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6. Series
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Sucesiones Veamos un ejemplo de sucesin compleja: {1 + in}:Si
limnzn = L, decimos que la sucesin es convergente.
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Otro ejemplo: la sucesin converge.
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Una sucesin {zn} de nmeros complejos zn = xn + iyn converge a c
= a + i b sii la sucesin de partes reales {xn} converge a a y la
sucesin de partes imaginarias {yn} converge a b.Por tanto la
convergencia zn c implica quexn a , yn b. Demostracin ( ): Si
|zn-c| < , con zn = xn + iyn entonces dentro de un crculo de
radio , para c = a + i b se cumple que:|xn-a| < , |yn-b| <
yxaa+a-b-b+bzncLmite de una sucesin
-
Demostracin (): Igualmente, si xn a y yn b cuando n , entonces
para un >0 dado, podemos hallar un N suficientemente grande tal
que para n> N se cumpla que:
|xn-a| < /2, |yn-b| < /2con lo que zn= xn+iyn estar
contenido en un cuadrado de centro c y lado . De modo que zn estar
contenido en un crculo de radio y centro
c.xaa+a-b-b+bzncb+/2b-/2a+/2a-/2y
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Ejemplos: La sucesin {in/n} = {i, -1/2, -i/3, 1/4,......} es
convergente y lmite es 0.(2) La sucesin {in} = {i, -1, -i, 1,....}
es divergente.(3) La sucesin {zn} con zn= (1+i)n es divergente.
{zn} = { 1+i, 2i, -2+2i, -4, -4-4i,....} (4) La sucesin {zn} con
zn= 2-1/n + i(1+2/n) es convergente. {zn} = { 1+3i, 3/2+2i,
5/3+5i/3, 7/4+3i/2,....} El lmite cuando n es c = 2+i(y |zn-c| =
|-1/n+2i/n| = 5/n < si n > 5/)Diremos que una sucesin {zn} es
convergente sii:lim zn = c. Una sucesin divergente significa que no
converge.n
-
La sucesin converge a i. Observa que
Re(i) = 0 y Im(i) = 1. Entonces:
-
Sea,dondeSi,entoncesIgual que hemos hecho mencin a la parte real
e imaginaria para la convergencia de la sucesin, podemos hablar del
mdulo y el argumento. As:
-
Sea por ejemplo la sucesin de trminos:El mdulo converge a:Y el
argumento a:Por tanto la sucesin converge a:
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SeriesDada una sucesin {zn}, una serie infinita o serie se puede
formar a partir de una suma infinita:La sucesin de sumas:s1 = z1s2
= z1 + z2s3 = z1 + z2 + z3........sn = z1 + z2 +....znes la sucesin
de sumas parciales de la serie infinita.Los z1, z2, ..... son
denominados trminos de la serie.
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Series convergentesUna serie convergente es aquella tal que la
sucesin de sumas parciales converge, i.e.:
donde s es la suma o valor de la serie y se expresa:Una serie
divergente es aquella que no converge.Llamaremos resto Rnde la
serie a:Si la serie converge y suma s, entonces
-
Una serie con zm= xm+iym converge con suma s = u+iv sii u =
x1+x2+..... converge y v = y1+y2+..... converge.(2) Si una serie
z1+ z2 +.... converge, entoncesEn caso contrario, la serie diverge.
(3) Que {zm} 0 es condicin necesaria para la convergencia, pero no
suficiente.Recuerda que para la serie harmnica 1+ +1/3 +...el
trmino 1/n 0 cuando n tiende a infinito, pero la serie
diverge.Ejercicios: Demostrar que
-
Serie geomtricaPara la serie geomtrica:
el trmino ensimo de la sucesin de sumas parciales es:
Observa que zn 0 cuando n para |z| < 1, en cuyo casi Sn
converge a a/(1 z). La serie diverge para |z| 1.
-
Ejemplo:
es una serie geomtrica con a = (1 + 2i)/5 y z = (1 + 2i)/5.
Puesto que |z| < 1, tenemos que:
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Teorema de Cauchy para series.Una serie z1+ z2 +.... es
convergente sii dado cualquier >0 podemos hallar un N tal que
|zn+1+zn+2+...+zn+p| < para todo n > N y p =1,
2...Convergencia absoluta. Una serie z1+ z2 +... es absolutamente
convergente si la serie de los valores absolutos de sus trminos
|zm| = |z1| + |z2| + ...... m=1es convergente. Si z1+ z2 +...
converge pero |z1|+ |z2| +.... diverge,
la serie z1+z2.... es condicionalmente convergente.Ejemplo: La
serie 1- 1/2+ 1/3- +... converge condicionalmente.Si una serie es
absolutamente convergente es convergente
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Es la serie convergente?
Es absolutamente convergente, puesto que |ik/k2| = 1/k2 y la
serie real
es convergente.De modo que la serie original es convergente.
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Comparacin de series:Si dada una serie dada z1+ z2+ ... ,
podemos hallar una serie convergente b1+ b2+ ... con trminos reales
no negativos tal que|zn| bn para todo n = 1, 2, ...entonces la
serie dada converge, incluso absolutamente.(Ejercicio:
demostrarlo)Criterio del cociente:Si una serie z1+ z2+ .... con zn0
(n = 1, 2, ...) cumple que |zn+1/zn| q < 1 ( n > N, con un q
dado para cualquier N)la serie converge absolutamente. En cambio
si|zn+1/zn| 1 ( n > N) la serie diverge.
(Ejercicio: demostrarlo)
-
Si tenemos una serie z1+ z2 +.... con z n 0 (n = 1, 2, ..) tal
que
Entonces se cumple que:
Si L < 1 la serie converge absolutamente.Si L > 1
diverge.Si L = 1 no sabe, no contesta.(Ejercicio: demostrarlo)
DadoEs S convergente o divergente?Converge.
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Criterio de la raz:
Si una serie z1+ z2 + ... cumple que para todo n > N
n|zn| q < 1 (n < N) donde q Nlim n|zn| = L nentonces:Si L
< 1 la serie converge absolutamente Si L > 1 divergeSi L = 1
no podemos extraer conclusiones
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Dado
Es S convergente?Como el lmite es mayor que 1, la serie
diverge.La serie geomtrica
converge con suma 1/(1-q) si |q| < 1 y diverge para otros
valores.
Ejercicio: demostrar que
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Nmeros primos(parte I)
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Qu es un nmero primo?"primo" = "de base"Un entero mayor que uno
se llama nmero primo si solo tiene como divisores a 1 y a l
mismo.
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Hay dos hechos sobre la distribucin de los nmeros primos de las
que espero convencerles tan fuertemente que queden permanentemente
grabadas en sus corazones. La primera es que, a pesar de su
sencilla definicin y de su papel como ladrillos en la construccin
de los nmeros naturales, los nmeros primos pertenecen a la clase ms
arbitraria y perversa de los objetos estudiados por los matemticos:
crecen como malas hierbas entre los nmeros naturales, parecen no
obedecer otra ley que las del azar, y nadie puede predecir donde
brotar el siguiente. El segundo hecho es incluso mssorprendente,
pues afirma justo lo contrario: que los nmeros primos exhiben
sorprendentes regularidades, que hay leyes que gobiernan su
comportamiento, y que obedecen estas leyes con precisin casi
militar. Don Zagier, "The first 50 million primes" Mathematical
Intelligencer, 0 (1977) 1-19
-
El teorema fundamental de la aritmtica muestra que los primos
son los ladrillos bsicos con los que estn construidos los enteros.
Dice:
Todo entero positivo mayor que uno puede ser escrito de forma
nica como el producto de primos,con los factores primos en el
producto en orden de tamao no decreciente.(Euclides, Elementos).El
teorema fundamental de la aritmtica
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(a) n! y (n! + 1) no tienen factores comunes. (b) O bien (n! +
1) es primo o bien es factorizable: (b.1) Si (n! + 1) es primo
queda demostrada la afirmacin.(b.2) Si (n! + 1) puede descomponerse
en factores, por (a) ninguno de ellos puede dividir a n! De modo
que cualquier factor de (n! + 1) estar entre n y (n! + 1).
(b.2.1) Si el factor es primo queda demostrada la afirmacin.
(b.2.2) Si el factor no es primo, entonces por el mismo argumento
(b.2), ser mayor que n y podemos volver a descomponerlo hasta
encontrar finalmente un primo mayor que n. Cuntos primos
existen?Euclides demostr que siempre existe al menos un primo entre
n y (n! + 1) de la siguiente manera:
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Por ejemplo, hay nueve primos entre 9.999.900 y 10.000.000:
Pero entre los cien enteros siguientes, desde 10.000.000 a
10.000.100, hay solo dos:
10.000.019 y 10.000.079.
Ausencia aparente de un patrn regular en la secuencia de nmeros
primos
9.999.9019.999.9079.999.9299.999.9319.999.9379.999.9439.999.9719.999.9739.999.991.
-
Los matemticos griegos probaron, alrededor del 300 antes de
nuestra era, que existen infinitos primos y que estn espaciados de
manera irregular, es decir que la distancia entre dos primos
consecutivos puede ser arbitrariamente larga.
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The Counting Prime FunctionAs los primos menores o iguales a 25
son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23 de modo que (25) = 9. "Cuntos
primos menores que un nmero x hay?"
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La distribucin de nmeros primos parece ser aleatoria. Por
ejemplo, hay probablemente infinitos primos gemelos y existen gaps
arbitrariamente largos entre primos.
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"It is evident that the primes are randomly distributed but,
unfortunately we don't know what 'random' means".
R.C. Vaughan
-
Sin embargo, la funcin (x) exhibe un sorprendente "buen
comportamiento". "Here is order extracted from confusion, providing
a moral lesson on how individual eccentricities can exist side by
side with law and order". The Mathematical Experience by Philip J
Davis & Reuben Hersh
-
"For me, the smoothness with which this curve climbs is one of
the most astonishing facts in mathematics."
Don Zagier, "The first 50 million primes" Mathematical
Intelligencer, 0 (1977) 1-19
-
Observemos que cuando pasamos de un orden de magnitud al
siguiente el cociente n/p(n) se incrementa aproximadamente 2.3.
Sabiendo que Ln 10 = 2.30258... Gauss formul la conjetura de que
p(n) es aproximadamente igual an/Ln n.
22.0 - 19.7 = 2.3
np(n)n/p(n)1042.5100254.010001686.010,0001,2298.1100,0009,59210.41,000,00078,49812.710,000,000664,57915.0100,000,0005,761,45517.41,000,000,00050,847,53419.710,000,000,000455,052,51222.0
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En 1798 Legendre publica la primera conjetura significativa
sobre la forma funcional de (x), cuando en su libro Essai sur la
Thorie des Nombres escribe que:Legendre
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http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html
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Zagier en su artculo dice al respecto: "within the accuracy of
our picture, the two coincide exactly."
The logarithmic integral function Li(x)
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Se sabe que Li(x) no es siempre mayor que (x), pero eso ocurre
por primera vez alrededor de 10320!
-
Antes de la existencia de los ordenadores...Tablas de D. N.
Lehmer: primos hasta 10.006.721
-
Prime Counting Function -- from Wolfram MathWorld.htm
reference14antiquity225L. Pisano (1202; Beiler)3168F. van
Schooten (1657; Beiler)41229F. van Schooten (1657; Beiler)59592T.
Brancker (1668; Beiler)678498A. Felkel (1785; Beiler)7664579J. P.
Kulik (1867; Beiler)85761455Meissel (1871;
corrected)950847534Meissel (1886; corrected)10455052511Lehmer
(1959; corrected)114118054813Bohmann (1972;
corrected)123760791201813346065536839143204941750802Lagarias et al.
(1985)1529844570422669Lagarias et al.
(1985)16279238341033925Lagarias et al. (1985)172623557157654233M.
Deleglise and J. Rivat (1994)1824739954287740860M. Deleglise (June
19, 1996)19234057667276344607M. Deleglise (June 19,
1996)202220819602560918840M. Deleglise (June 19,
1996)2121127269486018731928 project (Dec.
2000)22201467286689315906290P. Demichel and X. Gourdon (Feb.
2001)23
-
El nmero de primos que no excede a x es asinttico a x/log x. En
otras palabras, la probabilidad de que "un nmero x escogido al azar
sea primo es 1/log x".El teorema de los nmeros primos:En 1896, de
la Valee Poussin y Hadamard probaron simultneamente lo que se haba
sospechado durante mucho tiempo, el teorema de los nmeros
primos:
-
El teorema nos dice que x/log x es, hasta cierto punto, una
buena aproximacin a (x) . Al decir que "a(x) es asinttico a b(x)" o
"a(x) ~ b(x)" decimos que el lmite de a(x)/b(x) es 1 cuando x
tiende a infinito. Pero, observemos que a(x)~b(x) no significa que
a(x) - b(x) sea pequeo.
-
El teorema de los nmeros primos implica que podemos usar x/(log
x - a) (con cualquier constante a) para aproximar (x). Chebychev
demostr que la mejor eleccin era a = 1.
x(x)x/log xx/(log x
-1)100016814516910000122910861218100000959286869512100000078498723827803010000000664579620420661459100000000576145554286815740304
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Que Li(x) sea asinttica con (x) es impresionante, pero lo que
nos gustara es estimar (x) lo mejor posible. Es decir, sinos
gustara conocer este error E(x) lo ms exactamente posible. Y eso
nos lleva al problema ms famoso de la matemtica...
-
Euler la llam funcin zeta en 1737. Consider que s era un real
mayor que 1.La funcin zeta (s)
-
Repitamos la operacin para el siguiente primo: 3.
-
Producto de Euler para la funcin zeta.Euler utiliz esta
identidadpara demostrar quei.e., existen infinitos primos.
- Series de Taylor en variable real:Es fcil ver por qu el radio
de convergencia es|x|
-
Podemos expandir cualquier funcin compleja en series?Podemos
expandir funciones analticas en unasseries especiales llamadas
series de potenciasCmo hallar esas series ?(1) Usando el Teorema de
Taylor(2) Usando otras series conocidas (y algunos trucos)
-
Serie de potenciascoeficientes complejoscentro
dedesarrolloP.ej.Una serie de potencias en es:
-
Convergencia de series de potenciasLas series de potencias en
general convergen para algunos valores de z, y para otros.
Por ejemplo la serieconverge para |z |
-
La serie diverge para todo z (excepto z = 0)Ejemplos:La serie
converge para todo zRadio de convergencia infinito; R = Radio de
convergencia cero; R = 0
-
: converge
La serie de potencias siempre converge para z = zo
(2) Hay un radio de convergencia R para el cual:: divergeLos
valores z tq. pueden converger o no
-
El radio de convergencia R puede ser:(i) cero (converge solo en
z = z0).(ii) un nmero finito R (converge en todos los puntos del
crculo |z z0| < R).(iii) (converge para todo z).
La serie de potencias puede converger en algunos, todos o
ninguno de los puntos de la circunferencia de convergencia. Hay que
determinarlo por separado.En resumen:
-
Hay una forma rpida para hallar el radio de convergencia?La
frmula de Cauchy-Hadamard :(i) R = 1/L.
(ii) R es .
(iii)R = 0.
-
Ejemplo:
-
: converge: diverge
-
Ejemplo:: converge: diverge
-
Ejemplo:: converge: diverge
-
El radio de convergencia es .Otro ejemplo:
-
Recuerda adems que todo lo dicho para series, evidentemente
funciona para series de potencias. Por ejemplo: (1) Sila serie
diverge.(2) Sila serie diverge.
(3) Comparar:
(4) Si la serie diverge.
-
El test de la raz nos muestra que R = 1/3. El crculo de
convergencia es |z 2i| = 1/3.La serie converge absolutamente para:
|z 2i| < 1/3.
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Resumen y varios comentarios interesantes:(Observa que para
nosotros era:En el punto iv se resuelve el enigma)
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Series de Taylor
-
Series de potencias y funciones analticasCualquier funcin
analtica f (z) puede ser representada por una serie de potencias
con radio de convergencia R 0. La funcin representada por la serie
es analtica en todo punto dentro del radio de
convergencia.Ejemplo:la serie converge para |z|1Radio de
convergencia R = 1
-
A las series de potencias que representan funciones analticas f
(z) se les llama series de Taylor.(Cauchy, 1831)Cmo encontrar la
serie de potencias de una funcin analtica determinada?Vienen dadas
por la frmula:
-
Desarrollar f(z)=sin z alrededor de z0=0 (serie de
Mclaurin):
-
Demostracin del teorema de Taylor:Por la frmula integral de
Cauchy:Vamos a desarrollar el integrando:
-
Utilizando la frmula generalizada de Cauchy:
-
Donde hemos definido el residuo Rn:Observemos que:Si M es el
valor mximo que puede alcanzar sobre C1:Y puesto que r/r1 < 1,
el lmite cuando N tiende a infinito del residuo es cero. De modo
que para cada z interior a C0, la serie de Taylor converge a
f(z).
-
Brook Taylor(1685-1731)En 1715 agregaba a las matemticasuna
nueva rama llamada ahora Elclculo de las diferencias finitas,e
invent la integracin porpartes . Descubri la clebrefrmula conocida
como la serie deTaylor.Taylor tambin desarroll losprincipios
fundamentales de laperspectiva (1715).James Gregory (1638 1675)
descubri las series de Taylor 40 aos antes que Taylor ...
-
Ejemplo:(1) Tomemos centro z = 0 :centropunto singularEncontrar
la serie de Taylor para
-
(2) Tomemos centro z =1/2 :centropunto singular
-
Una funcin analtica f (z) puede ser representada mediante series
de potencias con distintos centros zo(aunque hay nicamente una
serie para cada centro).
Hay por lo menos un punto singular en la circunferencia de
convergencia
-
Ejemplo:con centro z = 0centrono hay puntos singulares!
-
Unicidad del desarrollo de TaylorSupongamos que f(z) es analtica
y desarrollable alrededor de z0 , tq:Existir otra serie de
potencias:Tomando z = z0 en las expresiones anteriores:Son los
mismos coeficientes del desarrollo de Taylor
-
Derivar la serie de Taylor directamente a partir de la
frmula
puede ser complicado.Normalmente se usan otros mtodos:(1) La
serie geomtrica(2) La serie binomial(3) Otras series conocidas como
la exponencial, el coseno, etc.
-
Ejemplo:Expandirpara z = 0(usar la serie geomtrica)Primero
dibujamos el centro y los puntos singulares de f(z) para hacernos
una idea:puntos singulares:Parece que el radio de convergencia es
R=1.centro
-
Sabemos quePor tantoLa serie geomtrica converge para |z|
-
Ejemplo:centro z = 1Expandirpara z = 1(usar la serie
geomtrica)De nuevo dibujamos el centro y los puntos singulares de
f(z):puntos singulares:Parece que el radio de convergencia es R =
1/2
-
por tantoSabemos queLa serie geomtrica converge para |z |
-
Encuentra la serie de Maclaurin de la funcin:
-
Ejemplo:Centro z = 0Expandirpara z = 0Punto singular:(Usar la
serie binomial)Centro y puntos singulares R = 1:
-
La serie binomial es:Por tanto:La serie binomial converge para
|z |< 1Por tanto nuestra serie converge para |-z |
-
Ejemplo:Expandiren z = 0 el radio de convergencia debera ser R =
2.
-
Usaremos fracciones parciales:Ahoraconverge para
-
yconverge paraAs queconverge para
-
Converge para|z|
-
Otras series tiles (Ejercicio: demostrar por la frmula de
Taylor)
-
Ejemplo:Expandiren z = 0no hay puntos singularesel radio de
convergencia debera ser R = .Usando la serie(de uso de series
conocidas)
-
Ejemplo:
-
De otra manera:
-
En algunos casos excepcionales, un punto singular puede incluso
aparecer dentro del crculo de convergencia.Recordemos que el Ln z
es singular (no analtico) sobre el eje negativo.Centro
1. We need to be able to take the derivative in complex
analysis. We wouldnt be able to do much otherwise. E.g. if we have
displacement we can use calculus to obtain s y a, which are really
useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis
is a bit trickier than the derivative in ordinary real calculus
-
Una serie de potencias
puede diferenciarse trmino a trmino en cu crculo de
convergencia
-
Ejercicio: Obtener el desarrollo de Taylor de la funcin f(z) =
1/z alrededor de z0 = 1.Respuesta:Ejercicio: Diferenciando la serie
anterior obtener el desarrollo de Taylor de la funcin g(z) = 1/z2
alrededor de z0 = 1.
-
Ejercicio: Obtener la serie de Maclaurin de la funcin seno
integral (se trata de una funcin que aparece con frecuencia en
problemas de radiacin electromagntica y que no es posible evaluar
en trminos de funciones elementales): Observa que la serie de
Taylor converge tambin para 0.
-
Integrando la serie trmino a trmino:
-
Multiplicacin de seriesPodemos multiplicar dos series de
potencias trmino a trmino, y recolectar los trminos con igual
potencia para determinar una nueva serie de potencias, el producto
de Cauchy de las dos series:
-
Ejemplo: Obtener mediante el producto de series, el desarrollo
de Maclaurin de f(z) = ez /(1-z).Para |z| < 1, la condicin ms
fuerte de las dos.
-
De hecho, podemos definir las funciones elementales a partir de
series de potencias. Por ejemplo:
-
Notemos que(a) siempre tenemos potencias positivas de (z-z0).
(b) la serie converge dentro de un disco.Como hemos visto podemos
expandir una funcin analtica en serie de Taylor alrededor de un
centro. Por ejemplo, Podemos expandir la misma funcin respecto a
distintos centros. Por ejemplo:
-
Pero hay otro tipo de series que:(a) incluyen potencias
negativas de (z-z0) (b) convergen dentro de un anilloTales series
se llaman series de Laurent.
Puntos singulares en z = 1, 2CentroEjemploConverge para 1
-
Recordatorio:Singularidades aisladas
Supongamos que z = z0 es una singularidad de una funcin compleja
f. El punto z0 se llama singularidad aislada si existe un disco
puntuado abierto 0 < |z z0| < R en el que la funcin es
analtica.
- Si tomamos una funcin y dibujamos sus puntos singulares,
podremos separar el plano complejo en distintas regiones de
convergencia.La serie de Laurent siempre converge dentro de un
anillo.EjemplocentroDentro del disco |z|
-
Por supuesto, podemos tener distintos centros ...Dentro de un
disco |z+1| < 2 tenemos la serie de Taylor.En el anillo 2<
|z+1|< tenemos la serie de Laurent.centrocentro
-
El centro podra ser, incluso, el punto singular ...centro z0=1En
este caso, la serie es vlida para 0< |z-1|< , un disco con el
punto singular z0=1 situado en el centro.En este caso, la serie est
formada por un nico trmino
-
La funcin f(z) = (sin z)/z3 es no analtica en z = 0 y no podemos
expandirla como serie de Maclaurin. Sabemos que:
converge para todo z. As que:
converger para todo z excepto z = 0, 0 < |z|.
-
EjemploCuntas series con centro z0 = 1/4 puede tener la funcin
?
| z-1/4 | < 5/45/4 < | z-1/4 | < 7/47/4 < | z-1/4 |
< El anillo siempre est entre los puntos singulares.La funcin
presenta dos singularidades (polos simples), en z = -1, 2.
-
EjemploCuntas series con centro z0 = 0 tiene la funcin ? La
funcin presenta una singularidad (polo de segundo orden) en z =
2.
|z| < 2
2 < |z| <
-
EjemploTres singularidades (polos simples): z = -i, 1, 4.
| z-2 |
-
Supongamos que la funcin f(z) es analtica en un anillo decentro
z0, r0< |z - z0| < r1. Entonces f(z) admite representacin en
serie de Laurent:Cmo hallar la serie de Laurent? Teorema de
Laurent:dondePierre Alphonse Laurent (1843)Cunto valen los bns
cuando f(z) es analtica en |z-z0| < r1?
Cr0r1
-
xyDemostracin del teorema de Laurent:Por la frmula integral de
Cauchy para un dominio doblemente conexo:
-
Observemos que:Si M es el valor mximo que puede alcanzar sobre
C1:Y puesto que r/r1 < 1, el lmite cuando N tiende a infinito
del residuo es cero. De modo que para cada z interior a C0, la
serie de Taylor converge a f(z).
-
Igual que para el caso de la serie de Taylor, hay distintas
formas de hallar la serie de Laurent de una funcin. En la prctica,
no usaremos la frmula anterior. Un mtodo ms simple consiste en usar
la serie geomtrica, tal como hicimos con la serie de
Taylor.Hallando la serie de LaurentEjemplo (1)Expandir la funcin
1/(1-z) en potencias negativas de z
-
EjemploExpandir la funcin 1/(i-z) en potencias de z-2(Serie de
Taylor)
Dado que converge para |z|
-
Otra posibilidad consiste en expandir la funcin1/(i-z) en
potencias negativas de z-2 (serie de Laurent):
Dado que converge para |z|
-
Ejemplo (3)Expandir la funcin con centro z = 1converge para 0
< |z -1|
-
Cada serie de Laurent tiene dos partes:
Potencias positivas (serie de Taylor)Potencias negativas (Parte
Principal)DENTROFUERA
-
EjemploExpandir la funcin con centro z = 0De cuntas formas
podemos hacerlo?(a) |z| < 1
(b) 1 < |z| < 3
(c) 3 < |z| < centro
-
(a) |z| < 1Dentro del disco, trminos positivos:serie de
Taylor.
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(b) 1 < |z| < 3potencias negativas 1 < |z| <
potencias positivas|z| < 3Serie de Laurent
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En la pgina anterior, cmo sabamos qu trmino expandir en
potencias negativas y cul, si lo haba, expandir en potencias
positivas?El anillo final resulta de la superposicin
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(c) 3 < |z| < potencias negativas3 < |z| < potencias
positivas|z |<
-
(a) 0 < |z 1| < 2
-
(b) 0 < |z 3| < 2.(binomial vlida para |(z 3)/2| < 1 o
|z 3| < 2)
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0 < |z| < 1.
-
1 < |z 2| < 2.En el centro z = 2 f es analtica. Queremos
encontrar dos series de potencias enteras de z 2; una convergiendo
para 1 < |z 2| y la otra para |z 2| < 2. |(z 2)/2| < 1 o
|z 2| < 2.
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|1/(z 2)| < 1 o 1 < |z 2|.
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f(z) = e3/z , 0 < |z|.
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(a) 0 < |z| < 1, (b) 1 < |z|, (c) 0 < |z 1| < 1
(d) 1 < |z 1|.
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ExamenJUNIO 04/05: P-1
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Polo simple
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P1. Junio 2006Respuesta.Puntos singulares, z = 0, z = 2.Obtener
el desarrollo en serie de Laurent de la funcin f(z) vlido en el
entorno de cada uno de sus puntos singulares.
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Entorno de z = 0; 0 < |z| < 2
2 Entorno de z = 2; 0 < |z - 2| < 2
24
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es analtica en |z 2| < 2 => Admite desarrollo de
Taylor:
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Obtener el desarrollo en serie de Laurent de la funcinvlido en
el disco |z| < a. Especificar el mximo valor de a donde el
desarrollo es convergente.aRespuesta.Ptos. singulares z = 1. (z = 0
es una singularidad evitable: lim (z0) f(z) = 1)amx = |z 0| = 1.
Recordemos que:
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P1. Septiembre 2007
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Respuesta.
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con lo que
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b) El nico punto singular aislado es z0 = 0, por lo que se puede
obtener tanto la serie de Laurent de la funcin en torno a z0 = 0
vlida en la corona 0 < |z| < d(0,1) = 1, como la serie
convergente en el dominio |z| > 4.Para calcular el desarrollo en
serie de la corona |z| > 4, derivamos respecto de z la funcin ,
de modo que
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(... continuar el problema ...)
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Obtener todos los posibles desarrollos en serie de potencias
(Taylor y Laurent) de las funciones complejas:Respuesta.a)
Desarrollaremos primero en serie de Taylor alrededor de z = 1.
Observemos que f(z) tiene un punto singular en z = -1, de modo que
el desarrollo ser vlido para |z 1| < 2, es decir, |(z 1)/2| <
1.alrededor de z = 1. Indicar el radio de convergencia de cada una
de las series obtenidas.
-
Entonces:Ahora desarrollaremos fuera del crculo anterior, es
decir, para |z 1| < 2 |(z 1)/2| < 1, en serie de
Laurent.Observemos que |(z 1)/2| < 1 y entonces:
-
b) Observemos que ;entonces derivando las series anteriores
obtenemos:
-
y
-
Obtener la serie de Laurent vlida en el dominio 1 < |z| <
2 de la funcin compleja:Respuesta.
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Gracias al desarrollo de Laurent podemos encontrar el valor de
algunas integrales. Por ejemplo, calculemos:Encontremos las serie
de Laurent de e1/z:Recordemos:
-
Otro ejemplo: Desarrollemos f(z) = 1/(z-i)2 en serie de Laurent
alrededor de z0 = i.Hemos resuelto infinitas integrales de una
tacada! Ya est desarrollado! Todos los coeficientes an y bn son
cero a excepcin de b2 = 1. Entonces, como:
- Acabemos con la pregunta de la transparencia sobre series de
Taylor en variable real:Es fcil ver por qu el radio de convergencia
es|x|
-
1. We need to be able to take the derivative in complex
analysis. We wouldnt be able to do much otherwise. E.g. if we have
displacement we can use calculus to obtain s y a, which are really
useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis
is a bit trickier than the derivative in ordinary real calculus
