Si n = el sucesor de n, entonces · para hablar de la notación que usamos en el cálculo necesitamos otra notación de nivel superior, para evitar equívocos. A esa notación superior

Lógica y Computación Modelización de Sistemas de Creencias

Carlos Muñoz Gutiérrez. Departamento de Lógica y Filosofía de la Ciencia 1

LÓGICA:MODELIZACIÓN DE SISTEMAS DE CREENCIAS



LAS CREENCIAS COMO GENERADORES DECONDUCTA

• En último término, la respuesta que un sistemagenera ante los estímulos de su entorno dependen delo que sabe acerca de él

• Creencia: Lo que el sistema sabe:

• Relatividad de las creencias respecto al sistemaque las posee

• Interdependencia o sistematicidad de lascreencias: Sostener una creencia puede obligar asostener o rechazar otras creencias

• Consistencia del sistema de creencias: El conjuntode creencias debe ser consistente

• A la Psicología le interesa:

• El contenido de las creencias: En gran medida, elanálisis de ese contenido debe ser proporcionado porlas Ciencias Sociales (Antropología, Sociología)

• La estructura y propiedades globales de los sistemasde creencias: Lógica



MODELIZACIÓN MATEMÁTICA DE LOSSISTEMAS DE CREENCIAS

• Modelización lógica de los sistemas de creencias:modelización matemática de las relaciones entrecreencias como inferencias

• Inferencia : Obtención de unas creencias a partir deotras

• Tipos de inferencia:

• Inferencia deductiva o deducción: Obtención decreencias a partir de otra disponible en la que laprimera se encuentra implícita

• Inferencia no-deductiva:

• Inferencia inductiva• Inferencia estadística o probabilística• Inferencia borrosa (fuzzy)• ...

• La Lógica es una teoría matemática de la inferenciadeductiva

Lógica y Computación Teoría Lógica


NATURALEZA DE LA TEORÍA LÓGICA

• Teoría formal (= matemática)• Teoría matemática cualitativa (algebraica)• Surge inicialmente como análisis del razonamiento

natural (expresado en el lenguaje natural)• Progresiva introducción de elementos formales• Actualmente, teoría plenamente matemática, con

diversas aplicaciones:

• Matemáticas• Ciencias de la Computación (Informática)• Lingüística• Modelización psicológica• Inteligencia Artificial

• Cuatro partes:

• Teoría de la demostración (matemática)• Teoría de modelos (Semántica formal)• Teoría de la Recursión (Computabilidad)• Teoría de Conjuntos



DESARROLLO DE LA TEORÍA LÓGICA (1)

Filosofía

• Aristóteles.• Estoicos.

- Escolástica.- Abelardo

Alberto Magno- Realistas

Tomás de Aquino- Nominalistas: Ockham

• Leibniz• Lambert

Matematización

• Hamilton

Algebra de la Lógica

• de Morgan• Boole

Crisis de Fundamentos

• Cantor• Frege



DESARROLLO DE LA TEORÍA LÓGICA (1)

Lógica Matemática Clásica

• Bertrand Russell y A. Whitehead (PrincipiaMathematica)

• Herbrand, Gentzen• Hilbert

Teoremas de Limitación

• Gödel

Lógicas no-clásicas• Lukasiewicz• Kripke• Prior



LA LÓGICA CONTEMPORÁNEA

Lógica

• Lógica Clásica• Verdad

• Falsedad

• Lógicano-Clásica

• No Bivalentes

• Más RecursosExpresivos

• Lógica Trivalente• Lógicas Polivalentes• Lógicas Probabilísticas• Lógicas Difusas

• Lógica Modal• Lógica Temporal• Lógica Epistémica• Lógica Deóntica• Lógica Nomonotónica

Lógica de n-orden

Lógica de 2º Orden

Lógica de 1er Orden

Lógica de Predicados oCuantificacional

Lógica de Enunciados oProposicional



CÁLCULOS LÓGICOS

Presentaciones “sintácticas”: “Teoría de laDemostración” Varios sistemas:

• Sistemas de tipo Hilbert:- Sistemas Axiomáticos:

Estudio de las propiedades metalógicas Axiomas y teoremas

• Sistemas de tipo Gentzen:

- Cálculo de Deducción Natural: Estudio de los procesos “naturales” deinferencia. Deducción a partir de supuestos

- Arboles Lógicos (como cálculo)

Teoremas FórmulasLógicamente

Válidas

Teoría de laDemostración

Axiomas

Derivación Interpretación

Teoría deModelos

Lógica y Computación Lógica de Enunciados


LÓGICA CLÁSICA

LÓGICA DE ENUNCIADOS

(Introducción )



EL LENGUAJE DE ENUNCIADOS (Le)

Símbolos de Le

1. Variables enunciativasp, q, r, s, ...p1, p2, p3, ...

2. Operadores enunciativos (conectores o juntores)

Monádicos (unarios)Símbolo Se lee Nombre

¬¬¬¬ no... NegadorDiádicos (Binarios)

Símbolo Se lee Nombre∧∧∧∧ ...y... Conjuntor

∨∨∨∨ ...o... Disyuntor

→→→→ si...,entonces... CondicionalImplicador Material

↔↔↔↔ ... equivale a ...... si, y sólo si ...

EquivaledorBicondicional

3. Símbolos Auxiliares- ) , ( Paréntesis.- ] , [ Llaves.



(Def.) Expresión de Le: Cualquier secuencia finita desímbolos de Le

(Def.) Lenguaje-objeto y Metalenguaje

En lógica no puede haber ambigüedades y a menudopara hablar de la notación que usamos en el cálculonecesitamos otra notación de nivel superior, para evitarequívocos. A esa notación superior que habla de la delcálculo que estamos usando lo denominamosMetalenguaje y lenguaje-objeto a la que es referida porel metalenguaje.

Esta distinción es fundamental a la hora de analizarlas propiedades de los cálculos lógicos. Tarea de laque se encarga la Metalógica

(Def.) MetavariableEn concreto aquí X e Y son metavariables, es decirvariables que pueden sustituirse por cualquier fórmuladel cálculo del que hablamos, en este caso del cálculoproposicional. Así por ejemplo, X puede ser p, ó ¬¬¬¬q óp∧∧∧∧q ó (p ∨∨∨∨ ¬¬¬¬q)→→→→ r, etc.

Símbolo que utilizamos para referirnos a unafórmula cualquiera:

X, Y, Z, ...X1 , X2 , X3 , ...



(Def.) Fórmula de Le.Reglas de Formación de fórmulas

1. Una variable enunciativa sola es una Fórmula BienFormada, fbf (fbf atómica), de Le:

p, q, p3, r, s15

2. Si A es una fbf , también lo es ¬¬¬¬A. (negación)

3. Si A y B son fbfs, también lo serán;

A ∧∧∧∧ B ConjunciónA ∨∨∨∨ B DisyunciónA →→→→ B Condicional o Implicación Material.A ↔↔↔↔ B Equivalencia. (Fbfs. Moleculares)

(Def.) Subfórmula

1. A es una subfórmula de ¬¬¬¬A

2. A y B son subfórmulas de:A ∧∧∧∧ BA ∨∨∨∨ BA →→→→BA ↔↔↔↔B

Cada parte se denomina: Primer y/o segundo miembro. (Conjunción y

disyunción) Antecedente y/o consecuente (Condicional y

bicondicional)

Si A es una subfórmula de B y B es una subfórmulade C, entonces A es una subfórmula de C



(Def.) Decidibilidad de un conjunto: Un conjunto esdecidible si existe un método algorítmico paraaveriguar, para cualquier objeto x, si x∈∈∈∈A, o si x∉∉∉∉A.

(Teorema) El conjunto de las fbfs. de Le es decidible:Para cualquier expresión, podemos averiguar (medianteun árbol de formación de fórmulas) si es una fbf.

El Operador principal o conectiva principal de unafórmula es el último que entra en su composición y elque determina la estructura lógica de la fórmula.

D. Construcción de un árbol de formación de fórmulas(ejemplo)

¬¬¬¬(A ∧∧∧∧ B) →→→→ (C ∨∨∨∨ (A ∧∧∧∧ B))

¬¬¬¬(A ∧∧∧∧ B) (C ∨∨∨∨ (A ∧∧∧∧ B))

A ∧∧∧∧ B C A ∧∧∧∧ B

A B A B

Lógica y Computación Sistemas Axiomáticos


LA LÓGICA DE PROPOSICIONES COMO SISTEMAAXIOMÁTICA: EL SISTEMA PM.

TEORÍA: Conjunto de proposiciones verdaderasrelativo a un determinado campo de problemas

AXIOMATIZAR UNA TEORÍA: Organizar ese conjunto deproposiciones de tal forma que, partiendo de algunosde sus miembros, denominados AXIOMAS, y mediantela aplicación de una serie de REGLAS DETRANSFORMACIÓN, se pueden derivar todos losrestantes enunciados de la teoría, a los que llamamosTEOREMAS.

AXIOMAS: proposiciones aceptadas como verdaderaspor su autoevidencia, postulados. Conviene que elconjunto seleccionado sea independiente, es decir, queno pueda derivarse ninguno de los axiomas a partir delresto del conjunto.



EL SISTEMA PM(Principia Mathematica. Russell y Whitehead, 1910-1913)

Vocabulario: El mismo que el del sistema de deducción

natural. (Sólo se admiten como conectivas ¬¬¬¬, ∨∨∨∨)

Símbolos definidos:

(∧∧∧∧) X ∧∧∧∧ Y =def ¬¬¬¬(¬¬¬¬X ∨∨∨∨ ¬¬¬¬Y)

(→→→→) X →→→→ Y=def ¬¬¬¬X ∨∨∨∨ Y

(↔↔↔↔) X ↔↔↔↔Y =def ¬¬¬¬[ ¬¬¬¬(¬¬¬¬X ∨∨∨∨ Y) ∨∨∨∨ ¬¬¬¬(¬¬¬¬Y ∨∨∨∨ X)]

Reglas de Formación: Cómo en el sistema dededucción naturalReglas de Transformación:RT1. Regla de Sustitución: Dada una Tesis del sistema(Fórmula verdadera del cálculo), en la que aparecenvariables enunciativas, el resultado de sustituir una,algunas o todas esas variables por fbfs del cálculo serátambién una tesis del cálculo. Con la única restricciónde que cada variable ha de ser sustituida siempre queaparece, y siempre por el mismo sustituto.RT2. Modus Ponens: Si ‘X’ es una tesis del sistema y

‘X→→→→Y’ también lo es, entonces ‘Y’ es una tesis del

sistema.



Axiomas

A1. (p ∨∨∨∨ p) →→→→ p

A2. q →→→→ (p ∨∨∨∨ q)

A3. (p ∨∨∨∨ q) →→→→ (q ∨∨∨∨ p)

A4. (p ∨∨∨∨ (q ∨∨∨∨ r)) →→→→ (q ∨∨∨∨ (p ∨∨∨∨ r))

A5. (q →→→→ r) →→→→ ((p ∨∨∨∨ q) →→→→ (p ∨∨∨∨ r))

Ejemplo de Pruebas.

T1. p →→→→ (p ∨∨∨∨ p)1. q →→→→ (p ∨∨∨∨ q) A2

2. p →→→→ (p ∨∨∨∨ p) RT1[q/p], 1.

T2. (p →→→→ (q →→→→ r)) →→→→ (q →→→→(p →→→→ r))1. (p ∨∨∨∨ (q ∨∨∨∨ r)) →→→→ (q ∨∨∨∨ (p ∨∨∨∨ r)) A4

2. (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ (q ∨∨∨∨ r)) →→→→ (¬¬¬¬q ∨∨∨∨ (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ r)) RT1[p/¬¬¬¬p, q/¬¬¬¬q], 1.

3. (p →→→→ (q →→→→ r)) →→→→ (q →→→→(p →→→→ r)) Def. Condicional 2.

T3. (q →→→→ r) →→→→ ((p →→→→ q) →→→→ (p →→→→ r))1. (q →→→→ r) →→→→ ((p ∨∨∨∨ q) →→→→ (p ∨∨∨∨ r)) A5

2. (q →→→→ r) →→→→ ((¬¬¬¬p ∨∨∨∨ q) →→→→ (¬¬¬¬p ∨∨∨∨ r)) RT1[p/¬¬¬¬p], 1.

3. (q →→→→ r) →→→→ ((p →→→→ q) →→→→ (p →→→→ r)) Def. Condicional 2.



El Sistema Formal de la Aritmética (Peano, 1891)

Términos Primitivos: N, 1, m es el sucesor de n.

Axiomas:(1) 1 es un número natural, 1 ∈∈∈∈ N.(2) 1 no es el sucesor de ningún número natural(3) Para todo número natural n, hay exactamente

un número natural m tal que m es el sucesor den.

(4) Si m es el sucesor de n, y m es también elsucesor de K, entonces n = k.

(5) (Principio de Inducción). Si A es un subconjuntodel conjunto N tal que.

(i) 1 ∈∈∈∈ A(ii) Para todo número natural n: si n ∈∈∈∈ A y m es

el sucesor de n, entonces m ∈∈∈∈ A.Entonces todo número natural está en A, es decir,A = N.

Definición Inductiva de la Adición:

Si n’ = el sucesor de n, entonces1) n + 1 = n’, para todo n ∈∈∈∈ N2) n + m’ = (n + m)’, para todo n, m ∈∈∈∈ N.

Definición Inductiva de la Multiplicación:3) n . 1 = n, para todo n ∈∈∈∈ N4) n. m’ = (n.m) + n, para todo n, m ∈∈∈∈ N.

Definición de la relación Ser Menor5) m < n sii existe un número natural k, tal que m +

k = n.

Lógica y Computación Inducción Matemática


INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Principio de Inducción Matemática (Reformulación)Si W es una propiedad definida sobre el conjunto N delos números naturales tal que:

1. W(1), 1 tiene la propiedad2. para todo número natural n: si W(n), entonces

W(n + 1), entonces todo número natural tiene lapropiedad W

Explicación Intuitiva y Uso: De acuerdo con este principioresulta posible probar con caracter general cualquierproposición referente a números naturales si se prueba:

1. Que esa proposición vale para el número 1; y2. Que si por hipótesis esa proposición vale para

cualquier número n, entonces vale para n + 1.

A la primera parte de una prueba semejante se le llamaBASE, y a la segunda PASO DE LA INDUCCIÓN. Una vezestablecida la base y el paso de la inducción, quedaestablecida la proposición general.

Lógica y Computación Inducción Matemática


El campo normal de aplicación del principio de inducciónmatemática es el universo de los números naturales. perocomo las fórmulas de la lógica elemental tienen unaestructura finita, es posible expresar esa estructura ennúmeros naturales mediante funciones tales como el GradoLógico de una Fórmula.

Cuando el principio de Inducción Matemática se aplica anúmeros naturales que son medida de fórmulas lógicas, sele llama PRINCIPIO DE INDUCCIÓN SEMIÓTICA

Así, si se muestra que una propiedad le corresponde afórmulas de grado cero, y se muestra también que secorresponde a fórmulas de grado n, corresponde asímismo a las de grado n + 1, entones queda probado queesa propiedad corresponde a toda fórmula.

INDUCCIÓN DEDUCTIVA (Curry-Feys)La inducción deductiva consiste en mostrar que todas lasconsecuencias de ciertos enunciados básicos tienen unapropiedad mostrando que:

1. Que los enunciados básicos tienen esa propiedad2. Que si las premisas de una regla tienen la propiedad,

también la tiene la conclusión.

La demostración por inducción es un ejemplo dedemostración metateórica constructiva, ya que permitecomprobar “efectivamente” el resultado en cada casoparticular.

Lógica y Computación Semántica de Lp


SEMÁNTICA DE Lp

• Ningún lenguaje lo es realmente hasta que no seestablece su semántica, esto es, aquello de lo que ellenguaje habla

• El lenguaje proposicional “habla de” (se refiere a) unmundo o universo que contiene sólo dos objetos, “loverdadero” (T) y “lo falso” (⊥⊥⊥⊥):

Up= {T,⊥⊥⊥⊥}

• Habitualmente, T y ⊥⊥⊥⊥ son denominados “valores deverdad”

• La relación semántica básica entre el lenguaje (Lp) y eluniverso del que el lenguaje habla es la de “valoraciónveritativa”

• Una valoración veritativa sobre Lp es una aplicación queasigna a cada fórmula A de Lp un valor de verdad, estoes, uno de los dos elementos del conjunto {T , ⊥⊥⊥⊥} devalores de verdad:

σσσσ : Lp →→→→ {T, ⊥⊥⊥⊥}

• Sea Aσσσσ el valor de verdad que σσσσ asigna a A. Lo leeremoscomo ‘‘el valor de A bajo σσσσ"

• σσσσ es la función semántica que a cada fórmula de Lp hacecorresponder “aquello de lo que esa fórmula habla”

• De toda lógica que utilice una valoración veritativa deeste tipo diremos que se trata de una lógica bivalente.



VALORACIONES BOOLEANAS

• Una valoración veritativa es una valoración booleana siiesa función de valoración es tal que:

1. ¬¬¬¬ Aσσσσ = Tsii Aσσσσ = ⊥⊥⊥⊥. En otro caso, ¬¬¬¬ Aσσσσ = ⊥⊥⊥⊥.

2. (A ∧∧∧∧ B)σσσσ = T sii Aσσσσ = T y Bσσσσ =T. En otro caso, (A ∧∧∧∧ B)= ⊥⊥⊥⊥

3. (A ∨∨∨∨ B)σσσσ = T sii Aσσσσ = T o Bσσσσ =T. En otro caso, (A ∨∨∨∨ B) = ⊥⊥⊥⊥

4. (A →→→→ B)σσσσ = T sii Aσσσσ = ⊥⊥⊥⊥ o Bσσσσ = T. En otro caso, (A →→→→B) =⊥⊥⊥⊥

5. (A ↔↔↔↔ B)σσσσ = T sii Aσσσσ = Bσσσσ. En otro caso, (A ↔↔↔↔B) =⊥⊥⊥⊥

• El valor de verdad que una valoración asigna a unafórmula molecular depende del valor asignado a lassubfórmulas de esa fórmula molecular, y en últimotérmino a las fórmulas atómicas.

• Valoración atómica: la función que asigna un valor deverdad a cada fórmula atómica. Suponemos que cada fbfatómica posee un valor de verdad, cualquiera que seaéste.

• Puesto que consideramos dos valores de verdad , para nfórmulas atómicas distintas habrá 2n valoracionesatómicas posibles. Así:

• para 2 variables 22=4• para 3 variables 23=8• para 4 variables 24=16• étc.



FUNCIONES VERITATIVAS

• De la definición de valoración booleana se sigue quecada conectivas de Lp puede considerarse como un“funtor” o "conector" esto es, como un nombre de unafunción veritativa, es decir, como el nombre de unafunción cuyos argumentos son n-tuplas de valores deverdad, y cuyos valores son valores de verdad. Porejemplo:

T ∧∧∧∧ T = T T ∨∨∨∨ T = T T →→→→ T = TT ∧∧∧∧ ⊥⊥⊥⊥ = ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ ∨∨∨∨ ⊥⊥⊥⊥ = ⊥⊥⊥⊥ T →→→→ ⊥⊥⊥⊥ = ⊥⊥⊥⊥

• Cuando la función veritativa sólo tiene un argumento,decimos que se trata de un funtor monádico; si tienedos, será diádico; si tiene tres, triádico, etc.

• Existen- 22 = 4 funciones veritativas monádicas distintas,- (22)2 = 16 funciones veritativas diádicas distintas,- ((22)2)2 = 256 triádicas, etc.

• Una tabla de verdad es una definición tabular de cadaconectiva considerada como función verítativa.

• Construimos cada tabla de la siguiente forma (siendo Cni

la i-ésima conectiva n-ádica):

Valores de los argumentos de Cni Valores de Cn

i1 Valor de arg1 ... Valor de argn Valor2 Valor de arg1 ... Valor de argn Valor... ... ... ... ...2n Valor de arg1 ... Valor de argn Valor

• La tabla tendrá 2n filas y n+1 columnas.



• Las tablas definitorias de las conectivas, consideradascomo nombres de funciones veritativas, establecen a quénos estamos refiriendo cuando utilizamos esasconectivas, esto es, establecen su “significado”.

Ejemplo: Consideremos la siguiente fórmula

(A ∧∧∧∧ B) →→→→ C

• Cómo la fórmula tiene tres variables, el número de filasde la tabla será 23 = 8

• Desplegándola sistemáticamente el resultado de la tablade verdad para toda combinación posible de valores deverdad sería:

A B A ∧∧∧∧ B C (A ∧∧∧∧ B) →→→→ CT T T T TT T T ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥T ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ T TT ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ T⊥⊥⊥⊥ T ⊥⊥⊥⊥ T T⊥⊥⊥⊥ T ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ T⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ T T⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ T



DEFINICION TABULAR DE LAS FUNCIONESVERITATI VAS

• Podemos proceder a definir las funciones veritativasmonádicas mediante la siguiente tabla:

Valores para las conectivasde las conectivas monádicas

Valoresposibles delargumento M1 M2 M3 M4

T T T ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥ T ⊥⊥⊥⊥ T ⊥⊥⊥⊥

• Para dos valores de verdad estas son las cuatroconectivas monádicas posibles:

• M1 es la función que ante lo verdadero devuelve loverdadero y lo falso lo hace verdadero.

• M2 deja los argumentos como están.• M3 invierte los valores de entrada. Lo verdadero lo

convierte en falso y lo falso lo convierte en verdadero.• M4 transforma lo verdadero en falso y lo falso lo deja

como está.

• ¿De estas cuatro conectivas cuál interesa a la lógica?

• M3 es precisamente la función veritativa a la quehemos dado el nombre de “negador".



DEFINICION TABULAR DE LAS FUNCIONES VERITATIVAS (Cont.)

• Asimismo, podemos definir mediante tablas las funciones veritativas diádicas:

Valores de las correspondientes fórmulas molecularesCombinaciónde Valorespara dosargumentos

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 D12 D13 D14 D15 D16

T T T T T T T T T T ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥T ⊥⊥⊥⊥ T T T T ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ T T T T ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥ T T T ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ T T ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ T T ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ T T ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ T ⊥⊥⊥⊥ T ⊥⊥⊥⊥ T ⊥⊥⊥⊥ T ⊥⊥⊥⊥ T ⊥⊥⊥⊥ T ⊥⊥⊥⊥ T ⊥⊥⊥⊥ T ⊥⊥⊥⊥

• De las 16 conectivas diádicas posibles ¿cuáles pueden interesar a los cálculos lógicospor sus características semánticas?

• D2 es la Disyunción, ∨∨∨∨• D5 es el Condicional, →→→→

• D7 es el Bicondicional, ↔↔↔↔• D8 es la Conjunción, ∧∧∧∧

• Aunque algunos cálculos pueden usar otras conectivas, por ejemplo:• D9 se conoce como "función barra de Sheffer" o "negación alternativa" [p | q] y la podemos utilizar

para definir todas la conectivas diádicas en función de ésta.• D15 se conoce como "función flecha" o "negación conjunta" [p ↓↓↓↓ q] y tiene las mismas

características que la barra de Sheffer.



TAUTOLOGICIDAD Y CONSECUENCIA

• Nos interesan en especial aquellas fórmulas de Lp queexpresan inferencias (relaciones de consecuencia)válidas.

• Para recoger esta idea, introducimos las siguientesdefiniciones básicas:

• Una valoración veritativa σσσσ sobre Lp satisface unconjunto de fórmulas ΓΓΓΓ de Lp (σσσσ╞ ΓΓΓΓ) sii, para todafórmula A de ΓΓΓΓ, Aσσσσ=T.

• Si ΓΓΓΓ sólo tiene una fórmula A, escribimos σσσσ╞ A en vezde σσσσ╞ {A}.

• A es una tautología (es decir, una fórmulaproposicionalmente válida) sii, σσσσ╞ A, para todavaloración σσσσ.

• Si A es una tautologia, escribimos ╞ A.

• Una fbf B de Lp es una consecuencia tautológica de unconjunto ΓΓΓΓ de fbfs de Lp (F╞ B) sii, para todo σσσσ, si σσσσ╞ ΓΓΓΓ,entonces σσσσ╞ B

• Si ΓΓΓΓ = ∅∅∅∅ (conjunto vacío), escribimos simplemente ╞ B.

• Dos fórmulas A y B son tautológicamente equivalentessii Aσσσσ = Bσσσσ, para todo σσσσ; es decir, sii A╞ B y B╞ A.



OTROS TEOREMAS SEMÁNTICOS DE Lp

• Si Aσσσσ = T y (A →→→→B) σσσσ = T , entonces Bσσσσ = T

• Si ╞ A y ╞ (A →→→→ B),entonces ╞ B.

• A╞ B sii ╞ (A →→→→ B)

• (Principio de Monotonía) Si ΓΓΓΓ╞ A, entonces ΓΓΓΓ∪∪∪∪∆∆∆∆╞ A.

• Si ΓΓΓΓ╞ A y A╞ B, entonces ΓΓΓΓ╞ B.

• Si ΓΓΓΓ╞ A y ΓΓΓΓ╞ A →→→→ B, entonces ΓΓΓΓ╞ B.

• Si ╞ A, entonces ΓΓΓΓ╞ A.

• Teorema semántico de interpolación para Lp.Si ╞ A→→→→B, y A y B tienen al menos una variable enunciativaen común, entonces, existe una fórmula C, fórmula deinterpolación, tal que todas sus variables enunciativasaparecen tanto en A como en B, de forma que se cumple:╞ A→→→→C y ╞ C→→→→B



Teorema de Interpolación para Lp

[Ejemplo de prueba semántica metateorética por inducción]

Teorema: Si ╞ A→→→→B, y A y B tienen al menos una variableenunciativa en común, entonces, existe una fórmula C,fórmula de interpolación, tal que todas sus variablesenunciativas aparecen tanto en A como en B, de forma quese cumple:

╞ A→→→→C y ╞ C→→→→B

Demostración: Por inducción sobre el número de variables

enunciativas, n, que aparecen en A, pero no en B.Base: n = 0, Entonces todos los símbolos enunciativos de Aaparecen en B. Entonces C puede ser A. Tomemos a A como

fórmula de interpolación, se cumple: ╞ A →→→→ A y ╞ A →→→→ BPaso: Hipótesis Inductiva. El teorema se cumple siempre que hayn>0 variables enunciativas en A que no están en BSea n= n+1 variables enunciativas en A que no están en BSea A una fórmula tal que:

• ╞ A →→→→ B

• A contiene n + 1 variables enunciativas que no están en B.Sea p una de tales variables

Como ╞ A →→→→ B, (A →→→→ B)σσσσ = T tanto para pσσσσ = T como pσσσσ = ⊥⊥⊥⊥

Sea q una variable que aparece tanto en A como en B

Sea A1 el resultado de sustituir en A p por q →→→→ q,

como ╞ q →→→→ q, entonces pσσσσ = T.

Sea A2 el resultado de sustituir en A p por ¬¬¬¬( q →→→→ q), para tal

caso pσσσσ = ⊥⊥⊥⊥. Obviamente ╞ A1 →→→→ A y ╞ A2 →→→→ B

Por tabla de verdad tenemos que ╞ (¬¬¬¬A1 →→→→ A2 ) →→→→ B



Demostración: Si no fuera así

- (¬¬¬¬A1 →→→→ A2 ) σσσσ = T y Bσσσσ= ⊥⊥⊥⊥, pero si Bσσσσ= ⊥⊥⊥⊥, entonces A1σσσσ

y A2σσσσ= ⊥⊥⊥⊥

ya que ╞ A1 →→→→ A y ╞ A2 →→→→ B, pero

- Si A1σσσσ

y A2σσσσ= ⊥⊥⊥⊥ entonces (¬¬¬¬A1 →→→→ A2 ) σσσσ no puede ser T ya que

(T →→→→ ⊥⊥⊥⊥) σσσσ ≠≠≠≠ T . Luego

Como la fórmula (¬¬¬¬A1 →→→→ A2 ) →→→→ B tiene n variables enunciativas de

las que están en A, pero no en B, ya que hemos quitado p, por laHipótesis Inductiva existe alguna fórmula C que sólo contiene

variables enunciativas que aparecen tanto en ¬¬¬¬A1 →→→→ A2 como en B

de forma que (¬¬¬¬A1 →→→→ A2) →→→→ C y C →→→→B

De ahí se sigue, por tabla de verdad que ╞ A →→→→ C, demostrando

que

((¬¬¬¬A1 →→→→ A2) →→→→ C) ∧∧∧∧ (C →→→→B)) →→→→ (A →→→→ C) es una tautología

Demostración: Si no lo fuera

i) ((¬¬¬¬A1 →→→→ A2) →→→→ C) ∧∧∧∧ (C →→→→B)) σσσσ = T y

ii) (A →→→→ C) σσσσ= ⊥⊥⊥⊥

Para ii) Aσσσσ= T y Cσσσσ= ⊥⊥⊥⊥

Para i) ((¬¬¬¬A1 →→→→ A2) →→→→ C) σσσσ = T y (C →→→→B) σσσσ = T

para ((¬¬¬¬A1 →→→→ A2) →→→→ C) σσσσ = T, entonces como Cσσσσ= ⊥⊥⊥⊥,

(¬¬¬¬A1 →→→→ A2 ) σσσσ = ⊥⊥⊥⊥ .

y, en consecuencia, tanto A1σσσσ

= ⊥⊥⊥⊥ y A2σσσσ= ⊥⊥⊥⊥.

Pero de nuestras definiciones de A1 y de A2 , se sigue que, si

Aσσσσ= T, o bien A1 o bien A2 deben tener también el valor T.

Lógica y Computación Semántica de L


SEMÁNTICA PARA LA LÓGICA DE PREDICADOS.DEFINICIÓN SEMÁNTICA BÁSICA .(SEMANTICA PARA L)

• Mediante σσσσ definimos lo que significa ser verdaderopara una fbf de L.

(Def.) Valoración σσσσ en L

Sea U un conjunto no-vacío (universo o dominio dediscurso). Entonces:

(1) Para todo t ∈∈∈∈ L: tσσσσ ∈∈∈∈ U

(2) Para todo P ∈∈∈∈ L: P es una relación definida sobre U, deforma que:

T sii <t1σσσσ, ..., tn

σσσσ > ∈∈∈∈ Pσσσσ

(Pt1, ..., tn)σσσσ =⊥⊥⊥⊥ , en otro caso

(3) Para toda L-fórmula A y variable u

T sii Aσσσσ(v/u) = T para todo u ∈∈∈∈ U (∀∀∀∀v A)σσσσ = ⊥⊥⊥⊥ , en otro caso

T sii Aσσσσ(v/u) = T para algún u ∈∈∈∈ U (∃∃∃∃v A)σσσσ = ⊥⊥⊥⊥ , en otro caso

• σσσσ(v/u) es una valoración que coincide en todo con σσσσexcepto quizás en el objeto u atribuido a v. Es decir, enel objeto del universo de discurso atribuido a la variable.

Lógica y Computación Semántica de L


• Se mantienen todas las definiciones semánticas básicas(valoraciones booleanas) de la Lógica de Enunciados:

• En vez de tautologías, hablaremos de fórmulaslógicamente válidas

• (Def.) A es satisfacible sii, σσσσ╞ A , para alguna valoraciónσσσσ

(Teorema) Todas las tautologías son fórmulas lógicamenteverdaderas, pero no a la inversa.

(Teorema) Todos los teoremas de Lp son teoremas de L enla lógica cuantificacional.

Lógica y Computación Metalógica


METALÓGICA (Introducción)Una cuestión fundamental en lógica es estudiar las relaciones

entre las estructuras sintácticas y sus interpretaciones

semánticas que se establecen en los cálculos. Este estudio nos

dará una visión de la utilidad del cálculo como herramienta

deductiva. Imaginemos que queremos formalizar una teoría

científica, por ejemplo la Matemática, y que para ello tenemos

que elegir un mecanismo deductivo que desarrolle toda la

teoría. ¿Qué le pediríamos al cálculo deductivo a emplear?

A simple vista parecería importante que:

1. Todo lo que se derivase en el cálculo fuera una verdad

lógica.

2. Toda verdad pudiera derivarse en el cálculo

3. Ante cualquier fórmula que pueda construirse pudiera

determinarse si es o no verdadera.

Dicho de otra manera, si denominamos teoremas lógicos (TL) a

lo que se deduce en un cálculo y fórmulas lógicamente

verdaderas (FLV) a las que quedan satisfechas por

cualesquiera interpretación, un cálculo será de interés si

TL ⊆ FLV por un lado, y por el otro si

FLV ⊆ TL. Es decir, que el conjunto de

teoremas lógicos sea un subconjunto

propio de las fórmulas lógicamente

TLFLV



verdadera y viceversa, o lo que es lo mismo que en la

intersección de estos dos conjuntos queden todos los

elementos de los conjuntos.

Pues bien, la disciplina que estudia a los cálculos lógicos se

denomina Metalógica y las propiedades importantes que

pretende establecer para estos cálculos son:

a) Consistencia: Un cálculo es consistente si toda fórmula que

se deriva en el cálculo es una verdad lógica.

Formalmente el teorema de consistencia se expresa de la

siguiente forma: Si ├ A, entonces ╞ A.O si lo consideramos como consecuencia de un conjunto de

hipótesis: Si ΓΓΓΓ├ A, entonces ΓΓΓΓ╞ A.

b) Completud: Un cálculo es completo si toda verdad lógica

puede deducirse en el cálculo. El teorema se expresa

formalmente de la siguiente manera: Si ╞ A, entonces├ A.O si lo consideramos como consecuencia de un conjunto de

hipótesis: Si ΓΓΓΓ╞ A, entonces ΓΓΓΓ├ A.Como vemos el teorema de completud es lo inverso de la

consistencia y en ambos se establece la equivalencia entre la

sintaxis y la semántica de un cálculo lógico.

c) Decidibilidad: Finalmente la tercera propiedad de interés es

la decidibilidad. Diremos que un cálculo es decidible si existe

un procedimiento finito que permite decidir si una fórmula o

deducción es demostrable en el cálculo.



En 1930 KURT GÖDEL probó el Teorema de Completudpara el cálculo lógico de 1er orden. Pero en 1931, establecióun resultado absolutamente sorprendente y de gravesconsecuencias para la ciencia y la racionalidad en general,el Teorema de Incompletud, que expresaba:

i) Todos los sistemas formales de la matemáticaclásica son incompletos, es decir, puede construirseuna sentencia indecidible, tal que ni ella ni sunegación son deducibles. Y la incompletud esirremediable.

ii) Es imposible probar la consistencia de un sistemaformal de la matemática clásica usando todos losrecursos y razonamientos incorporados al sistema, esdecir dentro del mismo.

oooOoooLa prueba de Completud de Gödel de 1930 para la lógica de 1er

orden demuestra la completud en sentido débil:

• Un sistema de lógica es completo sii todas las fórmulas válidasbien formadas son teoremas del sistema.

La Completud en sentido fuerte (E. L. Post) expresaría que unsistema de lógica es completo sii para cualquier fórmula bienformada A del sistema, o bien A es un teorema, o el sistema seconvierte en incosistente si se le añade, sin cambio, A comoaxioma. En este sentido la lógica proposicional es completa, perono la lógica de 1er orden.



Lógica y Computación Metalógica de Lp


METALÓGICA DE ENUNCIADOS

CONSISTENCIALa prueba de consistencia de la lógica de enunciados sebasa en la siguiente estrategia:(1) Determinar una propiedad que “inmunice” contra la

contradicción, y(2) Demostrar a continuación que esa propiedad pertenece

a toda fórmula del sistema, tanto a los axiomas, comoa los teoremas.

La propiedad en cuestión es la tautologicidad, pues unacontradicción es justo la negación de una tautología.

CONSISTENCIA SEMÁNTICA

Teorema 1: Si ΓΓΓΓ├ A, entonces ΓΓΓΓ╞ A

Demostración: Sea B1,...,Bn una deducción de A a partir de Γ.

Luego Bn = A.

Por inducción sobre k = 1,...,n mostraremos que Γ╞ Bn .

Así, para k = n tenemos Γ╞ A.

i) Si Bk es un axioma, entonces Bk es una tautología.

Luego Bk es satisfecho por cualquier valoración veritativa

y, por tanto, es una consecuencia tautológica de cualquier

conjunto de fórmulas.

ii) si Bk ∈ Γ, entonces evidentemente Γ╞ Bk



iii) Si para algún i, j < k, tenemos Bj = Bi → Bk , entonces

Bi, Bj╞ Bk, concretamente Bi, Bj → Bk╞ Bk .Por la

hipótesis inductiva Γ╞ Bi y Γ╞ Bj luego Γ╞ Bk

CONSISTENCIA SINTÁCTICA

Definición: Un conjunto Γ de fórmulas es enunciativamente

inconsistente (E-inconsistente) si, para algún B, se da tanto

Γ├ B como Γ├ ¬B. En otro caso Γ es E-consistente.

Teorema: Ninguna valoración de verdad satisface un conjunto

inconsistente de fórmulas.

Demostración: Sea Γ├ B y Γ├ ¬B. Si σ ╞ Γ entonces σ╞ B

y σ ╞ ¬B, lo que es imposible.

Teorema: (Consistencia Absoluta): Un conjunto de fórmulas es

E-inconsistente sii Γ├ A , para toda fórmula A.

Teorema: Para cualquier Γ y A:

i) Γ, ¬A es E-inconsistente sii Γ├ A

ii) Γ, A es E-inconsistente sii Γ ├ ¬A



COMPLETUD (Prueba de Kalmar 1934-35)Esta prueba se basa en la previa demostración de un lema por

el que se establece una relación entre el concepto semántico

de atribución veritativa y el concepto sintáctico de

deducibilidad. Lo que se pretende mostrar es que cada una de

las líneas que componen una tabla de verdad puede

considerarse una deducción, cuyas premisas son las variables

enunciativas de que consta la fórmula que se analiza en la

tabla y cuya conclusión sería la fórmula misma. Basta con

escribir en cada caso en lugar de T la letra o fórmula así

interpretada, y su negación si su valor es ⊥⊥⊥⊥.

Lema: Sea A una combinación de B1...Bk mediante conectivas

de Lp.

Consideremos una columna de una tabla de verdad para A

respecto a B1...Bk. Para cada i = 1..., k, sea B’i o bien Bi o bien

¬Bi, según que el valor de verdad que corresponda a Bi sea T o

⊥⊥⊥⊥.

De igual forma sea A’ bien A o bien ¬A según que el valor de

verdad que corresponda a A en esa columna sea T ó ⊥⊥⊥⊥.

Entonces B’i , B’

k├ A’.

Lema: Sea A una tautología, ╞ A, y sean B1...Bk las diferentes

fórmulas atómicas que componen A, entonces:

i) B’1 , B’

k-p├ A, donde para cada i, B’i puede ser

(independientemente para cada i distinto) o bien Bi o

bien ¬Bi



ii) Se sigue además (para k = p)├ A.

Lema: Sea Γ finito y Γ╞ A. Entonces puede construirse una

deducción de A a partir de Γ.

Teorema de Completud débil: Si Γ es finito y Γ╞ A, entoncesΓ├ A. En particular si ╞ A, entonces ├A.

DECIDIBILIDAD DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

• Decimos, en general, que poseemos un método dedecisión para una teoría lógica (y que dicha teoría esdecidible) cuando disponemos de un procedimientoefectivo (es decir, algorítmico) para averiguar si unadeterminada fórmula A de esa lógica expresa, o no, unarelación válida de consecuencia

• La lógica proposicional es decidible, es decir, podemosdemostrar que:

• El conjunto de las tautologías de Lp es decidible.

• Demostraremos este teorema mostrando que la lógicaproposicional cuenta con varios métodos de decisión:

• Tablas de Verdad• Análisis de Valores de Verdad• Reducción a Forma Normal• Arboles Lógicos.



TABLAS DE VERDAD (Wittgenstein, 1921)

• Una tabla de verdad para una fórmula de Lp no es sino laexhibición, en forma de matriz, de:

• Todos los posibles valores de verdad de las variablesproposicionales de la fórmula (para n variablesenunciativas, 2n posibles combinaciones de dichosvalores, esto es, 2n filas de la matriz),

• Todos los posibles valores de cada subfórmula de lafórmula, inducidos por la definición booleana de laconectiva principal de cada subfórmula

• Se procede desde las subfórmulas más internas a lasmás externas

• Finalmente, todos los posibles valores de la fórmulaglobalmente considerada, inducidos por el operadorprincipal de la fórmula sobre los valores de sussubfórmulas

• Si bajo el operador principal sólo aparece el valor deverdad T, la fórmula será una tautología, esto es, unafórmula verdadera para cualquier asignación de valoresde verdad a sus variables enunciativas.

• Conoceremos, por tanto, para toda fórmula, y en untiempo finito, su carácter tautológico o no.



TABLAS DE VERDAD (Wittgenstein, 1921)

• Ejemplo: ?╞ (A →→→→ B) →→→→ (¬¬¬¬B →→→→ ¬¬¬¬A)

• Tendremos una tabla de verdad de 22 filas, queconstruimos, para mayor facilidad, en varias etapasdistintas:

A B ¬¬¬¬A ¬¬¬¬B A →→→→ B ¬¬¬¬B →→→→ ¬¬¬¬A (A →→→→ B) →→→→ (¬¬¬¬B →→→→ ¬¬¬¬A)

T T ⊥ ⊥ T T TT ⊥ ⊥ T ⊥ ⊥ T⊥ T T ⊥ T T T⊥ ⊥ T T T T T

• A la izquierda de la doble línea vertical tenemos lascombinaciones posibles de valores para las variablesproposicionales de la fórmula.

• A la derecha vamos construyendo los valores quepueden tomar las demás subfórmulas de la fórmula.

• En el extremo de la derecha llegamos finalmente a lafórmula que nos interesa.

• Vemos que, en este caso, ╞ (A →→→→ B) →→→→ (¬¬¬¬B →→→→ ¬¬¬¬A), yaque la fórmula resulta verdadera para cualquierasignación de valores de verdad.

• Puesto que a cada fórmula A de Lp le corresponde unatabla de este tipo, el método de tablas de verdad es unmétodo de decisión para la lógica proposicional.

Lógica y Computación Metalógica de L


METALÓGICA DE LÓGICA DE PRIMER ORDEN(LÓGICA ELEMENTAL).

CONSISTENCIA

Si ΓΓΓΓ├ A, entonces ΓΓΓΓ╞ A . En particular si ╞ A, entonces ╞ A.

La demostración de la consistencia de la lógica de predicadosse obtiene recurriendo a una cierta reducción de la misma a lalógica de enunciados y a la idea de tautología.Si en una fórmula cuantificacional cualquiera se efectúa la

operación :

(1) de suprimir todos los cuantificadores y símbolos de

individuo, y

(2) reemplazar convenientemente las letras predicativas

por variables enunciativas que no figurasen en la

referida fórmula A,

se obtiene una fórmula A’ a la que se denomina fórmula

enunciativa asociada a la fórmula cuantificacional A.

La consistencia de L se establece considerando que:

(1) Sus axiomas o bien son tautologías o bien tienen una

fórmula enunciativa asociada que es una tautología

(2) Sus reglas de inferencia transmiten la tautologicidad.

Otro procedimiento es apoyarse en la idea de

satisfacibilidad. Un sistema que tiene un modelo no puede ser

contradictorio. EL lenguaje L tiene al menos un modelo, basta

con elegir un universo de un único individuo que satisfaga a sus

axiomas.



Organigrama del Teorema de Completud

Lema de Lindenbaum: Si ΓΓΓΓ es consistente y el conjunto devariables libres que aparecen en ΓΓΓΓ es finito, LBR(ΓΓΓΓ) finito,

hay un ΓΓΓΓ* maximamente consistente y ejemplificado tal queΓΓΓΓ⊆⊆⊆⊆ ΓΓΓΓ* ⊆⊆⊆⊆ L

Lema de Henkin: si ΓΓΓΓ* es maximamente consistente yejemplificado entonces ΓΓΓΓ* tiene un modelo numerable.

Corolario: si ΓΓΓΓ es consistente y LBR(ΓΓΓΓ) finito, entonces ΓΓΓΓtiene un modelo numerable.

Lema: Si ΓΓΓΓ ⊆⊆⊆⊆ L y ΓΓΓΓ’ es la clase formada por la fórmulasde ΓΓΓΓ que resultan de sustituir las variables libres porconstantes nuevas, y si ΓΓΓΓ’ tiene un modelo numerable,entonces ΓΓΓΓ también lo tiene

Teorema de Henkin: Para cualquier conjunto de fórmula ΓΓΓΓ, si ΓΓΓΓ

es consistente, entonces tiene un modelo numerable.

Teorema de Gödel: Si ΓΓΓΓ ╞ A, entonces ΓΓΓΓ ├ A.

Corolario: si ╞ A, entonces ├ A .

• Teorema de Compacidad: ΓΓΓΓ tiene un modelo sii cadasubconjunto finito de ΓΓΓΓ lo tiene

• Teorema de Löwenheim-Skolem: Si ΓΓΓΓ es un conjuntosatisfacible de fórmulas escritas en un lenguaje numerable,entonces ΓΓΓΓ tiene un modelo numerable



COMPLETUD (Prueba de Hekin 1949)

Si ΓΓΓΓ╞ A, entonces ΓΓΓΓ├ A. En particular si ╞ A, entonces ├ A

Gödel demostró en 1930 este teorema para la lógica de primer orden.

En 1949 Henkin presentó una prueba más sencilla que es la que se

analiza aquí.

Estrategia de Prueba: Comprobar que el teorema de Henkin es

condición suficiente del de Completud. Lo importante en la prueba es

demostrar que todo conjunto consistente tiene un modelo y construirlo.

Una vez visto esto, habrá que ver cómo el teorema de Henkin se sigue

del corolario en cuanto encontramos el modo de prescindir de la

condición de que las variables libres del conjunto constituyen un

conjunto finito.

Para demostrar el lema de Lindenbaum se ordenan las fórmulas del

lenguaje y se construye inductivamente una cadena de conjuntos

consistentes y ejemplificados, es decir que para cada fórmula existencial

exista una instancia de sustitución que sea “nueva”.

El poder ordenar las fórmulas del lenguaje es fundamental para la

posibilidad de la construcción de la cadena de conjuntos consistentes y

ejemplificados. Es por esta razón que cuando el lenguaje es de

cardinalidad más que numerable, necesitamos el axioma de elección.

La meta del lema de Lindenbaum es simple: extender el conjunto de

fórmulas de partida incluyendo en él a todas las que no lo convierten en

contradicción y en añadir testigos o ejemplificaciones para cada

particularizador.



Def. Por un conjunto máximamente consistente se entiende un

conjunto que no sólo es consistente sino que además comprende toda

fórmula consistente, de manera que la adición de cualquier fórmula que

no formase parte de él lo haría inconsistente.

La prueba exige determinar un plan de construcción de este conjunto lo

que supone realizar un recorrido completo de un universo infinito, como

es el de todas las posibles fórmulas consistentes y no consistentes,

para ir seleccionando todas las que sean consistentes con el conjunto ΓΓΓΓ

de partida. Una vez construido la prueba de la satisfacibilidad se puede

hacer del conjunto inicial ΓΓΓΓ, ya que éste está ahora contenido en ΓΓΓΓ*

Construido el conjunto ΓΓΓΓ* máximamente consistente y ejemplificado,

conocido como conjunto de Henkin, hay que presentar un modelo

numerable que satisfaga al conjunto de Henkin. El modelo se basa en

una autointerpretación del sistema lógico, estableciendo una relación de

equivalencia en el conjunto de los términos de L, que se prueba que

satisface a ΓΓΓΓ* y en consecuencia a ΓΓΓΓ, que forma parte de ΓΓΓΓ*.



Construcción del Conjunto de Henkin

(1) Definir la cardinalidad de L, λ , entendida como la cardinalidad del

conjunto de símbolos de L.

(2) Demostrar que la cardinalidad del conjunto de todos los términos

de L es < λ y que el conjunto de todas las fórmulas es de

cardinalidad λ.(3) Definir una extensión L’ de L que obtenemos añadiendo nuevas

constantes individuales y que L’ tiene cardinalidad λ(4) Proceder a construir el conjunto de Henkin

(4.1) Sobre el conjunto de fórmulas de L’ establecer una

buena ordenación: {φδ: δ < λ}

(4.2) Por Recursión transfinita para cada δ ≤ λ definimos un

conjunto ΓΓΓΓδ tal que:

a) ΓΓΓΓδ ⊆ ΓΓΓΓηηηη

b) ΓΓΓΓδ es consistente

c) en ΓΓΓΓδ aparecen a lo sumo δ nuevas constantes

(4.3) Construirlo

a) Para δ = 0 se cumple a), b) y c).

b) Para 0 < γγγγ < λ

• Si γγγγ es un ordinal límite ΓΓΓΓγγγγ = ∪ { ΓΓΓΓδ : δ ≤ γγγγ } y se

cumple a), b) y c).

• Si γγγγ es un ordinal sucesor ΓΓΓΓγγγγ = ΓΓΓΓδ + 1

• Si ΓΓΓΓδ ∪ {B δ } es inconsistente ΓΓΓΓδ + 1 = ΓΓΓΓδ

• Si ΓΓΓΓδ ∪ {B δ } y B δ no es de la forma ¬∀∀∀∀v A se

cumple a), b) y c), entonces ΓΓΓΓδ + 1 = ΓΓΓΓδ ∪ {B δ }.



• Si ΓΓΓΓδ ∪ {B δ } es consistente y B δ es de la forma

¬∀∀∀∀v A se cumple a) y c) y también b), entonces

ΓΓΓΓδ + 1 = ΓΓΓΓδ ∪ {B δ, ¬¬¬¬Av/c }.

(4.4) Demostrar que ΓΓΓΓγγγγ = ∆ es máximamente consistente. Lo

que queda asegurado por el método de construcción de

ΓΓΓΓγγγγ = ∆.(5) Demostrar que todo conjunto consistente de fórmulas de L es

satisfecho por una valoración cuyo universo tiene una cardinalidad

≤ λ (teorema de Henkin).

(6) establecido el teorema de Henkin, el teorema de Gödel es

inmediato pues:

Si ΓΓΓΓ╞ A, entonces ΓΓΓΓ, ¬¬¬¬A es insatisfacible

Si ΓΓΓΓ, ¬¬¬¬A es insatisfacible, entonces ΓΓΓΓ, ¬¬¬¬A es inconsistente

Luego ΓΓΓΓ├ A



DECIDIBILIDAD DE LA LÓGICA DE PREDICADOS

El problema de la decisión en un sistema deductivoconsiste en hallar un procedimiento mecánico o algoritmoque permita determinar en un número finito de pasos, parauna fórmula cualquiera A, si esa fórmula es o no deducibleen el sistema.En la lógica de predicados, el problema no tiene unasolución general satisfactoria.

Teorema de Church (1936): No existe un procedimientoefectivo que permita resolver el problema de la decisión dela lógica cuantificacional de primer orden.Sin embargo hay zonas de la lógica de primer orden que síson decidibles

(T.) La lógica cuantificacional monádica es decidible

(T.) La Lógica Elemental es indecidible (Church)

Consecuencia del teorema de incompletud de laaritmética elemental (Gödel, 1931)

Pero existen subclases decidibles de fórmulas de L, yde argumentos que utilizan fórmulas de L

Algunos métodos para establecer la decidibilidad deuna clase de fórmulas se basan en la reducción de lasfórmulas a su forma normal prenexa.



REDUCCIÓN A FORMA NORMAL PRENEXA

(Def.) Una fbf de L está en forma normal prenexa (FNP) sitodos sus cuantificadores aparecen en un único prefijocuantificacional cuya matriz cuantificacional es el resto dela fórmula

Para reducir una fórmula a su FNP se opera mediantecadena de equivalencias, aplicando como criterios detransformación un conjunto de equivalencias lógicamenteverdaderas.Los pasos de la transformación son:

1. Interiorización de negadores2. Eliminación de la doble negación3. Discriminación de variables índice: cada aparición de un

cuantificador ligará variables distintas4. Exteriorización de cuantificadores en su mismo orden de

aparición.

Equivalencias lógicamente válidas• Exteriorización de cuantificadores• Mutación de variable• Interiorización de negadores

Criterios de decidibilidad para L

Una fórmula de L es decidible si el prefijo cuantificacionalde su FNP:• Sólo tiene generalizadores, o• Sólo tiene particularizadores, o• No tiene cuantificadores universales detrás de

cuantificadores existenciales ...



Un argumento en L es decidible si sus premisas yconclusión están en FNP y son tales que:

• En las premisas, no hay cuantificadores existencialesdetrás de cuantificadores universales, y

• En la conclusión, no hay cuantificadores universalesdetrás de cuantificadores existenciales.

Lógica y Computación Computabilidad y Decidibilidad


Computabilidad

y

Decidibilidad



ESPECIFICACIÓN FORMAL DE PROCESOS

• La matemática nos proporciona lenguajes paraespecificar (= definir, hablar de) procesos

• El concepto clave para la definición matemática deprocesos es el de algoritmo

• Definición intuitiva de algoritmo:

• Secuencia de operaciones que, aplicadacorrectamente a un problema de una clasedeterminada, genera la solución a ese problema enun tiempo finito

• Existen varias formas de definición matemática dealgoritmo:

• Funciones recursivas (Gödel)

• Funciones λλλλ-definibles (Church, Kleene)

• Algoritmos de Markov.

• Teoría de Autómatas (Máquinas de Turing)



AUTÓMATAS Y COMPUTABILIDAD

• Para la especificación matemática de procesosestudiamos tres teorías distintas:

• Teoría de Autómatas

• Computabilidad y Decidibilidad

• Teoría de la Complejidad Computacional

• La Teoría de Autómatas nos proporciona el lenguaje parala especificación de procesos algorítmicos.

• La Teoría de la Computabilidad y la Decidibilidad nosproporciona información acerca de los límites de laresolución algorítmica de problemas.

• La Teoría de la Complejidad Computacional nosproporciona estrategias de medida de la complejidad decada tipo de proceso algorítmico.



TEORÍA DE AUTÓMATAS



AUTOMATAS

• Un autómata es:

• Una máquina (mecanismo) de naturaleza formal

(Sólo existe como un mecanismo matemático)

• que acepta una información de entrada (input),• la procesa,

(La somete a transformaciones simbólicas quepueden adoptar la forma de un cálculo ocomputación)

• y genera un resultado o salida (output).

• Definir un autómata equivaldrá a definir el proceso detransformación del input en un output, lo que equivale adefinir una función cuyos argumentos son el input y cuyovalor es el output



TIPOS DE AUTOMATAS

• Hay muchos tipos de autómatas

• Cada tipo de autómata se asocia a una potencia

computacional determinada, es decir, a una capacidaddada de resolución de problemas

• De hecho, podemos clasificar los problemasalgorítmicamente solubles asociándolos al tipo deautómata que los resuelve

• Estos tipos se ordenan en una jerarquía de menor amayor potencia computacional

• Jerarquía de automátas:

1) Autómatas finitos (Redes Lógicas)2) Autómatas intermedios:

2.1. Autómatas de memoria de pila2.2. Autómatas de memoria linealmente limitada

3) Máquinas de Turing



TIPOS DE AUTOMATAS (2)

• Además, podemos clasificar los autómatas:

• Por el tipo de proceso que ejecutan:

• Aceptación o reconocimiento• Generación

• Por su tipo de causalidad:

• Determinista• No-Determinista

• Por el tipo de su almacenamiento de información:

• De tamaño fijo• De tamaño creciente• De tamaño infinito

• Por el tipo de la información que manejan

• Discreta• Continua



TIPOS DE AUTOMATAS (3)

• Autómatas aceptadores o reconocedores:

• Resuelven problemas con respuesta si/no, que semodeliza normalmente como la identificación dedos estados finales, uno de aceptación y otro derechazo

• Autómatas generadores o transductores:

• Construyen una respuesta específica (una salida)para el problema planteado

• Autómatas deterministas:

• La solución del problema viene unívocamentedeterminada por las entradas y los estados internosdel autómata

• Autómatas no-deterministas:

• La respuesta no está unívocamente determinada



DESARROLLO DE LA TEORÍA DE AUTÓMATAS

• Turing (1936)• McCulloch, Pitts (1943)• Kleene (1956)• Shannon (1956)• Moore (1956)• Minsky (1956)• Wang (1957)• Sepherdson (1959)• Rabin, D. Scott (1959)• McNaughton, Yamada (1960)• Rabin (1963)• Chomsky (1963)• McCarthy (1963)• Hartmanis, Stearns (1965)

Lógica y Computación Maquinas de Turing


I d i m b

Autómata Finitode Control

I/O

Máquinas de Turing

• Cinta potencialmente infinita, que se utiliza paraalmacenar:

• Los datos de entrada

• Los datos de salida

• Los resultados intermedios.

• Cada casilla de la cinta contiene cada uno de los

símbolos del alfabeto ΣΣΣΣ del problema (Supondremos que

ΣΣΣΣ = {1, 0})

• Al comienzo del proceso, la Máquina de Turing seencuentra situada sobre la primera casilla a la izquierdade la parte no-vacía de la cinta

• El autómata finito de control tiene una entrada (I) y cuatrosalidas (d, i, m, b)

• La entrada I recibe en cada instante t el símbolocontenido en la casilla que se está examinando en eseinstante



Máquinas de Turing (2)

• En respuesta a esa información de entrada, el autómatafinito de control genera una instrucción de actuaciónsobre la cinta:

• Cuando activa la salida “d”, la Máquina de Turing semueve a la derecha una casilla

• Cuando activa “i”, se mueve una casilla a laizquierda

• Cuando activa “m” (“marcar”), escribe un símbolo“1” en la casilla actual

• Cuando activa “b” (“borrar”), escribe un “0” en lacasilla actual.

• La definición puede variar en sus términos:• Alfabeto variado• Movimiento de la cinta, y no de la máquina• ...

• (Def.) La Máquina de Turing se detiene en un instante t si,a partir t, la Máquina de Turing sigue examinando lamisma casilla, sin producir ningún cambio en ella, y sincambios de estado en el autómata finito de control.

• En cada instante t, la Máquina de Turing está en unestado dado (el de su autómata finito de control).

• Cada operación de cambio de estado y de salida de laMáquina de Turing está determinada por unacombinación <estado, símbolo leído>



Máquina de Turing (3)

• Resolver un problema equivale a computar una funcióncuyo valor es la solución del problema

• (Def.) Una Máquina de Turing T computa una funciónf(a1,...,an)= v sii, representados en su cinta, en un instantet0, los argumentos a1, ..., an, se detiene en un instanteti ≥≥≥≥ t0, con v representado sobre su cinta.

• T es una Máquina de Turing “concreta”: sólo resuelve elproblema para el que está diseñada.

• Si T computa una función f, decimos que f esTuring-computable.

• Si un problema es Turing-computable, entonces esalgorítmicamente soluble.

• A es un algoritmo sii el problema que A resuelve esresoluble mediante una Máquina de Turing.

• Tesis de Turing: La clase de las funciones efectivamentecomputables (funciones algorítmicas o algoritmos) puedeidentificarse con la clase de las funciones Turing-computables



Especificación de Máquinas de Turing

• Las Máquinas de Turing se definen en términos dequíntuplas:

<estado, entrada, salida, nuevo estado, movimiento>

La Máquina de Turing que suma enteros [Ejemplo]

Especificación de una Máquina de Turing sumadora talque:

• Cada número se representa mediante n+1 “1”s• Los “0”s actúan como delimitadores• Los dos sumandos están separados por un espacio

en blanco (un “0”)• Al final del proceso sólo debe quedar el resultado

escrito sobre la cinta, con la cabeza de I/Oposicionada sobre la casilla más a la izquierda de laparte no vacía de la cinta

Estado Actual Símbolo en la Celda Escribe Mueve SiguienteEstado

q1 0 1 Derecha q2q1 1 1 Derecha q1q2 0 0 Izquierda q3q2 1 1 Derecha q2q3 0 0 Izquierda q3q3 1 0 Izquierda q4q4 0 0 Derecha Paroq4 1 1 Izquierda q4



Podemos simplificar la tabla escribiendo cada fila enquintuplas ordenadas como:

<q1, 0, 1, d, q2>,<q1, 1, 1, d, q1>,<q2, 0, 0, i, q3>,<q2, 1, 1, R, q2>,<q3, 0, 0, i, q3>,<q4, 0, 0, d, Paro>,<q4, 1, 1, i, q4>.

Los datos de entrada representan dos números ennotación unaria. Para representar un par de enteros (x, k)en notación unaria, empezamos con un cero, seguido por xunos separados por otro cero y seguidos de k unos, setermina con un cero. Por ejemplo, el par (2,3) sería ennotación unaria 01101110. Usando entonces 01101110como input y siguiendo la tabla anterior tendríamos lasiguiente secuencia, que terminaría con 0111110:

Referencias (en Internet)http://www.turing.org.uk/turing/scrapbook/tmjava.htmlhttp://obiwan.uvi.edu/computing/turing/ture.htmhttp://www.wadham.ox.ac.uk/~ahodges/Turing.htmlhttp://www.turing.org.uk/turing/http://www.fisk.edu/vl

http://obiwan.uvi.edu/computing/turing/ture.htm

http://www.wadham.ox.ac.uk/~ahodges/Turing.html



q1 0 1 1 0 1 1 1 0 d q1⇑⇑⇑⇑

q1 0 1 1 0 1 1 1 0 d q1⇑⇑⇑⇑

q1 0 1 1 0 1 1 1 0⇑⇑⇑⇑

0 1 1 1 1 1 1 0 d q2⇑⇑⇑⇑

q2 0 1 1 1 1 1 1 0 d q2⇑⇑⇑⇑

q2 0 1 1 1 1 1 1 0 d q2⇑⇑⇑⇑

q2 0 1 1 1 1 1 1 0 d q2⇑⇑⇑⇑

q2 0 1 1 1 1 1 1 0 i q3⇑⇑⇑⇑

q3 0 1 1 1 1 1 0 0 i q4⇑⇑⇑⇑

q4 0 1 1 1 1 1 0 0 i q4⇑⇑⇑⇑

q4 0 1 1 1 1 1 0 0 i q4⇑⇑⇑⇑

q4 0 1 1 1 1 1 0 0 i q4⇑⇑⇑⇑

q4 0 1 1 1 1 1 0 0 i q4⇑⇑⇑⇑

q4 0 1 1 1 1 1 0 0 i q4⇑⇑⇑⇑

q4 0 1 1 1 1 1 0 0 i Paro





Máquina de Turing Universal

• Una Máquina de Turing Universal (U) es una Máquina deTuring tal que:

• Si, en t=0, representamos en su cinta:• una Máquina de Turing concreta• los datos de entrada a esa MT concreta

• Entonces, en algún t > 0, se detendrá con la soluciónde la MT concreta representada en la cinta

• La Máquina de Turing Universal imita o reproduce elcomportamiento de cualquier Máquina de Turingconcreta

• Existen métodos de codificación (Por ej., la numeraciónde Gödel) que permiten representar una Máquina deTuring mediante:

• Una codificación de las quíntuplas que definen sufuncionamiento

• Una codificación del estado en que se encuentra laMáquina de Turing

• La Máquina de Turing Universal:1. Lee el estado en que se encuentra la MTuring concreta.2. Mientras no es el estado final:

2.1 Lee el símbolo siguiente de la cadena de entrada2.2 Identifica cuál es la instrucción aplicable de la

MTuring concreta2.3 Aplica la instrucción:

2.3.1 Cambiando el estado de la MTuringconcreta

2.3.2 Generando la salida correspondiente.3. Si lee el estado final, termina.



Decidibilidad

• Tesis de Turing: Un problema es decidible sii escomputable (por una MTuring). En otro caso, esindecidible

• La cuestión de si, para una clase dada de problemas,existe un algoritmo o procedimiento efectivo que losresuelva, se denomina problema de decisión.

• Decimos que un problema de decisión es indecidible sipodemos demostrar que no existe ningún algoritmo quepueda responder a todas las preguntas que el problemapueda plantear.

• Ejemplos:• El problema “¿Hay enteros tales que satisfagan la

ecuación 3x + 6y = 151?” (que tiene una respuestanegativa) no es un problema de decisión.

• El problema “¿Hay enteros x, y tales que se cumplela ecuación ax + by = c?”, sí es un problema dedecisión:

• Para cada asignación de valores a losparámetros a, b, c, hay un problema distinto

• Respuesta:• sí, si el máximo común divisor (mcd) de a y

b divide a c• Tenemos el algoritmo de Euclides para

hallar el mcd de dos números



El Problema de la Parada

• Consideremos el siguiente problema de decisión:

¿Existe algún procedimiento efectivo (algoritmo o máquinade Turing) que nos permita determinar, para cualquier MTconcreta representada en la cinta de la MTuring universal,si la MTuring concreta llegará a detenerse después deiniciar su computación?

• Este problema tiene una respuesta negativa, por lo quese trata de un problema indecidible

• Este resultado es equivalente a los obtenidos respecto ala Lógica Clásica de Primer Orden:

• Gödel (1931): Cualquier sistema formal cuyolenguaje sea lo suficientemente rico para describirlas operaciones y relaciones básicas de la aritméticaelemental es incompleto

• La Aritmética de Peano, formalizada con la Lógica dePrimer Orden con Identidad (y símbolos funcionales)y con axiomas específicos, es incompleta.

• El conjunto de los enunciados verdaderos de laaritmética no es decidible

• Church (1936): La Lógica de Primer Orden esindecidible

• Consecuencias para las Ciencias Cognitivas:

• Existen problemas elementales no decidibles• Pero los sujetos solucionan problemas muy

complejos. Luego se requieren recursos demodelización no algorítmicos (heurísticos).



MAQUINAS DE REGISTROS

• Una computadora digital (ordenador) es la realizaciónfísica de una Máquina de Turing (universal)

• Un modelo más realista se obtiene si sustituimos la cintapotencialmente infinita de la MT por un número finitopero potencialmente ilimitado de registros

• Cada registro es un espacio de memoria quesupondremos que puede almacenar:

• Un número de cualquier longitud y tipo, o• Una cadena alfanumérica cualquiera, codificada

numéricamente

• Cada registro lleva asociado unívocamente un número, ladirección de ese registro

• Un conjunto de registros, que comienza en una direccióndada, almacenará representaciones numéricas de lasinstrucciones del programa

• Otro conjunto de registros almacena los datos sobre losque debe operar el programa

• En general, las instrucciones se reformularán para quetodas ellas se ajusten al formato:

Número_Instrucción Operando [Operador1, ..., Operadorn]

• Los operandos identifican la instrucción que se va aejecutar

• Los operadores son direcciones de registros en los quese guardan datos sobre los que se va a ejecutar laoperación. En los lenguajes de programación serepresentan mediante variables.



DE LOS AUTOMATAS A LOS ORDENADORES

• Un ordenador o computadora digital es la realizaciónfísica de una Máquina de Registros -en último término, deuna Máquina de Turing- Universal.

• Cuando un ordenador ejecuta un programa, la máquina“universal” (que puede ejecutar cualquier programa oproceso computable) se convierte en una “máquinavirtual” concreta.

• Cada instrucción de los lenguajes de programación dealto nivel que se utilizan para programar ordenadores, es,en realidad, una macroinstrucción, es decir, unaexpresión que resume todo un conjunto más o menoscomplejo de operaciones elementales



PROGRAMAS

• Una macroinstrucción es una unidad lingüística que hacereferencia, en último término, a una operación definibleen términos de Máquina de Turing

• Un lenguaje de programación es un conjunto demacroinstrucciones que puede ser utilizado para definiroperaciones o procesos complejos.

• Hay lenguajes de programación de distintos niveles, deforma que los lenguajes de un nivel utilizan explícita oimplícitamente macroinstrucciones del nivel inferior

• Un programa es una secuencia finita de instrucciones talque cada una de ellas es:

• Una macroinstrucción de algún lenguaje deprogramación

• Un subprograma (rutina o subrutina) formulada enese mismo lenguaje

• Una computadora digital (ordenador) es la realizaciónfísica de una Máquina de Turing (universal) que ejecutaprocesos definidos usualmente mediante programasescritos en lenguajes de programación de diferentesniveles

• Cuando un ordenador ejecuta un programa, la máquina“universal” (que puede ejecutar cualquier programa oproceso computable) se convierte en una “máquinavirtual” concreta.



¿Puede Pensar Una Máquina?

En 1950 la revista Mind publicó una conferencia de Alan M.Turing, "Maquinaria computadora e Inteligencia", en la quesostiene la tesis de que un computador digital puede hacertodo lo que hace el hombre.Si una máquina universal de Turing puede hacer toda tareacomputable, entonces puede hacer todo lo que hace lamente.

Test de Turing: Se conoce con el nombre de test de Turingla prueba que consiste en poner en comunicación a unamáquina con un humano, si el humano no es capaz dedarse cuenta de que su interlocutor es una máquinaentonces podemos considerar a la máquina comointeligente.

La Metáfora Computacional: es el modelo teórico queimplica que una máquina puede ser un modelo explicativode la mente humana. Entendiendo funcionalmente a lamáquina, es decir, al programa que ejecuta una máquina.Esta metáfora inaugura las disciplinas de la InteligenciaArtificial y la Ciencia Cognitiva.

Lógica y Computación Complejidad Computacional


COMPLEJIDADCOMPUTACIONAL



COMPLEJIDAD

• No basta con el criterio de decidibilidad para establecersi una modelización cognitiva puede ser estrictamentealgorítmica

• Los recursos físicos utilizados en la solución deproblemas (espacio y tiempo) son limitados

• Ni siquiera todos los problemas decidibles sonmanejables

• Podemos medir la complejidad de los algoritmos paraestimar su manejabilidad.

• Los parámetros de medida son:• Tiempo de computación requerido (número de

operaciones primitivas)• Espacio de memoria requerido:

• Tamaño del input• Tamaño del output• Espacio requerido para almacenar resultados

intermedias

• La complejidad vendrá dada por el tiempo requerido pararesolver el problema, dado como una función del tamañodel problema

• Tipos de complejidad:

• Polinómica (problemas “buenos”)• Exponencial (problemas “malos”).



Análisis de la Complejidad de un Algoritmo

• Ejemplo: Complejidad de la Multiplicación

• Sean dos enteros:

• n, que tiene i dígitos

• m, que tiene k dígitos

• Para obtener m x n tenemos que obtener i filas que sesumarán

• En cada fila tendremos aprox. j (≥≥≥≥ k) operaciones

• Luego para obtener las i filas necesitamos,aproximadamente, i x j operaciones.

• Finalmente, para sumar las filas necesitamos,aproximadamente, i x j sumas de dos números de undígito cada uno

• Luego el tiempo de ejecución de toda la operación seráproporcional a la ejecución de todas las operaciones

• El número de operaciones es 2(i x j)

• Luego la complejidad será proporcional al factorvariable de esta expresión: i x j



La Medida de la Complejidad Algorítmica

• Lo que resulta importante a la hora de medir lacomplejidad es su tasa funcional de crecimiento:

• Esa tasa puede ser:• Lineal (buena)• Cuadrática (admisible en algunos casos)• Exponencial (no manejable)• ...

• Los factores constantes se omiten.

• Denotación de la complejidad: O(f(n))

(La complejidad es proporcional a fn o “de orden f(n))

• Clasificación de los problemas respecto a sucomplejidad:

• Problemas P: tienen algoritmos eficientes, concrecimiento polinómico

• Problemas NP:• Es indemostrable que sean problemas P• Tienen un algoritmo eficiente (polinómico) de

verificación de la solución• Problemas NP-completos:

• No son problemas P ni NP• Si uno de la clase se solucionara mediante un

algoritmo polinómico, todos tendrían unalgoritmo de ese tipo

• Problemas intrínsecamente difíciles: No sonproblemas P ni NP, y tienen algoritmos con tiempoexponencial .

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Si n = el sucesor de n, entonces · para hablar de la notación que usamos en el cálculo necesitamos otra notación de nivel superior, para evitar equívocos. A esa notación superior