t f o r a m p l i t u d e , a n d t h e o t h e r f o r p e r i o d i c i t y :

x (t) = A , T2 t 0

+ A , 0 t T2x (t) = x (t nT) , n = 1, 2, 3...

( 2 )

T h e s i n u s o i d a n d t h e s q u a r e w a v e a r e d e t e r m i n i s t i c . F o r r a n d o m s i g n a l s , w e c a n n o t ,

i n g e n e r a l , r e p r e s e n t t h e m m a t h e m a t i c a l l y . E l e c t r i c n o i s e s a n d i n t e r f e r e n c e s a r e e x a m p l e s o f

r a n d o m s i g n a l s .

2 S o m e s p e c i a l s i g n a l s

T h e r e a r e t w o s i n g u l a r s i g n a l s o f t e n u s e d i n c i r c u i t a n a l y s i s a n d s i g n a l p r o c e s s i n g .

( a ) U n i t i m p u l s e :

T h e u n i t i m p u l s e ( d e l t a D i r a c f u n c t i o n ) i s e v o l v e d f r o m a s y m m e t r i c r e c t a n g u l a r p u l s e



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F i g u r e 3 : S y m m e t r i c s q u a r e w a v e

F i g u r e 4 : U n i t i m p u l s e

(t)

o f w i d t h

a n d a m p l i t u d e 1/ w h e n 0 ( F i g u r e 4 ) . I t s m a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n i s

(t) = , t = 0

0 , t = 0

(t) dt = 1

( 3 )

A c c o r d i n g t o t h i s d e f i n i t i o n ,

(t) = (t) ( 4 )

W h e n t h e i m p u l s e h a s i n t e n s i t y o f A i n s t e a d o f 1 w e w r i t e

A(t) ( F i g u r e 4 c ) . W h e n t h e u n i t i m p u l s e i s d e l a y e d b y

t0 w e w r i t e (t t0) ( F i g u r e 4 d ) , t h e n



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F i g u r e 5 : U n i t s t e p

(t t0) = , t = t0

0 , t = t0

(t t0) dt =t2t1

(t t0) dt = 1 , t1 < t0 < t2 ( 5 )

A s i g n a l x ( t ) w h e n m u l t i p l i e d w i t h d e l a y e d i m p u l s e (t t0) i s t h e v a l u e x ( t o ) a t t o :

x (t) (t t0) = x (t0) ( 6 )( b ) U n i t s t e p :

F i g u r e 5 i s t h e u n i t s t e p . T h e s i g n a l r i s e s s u d d e n l y f r o m 0 t o 1 a t t i m e t = 0 t h e n r e m a i n s

u n c h a n g e d , s i m i l a r l y t o t h e c l o s u r e o f a n e l e c t r i c s w i t c h . I t s m a t h e m a t i c a l d e f i n i t i o n i s

u (t) = 0 , t < 0

1 , t 0( 7 )

T h e u n i t i m p u l s e (t) a n d t h e u n i t s t e p u ( t ) a r e r e l a t e d a s f o l l o w s .

u (t) =

(t,) dt, = 0 , t < 0

1 , t 0( 8 )

(t) =d u (t)

d t

( 9 )

3 C o m p l e x s i g n a l s

N a t u r a l p h y s i c a l q u a n t i t i e s , s i g n a l s i n c l u d e d , a r e r e a l - v a l u e d . H o w e v e r s o m e t i m e s t h e i m a g -

i n a r y o p e r a t o r j =

1 i s a p p e n d e d b y r e a s o n o f m a t h e m a t i c a l c o n v e n i e n c e , s u c h a s t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e p h a s e d i f f e r e n c e b e t w e e n v o l t a g e s a n d c u r r e n t s i n A C c i r c u i t s . F o l l o w i n g i s

a n e x a m p l e o f a c o m p l e x s i g n a l :

x (t) = 5costj5cost ( 1 0 )



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F i g u r e 6 : C o m p l e x s i g n a l a n d p o l a r c o o r d i n a t e

A c o m p l e x s i g n a l c o m p r i s e s o f a r e a l p a r t a n d a n i m a g i n a r y o n e :

x (t) = xR (t) + jxI (t) ( 1 1 )

A c o m p l e x s i g n a l c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f i t s m a g n i t u d e a n d p h a s e i n t h e p o l a r

c o o r d i n a t e ( F i g u r e 6 )

x (t) = xR (t) + jxI (t) = |x (t) |ej(t) ( 1 2 )

T h e m a g n i t u d e o r m o d u l u s , d e m o t e d b y | x (t) | , a n d p h a s e o r p h a s e a n g l e ,d e m o t e d b y (t) o r a r g x ( t ) o r x ( t ) . T h e y a r e

|x (t)

|=x2

R

(t) + x2

I

(t)

(t) = t a n 1xI (t)

xR (t)

A p o i n t t o n o t e i s t h a t m a g n i t u d e i s a n a b s o l u t e v a l u e w h i l e a m p l i t u d e i s a

s i g n e d v a l u e , b u t w e d o n o t a l w a y s n e e d t o d i f f e r e n t i a t e t h e t w o t e r m s .

E x a m p l e 1 :

A c o m p l e x s i g n a l i s a s i n E q u a t i o n 1 0 . F i n d i t s r e a l p a r t , i m a g i n a r y p a r t , m a g n i t u d e

a n d p h a s e .

S o l u t i o n

R e a l p a r t : x R ( t ) = 5 c o s t

I m a g i n a r y p a r t : x I( t ) = 5 c o s t

M a g n i t u d e : | x (t) |=

(5 c o s t)2

+ (5 c o s t)21/2

= 5

2c o s t

P h a s e : (t) = t a n 15c o s t5c o s

t = t a n1 (1) = 4 5 0 i n d e p e n d e n t o f t



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F i g u r e 7 : A c o m p l e x s i g n a l x (t) a n d i t s c o m p l e x c o n j u g a t e x (t)

A c c o r d i n g t o t h i s r e p r e s e n t a t i o n w e c a n c o n s i d e r a c o m p l e x s i g n a l a s a v e c t o r a n d

w r i t e x ( t ) .

T w o c o m p l e x q u a n t i t i e s h a v i n g t h e s a m e r e a l p a r t b u t o p p o s i l e i m a g i n a r y p a r t a r e c o m -

p l e x c o n j u g a t e s o f e a c h o t h e r ( F i g u r e 7 ) . T h u s f o r a g i v e n c o m p l e x s i g n a l x ( t ) i n E q u a -

t i o n 1 2 , i t s c o m p l e x c o n j u g a t e i s

x (t) = xR (t)jxI (t) = |x (t) |ej(t) ( 1 3 )

4 C o m p l e x e x p o n e n t i a l s i g n a l s

E q u a t i o n 1 i s a r e a l s i n u s o i d a l s i g n a l . C o m p l e x e x p o n e n t i a l s , a l s o c a l l e d c o m p l e x s i n u s o i d s ,

a r e m o r e o f t e n u s e d . T h e g e n e r a l e x p r e s s i o n i s

x (t) = A e j(t+0) ( 1 4 )

P h a s o r i s t h e v e c t o r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s i g n a l ( F i g u r e 8 ) . I t i s p e r i o d i c w i t h a n

a n g u l a r p e r i o d o f 2 r a d i a n s .F r o m a c o m p l e x e x p o n e n t i a l , i t s r e a l s i n u s o i d a l p a r t i s d e d u c e d b y t w o w a y s . T h e f i r s t

i s t o t a k e t h e r e a l p a r t :

xR (t) = Re [Acos (t + 0) + jAsin(t + 0)]

= Acos(t + 0)( 1 5 )

T h i s i s j u s t t h e p r o j e c t i o n t h e p h a s o r o n t o t h e r e a l a x i s . T h e s e c o n d w a y i s t o u s e t w o

p h a s o r s , x ( t ) a n d i t s c o m p l e x c o n j u g a t e x * ( t ) , a n d t h e n t a k e h a l f o f t h e s u m :

xR (t) =12 [x (t) + x

(t)]

= 12

Aej(0t+0) + Aej(0t+0) ( 1 6 )



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F i g u r e 8 : P h a s o r r e p r e s e n t i n g c o m p l e x e x p o n e n t i a l

F i g u r e 9 : a d d i n g a p h a s o r

x (t)w i t h i t s c o m p l e x c o n j u g a t e t o f o r m t h e r e a l p a r t

2xR (t)



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N o t i c e t h a t w h e n t h e t w o p h a s o r s r o t a t e i n o p p o s i t e d i r e c t i o n s a t a n g u l a r f r e q u e n c i e s a n d , t h e a d d i t i o n a l w a y s g i v e s t w i c e t h e r e a l s i n u s o i d .


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