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Sciences Indusrielles

Systèmes linéaires continus invariantsTD : Réponse à des entrées composées

temps

Etc…

TD N°1 : Réponse à des entrées composées

On se propose d’étudier le comportement d’un vérin électrique en réponse à différentesentrées composées de rampe et d’échelon.

Le vérin électrique étudié est assimilé par soucis de simplification des calculs à un système du

premier ordre de fonction de transfert global :1

( )1

H p p

=+

, c’est à dire de gain unitaire et de

constante de temps 1 sτ =

Questions :

1. Déterminer et tracer la r éponse de ce système àl’ entrée créneau suivan te :

2. Déterminer et tracer la r éponse de ce système àl’ entrée suivante :

3. Déterminer et tracer la r éponse de ce système àl’ entrée tr apèze suivante :

temps

t=0 t=10

10 cm

t=20 t=30

10 cm

t=40 t=50t=0 t=10

temps

t=0 t=10

10 cm

t=20 t=30

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TD N°1 : Réponse à des entrées composéesCORRECTION

Question 1Commençons par déterminer la réponse du système en p.

1( ) ( ) ( ) ( )

1S p H p E p E p

p= =

+, on doit donc déterminer la transformée de Laplace de

l’entrée à laquelle est soumis le système.Pour cela on va construire l’entrée comme somme de fonctions usuelles (dont on connaît lestransformées de Laplace), retardées ou pas. On doit donc rappeler la transformées de Laplace

d’une fonction avec retard τ : [ ] [ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) p p L f t L f t F pe eτ ττ − −− = =

La fonction d’entrée bleu est la somme de l’échelon rouge et de l’échelon vert :

On en déduit donc que ( ) ( ) ( 10)e t u t u t = − − soit dans le domaine fréquentiel (en p) :1 1 110 10( ) 1 p p E p p p p

e e− − = − = − , d’où la réponse dans le domaine de Laplace :

( )1 10( ) 1

1 pS p

p pe− = − + . La seule décomposition en éléments simples à effectuer est

donc celle de :( )

1 1 11 1 p p p p

= −+ + . On peut donc présenter la solution dans le domaine

fréquentiel sous la forme « inversable par Laplace » :1 101 01 1)1

1(

1 p p pS p

p p pe e−

+− + −

+= − . D’où la solution dans le domaine temporel :

( 10)( 10)( 10)( ) () )( u t t ut u u s t t t t ee−− −−+ −= − − , soit après factorisation :

( ) ( 10)( ) 1 ( ) 1 ( 10)Réponseà Réponseà l'échelonl'échelon vert retardéde10srouge

t t s t u t u t e e− − −= − − − − 1442443 14444244443On peut définir cette fonction réponse par

morceaux puisque u(t-10)=0 jusqu’à t=10 s.( ) 1 pour 0 10

( 10)( ) pour 10

t s t t

t t s t t ee e

−= − ≤ ≤− − − = − ≤ ≤ ∞

temps

t=0 t=10

10 cm

1( )u t

p⇒

( 10)u t − − ⇒ −

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Ce qui nous donne la courbe réponse suivante :

Question 2

L’entrée sous forme de signal créneau est en fait une somme de créneau que l’on vient dedéterminer, retardés de 20 secondes les uns par rapport aux autres. L’entrée du système vautdonc :

1 1 1 110 10 20 10 40 10 60( ) 1 1 1 1 .... p p p p p p p E p p p p p

e e e e e e e− − − − − − − = − + − + − + − + Soit 1 1 1 1 1 1 110 20 30 40 50 60( ) .... p p p p p p E p

p p p p p p pe e e e e e− − − − − −= − + − + − +

1 110( )101

1101

i p E p p p pi

p

ee

e

− = − = − +∈ −+

∑¥144424443

, d’où la réponse en p du système :1

( )10( 1) 1

S p p p p e

== − + +

La courbe réponse est en fait une succession des créneaux de la question précédente :

Entrée du systèm :Cr neau

Réponse du système defonction de transfert :

1( )

1 H p

p=

+

Signal d’ entrée

Réponse dusyst m

t=0 s t=10 t= 0 t=30

10

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temps

Question 3

Déterminons la transformée de Laplace de ce trapèze :

L’entrée trapèze bleu est la somme des rampes verte (pente 1) rouge (pente -1, retardée de10 s ) rose (pente -1, retardée de 20 s) et turquoise (pente 1, retardée de 30 s) L’entrée est donc la fonction du temps suivante :

( 10 ( 30) ( 30)( 20) ( 20) ( 10) )( ) ( ) t t t u t e t t t u t u ut + −− −− − −−= − Soit, après transformée de Laplace :

2 2 22

1 1( )1 01 20 31 0 E p p

p p p

p p pe ee−− −+−−=

Soit, après factorisation :2

1 10 20 30( ) 1 p p p E p p

e e e− − − = − − +

D’où la réponse du système dans le domaine fréquentiel :

2

1 10 20 30( ) 1(1 )

p p pS p p p

e e e− − − = − − + + . Avant d’en prendre la transformée inverse

de Laplace, il faut décomposer en éléments simples de :2 2

1 1 1 1(1 ) (1 ) p p p p p

= − ++ +

. D’où la

réponse S(p) :

2

1 1 1 10 20 30( ) 11

p p pS p p p p

e e e − − − = − + − − + +

On peut désormais en prendre la transformée inverse de Laplace :

( ) ( 10) ( 20) ( 30)( ) 1 ( ) 11 ( 10) 21 ( 20) 31 ( 30t t t t s t t u t t u t t u t t u t e e e e− − − − − − −= − + − − + − − − + − + − + −

On peut définir cette fonction par morceaux sur le même principe qu’à la première question :

( ) 1 pour 0 10

( 10)( ) 10 pour 10 20

( 10) ( 20)( ) 31 pour 20 30

( 10) ( 20) ( 30)( ) pour 30

t s t t t

t t s t t

t t t s t t t

t t t t s t t

ee e

e e ee e e e

−= − + ≤ ≤− − −= + − ≤ ≤

− − − −− = − + + − − ≤ ≤− − − − − −− = − − + ≤ ≤ ∞

t=0 t=10

10 cm

t=20 t=30

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D’où la courbe réponse suivante :

Réponse du système de fonction de

transfert1

( )1

H p p

=+ àl’ entrée trapèze

Entrée trapèze

Gain du système = 1,donc réponse par al lèleaux rampes

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