Serie bizzare - zeta e sviluppo in serie di Eulero-Mac Laurin

5/10/2018 Serie bizzare - zeta e sviluppo in serie di Eulero-Mac Laurin - slidepdf.com

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Rosario Turco

Introduzione

Nel seguito esaminiamo alcune serie legate alla zeta di Riemann, proseguendo con lo sviluppo in serie dEulero-Mac Laurin e i coefficienti di Bernoulli che ne conseguono.

E' noto che la zeta di Riemann e la zeta di Eulero sono definite in modo comune, a seconda di come siinterpreta la variabile dipendente z:

(1)

La serie (1) per Re(z) <= 1 non è assolutamente convergente e neanche condizionalmente convergente.

La funzione ha un polo a z=1 e può essere estesa con continuazione analitica; il che permette diesaminare la funzione anche nella parte ad argomento z negativo.

Interessante è notare le serie che si possono ottenere per alcuni valori di z reale e la cui dimostrazione dconvergenza, in campo reale, è un pò bizzarra e inattesa; le loro dimostrazioni a inizio Novecento furonofatte da un giovanissimo e grande matematico indiano, Ramanujan, la cui profondità analitica colpìl'altrettanto grande matematico inglese Hardy.



Serie divergenti?

Ed ecco che possiamo osservare i comportamenti bizzarri di alcune serie. Oggi conosciamo la zeta diRiemann ed è semplice, ma a inizio Novecento si discuteva ancora sul valore e sulla convergenza dialcune di esse.

Ad esempio, se z=0, la somma infinita di 1 converge ad un numero reale negativo.

Oooh! Non date mai nulla di scontato con le serie divergenti:

= -1/2 =

Se z=-1, la somma infinita di n converge:



= -1/12 = (b)

Se z=-2, la somma infinita dei quadrati converge:

= 0 = (c)

Se z=-3, la somma infinita dei cubi converge:

= 1/120 =

Se z=-5, la somma infinita converge:

= -1/252 =

In generale è poi:

n+1/(z+1) (f) per z>0 ed i Bn+1 sono i coefficienti di Bernoulli.

interessante è vederli attraverso il concetto di serie o di somma infinita.

Iniziamo ora ad esaminare la (a) col concetto di somma infinita (serie); ma se lo facessimo, come seguecon Maple, le cose non tornerebbero giuste; anche Abel e Cesaro dicevano che la serie (a) diverge e che



(1(1

"non valesse la pena di studiare ulteriormente le serie divergenti"; ma poi si è visto che le cose nonstavano proprio così.

Ad esempio se facessimo con Maple:

E' evidente che se è vera la (a), occorre escogitare un altro tipo di dimostrazione, che una somma infinitanon è in grado di mettere in risalto.

Come si dimostrano ad esempio (a),(b),(c) senza la zeta di Riemann? In realtà (vedi [1],[2]) possonoessere adottate molte tecniche:somme, prodotti, derivate, integrali (sono una somma in definitiva), espressioni algebriche, funzioni,sviluppi in serie, prolungamento analitico etc.

Lo strumento più potente disponibile per queste serie, in realtà, è lo sviluppo in serie di Eulero-MacLaurin, sviluppo scoperto indipendentemente da entrambi i matematici nel Settecento.

La serie di Eulero-Mac LaurinLe premesse dell'argomento sono presentate in [3]. La serie in questione è adatta a tre cose: calcolo deglintegrali, somme e serie.

Non fatevi trarre in inganno dalla definizione di applicabilità dello sviluppo in serie, cioè quando f(x) èuna funzione liscia, ovvero derivabile un certo numero di volte. Prima otteniamo la formula, poi pensiamo all'applicabilità: strano questo per un matematico rigoroso, ma molte cose di matematica sonostate ideate così, prima sperimentando in modo formale ...

In sostanza se definiamo con:

I=

Sappiamo inoltre che:



B2 = 1/6, B4 = -1/30, B6 = 1/42 etc (Vedi Wikipedia).

In particolare R è il termine di errore che normalmente è piccolo se p è abbastanza grande e vale:

|f (2p+1)(x)| (4)

Ramanujan dimostrò (vedi [1]) che un caso speciale della (3) era:

f(t) dt + 1/2 f(x) +

c = -f(0)/2 -

Ramanujan affermò che c, in generale, può convergere o divergere, come se fosse il centro di gravità diun corpo e dipende da f.

Dimostrazione della (a)Se nella (6) si mette f(t)=1, magicamente si ottiene subito che c=-1/2 fornendo la dimostrazione banaledella (a).

Nella (6) f(0)=1 e non comporta nessuna derivata ... il resto, per la derivata, è nullo. Non abbiamo,quindi, "problemi di applicabilità".

Dimostrazione della (b)Sempre nella (6) si pone f(t) = t0 f(0)=0 e B2=1/6 esce subito -1/12.

Ma Ramanujan fece un ragionamento leggermente diverso sfruttando la somma di Abel e

scrive nel suo notebook:

c = 1 + 2 + 3 + 4 + ...4c = 4 + +8 + ...

quindi sottaendo

-3c = 1 - 2 +3 -4 + ... = 1/(1+1)^2 = 1/4 0 c = -1/12

Dimostrazione della (c)Per la (6) se f(t) = t^20 f(0)=0, f'(0)=2*0=0 e f'''(0)=0, per cui c=0;

Qualche altra serie

(n+1) = 2 + 3 + 4 + 5 + ... = - 7/12 (7)



(2(2

Se f(t) = t + 10f(0) = 1, c= -1/2 -1/12 = -7/12

(8)

La (8) è la (b) sottraendo 1 per cui -1/12 - 1 = -13/12. In realtà usiamo anche qui la somma di Abel nelseguente modo:

c = 2 + 3 + 4 + ...2c = 4 + +8 + ...

sottraendo si ottiene:-c = -2 + 3 - 4 + ...0 per la (b) che c=-1/12 -1 = -13/12

Invece:

(n+2) = 3 + 4 + 5 + 6 + ... = -13/12 (9)

Se f(t) = t + 20f(0) = 2, c= -2/2 -1/12 = -13/12

Serie dimostrata da Eulero

Nella valutazione di sopra con Maple significa che

o in altri termini è lo stesso di dire che



(4(4

(3(3

+ o(1);

o-piccolo (big-O or little-o).

Quindi è lo stesso di scrivere

+ O(1/N) (10)

Il termine di errore O(1/N) si giustifica con il test dell'integrale:

=1/N ; difatti supponendo per semplicità N=100:

1

1000.009950166663

La (10) quindi è una asintotica espansione della somma parziale della serie

Serie generalizzata Dalle serie precedenti si può arrivare alla serie che le comprende tutte (con z inteso reale):



n^z = -Bz+1/z+1; (11) dove B sono i numeri di Bernoulli (vedi [6])

La (11) si può giustificare con una somma parziale discendente dalla formula di Fahulaber (vedi [7])

n^z = 1/(z+1) * *Bj*N^(z+1-j)

ad esempio:1/(z+1)*1*1*N^z+1 + ...

[7 ]

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