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junior-bermudez
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510.7 Grupo Fnix de Costa RicaG892m Matemtica 7: n en!o"ue con #ase en $a reso$uci%n de
&'' pro#$emas ( Grupo Fnix de Costa Rica. )) 1aed. )) *$a+ue$a, Costa Rica: Grupo Fnix deCosta Rica, 201-
17- p. : i$. 27 cm.
'/ 978)990)9-93)0)
1.M*4M64'C* ) /** ) /** M'*.2.M*4M64'C*/ )'R;/ 4
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INTRODUCCINPrimero, es coneniente hacer una bree aclaracin sobre nuestro nombre y smbolo ./e ni)
ribal3, se tiene como re(erente histrico-ideolgico el mito del /e ni) que aliment arias doctrinas yconcepcionesreligiosas de superiencia en el Plus ltra, pues el ni) muere para renacer con toda su gloria'5e trataba deun ae (abulosa que se consuma por accin del (uego cada $00 a+os, para luego resurgir desus cenizas' 6sdecir, el GR>; F?'< representa un nueo comienzo, un resurgimiento, leantarse de lascenizas, espor esta razn que es nuestro emblema'
5egundo, el presente te)to pretende ser un material de apoyo en el proceso de ense+anza yaprendiza7e de la matem8tica, e)poniendo de (orma pragm8tica y did8ctica todos los Conocimientos,abilidades 6spec(icas e :ndicaciones Puntuales, e)puesta y igentes en el P ro gra m a de 6 s tu d io de;ate m 8tic as . ran s ic in 20 1 4 3, c on ba s e en los P r ogra m as de 6 s tud io d e ;ate m 8tic a apr o ba d os p o r elCon s e7 o 5 u per i or de 6 du c a c in e l 21 de m a y o d e 2 0 1 2 , considerando como re(erente metodolgico el en(oquecon base en la resolucin de problemas, propuesto en los paralas habilidades generales preistas para el educando en cada a+o de su respectio ciclo' 6s por este motio,que hemos insertado te)tualmente dichos elementos y m8s .en a lg unos c a s os p lan t ea m os in c lu s o los m is m o sprob l e m as que c ita n e n la s :nd ic a c io n es P u ntu a l e s , nun c a c o n e l a ( 8n de atr i b u irnos t a l es dere c h os de a utor,por el c ontr ar io, re s pe t a m os y c it a m os que ta les prob le m as pertene c en a l o s P rogra m as de 6 s tud i o de;ate m 8tic as del ; in is ter i o de 6 du c a cin d e C o s ta ? ic a 3, de modo que sean el erdadero re(erente para lasactiidades de mediacin que el docente proponga'
ercero, para esta nuea edicin 2014 se ha contemplado que el mayor n@mero de habilidades adesarrollar tengan un problema al inicio, permitiendo al docente y al estudiante incursionar en la nuea tem8tica
partiendo de un reto de la ida cotidiana, intentando aprehender del estudiante los conocimientos preios y(omentar para la ida el principio (ilos(ico que consideramos e7e transersal de la educacin en general Alosproblemas son para resolerlosA' 6l material est8 constituido por nieles de conocimiento, en el cual la teora,los e7emplos y los traba7os cotidianos mantienen una di(icultad partiendo de lo m8s elemental a lo m8scomple7o'
Cuarto y @ltimo, en una inestigacin preia realizada por el GR>; F?'< con un grupo (ocal dedocentes de una ?egin 6ducatia, nos dicta que en la mayora de los casos los estudiantes buscan primerolas respuestas antes de resoler los e7ercicios y problemas, incluso, algunos cuestionan y dudan de lacapacidaddel docente cuando las respuestas de este @ltimo no coinciden con las o(recidas por el libro, apesar que enmuchos casos son errores de los diagramadores a la hora de transcribir las respuestas en los(ormatos digitalesantes de ser impresos" por tanto, no se ad7untan las respuestas' Sin embargo, junto anuestros librosofrecemos a cada docente la posibilidad de descargar* las respuestas en nuestra
pgina web&&&'gr u po ( en i)c r'c om para que las utilice segn considere mejor con sus estudiantes, eincluimos una serie de materiales de apoyo para el docente de matemtica trabajos extra clase,
ejercicios deprofundizacin, planeamientos y pruebas escritas entre otros, que busca simpli(icar almenos un poco tanto traba7o que tiene sobre sus hombros cada docente en su e7emplar labor como(ormador de nuestros7enes estudiantes que participan en sus lecciones'
=6l estudio de la matem8tica debe ser el comienzo del conocimiento depurado> .Bos autores, 20093
* Aplican restricciones, ver condiciones enw w w . g r upo fe n ixc r.c o m
http://www.grupofenixcr.com/http://www.grupofenixcr.com/http://www.grupofenixcr.com/http://www.grupofenixcr.com/http://www.grupofenixcr.com/http://www.grupofenixcr.com/http://www.grupofenixcr.com/7/25/2019 Sptimo 2014 Decrypted
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RECONOCIMIENTOS
Ada FigueroaPro(esora de ;atem8ticaBiceo ;onse+or ?ubn dio
Alexander FuentesPro(esor de ;atem8ticasBiceo ;onse+or ?ubn dio
Allan Correa MataPro(esor de ;atem8ticaColegio ;arco ulio 5alazarurrialba
Ana Lucia Araya Ua!aPro(esora de ;atem8ticaC''P *os Cerca
Alina "alacios Arau#
Pro(esora de ;atem8ticasBiceo /cadmico *iurno deCiudad
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Carlos &aliciaPro(esor de ;atem8ticaCentro 6ducatio /dentista dePaso Canoas
Cristiana Calder*n MPro(esora de ;atem8ticaBiceo Dulio onsecaGutirrez
Carlos )uesada &a/oaPro(esor de ;atem8ticaCP sa
Cristian "eralta Cru#Pro(esor de ;atem8ticaBiceo 6l Carmen de
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Pro(esor de ;atem8tica Pro(esor de ;atem8tica Pro(esor de ;atem8tica Pro(esora de ;atem8ticaC''P /mbientalista:saas ?etana /rias
Biceo /ntonio bando Chan Biceo Duli8n Holio de rente CP *ulce
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Pro(esor de;atem8tica Biceo
Dos /ntonio bandoChan
4os0 M'r.ue# &on#alesPro(esor de ;atem8ticaC''P ?oberto Gamboa
4ulio Mar+n S'nc2e#Pro(esor de;atem8tica Biceo deCariari
4airo Ro(as -argasPro(esor de;atem8tica Biceo BaBucha
4o2nny -illalta 1alladaresPro(esor de ;atem8ticaBiceo ;anuel 6milio?odrguez 6chearra
4orge Arturo Cal%o Alegr+aPro(esor de ;atem8ticaColegio Dos ;art
:aren Caac2o Es3ino#aPro(esora de ;atem8ticaCentro 6ducatio Pasos
de Duentud
:arol S'nc2e# 4i0ne#Pro(esora de ;atem8ticaBiceo
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Melania Al%aradoAl%arado Pro(esora de
;atem8tica Biceo Dos;art;atem8tica 5indea PuertoHie7o
Mariela Al5aro,idalgo Pro(esora de
;atem8tica Liceo SanRo.ue
Marcela CecilianoPro(esora de ;atem8ticaBiceo ern8n Oamora6lizondo
Marco A/arca Al%aradoPro(esor de ;atem8ticaColegio Acad0ico La"ala
Marisol 1onic2ePro(esora de ;atem8ticaBiceo 6)perimental EilingIede Grecia
Natalia 1onilla AstorgaPro(esora de ;atem8tica
Nor/erto Montero SeguraPro(esor de ;atem8ticaColegio cnico 5an Doaqunde lores
Noe+ Morera C2'%e#Pro(esora de;atem8tica 5indea deHenecia'
Nuria &arroPro(esora de;atem8tica Coni 5'/
Nancy CastroPro(esora de ;atem8ticaBiceo de 5anta /na
Nelson Torres Ua!aPro(esor de;atem8tica :6GE laCruz'
Nelson Loria S'nc2e#Pro(esor de;atem8tica Biceo deicaban
"aolo AnguloPro(esor de;atem8tica GreenHalley
"a/lo Coto 1renesPro(esor de ;atem8tica:P6C 5indea /rabela Dimnezde Holio'
Oar Caac2o AstuaPro(esor de ;atem8ticaC6T6" Mario )uir*sSasso
"aulo "aniaguaDelgado Pro(esor de;atem8tica Biceo ;anuelEenaides
"aulina Coto MataPro(esora de ;atem8ticasnidad Pedaggica 5an *iego
"aola Sol+sPro(esora de ;atem8ticaColegio Marco Tulio Sala#ar
Rosario M0nde#Es.ui%elPro(esora de ;atem8tica
Ronald 4i0ne#&on#'le# Pro(esor de;atem8tica Biceo 5ta'Gertrudis
Ra5ael Montero Rodr+gue#Pro(esor de ;atem8ticaColegio :nternacional 5eM
Randall )uir*s1er7de# Pro(esor de;atem8tica Liceo deCariari
Ra7l 1adilla Ra+re#Pro(esor de;atem8tica Biceo 5an;iguel *e*esamparados
Ra7l 1adilla Ra+re#Pro(esor de;atem8tica Biceo 5an;iguel
Re/eca MoraOconitrillo6Pro(esora de;atem8tica ColegioFlorida6
Ro/ert Ro(as 1adillaPro(esor de ;atem8ticaColegio ;adre del *iinoPastor
Rodney Ng 1altodanoPro(esora de;atem8ticas Biceo deucurrique
Rody Arrieta SolanoPro(esor de ;atem8ticaCentro 6ducatio Dorge deErao'
Ro'n Rui# ContrerasPro(esor de ;atem8ticaBiceo 6)perimental
EilingIe 5anta Cruz'
Ronald -illalo/os AriasPro(esor de ;atem8ticaBiceo /mbientalista el?oble
Rosa Iris CentenoR+os6Pro(esora de ;atem8tica
Rolando Cascante R6Pro(esor de;atem8tica 5indea dePe7ibaye
Ra*n 4i0ne# Sol+sPro(esor de ;atem8ticaColegio /cadmico?epublica de :talia
Rony Rodr+gue# C2a%ar+aPro(esor de ;atem8ticaBiceo ?ural Colonia del Halle
Ra5ael &on#ales "alaciosPro(esor de ;atem8ticanid' Pedaggica Ba
Halencia
Rosa M6 Soto "aladinaHalley orge igh 5chool'
Ricardo M0nde#1lanco Pro(esor de;atem8tica Biceo ?ural
de Cahuita
S2irley Mar+n A/arcaPro(esora de ;atem8ticaBiceo 5anta ;artha
Sterling ArceEs3ino#aPro(esor de ;atem8ticaC''P Castro Eeer
Saray &a/oaCorrales Pro(esora de;atem8tica Biceo deChachagua
Siria D+a# ,ern'nde#Pro(esora de ;atem8ticaColegio Atl'nticoSi.uirres
Sergio A6 MadrigalCordero Pro(esor de;atem8tica Biceo dearrazu
Sergio -anegas Ro(asPro(esor de ;atem8ticaBiceo ?ural de Gandoca
S2irley &on#'le# APro(esora de ;atem8ticaColegio
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C''P Bas Palmitas Teresita S'nc2e#Pro(esora de;atem8tica Hocacionalde eredia
Tania C*rdo/aPro(esora de ;atem8ticaBiceo Doaqun Gutirrez ;angel
Tania RoeroPro(esora de ;atem8ticanidad Pedaggica Dos idelrist8n
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T2ais Sandi MenaPro(esora de ;atem8tica
-+ctor RetanaPro(esor de ;atem8tica
-ictoria Matarrita M0nde#Pro(esora de ;atem8tica
-ioleta Lo#anaPro(esora de ;atem8tica
Biceo de Graillas Biceo del 5an Dos Colegio ;arco ulioF olanda Centro 6ducatio /dentista deBimn
-icenta Laurence L*3e# -anessa &*e# 4i0ne# -ialexca Me/re!o &on#'le# -+ctor )uir*s Ot'rolaPro(esora de ;atem8tica Pro(esora de ;atem8tica Pro(esora de ;atem8tica Pro(esor de ;atem8ticaBiceo eidy Cordero N7!e#Pro(esora de ;atem8tica Pro(esora de ;atem8ticaBiceo ?ural
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?NDICE
UNIDAD I@ NMEROS1' Potencias 14
2' Combinacin de operaciones 19
!' /lgoritmo de la diisin 24
4' Concepto de diisibilidad, (actor y m@ltiplo 2$
$'
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'* '
@MR;/,ISTORIA DE LOS NMEROS
Ba historia de las matem8ticas ha sido precedida de una larga prehistoria de la que tenemos algunos trazos
que se remontan a 4000 a+os' Bos animales superiores y los ni+os perciben en nuestro mundo dos entidades
abstractas (undamentalesF el n@mero y la (orma' Por lo tanto, la aritmtica y la geometra (ueron, durante
mucho tiempo, distintas, separadas, aunque se mantuieron como las dos ciencias (undamentales' 6n un
principio, el conocimiento de los n@meros por el hombre no (ue muy (ino' 6n las sociedades primitias, nodistingua entre dos con7untos equipotentes .con el mismo n@mero de elementos3, sino que apenas saba
contarF uno, dos, muchos' =;uchos> se dice =tres> en latnF esta palabra subsiste todaa hoy en (rancsF =trs>,
pero tambin =trois>' 6l sistema m8s antiguo consista en contar con los dedos' Pero, Qcmo anotar el
resultadoR
*espus contaron y anotaron grandes n@meros echando (ichas en una bolsa' 5e dieron cuenta entonces de
que bastaban unas simples marcas grabadas sobre una tablilla'
Bos Eabilonios utilizaron marcas de (ormas di(erentes para designar grandes n@meros' *iersos smbolos
colocados en di(erentes posiciones bastaban para representar los n@meros m8s grandes'
Anotaciones a lo largo de las03ocas
Bas ciilizaciones m8s antiguas obseraban las ueltas a la redonda de los astros en el cielo' 5abemos as
que los 5umerios de ruM y de
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Conociientos,a/ilidadeses3ec+5icas
Indicaciones 3untuales
N7erosNaturales
peracionesT 5uma
T ?esta
T multiplicacin
T *iisin
T Potencias
Combinacin de
operaciones
1' Calcular e)presionesnumricas aplicandoel concepto depotencia y la notacine)ponencial'
2' /plicar la prioridad delas operaciones ene)presiones quepresentencombinacin deoperaciones conparntesis o sin ellos'
5e puede introducir el tema e)presando, como repaso, m@ltiplos de 10 como potencias de base 10Buego se realiza la representacin de productos con (actores iguales como potencia y iceersa, paraidenti(icar luego cuadrados y cubos per(ectos'
Posteriormente se traba7a con e7ercicios b8sicos de operaciones" por e7emplo, eri(icar si las siguientea(irmaciones son (alsas o erdaderasF
(5 + 7)2 = 52 + 72 , (6 2)2 = 62 2 2 , ! EU "#!2 = "2 E U U 2 , $ "#2 =$ 2 " 2
/dem8s se analizan problemas Coo se indica en las Eta3as B@ del a3rendi#a(e de
conociientos6s necesario retomar los algoritmos que permiten operar con n@meros naturales'
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1NMEROS
GR>; F?'
E(e3lo B E(e3lo
5impli(ique lae)presin
2% ! + 5" =
5impli(ique la e)presin
7 5 22# =
2V%EE! +E5
"
= 7 5 22# =" 15
E"+15 =1!
7 5 %
%# =1
1! 7 1 =
6
E(e3lo E(e3lo 5impli(ique lae)presin
5impli(ique la e)presin
52" 5#
!
7 2 "#
="
210 2+ $# "12"#2+7" " 2# =
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52" 5#
!7 2
"#
="
210 2+ $# "12"#2+ 7" " 2# =
!6 $ 5 "6
!6
5! 5# !
7 6#
=$5 + $# ""6 #!+7 6# =
" 1 1%10! 1
5"#
!
1#= $1%# 10! +! =
15 !
15 ! =
7
126
12610! + ! =1!
1! + ! =
26
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2 NMEROS
Trabajo cotidiano # 3
/' ?esuela las siguientes operaciones manteniendo el orden establecido
13 ! + 52=
143"("2 %) 12 (10 22) =
23 1% + "7=
1$3
2 (%2 6) +1! (5$ 105) =
!3 11+ 6" =
43 67'12
6 =
1%3 !(1" 1% 2) +10 + (5" 5) =
$3 !"'1! "=
1#3
13
25 (2" ") +12 (7 22) =
7(25 2%) 102 (2% 2") =%3 "5
5+ 6%= 193 "(2% 2") + !(1% 2 "2) =
#3 12 (10
%
2)=
3 1! (2" "5)=
203
213
5
2
(! 2 + ") 2 (7" ) + "2
(%2
"") =
52 (2 2 '5 2) 6 (126) + "" (!
"2) =
93 (7 + 7%) 7 =
103 (12 10 2) ! =
113 1" (17 "5) =
223
2!3
"2 (2" 2 + ") 5(5") + %" (16 2% ) =
2% (122 "%) "( 2"2) + 52 (150
122 ) =
123 12 + (2% "6)=
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2NMEROS
243 100 (66 2
"") + !1 (%2
1) !2 (52 25) =
1!3 1"+ ("156)=
2$32
2 (16 2 !) + 5" (%2 16) $2 (52
2%) =
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E' ?esuela los siguientes problemas
13 5i 17 estudiantes ia7an en autob@s toda la semana y pagan ( 2000 por da cada uno
QLu ganancia obtiene el due+o del autob@s si le paga al cho(er (5! mil porsemanaR
23 5i Duan recarga su tel(ono con ( 2000 y realiza " llamadas de % minutos, 5
llamadas de 2 minutos y manda "" mensa7es' QCu8nta recarga le queda si cada
minuto de llamada cuesta ("0 y cada mensa7e (5 R
"# Cinco (amilias salen de paseo y han comprado 6 Milos de carne a ( % mil el Milo, (1"mil en embutidos, y ( %1 mil en re(rescos' QCu8nto debe pagar cada (amiliaR
43 na m8quina etiqueta !5 botellas por minuto' QCu8ntas botellas etiquetar8 en total siest8 (uncionando sin parar durante 5 das por semana ocho horas al daR
$3 na (otocopiadora hace !0 copias cada minuto' QCu8nto costar8n todas las (otocopiasque puede hacer durante 5 horas, si cada (otocopia cuesta ($ cada unaR
%3 Carlos y Gabriela an a la librera Carlos compra 2 lapiceros en ($0 y un (older en
( %5 y Gabriela compra un cuaderno en ( %50 y tres postales a ( 20 cada una'
QCu8ntodinero pagaron entre los dosR
#3 nos estudiantes deciden realizar una actiidad para obtener dinero para el grupo por lo
que compran %0 chocolates en ("600 y los enden a (1"5 cada uno' QLu ganancia
obtendr8n por la enta de todos los chocolatesR
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Conociientos
,a/ilidadeses3ec+5icas
Indicaciones 3untuales
Teor+ade n7eros
/lgoritmo de
la diisin
*iisibilidad
actor
;@ltiplo
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2NMEROS
GR>; F?' , < , = para cada uno de los siguientes pares de
13 0 1 103 2 "
193 2 0
23 2 0
!3 5 6
43 7 7
$3 7 "
%3 " %
#3 2" 1%
3 !7 76
93 112 211
113
123
1!3
143
1$3
1%3
1#3
13
7 2
! 6
% 7
5 $
25 17
1$ "6$! !$
20"
"02
203
213
223
2!3
243
2$3
2%3
2#3
" "
% $$ 5
7 1
26 1!
26 26
76 6767 67
E' Considerando a x un n@mero entero, escriba un n@mero que se encuentra entre lossiguientes pares de n@meros enteros'
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13 %
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NMEROS ENTEROS
Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos
"asos o 5ases Acci*n
"aso B6 6ntendimiento del problema ener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar aresolerlo'
"aso 6 *ise+o Considerar arias (ormas para resoler el problema y seleccionarunmtodo espec(ico'
"aso 6 Control ;onitorear el proceso y decidir cu8ndo abandonar alg@ncaminoque no resulte e)itoso'
"aso 6 ?eisin y comprobacin ?eisar el proceso de resolucin y ealuar la respuesta obtenida'
uenteF Programas de 6studio en ;atem8ticas
"ro/lea B
/' 6n el siguiente cuadro aparecen las ganancias o prdidas en cada mes del a+o2011 de una empresaF
13 Q6n qu meses la empresa tuo prdidasR
23 Q6n qu meses la empresa tuo gananciasR
!3 Q6n qu meses no hubo ni ganancias ni prdidasR
43 QCu8l es la ganancia total en los primeros seis mesesR
$3 QCu8l es la ganancia total en el segundo semestreR
%3 QCu8l (ue la situacin de la empresa en los meses de mayo, 7unio, 7ulio y agostoR
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NMEROS ENTEROS
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos
,a/ilidad B@ bicar n@meros enteros en la recta numrica
Recta nu0ricaBa recta nu0rica o recta de coordenadas es una representacin geomtrica del con7untode los n@meros enteros' iene su origen en el cero, y se e)tiende en ambas direcciones, lospositios en un sentido .normalmente hacia la derecha3 y los negatios en el otro.normalmente a la izquierda3' 6)iste una correspondencia uno a uno entre cada punto de larecta numrica y el con7unto de los n@meros enteros'
E(e3lo B
5 % " 2 1 0 1 2 " % 5
Trabajo cotidiano # 16
/' 6scriba en los espacios indicados los n@meros que hacen (alta para completar surepresentacin en la recta numrica'
13
23
!3
43
20
$3
%3
76
#3
1 0 %
% 0 6
" 0 12
0
02%
0
"7 0
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E' Construya una recta numrica .lnea del tiempo3, ubique alguno de los siguientes
persona7es y comente con los compa+eros cual (ue su protagonismo en la historia'
Charles *ar&in
6lena de
roya6rnesto
Gueara
6uclides
Galileo
Galilei
Gandhi
ypatia de
/le7andra:saac
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/dol(
o
itler
/lber
t
6inst
ein
/rist
tele
s
/rqu
med
e
s
El
ai
s
e
P
a
s
c
al
5i
gmund reud,
Con(ucio
Cristbal
Colon5imn
Eolar
5crates
eresa de
Calcutahomas
6dison
Yalt *isney
Yilliam 5haMespeare
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NMEROS ENTEROS
Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos
"asos o 5ases Acci*n
"aso B6 6ntendimiento del problemaener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar aresolerlo'
"aso 6 *ise+oConsiderar arias (ormas para resoler el problema y seleccionarun mtodo espec(ico'
"aso 6 Control;onitorear el proceso y decidir cu8ndo abandonar alg@n caminoque no resulte e)itoso'
"aso 6 ?eisin y comprobacin ?eisar el proceso de resolucin y ealuar la respuesta obtenida'
uenteF Programas de 6studio en ;atem8ticas
"ro/lea B
Carolina sale de su casa y se dirige al hogar de su mam8 que se ubica 2 km al 5ur del
suyo' Buego de saludarla y conersar con ella, le in(orman que su hermano /ndrs .quien
estudia en el e)tran7ero y lleaba m8s de 5 a+os de no isitar a su (amilia3 lleg a Costa
?ica y que se encuentra en su casa de habitacin, a 750 m
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NMEROS ENTEROS
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de losconocimientos
,a/ilidad B@ *eterminar el opuesto y el alor absoluto de un n@mero entero
El %alor a/soluto
6l alor absoluto de un n@mero entero es la distancia que hay entre el cero y cualquier
n@mero entero en la recta numrica" dicha distancia ser8 un n@mero entero positio o cero'
E(e3lo B E(e3lo
2 = 2 2 = 2
?epresentacingr8(ica
?epresentacin gr8(ica
" 2 1 0 1 1 0 1 2 "
E(e3lo E(e3lo
"2 = "2 10 = 10
a# a
= a
Algunas3ro3iedades d3 2 "=
2 "
b3 a
b =a
be3 5 + 2
5 + 2
c3 a + b
a + b
Trabajo cotidiano # 17
/' Calcular el alor absoluto de los siguientes n@meros enteros'
13 2 =#3 5=
1!3 a =
23 ! =
!3 10 =
43
1" =
3
1"
=
93 12 =
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103 2" = 143
1$3
1%3
b =
m=
1$ =
$3 "7 = 113 %! = 1#3 2a =
%3 52=
123 5 = 13
"b =
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E' 6scriba en el parntesis si las siguientes e)presiones son erdaderas .-3, o (alsa .F3'
13 " !
=
"
! ( ) 93 2"
2 " ( )
23 2 5=
2
5
103 ( )
a
5
a 5( )
!3 % 5
=%
5
113 5 !
>
( )
5 !
( )
4) " 10=
"
10
123 % !
>
( )
% + !
( )
5) 612
= 6 12
1!3 612
= 6 12
%3 % +12=
#3 " +11 =
%
%
" + 11
( ) ( )
143 % +12 = % %
( ) ( )1$3 a + b = a b
3 m
+ n
= m
+ n
( ) 1%3 x+ y
x + y ( )
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5 NMEROS
NMEROS ENTEROS
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos
,a/ilidad B@ *eterminar el opuesto y el alor absoluto de un n@meroentero
El o3uesto*os n@meros enteros son opuestos si poseen el mismo alor absoluto y se encuentran en sentidos direccionales contrarios'
E(e3lo B Re3resentaci*n gr'5ica
a = aa 0 a
E(e3lo Re3resentaci*n gr'5ica
2 y 22 0 2
Trabajo cotidiano # 18
/' *eterminar el n@mero opuesto, el antecesor y el sucesor de los n@meros enteros que se
presentan a continuacin'
N7ero entero O3uesto N7ero entero O3uesto
1# 0
2# 7
13
23
93
103
$
12
13
23
"# !
!3 113 16 !3
%# 12 43 123 20
43
$3 16 $3 1!3h
$3
6# 20 7# 26
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!# "2
%3
#3
3
1%# m
15# a
16# a
%3
#3
3
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Conociientos ,a/ilidadeses3ec+5icas
Indicaciones 3untuales
O3eracionesGc'lculos yestiaciones
5uma
?esta
;ultiplicacin
*iisin
Potencias
?aces
Combinacinde operaciones
14' ?esoler problemasaplicando sumas, restas,multiplicaciones ydiisiones de n@merosenteros'
1$' 5impli(icar c8lculosmediante el uso de laspropiedades deconmutatiidad yasociatiidad de la adicin
y multiplicacin
1%' Calcular potencias cuyabase sea un n@meroentero y el e)ponente seaun n@mero natural'
1#' tilizar las propiedadesde potencias pararepresentar el resultadode operaciones conpotencias de igual base'
1' :denti(icar la relacin entrepotencias y races comooperaciones inersas'
19' Calcular la raz de unn@mero entero cuyo
resultado sea entero'
20' Calcular resultados deoperaciones con n@merosenteros en e)presionesque incorporen lacombinacin deoperaciones conparntesis o sin ellos'
21' ?esoler problemas enlos que se apliquen lasoperaciones con n@merosenteros'
Para el caso de la suma y la resta, se puede esclarecer el concepto mediante el planteo de problemas' Pore7emploF Coo se indica en las Eta3as B@ del a3rendi#a(e de conociientos6 /unque para resoler losproblemas anteriores no se requiere estrictamente el uso de n@meros negatios, se deber8 utilizar como una(orma de modelizar que ser8 @til en diersas circunstancias' /s, en la etapa de discusin se representar8n losdatos con n@meros enteros positios o negatios, de manera que se puedan enunciar estrategias que permitanestablecer los algoritmos correspondientes' 6n el caso del producto, se debe en(atizar la razn de la ley designos' Para ello, el docente puede plantear problemas Coo se indica en las Eta3as B@ del a3rendi#a(ede conociientos6 5era interesante introducir la historia de los n@meros negatios al comenzar su estudio'Cuando se trata el producto de dos n@meros enteros negatios, se puede utilizar la nocin de n@mero opuestopara 7usti(icar el signo que posee el resultado' bsereF "2 ) (")2 = (2 + 2 + 2) = (6) = 6Ba diisin es con cociente entero y residuo cero' Por e7emplo si se desea resoler la operacin
5 + 7 + 5 + 10 un estudiante puede resoler primero 5'5 luego 7 + 10 y (inalmente se suman losresultados' 6sto se 7usti(ica por la conmutatiidad y la asociatiidad de la suma y permite simpli(icar losc8lculos' 6s importante la deduccin de las propiedades de potencias a partir de su de(inicin' 6sto se puedelograr por medio del planteo de problemas an8logos al siguienteF problemas Coo se indica en lasEta3as B@ del a3rendi#a(e de conociientos6 /qu se pretende que ante la imposibilidad de brindar un
resultado, se busque una representacin alternatia del resultadoF "56
/dem8s es importante que se
comuniquen las estrategias utilizadas con el (in de lograr un aprendiza7e m8s actio y colaboratio' Bas
propiedades a deducir sonF ama
n = am + n , am a n = am n , (am )n = am n , a0 = 1 a 0 ' acer hincapien la
di(erencia entre las e)presiones del tipo 52 y (5)2 ya que la primera representa el opuesto de 52
.resultado negatio3 y la segunda que 5 se elea a la dos .resultado positio3' 5e pueden proponerproblemas tipo reto matem8tico' Por e7emploF Coo se indica en las Eta3as B@ del a3rendi#a(e deconociientos6 Buego se establece la relacin e)istente entre la potenciacin y la radicacin as como la
simbologa utilizadaF (7) = "%" " "%" = 7 ambin se debe re(orzar el concepto con e7emplos deltipoF
(5)2 = 25 25 = 5 = 5 6s importante proponer a cada estudiante e7emplos que generen discusinacerca de la eracidad de ciertas proposiciones' Por e7emploF Coo se indica en las Eta3as B@ dela3rendi#a(e de conociientos6 5obre esto se pretende que se argumenten las posiciones tomando comobase la relacine)istente entre la potenciacin y la radicacin' 6n esta habilidad, es (undamental el proceso de obtener la razsin el uso de la calculadora mediante la descomposicin en (actores primos y el uso de las siguientes
x para n parpropiedades de radicalesF n xn = , n xy =
nx n y Bas operaciones combinadas no deben
x para n impare)ceder de dos trminos, en cada uno de ellos slo se har8 uso de a lo sumo un parntesis' 6n el interior decada parntesis slo incluir a lo sumo dos di(erentes tipos de operaciones' 6n algunos e7emplos, incluirpotencias y races e)actas' / continuacin algunos e7emplosF
a#"2 ( %$ +5 " ) = *#" (% +5 " ) +5 (27 $ 25 ) = c #2 (( 1)1 + " )16
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5 NMEROS
GR>; F?'; F?' proiene del ocablo 8rabe al-^abar .en 8rabe dialectal por asimilacin progresia se
pronunciaba _al^Lb ` de donde derian los trminos de las lenguas europeas3, que se traduce
como=restauracin> o =re ponimiento, reintegracin>' *eria del tratado escrito alrededor del a+o 20 d'C'
por elmatem8tico y astrnomo persa ;uhammad ibn ;usa al-D&arizmi .conocido como /l Duarismi3,titulado /l-Mitb al-muMhtasar ( hisb al-^arabi &al-muqbala .Compendio de c8lculo por reintegracin y
comparacin3, el cual proporcionaba operaciones simblicas para la solucin sistem8tica
de ecuaciones lineales y cuadr8ticas' ;uchos de sus mtodos derian del desarrollo de la matem8tica en el
islam medieal, destacando la independencia del 8lgebra como una disciplina matem8tica independiente de
la geometra y de la aritmtica' Puede considerarse al 8lgebra como el arte de hacer c8lculos del mismo
modo que en aritmtica, pero con ob7etos matem8ticos no-numricos'
6l ad7etio =algebraico> denota usualmente una relacin con el 8lgebra, como por e7emplo en estructura
algebraica' Por razones histricas, tambin puede indicar una relacin con las soluciones de ecuaciones
polinomiales, n@meros algebraicos, e)tensin algebraica o e)presin algebraica' Coniene distinguir entreF
- Jlgebra elemental es la parte del 8lgebra que se ense+a generalmente en los cursos dematem8ticas'
- Jlgebra abstracta es el nombre dado al estudio de las =estructuras algebraicas>propiamente'
6l 8lgebra usualmente se basa en estudiar las combinaciones de cadenas (initas de signos y, mientras
que an8lisis matem8tico requiere estudiar lmites y sucesiones de una cantidad in(inita de elementos'
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Conociientos ,a/ilidades es3ec+5icas Indicaciones 3untuales
SucesionesBey de
(ormacin PatronesRelaciones
Proporcionalidad:nersa
Re3resentaciones
Herbal abular Gr8(ica /lgebraica
1' :denti(icar la ley de (ormacinde una sucesin utilizandolengua7e natural, tabulary algebraico'
2' Plantear y resoler problemasrelacionados con sucesionesy patrones'
!' :denti(icar relaciones de
proporcionalidad inersa endiersos conte)tos reales'
4' /nalizar relaciones deproporcionalidad directa einersa de (orma erbal,tabular,gr8(ica y algebraica'
6stos conceptos se introducen aqu para promoer una recapitulacin de aprendiza7es realizados en leducacin primaria en relacin con esta 8rea matem8tica'Proponer un problema conte)tualizado que repase todas las habilidades de sucesiones representaciones estudiadas en los ciclos anteriores'Coo se indica en las Eta3as B@ del a3rendi#a(e de conociientos*urante la etapa de clausura se presenta la nocin de ley de (ormacin utilizando representacinumrica, algebraica y tabular5e recomienda el uso de calculadora para hacer los c8lculos indicados en la representacin algebraica'
5e recomienda plantear un problema para repasar el concepto de proporcionalidad directa'Coo se indica en las Eta3as B@ del a3rendi#a(e de conociientos5e puede plantear un problema que inolucre proporcionalidad inersa, particularmente relaciones qupueden ser e)presadas en la (orma
y =k
, y =k
con k constante de proporcionalidad'
x x2
/nalizar relaciones de proporcionalidad directa e inersaCoo se indica en las Eta3as B@ del a3rendi#a(e de conociientos5e pueden utilizar tambin 8reas de rect8ngulos, trapecios y permetros de (iguras planas' Bae)presiones anteriores conectan Relaciones y lgebra con )eometr*a y son modelos matem8ticos pacalcular 8reas o ol@menes de ob7etos geomtricos' / este niel la representacin gr8(ica de una relacide proporcionalidad inersa consistir8 de puntos en el plano de coordenadas rectangulares pues no shan introducido todaa los n@meros irracionales' 5e recomienda el uso de so(t&are para representacin gr8(ica' Ba gr8(ica obtenida con el so(t&are aparecer8 en (orma continua en lugar ddiscreta'
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1REL'()ONES * +L$E,R'
GR>; F?', pues era (uncin principal de los Gobiernos de los 6stados estableceregistros de poblacin, nacimientos, de(unciones, impuestos, cosechas Ba necesidad de poseer datos ci(rados sobre lpoblacin y sus condiciones materiales de e)istencia han debido hacerse sentir desde que se establecieron sociedades humanaorganizadas'-
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1ES%'-)S%)('
GR>; F?' 0
, compare los dos resultados siguientesF
:' 6l promediode
a + k , b + k , c+ k
::' A + "k
93 Considere la siguiente in(ormacin y compare las notas de Duan y Pedro'
Duan Pedro!0
$5 !0
75
75 $0
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un balon in(lado ::' Ba probabilidad de tomar al (inalun balon desin(lado
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,),L)O$R'.&'
aldor. $eometr/a plana y del espacio y tri0onometr/a. Bdiciones =dice. Fadrid, BspaGa, 1$!7.
aldor. +l0era. Bdiciones =dice. Fadrid, BspaGa, 1$!7.
aldor. 'ritmtica. Bdiciones =dice. Fadrid, BspaGa, 1$!7.
=orrales, Fario. Matem3tica Estad/stica. Bditorial HIB:.
=Jrdenas, ;umerto + otros. Matem3tica Primer (4rso y Matem3tica Se04ndo (4rso. "era Bdicin.
=lemens, >antanle+ + otros. $eometr/a con aplicaciones y sol4ciones de prolemas. AdisonKesle+
Leroamericana, >.A., Kilmington, B.H.A, 1$!$