Upload
others
View
10
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS
Seventh Edition
Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.
Ders Notu:Hayri ACARİstanbul Teknik Üniveristesi
Tel: 285 31 46 / 116E-mail: [email protected]: http://atlas.cc.itu.edu.tr/~acarh
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
5. Yayılı Kuvvetler:Sentroid ve Ağırlık Merkezi
• Giriş• 2 Boyutlu Cisimin Ağırlık Merkezi• Alan ve Eğrilerin Sentroidi ve Birinci Momentleri• Belirli Şekil Alanlarının Sentroidi• Belirli Şekil Eğrilerinin Sentroidi• Bileşik Levhalar ve Alanları • İntegral ile Sentroidin Belirlenmesi • Pappus-Guldinus Teoremleri • Kirişlerde Yayılı Yükler • Üç Boyutlu Cisimlerin Ağırlık Merkezi: Hacimin Sentroidi • Belirli Şekillerin Sentroidi • Üç Boyutlu Bileşik Cisimler
• Dünya, cisimi oluşturan her parçacığa yerçekimi kuvveti uygular. Bu kuvvetler tek bir bileşke kuvvete dönüştürülebilir. Bu kuvvet cisimin ağırlığıdır ve cisimin ağırlık merkezine etkir.
• Bir alanın sentroidi bir cisimin ağırlık merkezinin benzeridir. Sentroidin yeri alanın birinci momenti kavramı ile belirlenir.
• Üç boyutlu dönel simetrik cisimlerin yüzey alanlarının ve hacimlerinin hesaplanmasında Pappus-Guldinus teoremi kullanılır.
Giriş
• Bir levhanın ağırlık merkezi
∫∑∑
=
∆=
dWx
WxWxM y ;
• Bir telin ağırlık merkezi
İki Boyutlu Cisimlerin Ağırlık Merkezi
∫∑∑
=
∆=
dWy
WyWyMx;y eksenine göre moment x eksenine göre moment
( ) ( )
moment birinci göre ekseniney =
==
=
=
∫∫∫
yQdAxAx
dAtxAtx
dWxWx
γγ
• Bir alanın sentroidi
Alanların ve Eğrilerin Sentroidi ve Birinci Momentleri
)(AtW γ=
t: kalınlık
( ) ( )
moment birinci göre eksenine x =
==
=
=
∫∫∫
xQdAyAy
dAtyAty
dWyWy
γγ
Yandan görünüş
hacimyoğunluk
)(tdAdW γ=
( ) ( )
∫∫∫
=
=
=
dLxLx
dLaxLax
dWxWx
γγ
• Bir eğrinin sentroidi
( ) ( )
∫∫∫
=
=
=
dLyLy
dLayLay
dWyWy
γγ
Telin kesit alanı
a
)(LaW γ=hacimyoğunluk
)(adLdW γ=
• Alanın bu simetri eksenine göre birinci momenti sıfırdır.
• Eğer bir alan simetri çizgisi içeriyorsa, alanın sentroidi bu eksen üzerindedir.
• Eğer bir alan iki simetri çizgisi içeriyorsa, alanın sentroidi bu çizgilerin kesişme noktasındadır.
• Bir alanın sentroidi ile simetri merkezi aynıdır.
Alanların ve Eğrilerin Birinci Momenti• Bir alan düşünelim ve bu alan için ekseni
çizilsin. Eğer her P noktası için bir noktası varsa ve ekseni doğrusunu dik olarak kesip iki eşit parçaya ayırıyorsa bu alan eksenine göre simetriktir denir
BB ′P′
BB ′ PP ′BB ′
• Alan içinde seçilen (x,y) koordinatındaki elemanı için (-x,-y) koordinatında eş alanlı elemanı varsa bu alan eksen merkezine göre simetriktir denir.
dAAd ′
Belirli Şekil Alanlarının Sentroidi
Şekil
Üçgen alanı
Çeyrek daire alanı
Yarım daire alanı
Yarım elips alanı
Yarım parabol alanı
Parabol alanı
Çeyrek elips alanı
Alan
Daire dilimi
Parabol parçası
Parabol parçası(genel)
Belirli Şekil Eğrilerinin Sentroidi
Şekil
Çeyrek daire yayı
Yarım daire yayı
Daire yayı
Uzunluk
• Bileşik plakalar
∑∑∑∑
=
=
WyWYWxWX
• Bileşik alanlar
∑∑∑∑
=
=
AyAYAxAX
Bileşik Plakalar ve Alanlar
Şekilde gösterilen düzlemsel alanın x ve y eksenlerine göre birinci momentlerini hesaplayınız. Sentroidinin yerini bulunuz.
Çözüm:
• Alanı üçgen, dikdörtgen, yarım daire ve dairesel boşluk olmak üzere parçalara ayırın.
• Birinci momentleri toplam alana bölerek sentroidin koordinatlarını hesaplayınız.
• Toplam alanı ve üçgen, dikdörtgen ve yarım daire elemanların birinci momentlerini bulun. Dairesel boşluğun alanını toplam alandan ve momentini toplam momentten çıkarın.
• Belirlenen eksenlere göre alanların birinci momentlerini hesaplayın.
Örnek 5.1
33
33
mm107.757
mm102.506
×+=
×+=
y
x
Q
Q
Eleman
DikdörtgenÜçgenYarım daireDaire
• Toplam alanı ve üçgen, dikdörtgen ve yarım daire elemanların birinci momentlerini bulun. Dairesel boşluğun alanını toplam alandan ve momentini toplam momentten çıkarın.
23
33
mm1013.828mm107.757
×
×+==
∑∑AAxX
mm8.54=X
23
33
mm1013.828mm102.506
×
×+==
∑∑AAyY
mm6.36=Y
• Birinci momentleri toplam alana bölerek sentroidin koordinatlarını hesaplayınız.
( )
( )ydxydAyAy
ydxx
dAxAx
el
el
∫
∫∫∫
=
=
=
=
2
( )[ ]
( )[ ]dxxay
dAyAy
dxxaxadAxAx
el
el
−=
=
−+
=
=
∫∫
∫
∫
2
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
θθ
θθ
drr
dAyAy
drr
dAxAx
el
el
2
2
21sin
32
21cos
32
∫∫∫∫∫∫∫∫
===
===
dAydydxydAyAy
dAxdydxxdAxAx
el
el • dA elemanı ince bir dikdörtgen veya şerit olarak kabul edilirse tek integral ile çözüm yapılabilir.
İntegral ile Sentroidin Belirlenmesi
Şekildeki parabolic sentroidini direk integral ile hesaplayınız.
Çözüm:
• k sabitini belirleyiniz.
• Toplam alanı bulunuz.
• Düşey ve yatay şeritleri kullanarak tek integral ile birinci momentleri bulunuz.
• Sentroidin koordinatlarını hesaplayınız.
Örnek 5.4
• k katsayısının belirlenmesi:
2121
22
22
2
ybaxorx
aby
abkakb
xky
==
=⇒=
=
• Toplam alanın bulunması:
3
30
3
20
22
ab
xabdxx
abdxy
dAAaa
=
===
=
∫∫
∫
1052
21
2
44
2
0
5
4
2
0
22
2
2
0
4
2
0
22
abxab
dxxabdxyydAyQ
baxab
dxxabxdxxydAxQ
a
aelx
a
aely
=
=
===
=
=
===
∫∫∫
∫∫∫
• Düşey şerit kullanarak tek integral ile birinci momentlerinin bulunması:
( )
( )
10
421
22
2
0
2321
2121
2
0
22
0
22
abdyybaay
dyybaaydyxaydAyQ
badyybaa
dyxadyxaxadAxQ
b
elx
b
bely
=
−=
−=−==
=
−=
−=−
+==
∫
∫∫∫
∫
∫∫∫
• Yatay şerit kullanarak tek integral ile birinci momentlerinin bulunması:
• Sentroid koordinatların belirlenmesi:
43
2baabx
QAx y
=
=
ax43
=
103
2ababy
QAy x
=
=
by103
=
• Düzlemsel bir eğrinin sabit bir eksen etrafında döndürülmesi ile dönel yüzey elde edilir.
• Dönel yüzeyin alanı, eğrinin uzunluğu ile döndürülme sırasında eğrinin sentroidinin katettiği mesafenin çarpımına eşittir.
Pappus-Guldinus Teoremleri
Küre yüzeyi Koni yüzeyi Halka yüzeyi
(Ι)
LyA
ydLydLA
ydLdA
π
ππ
π
2
22
2
=⇒
==⇒
=
∫ ∫
AyV
ydAV
ydAdV
π
π
π
2
2
2
=⇒
=⇒
=
∫
• Düzlemsel bir alanın sabit bir eksen etrafında döndürülmesi ile dönel hacim elde edilir.
• Dönel yüzeyin hacmi, düzlemsel alan ile döndürülme sırasında alanın sentroidinin katettiği mesafenin çarpımına eşittir.
Dolu küre Dolu koni Dolu halka
(ΙΙ)
Kasnağın dış çapı 0.8 m dir ve kesit alanı şekildeki gibidir. Kasnak çelikten yapılmıştır. Kasnağın kütlesini ve ağırlığını bulunuz.
33 mkg 1085.7 ×=çelikρ
Çözüm:
• Pappus-Guldinus teoremini uygulayarak kesit alanından hacim bulunur.
• Yoğunluk ve yerçekimi ivmesi ile çarparak kütle ve ağırlık bulunur.
Örnek 5.7
Vm ρ=mgW =
0.8 m
( )( )
××== − 3393633 mmm10mm1065.7mkg1085.7Vm ρ kg0.60=m
( )( )2sm 81.9kg 0.60== mgW N589=W
• Pappus-Guldinus teoremini uygulayarak kesit alanından hacim bulunur.
• Yoğunluk ve yerçekimi ivmesi ile çarparak kütle ve ağırlık bulunur.
Alan, mm2 Sentroidin katettiği mesafe, mm Hacim, mm3
Kasnak hacmi, mm3 =
400 mm
350 mm
Kirişlerde Yayılı Yükler
Yük = 1000 N/m
• Yayılı yük birim uzunluk başına düşen yükün çizimi ile gösterilir, w (N/m) .
• Toplam yük, yük eğrisinin altında kalan alana eşittir.
∫∫ === AdAdxwWL
0
( )
( ) AxdAxAOP
dWxWOPL
==
=
∫
∫
0
• Yayılı yük, şiddeti yükleme eğrisi altında kalan alana eşit ve alanın sentroidine etkiyen bileşke kuvvet ile gösterilebilir.
dAwdxdW
==
Bir kiriş şekildeki gibi bir yayılı yükün etkisi altındadır. Eşdeğer bileşke kuvveti ve mesnet noktalarındaki tepki kuvvetlerini bulunuz.
Çözüm:
• Bileşke kuvvetin şiddeti, yük eğrisinin altında kalan alana eşittir.
• Bileşke kuvvetin tesir çizgisi yük eğrisi altında kalan alanın sentroidinden geçer.
• Tepki kuvvetleri kenarlara göre moment dengesinden hesaplanır.
Örnek 5.9
kN0.18=F
Eleman
Üçgen I Üçgen II
kN18mkN 63 ⋅
=X m5.3=X
• Bileşke kuvvetin şiddeti, yük eğrisinin altında kalan alana eşittir.
• Bileşke kuvvetin tesir çizgisi yük eğrisi altında kalan alanın sentroidinden geçer.
∑∑ = AxAX∑= AF
( )
A
B
A
B
1500 N/m4500 N/m 1500 N/m 3000 N/m
x 3 m2x 6 m 4 m3
ww
== − ==
= =
Eleman Alan(kN) x (m) x*Alan (kN-m)Dikdörtgen 9 3 27
Üçgen 9 4 36
Toplam 18.00 63.00
sentroid (x) 3.50 m
Alternatif çözüm:
A
B
( ) ( )( ) 0m .53kN 18m 6:0 =−=∑ yA BM
kN 5.10=yB
( ) ( )( ) 0m .53m 6kN 18m 6:0 =−+−=∑ yB AM
kN 5.7=yA
• Tepki kuvvetleri kenarlara göre moment dengesinden hesaplanır.
Ay By
Bx=0
• Ağırlık merkezi: G( )∑ ∆−=− jWjW
rr
( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )jWrjWr
jWrjWr
G
Grrrr
rrrr
−×∆=−×
∆−×=−×
∑∑
∫= dWrWrGrr
• Kartezyen eksenlere göre momentler:
∫∫∫ === zdWWzydWWyxdWWx
∫∫∫ === zdVVzydVVyxdVVx
dVdWVW γγ == ve• Homojen cisimler için:
Üç Boyutlu Cisimlerin Ağırlık Merkezi:Hacimin Sentroidi
∫= dWW
Belirli Üç Boyutlu Şekillerin SentroidiŞekil
Yarım küre
Dönel yarım elipsoid
Dönelparaboloid
Hacim
Koni
Piramit
• Ağırlık merkezine etkiyen bileşke ağırlık kuvvetinin eksenlere göre momenti, her elemanın ağırlığının eksenlere göre momentlerinin toplamına eşittir.
∑∑ = WxWX
• Homojen cisimler için,
∑∑ = VxVX
Üç Boyutlu Bileşik Cisimler
∑∑ = WyWY
∑∑ = WzWZ
∑∑ = VyVY
∑∑ = VzVZ
4.5 cm2 cm
2 cm
1 cm çaplı
4.5 cm
0.5 cm
0.5 cm
2.5 cm
1 cm2 cm
1 cm
2 cm
1 cm
dVdWVW γγ == ve
Örnek 5.12
Çelik makine elemanının ağırlık merkezini belirleyiniz. Her deliğin çapı 1 cm dir.
Çözüm:
• Makine elemanını, bir dikdörtgen, bir çeyrek daire ve 1 cm çaplı iki delik olarak oluşturabiliriz.
4.5 cm
0.5 cm
0.5 cm
2.5 cm
1 cm2 cm
1 cm
2 cm
1 cm
4.5 cm2 cm
2 cm
1 cm çaplı
cm3 cm cm cm cm4 cm4 cm4
4.5 cm
0.5 cm
0.5 cm
2.5 cm
1 cm2 cm
1 cm
2 cm
1 cm
ΙΙΙ
Ι
ΙΙΙV
2 cm
cm
1 cm
0.5 cm
0.25 cm
1 cm
2.25 cm0.25 cm
cm
1.5 cm
2 cm
0.5 cm
∑∑ = VxVX
∑∑ = VyVY
∑∑ = VzVZ
( ) ( )34 cm .2865cm 08.3== ∑∑ VVxX
( ) ( )34 cm .2865cm 5.047−== ∑∑ VVyY
( ) ( )34 cm .2865cm .6181== ∑∑ VVzZ
cm. 577.0=X
cm. 577.0=Y
cm. 577.0=Z
4.5 cm
0.5 cm
0.5 cm
2.5 cm
1 cm2 cm
1 cm
2 cm
1 cm
ΙΙΙ
Ι
ΙΙΙV
cm3 cm cm cm cm4 cm4 cm4
γd
R
w
Sıvı Altındaki Yüzeylere Gelen KuvvetlerSıvı Altındaki Yüzeylere Gelen Kuvvetler
Durağan bir sıvı içinde yer alan bir cisim üzerinde sıvının ağırlığı nedeniyle basınç oluşur. Bu basınç hidrostatik basınç olarak tanımlanır.
PA: mutlak basınçP0: referans basınçγ : sıvının özgül ağırlığıh : sıvı içindeki derinlik
Basınç derinliğin bir fonksiyonudur ve derinlikle lineer olarak değişir.
Kuvvet hesaplanırken dikdörtgen alan için düşünülür.
Bileşke kuvvet:
[ ]NAPyF .)( =
[ ]hwhR .)..(21 γ=
+= 20 ).(mNhPPA γ
P0
h.γGenişlik için kuvvet
Örnek
3mx4m en ve boyundaki kapak şekildeki gibi su duvarının altına yerleştirilmiştir. Su tarafından kapağa uygulanan kuvvetin şiddetini ve uygulama noktasını bulunuz. (γ =1000 kg/m3)
3 md=5 m
Su tarafından duvara uygulanan kuvvet
Su tarafından kapağa uygulanan kuvvet
3 md=5 m
d=5 m
3 m
d=5 m
3 m
2 m
2232 /9.203/2000)2)(/1000( mNmkgmmkgdP m ==== γ
235 /7.509)5)(/1000( mNmmkgdP m === γ
mNmmNPwF m /6.815)4)(/9.203( 22 ===
mNmmNPwF m /8.2038)4)(/7.509( 25 ===
4 m
Bileşke kuvvet
1 2
d=5 m
3 m
NmmNF 8.2446)3)(/6.815(1 ==
N
mmNF
8.1834
)3)(/]6.8158.2038([21
2
=
−=
mmy 5.1)3(21
1 ==
x
y
mmy 1)3(31
2 ==
Toplam kuvvet 4281.6 N’dur ve tabandan 1.29 m yukarıdadır.
ALAN KUVVET x x.KUVVETDikdörtgen 2446.8 1.5 3670.2
Üçgen 1834.8 1 1834.8
Toplam 4281.60 5505.00
sentroid (x) 1.29 m
815.6 N/m
2038.8 N/m
∑∑ = FxFX
Yüzey belirli bir açıya sahipse kuvvetin bulunması:
SCD
Basıncın oluşturduğu kuvvete ilave olaraküstte kalan sıvı ağırlığı da düşünülmelidir.
Kullanılan yüzey lineer olmayan bir yüzeyse:
Su kütlesi içinSCD
Sıvı ağırlığı dışındaki kuvvet dağılımı şu şekildedir: