Upload
lamdiep
View
283
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
1) Saniagus Munendra adalah mahasiswa Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang.
2) Hery Susanto adalah dosen Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang.
SIFAT-SIFAT RADIKAL DARI SUATU SUBMODUL
DARI MODUL PERKALIAN BEBAS
Saniagus Munendra1)
Hery Susanto2)
Abstrak: Sifat-sifat yang berlaku pada radikal suatu ideal ternyata tidak semuanya
berlaku pada konsep radikal suatu submodul. Rajaee (2011) menunjukkan bahwa
jika M adalah R modul perkalian bebas, maka sifat-sifat yang berlaku pada
radikal suatu ideal juga berlaku radikal suatu submodul.
Tujuan penelitian ini adalah menyajikan bukti teorema pendukung, lemma, dan
tujuh sifat dari radikal suatu submodul dari R modul perkalian bebas M ,
menyediakan kontra contoh untuk beberapa konvers teorema, serta memberikan
beberapa contoh dan kontra contoh bagi definisi-definisi dan memberikan contoh
aplikasi dari suatu teorema.
Kata kunci: submodul prima, submodul radikal, modul perkalian, modul bebas.
Abstract: Properties which hold in the notion of radical of ideals apparently not all
of them applicable to the notion of radical of submodules. Rajaee (2011) have
shown that if M be a free multiplication R module, then properties which valid
for radical of ideals are also valid for radical of submodules.
The purpose of this paper are to prove some basic theorems, lemmas, and seven
properties of radical of submodules of a free multiplication R module M , provide
some counter examples for some converses of theorem, and give some examples and
counter examples for some definitions and provide some example for the application
of some theorems.
Keywords: prime submodul, radical submodul, multiplication module, free module
Diberikan R adalah gelanggang komutatif dengan unsur satuan dan M
adalah suatu R modul uniter. Konsep submodul prima pada M analog dengan
konsep ideal prima pada R . Dari konsep submodul prima dan ideal prima tersebut
diperoleh konsep radikal dari suatu submodul dan radikal dari suatu ideal secara
berturut-turut.
Misalkan R gelanggang komutatif dan P adalah ideal dari gelanggang
.R P disebut ideal prima jika P R dan ,x y P xy P untuk suatu
,x y R .
Himpunan semua ideal prima dari gelanggang R disebut Spectrum dari
R dan dinotasikan dengan ( )Spec R . Himpunan semua ideal prima dari
gelanggang R yang memuat ideal I , yaitu
( ) ( ) |Var I P Spec R P I .
Misalkan R adalah gelanggang komutatif dan I adalah ideal dari R .
Ideal
| untuk suatu 0nI r R r I n
disebut radikal dari ideal I . Radikal dari ideal I juga dapat didefinisikan sebagai
irisan dari semua ideal prima yang memuat ideal I , yaitu
( )P Var I
I P
Ideal I disebut ideal radikal jika dan hanya jika I I . Setiap ideal prima I
dari gelanggang R merupakan ideal radikal.
Untuk suatu submodul N dari suatu R modul M , himpunan
( : ) |N M r R rM N
disebut colon dari N .
Suatu submodul N dari suatu R modul M disebut submodul prima jika
N M dan untuk sebarang r R dan m M , rm N , berlaku ( : )r N M atau
m N .
Himpunan semua submodul prima dari R modul M disebut Spectrum
dari M dan dinotasikan dengan ( )Spec M . Himpunan semua submodul prima dari
R modul M yang memuat submodul A , yaitu
( ) ( ) |Var A N Spec M N A .
Radikal dari dari suatu submodul N dari M dinotasikan dengan ( )rad N
atau N didefinisikan sebagai irisan semua submodul prima dari M yang
memuat N , yaitu
( )A Var N
N A
Suatu R modul M disebut suatu R – modul perkalian jika untuk setiap
submodul N dari M , ada suatu ideal I di R sedemikian sehingga N IM .
Ideal I yang memenuhi N IM pada definisi di atas disebut ideal presentasi
dari N . Sebagai contoh, merupakan suatu modul perkalian.
Suatu himpunan bagian S dari M adalah suatu basis dari M jika S
membangun M sebagai suatu R modul dan S bebas linear.
Suatu R modul M disebut R modul bebas jika M memiliki suatu
basis.
Berdasarkan definisi R – modul perkalian dan R – modul bebas di atas,
didefinisikan suatu R – modul perkalian bebas, yaitu modul perkalian yang juga
sekaligus merupakan suatu modul bebas. Contohnya modul perkalian bebas
.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Sebelum disajikan pembuktian teorema utama dan akibat yang diperoleh
dari teorema tersebut, akan dibuktikan terlebih dahulu beberapa teorema dan
lemma berikut ini.
Teorema 1
Misalkan N adalah suatu submodul dari suatu R modul M , maka colon
dari N merupakan ideal dari R
Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa himpunan ( : ) |N M r R rM N , merupakan ideal
dari R .
Akan ditunjukkan ( : )N M
Pilih 0 R , kita perhatikan bahwa 0 {0}M N , sehingga berdasarkan
definisi colon, diperoleh 0 ( : )N M .
Akan ditunjukkan untuk sebarang , ( : )a b N M , berlaku ( : )a b N M .
, ( : )a b N M , maka aM N dan bM N .
Karena N submodul, maka ( ) ( )b M bM N .
Perhatikan himpunan berikut:
1 2 1 2( ) ( ) | , ,aM b M am b m m m M
merupakan himpunan bagian dari N .
Kemudian untuk sebarang ( )p a b M , maka
1 1 1 1 1( ) ( )p a b m am bm am b m untuk suatu 1m M ,
sehingga diperoleh ( ) ( )a b M aM b M N .
Karena ( )a b M N , diperoleh ( : )a b N M .
Akan ditunjukkan untuk sebarang ( : ),a N M r R , berlaku ( : )ra N M .
( : )a N M , maka aM N .
Karena N merupakan submodul dari M , maka diperoleh ( )r aM N .
Dari definisi modul diperoleh bahwa ( ) ( )r aM ra M .
Diperoleh ( ) ( )ra M r aM N
Berdasarkan definisi colon, diperoleh ( : )ra N M .
Karena memenuhi semua syarat ideal, maka diperoleh bahwa colon dari submodul
N , yaitu himpunan ( : ) |N M r R rM N merupakan ideal dari gelanggang
.R
Teorema 2
Jika M adalah suatu R modul dan N merupakan submodul dari M ,
maka colon dari N merupakan annihilator dari R modul ( / )M N , yaitu
( : ) ( / )RN M Ann N M .
Bukti:
Akan ditunjukkan saling subset, yaitu
( / ) ( : )Ann M N N M
Ambil sebarang ( / )r Ann M N , akan ditunjukkan ( : )r N M .
( / )r Ann M N , dari definisi dideproleh
( ) 0 ,rm N r m N N m M .
sehingga diperoleh
0rm rm N .
Karena ,rm N m M , diperoleh bahwa rM N .
Berdasarkan definisi colon diperoleh ( : )r N M .
Jadi ( / ) ( : )Ann M N N M .
( : ) ( / )N M Ann M N
Ambil sebarang ( : )s N M , akan ditunjukkan ( / )s Ann M N .
( : )s N M , maka sM N .
Karena sM N , maka ,sm N m M .
Ambil sebarang 'm M , maka
' 0 ( ' ) ' 0sm N s m N sm N N .
Karena ( ' ) 0s m N N , diperoleh ( / )s Ann M N .
Jadi ( : ) ( / )N M Ann M N .
Karena terbukti saling subset, maka diperoleh ( : ) ( / )N M Ann M N .
Jadi colon dari submodul N merupakan annihilator dari R modul ( / )M N .
Teorema 3
Jika submodul sejati N dari R modul M adalah submodul prima, maka
colon dari submodul N , yaitu ( : )N M merupakan suatu ideal prima di R .
Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa ( : )N M merupakan ideal prima di R .
Pada Teorema 1 telah ditunjukkan bahwa ( : )N M merupakan suatu ideal,
sehingga selanjutnya akan ditunjukkan keprimaannya saja.
Akan ditunjukkan ( : )N M merupakan himpunan bagian sejati dari R .
Andaikan ( : )N M R , maka diperoleh 1 ( : )N M .
Dari definisi colon submodul N diperoleh 1M M N yang
mengakibatkan N M .
Kondisi ini kontradiksi dengan fakta bahwa N adalah submodul prima dari
M . Sehingga pengandaian salah dan ( : )N M R .
Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang ,a b R dengan ( : )ab N M ,
maka ( : )a N M atau ( : )b N M .
Andaikan ( : )a N M , akan ditunjukkan ( : )b N M .
( : )ab N M , maka ( )ab M N yang artinya
( ) ( ) ,a bm ab m N m M .
Karena N submodul prima, maka diperoleh
( : )a N M atau bm N , m M .
Karena telah dimisalkan ( : )a N M , maka diperoleh bm N .
Karena ,bm N m M , diperoleh bM N .
Berdasarkan definisi colon diperoleh ( : )b N M .
Jadi berdasarkan definisi ideal prima, maka ( : )N M merupakan ideal prima di .R
Teorema 4
Misalkan M adalah R modul perkalian. Jika N adalah submodul di
R modul perkalian M , maka berlaku ( : )N N M M .
Bukti:
Diketahui bahwa M merupakan suatu R modul perkalian, sehingga menurut
definisi modul perkalian diperoleh bahwa ada ideal I di R sedemikian sehingga
N IM .
Selanjutnya akan ditunjukkan saling subset.
( : )N N M M
Ambil sebarang x N , akan ditunjukkan ( : )x N M M .
Karena N IM , maka x dapat dinyatakan sebagai :
1
, ,n
i i i i
i
x a m a I m M
untuk suatu n .
Untuk menunjukkan bahwa ( : )x N M M , akan ditunjukkan bahwa
( : )ia N M dan im M untuk setiap i .
Untuk kasus im M jelas terpenuhi, sehingga selanjutnya akan ditunjukkan
bahwa ( : )ia N M .
Karena ia I , jelas bahwa himpunan |i ia M a m m M IM .
Karena N IM , diperoleh ia M N .
Berdasarkan definisi colon dari submodul N diperoleh ( : )ia N M .
Karena ( : )ia N M dan im M , diperoleh
1
( : )n
i i
i
x a m N M M
.
Jadi ( : )N N M .
( : )N M M N
Ambil sebarang ( : )y N M M , akan ditunjukkan bahwa y N .
Karena ( : )y N M M , diperoleh y dapat dinyatakan sebagai
1
, ( : ),k
j j j j
j
y b m b N M m M
untuk suatu k
Karena ( : )jb N M , diperoleh jb M N yaitu ,jb m N m M .
Karena jm M , diperoleh j jb m N untuk setiap j .
Karena 1
k
j j
j
y b m
dan N adalah submodul, maka diperoleh y N .
Jadi ( : )N M M N .
Karena telah terbukti saling subset, maka diperoleh ( : )N N M M .
Dari Teorema 4 ini dapat disimpulkan bahwa jika kita memiliki suatu submodul
N dari suatu R modul perkalian M , maka kita dapat memilih colon dari N
sebagai ideal presentasi dari submodul N .
Lemma 5
Misalkan M adalah suatu R modul bebas dan ideal P di ( )Spec R
maka submodul PM di ( )Spec M .
Bukti: Akan ditunjukkan bahwa :
PM M Andaikan PM M , maka untuk sebarang m M , diperoleh m PM .
Karena M adalah R modul bebas, maka M memiliki basis, misalkan
|lB v l I . Pilih 0v B , maka
0v PM . Karena 0 01v v PM , maka
dengan sifat kebebaslinearan dari B diperoleh bahwa 1 P .
Ini mengakibatkan P R .
Kondisi ini kontradiksi dengan fakta bahwa P adalah ideal prima di R .
Sehingga pengandaian salah.
Jadi PM M .
Untuk sebarang ,r R m M , rm PM , berlaku
( : )r PM M atau m PM .
Misalkan m PM , akan ditunjukkan ( : )r PM M .
rm PM , maka rm dapat dinyatakan sebagai:
1
, ,n
i i i i
i
rm p m p P m M
untuk suatu n
Sehingga diperoleh
1
0n
i i
i
rm p m
.
Karena M merupakan R -modul bebas, maka M memiliki basis, misalkan
{ | }kB v k I .
Karena , im m M , maka m dan im dapat dituliskan sebagai kombinasi
linear dari anggota-anggota B , sehingga diperoleh:
k k k k
k I k I
rm r d v rd v
dan
1 1 1 1
n n n n
i i i ik k i ik k i ik k
i i k I i k I k I i
p m p e v p e v p e v
, ike R
sehingga diperoleh
1
0n
k k i ik k
k I k I i
rd v p e v
Dengan menggunakan sifat kebebaslinearan dari basis dari M diperoleh
1
n
k i ik
i
rd p e
untuk setiap k .
Karena ip P , diperoleh 1
n
i ik
i
p e P
.
Sehingga diperoleh bahwa krd P untuk setiap k.
Karena P adalah ideal prima, maka diperoleh r P atau kd P .
Untuk r P , diperoleh ,rM PM sehingga diperoleh ( : ).r PM M
Untuk kd P , diperoleh
k k
k I
m d v PM
.
Kondisi ini kontradiksi dengan hipotesis sebelumnya bahwa m PM .
Sehingga diperoleh r P dan diperoleh ( : )r PM M .
Jadi PM adalah submodul prima di M .
Konvers Lemma 5 di atas tidak berlaku, karena pada modul 3
terdapat submodul 36 ( ) {[0]} yang merupakan submodul prima dari
3 ,
tetapi ideal 6 bukan ideal prima pada gelanggang .
Lemma 6
Misalkan M adalah suatu R modul bebas. Diberikan ideal K dan J
dari R dengan ( : )KM M K . Jika KM JM , maka K J dan
( )K J M KM JM .
Bukti:
Akan ditunjukkan K J
Ambil sebarang a K , akan ditunjukkan a J .
Karena a K , maka aM KM JM .
Karena M adalah R modul bebas, maka M memiliki basis, misalkan
{ | }iB v i I .
Pilih 1v B M , diperoleh 1av aM .
Karena aM JM , diperoleh 1av dapat dinyatakan sebagai:
1
1
, ,n
j j j j
j
av b m b J m M
untuk suatu n
Karena jm M , maka jm dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari
anggota-anggota di B , yaitu:
, ,j ji i ji i
i I
m c v c R v B
sehingga diperoleh
1 1 1
n n n
j j j ji i j ji i
j i k I i I j
b m b c v b c v
sehingga diperoleh
1
1
0n
j ji i
i I j
av b c v
dengan menggunakan sifat kebebaslinearan dari B , diperoleh:
1
1
n
j j
j
a b c
Karena jb J , diperoleh
1
1
n
j j
j
a b c J
Jadi K J .
Akan ditunjukkan ( )K J M KM JM dengan saling subset.
( )K J M KM JM
Ambil sebarang ( )p K J M , akan ditunjukkan p KM JM .
( )p K J M , maka dapat ditulis
1
, ,n
i i i i
i
p a m a K J m M
untuk suatu n
i ia K J a K dan ia J
diperoleh
1
n
i i
i
p a m KM
dan 1
n
i i
i
p a m JM
diperoleh
1
n
i i
i
p a m KM JM
Jadi ( )K J M KM JM
( )K J M KM JM
Ambil sebarang q KM JM , akan ditunjukkan ( )q K J M .
q KM JM , diperoleh q KM dan q JM .
Karena q KM diperoleh
1
, ,n
i i i i
i
q a m a K m M
untuk suatu n
Karena q JM diperoleh
1
, ,r
j j j j
j
q b z b J z M
untuk suatu r
Kemudian, diperhatikan himpunan berikut:
| 1,2, ,iA m i n
| 1,2,jB z j r
| 1,2,kC A B q k s
Sehingga q dapat ditulis kembali sebagai berikut:
1 1
n s
i i k k
i k
q a m a q
, dengan syarat jika 0k kq A a .
1 1
r s
j j k k
j k
q b z b q
, dengan syarat jika 0k kq B b .
dengan , ,k ka K b J dan kq M .
Kemudian, karena M merupakan R modul bebas, maka M
mempunyai basis, misalkan |lG v l I . Sehingga kq dapat ditulis
sebagai kombinasi linear dari anggota- anggota G , sehingga diperoleh
1 1 1
s s s
k k k kl l k kl l
k k l I l I k
q a q a g v a g v
dan
1 1 1
s s s
k k k kl l k kl l
k k l I l I k
q b q b h v b h v
sehingga diperoleh
1 1
0s s
k kl l k kl l
l I k l I k
a g v b h v
.
Dengan menggunakan sifat kebebaslinearan basis G , diperoleh
1 1
,s s
k kl k kl
k k
a g b h l I
.
Karena ,K J adalah ideal, maka
1
s
k kl
k
a g K
dan 1
s
k kl
k
b h J
.
Sehingga diperoleh
1
s
k kl
k
a g K J
diperoleh
1
( )s
k kl l
l I k
q a g v K J M
Jadi ( )KM JM K J M
Karena terbukti saling subset, maka ( )K J M KM JM .
Dengan menggunakan teorema-teorema dan lemma sebelumnya, akan dibuktikan
teorema berikut ini.
Teorema 7
Misalkan M adalah R modul perkalian bebas dan A merupakan suatu
submodul dari M dengan ( )Var A hingga, maka A I M dimana A IM .
Bukti:
Kita perhatikan bahwa untuk sebarang N submodul prima dari M dengan
N PM telah dibuktikan pada Teorema 1 di atas bahwa ideal
( : ) ( : )N M PM M P adalah ideal prima di R dan merupakan ideal presentasi
dari N .
Berdasarkan definisi radikal dari suatu submodul, kita peroleh bahwa
( )N Var A
A N
Karena diketahui bahwa A IM dan N PM , diperoleh
( ) ( )N Var A PM Var IM
A N PM
Bedasarkan Teorema 3.3 dan 3.6 sebelumnya, diperoleh
( ) ( )PM Var IM P Var I
A PM PM
Berdasarkan Lemma 3.6, karena ( )Var A hingga diperoleh
( ) ( )P Var I P Var I
A PM P M
Berdasarkan definisi radikal dari ideal I , diperoleh
( ) ( )P Var I P Var I
A PM P M I M
Jadi diperoleh A I M .
Perhatikan beberapa kasus khusus berikut ini:
Jika I I , maka diperoleh A IM IM A .
Jadi A A .
Oleh karena itu A merupakan submodul radikal dari M .
Jika ( )Var I , maka diperoleh .I R
Hal ini berakibat A I M RM M .
Karena A M , maka submodul A tidak termuat di dalam sebarang
submodul prima dari M .
Karena tidak ada submodul prima yang memuat A , maka diperoleh
( )Var A .
Syarat Var(A) hingga pada Teorema 7 di atas tidak dapat dihilangkan
karena kesamaan A I M dimana A IM tidak dapat terpenuhi dan apabila
Var(A) tak hingga akan menyebabkan A A .
Sebagai contoh pada modul atas . Pilih submodul {0}, diketahui
bahwa ada tak hingga banyaknya submodul prima yang memuat {0} pada modul , karena ada tak hingga banyaknya bilangan prima. Diperoleh {0}
adalah irisan semua submodul prima dari modul , yaitu
({0})
{0} {0}P Var
P
.
Berikut diberikan contoh penerapan Teorema 7. Diberikan merupakan
modul perkalian bebas. 4 merupakan submodul dari . Karena
merupakan modul perkalian bebas, maka ada ideal I dari gelanggang
sedemikian sehingga 4 I . Pilih 4I . Jelas bahwa 4 4 .
4 2Var sehingga 4Var hingga. Perhatikan bahwa 4 2 karena
2 adalah satu-satunya ideal prima yang memuat 4 . Kemudian 4 merupakan
ideal dari gelanggang dan 4 2 2 . Jadi diperoleh bahwa
4 2 2 4 .
Akibat 8
Misalkan M adalah R modul perkalian bebas dimana untuk sebarang
A submodul dari M , ( )Var A hingga, maka untuk A dan B submodul dari M
berlaku:
a. A A
b. A B A B
c. Jika A B M , maka A B M
d. A M jika dan hanya jika A M
e. A B A B
f. A B A B
Bukti:
Untuk pembuktian Akibat 8, dimisalkan bahwa A IM dan B JM untuk I
dan J adalah ideal dari R .
Berdasarkan Teorema 7 diperoleh A I M dan B J M .
Selanjutnya diperoleh:
a. A I M I M I M A
b. Sebelumnya perhatikan terlebih dahulu bahwa
( )A B IM JM I J M
Oleh karena itu diperoleh A B I J M .
Kemudian
( )A B IM J M I J M
Karena
( )I J M I J M A B , diperoleh A B A B .
c. A B M IM J M M ,
Karena ( )IM J M I J M RM M , diperoleh
I J R I J R
Karena ( )A B IM JM I J M dan I J R , diperoleh
( )A B I J M RM M .
Jadi jika A B M A B M .
d. A M IM RM M I R I R A IM M
e. A B I J M I J M I M J M A B
f. ( ) ( )A B IM JM I J M I J M I J M
( )I J M I J M I M J M A B
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Beberapa hasil penting dari tulisan ini adalah sebagai berikut:
1. Colon dari submodul N , yaitu ( : )N M merupakan ideal dari R dan
merupakan annihilator dari R modul /M N .
2. Jika N adalah submodul prima dari suatu R modul M , maka ( : )N M
merupakan ideal prima di R .
3. Pada R modul bebas M , jika P adalah ideal prima di R , maka submodul
PM adalah submodul prima di M .
4. Pada R modul perkalian bebas M , jika A adalah submodul dari M
dengan ( )Var A hingga, maka berlaku A I M , dimana A IM .
5. Pada R modul perkalian bebas M , sifat-sifat yang berlaku pada radikal
suatu ideal juga berlaku pada radikal dari suatu submodul.
Saran
Artikel ini hanya membahas sifat-sifat dari suatu submodul dari suatu
modul perkalian bebas secara umum, sehingga untuk penelitian selanjutnya dapat
dilakukan penelitian tentang sifat-sifat untuk submodul yang lebih khusus,
misalnya mengkaji sifat-sifat ketika submodul tersebut merupakan suatu
submodul maksimal, submodul prima, dan submodul primer dan juga hubungan
dari ketiganya.
DAFTAR RUJUKAN
Adkins, W. A. & Weintraub, S. H. 1992. Algebra An Approach via Module
Theory. New York: Springer.
Gallian, J. A. 1990. Contemporary Abstract Algebra (Second Edition). Toronto:
D.C Heath and Company.
Gilbert, J. & Gilbert, L. 2000. Elements of Modern Algebra (Fifth Edition).
Pacific Grove: Brooks/Cole.
Golan, J. S. & Head, T. 1991. Modules and The Structure of Rings. New York:
Marcel Dekker, Inc.
Matsumura, H. 1986. Commutative Ring Theory. Cambridge: Cambridge
University Press.
Rajaee, S. 2011. Some Remarks on Free Multiplication Module. International
Journal of Algebra, 5(14): 655-659.