Sergio Yansen Núñez · Sergio Yansen Núñez funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas Actividad N° 1 Sean , Determine e indique su dominio.0ÐBÑœ

Sergio Yansen Núñez

funciones inyectivas , epiyectivas , biyectivas , compuestas e inversas

Actividad N° 1

Sean , Determine e indique su dominio.0ÐBÑ œ B � # 1ÐBÑ œ B Þ Ð0 ‰ 1ÑÐBÑÈ È

Actividad N° 2

Sean , Determine e indique su dominio.0ÐBÑ œ #B � $ 1ÐBÑ œ Þ Ð1 ‰ 0ÑÐBÑ"

BÈ

Actividad N° 3

Sea 0ÐBÑ œ � "È%B�B

#

#

a) Determine . H970 b) Trace el gráfico de .0

c) ¿Es inyectiva? Justifique.0 d) Determine .V/-0

Actividad N° 4

Sean

0 À H970ïïïïpV/-0 0ÐBÑ œ ÐB � #Ñ � ", definida por #

1 À H971ïïïïpV/-1 1ÐBÑ œ # � B � ", definida por È

a) Determine y .Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ H97Ð0 ‰ 1Ñ

b) ¿Existe la inversa de ? En caso afirmativo, determine .1 1 ÐBÑ�"



Actividad N° 5

Sean

0 À H970ïïïïpV/-0 , definida por 0ÐBÑ œ # � BÈ

1 À H971ïïïïpV/-1, definida por 1ÐBÑ œ "�B

#

#

a) Trace el gráfico de .0

b) Pruebe que existe y determine .0 0 ÐBÑ�" �"

c) Determine y .H97Ð1 ‰ 0Ñ Ð1 ‰ 0ÑÐBÑ

d) Determine tal que .5 − 1Ð5 � "Ñ œ‘"#

Actividad N° 6

Sea si si 0ÐBÑ œ

B � %B � ( B Ÿ $"# � $B B � $œ #

a) Calcule, si es posible, .0Ð0Ð&ÑÑb) Trace el gráfico de . ¿Es inyectiva? Justifique.0 0

Actividad N° 7

0 À H970ïïïïpV/-0 , definida por

0ÐBÑ œB � #B B � � %

� B � %B B � %œ #

#

si si

a) Calcule , 0Ð � $Ñ 0Ð$Ñ Þ

b) Trace el gráfico de .0

c) Determine tal que .B − 0ÐBÑ œ !‘

d) ¿Tiene inversa? Justifique.0

e) Determine .V/-0



Actividad N° 8

0 À H970ïïïïpV/-0 , definida por 0ÐBÑ œ � "É$ BB�#

a) Determine .H970

b) Pruebe que tiene inversa en su dominio.0

c) Determine .0 ÐBÑ�"

Actividad N° 9

Sea si si 0ÐBÑ œ

B � %B � ( B � $#B � & B $œ #


b) Calcule, si es posible, Ð0 ‰ 0ÑÐ"Ñ

c) Determine, en caso de existir, todos los valores de , tales que5 − H9700Ð5Ñ œ %.

d) ¿Es inyectiva?0

Actividad N° 10

Sea 0ÐBÑ œÈÈ$

$

#B�"

B�#

a) Determine .H970

b) Pruebe que es inyectiva en su dominio.0

c) Determine, si es posible, tal que 2 − 0 œ #‘ ˆ ‰ È#2�"2�#

$



Actividad N° 11

Considere las funciones 0 À Ó �_ß !Òqqqqqp 0ÐBÑ œ " � #B‘ definida por È 1 qqqqqp 1ÐBÑ œÀ Ó �_ß � #Ó Ó �_ß � Ó

$

#definida por "�B

#

#

a) Determine y H97Ð0 ‰ 1Ñ Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ

b) ¿Tiene inversa? En caso afirmativo, determine .1 1 ÐBÑ�"

Actividad N° 12

Sea una función si si

si 0 0ÐBÑ œ

B � %B � * B Ÿ "

� B � ' " � B Ÿ #" B � #

definida porÚÛÜ

#

#


b) ¿Es inyectiva? Justifique.0

c) Determine .V/-0

d) Determine, si existe, tal que .5 − H970 0Ð5Ñ œ 5

Actividad N° 13

Sea 0 À H970 0ÐBÑ œ # � 'B � B � &qqqqqpV/-0 definida por È #

a) Determine .H970

b) Determine, si es posible, tal que 5 − #0Ð5 � "Ñ � 0Ð$Ñ œ !‘

c) ¿Tiene inversa? Justifique.0



Resolución

Actividad N° 1

Ð0 ‰ 1Ñ œ B � #ÉÈ B ! • B � # !È ÈB � # ! Í B %

H97Ð0 ‰ 1Ñ œ Ò%ß �_Ò

Actividad N° 2

Ð1 ‰ 0Ñ œ"

#B�$È

#B � $ � ! Í B �$

#

H97Ð1 ‰ 0Ñ œ Ó ß �_Ò$

#

Actividad N° 3

Sea 0ÐBÑ œ � "È%B�B

#

#

a) Determine .H970

H970 œ ÖB − Î !×‘ %B � B#

%B � B B � %B# # ! Í Ÿ ! Í BÐB � %Ñ Ÿ !

�_ ! % �_

B � � �

B � % � � �

� � �BÐB � %Ñ

H970 œ Ò!ß %]



b) Trace el gráfico de .0

C œ � "È%B�B

#

#

C � " œ ß C � "È%B�B

#

# !

ÐC � "Ñ œ# %B�B#

%

ÐB � #Ñ � %ÐC � "Ñ œ %# #

(elipse)ÐB�#Ñ%

#

� ÐC � "Ñ œ "#

como C � " ! 0 entonces la gráfica de es:



c) ¿Es inyectiva? Justifique.0 no es intectiva. La recta horizontal corta al gráfico de en dos puntos.0 0

d) Determine .V/-0

Del gráfico se obtiene V/-0 œ Ò � "ß !Ó

Actividad N° 4

Sean 0ÐBÑ œ ÐB � #Ñ � " 1ÐBÑ œ # � B � "# Èa) Determine y .Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ H97Ð0 ‰ 1Ñ Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ œ Ð# � B � " � #Ñ � " œ BÈ #

H970 ‰ 1 œ ÖB − Î B − H971 • 1ÐBÑ − H970×‘

œ ÖB − ÎB − Ò"ß �_Ò • # � B � " − ×‘ ‘È œ Ò"ß �_Ò



b) ¿Existe la inversa de ? En caso afirmativo, determine .1 1 ÐBÑ�"

1Ð+Ñ œ 1Ð,Ñ Ê # � + � " œ # � , � "È È È È+ � " œ , � " + � " œ , � " + œ ,

es inyectiva,1

es epiyectiva pues por lo tanto es biyectiva y tiene1 G9.970 œ V/-0 ß 1inversa.

Sea C œ # � B � "È C � # œ B � "È ÐC � #Ñ œ B � "#

B œ ÐC � #Ñ � "#

1 ÐBÑ œ ÐB � #Ñ � "�" #



Actividad N° 5

a) , C œ # � B C !È C œ # � B#

B œ � C � ##

ÐC � !Ñ œ � ÐB � #Ñ#

Corresponde a la ecuación de una parábola "abierta hacia la izquierda" de vérticeen .Ð#ß !Ñ

La gráfica de es:0



b) Como es epiyectiva pues , entonces basta probar que es0 G9.970 œ V/-0 0inyectiva en su dominio:

0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ È È# � + œ # � ,

# � + œ # � ,

+ œ ,

Se tiene que . Por tanto, es inyectiva lo que significa0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ Ê + œ , 0que es biyectiva, por tanto tiene inversa.0

Puesto que se tiene que B œ � C � # 0 ÐBÑ œ # � B# �" #

c) H97Ð1 ‰ 0Ñ œ Ö B − H970 Î 0ÐBÑ − H971×

œ ÖB − Ó �_ß #Ó Î # � B − ×È ‘

œ Ó �_ß #Ó

Ð1 ‰ 0ÑÐBÑ œ œ"�Ð #�BÑ

# #B�"È #

d) 1Ð5 � "Ñ œ "

#

Í œ"�Ð5�"Ñ

# #"#

Í 5 � #5 � " œ ! #

Í 5 œ � "



Actividad N° 6

a) 0Ð&Ñ œ � $ 0Ð0Ð&ÑÑ œ 0Ð � $Ñ œ Ð � $Ñ � % † Ð � $Ñ � ( œ #)#

b) Para B Ÿ $ Sea C œ B � %B � (#

+ œ " � !

, satisface condición .B œ � œ # B Ÿ $,#+

vértice

B C œ � B � )B � "$ ÐBß CÑ% Ð$ß %Ñ

# $ Ð#ß $Ñ" % Ð"ß %Ñ

#

$

Para B � $ Sea C œ "# � $B

B C œ B � # ÐBß CÑ$ Ð$ß $Ñ

% ! Ð%ß !Ñ$

Gráfico de 0

0 C œ no es inyectiva pues la recta horizontal, por ejemplo, corta al gráfico de(

#0 en dos puntos.



Actividad N° 7

a) 0Ð � $Ñ œ � #" 0Ð$Ñ œ $

b) Considerando C œ B � #B#

no satisface la condición , por tanto ese valor no seráB œ � œ � # B � � %,#+

considerado en la siguiente tabla de valores.

B C œ B � #B ÐBß CÑ) Ð � %ß )Ñ

� & "& Ð � &ß "&Ñ

#

�%

considerando C œ � B � %B#

satisface la condición , por tanto ese valor seráB œ � œ # B � %,#+

considerando en la siguiente tabla de valores.

(vértice)

B C œ � B � %B ÐBß CÑ� $# Ð � %ß � $#Ñ

# % Ð#ß %Ñ$ $ Ð$ß $Ñ

#

�%

c) no satisfacen condición .B � #B œ ! Ê B œ ! ” B œ � #ß B � � %#

satisfacen condición .� B � %B œ ! Ê B œ ! ” B œ %ß B � %#

Por tanto, para se tiene que .B œ ! ” B œ % 0ÐBÑ œ !



d)

no es inyectiva pues, por ejemplo, la recta horizontal corta a su gráfico0 C œ #

en dos puntos. Por tanto, no tiene inversa.0

e) Del gráfico de se obtiene que 0 V/-0 œ Ó �_ß %Ó 7 Ó)ß �_Ò

Actividad N° 8

a) H970 œ B − ÎB � # Á !× œ � � #×˜ ˜‘ ‘

b) Como es epiyectiva pues basta probar que es inyectiva en0 G9.970 œ V/-0ß 0du dominio.

0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ É É$ $+ ,

+�# ,�#� " œ � "

+ ,+�# ,�#� " œ � "

+ ,+�# ,�#œ

+Ð, � #Ñ œ ,Ð+ � #Ñ

+, � #+ œ ,+ � #,

#+ œ #,

+ œ ,

es inyectiva en su dominio, por tanto es biyectiva y tiene inversa.0 0



c) Sea C œ � "É$ BB�#

C œ � "$ BB�#

C � " œ$ BB�#

ÐC � "ÑÐB � #Ñ œ B$

C B � #C � B � # œ B$ $

C B œ � # � #C$ $

B œ�#�#C

C

$

$

Luego, 0 ÐBÑ œ�" �#�#BB

$

$



Actividad Nº9 a) Para ; sea B � $ C œ B � %B � (#

B œ � œ # � $,#+

:

B C œ B � %B � ( ÐBß CÑ$ % Ð$ß %Ñ# $ Ð#ß $Ñ! ( Ð!ß (Ñ

#

Para sea B $ à C œ #B � & B C œ #B � & ÐBß CÑ

$ " Ð$ß "Ñ% $ Ð%ß $Ñ

Gráfico de :0

b) Ð0 ‰ 0ÑÐ"Ñ œ 0Ð0Ð"ÑÑ

0Ð"Ñ œ " � % † " � ( œ %#

Ð0 ‰ 0ÑÐ"Ñ œ 0Ð%Ñ œ # † % � & œ $

Por tanto, Ð0 ‰ 0ÑÐ"Ñ œ $



c) Si 5 � $ 0Ð5Ñ œ % Í 5 � %5 � ( œ %#

Í Ð5 � $ÑÐ5 � "Ñ œ ! Í 5 œ $ ” 5 œ "

no satisface condición 5 œ $ 5 � $

satisface condición 5 œ " 5 � $

Si 5 $ 0Ð5Ñ œ % Í #5 � & œ %

satisface condiciónÍ 5 œ 5 $*#

Por tanto, 5 œ " ” 5 œ *#

d) no es inyectiva, pues 0 0Ð"Ñ œ 0Š ‹*# .

Actividad Nº10

a) H970 œ ÖB − ÎB � # Á !× œ � Ö#×‘ ‘

b) 0Ð+Ñ œ 0Ð,Ñ

Í È ÈÈ È$ $

$ $

#+�"

+�#

#,�"

,�#œ

Í œ #+�" #,�"

+�# ,�#

Í #+, � %+ � , � # œ #+, � %, � + � #

Í � $+ œ � $,

Í + œ , Por tanto, es inyectiva.0



c) 0 œ #ˆ ‰ È#2�"2�#

$

; ÉÉ

$

$

# �"

�#

ˆ ‰#2�"

2�#

#2�"

2�#

œ # 2 Á #È$

%2�#

2�#

#2�"

2�#

�"

�#œ #

$2$ œ #

¡contradicción! 2 œ # 2 Á #

Por tanto, no existe valor de tal que .2 0 œ #ˆ ‰ È#2�"2�#

$

Actividad Nº11

a) H97Ð0 ‰ 1Ñ œ ÖB − H971 Î 1ÐBÑ − H970× œ ÖB − Î − ×Ó �_ß � #Ó Ó �_ß !Ò"�B

#

#

B − H97Ð0 ‰ 1Ñ � !Í B Ÿ � # • "�B#

#

"�B#

#

� ! Í B � " � ! Í ÐB � "ÑÐB � "Ñ � !#

�_ � " " �_

B� " � � �

B � " � � �

� � �ÐB � "ÑÐB � "Ñ

B − Ó �_ß � "Ò 7 Ó"ß �_Ò

Se tiene, entonces: B − B − Ó �_ß � "Ò 7 Ó"ß �_ÒÓ �_ß � #Ó • Por tanto, H97Ð0 ‰ 1Ñ œ Ó �_ß � #Ó

Ð0 ‰ 1ÑÐBÑ œ " � #Ð Ñ œ B œ lBl œ � B B −É È"�B#

## (pues Ó �_ß � #Ó Ñ



b) Gráfico de :1

Toda recta horizontal corta al gráfico de en a lo más un punto, por lo tanto, es1 1inyectiva.

1 G9.970 œ V/-0es epiyectiva pues

Por lo tanto, es biyectiva y tiene inversa.1

Sea C œ "�B#

#

#C œ " � B#

B œ " � #C#

pues B œ � " � #C B −È Ó �_ß � #Ó

Por tanto, 1 ÐBÑ œ � " � #B�" È



Actividad N° 12

a) Para , se tiene B Ÿ " 0ÐBÑ œ B � %B � *#

(ecuación de una parábola, abierta hacia arriba)C œ B � %B � *#

vértice: , no satisface condición .B œ � œ # B Ÿ ",#+

B C œ B � %B � * ÐBß CÑ" ' Ð"ß 'Ñ! * Ð!ß *Ñ

#

Para con B " � B Ÿ # ß 0ÐBÑ œ � B � '#

(ecuación de una parábola abierta hacia abajo)C œ � B � '#

vértice: no satisface condición B œ � œ ! ß " � B Ÿ #,#+

B C œ � B � ' ÐBß CÑ" & Ð"ß &Ñ# # Ð#ß #Ñ

#

Gráfico:

b) no es inyectiva, pues por ejemplo: 0 0Ð$Ñ œ 0Ð%Ñ œ "



c) V/-0 œ Ö"× 7 Ò#ß &Ò 7 Ò'ß �_Ò

d) Si 5 Ÿ " 0Ð5Ñ œ 5 5 � %5 � * œ 5#

5 � &5 � * œ !#

la ecuación no tiene solución en .˜ œ , � %+- � !ß#‘

Si " � 5 Ÿ # 0Ð5Ñ œ 5 � 5 � ' œ 5#

� 5 � 5 � ' œ !#

5 � 5 � ' œ !#

Ð5 � $ÑÐ5 � #Ñ œ ! 5 œ � $ ” 5 œ #

5 œ � $ Â Ó"ß #Ó à 5 œ # − Ó"ß #Ó

Si 5 � # 0Ð5Ñ œ 5 , no satisface condición " œ 5 5 � #

Por tanto, 5 œ #



Actividad N° 13

a) H970 œ ÖB − Î 'B � B � & !×‘#

'B � B � & ! Î † Ð � "Ñ#

B � 'B � & Ÿ !#

1 5ÐB � ÑÐB � Ñ Ÿ !

Valores críticos: .B œ "ß B œ &

�_ " & �_

B� " � � �

B � & � � �

� � �ÐB � ÑÐB � Ñ1 5 B − Ò"ß &Ó

Por tanto, H970 œ Ò"ß &Ó

b) Sea ; œ 5 � "

#0Ð5 � "Ñ � 0Ð$Ñ œ !

Í #0Ð;Ñ � 0Ð$Ñ œ !

,#Ð# � '; � ; � & Ñ � Ð# � ' † $ � $ � & Ñ œ !È È# #

'; � ; � & !#

% � # '; � ; � & � % œ !È #

È'; � ; � & œ !#

'; � ; � & œ !#

; � '; � & œ !#

Ð; � "ÑÐ; � &Ñ œ !

, ambos valores satisfacen condición; œ " ” ; œ &'; � ; � & !#



5 œ ; � "

Si entonces ; œ " 5 œ !

Si entonces ; œ & 5 œ %

Por tanto, .5 œ ! ” 5 œ %

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