(Interno gradivo)

Sestavil I.K.

Prispevke v tem gradivu lahko uporabite za svoje osebne potrebe, lahko jih objavite na vaši spletnistrani ali kjerkoli drugje, dokler vsebina ostaja nespremenjena – vključno s to opombo. Avtorske

pravice © 2017 Ivo Koderman.

2017

Kazalo

1 NARAVNA ŠTEVILA 21.1 UVOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 SEŠTEVANJE in MNOŽENJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 RAČUNSKI ZAKONI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 ODŠTEVANJE in DELJENJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 CELA ŠTEVILA 172.1 Potence z naravnim eksponentom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 DELJIVOST v N 233.1 NAJVEČJI SKUPNI DELITELJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 NAJMANJŠI SKUPNI VEČKRATNIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3 OSNOVNI IZREK o DELJENJU NARAVNIH ŠTEVIL . . . . . . . . . . . . 343.4 EVKLIDOV ALGORITEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1

1 NARAVNA ŠTEVILA

1.1 UVOD

Predstavljajmo si, da morata pastir Jan in pastirica Jana na neki naši planini lastnikuporočati, koliko glav živine imata vsak v svoji čredi. Če hočeta to storiti, morata živinoprešteti. V današnjih časih številom, s katerimi štejemo, pravimo naravna števila. Tako,kot si je človeštvo za sestavo besed omislilo črke, si je tudi za zapis naravnih številizbralo posebne simbole. Take simbole dandanes imenujemo števke ali cifre. Recimo,da je naša pastirica Y naštela triinpetdeset glav živine kar danes zapišemo s števkama5 in 3 v obliki 53, pastir X pa je naštel štiriintrideset glav, kar zapišemo s številom 34.Kamenodobne civilizacije so uporabljala le dve števili: število, ki danes pomeni ena,vsa ostala števila pa so označevali z enim simbolom, ki bi ga danes imenovali veliko.Torej bi pastir X in pastirica Y za število glav živine v njunih čredah uporabila simbolza ”veliko”.Vse velike staroveške civilizacije so imele svoje števke. Za ilustracijo si najprej oglejmoegiptovske:

Slika 1: Staro egipčanske števke in njih današnji pomen

Egipčani so zapisovali z desne proti levi (tako dandanes pišejo v nekaterih državah nabližnjem vzhodu). Število 1328 so zapisali tako, kot je prikazano na sliki 2.✐ : Ali bi znal zapisati z egipčanskimi števkami število glav v čredah pastirice Jane in

pastirja Jana, torej naši števili 53 in 34?Preskočimo grške zapise števil in se ustavimo pri rimskih števkah. Rimljani so upora-bljali nekaj osnovnih števk I, V, X, L, C, D, M, ki danes pomenijo števila

I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000

2

Slika 2: Egipčanski zapis števila 1328 = 8 + 20 + 300 + 1000

Nekatera števila so sestavljali tako, da so števke dodajali z leve proti desni, najprejvečje, recimo:

II=2, III=3, V=5, VI=6, VII=7, VIII=8, XI=11, XII=12, XXII=21, MDCCLXXVI=1776

Drugi način sestavljanja števil je bil tak, da so števke odštevali, kot recimo IV=4. Takiprimeri nastopijo, ko je manjša števka pred večjo števko. Nekaj primerov:

IX=9, XL=40, XC=90, CD=400, CM=900

Tretji način je bil kombinacija obeh načinov, recimo:

1999 = 1000 + 900 + 90 + 9 = M(CM)(XC)(IX) = MCMXCIX,MCMXLIV = 1000 + (1000 - 100) + (50 - 10) + (5 - 1) = 1944

✍ : Za nalogo zapiši datum svojega rojstva z rimskimi števkami in število glav v čredahpastirja Jana in pastirice Jane.Na spletni strani http://www.wolframalpha.com/examples/HistoricalNumerals.html

lahko preiskuješ številske zapise različnih civilizacij, pa tudi preveriš pravilnost tvojihrešitev prejšnjih nalog.Moderne števke so izšle iz indijsko-babilonskega označevanja. Razvoj je prikazan nasliki 3.

Slika 3: Razvoj števk od indijskih do modernih

Indijsko-arabski zapis števil in tako tudi naš zapis števil, imenujemo desetiški mestnizapis. Osnova takega zapisa števil, ki mu pravimo številka, je deset števk

Števke = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

3

Števke v številki zapisujemo od leve proti desni. Mesto na levi strani zapisa pomenidesetkrat tolikšno vrednost, kot jo ima sosednje mesto na njegovi desni. Pojasnimo naprimeru števila glav živine v čredi pastirice Jane. Če posamezno glavo v čredi označimos črtico |, je vseh glav (dogovorimo se, da posamezni element štetja, pri nas glava živine,imenujemo enota štetja):

||||||||||||||||||||||||||||||||||

Enote razdelimo v skupine po 10 (=kolikor števk ima naš sestav):✞

✝

☎

✆||||||||||

✞

✝

☎

✆||||||||||

✞

✝

☎

✆|||||||||| ||||

Na skrajno desno mesto postavimo števko preostalih enot (=4), ki jih imenujemo številoenic, skupine po deset preštejemo in, če jih ni več kot 10, to označimo z ustrezno števko(= število desetic), v našem primeru je to 3, postavimo pred števko enic; tako dobimo34, kar je moderni zapis števila glav živine v čredi pastirice Jane.Če je število skupin po deset več kot deset, te skupine združimo v nove večje skupinepo deset in jih preštejemo. Nove večje skupine (=desetice) spet združimo po deset,seveda, če jih je toliko. Tako dobljene skupine imenujemo stotice, ki jih spet združujemopo deset in novo skupino imenujemo tisočica. Podoben način združevanja v nove večjeenote nam dá desettisočico, stotisočico in tako naprej (milijon, deset, sto milijonov,milijarda, itd), torej vsak naslednja skupina vsebuje deset prejšnjih skupin.

356304

enice

desetice

stotice

tisočice

desettisočice

stotisočice

✍ : Pri uri slovenščine se pozanimaj, kako z besedami zapisujemo glavne števnike, karštevilke so. Potem z besedo zapiši zgoraj zapisano število 403653.Dodajmo, da ima v mestnem zapisu vsako naravno število na skrajnem levem mestuštevko, ki je različna od 0. Naravna števila, ki jih zapišemo z eno števko imenujemoenomestna, tista, ki jih zapisujemo z dvema števkama so dvomestna, tromestna alitrimestna so tista, ki jih zapišemo s tremi števkami in tako dalje.Vsa naravna števila števila združimo v množico, ki jo označimo z N. Če govorimo onekem naravnem število, nimamo pa v mislih natanko določenega, bomo to naravno

4

število označili s črko, običajno z n ali m, včasih pa tudi s kako drugo. Recimo, da smoga označili z n. Matematično to zapišemo takole:

n ∈ N

Naravna števila uredimo po velikosti z relacijo ”večji”(>) ali relacijo ”manjši”(<).Števke so uredimo takole:

0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9ostala naravna števila pa tako, da je večje tisto, ki ima v zapisu več mest, števk, če paje mest enako, je večje tisto, ki ima večjo prvo neenako istoležno števko na levi straništevila. Tako je 2314 > 999 (več števk), pa tudi 2034 > 2029, ker je prva neenakaštevka 3 večja od 2.Naravna števila lahko predstavimo tudi geometrijsko. Predstavimo jih s točkami naštevilski premici. Kako? Izberemo poljubno premico in na njej izberemo dve točki:tista, ki leži bolj levo je izhodišče, druga točka predstavlja enoto, torej število 1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8b b b b b b b bbc

izhodišče enota

Slika 4: Prikaz naravnih števil na številski premici

Desno od enote izbiramo točke, ki so medseboj zapored oddaljene toliko, kot je enotaod izhodišča. Tem točkam po vrsti pripišemo naslednja naravna števila.Če nam spomin seže v rano mladost, smo takrat računali z desetimi prsti na rokah.Verjetno smo prav zaradi števila prstov na rokah prevzeli desetiški ali decimalni zapisnaravnih števil. Za ilustracijo si oglejmo, kako bi v mestnem zapisu zapisali števila vkakem drugem številskem sestavu.

Predstavljajmo si, da na nekem planetu XY živijo prebivalci, ki imajo po dva prsta na vsaki roki, torej4 prste na obeh rokah. Na tem planetu uporabljajo mestni zapis, štejejo pa v četrtiškem sestavu. Zaštetje uporabljajo štiri števke , ki jih glej ga zlomka označijo kot mi: 0, 1, 2, 3. Število glav živine našepastirice Jane, tj. pri nas 34, na tem planetu preštejejo takole:Enote razdelimo v skupine po 4 (=kolikor števk ima štiriški sestav):

|||| |||| |||| |||| |||| |||| |||| |||| ||

V skupini nista dve enoti in zato je 2 število ”enic” nastajajočega števila. Skupine po ”štiri” spet združimopo štiri (torej so to skupine po 4 × 4 enote):

5

☛

✡

✟

✠|||| |||| |||| ||||

☛

✡

✟

✠|||| |||| |||| ||||

Ostala ni nobena skupina po štiri (= na tem planetu ”desetica”), zato je število ”desetic” 0, število stotic(= po štiri ”desetice”) pa je enako 2. V mestnem zapisu na tem planetu ima čreda pastirice Jane 202glave živine. Torej je

34(10) = 202(4)

Za vajo pretvorimo število 111 iz desetiškega v sedmiški sestav. Najprej združujemo v skupine po sedem(=”desetice”); dobimo jih iz računa 111 : 7 = 15, 6 ostane. Ostanek je število enic. Število desetic spetzdružimo v skupine po sedem z računom 15 : 7 = 2, 1 ostane. Ostanek 1 je število ”desetic”, količnik 2pa število ”stotic”. Zato je

111(10) = 216(7)

Kako pretvorimo število iz nedesetiškega sestava v desetiški, recimo 216 iz sedmiškega? Vemo, da”desetica” v sedmiškem pomeni po sedem enot (=enic), stotica pa 7 · 7 = 49 enot. Zato je:

216(7) = 6 + 1 · 7 + 2 · 7 · 7 = 6 + 7 + 98 = 111

✍ : Za vajo reši naslednje naloge (števila brez označenega sestava so zapisana v desetiškem sestavu):1. Pretvori desetiške števke v dvojiški sestav.2. Pretvori števila 32, 64, 1024 v dvojiški sestav.3. Reši enačbi: 54 = x(3), 115(5) = y(10).

Pomni:

◦ Števke so simboli, s katerimi zapisujemo števila, številka pa je s števkami zapi-sano število.

◦ Naravna števila so tista, s katerimi štejemo. Množico vseh naravnih števil ozna-čujemo z znakom N, torej:

N = {1, 2, 3, . . . , 9, 10, 11, . . .}

◦ Naravna števila so urejena z relacijo večji (>) ali manjši (<)

◦ Grafično naravna števila predstavljamo s točkami na številski premici.◦ Če nimamo v mislih točno določenega števila, to število označimo s črko, recimo

a, b, . . . , m, n.

6

1.2 SEŠTEVANJE in MNOŽENJE

Z naravnimi števili tudi računamo, ne le štejemo. Osnovni računski operaciji sta sešte-vanje ali sumacija in množenje ali multiplikacija.Recimo, da ima oseba Nik na banki 15 e v kovancih po en e, Nika pa 12 takih kovancev.Koliko kovancev imata oba skupaj? Kovance Nike položimo v vrsto za kovanci Nika.Tako razvrščene kovance preštejemo, recimo od leve proti desni, seveda bi popolnomaenak rezultat dobili, če bi preštevali kovance od desne proti levi.

Slika 5: Nikovi in Nikini kovanci, postavljeni eni za drugim v dveh vrstah

”Vrsta kovancev” je pri nas zapisana v dveh vrsticah. Preštejemo jih tako, kot beremovrstice v knjigi. Ugotovimo, da imata Nika in Nik skupaj 27 kovancev. Matematičnopravimo, da smo sešteli števili 15 in 12 (seštevanca ali sumanda ali člena), rezultatseštevanja, torej število 27, pa imenujemo vsota ali suma. Med seštevanca postavimoznak +, ki ga imenujemo plus:

✞

✝

☎

✆15︸︷︷︸člen

+✞

✝

☎

✆12︸︷︷︸člen

=✞

✝

☎

✆27︸︷︷︸vsota, suma

Torej je seštevanje neke vrste preštevanja. V začetnih razredih osnovne šole smo senaučili osnovne seštevanke (=seštevati števila do 20) ravno tako, kot smo zgoraj pre-šteli kovance. Večja števila seštevamo tako, da uporabljamo osnovno seštevanko inupoštevamo lastnosti mestnega desetiškega zapisa. Recimo: 789 + 123 seštejemotako, da najprej seštejemo enici 9 + 3 = 12 (osnovna seštevanka), kar nam dá dveenici in eno desetico, ki jo prenesemo k seštevanju desetic. Račun za desetice je 8 +2 + 1(prenesena), kar nam dá enajst desetic ali ena stotica in ena desetica. Zato je:789 + 123 = 112.V nedesetiških številskih sestavih, recimo šestiškem, moramo pri seštevanju upoštevati, da šest nižjihmestnih enot da eno višjo mestno enoto. Za primer izračunajmo 543(6) + 451(6):

5 4 34 5 11 0

1 4 3 4Pravilnost preverimo tako, da sumanda pretvorimo v desetiški sestav:

7

543(6) = 3 + 4 · 6 + 5 · 62 = 207 in 451(6) = 1 + 5 · 6 + 4 · 62 = 175Novonastala sumanda seštejemo v desetiškem sestavu: 207 + 175 = 382, nastalo vsoto pa pretvorimov šestiški sestav: 382 : 6 = 63, 4 ostane (enice), 63 : 6 = 10, 3 ostane (desetice), 10 : 6 = 1, 4 ostane(stotice); zadnji količnik so tisočice. Zato je 382 = 1434(6).

Nadaljujmo stole preprosto nalogo. Nogometno igrišce je dolgo okoli 110 m in široko70 m. Koliko arov meri površina igrišča? (1 a = 100 m2)Osnovnošolska geometrija nam pove, da je površina igrišča 7700 m2, kar znese 77 arov.Matematično pravimo, da smo zmnožili števili 110 in 70 (množenca ali faktorja), rezultat7700 pa imenujemo zmnožek ali produkt. Množenje označimo z znakom ·, redkejepa se uporablja starejši simbol (×). Oba znaka imenujemo ”krat”. Znak · obveznouporabimo, ko sta oba faktorja natanko določeni števili, če pa sta števili ali eno mednjimi nedoločeni, taka označujemo s črkami, lahko znak množenja izpustimo, torej lahkozapišemo tudi x · y = xy in 5 · a = 5a.

✞

✝

☎

✆110︸ ︷︷ ︸faktor

·✞

✝

☎

✆70︸︷︷︸faktor

=✞

✝

☎

✆7700︸ ︷︷ ︸zmnožek, produkt

V primeru enakih faktorjev v produktu, produkt zapišemo krajše v obliki potence, poj-mom, ki smo ga spoznali že v osnovni šoli. Recimo, da imamo v produktu 5 faktorjev a.Potem produkt a · a · a · a · a zapišemo krajše v obliki a5. Torej:

a · a · a · a · a = a5

Število (faktor) a imenujemo osnova, število 5 (kolikokrat uporabimo faktor) imenujemoeksponent.Množiti smo se v osnovni šoli učili podobno kot seštevanja. Naučili smo se poštevanke(=tabela zmnožkov enomestnih števil), potem množenja enomestnih števil z deset, ka-sneje pa še računskih postopkov ali algoritmov 1za množenje večmestnih števil. Recimo,13 · 12 zmnožimo takole:

13 · 121 3 0

2 61 5 6

✍ :Premisli, kako je njiva dimenzij 13 m × 12 m na naslednji sliki povezana z algo-ritmom množenja.

1algoritem pomeni računski postopek in je imenovan po perzijskem matematiku Abu Abdallah Mu-hammad ibn Musa al-Khwarizmi-ju

8

Slika 6: 13 · 12 = (10 + 3) · (10 + 2) = 100 + 30 + 20 + 6 = 130 + 26 = 156

1.3 RAČUNSKI ZAKONI

Za seštevanje in množenje veljata dve koristni lastnosti. Prvi pravimo zakon o zame-njavi ali komutativnost. Zakon pravi, da smemo zamenjati vrstni red členov seštevanjain množenja, torej, če seštevamo ali množimo števili a in b, je

a + b = b + a a · b = b · a

Zakona utemeljimo starogrško. Najprej za seštevanje. Vzemimo, da sta a in b dolžinienako širokih desk, ki ju hočemo zlepiti po širini. Vsota dolžin je ravno dolžina zlepljenedeske, ta pa je neodvisna od tega ali smo na desko z dolžino a prilepili desko z dolžinob ali pa obratno. Zato je a + b = b + a.Za utemeljitev zakona za množenje si mislimo, da sta a in b dolžina in širina pravoko-tnika, zmnožek a · b pa ploščina pravokotnika, ta pa je neodvisna od izbire dolžine inširine.Kako seštejemo ali množimo tri števila, recimo a, b in c? Najprej seštejemo (ali mno-žimo) dve števili in dobljeni vsoti (zmnožku) prištejemo (pomnožimo) tretje število. Daje vseeno kateri dve števili seštejemo (množimo) najprej omogoči druga lastnost sešte-vanja (množenja), ki jo imenujemo zakon o združevanju ali asociativnost. Torej:

(a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)

V obeh asociativnostih zakonih smo vpeljali nov simbol (), oklepaj. V matematiki zoklepaji povemo, da bomo pri računanju najprej opravili račun, ki je znotraj oklepaja.Zakona spet pojasnimo starogrško. Za seštevanje si zamislimo, da so a, b in c dolžinedesk enako širokih desk, a + b + c pa je dolžina po širini zlepljenih desk. Očitno jevseeno v kakšnem zaporedju jih zlepimo.

9

Za množenje si zamislimo, da so a, b in c dolžine robov kvadra, zmnožek a · b · c panjegova prostornina (= O · v). Očitno je prostornina neodvisna od osnovne ploskve, nakatero kvader položimo.Zakone lahko uporabimo za hitrejše računanje. Za primer izračunajmo brez uporabepisala ali računalnika (=”na pamet”) račun 28 + 45 + 112 na dva načina. Prvi način:

28 + 45 + 112 = (28 + 45) + 112 = 73 + 112 = 185drugi način:

28 + 45 + 112 = (28 + 112) + 45 = 140 + 45 = 185Še primer množenja: Izračunaj ”napamet” 8 · 12 · 5. Prvi način:

8 · 12 · 5 = (8 · 12) · 5 = 96 · 5 = 480drugi način:

8 · 12 · 5 = (8 · 5) · 12 = 40 · 12 = (4 · 12) · 10 = 480

Še zahtevnejši primer: Izračunaj vsoto vseh trimestnih naravnih števil. Ker je trimestnihštevil 900, bi zapis iskane vsote porabil kar veliko časa in prostora, zato v takih primerihv matematiki zapišemo nekaj začetnih in končnih členov vsote, vmes pa postavimo ”tripike”, ki nadomestijo vsa nezapisana števila. Našo vsoto lahko zapišemo takole:

100 + 101 + 102 + . . . + 997 + 998 + 999Seštejemo prvi in zadnji člen, drugega in predzadnjega, tretjega in pred predzadnjegain tako naprej. Vsakič dobimo vsoto 1099. Takih vsot je 450 (= 900/2), zato je iskanavsota 450 · 1099 = 494 550.

✍ : Izračunaj naslednje vsote:a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15b) 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23c) 2 + 4 + 6 + . . . + 96 + 98 + 100

Za bolj zahtevne še primer množenja v nedesetiškem sestavu: Zmnoži: 53(6) · 34(6).

53 · 342 41 31 0

3 43 023 2 1 0

10

Torej je 53(6) · 34(6) = 3210(6).

✍ : Dobljeni rezultat zadnjega primera preveri tako, da faktorja pretvoriš v desetiški sestav, v njemnapraviš množenje in dobljeni produkt prevoriš v šestiški sestav.

✍ : Ugotovi pravilnost računov v ustreznem številskem sestavu:1. 113(4) + 213(4) = 332(4)

2. 444(7) + 223(7) = 1000(7)

3. 112(3) · 211(3) = 102102(3)

✍ *: Izračunaj 102(3) + 210(3) in 321(4) · 231(4) na dva načina:r neposredno v ustreznem številskem sestavu,r tako, da števila pretvoriš v desetiški sestav, račun opraviš v desetiškem sestavu in na koncu

rezultat pretvoriš nazaj v ustrezni sestav.

✍ : Za vajo dopolni poštevanko v spodnji tabeli:· 1 2 3 4 5 6 7 8 91 1 2 3 4 5 6 7 8 92 2 4 6 ∗ 10 12 14 16 ∗3 3 6 9 12 15 ∗ 21 ∗ ∗4 4 8 12 16 20 24 ∗ 32 365 5 10 15 ∗ ∗ 30 35 40 456 6 12 18 ∗ 30 ∗ 42 48 ∗7 7 14 21 ∗ ∗ 42 ∗ ∗8 8 16 24 ∗ 40 ∗ 56 ∗ 729 9 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

✍ : Preveri račune v naslednji tabeli, nedokončane dopolni:

11 · 11 = 121111 · 111 = 123211111 · 1111 = 1234321

111 ∗ 1 · 11111 = 1234 ∗ ∗321. . . . . . . . .

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ · 111111111 = 12345678987654321

✍ : Preveri in dopolni naslednje račune.1. 142857 · 7 = 9999992. 12345679 · 9 = 111 111 1113. 12345679 · 18 = 222 222 222

11

4. 12345679 · ∗ = 333 333 3335. 12345679 · 45 = ∗

Nadaljujmo z računi, v katerih sta vpleteni obe računski operaciji, recimo v enostavnemračunu 3 + 4 · 5. Kaj najprej izračunati? Množiti 4 · 5 ali sešteti 3 + 4? Če naprejmnožimo, dobimo 23, če najprej seštejemo, dobimo 35. Kaj je pravilno? Množenje smovpeljali s seštevanjem: 4 · 5 = 5 + 5 + 5 + 5, zato je 3 + 4 · 5 = 3 + 5 + 5 + 5 + 5 = 23.Torej je pravilni vrstni red operacij:

Najprej množenja, potem seštevanja

Če hočemo spremeniti vrstni red operacij, to storimo z oklepaji. Prednost imajo notranjioklepaji. Recimo v računu

2 · (3 + 4 · (3 · 6 + 4) + 2 · 3)

najprej vsakemu oklepaju ( določimo ustrezen zaklepaj ) :

2 · (3 + 4 · (3 · 6 + 4) + 2 · 3)v oklepajih pa napravimo ustrezne račune, kjer seveda upoštevamo vrstni red operacij

2 · (3 + 4 · 22 + 2 · 3) = 2 · (3 + 88 + 6) = 2 · 97 = 194Zlepimo dve pravokotni deski enake širine c z dolžinama a in b.

Slika 7: Distributivnostni zakon v slikiPloščina zlepljene deske je enaka vsoti ploščin posameznih desk, zato velja za raču-nanje s števili pomemben zakon o razčlenjevanju ali distributivnostni zakon:

12

(a + b) · c = a · c + b · c

Tudi ta zakon omogoča hitrejše računanje. Recimo, v računu 12 · 13 + 18 · 13 moramoopraviti 2 množenji in eno seštevanje, če pa uporabimo distributivnostni zakon in računzapišemo v obliki (12 + 18) · 13 = 30 · 13 = 390, smo uporabili eno množenje in enoseštevanje, torej manj računanja.

✍ : Naj bo a = 4, b = 13 in c = 25. Izračunaj vrednosti naslednjih izrazov:

a + bc, (a + b) · c, ac + bc, (a + b(a + c)) + c(a + b)

✍ : V srednjeveški Evropi so uporabljali tablični način množenja. Način je v Evropoiz bližnjega vzhoda prenesel Leonardo Fibonacci (tudi Leonardo iz Pise)in ga opisal vknjigi Liber Abacii leta 1202. Knjiga je najbolj izpopolnjeno delo o aritmetiki, napisanov srednjeveški Evropi. Tudi v srednjem veku so osnovne poštevanke enomestnih številnaučili, večmestna števila, recimo množenje 347 · 29 = 10063, pa so množili tako, kotje prikazano na naslednji sliki:

Slika 8: Tablično množenje 347 · 29 = 10063

Faktorja 347 in 29 zapišemo na vrh in na desno tabele 2 × 3. Tako dobimo šestcelično tabelo (= 2 · 3), v kateri vsako celico razdelilmo z diagonalo na zgornji inspodnji trikotnik. V celico vpišemo ustrezni produkt števk faktorjev, ki tvorita celico,recimo v drugo celico druge vrste vpišemo produkt 4 × 9 = 36. Desetice vpišemov zgornji trikotnik, enice v spodnji. Če pri množenju ni desetic, vpišemo 0. Produktizračunamo tako, da ustrezna števila v trikotnikih seštevamo diagonalno in število enicvsote vpišemo izven ustrezne digonale, število desetic pa prenesemo k seštevanju v

13

naslednji diagonali. Tako, recimo v tretji diagonali, seštejemo števila 1 + 83 + 7 +1, kjer je zadnji člen 1 prenesen iz prejšnje diagonale. Ustrezna vsota je 20, zatona ustrezen konec diagonale vpišemo 0, dve desetici pa prenesemo k seštevanju vnaslednjo diagonalo. Za vajo izračunaj s srednjeveškim algoritmom zmnožka: 1234 · 56in 9876 · 234.

14

1.4 ODŠTEVANJE in DELJENJE

Pri seštevanju dveh števil je naloga, da iz dveh seštevancev poiščemo njuno vsoto.Označimo seštevanca z a in b, njuno iskano vsoto pa z x . Nalogo zapišemo z enačboz neznanko x:

x = a + b

V naravnih številih je zadnja enačba vedno rešljiva, kar pomeni, da je za poljubni naravništevili a in b tudi vsota x naravno število. Še nekaj ugotovimo: vsota x je vedno večjaod obeh členov a in b.Postavimo si obratno nalogo. Imejmo podano vsoto, recimo b in enega od členov vsote,recimo a. Naša naloga je poiskati drugi člen vsote, recimo x . Zapišimo povedano zenačbo:

a + x = b

V primeru a = 3 in b = 8 hitro ugotovimo, da je x = 5. V primeru a = 11 in b = 5, pakljub naporu, da bi v naravnih številih poiskali rešitev x , rešitve ne bomo našli. Kasnejebomo vpeljali novo številsko množico, cela števila Z, ravno zato, da bo enačba a+x = bvedno rešljiva.Ostanimo zaenkrat le pri primerih, ko je enačba rešljiva z naravnimi števili. Rešitev ximenujemo razlika ali diferenca števil a in b. Operacijo, ki izračuna razliko, imenujemoodštevanje ali subtrakcija. Operacijo označuje znak − (minus).

✞

✝

☎

✆b︸︷︷︸zmanjševanec

−✄✂

�✁a︸︷︷︸

odštevanec= ✄

✂�✁x︸︷︷︸

razlika, diferencaZ odštevanjem se bomo več ukvarjali v poglavju o celih številih, zaenkrat samo povze-mimo, da je odštevanje obratna operacija seštevanja. Opozorimo še, da za operacijoodštevanja ne velja komutativnostni zakon, torej b − a 6= a − b.Spet vzemimo, da sta a in b naravni števili. Množenje priredi množencema a in bprodukt a · b. Torej je produkt rešitev enačbe x = a · b. Ta je v naravnih številih vednorešljiva.Postavimo si obratno nalogo. Recimo, da poznamo produkt b in enega od faktorjevmnoženja, recimo a, iščemo pa drugi faktor, recimo x . Torej moramo rešiti enačboa · x = b 2. Spet v nekaterih primerih enačbo z lahkoto rešimo v naravnih številih,

2V bodoče bomo pri zapisu množenja oblike 2 · x ali a · b znak množenja opuščali

15

recimo 3x = 12, v nekaterih primerih pa enačba nima rešitve v naravnih številih, recimo3x = 11.Vzemimo najprej primere, ko je enačba a · x = b rešljiva v naravnih številih. V takihprimerih pravimo, da se je število x količnik ali kvocient števil b in a. Operacijo, kiizračuna količnik, imenujemo deljenje. Operacijo označimo z znakom : (x = b : a),kasneje pa bomo uporabljali tudi poševnico / (x = b/a) in ulomkovo črto −(x = b

a).

✞

✝

☎

✆b︸︷︷︸deljenec

: ✄✂

�✁a︸︷︷︸

delitelj= ✄

✂�✁x︸︷︷︸

količnik, kvocient

Še dvoje poimenovanj. Če ima enačba ax = b rešitev x v naravnih številih, pravimotudi, da je naravno število b deljivo z naravnim številom a ali tudi, da naravno številoa deli naravno število b, pa tudi ”deljenje se izide” pravimo.

✍ : Izračunaj 10000 − 8989, 320 : 4 − 160 : 8.✍ : Spomni se postopka deljenja, ki ste se ga učili v osnovni šoli in ga uporabi na

naslednjih primerih: 484 : 11, 69104 : 1234 in 2310984 : 234.

16

2 CELA ŠTEVILA

V poglavju o naravnih številih (množica N) smo ugotovili, da odštevanje ni vedno iz-vedljiva operacija, kar pomeni, da se lahko, kot v primeru odštevanja 12 − 20, zgodi,da razlika ni naravno število. Zato bomo sestavili nova števila, ki jih bomo imenovalicela števila, njihovo množico pa bomo označili z Z (=zahle, kar po nemško pomeništevilo). Cela števila bodo vsebovala naravna števila in v njih bodo izvedljive operacijeseštevanja, odštevanja in množenja, za seštevanje in množenje pa bodo veljali zakoni ozamenjavi, združevanju in razdruževanju (komutativnost, asociativnost, distributivnost).Cela števila sestavimo takole:Vsakemu naravnemu številu, recimo številu n, priredimo nasprotno število z oznako−n.3 Vsoto števila in nasprotnega števila, torej n + (−n) označimo z oznako 0, ki joimenujemo število nič. Nasprotna števila naravnih števil imenujemo tudi negativnacela števila in jih označimo z Z−. Naravna števila imenujemo v množici celih števil tudipozitivna cela števila in jih označimo z Z+. Pozitivna in negativna cela števila skupajs številom 0 tvorijo cela števila:

Z = Z+ ∪ {0} ∪ Z−

Za računanje s celimi števili, ki jih spodaj označimo z a, b in c, veljajo naslednji zakoni,pravila (učeno jih imenujemo aksiomi ali postulati):

1. a + b = b + a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . komutativnostni zakon za seštevanje2. a + (b + c) = (a + b) + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . asociativnostni zakon seštevanje3. a · b = b · a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . komutativnostni zakon za množenje4. (a · b) · c = a · (b · c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . asociativnostni zakon za množenje5. a + (−a) = 06. a + 0 = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zakon o nevtralnem elementu za seštevanje7. 1 · a = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zakon o nevtralnem elementu za množenje8. a · (b + c) = a · b + a · c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . distributivnostni zakon9. a + b = a + c ⇔ b = c in a · b = a · c ⇔ b = c zakona o krajšanju in dodajanju

3Oznaka − za nasprotno število je nesrečno izbrana. Pomeni namreč tudi znak za odštevanje, zatomoramo biti pri računanju s celimi števili previdni pri pomenu oznake −

17

Zgled 2.1: S pomočjo pravil za računanje s celimi števili pokaži še naslednja dodatnapravila:

(a) 0 · a = a · 0 = 0 (b) −(−a) = a (c) a · (−b) = −(a · b) (d) (−a) · (−b) = a · b

S številkami smo označili uporabljeno pravilo:(a) a · a = a· (a + 0)︸ ︷︷ ︸

6

= a · a + a · 0︸ ︷︷ ︸8

⇒ a·a = a·a+a·0 ⇒ a · a + 0︸ ︷︷ ︸6

= a·a+a·0 ⇒

a · a︸ ︷︷ ︸9

+0 = a · a︸ ︷︷ ︸9

+a · 0 ⇒ 0 = a · 0

(b) a + (−a) = 0︸ ︷︷ ︸5

⇒︸︷︷︸9

a + (−a) + (−(−a))︸ ︷︷ ︸=0

= 0 + (−a(−a)) ⇒ a + 0 = −(−a) ⇒ a =

−(−a)(c) 0 = a·0(izpeljano pravilo (a)) ⇒︸︷︷︸

50 = a·(b+(−b)) ⇒︸︷︷︸

80 = a·b+a·(−b) ⇒︸︷︷︸

9−(a·

b) + 0 = −(a · b) + a · b︸ ︷︷ ︸=0

+a · (−b) ⇒ −(a · b) = a · (−b)

(d) Uporabimo zgoraj izpeljani pravili (c) in (b): (−a) · (−b) = −(a · (−b)) = −(−(a ·b)) = a · b

Pravkar utemeljeni pravili (c) in (d) nam postrežeta z dobro znano tabelo predzna-kov pri množenju (produkt števil z enakim predznakom je pozitivno število, z različnimpredznakom pa negativen):

· + −

+ + −+ − +

Grafično cela števila predstavimo na številski premici, podobno kot smo predstavilinaravna števila. Na premici izberemo dve točki, levo izbrano imenujemo izhodišče in jipriredimo število 0, desno izbrani priredimo število 1. Desno od izhodišča predstavimonaravna števila z enako oddaljenimi točkami, levo od izhodišča pa z enako oddaljenimitočkami ponazorimo nasprotna naravna števila.Cela števila so urejena po velikosti tako, da so večja tista, ki so na številski premiciprikazana s točkami bolj na desni strani premice.

18

b b b b b b b b b b

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

Slika 9: Prikaz celih števil na številski premici

✍ : Uredi po velikosti števila

13, −12, −13, 15, (−2) · (−3), 2 · (−6), (−4) · (−3) · (−2) · (−1) · 0 · 1 · 2 · 3 · 4

Zgled 2.2: Izračunaj 16 − (−(−4)(−2) + 2(2 · 3 − 2)) − (−7)(2 − 3 · 2).

Spomnimo se vrstnega reda računanj: oklepaji, v njih pa najprej množenja (deljenja),potem seštevanja (odštevanja). Pod besedo oklepaj razumemo začetni oklepaj ( inzaklepaj ). Pri računanju s celimi števili imamo še dodatno nerodnost z oklepaji, kerso nekateri z nekaterimi oklepaji označujemo nasprotna števila, drugi oklepaji pa soračunski. Zato je pred računanjem ugotovimo, katerim začetnim oklepajem ustrezajozaklepaji. V našem primeru:

16 − ( − (−4)(−2) + 2(2 · 3 − 2)) − (−7)(2 − 3 · 2)

V naslednji fazi računanja določimo vrstni red računanja v oklepajih, recimo s podčrta-vanjem, nato račune opravimo. Postopek ponavljamo, dokler je kaj oklepajev:

16 − ( − (−4)(−2) + 2(2 · 3 − 2)) − (−7)(2 − 3 · 2) = 16 − ( − 8 + 2(6 − 2)) − (−7)(2 − 6) =

= 16 − ( − 8 + 2 · 4) − (−7)(−4) = 16 − (−8 + 8) − 28 = 16 − 28 = −12

2.1 Potence z naravnim eksponentom

definicijaPotenca je izraz, ki ga dobimo z množenjem n enakih faktorjev a:

an = a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸n - krat

19

osnovastopnja

Pri tem faktor a imenujemo osnova potence, število n, ki nam pove kolikokrat medsebojmnožimo faktor a, pa imenujemo stopnja ali eksponent potence. Iz opisa je jasno, daje n naravno število. V kasnejših poglavjih bosta osnova in eksponent tudi kaka drugaštevila, zaenkrat pa sta osnova celo, stopnja pa naravno število.

✫✪✬✩

❍❍❥

potencaa

n❥ stopnja, eksponent✟✟✟✯

✍✌✎☞✟

✟✟✙osnova

Zgled 2.3: Zapiši osnove in stopnje naslednjih potenc in vrednost potence tudi izra-čunaj:

(a) (222 )2 (b) (22)22(c) 2222

(a) V prvem primeru je osnova zapisana v oklepaju (222 ), eksponent (stopnja) pa je 2.Osnova je potenca 222 , ki ima osnovo 2, stopnja pa je potenca 22 = 4. Izračunamovrenost začetne osnove 222 = 24 = 16, potem pa še upoštevamo eksponent 2.Torej je (222 )2 = 162 = 256.

(b) V drugem primeru je osnova 22 = 4, stopnja pa je tudi enaka 22 = 4. Zato je(22)22 = 44 = 256.

(c) V zadnjem primeru ni oklepajev, ki bi ločili osnovo in stopnjo. V takih primerih jeosnova prvo zapisano število, v našem primeru prva zapisana dvojka 2 222 , stopnja(eksponent) pa preostanek. Najprej izračunamo eksponent 222 = 24 = 16, potempa potenco 2222 = 216 = 65536.

�

20

Vrednosti potenc zelo hitro postanejo velika števila, zato pri večjih vrednostih računamoz žepnimi računali ali ustreznimi aplikacijami na telefonih. Običajno je potenca ozna-čena s tipko yx ali ∧ . Tako, recimo 2222 , odtipkamo s tipkami 2 yx 2 yx 2yx 2 = , račun (22)22 pa s tipkami ( 2 yx 2 ) yx 2 yx 2 = .

✍ : Izračunaj vrednost potence 22222. Če običajni žepni računalniki ne morejo izračunati

vrednosti, poskusi račun izvesti na spletni strani https://www.wolframalpha.com/

S potencami lahko tudi računamo. Recimo zmnožek potenc a3 · a2 je enak potencia5, saj so v a3 skrita tri množenja osnove a, v a2 pa dve množenji, skupaj torej petmnoženj osnove a. Tudi produkt lahko enostavno potencirami, recimo (a · b)3 nam daprodukt a · b · a · b · a · b, kar po enostavni preureditvi privede do rezultata a3 · b3. Šepotenciranje si oglejmo: (a3)2 = a3 · a3 = a6. Enostavna posplošitev opisanih posebnihprimerov nam da osnovna pravila za računanje s potencami. Pri tem bosta oznaki m inn pomenili poljubni naravni števili, oznaki a in b pa poljubni celi števili.

Pravila• Potenci z enako osnovo množimo tako, da osnovo prepišemo, eksponenta (stopnji)

seštejemo:

am · an = am+n

• Produkt potenciramo tako, da potenciramo vsakega od faktorjev, dobljeni potencipa zmnožimo:

(a · b)m = am · bm

• Potenco potenciramo tako, da osnovo prepišemo, eksponenta (stopnji) pa zmno-žimo:

(am)n = am·n

Zgled 2.4: Poenostavi naslednje račune s potencami. Pri tem ”liho” pomeni neparno,”sodo” parno naravno število, n poljubno naravno število, a in b pa celi števili.

(a) (−1)sodo, (−1)liho (b) (−1)4n, (−1)6n−1 (c)(−2ab3)2 (

−a2b3)3

21

(a) Ker je (−1) · (−1) = 1 in lahko pri parni stopnji osnove (−1) združimo po dve, je(−1)sodo = 1, pri lihi stopnji pa nam ena osnova (−1) ostane, zato je (−1)liho =−1.

(b) Ker je 4n parno število in 6n−1 neparno za poljubno število n, je v prvem primerurezultat 1, v drugem pa −1.

(c) Upoštevamo pravila računanja s potencami in dejstvo, da si predznak − lahkozamislimo tudi kot množenje s številom −1, recimo −ab3 lahko zapišemo tudi vobliki (−1) · ab3. Dogovorimo se tudi, da produkte, v katerih nastopajo ”števila inčrke”, uredimo tako, da najprej zapišemo predznak, nato izračunano številko, nakoncu pa potence črk, ki jih uredimo po abecedi. Nazaj k računu:(−2ab3)2 (

−a2b3)3 =︸︷︷︸2

(−1)2 ·22 ·a2 ·(b3)2 ·(−1)3 ·(a2)3 ·(b3)3 =︸︷︷︸3

4a2 ·b6 ·(−1) ·a6 ·b9 =︸︷︷︸1

−4a8b15

22

3 DELJIVOST v N

Če število 3 zapored množimo z z naravnimi števili 1, 2, 3, . . ., dobimo zaporedje števil3, 5, 9, . . ., ki ga imenujemo večkratniki števila 3. Podobno ravnamo pri drugih naravnihštevilih, recimo za naravno število a ∈ N so števila a, 2a, 3a, . . . večkratniki števila a.V splošnem pravimo:

večkratnik

Naravno število b je večkratnik naravnega števila a, če obstaja tako naravno število k ,da velja b = k · a.

deljivo,deli

V primeru, ko je število b večkratnik števila a (b = k · a), pravimo tudi, dar Število b deljivo s številom a in, da je število k količnik ali kvocient deljenja, karoznačimo: k = b : a ali k = b/a.

r Število a deli število b, kar označimo z a|b.

Če število a ne deli števila b, to označimo z a ∤ b. Recimo, 3|18 in 3 ∤ 20.lastnostirelacijedeljivostiRelacija deljivosti ima naslednje lastnosti (v zapisu bomo uporabili matematično oznako

⇒, ki jo preberemo: sledi ali ima za posledico):1. 1|a ∧ a|a; število 1 deli vsako število in vsako število deli samega sebe. Oznaka

∧ v matematiki pomeni veznik in.2. a|b ∧ b|a ⇒ a = b; če število a deli število b in obratno, če b deli a, je to v

množici naravnih števil možno samo v primeru, ko sta števili enaki. Učeno tejlastnosti relacije deljivosti pravimo antisimetričnost.

3. a|b ∧ b|c ⇒ a|c. (tranzitivnost ali prehodnost iz a prek b v c)4. a|b ∨ a|c ⇒ a|(bc); število a deli produkt bc, če deli vsaj enega od faktorjev.

Oznaka ∨ v matematiki pomeni veznik ali.5. a|(b±c)∧a|b ⇒ a|c. (Če število deli vsoto (ali razliko) ni nujno, da deli oba člena

vsote; potrebno je, da poleg vsote deli še enega od členov. Recimo: 3|18 = 14+4,toda 3 ∤ 14 in 3 ∤ 4)

23

Utemeljimo antisimetričnost relacije |. Predpostavki sta, da je a|b in b|a, zato obstajata naravni številim in n, da velja b = ma in a = nb. Če namesto a v prvi enačbi napišemo nb, dobimo enačbo b = mnb

in zato mn = 1. Zadnja enačba ima v naravnih številih le rešitev m = n = 1. Zato je a = 1 · b = b, karje bilo potrebno dokazati.

✍ : Poskušaj utemeljiti ostale lastnosti relacije deljivosti.delitelj

Če število a deli število b, imenujemo število a delitelj števila b.

KRITERIJI DELJIVOSTI

Abecedo števil sestavljajo števke ali cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Naravna številazapisujemo s števkami v mestnem zapisu. Tako dvomestno število zapišemo v obliki10a + b, kjer sta a in b števki, ki ju imenujemo število desetic (=a) in število enic (=b).Tro(i)mestno število zapišemo s števkami a, b, c v obliki 100a + 10b + c, štirimestno vobliki 1000a + 100b + 10c + d, itd.Naslednji pogoji nam povedo, kdaj je število deljivo z danim številom. Ugotovljeno bomouporabili na številu n = 123456789101112

1. Z 2 je število deljivo natanko tedaj, ko je zadnja števka deljiva z 2, torej je ena odštevk 0, 2, 4, 6, 8,. (Naše število n je deljivo z 2.)

2. S 3 je število deljivo natanko tedaj, ko je vsota števk števila deljiva s 3. (Našeštevilo n je deljivo s 3, saj je vsota števk 51, vsota števk vsote pa 6, kar je deljivos 3.)

3. S 4 je število deljivo natanko tedaj, ko je dvomestni konec števila (gledano od leveproti desni) deljiv s 4. (Naše število n je deljivo 4, saj je dvomestni konec 12deljiv s 4.)

4. S 5 je število deljivo natanko tedaj, ko je zadnja števka števila 0 ali 5. (Našeštevilo n ni deljivo s 5.)

5. S 6 je število deljivo natanko tedaj, ko je deljivo hkrati z 2 in s 3. (Naše število nje deljivo 6, saj je deljivo tako z 2 kot s 3.)

6. S 7 Ni preprostega kriterija. Običajno poskusimo z deljenjem števila s 7. Zaradovednejše je spodaj zapisan eden od kriterijev.

24

7. Z 8 je število deljivo natanko tedaj, ko je trimestni konec števila (gledano od leveproti desni) deljiv z 8. (Naše število n je deljivo z 8, saj je trimestni konec 112(= 8 · 14) deljiv z 8.)

8. Z 9 je število deljivo natanko tedaj, ko je vsota števk števila deljiva z 9. (Našeštevilo n ni deljivo z 9, saj je vsota števk 51, kar ni deljivo z 9.)

9. Z 10 je število deljivo natanko tedaj, ko je zadnja števka števila 0. (Naše število nni deljivo z 10.)

10. S 25 je število deljivo natanko tedaj, ko je dvomestni konec števila ena od mo-žnosti: 00, 25, 50, 75. (Naše število n ni deljivo s 25.)

Utemeljimo kriterij za deljivost s 3 na primeru štirimestnega števila N = 1000a + 100b + 10c + d, kjerso a, b, c in d njegove števke. Preoblikujmo N v obliko:

N = 1000a + 100b + 10c + d = (a + b + c + d) + 999a + 99b + 9c

Ker je vsota zadnjih treh členov deljiva s 3 (celo z 9), je število N deljivo 3, če je le vsota v oklepaju(a + b + c + d) deljiva s 3. Toda v oklepaju je ravno vsota števk števila N . Enaka utemeljitev velja zakriterij deljivosti s številom 9.

Radovedni naj si preberejo naslednje kriterije za deljivost s števili 7, 11, 13, 17:1. Preveri pri številu 876 547 naslednji kriterij za deljivost s številom 7:

Številu odrežemo števko na mestu enic (dobimo 87 654), odstranjeno števko po-množimo z 2 in zmnožek odštejemo od ostanka prvotnega števila (torej izračunamo87 654 − 2 · 7). Če je nastalo število (to je seveda manjše od prvotnega števila)deljivo s 7, je s 7 deljivo tudi prvotno število.

Postopek ”zmanjševanja” nadaljujemo toliko časa, da dobimo število za katerega zgotovostjo ugotovimo, da je deljivo s 7. V našem primeru dobimo zaporedje števil:876 547, 87 640, 8 764, 868, 70. Zato je število 876 547 deljivo s 7. Poskušaj nasplošnem zgledu utemeljiti gornji postopek.

[Recimo, da je naše število N = 10m + a, a ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}. Potem je odrezano število N ′ = m

in vzemimo, da je razlika N ′ − 2a = m − 2a deljiva s 7. Potem je m = 7k + 2a za nek k ∈ N intako N = 70k + 21a = 7M; torej je v tem primeru tudi naše prvotno število N deljivo s 7.]

2. Število N je deljivo z 11 natanko tedaj, ko je deljiva z 11 ”alternirajoča” vsotaštevk števila N . (v primeru števila n = 123456789101112 je alternirajoča vsotaenaka: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 − 1 + 0 − 1 + 1 − 1 + 2 = 5. Zato n nideljivo z 11.)

25

[Ni se težko prepričati, da so števila 11, 99, 1001, 9999, 100001, 999999, . . . , 1 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸sodo ničel

1, 99 . . . 9︸ ︷︷ ︸sodo devetic

vsa deljiva z 11: 1 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸2n ničel

1 : 11 = 9090 . . . 9091︸ ︷︷ ︸2n mest

in 99 . . . 9︸ ︷︷ ︸2n mest

: 11 = 9090 . . . 909︸ ︷︷ ︸2n−1 mest

. Vzemimo petmestno

število abcde s števkami a, b, c, d in e, ga zapišimo v obliki 10000a + 1000b + 100c+ 10d + e terpretvorimo v obliko: 9999a+1001b+99c+11d+(a−b+c−d+e). Za števila 9999, 1001, 99, 11 smougotovili, da so vsa deljiva z 11, zato mora biti z 11 deljiva tudi alternirajoča vsota a−b+c−d+e.Podoben sklep izpeljemo za tudi za druga večmestna števila. ]

3. Število N je deljivo s 13 natanko tedaj, ko je deljivo s 13 število, ki ga dobimo tako,da številu N odrežemo števko na mestu enic, od dobljenega števila pa odštejemodevetkratnik števila enic prvotnega števila.

4. Število N je deljivo s 17 natanko tedaj, ko je deljivo s 17 število, ki ga dobimo tako,da številu N odrežemo števko na mestu enic, od dobljenega števila pa odštejemopetkratnik števila enic prvotnega števila.

✍ : Ugotovi s katerimi od števil 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 25 je deljivo število 908070605046.✍ : Določi števki a in b tako, da bo število 1a2345b deljivo s 6. Zapiši vse rešitve.✍ : Določi števki a in b tako, da bo število 23a456b deljivo z 22. Zapiši vse rešitve.

26

3.1 NAJVEČJI SKUPNI DELITELJ

Spomnimo se, da je delitelj števila b vsako tako število a, da je a|b ali drugače po-vedano, b je večkratnik števila a. Posebej dodajmo, da sta enota 1 in število samože delitelja števila. V tem poglavju se bomo ukvarjali z iskanjem deliteljev danega alidanih števil, zato naredimo nekaj zgledov. Kakšno metodo ubrati pri iskanju?Pri manjših številih preizkušamo na deljivost zapored vsa števila, ki so kvečjemu po-lovico danega števila. Seveda nam pri tem na pomoč priskočijo pravila deljivosti.Tako recimo v primeru števila 18 preizkušamo števila do 9 in dobimo njegove deli-telje: 1, 2, 3, 6, 9, 18✍ : Premisli, zakaj lahko preizkušamo le s števili, ki so kvečjemu polovica danega

števila? Rešitev✍ : S preiskušanjem poišči vse delitelje števil 28, 45, 63. Rešitev

Pri večjih številih raje uporabimo metodo, ki jo bomo pokazali na primeru števila 63.

◦ Število razcepimo na produkt praštevil: 63 = 32 · 7.◦ Delitelji imajo lahko v svojem praštevilskem razcepu le praštevilske faktorje šte-

vila, v našem primeru 3 in 7. Zadnjo trditev sloni na dejstvu, da je število večkra-tnik svojega delitelja.

◦ Praštevilski faktorji lahko nastopijo v razcepu delitelja največ tolikokrat, kolikor-krat nastopajo v praštevilskem razcepu števila. V našem primeru lahko praštevilo3 v razcepu lahko nastopa nobenkrat (to označimo z 30 = 1),4 enkrat (31 = 3) alidvakrat (32 = 9). Podobno ugotovimo, da praštevilo 7 lahko ne nastopa (70 = 1)ali enkrat (71 = 7).

70 = 1 71 70 = 1 71 70 = 1 71

30 = 1

ee❑❑❑❑❑❑❑❑❑

;;①①①①①①①①①

31

ee❑❑❑❑❑❑❑❑❑❑

;;①①①①①①①①①①

32

cc❋❋❋❋❋❋❋❋❋

??⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧

začetek

ll❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳❳

OO

33❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢❢

Slika 10: Drevo deliteljev števila 63 = 32 · 7

Povedano prikažemo s sliko, ki jo učeno imenujemo (kombinatorično) drevo de-liteljev. Delitelj dobimo tako, da od začetka sledimo puščicm. Tako delitelj 21

4Da je 30 = 1 in tudi a0 = 1, bomo utemeljili kasneje

27

dobimo tako, da se na začetku pomaknemo po puščici do faktorja 3, odtod panadaljujemo po desni puščici do faktorja 7.

◦ Delitelje sestavljamo tako, da množimo ustrezne praštevilske faktorje. V našemprimeru:

30 · 70 = 1, 31 · 70 = 3, 30 · 71 = 7, 32 · 70 = 9, 31 · 71 = 21, 32 · 71 = 63

Drevo deliteljev nam, poleg vseh deliteljev, prikaže tudi, koliko je vseh deliteljev danegaštevila. Ko zapisujemo delitelje danega števila, izbiramo kolikokrat bomo uporabiliustrezni praštevilski faktor. V našem primeru se najprej odločimo koliko ”trojk” bomoporabili (tri možnosti: 0, 1, 2), v drugi fazi pa se odločimo ali bomo sedmico dodalik delitelju ali je ne bomo dodali (dve možnosti: 0, 1). Število deliteljev števila jepotem produkt možnosti v posameznih fazah, v našem primeru 3 · 2 = 6, kolikor je tudi”listov” na vrhu drevesa. Za izračun števila deliteljev izbranega števila smo uporabilinajpomembnejše orodje kombinatorike, ki ga imenujemo osnovni izrek kombinatorikeali pravilo produkta.Zapišimo eno od možnih verzij zapisa:

Če objekte, katerih število iščemo, sestavljamo v več medseboj neodvisnih fazah, je vsehobjektov enako produktu možnih izbir v posameznih fazah.

✍ : Števila 28, 45, 72 razcepi na produkt praštevil, izračunaj, koliko ima vsak deliteljevin jih za vsakega zapiši po velikosti. RešitevPoiščimo delitelje števil 72 in 48. Praštevilska razcepa sta 72 = 23 · 32 in 48 = 24 · 3,ustrezni delitelji pa:

r število 72 (vseh je 4 · 3 = 12): 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9, 12 , 18, 24 , 36, 72r število 48 (vseh je 5 · 2 = 10): 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 16, 24 , 48

največjiskupnidelitelj

Skupni delitelj dveh ali več števil je tako število, ki deli obe ali vsa števila. Zgoraj sooznačeni skupni delitelji števil 72 in 48. Skupni delitelj dveh ali več števil je vednovsaj število 1, nikoli pa skupni delitelj ne bo presegel najmanjšega med števili. Posebejzanimiv je za nas največji med skupnimi delitelji, ki ga bomo imenovali največji skupnidelitelj in ga označili z NSD, krajše pa D ali D(a, b, . . .), če imamo v mislih največjiskupni delitelj števil a, b, . . ..Kako poiskati največji skupni delitelj? Ena od metod je opisana v zgornjem primeru de-liteljev števil 72 in 48. Zapišemo vse delitelje, označimo skupne, med njimi pa izberemonajvečjega. Tako je v našem primeru D(72, 48) = 24.

28

S to metodo smo uspešni pri majhnih številih, pri večjih metoda ni primerna. Recimo, damoramo poiskati največji skupni delitelj števil 126 in 196. Števili razcepimo na produktpraštevil: 126 = 2 · 32 · 7, 196 = 22 · 72. Vsak delitelj števila 126, torej tudi največjimožni skupni delitelj, lahko vsebuje v svojem praštevilskem razcepu le praštevila 2, 3in 7, vsak delitelj števila 196 pa le praštevili 2 in 7. Torej skupni delitelji obeh števillahko vsebujejo v razcepu le praštevili 2 in 7, ki nastopata v obeh razcepih. Izbranimaprašteviloma lahko obesimo največ eksponent 1. Zato je največji skupni delitelj števil126 in 196 enak 21 · 71 = 2 · 7 = 14. Opisani postopek posplošimo na poljubni alipoljubna števila in ga zapišimo:

iskanjenajvečjegadelitelja

Iskanje največjega skupnega delitelja z razcepom na praštevila:

◦ Števila razcepimo na produkt praštevil.◦ Izberemo praštevila, ki nastopajo v vseh razcepih.◦ Izbrana praštevila opremimo z najmanjšim eksponentom, ki ga imajo.◦ Produkt izbranih potenc je največji skupni delitelj.

Za konec si oglejmo nekaj primerov.

Zgled 3.1: Izračunaj največji skupni delitelj števil 80600, 2480.

V primeru večjih števil praštevilski razcep napravimo tako, da število razcepimo naprodukt dveh ali več manjših števil, nastale faktorje pa razcepimo na produkt praševil.V našem primeru je 80600 = 806 · 100 = 2 · 13 · 31 · 22 · 52 = 23 · 52 · 13 · 31 in2480 = 248 · 10 = 8 · 31 · 2 · 5 = 24 · 5 · 31. Zato je D = 23 · 5 · 31 = 1240. �

Zgled 3.2: Izračunaj največji skupni delitelj števil

a = 23 · 33 · 52 · 74 · 113, b = 24 · 32 · 5 · 77 · 112, c = 22 · 35 · 52 · 7 · 11

Števila so že ustrezno razcepljena. Skupna praštevila so 2, 3, 5, 7 in 11, njihovi ustreznieksponenti pa so zapored 2, 2, 1, 1, 1. Zato je D(a, b, c) = 22 ·32 ·5·7·11 = 4·9·5·7·11 =13860. �

29

Zgled 3.3: Le s celimi kvadratnimi hrastovimi ploščami, ki imajo za dolžino stranicenaravno število centimetrov, želimo tlakovati pravokotnik z dolžino 138 cm in širino92 cm. Kolika je lahko dolžina stranice plošče in kolika je največja dolžina straniceplošče? Koliko plošč potrebujemo v posameznih primerih?

Slika 11: Tlakovanje pravokotnika s kvadratnimi ploščami

Vzemimo, da tlakujemo s kvadratnimi ploščami s stranico dolžine d, d ∈ N. Recimo,da je vzdolž dolžine pravokotnika postavljenih m ∈ N plošč, vzdolž širine pa n ∈ Nplošč. Zato sta dolžina (= m · d) in širina (= n · d) večkratnika števila d ali drugačepovedano, število d je delitelj dolžine in širine pravokotnika, torej skupni delitelj števil138 in 92. Ker je 138 = 2 · 3 · 23 in 92 = 22 · 23, so skupni delitelji: 1, 2, 23 in 46. Torejje največja možna stranica plošče 46 cm, ostale možne dolžine stranic pa so 1 cm, 2 cmin 23 cm. Če tlakujemo s centimeterskimi plošcami jih vzdolž dolžine potrebujemo 138,vzdolž širine pa 92, zato skupaj 138 · 92 = 12696. V primeru plošč s stranico 2 cm jihpotrebujemo 69 · 46 = 3174, če uporabimo 23 cm plošče jih potrebujemo 6 · 4 = 24,največjih pa potrebujemo 3 · 2 = 6. �

Zgled 3.4: Janez želi ograditi vsakega od dveh pravokotnih vrtov, ki imata celošte-vilčne dimenzije v metrih. Površina prvega meri 180 m2, drugega 204 m2. Vrtovaležita tako, da se dotikata vzdolž ene stranice. Element ograje ima dolžino 1 m.Koliko m meri največja možna skupna ograja? Koliko m ograje mora v tem primerukupiti Janez?

30

x

a b

180 m2 204 m2

Slika 12: Dva vrtova s skupno ograjo

Dolžine stranic vrtov so naravna števila. Naj skupna stranica meri x metrov. Površinaali ploščina pravokotnika je produkt stranic, zato x|204 in x|180. Zato in ker želimo xčimvečji, je x = D(204, 180). Zapišimo 204 = 22 · 3 · 17 in 180 = 22 · 32 · 5. Potem jex = D(204, 180) = 12. Torej je največja skupna ograja 12 m. V tem primeru sta ostalistranici vrtov 204 : 12 = 17 m in 180 : 12 = 15 m. zato potrebuje Janez za ograditevvrtov 2 · 17 + 2 · 15 + 3 · 12 = 100 metrov ograje. �

Spoprimi se še z naslednjimi na(d)logami:✍ : Določi največje skupne delitelje naslednjih števil:

1. 40, 282. 110, 135

3. 120, 48, 1444. 2079, 693, 1155

5. 700, 1.813, 7356. 192, 128, 40

Rešitev✍ : Neko naravno število ima natanko 8 deliteljev. Dva med njimi sta 35 in 77. Poišči

to število. Rešitev✍ : Marko ima 21 jabolk in 49 breskev. Sadje želi zložiti v koše tako, da bo v vsakem

košu enako število jabolk in enako število breskev. Kakšno je največje možno številokošev? Koliko jabolk in koliko breskev bo v tem primeru v posameznem košu? Rešitev✍ : Cvetličar Uroš želi napraviti karseda mnogo enakih šopkov iz vrtnic, tulipanov in

petunij. Vsega skupaj ima 48 vrtnic, 72 tulipanov in 32 petunij. Koliko največ takihšopkov lahko napravi in koliko bo tem primeru posameznih vrst rož v šopku? Rešitev

31

3.2 NAJMANJŠI SKUPNI VEČKRATNIK

Spomnimo se, da smo izraz n · a, n ∈ N imenovali večkratnik ali n-kratnik števila a. Vtem poglavju bomo opazovali skupne večkratnike dveh ali več števil. Za primer zapišimovečkratnike števil 6 in 8:6, 12, 18, 24 , 30, 36, 42, 48 , 54, 60, 66, 72 , 78, 84, 90, 96 , . . .

8, 16, 24 , 32, 40, 48 , 56, 64, 72 , 80, 88, 96 , . . .

najmanjšiskupnivečkratnik

Označeni so skupni večkratniki števil 6 in 8. Za poljubni števili, recimo a in b, je njunvečkratnik že produkt ab. Med vsemi skupnimi večkratniki nas bo zanimal najmanjšimed njimi, največji, ki ga ni, pa ne. Tega bomo imenovali najmanjši skupni večkratnikin označili z v(a, b) ali kar v , če je jasno o katerih številih govorimo.Povejmo še drugače. Najmanjši skupni večkratnik števil a in b je tako število v , da a|vin b|v in je med vsemi takimi števili najmanjše.Kako poiskati najmanjši skupni večkratnik? Ena od metod smo uporabili na začetku. Ponjej zapišemo večkratnike posameznih števil in preberemo skupne in najmanjšega mednjimi. Toda pri velikih številih je ta metoda neekonomična. Zato si oglejmo naslednjometodo.Recimo, da je v = v(a, b). Ker a|v , mora število v v svojemo praštevilskem razcepuvsebovati vsaj vse praštevilske potence razcepa števila a. Podobno sklepamo za številob. Torej mora praštevilski razcep števila v vsebovati vsaj vse praštevilske faktorjerazcepov števil a in b, pri stopnjah (eksponentih) ustreznih faktorjev pa se odločimo zavečjo. Torej:

Algoritem (postopek) iskanje najmanjšega skupnega večkratnika z razcepom napraštevila:

r Števila razcepimo na produkt praštevil.r Izberemo vsa praštevila, ki nastopajo v razcepih.r Izbrana praštevila opremimo z največjim eksponentom, ki ga imajo.r Produkt izbranih potenc je najmanjši skupni večkratnik.

Oglejmo si delovanje algoritma na primeru a = 360 in b = 756. Števili razcepimo naprafaktorje: 360 = 23 · 32 · 5 in 756 = 22 · 33 · 7. Zato je v = 23 · 33 · 5 · 7 = 7560.

32

Zgled 3.5: Na neki točno zarisani 1000 km dolgi progi se peljeta dva avtobusa.Prvi se ustavlja vsakih 72 km, drugi pa na vsakih 108 km. Po kolikih prevoženihkilometrih prvič oba stojita na istem mestu?

Postajališča prvega avtobusa so večkratniki števila 72, drugega pa večkratniki števila108. Torej se bosta srečevala na postajališčih, ki so skupni večkratniki teh dveh števil,prvič pa pri najmanjšem. V našem primeru je v(72, 108) = 216, zato se avtobusa prvičsrečata na postajališču, ki je 216 km oddaljeno od izhodiščnega postajališča. �

Oglejmo si, kako sta povezana največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnikdveh števil. Vzemimo konkreten primer s številoma a = 360 in b = 756. Njun razcepa:360 = 23 · 32 · 5 in 756 = 22 · 33 · 7. Zato je D = 22 · 32 in v = 23 · 33 · 5 · 7. Potem je

D · v = 22 · 32 · 23 · 33 · 5 · 7 = 25 · 35 · 5 · 7 = (23 · 32 · 5) · (22 · 33 · 7) = a · b

V konkretnem primeru smo tako ugotovili, da velja D · v = a · b. Na podoben način bipokazali, da zadnja enačba velja za poljubni števili, torej:

D · v = a · b

✍ : Za poljubna naravna števila m, n in p označimo z D(m, n) največji skupni deliteljteh dveh števil in z v(m, n, p) najmanjši skupini večkratnik števil m, n, p.

1. Razcepi števila 45, 48 in 60 na prafaktorje.2. Izračunaj (D(45, 48) · D(48, 60) · D(45, 60) − v(45, 48, 60))D(11,23)

Rešitev✍ : Poišči najmanjše naravno število, ki je deljivo s 25, 45 in 70. Rešitev✍ : Tinka in Minka obiskujeta babico. Tinka jo obišče vsak deveti dan, Minka pa vsak

petnajsti dan. Devetega maja sta jo obiskali obe hkrati. Kdaj po tem datumu jo bostaprvič spet skupaj obiskali in kdaj v tem letu jo bosta zadnjič skupaj obiskali? Rešitev

33

3.3 OSNOVNI IZREK o DELJENJU NARAVNIH ŠTEVIL

Deljenje dveh naravnih števil smo vpeljali kot obratno operacijo množenju, torej, če jea : b = k , je k · b = a. Težava z deljenjem je le v tem, da se deljenje pogosto neizide. Recimo, v primeru deljenja 20 : 7 je dvakratnik sedmice premajhen za deljenec20, trikratnik sedmice pa je prevelik. Zato se deljenje v tem primeru ne izide. Vseenopa imenujemo število 2 količnik deljenja 20 : 7, razliko med deljencem 20 in zmnožkom2 · 7 = 14 pa imenujemo ostanek. Ugotovljeno zapišimo za splošni primer:

Za poljubni naravni števili a in b, a ≥ b obstajata natanko določeni števili k in o,ki ju imenujemo količnik ali kvocient in ostanek, da velja:

1. a = k · b + o ( zapišemo lahko tudi v obliki a : b = k , ost. o)2. o < b (ostanek je manjši od deljenca).

Če se deljenje izide, označimo ostanek s številom 0.

Še poimenovanja:

a︸︷︷︸deljenec

= k︸︷︷︸kolicnik

· b︸︷︷︸delitelj

+ o︸︷︷︸ostanek

Če je delitelj naravnega števila n število 2, sta možna ostanka pri deljenju 0 ali 1. Vprvem primeru zapišemo število n v obliki n = 2 · k (soda, parna števila), v drugemprimeru pa v obliki n = 2 · k + 1 (liha, neparna števila).Podobno lahko uporabimo osnovni izrek o deljenju pri deliteljih 3, 4 in tako naprej. Vprimeru delitelja 3 naravna števila lahko zapišemo v oblikah 3k, 3k + 1 in 3k + 2, vprimeru delitelja 4 pa v oblikah 4k, 4k + 1, 4k + 2 in 4k + 3. V obeh primerih smo s koznačili količnik.

✍ : Osnovni izrek o deljenju za števili 53 in 8 lahko zapišemo ali v obliki 53 : 8 =6, ost.5 ali pa z enačbo 53 = 6 · 8 + 5. Zapiši osnovni izrek o deljenju v obeh oblikahza števili 126 in 12 ter za števili 5661 in 123.

✍ : Zapiši največje in najmanjše naravno število, ki pri deljenju z 12 dá količnik 8.✍ : Če neko število delimo s 24, dobimo ostanek 17. Kolik bo ostanek, če delimo

isto število z 8? Naj ti bo v pomoč, da je 24 · k + 17 = 8 · (3 · k) + 2 · 8 + 1.

34

3.4 EVKLIDOV ALGORITEM

Največji skupni delitelja dveh števil smo poiskali z razcepom števil na produkt prašte-vil. Pri velikih številih je razcep težaven, zato si oglejmo drugačen postopek iskanjanajvečjega skupnega delitelja. Pri tem bomo uporabili naslednji dejstvi:

1. Če je število večkratnik drugega števila, je največji skupni delitelj teh dveh številmanjše od števil, torej, če je a = k · b, je D(a, b) = b.

2. Če je vsota dveh števil in eden od členov vsote deljiv s številom d, je z d deljivtudi drug člen vsote.

Postopek iskanja imenujemo Evklidov algoritem. Opisali ga bomo na primeru števil713, 437. Zapišimo zanju osnovni izrek o deljenju:

713 = 1 · 437 + 276Če drugo navedeno lastnost uporabimo na osnovnem izreku za deljenje števil 713, 437ugotovimo, da je vsak skupni delitelj števil 713, 437 (deljenca in delitelja), torej tudinjun največji skupni delitelj, tudi skupni delitelj števil 437, 276 (delitelja in ostanka).Zamenjajmo vlogi deljenca in delitelja z začetnim deliteljem in ostankom. Potem osnovniizrek pove:

437 = 1 · 276 + 161Enak sklep, kot smo ga uporabili zgoraj, nam pove, da je največji skupni delitelj števil437, 276 tudi največji skupni delitelj števil 276, 161.Opisani postopek (=algoritma) nadaljujemo. Ker se v postopku sodelujoča številazmanjšujejo, se postopek konča, ko bo ostanek postal enak 0. Iskani največji sku-pni delitelj bo tedaj zadnji od nič različni ostanek. Z opisanim postopkom dokončajmonaš primer:

713 = 1 · 437 + 276437 = 1 · 276 + 161276 = 1 · 161 + 115161 = 1 · 115 + 46115 = 2 · 46 + 2346 = 2 · 23 + 0

Torej je D(713, 437) = 23.✍ : Dopolni naslednjo Evklidovo shemo za iskanje največjega skupnega delitelja

števil 1680 in 9648:9648 = ∗ · 1680 + ∗1680 = 1 · 1248 + ∗1248 = 2 · ∗ + 384432 = ∗ · ∗ + 48∗ = ∗ · 48 + 0

Preveri, če je v(1680, 9648) = 337680.

35