SEP SEIT DGIT

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO

cenidet 6 6 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ó ~ DEL MÉTODO DE LEVENBERG-

MARQUARDT Y DEL GRADIENTE CONJUGADO EN LA ESTIMACIÓN DE LA GENERACIÓN DE CALOR DE UN

APARATO DE PLACA CALIENTE CON GUARDA”

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIEI~A MECÁNICA P R E S E N T A:

ING. OBED CORTÉS ABURTO

ASESORES: DR. LEONEL LIRA CORTÉS (cenidet) CENIDET M.C. ESOS P. XAMÁN VILLASEÑOR (ITQ)

0 4 - 0 4 3 8 CUERNAVACA, MORELOS MAYO DE 2004

cenídet Centro Nacional de Investigación

y Desarrollo Tecnológico

ALITORIZACI~N DE IMPRESI~N DE TESIS

Cuernavaca, Mor., a 20 de marm del 2004

C. OBED CORTES ABURTO Candidato al grado de Maestro en Ciencias en Ing. Mecánica Presente.

Después de haber atendido las indicaciones sugeridas por la Comisión Revisora de la Academia de ing. Mecánica en relación a su trabajo de tesis cuyo titulo es: Aplicación del método de Levenberg-Marquardt y del gradiente conjugado en la estimación de la generación de calor de un aparato de placa caliente con guarda" me es grato comunicarle que conforme a los heamientos establecidos para la obtención del p d o de Maestro en Ciencias en este centxo se le concede la autorización para que proceda con la impresión de su tesis.

Atentamente

Jefe del Departamento de Ing. Mecánica

C.C.P. SuMirrcción Académica Residente de la Academia de hg. Macánica Depaitamento de Secvicicr Esookns Expediaite

PROLONGACLÓN AV, PALMIRA ESQ. APATZINGÁN. COL. PAlMlRA , A.P. 5-164. CP. 62490. CUERNAVACA, MOR. -MEXICO T E W F A X (77713140637y3127613

1

1.1 1.2

1.3

1.4 1.5 1.6 1.7

2

2.1 2.2

2.3

3

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Lista de Figuras Lista de Tablas Nomenclatura Resumen Abstract

i

Contenido

Página

Introducción

Introducción Áreas de aplicación de la Transferencia Inversa de Calor Estado del arte de las técnicas de solución para los problemas inversos de transferencia de calor Objetivo y Alcance Justificación y descripción del trabajo Productos y beneficios esperados Desarrollo de la tesis

Conceptos Generales

Descripción del Aparato de Placa Caliente con Guarda Dificultades en la solución de problemas inversos de transferencia de calor Clasificación de los problemas inversos de transferencia de calor

Aplicación aiel Método de Levenberg-Marquardt

Introducción Problema Directo Problema Inverso Procedimiento Iterativo Criterio de Convergencia Algoritmo Cornputacional

iv v13

viii

xi X

1

2 5

6 9

10 11 11

13

14

16

22

24

25 28 29 31 35 36

4

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

5

5.1 5.2 5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

6

6.1 6.2

Página 42 Aplicación del Método del Gradiente Conjugado

Introducción Problema Directo Problema Inverso Procedimiento Iterativo Criterio de Convergencia Algoritmo Computacional

Análisis de Resultados

Introducción Funciones de Bessel Obtención de los Valores Propios de los Problemas Auxiliares (pk)

43 43 45 46 50 51

56

57 58

61

Aplicación del Método de Levenberg-Marquardt para la obtención de la Función de Generación de Calor de la Placa Caliente 64

Aplicación del Método de Levenberg-Marquardt para la obtención de la Función de Generación de Calor de la Guarda 68

Aplicación del Método del Gradiente Conjugado para la obtención de la Función de Generación de Calor de la Placa Caliente 73

Aplicación del Método del Gradiente Conjugado en la obtención de la Función de Generación de Calor de la Guarda 77

Comparación entre el Método de Levenberg-Marquardt y el Método del Gradiente Conjugado para la Placa Caliente y la Guarda del APCG 82

Conclusiones 89

Conclusiones Recomendaciones y Trabajos Futuros

90 92

Bibliografia 93

Pagina Apéndice A

A. 1 A.2

Solución del Problema Directo para la Placa Caliente 95 Solución de la Estimación de Temperaturas para la Placa Caliente 99

A.3 Solución del Problema Directo para la Guarda 101 Solución de la Estimación de Temperaturas para la Guarda 105 A.4

Apéndice B

B. 1 Concepto de Coeficiente de Sensibilidad 107 B.2 Métodos de Determinación de los Coeficientes de

Sensibilidad 108 B.2.1 Solución Directa Analítica 108 B.2.2 Método de Problema de Valor en la Frontera 108 B.2.3 Aproximación por Diferencias Finitas 110

Apéndice C

c. 1 Código para la Aplicación del Método de Levenberg- Marquardt en la Obtención de los Parámetros de la Función de Generación de Calor de la Placa Caliente

c .2 Código para la Aplicación del Método de Levenberg- Marquardt en la Obtención de los Parámetros de la Función de Generación de Calor de la Guarda

111

115

Apéndice D

D. 1 Código para la Aplicación del Método del Gradiente Conjugado en la Obtención de los Parámetros de la Función de Generación de Calor de la Placa Caliente

D.2 Código para la Aplicación del Método del Gradiente Conjugado en la Obtención de los Parámetros de la Función de Generación de Calor de la Guarda

122

126

Apéndice E

Código para la obtención de las funciones de Bessel 132 Código para la obtención de los valores propios para el caso de la Placa Caliente 135 Código para la obtención de los valores propios para el caso de la Guarda 137

E. 1 E.2

E.3

111

Figura 2.1

2.2

3.1.PC 3.1.G

3.2 4.1 5.1

5.2

5.3

5.4 5.5 5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

Lista de Figuras

Descripción Página Componentes principales del instrumento para medir la conductividad térmica de materiales sólidos aislantes. 15 Aparato para medir la conductividad térmica de materiales sólidos aislantes. 16 Modelo fisico para la Placa Caliente del APCG. 27 Modelo fisico para la Guarda del APCG. 27 Diagrama de Flujo del Método de Levenberg-Marquardt 40

54

57

57

Diagrama de Flujo del Método del Gradiente Conjugado.

Placa Caliente obtenida por Xamán (1999).

Guarda obtenida por Xamán (1999).

Distribución de temperatura experimental y analítica para la

Distribución de temperatura experimental y analítica para la

Funciones de Bessel: Jo(x), JI(x), Yo(x) y Yi(x) obtenidas mediante la aproximación polinomial de Abramowitz y Stegun, 1972. 61 Función propia para la Placa Caliente. 62 Función propia para la Guarda. 63 Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MLM para la Placa Caliente del APCG usando una función con un parámetro. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MLM para la Placa Caliente del APCG usando una función con dos parámetros. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MLM para la Placa Caliente del APCG usando una función con tres parámetros. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MLM para la Placa Caliente del APCG usando una función con cuatro parámetros. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MLM para la Placa Caliente del APCG usando una función con cinco parámetros.

65

65

66

66

67

IV

Figura Descripción Página 5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.2 1

5.22

5.23

Comparación entre la función de generación de calor usada y las funciones de generación de calor estimadas mediante el MLM para la Placa Caliente. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MLM para la Guarda del APCG usando una función con un parámetro. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MLM para la Guarda del APCG usando una función con dos parámetros. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MLM para la Guarda del APCG usando una función con tres parámetros. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MLM para Ia Guarda del APCG usando una función con cuatro parámetros. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MLM para la Guarda del APCG usando una función con cinco parámetros. Comparación entre la función de generación de calor usada y las funciones de generación de calor estimadas mediante el MLM para el caso de la Guarda. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MGC para la Placa Caliente del APCG

Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MGC para la Placa Caliente del APCG

Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MGC para la Placa Caliente del APCG usando una función con tres parámetros. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MGC para la Placa Caliente del APCG

Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MGC para la Placa Caliente del APCG usando una función con cinco parámetros. Comparación entre la función de generación de calor usada y las funciones de generación de calor estimadas mediante el MGC para el caso de la Placa Caliente.

68

69

70

70

71

71

72

usando una función con un parámetro.

usando una función con dos parámetrvs.

74

74

75

usando una función con cuatro parámetros. 75

76

77

V

Figura Descripción Página 5.24

5.25

5.26

5.27

5.28

5.29

5.30

5.3 1

5.32

5.33

Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MGC para la Guarda del APCG usando una función con un parámetro. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MGC para la Guarda del APCG usando una función con dos parámetros. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MGC para la Guarda del APCG usando una función con tres parámetros. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MGC para la Guarda del APCG usando una función con cuatro parámetros. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MGC para la Guarda del APCG usando una función con cinco parámetros. Comparación entre la función de generación de calor usada y las funciones de generación de calor estimadas mediante el MGC para el caso de la Guarda. Comparación entre las temperaturas experimentales, las temperaturas analíticas (Xamán, 1999), las temperaturas estimadas con el MLM y las temperaturas estimadas con el MGC, para la Placa Caliente del APCG. Comparación entre la función de generación de calor analítica (Xamán, 19991, la función estimada con el MLM y la función estimada con el MGC, para la Placa Caliente del APCG. Comparación entre las temperaturas experimentales, las temperaturas analíticas (Xamán, 19991, las temperaturas estimadas con el MLM y las temperaturas estimadas con el MGC, para la Guarda del APCG. Comparación entre la función de generación de calor analítica (Xamán, 19991, la función estimada con el MLM y la función estimada con el MGC, para la Guarda del APCG.

78

79

79

80

80

81

83

84

85

85

VI

Lista de Tablas

Tabla 5.1

5.2 5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

Descripción Página Primeras 10 raíces de la función propia para la Placa Caliente. PrhWmlS 10 raíces de la función propia para la Guarda. Norma de mínimos cuadrados y errores relativos máximos entre las temperaturas medidas y las temperaturas estimadas mediante el MLM para la Placa Caliente. Norma de mínimos cuadrados y errores relativos máximos entre las temperaturas medidas y las temperaturas estimadas mediante el MLM para la Guarda. Norma de mínimos cuadrados y errores relativos máximos entre las temperaturas medidas y las temperaturas estimadas mediante el MGC para la Placa Caliente. Norma de mínimos cuadrados y errores relativos máximos entre las temperaturas medidas y las temperaturas estimadas mediante el MGC para la Guarda. Comparación de las mejores aproximaciones obtenidas con los dos métodos aplicados a la Placa Caliente. Comparación de las mejores aproximaciones obtenidas con los dos métodos aplicados a la Guarda. Comparación de los parámetros y la norma de mínimos cuadrados obtenidos mediante el MLM con los obtenidos mediante el MGC al aplicarlos en la Placa Caliente del APCG. Comparación de los parámetros y la norma de mínimos cuadrados obtenidos mediante el MLM con los obtenidos mediante el MGC al aplicarlos en la Guarda del APCG.

62 63

67

72

76

81

82

83

87

88

..

Nomenclatura

Radio exterior de la Placa Caliente, radio interior de la Guarda Funciones de prueba, j = l , ..., N Covarianza de X y Y Radio exterior de la Guarda dirección de descenso Valor esperado Espesor de la Placa Caliente o de la Guarda Generación de caior en la Placa Caliente o en la Guarda Coeficiente convectivo del aire Número de mediciones transitorias del sensor Matriz de sensibilidad Coeficiente de sensibilidad Función de Bessel de primera clase y de orden cero Función de Bessel de primera clase y de orden uno Kernel Conductividad térmica Número de sensores Número de parámetros desconocidos, norma Vector de parámetros desconocidos jésimo parámetro desconocido, j = 1,. . ., N

c Función propia Coordenada radial en el sistema coordenado cilíndrico Función objetivo o funciond Tiempo Tiempo final Vector de temperaturas estimadas Temperatura ambiente Temperatura estimada al tiempo 1, , i = I , ..., I Temperatura inicial de la Placa Caliente o de la Guarda Matriz diagonal ponderada

Vlll

Y Vector de temperaturas medidas rl yo

r,

Temperatura medida ai tiempo f , i =I , ..., 1

Función de Bessel de segunda clase y de orden cero Función de Bessel de segunda clase y de orden uno

Símbolos griegos

Difusividad térmica de la Placa Caliente o de la Guarda Raíz de la ecuación de valores propios Tamafio de incremento buscado Coeficiente de combinación Función supuesta para la solución por separación de variables Función Delta de Dirac Tolerancia Matriz diagonal del método de Levenberg-Marquardt 3.14 159. .. Parámetro de amortiguamiento del método de Levenberg- Marquardt Desviación estándar de las mediciones Dirección del gradiente

Subindices

f Final G i Medición i-ésima de temperatura .¡ Parámetro jésimo m Número de sensor med PC

Perteneciente al caso de la Guarda

Posición donde se realiza la medición de un solo sensor Perteneciente al caso de la Placa Caliente

Superindices k Número de iteración T Transpuesta

IX

Resumen

En anos recientes ha crecido el interés por los Problemas Inversos de Transferencia de Calor. En principio, su carácter de "mal planteados"

era el obstáculo a vencer. Con el desarrollo de nuevos métodos para

obtener la solución de dichos problemas, ha habido un auge en las aplicaciones de tales métodos de solución.

En el presente trabajo de tesis se utilizan dos métodos, el método de Levenberg-Marquardt y el del Gradiente Conjugado, para estimar los parámetros desconocidos de una función de generación de calor basados

en mediciones de temperatura previamente hechas. Se desarrolla todo el trabajo en el sistema coordenado cilíndrico y en la dimensión radial

únicamente. Se involucran dos geometrías distintas: un disco (Placa Caliente) y una corona (Guarda) del Aparato de Placa Caliente con Guarda, un instrumento que se utiliza para obtener las conductividades térmicas de materiales aislantes. Se validan los resultados obtenidos con las

mediciones disponibles, variando la cantidad de parámetros a utilizar desde uno hasta cinco. Por último, se comparan ambos métodos y se dan las conclusiones pertinentes.

X

Abstract

In recent years interest has grown in Inverse Heat Transfer Problems. At first, their “ill-possed” character was the main obstacle. With

the advancement of solution methods for those problems, it has been a rise in the applications of such a solution methods.

In this thesis, two methods are using, Levenberg-Marquardt

method and Conjugate Gradient method, for unknown parameter estimation of the heat generation function from temperature measurements taken previously. All work is in the cylindrical coordinate system and radial dimension only. Two different geometries are used: a disc (Hot Plate) and an annulus (Guard) of the Guarded Hot Plate

Apparatus, a device for obtain thermal conductivities of isolated materials.

Results are validated with the available measurements, varying the number of parameters from one to five. At last, both methods are compared and pertinent conclusions are done.

XI

Capítulo I I Introducción

- 1.1 INTRODUCCIdN

Los Problemas Inversos de Transferencia de Calor (PIE) se basan en el uso de las mediciones de temperaturas o flujos de calor para estimar

las cantidades que se desconocen y que intervienen en el análisis de problemas fisicos en Ingeniería Térmica. Por ejemplo, los problemas inversos en conducción de calor son asociados, generalmente, con la

estimación de un flujo de calor en la frontera que se desconoce, utilizando

las mediciones de temperatura que se registran en la superficie de la

frontera.

Además, mientras que en el problema directo de Conducción de Calor se conoce la causa (flujo de calor en la frontera) y se determina el efecto (campo de temperatura en el cuerpo), en el problema inverso se

involucra la estimación de la causa a partir del conocimiento que se tiene

del efecto.

Una ventaja de los PITC es que hacen posible una colaboración

más cercana entre los investigadores teóricos y los experimentales para obtener el máximo de información sobre el problema fisico bajo estudio.

Se debe reconocer que existen dificultades en la solución de los PITC. Los PITC se clasifican matemáticamente como mal planteados

(Ozisik y Orlande, 2000) en un sentido general, ya que sus soluciones pueden convertirse en inestables, como resultado de los errores inherentes a las mediciones utilizadas en el analisis. Inicialmente, los problemas inversos no eran de interés fisico, debido a su planteamiento incorrecto.

Sin embargo, algunos métodos heuristicos de solución para los

problemas inversos, los cuales se basaban más en la pura intuición que en formalidades matemáticas, se desarrollaron en la década de los cincuenta. Más tarde, en los sesenta y setenta, la mayoría de los métodos fueron

Capítulo I, Introducción

formalizados en términos de sus capacidades para tratar con problemas inestables mal planteados.

El fundamento de hies métodos formales reside en la idea de reformular el problema inverso en términos de un problema aproximado

bien planteado, utilizando alguna técnica de regularización (estabilización).

En este sentido, los trabajos pioneros de científicos que encontraron

diferentes formas de sobrellevar las inestabilidades de los problemas

inversos incluyen a A. N. Tikhonov (1975, 1977), O. M. Alifanov (1977,

1994) y J. V. Beck (1977, 1985).

El programa espacial ha jugado un papel muy significativo en el

desarrollo de los métodos de solución para los PITC a finales de la década

de los cincuenta y principio de los sesenta. Por ejemplo, el calentamiento aerodinámico de los vehículos espaciales durante el reingreso a - la atmósfera es tan alto que la temperahira superficial del blindaje térmico

no puede medirse directamente con sensores de temperatura. Por

consiguiente, los sensores de temperatura son colocados por debajo de la

superficie caliente del blindaje y la temperatura superficial se estima mediante un análisis inverso. El análisis inverso puede usarse también en la estimación de propiedades termofisicas del blindaje durante las condiciones de operación a tales temperaturas.

La medición directa del flujo de calor en la superficie de una pared

sometida al fuego mediante el uso de los métodos convencionales es un asunto dificil; pero estimarlo mediante un análisis inverso utilizando registros transitorios de temperatura tomados en una posición específica en el interior de la superficie calentada es relativamente fácil.

En situaciones donde los métodos clásicos bien establecidos para la

estimación adecuada no pueden proveer el grado de exactitud deseada o se vuelven inaplicables, los métodos de PITC pueden ser usados.

3

Capítulo 1, Introducciái

Matemáticamente, los PITC pertenecen a la clase llamada mal

planteada, en tanto que los problemas de transferencia de calor tradicionales son bien planteados. El concepto de un problema bien planteado, originalmente introducido por Hadamard (Godunov, 1978),

requiere que su solución satisfaga las siguientes tres condiciones:

La solución debe existir (Existencia).

La solución debe ser única [Unicidad). La solución debe ser estable bajo pequeños cambios (Estable).

La existencia de una solución para un PITC puede asegurarse

mediante razonamiento fisico; por ejemplo, si hay un cambio en los valores

de la temperatura medida en un problema transitorio, existe una

característica causal, por ejemplo, una frontera con flujo de calor, que debe estimarse. Por otro lado, la unicidad de la solución de los problemas

inversos puede probarse matemáticamente para algunos casos especiales.

También, el problema inverso es muy sensible a los errores aleatorios en los datos de entrada medidos, de tal manera que se requieren métodos

especiales para su solución para satisfacer la condición de estabilidad.

Durante mucho tiempo se pensaba que, si alguna de las condiciones requeridas para el planteamiento correcto era violada, el problema no tendría solución o los resultados obtenidos por tal solución serían sin sentido, por lo que no tendría importancia práctica. Como resultado de esto, disminuyó el interés de los matemáticos, físicos e ingenieros en la solución de problemas inversos. Fueron el proceso de regularización de Tikhonov (Tihhonov y Arsenin, 1977), los métodos

iterativas de regularización de Alifanov (Alifanov, 1994) y el enfoque de estimación defunción de Beck (Beck et al., 1985) los que revitalizaron el interés en la solución de problemas inversos de transferencia de calor.

Una solución exitosa de un problema inverso generalmente

involucra su reformulación como un problema bien planteado aproximado. 4

cCqhlo I, Introducción

En la mayoría de los métodos, la solución de los PITC se obtiene en cierto sentido de un análisis por mínimos cuadrados. El proceso de regularización de Tikhonov modifica la ecuación de mínimos cuadrados

agregando términos de relajamiento para reducir los efectos de

inestabilidad de los errores de medición. En el principio iterativo de

regularización, tiene lugar una mejora secuenciai de la solución. El criterio

de convergencia para tal proceso iterativo se elige de modo que la solución

final se estabilice con respecto a los errores de los datos de entrada.

Como resultado de estos nuevos métodos de solución y la

disponibilidad de computadoras de gran capacidad y alta velocidad, se han hecho factibles las soluciones exitosas de PITC. Las pasadas tres décadas

han sido las más activas en el avance de los métodos de solución para los

PITC .

- 1.2 ÁREAS E APLICACIÓN LA TRANSFERENCIA IlpvERsA CALOR

Con el advenimiento de los modernos materiales complejos que

tienen propiedades termofisicas variables con la temperatura y la posición, el uso de los métodos convencionales para la determinación de las

propiedades termofisicas ha llegado a ser insatisfactorio. Igualmente, la operación de los asuntos industriales modernos ha llegado a ser más y más sofisticada y una estimación precisa in situ de las propiedades termofisicas llega a ser necesaria. El enfoque del problema inverso de transferencia de calor puede proveer respuestas satisfactorias para tales situaciones.

La principal ventaja de los PITC es que permite conducir

experimentos tan cercanos a las condiciones reales como sea posible. Las aplicaciones prácticas de los métodos de PITC incluyen, entre otras, las siguientes áreas específicas:

Estimación de las propiedades termofisicas de materiales (Beck y

Arnold, 1977; Beck et al., 1985). 5

e

e

e

e

e

a

e

e

m o d u c c i h

Estimación de las propiedades de radiación y las condiciones de

frontera en materiales semitransparentes absorbentes, emisores y dispersores.

Control del movimiento de la interfase sólido-líquido durante la solidificación.

Estimación de la condición interna y el flujo de calor en la frontera por

convección forzada en el interior de ductos (Bokar y Ozisik, 1995).

Estimación de la variación con respecto ai tiempo de la conductancia

de interfase desconocida entre la solidificación del metal y la fundición

del metal durante el vaciado.

Estimación de la conductancia de interíase entre superficies periódicas

en contacto.

Propiedades de radiación de superficies reflejantes de calentadores y

paneles criogénicos.

Estimación de la liberación de calor durante la fricción de dos sólidos. Conbol y optim&ción del proceso de vulcanización del caucho.

Estimación de las formas de frontera de cuerpos.

estimación de tales cantidades con los métodos Convencionales

es un asunto difícil si no es que imposible. Sin embargo, con la aplicación del análisis inverso de transferencia de calor, no sólo se pueden manejar tales problemas sino que se mejora el valor informativo de los estudios y se acelera el trabajo experimental.

- 1.3 ESTADO DEL ARTE DE M S MÉTODOS

PROBLEMAS INVERSOS TRANSFERENCIA CALOR

SOLUCI~N PARA M S

A continuación se presentan varios métodos usados para la solución de los PITC. Tales métodos requieren generalmente de la solución del problema directo asociado. Por lo tanto, es difícil presentar los métodos de solución de los problemas inversos sin referirse a la solución de los

6

Capítulo I Introduccih

problemas directos. Tales métodos pueden ser clasificados (&is& y Orlande, 2000) en los siguientes gnipos: 1. El método de ecuación integral.

2. Los métodos de trasformada integral.

3. El método de solución en series.

4. El método polinomial.

5. La transformación de la ecuación de conducción de calor en una ecuación hiperbólica.

6. Los métodos numéricos tales como diferencias finitas, elemento finito y elementos de frontera.

7. Los métodos de filtrado iterativo.

8. Los métodos de estado permanente.

9. El método secuencial de Beck de especificación de función.

10. El método de Levenberg-Marquardt para la minimización de la norma

de mínimos cuadrados.

1 1. El método de regularización de Tikhonov.

12. Los métodos iterativos de regularización para estimación de parámetros y de funciones.

13. LOS algoritmos genéticos.

El dominio temporal sobre el cual se usan las mediciones en el

análisis inverso podría ser otra forma de clasificar los métodos de solución.

Por ejemplo, la estimación del flujo de calor en la frontera f ( t ) en el

dominio temporal Os t 5 t , . Tres dominios temporales son posibles para las

mediciones usadas en la estimación de la componente de flujo de calor

~ ( r , ) en el tiempo r, < r, incluyen:

a. Hasta el tiempo t, < t , .

b. Hasta el tiempo t, < t , mas unos pocos incrementos de tiempo.

c. El completo dominio temporal O I t 5 t, .

7

Capítulo I, Introducciai

Los métodos (a) Y (b) basados en los dominios de tiempo son secuenaales en su naturaleza. LOS métodos (a) basados en las mediciones hasta permiten el ajuste exacto de las temperaturas medidas y

estimadas, si es que se usa un único sensor en el análisis. Aunque aparentemente atractivos, tienen la desventaja de que los algoritmos de

solución son sensibles a los errores de medición. El uso de las mediciones

hasta el tiempo t, más unos cuantos incrementos temporales,

originalmente propuesto por Beck et ai. (1985), mejora la estabilidad de los algoritmos secuenciales. Tal planteamiento se basa en el hecho de que la

respuesta de la temperatura se retrasa con respecto a la excitación. Sin

embargo, los métodos secuenciales (a) y (b) generalmente se convierten en

inestables conforme se utilizan incrementos de tiempo más pequeíios en el

análisis. El método del dominio temporal completo es poderoso debido a que

se puede tomar en consideración incrementos temporales más pequeños respecto a 10s métodos (a) y (b) en la solución. Esto es importante Para estimar con buena resolución las funciones desconocidas dependientes del

tiempo, tal Como el flujo de calor en la frontera. Sin embargo, 10s métodos basados en el dominio temporal completo no son tan eficientes

computacionalmente como los secuenciales.

tiempo

Por lo descrito previamente, es aparente que se han usado una

gran variedad de métodos para resolver problemas inversos de transferencia de calor. Por lo tanto, es de utiiidad eníistar algunos criterios propuestos (Alifanov, 1994; Beck et al., 1985) para la evaluación de los procedimientos de solución de los PITC: 1. L a cantidad predicha debe ser exacta si los datos de medición son

exactos. 2. El método debe ser estable con respecto a los errores de medición. 3. El método debe tener una base estadística y permitir varias

suposiciones estadísticas para los errores de medición.

e

9 4' método no debe requerir que 10s datos de entrada Se= relajados a

método debe ser estable para incrementos o intervalos de tiempo Pequefios. Esto permite una mejor resolución de la variación con el

tiemPo de la cantidad desconocida que la que permiten 10s incrementos

priori. 5 .

temporales robustos.

6. Las mediciones de temperatura de uno o más sensores deben ser permitidas.

7. El método no debe requerir primeras derivadas continuas de las

funciones desconocidas. Además, el método debe ser capaz de

recuperar las funciones que contienen discontinuidades de salto. 8. No debe requerirse el conocimiento del tiempo de inicio de la aplicación

de un flujo de calor superficial o un término de fuente desconocidos. 9. El método no debe restringirse a algún número fijo de mediciones.

10. El método debe ser capaz de manejar situaciones fisicas complejas,

incluyendo entre otras, sólidos compuestos, fronteras movibles,

propiedades dependientes de la temperatura, modos combinados de transferencia de calor, problemas multidimensionales Y geometrías

irregulares. 1 1. ~1 método debe ser robusto para programarse en ComPuUdora.

12. ~1 costo de cálculo debe ser moderado.

13. ~1 no debe tener una gran habilidad en las Matemáticas Para

usar el método. 14. ~1 método debe permitir la extensión a más de Una incógnita.

1.4 OBJETIVO ALCANCE

El objetivo de esta tesis es estimar una función de generación de

calor para la Placa Caliente y la Guarda de un Aparato de Placa Caliente con Guarda. Dicha función deberá generar un ajuste más exacto con las temperaturas medidas experimentalmente de todos los resultados que se obtengan.

9

Capítulo I I Introducciái

Se aplican dos métodos para la determinación de los parámetros (el Método de Levenberg-Marquardt y el Método del Gradiente Conjugado) que

son necesarios para la solución de un problema de Conducción de Calor,

en el cual se conoce la distribución de temperaturas obtenida mediante

mediciones experimentales realizadas por Xamán (1999).

Los modelos se aplicarán al Aparato de Placa Caliente con Guarda

para obtener la función de generación de calor. La validación se obtendrá al mismo tiempo, ya que se utilizan los valores medidos

experimentalmente. Todo el desarrollo matemático será planteado en

coordenadas cilíndricas y en una dimensión.

- 1.5 JUSTIFICACI6N DESCRIPCI~N E L TRABAJO

En años recientes, ha crecido el interés en la teoría y las

aplicaciones de los problemas inversos de transferencia de calor, que se

puede asegurar se encuentran en casi todas las ramas de la ciencia y la

ingeniería. En situaciones donde los métodos de estimación clásicos no pueden proveer el grado de exactitud deseada, las técnicas de PITC pueden

ser usadas.

Debido a que la mayoría del trabajo desarrollado se basa en soluciones analíticas que son perturbadas para validar el método, es necesario aplicarlo a una situación real con datos experimentales para poder analizar el comportamiento del método de solución.

La solución del problema se obtendrá mediante la implementación de dos métodos que se consideran generales, versátiles y directos (Ozisik y Orlande, 2000). Estos son:

1. El Método de Levenberg-Marquardt (MLM) para estimación de parámetros.

2. El Método de Gradiente *Conjugado (MGC) para estimación de parámetros.

1 0

Capítulo I I Introducción En cada caso se estiman los parámetros de las funciones de

generación de calor para el Aparato de Placa Caliente con Guarda, a partir

de las temperaturas medidas en la frontera de la Placa Caliente y de la

Guarda, a distintos tiempos y con condiciones de frontera conocidas.

Se utilizarán para esto las mediciones realizadas en el trabajo desarrollado por Xamán (1999). Se analizarán los resultados para ambos

casos y se compararán para decidir qué método presenta la mejor

estimación de los parámetros utilizados en la función de generación de

calor.

Se realizará un análisis de cada uno de los métodos implementados

y sus respectivas soluciones. Por último, los modelos para la

determinación de la generación de calor por el método inverso se validarán

mediante la comparación con la función de generación que se utilizó en el trabajo desarrollado previamente (Xamán, 1999).

- 1.6 PRODUCTOS BENEFICIOS ESPERADOS

Como resultado de este trabajo de tesis se obtiene lo siguiente:

a) Una implantación del método inverso para la obtención de la función de generación de calor a partir de un campo de temperatura en el Aparato de Placa Caliente con Guarda.

b) Un mayor entendimiento de los procesos relacionados con la determinación de la conductividad térmica en el Aparato de Placa Caliente con Guarda.

1.7 DESARROLU) DE LA TESIS

En el siguiente capítulo se presentarán algunos conceptos generales sobre la solución de problemas inversos en conducción de calor. Posteriormente, se realizará la descripción del problema directo, su planteamiento y solución. En los capítulos subsiguientes se desarrollará

1 1

Capitulo I I Introducción

paso a paso la aplicación de los métodos de solución en la determinación

de los parámetros de la función de generación de calor (MLM y MGC). En

el Capítulo 5 se analizarán los resultados obtenidos con cada método.

Por Último, se presentan las conclusiones pertinentes en vista de

los resultados obtenidos y se plantearán algunos detalles a tener en

cuenta en futuras investigaciones, basados en los métodos de solución del

problema inverso en el Aparato de Placa Caliente con Guarda.

12

- 2.1 DESCRIPCI~N DEL APARATO -- DE h Estudios sobre la determinación de la conductividad térmica de

materiales aislantes y de construcción se han incrementado en recientes

anos para un amplio rango de temperaturas debido a que nuevos

materiales son desarrollados y nuevas aplicaciones de los materiales

existentes son encontradas.

Muchos de los métodos comunes para determinar la conductividad

térmica de materiales aislantes y de construcción son basados sobre mediciones en estado permanente en una dimensión.

Existen dos tipos de métodos de estado permanente, absolutos y comparativos. La elección del método depende de factores Interrelacionados (exactitud deseada, rango de temperatura a ser cubierta, clase de espécimen, costo total, fabricación, etc.).

En general el método absoluto e s más exacto que el método

comparativo. Entre los métodos absolutos, el de placa caliente con guarda es el más ampliamente usado y el método más exacto para determinar la conductividad térmica sobre el rango de interés, este método ha sido adoptado por la American Sociew for Testing and Materials como un método estándar (ASTM, 1973).

La estructura básica de la placa caliente con guarda, la cual puede

ser horizontal o vertical, se muestra esquemáticamente en la figura 2.1.

Para cubrir la necesidad que se tiene por conocer los valores de las propiedades termofisicas de los materiales que se emplean en México, principalmente aislantes en edificaciones y en sistemas térmicos, en el Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (Cenidet) se desarrolló un instrumento primario para determinar la conductividad térmica de materiales aislantes de construcción que se fabrican o comercializan comúnmente en el país, este aparato se denomina como

1 4

aparato de placa caliente con guarda APCG-CENIDET (figura 2.2) (Salazar,

1997).

-

I- 4 r Q e Y

I I Figura 2.1. Componentes principales del instrumento para medir la conductividad

térmica de materiales sólidos aislantes.

El objetivo del presente trabajo es estimar la función de generación de calor en la placa caliente y en la guarda del APCG, esto es con la

finalidad de obtener una generación de calor representativa. La función de

tener una guarda en el APCG es el de evitar las pérdidas de calor que pueda tener la placa caliente por el borde, por lo tanto para evitar estas pérdidas se necesita que la guarda tenga la misma temperatura que la placa caliente.

El APCG es un aparato primario que se usa para medir la

resistencia y la conductividad térmica aparente de materiales aislantes. En

la figura 2.1 se muestran las principales características de un APCG. El plato caliente y el plato frío mantienen las condiciones de frontera de temperatura constante en las superficies superior e inferior de la muestra. En el caso ideal, el flujo de calor e s unidimensional a través de la muestra, del plato caliente al plato frío en la dirección z (normal a la superficie de los platos). Bajo estas condiciones, el cálculo de la conductividad térmica

1 5

Capíhlo 2. Conceptos 6eneraIes aparente &, o la resistencia térmica, R,=L/&, se puede determinar a

partir del calor generado en el área de medición del plato caliente Qo, las ~.

temperaturas de los platos calientes y frío, TC y TF, el espesor de la

muestra L, y el área A (Lira, 1997).

2.2 DIFICULTADES E SOLUCI6N DE u>S PROBLEMAS INVERSOS E

TRANSFERENCIA E CALOR

La solución del problema inverso llega a ser muy sensible a los errores de medición de los datos de entrada ya que depende de la posición del sensor y de las oscilaciones. Debido a que la exactitud de la solución obtenida mediante el análisis inverso es afectada por los errores involucrados en las mediciones de temperatura, será instructivo presentar las ocho suposiciones generales propuestas por Beck et al. (1985) respecto a la descripción estadística de tales errores. Los errores deben cumplir lo siguiente: 1. Los errores son aditivos, esto es,

r, =T, + E ,

1 6

donde ? es la temperatura medida, T es la temperatura actual y E, es

el error aleatorio.

2. LOS errores de temperatura E, tienen una media de cero, esto es,

E(&,)= O

donde E(.) es el operador de valor esperado. Se dice que los errores son

neu trales. 3. Los errores tienen una varianza constante, esto es,

a: =E{Y, - ~ ( q ) r } = c r ~ =constante

lo que significa que la varianza de es independiente de la medición.

4. Los errores asociados con mediciones diferentes no están

correlacionados. Dos errores de medición E, y E, donde i f J , no están

correlacionados si la covarianza de E, y es cero, esto es,

~ V ( ~ , E ~ ) = E [ E , - E ( E ~ ) J ) = o para i # j

tal es el caso si los errores E, y si no tienen efecto en o no se

relacionan con el otro. 5 . Los errores de medición tienen una distribución normal (gaussiana). Al

tomar en consideración las suposiciones 2, 3 y 4 de arriba, la función

de distribución de probabilidad de E, está dada por:

6. Los parámetros estadísticos que describen a E , , tal como cr, son

conocidos. 7. Las únicas variables que contienen errores aleatonos son las

mediciones de temperatura. Los tiempos y posiciones medidos, las dimensiones del cuerpo calentado y toda otra cantidad que aparece en la formulación del problema inverso son todas conocidas.

8. No existe información a priori respecto a las cantidades a ser estimadas, las cuales pueden ser parámetros o funciones. Si tal

1 7

S m e h úen~-&5

información existe, puede utilizarse para obtener estimaciones

mejoradas.

Las ocho suposiciones anteriores se aplican pocas veces en los

experimentos reales. Tal es el caso si las magnitudes de los errores de

medición son considerablemente desiguales, o si las desviaciones estándar

o, son también diferentes.

Generalmente, los problemas inversos se resuelven minimizando

una función objetivo con dgÚn método de estabilización utilizada en el

procedimiento de estimación. Si todas las ocho suposiciones estadísticas

son válidas, la finción objetivo, S, que provee la mínima variación de la

estimación es la norma ordinaria de mínimos cuadrados (Beck y Arnold, 1977) (por ejemplo, la suma de los residuos cuadrados) definida como

s =(Y - T ~ ( Y - T)

donde Y y T son los vectores que contienen las temperaturas medidas y las estimadas, respectivamente, y el superindice T indica que es la

transpuesta del vector. Las temperaturas estimadas se obtienen de la solución del problema directo con las estimaciones de las cantidades

desconocidas. Se consideran los siguientes tres casos particulares:

a. Cuando en el análisis inverso se utilizan las lecturas transitorias de

un único sensor tomadas en los tiempos z i , i = 1,. ..,I, la transpuesta del

vector de los residuos, (Y - TY , está dada por

I

I I

i

I ~

I

!

!

!

!

(2.2.1) !

!

! I

!

i

y la norma de mínimos cuadrados, ecuación (2.2.1), puede escribirse

como

(2.2.2.a)

I

s =(Y - T ~ ( Y - T ) = ~ ( K -T? i=l

i a

(2.2.2.b)

Capitulo 2. conceptos Generales

b. Cuando en el análisis inverso se utilizan las lecturas transitorias de múltiples sensores, la transpuesta del vector de los residuos está dada

Por

donde, para el tiempo t i , (r - $) es un vector columna de longitud igual

al número de sensores, M , esto es,

(< - q ) = (rl - TI, q2 - K 2 , .. ., YM - T M )

(2.2.3.a)

(2.2.3.b)

en la ecuación (2.2.3.b), el primer subíndice se refiere al tiempo 1, y el

segundo se refiere al número de sensor. Así, la norma ordinaria de mínimos cuadrados, ecuación (2.2.1), puede escribirse como

M I

s = (Y - TY (Y - T) = C C ( K ~ - qJ (2.2.3.c) m=l ,=I

c. Si los valores de las desviaciones estándar de las mediciones son

bastante diferentes, el método ordinario de mínimos cuadrados no

tenderá a un estimado mínimo de la variarmi. En tal caso, la función

objetivo está dada por la mrma ponderada de mínimos cuadrados, S, , definida como

s, = ( Y - T ~ w ( Y - T )

donde W es una matriz diagonal pondemda. Tal matriz se toma

comúnmente como la inversa de la matriz de covarianza de los errores de medición, en los casos donde las otras hipótesis estadísticas sean válidas. Suponiendo que están disponibles las mediciones de un único sensor, la matriz ponderada W está dada entonces por:

W =

(2.2.4)

(2.2.5)

1 9

____l_ Capítulo 2. C m & Ge~raies

y S, dada por la ecuación (2.2.4) puede escribirse en forma expiicita

como:

donde a, es la desviación estándar de la medición r; al tiempo r, . Similarmente, para casos que envuelven M sensores, la ecuación (2.2.4) puede escribirse como

donde a,, es la desviación estándar de la medición qm del sensor m al

tiempo 1, .

Si el problema inverso de transferencia de calor involucra

solamente la estimación de unos cuantos parámetros desconocidos, tales

como la estimación de un valor de la conductividad térmica a partir de las mediciones transitorias de temperatura en un sólido, el uso de la norma ordinaria de mhimos cuadrados dada por las ecuaciones (2.2.2.b) o (2.2.3.c) puede ser estable. Sin embargo, si el problema inverso involucra la estimación de un gran número de parámetros, tales como la recuperación de los componentes desconocidos de flujo de calor transitorio

/ @ , ) = A en los tiempos t , , i=1 , ..., I , pueden ocurrir oscilaciones y

desviaciones en la solución. Un método para reducir tales inestabilidades

es usar el procedimiento llamado regu2arización de TXkhonov (Tikhonov y Arsenin, 1977), el cual modifica la norma de mínimos cuadrados al aumentarle un término tal que

(2.2.6.a)

(2.2.6.b)

(2.2.7)

donde a"(>O) es el parámetro de regularización y la segunda suma de la

derecha es el término de regularización de orden cero en el dominio

20

completo. En la ecuación (2.2.7), f ; es el flujo de calor al tiempo t i , el cual

se supone constante en el intervalo (ti -%)<t <(ti t?), donde At es el

intervalo de tiempo entre dos mediciones consecutivas. Los valores

elegidos para el parámetro de regularízación a' influyen en la estabilidad

de la solución conforme la minimización de la ecuación (2.2.7) se realiza.

Conforme a* -+O la solución puede mostrar un comportamiento oscilatorio

y convertirse en inestable, debido a que la sumatoria de los términos de 1;'

podría alcanzar valores grandes y las temperaturas estimadas tienden a ser del mismo orden de las temperaturas medidas. Por el otro lado, con

valores grandes de a* la solución se amortigua y se desvía del resultado

exacto.

El procedimiento de regularización de primer orden en dominio

completo para un sensor único, involucra la minimización modificada de la siguiente norma de mínimos cuadrados:

> = I *=I

Cuando a'+O, se obtienen valores del mismo orden entre las

temperaturas medidas y las temperaturas estimadas conforme se realiza la

minimización de Sb(t)] y la solución del problema inverso se convierte en

inestable. Para valores grandes de a*, la segunda sumatoría en la

ecuación (2.2.8) es dominante, los componentes de flujo de calor 1;

tienden a convertirse en constantes para z=i,2, ..., I , esto es, la primera

derivada de f ( t ) tiende a cero y la solución del problema inverso se relaja.

Las inestabilidades en la solución pueden relajarse mediante la

selección adecuada del valor de a'. Tikhonov y Arsenin (1977) sugirieron

que a' debería seleccionarse de tal forma que el valor mínimo de la

función objetivo fuera igual a la suma de los cuadrados de los errores

CENIDET 2 1

(2.2.8)

esperados para las mediciones. Afortunadamente, en muchos casos puede

usarse un rango relativamente amplio de valores para a’.

El método de regularización descrito arriba puede relacionarse a los métodos amortiguados de mínimos cuadrados (Beck y Arnold, 1977; Beck

et al., 1985), tal como el debido a Levenberg y a Marquardt, llamado

“Método de Leuenberg-Marquardt”. Este método iterativo para la estimación

de parámetros no lineales ha sido aplicado a la solución de varios

problemas inversos de transferencia de calor.

Un método alternativo para el esquema de regularización descrito

arriba es el uso de los Métodos de Regularización Remtiua de Alifanov (1994). En estos métodos, el número de iteración juega el papel del

parámetro de regularización a. y el criterio de convergencia se elige de

modo que se obtengan soluciones razonablemente estables. Por lo tanto,

no hay necesidad de modificar la función objetivo original, contrario al método de Tikhonov. El método de regularización iterativa es g e n e d y puede ser aplicada a ambas estimaciones, de pa rhe t ro s y de funciones, así como a problemas inversos lineales y no l i ndes .

- 2.3 CLASIFICACI~N DE LOS PROBLEBIAS INVERSOS pg TRANSFERENCIA DE - CALOR

La mayoría de los trabajos sobre la solución de PITC-s tienen que ver con la conducción de calor en geometrías unidimensionales. La aplicación de los métodos de análisis inverso a problemas multidimensionales, así como a problemas que involucran convección y radiación, es más reciente.

Los problemas inversos de transferencia de calor pueden clasificarse de acuerdo con la naturaleza del proceso de transferencia de calor, como:

Conducción.

Convección (forzada o natural).

Radiación superficial.

Conducción y radiación simultáneas. Conducción y convección simultáneas.

Radiación con la participación de algún medio.

Cambio de fase (fundición o solidificación).

Otra clasificación basada en el tipo de característica causal a ser

estimada es: Condiciones de frontera.

Propiedades termofisicas.

Condición inicial.

Término fuente.

Caractensticas geométricas de un cuerpo calentado.

Los problemas inversos de transferencia de calor pueden ser en

una, dos o tres dimensiones. También pueden ser lineales o no lineales.

Los siguientes dos capítulos se enfocarán a la aplicación del método

de Levenberg-Marquardt para estimación de parámetros y en el método de Alifanov de regularización iterativa para estimación de parámetros, el

método del Gradiente Conjugado, para la estimación de la función de generación de calor en el APCG. Estos métodos son estables, poderosos y directos y pueden aplicarse a la solución de una gran variedad de problemas inversos de transferencia de calor (Ozisik y Orlande, 2000). Estos métodos cumplen con la mayoría de los criterios mencionados en esta sección, relativos a la evaluación de los procedimientos de solución de problemas inversos.

23

_. 3.1 ~NTRODUCCI~N

El método de Levenberg-Marquardt (MLM) es un método iterativo para resolver problemas no lineales de estimación de pa-ámetros por

mínimos cuadrados. La técnica fue derivada primero por Levenberg modificando la norma ordinaria de mínimos cuadrados. Más tarde,

Marquardt derivó básicamente la misma técnica mediante una estrategia

diferente. La intención de Marquardt fue obtener un método que tendiera al método de Gauss en la vecindad del mínimo de la norma ordinaria de mínimos cuadrados y que tendiera al método del descenso infinito en la

proximidad de la consideración inicial. El Método de Levenberg-Marquardt ha sido aplicado (Beck y Arnold en 1977; Beck et al. en 1985; Ozisik en

1993) a la solución de una variedad de problemas inversos que involucran la estimación de parámetros desconocidos.

La técnica es eficiente para resolver problemas lineales y no lineales

de estimación de parámetros. Sin embargo, pueden surgir dificultades en los problemas no lineales de estimación que involucran un gran número de parámetros desconocidos, debido al tiempo consumido en el cálculo de

la matriz de sensibilidad.

El MLM, originalmente disefiado para la aplicación a problemas no lineales de estimación de parámetros, también ha sido aplicado exitosamente a la solución de problemas lineales que son mal planteados y no permiten la aplicación de algoritmos lineales.

L a solución de problemas inversos de transferencia de calor con el MLM puede ordenarse apropiadamente en los siguientes pasos básicos:

Problema Directo

Problema Inverso

Procedimiento Iterativo

b Criterio de Convergencia

Algoritmo Cornputacional

A continuación se muestran los detalles de cada uno de estos pasos conforme se aplican a la solución de un problema inverso de conducción de calor, involucrando la siguiente situación fisica:

Se tiene un APCG para medir la conductividad térmica en materiales de prueba. La placa caliente del APCG se calienta con una

resistencia posicionada en rpc = 0.0538 m, la placa caliente se encuentra a

una temperatura inicial T, =302.38 K para un tiempo t = O s, para un

tiempo t > O la frontera de la placa caliente en r = b = 0.0762 m disipa calor

por convección a un medio a temperatura Ta =302.38 K. La guarda del

APCG se calienta con una resistencia posicionada en ro =0.0983 m, la

guarda se encuentra a una temperatura inicial T, =300.39 K para un

tiempo t = O s, para un tiempo t > O las fronteras de la guarda en

r = b = 0.0762 m y r = d = O. 1524 m disipan calor por convección a un medio

a temperatura To =300.39 K. Los diagramas de la placa caliente y de la

guarda se muestran en las figuras 3.1. De aquí en adelante, las ecuaciones y figuras referentes a la placa caliente llevarán al final las letras PC y las de la guarda G, análogamente, los subindices se indicarán con las mismas letras. Por el contrario, si no se indica ninguna de estas, quiere decir que

las expresiones y figuras son válidas tanto para la PC como para la G.

26

27

C ~ í t u i o 5, Aplicación del Método de Levenberq-Maqua.&

- 3.2 PROBLEMA DIRECTO

La formulación matemática del problema directo de conducción de

calor está dada por las siguientes ecuaciones:

Placa Caliente

r = b , t > O i3T 8r

k- t hT = hT,

T = T , O l r l b , t = O

Guarda

3T i3r

- k- + hT = hT,

8T i3r

k- t hT = hT,

T = T ,

r = b , t > O

r = d , t > O

b s r l d , t = O

La solución para el problema anterior se presenta en el Apéndice A

(ecuaciones A.1.21 y A.3.21), en el cual la solución analítica obtenida se expresa como:

(3.2.1.PC)

(3.2.1.G)

(3.2.2.PC)

za

donde

b2 N = - 2

(3.2.2.G)

(3.2.3.a.PC)

(3.2.3.a.G)

Ro @> r ) = J o elk) (3.2.4.b.PC)

(3.2.4.b.G)

Posteriormente, se muestra el resultado de la integral que involucra el término de generación de calor.

3.3 PROBLEMA ~IWERSO

Para el problema inverso considerado de interés aquí, el término de generación de calor gp( i ) variable en el tiempo es el que se considera

desconocido. Para su estimación se utiliza la información obtenida mediante mediciones de temperatura transitoria tomadas en la posición

r = r,, , en los tiempos ti , i = 1,2 ,..., I .

Para la solución del presente problema inverso, se considera la función desconocida de generación de calor gp( i ) parametrizada en la

Capítulo 3. Aplicac~h del Método de Levenberq-Maquardt

siguiente forma lineal:

g, (4 = cp,cj (4 N

(3.3.1.a) ]=I

aquí, PI son los parámetros desconocidos y C j ( t ) son funciones de prueba

conocidas (por ejemplo, polinomiales, de B-splines, etc.). Además, el número total de parámetros, N , se especifica.

Para este trabajo se considera una aproximación polinomiai con 5 parámetros, la cual se expresa como:

g p ( f ) = p, + Pz' + < f Z + P4" + P5f4 (3.3.1 .b)

El problema dado por las ecuaciones (3.2.1) con g,(t) desconocido,

aunque parametrizada como se muestra en la ecuación (3.3.1), es un

problema inverso de conducción de calor en el cual los coeficientes P, van

a ser estimados. La solución de este problema inverso de conducción de

calor para la estimación de los N parámetros desconocidos P I ,

j = 42,. . ., N , se basa en la minimización de la n o m ordinaria de mínimos

cuadrados dada por (ver ecuación 2.2.2.b):

donde

S p' = [G P, ... f " ] = Vector de parámetros desconocidos T(P) T(P , t , ) = Temperatura estimada al tiempo 1,

x = Y @ , ) = Temperatura medida al tiempo 1,

N = Número total de parámetros desconocidos I = Número total de mediciones, donde I > N

= Suma de los cuadrados de la función objetivo o error

(3.3.2. a)

30

Caohlo 5. Aolicziái del Método de Levenbera-Ma-mardt

Las temperaturas estimadas T(P) son obtenidas a partir de la

solución del problema directo en la posición de medición, rmcd, usando el

estimado actual de los parámetros desconocidos P, , j = 42, ..., N .

La ecuación (3.3.2.a) puede escribirse en forma matricial como (ver ecuación 2.2.1):

S(P) = [Y - T(P)r [Y - T(P)] (3.3.2.b)

donde el superíndice T indica la transpuesta y [Y -T(P)p se define como:

[Y -T(P)r -[Y, -7', Y, -T2 ... $ -T,] (3.3.3)

- 3.4 PROCEDIMIENTO ITERATWO Para minimizar la norma de mínimos cuadrados dada por las

ecuaciones (3.3.2), se necesita igualar a cero las derivadas de S(P) con

respecto a cada uno de los parámetros desconocidos [P, P2 ... PN], esto

es:

'Tal condición, es necesaria para la minimización de S(P), la cuál

puede representarse en notación matricial igualando a cero el gradiente de

S(P) con respecto al vector de parámetros P , esto es:

VS(P)=2 -a [Y-T(P)]=O [ .PI

(3.4.i.a)

(3.4.1.b)

donde

3 1

r a 1.

(3.4.2)

La matriz Jacobians o de Sensibilidad, J(P), se define como la

transpuesta de la ecuación (3.4.2), esto es:

JW=[ @(P) ap ] En forma explicita, la matriz de sensibilidad se escribe como:

JW=[ óTT(P) ap ] =

donde

N I

Los elementos de la matriz de sensibilidad se llaman Coeficientes de Sensibilidad. Por lo tanto, el coeficiente de sensibilidad J , es definido

como la primera derivada de la temperatura estimada al tiempo f, con

respecto al parámetro P, , esto es:

= Número total de parámetros desconocidos = Número total de mediciones

(3.4.3.a)

(3.4.3.b)

a7; 'I ap,

J . . =- (3.4.3.c)

Usando la definición de la matriz de sensibilidad dada por la ecuación (3.4.3.a), la ecuación (3.4.1.b) se convierte en

- 25 ( P l y - T(P)] = O (3.4.4)

En los problemas inversos lineales la matriz de sensibilidad no es

una función de los parámetros desconocidos. En tal caso, la ecuación (3.4.4) puede resolverse en forma explicita para el vector de parámetros

desconocidos P como (Beck y Arnold, 1977):

P = (J~J)-' JTY (3.4.5)

En el caso de un problema inverso TU) lineal, la matriz de sensibilidad tiene alguna dependencia funcional sobre el vector de parámetros desconocidos P . La solución de la ecuación (3.4.4) para problemas de estimación no lineales requiere entonces un procedimiento iterativo, el cual se obtiene linealizando el vector de las temperaturas

estimadas, T(P), con un desarrollo en series de Taylor alrededor de la

solución actual P' en la iteración k . Tal linealización está dada por

T(P) = T ( P ~ ) + J~ (P - P*) (3.4.6)

donde T(Pk) y J k son las temperaturas estimadas y la matriz de

sensibilidad evaluadas en la iteración k , respectivamente. La ecuación

(3.4.6) se sustituye en la ecuación (3.4.4) y la expresión resultante se reacomoda para obtener el vector de parámetros desconocidos P (Beck y Arnold, 1977):

P'" = P' +[(Jkr J* ]'(J'T [Y - T(Pk)] (3.4.7)

La ecuación anterior es resuelta en forma iterativa, este procedimiento es conocido como el método de Gauss. Tal método es una aproximación del método de Newton (o de Newton-Raphson).

33

Se aprecia que la ecuación (3.4.5), así como la implementación del procedimiento iterativo necesario de la ecuación (3.4.7), necesitan que la

matriz J ~ J no sea singular, o

donde I.1 es el determinante.

La ecuación (3.4.8) es conocida como la Condición de Confiabilidad,

esto es, si el determinante de JTJ es cero, o incluso muy pequeiío, los

parámetros P,, para j = i , ..., N , no se pueden determinar usando el

procedimiento iterativo de la ecuación (3.4.7).

Los problemas que satisfacen (JTJIi-O se denominan mal

planteados. Los problemas inversos de transferencia de calor son generalmente mal planteados, especialmente cerca de la suposición inicial usada para los parámetros desconocidos, creando dificultades en la aplicación de las ecuaciones (3.4.5) o (3.4.7). El MLM permite sobrellevar las dificultades mencionadas previamente utilizando un procedimiento iterativo en la forma:

P '+' = P' + [(J' Jk + pkO' ]' (J' [U - T(P' )] donde

p' es un escalar positivo llamado parámetm de amortiguamiento, y f ik es una matriz diagonal.

El propósito del término matricial ,u*R*, incluido en la ecuación

(3.4.9), es amortiguar las oscilaciones y las inestabilidades debidas al carácter mal planteado del problema, haciendo sus componentes grandes en comparación con los componentes de J T J . El parámetro de amortiguamiento se hace grande al comienzo de las iteraciones, debido a que el problema es por lo general mal planteado en la región alrededor de

34

(3.4.8)

(3.4.9)

C+tulo 3. ~ l i c x i ó n del Método de Leverberq-Mirquardt - -~ la suposición inicial utilizada para el procedimiento iterativo, la cual puede estar bastante alejada de los parámetros exactos. Con tal estrategia, no se

necesita que la matriz J'J no sea singular en el comienzo de las

iteraciones y el MLM tiende al Método de Descenso Infinito, esto es, se toma un intervalo demasiado pequeño en la dirección negativa del gradiente. El

parámetro ,u' se reduce entonces gradualmente conforme el procedimiento

de iteración avanza hacia la solución del problema de estimación de parámetros y entonces el MLM tiende al Método de Gauss dado por la

ecuación (3.4.7) (Beck y Arnold, 1977).

- 3.5 CRITERIO CONVERGENCIA

El siguiente criterio fue sugerido por Dennis y Schnabel(l983) para detener el procedimiento iterativo del MLM dado por la ecuación (3.4.9):

(3.5.1 .a)

(3.5.1. b)

(iii) I/P'+' - P * I ~ < z3 (3.5.l.c)

donde E , , E* y z3 son tolerancias prescritas por el usuario y (I.l( es la norma

vectorial euclideana, esto es, nxii= (xrx)' , donde el superíndice T simboliza

la transpuesta.

El criterio dado por la ecuación (3.5.1.a) prueba si la norma de mínimos cuadrados es lo suficientemente pequena, lo que se espera suceda en la vecindad de la solución del problema. Similarmente, la ecuación (3.5.1.b) verifica si la norma del gradiente de S(P) es lo

suficientemente pequeño, debido a que se espera que se desvanezca en el punto donde S(P) es mínimo. Aunque tal condición de que el gradiente se

desvanezca también es válida para los máximos y los puntos de inflexión

de S(P), es muy dificil que el MLM converja hacia tales puntos. El último

criterio dado por la ecuación (3.5.l.c) resulta del hecho de que los cambios 35

Capítulo 3. Apliaión del Método de Leve&rq-Ma-quar&

en el vector de parámetros son muy pequeños cuando el método ha convergido. El uso de un criterio de convergencia basado en los pequeños

cambios de la norma de mínimos cuadrados S(P) podna usarse también

(Beck y Arnold, 1977; Dennis y Schnabel, 1983).

- 3.6 ALGORITMO COMPUTACIOHAL Se pueden encontrar diferentes versiones del MLM en la literatura,

dependiendo de la elección de la matriz diagonal Cl y de la forma elegida

para la variación del parámetro de amortiguamiento p'. En esta tesis se utilizará un procedimiento (Ozisik y Orlande, 2000) con la matriz diagonal

f i k tomada como

f i k = dlag[(~k J' J (3.6.1)

Se considera que las mediciones de temperatura Y = (q ,Y2 , ...,<) están dadas en los tiempos t , , #=], . . . , I . También, se considera

inicialmente Po para el vector de parámetros desconocidos P. Se elige un

valor (Ozisik y Orlande, 2000) para pa (0.00 1) y k = O . Entonces:

Paso 1. Resolver el problema directo de conducción de calor dado

por las ecuaciones (3.2.1) con la estimación disponible de P' para obtener

el vector temperatura T(P')=(~; T, ... T ) . El desarrollo de la solución para el problema directo se presenta en

el Apéndice A y son dadas por las ecuaciones (A.2.3 y A.4.2) las cuales se transcriben como:

36

(3.6.2.PC)

(3.6.2.G)

donde

37

b2 h Z + p 2 k 2 “=y[ p 2 k 2 ].1o@b) (3.6.3.a.PC)

(3.6.3.a.G)

(3.6.4.b.PC)

(3.6.4.b.G)

Paso 2. Calcular S(Px) mediante la ecuación (3.3.2.b).

S(P) = [Y - T(P)]T [Y - T(P)] (3.6.5)

Paso 3. Calcular la matriz de sensibilidad J’ definida por la

ecuación (3.4.3.a) y entonces la matriz IZR dada por la ecuación (3.6.1)

usando los valores actuales de P” La matriz de sensibilidad se obtuvo en el Apéndice B.

(3.6.6.a)

38

f l k =dzag[JkJJk]

Paso 4. Resolver el siguiente sistema lineal de ecuaciones algebraicas, obtenido mediante el procedimiento iterativo del MLM,

ecuación (3.4.9):

(3.6.7)

pa'' = Pk + [(J* Jk +,ukQZr ]'(.Jkr [Y - T(P')] (3.6.8.a)

[J*JJ' +,u"Q'bP' =(JkT[Y-T(Pk)]

para calcular APk = Pk+' - Pk .

(3.6.8.b)

Paso 5. Calcular la nueva estimación P'+' como

pk+' = p' + APk

Paso 6. Resolver el problema directo (3.2.1) con la nueva

estimación Pk+' para encontrar T(P"'I). Entonces, calcular S(P*+'), como se

definió en la ecuación (3.6.4).

(3.6.9)

39

+ 1. Calcular APk resolviendo

Sustituir p' por 0 .1p~

I I

Sus ituir R por X+1

Calcular [I Sustituir

40

Capítulo 3. Apliaiái del Método de Leve&rq-Maquxdt

Paso 7. Si S(P"")>S(P'), sustituir p' por lop' (Ozisik y Orlande,

2000) y regresar ai paso 4.

Paso 8. Si S(P'")<S(P*), aceptar la nueva estimación P"'l y

sustituir p' por 0 . 1 ~ ~ (Ozisik y Orlande, 2000).

Paso 9. Verificar el criterio de convergencia dado por las ecuaciones (3.5.I.a-c), detener el procedimiento iterativo si se satisface alguno de ellos; en caso contrario sustituir k por k +1 y regresar al paso 3.

El diagrama de flujo del método de Levenberg-Marquardt está

representado en la figura 3.2.

Los resultados obtenidos mediante este método se anaiizarán en el

Capítulo 5 en comparación con el método del gradiente conjugado y la solución teórica obtenida por Xamán (1999).

El código con el cual se obtuvieron los resultados se presenta en el

Apéndice C.

A continuación se desarrollará el método del Gradiente Conjugado.

4 1

- 4.1 ~NTRODUCCI~N

El método del Gradiente Conjugado (MGC) es una técnica iterativa directa para resolver problemas inversos lineales y no lineales de estimación de parámetros. En el procedimiento iterativo del MGC, en cada iteraciónpe toma un tamaño de intervalo ajustable a lo largo de la dirección'de descenso para minimizar la función objetivo. L a dirección de

descenso se obtiene como una combinación lineal de la dirección negativa

del gradiente en la iteración actual con la dirección de descenso de la iteración previa. La combinación lineal e s tal que el ángulo resultante entre la dirección de descenso y la dirección negativa del gradiente sea menor que 90' y se asegure la minimización de la función objetivo. El MGC

con un criterio de convergencia apropiado pertenece a la clase de técnicas de regularización iterativas, en las cuales el número de iteraciones se elige

de modo que se obtengan soluciones estables para el problema inverso.

$

De modo similar al MLM, la aplicación del MGC a problemas inversos de transferencia de calor de estimación de parámetros puede organizarse en forma conveniente en los siguientes pasos:

Problema Directo

Problema Inverso

Procedimiento Iterativo

Criterio de Convergencia

Algoritmo Computacional A continuación se presentan los detalles de cada uno de estos

pasos conforme se aplican a la solución de un problema inverso de conducción de calor, involucrando la misma situación fisica que en el MLM.

4.2 PROBLEMA DIRECTO

Nuevamente, la formulación matemática de este problema de conducción de calor está dada por las siguientes ecuaciones:

43

Cqítulo 4. Apl ia ión del Método del liradiente Conjuqada

Placa Caliente

l?T dr

k - + h T = h T , r = b , i > O

T = T , O s r l b , t = O

Guarda

dT dr

k - + h T = h T a

T = T ,

r = d , t > O

b < r < d , / = O

La solución para dicho problema se obtuvo en el Apéndice A como:

(4.2.1.PC)

(4.2.1 .G)

(4.2.2.PC)

44

T(r, t ) = hd . To p2kN ___. &@r)- &@). e-na"

donde /? se obtiene del siguiente problema de valor propio:

/ ? 4 @ b ) - W m = 0

y además

(4.2.2.G)

(4.2.3.PC)

(4.2.3.G)

(4.2.4.a.PC)

(4.2.4.a.G)

(4.2.4.b.G)

La integral que involucra el término de generación de calor ha quedado pendiente para el algoritmo computacional.

4.3 PROBLEMA INVERSO Para el problema inverso de interés en el presente proyecto, el

término de generación de calor g,(t) variable en el tiempo se deja como

desconocido y se considera que están disponibles para el análisis las 45

mediciones de temperatura transitoria tomadas en la posición r = r,,<, , en

los tiempos ti , i = i,2,.. . , I .

Para la solución de tal problema inverso, se supone la función desconocida de generación de calor g,(t) parametrizada en la siguiente

forma lined:

(4.3.1)

La estimación de la función desconocida g, ( f ) se reduce entonces a la

estimación de los N parámetros desconocidos P, , j = 1,2, ..., A'. Tal

problema de estimación de parámetros se resuelve mediante la minimización de la norma ordinaria de mínimos cuadrados:

S(P) = [Y - T(P)r [Y - T(P)] (4.3.2)

En este caso para la función de generación de calor, se tiene una aproximación polinomial con 5 parámetros, la cual se expresa como:

g , ( t )= t +f, . t + P , . t * +f, . t '+P, - t 4 (4.3.3)

4.4 PROCEDIMIENTO ITERATIVO El procedimiento iterativo del MGC para la minimización de la

norma S(P) está dado por

pk+' = P k - pkdk (4.4.1)

donde p k es el tamaño de incremento buscado, dk es la dirección de

descenso y el superíndice k es el número de las iteraciones. La dirección

de descenso es una combinación de la dirección del gradiente, VS(Pk), y la

dirección de descenso de la iteración previa, dk-'. Está dada como:

dk =VS(P')+y'd" (4.4.2)

46

Existen diferentes expresiones (Alifanov, 1994) para el coeficiente

de combinación y k . Una de ellas es la expresión de Polak-Ribiere, la cuál

está dada en la forma:

Y k = para k = 1,2,. . , ,=I

con yo = O para k = O

otra expresión es la de Fletcher-Reeves, dada como:

Y k = N=’ c [vs(pk-I)I. i=l

con yo = O

para k = 1,2,. . .

para k = O

(4.4.3.a)

(4.4.3.b)

Aquí, lVS(Pk))l es E - n’mo componente de la d i reccn del gradiente

evaluado en la iteración k . La expresión para la dirección del gradiente se obtiene derivando la ecuación (4.3.2) con respecto a los parámetros desconocidos P , esto es:

Vs(Pk)=-2(Jkr[Y -T(P”)] (4.4.4.a)

Donde Jk es la matriz de sensibilidad definida mediante la

ecuación (3.4.3.a). El j-ésimo componente de la dirección del gradiente puede obtenerse en forma explícita como:

para j = l , ..., If

Cualquiera de las dos expresiones (4.4.3) para el cálculo del

coeficiente de combinación y’ asegura que el ángulo entre la dirección de

descenso y la dirección negativa del gradiente sea menor de go”, de modo que la función S(P) se minimiza. Ambas son equivalentes en problemas

47

(4.4.4.b)

lineales de estimación, pero hay alguna evidencia de que la expresión de Polak-Ribiere provee una mejor convergencia en los problemas no lineales de estimación (Press et al., 1992).

Se aprecia que si y' = O para todas las k iteraciones, la dirección de

descenso se convierte en la dirección de gradiente en la ecuación (4.4.2) y se obtiene el método del descenso infinito. Aunque más simple, el método del descenso infinito no converge tan rápido como el MGC.

El tamaiio de incremento buscado p k que aparece en la ecuación

(4.4.1) se obtiene minimizando la función S(Pk+') con respecto a a" esto

es:

min S(Pk")= mjn [Y - T(PC+')r [Y - T(Pk")] P'

(4.4.S.a)

Sustituyendo Pk+' como se da en la ecuación (4.4.1) en la ecuación (4.4.5), se obtiene:

minS(Pk+")=n$n[Y P> -T(Pk -/3*dk)r[Y -T(Pk - P k d k ) ] (4.4.5.b)

lo cual puede escribirse, para los casos que involucran un solo sensor, como

I

rninS(P"')=mjn~[Y,-T(P' -/3'dk)P p' i=l

donde I es el número de mediciones.

Para linealizar el término T,(Pk-pkdk), se usa una expansión en

series de Taylor en la forma:

(4.4.S.c)

(4.4.6.a)

o, en forma vectorial: 48

donde

Al sustituir la ecuación (4.4.6.b) en la ecuación (4.4.5.c) y realizar

la minimización con respecto a p’ , se obtiene la siguiente expresión para

el tamafio de incremento buscado:

también, al usar la definición de la matriz de sensibilidad Jk dada por la

ecuación (3.4.3.a), la expresión para Pk puede escribirse en forma

matricial como:

Después de calcular la matriz de sensibilidad J’ , la dirección del

gradiente VS(P’), el coeficiente de combinación y’ y el tamafio de

incremento buscado p’, el proceso iterativo necesario para la ecuación

(4.4.1) termina hasta que satisfaga un criterio de convergencia basado en el Principio de Discrepam’a descrito en el siguiente apartado. La matriz de sensibilidad puede calcularse usando uno de los métodos descritos en el Apéndice A.

(4.4.6.b)

(4.4.7)

(4.4.8.a)

(4.4.8.b)

49

Capít4h 4 Aplicarión del Mitodo del 6radiet-k Conjugado

4.5 CRITERIO E CONVERGENCIA

El procedimiento iterativo necesario para las ecuaciones (4.4.1-

4.4.3), con el tamaño de incremento buscado pk dado por la ecuación

(4.4.8.b), no hace estable al MGC como para minimizar la función objetivo (4.3.2) y entonces clasificarlo como bien planteado. Tal es el caso debido a los errores aleatorios inherentes en las mediciones de temperaturas.

Conforme las temperaturas estimadas se aproximan a las temperaturas medidas que contienen errores, durante la minimización de la función (4.3.2), pueden aparecer oscilaciones en la solución del problema inverso, resultando en un carácter mal planteado para el problema inverso. Sin

embargo, el MGC se puede convertir en bien planteado si se utiliza el Principio de Discrepancia (Alifanov, 1994) para detener el procedimiento iterativo.

En el principio de discrepancia, el procedimiento iterativo se detiene cuando se satisface el siguiente criterio:

S(Pk+I)< E (4.5.1)

donde el valor de la tolerancia E se escoge de forma que se obtengan

soluciones estables. En este caso, se detiene el procedimiento iterativo cuando los residuos entre las temperaturas medidas y las estimadas son del mismo orden de magnitud que los errores de medición, esto es:

donde a, es la desviación estándar del error de medición al tiempo t i . Para

desviaciones estándar constantes, esto es, o, = a =constante, se puede

obtener el siguiente valor para E sustituyendo la ecuación (4.5.2) en la

ecuación (4.3.2) :

(4.5.2)

50

(4.5.3)

La consideración mencionada arriba para los residuos de temperatura en el principio de discrepancia, también fue usada por

Tikhonov (Alifanov, 1994) para encontrar el parámetro de regularización

Óptimo. Tal procedimiento permite que el MGC tenga un carácter iteratiuo de regulalización Si se considera que las mediciones no contienen errores, la tolerancia E puede elegirse como un número pequeno, debido a que el

valor mínimo esperado para la función objetivo (4.3.2) es cero.

4.6 ALGORITMO COMWTACIONAL Se considera que las mediciones de temperatura Y = (q ,Y2 , ..., Y,)

están dadas en los tiempos t i , i =1, ..., I , y que se tiene disponible el campo

inicial Po para el vector de parámetros desconocidos P. Inicialmente k = O ,

para el inicio del proceso iterativo con los siguientes pasos:

Paso 1. Resolver el problema directo de transferencia de calor

(4.2.1) mediante la estimación disponible de Pk y obtener la distribución

de las temperaturas estimadas T(Pk)=(T,,T2, ...,T,). Del Apéndice A se tiene:

(4.6.1 .PC)

5 1

(4.6.1.G)

Paso 2. Verificar el criterio de convergencia dado por la ecuación (4.5.1). Continuar si no se satisface.

S(P*+')< E (4.6.2)

Paso 3. Calcular la matriz de sensibilidad J* definida mediante la ecuación (3.4.3.a). Esta se obtuvo en el Apéndice B como:

JW=[ mT ap (P) j ' (4.6.3)

(4.6.4.PC)

Paso 4. Determinados J k , Y y T(Pk), calcular la dirección del

gradiente VS(Pk) de la ecuación (4.4.4.a) y posteriormente, el coeficiente de

combinación y' de cualquiera de las ecuaciones (4.4.3.a) o (4.4.3.b):

VS(P')= -2(Jkr [Y -T(Pk)]

Expresión de Polak-Ribiere:

c{vs(Pq [vs(Pk)-vs(Pk-')],} para k=1,2, ... k I = ]

Y =

j='

con yo = 0

Expresión de Fletcher-Reeves:

para k = O

para k = 1,2,.. .

para k = O

(4.6.4.G)

(4.6.5)

(4.6.6.a)

(4.6.6.b)

con yo = 0

53

Capítulo 4. Aplicación del Método del 6radienk Cmjuqado - - - INICIO

Calcular J k

4

VX[PE) y k Calcular

4 Calcular

dk

4

P E 4

Calcular Ph+'

4

Calcular

Sustituir k por k + l

Figura 4.1. Diagrama de Flujo del Método del Gradiente Conjugado.

Paso 5. Calcular la dirección de descenso d' mediante la ecuación (4.4.2) :

d' = VS(P')+y'd'-' (4.6.7)

54

Capítulo 4. Aplicación del Método del Giradiente Conjuqado

Paso 6. Determinados Jk , Y , T(Pk) y d', calcular el tamaño de

incremento buscado p k a partir de la ecuación (4.4.8.b):

[Jkdkr[T(Pk)-Y] [Jkdkr[Jkdk]

[3k = (4.6.8)

Paso 7. Con P', p' y d' , calcular la nueva estimación Pkc' de la

ecuación (4.4.1):

(4.6.9) P k+l =pk-bkdk

Paso 8. Sustituir kpor k + l y regresar al paso 1.

El diagrama de flujo del Método del Gradiente Conjugado está representado en la figura 4.1.

Los resultados obtenidos mediante este método se analizarán en el

capítulo 5 , al compararlos con el método de Levenberg-Marquardt y la

solución teórica obtenida por Xamán (1999).

El código desarrollado para el MGC se presenta en el Apéndice D.

A continuación se presentan los resultados obtenidos con el método de Levenberg-Marquardt y el método del Gradiente Conjugado.

5 5

- capítulo 5 , Adisis de k5ultados - - 5.1 ~NTRODUCCI~N

En este capítulo se presentan los resultados obtenidos con el MLM

y el MGC, se comparan con los reportados por Xamán (1999) y se comparan ambos métodos entre sí. Los resultados experimentales y

teóricos obtenidos por Xamán se muestran en las siguientes figuras:

m o im m 3m nm 5.33 Em

t (min)

Figura 5.1. Distribución de temperatura experimental y anaiítica para la Placa Caliente obtenida por Xamán (1999).

316,

t (min)

Figura 5.2. Distribución de temperatura experimental y anaiítica para la Guarda obtenida por X m á n (1999).

57

Los resultados presentados en las figuras 5.1 y 5.2 correspondieron a una generación de calor de 5 W para la placa caliente y de 3 W para la guarda.

Para obtener los resultados de Xamán (1999) es necesario realizar algunos cálculos que se muestran en las secciones 5.2 y 5.3. También se muestran los resultados experimentales que fueron medidos y se comparan los resultados de los distintos cams contra los resultados del modelo analítico o experimental en los casos que se cuenta con ellos.

- 5.2 FUNCIONES E BESSEL Lo primero que se debe verificar es la implementación de las

funciones de Bessel, debido a que son requeridas para la presente solución de los PITC-s.

Las aproximaciones que se utilizaron para las funciones de Bessel

están basadas en las aproximaciones polinomiales reportadas por Abramowitz y Stegun (1972), las cuales se calculan mediante las siguientes fórmulas:

Para -31rS3

J0(x)=1-2.2499997 (5.2.1)

+ 0.0002100 - +E (3)” Con IEl < 5 x 10-8

58

Jn(x)+0.36746691+0.60559366(~)z -0.74350384(:) 4

X

Con IEJ < 1.4 x 10-8

f, = 0.79788456 - 0.00000077 - 0.00552740 - - 0.00009512 - (2)’ ir)’

Con

Para

f, = 0.79788456 - 0.00000077 - 0.00552740 - - 0.00009512 - (2)’ ir)’ Con 181 < 1 . 6 ~ 1 0 - ~

Bo =x-0.78539816-0.04166397

181 < 7 x

Con 181 < 1 . 6 ~ 1 0 - ~

Bo =x-0.78539816-0.04166397

181 < 7 x

- 3 5 x 1 3

Con JEJ < 1.3 x 1 o-8 59

(5.2.2)

(5.2.3)

(5.2.4)

Para 0 < x í 3

J,(x)-0.6366198+0.2212091

(5.2.5) n

Con 1&1<1 .1Xlo - ’

Para 3 l X < o o

J , (x) = x- ’ j , cose, , Y, (x) = sin e,

J ; =0.79788456+0.0000015

Con bI< 4 x IO-*

8, = x-2.35619449+0.1249961

+ 0.00074348 - + (I)’ Con I E ~ < 9 x i0”

(5.2.6)

El código utilizado para generar las funciones de Bessel se presenta en el apéndice E. La gráfíca obtenida es la siguiente:

60

c. . "1 . . ~ ...._

Figura 5.3. Funciones de BeSSel: Jo(x), JI(x), Yo(x) y YI(x) obtenidas mediante la aproximación poiinomid de Abramowitz y Stegun (1972).

Las curvas presentadas en la figura 5.3 son cualitativamente similares a las gráíkas reportadas por Abmowitz y Stegun (1972) y azisik (1993).

5.3 OBTENCIÓN DE LOS VALORES PROPIOS DE LOS PROBLEMAS

AUXILIARES &J - Al resolver los problemas directos para la placa caliente y para la

guarda se ha planteado el problema auxiliar de valor propio para cada uno de ellos, donde se necesitan encontrar dichos vaiores propios. La ecuación de valores propios para la placa caliente se presenta en el apéndice A

(ecuación A. 1.10) como:

P 4 @b)-hJ, @b) = 0 (5.3.1)

Análogamente para la guarda está dada por (ver apéndice A):

(5.3.2)

6 1

CqÍtulo 5, M i s i 5 de k5uKados

para cada caso se obtuvieron mediante los códigos

mostrados en el apéndice E. Las gráficas resultantes se muestran a continuación, principiando por la Placa Caliente.

- ~~

Los valores de

Raíz B E m r absoluto 1 1.34 1228027143299 2.4869~10-’4

2 50.30276271525698 3.7570~ 10-12

3 92.0778483039 1088 5.0449~ 10-12

-

a

Figura 5.4. Función propia para la Placa Caliente.

De acuerdo con el análisis realizado por Xamán (1999), el utilizar dos o más raíces no contribuye significativamente a la solución del

problema, tanto para la placa caliente como para la guarda.

4 I 133.5168259445141 I 6.0625~ 10-11 5 I 174.8567506543733 I 6.9327~ 10-’1

6 I 216.1541671630886 I 9.2461~10-1’ 7 I 257.4294633721200 I 1.oo88X10-~0

I 8 I 298.6917869989557 I 1.0865~10-10 I I 9 I 339.9458531355057 I 7.7270~10-” I I 10 I 381.1943388896752 I 1.2272~ 10-10 I

62

Cqítulo 5. hdi515 de kesultados

La figura 5.5 presenta las curvas para la función propia de la

--- - - Guarda.

Raíz 1 2 3

In 50

B Error absoluto 1.341493885958581 4.3077~ 10-14 4 1.99 12 144 1594693 2 .6645~ 10-15 82.86074956162661 2 .6645~ 10-15

Y

(d

Figura 5.5. Función propia para la Guarda.

I

I ~~

I

4 I 123.9575730375151 I 2.4869~10-'4 I 5 I 165.1185292250524 I 2.5535~10-14 I I 6 1 206.3060172346982 I 2.5313~10-14 I I 7 I 247.5069630630344 I 3.0642~10-14 I I 8 I 288.7156570236181 I 2.9976~10-'4 I

9 I 329.9292150761596 I 2 .9088~10- '~ 10 I 371.1460250768804 I 2.97s4x 1 0 ' 4

A continuación se presenta el análisis de los resultados obtenidos con el MLM.

63

- 5.4 APLICACI6N =TOW> LEVENBERG-MARQUARDT PARA LA

OBTENCI62P DE LA FUNCI6N E GEIYERACI6N E CALOR DE LA

PLACA CALIENTE

Como se mencionó previamente, en la placa caliente del APCG se utilizó una generación de calor mediante electricidad de 5 W. Al utilizar el MLM para estimar los parámetros de la función de generación de calor se

utilizaron desde uno hasta cinco parámetros. Los resultados obtenidos se presentan en las siguientes ecuaciones:

g,( t )= 261.420918486553

g , (1) = 279.95 173 1636523 - 0.00107445934793919t

g,( t )= 299,14460126386- 0.004132651 5584687t + 8.68571001291067 x 10-8t2

g4(t)= 318.710689444206-0.009960675616769031+4.83075677375673xlO~’t2 - 7.37468716488945 x i O - ” f 3

g , ( t ) = 332.978 15372759 - 0.0167039593983905f + 1.2784144215005 x 10-6iZ

- 4,0980756707161 x IO-’’ t’ + 4.63572450395972 x lO-I6t4

(5.4.1)

(5.4.2)

(5.4.3)

(5.4.4)

(5.4.5)

En las figuras 5.6-5.10 se puede apreciar la comparación entre la distribución de las temperaturas medidas y la distribución de las temperaturas estimadas usando cada una de las funciones anteriores:

64

Figura 5.6. Comparación entre. la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MLM para la Placa Caliente del APCG usando una función con un

parámetro.

Figura 5.7. Comparación entre la temperatura mediday la temperatura estimada mediante el MLM para la Placa Caiiente del APCG usando una función con dos

parámetros.

6 5

Figura 5.8. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MLM para la placa Caliente del APCG usando una función con tres

parámeims.

"1

Figura 5.9. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MLM para la Piaca Caliente del AFCG usando una función con cuatro

parámeims.

66

. TEMPERATUñAMEOIDA -TEMPERATURA ESnMWn

Parámetros

1 2 3 4 5

Xamán

Figura 5.10. Comparación entre la temperatura mediday la temperatura estimada mediante el MLM para la Placa Caliente del AFCG usando una función con cinco

parámetms.

Error Relativo Norma de mínimos

1.55 1891.6393 1.28 1 132.1776 1.05 865.1679 1.00 758.5912 0.97 733.9622 1.38 1597.4177

Máximo ph) cuadrados

En la tabla 5.3 se muestran los errores relativos máximos y la norma de mínimos cuadrados de las temperaturas estimadas mediante el MLM:

Tabla 5.3. Norma de -os cuadrados y errores relativos m h o s entre las temperaturas medidas y las temperaturas estimadas mediante el MLM para la Placa

Al analizar la tabla 5.3 se puede apreciar que la estimación con cinco parámetros es la que menor error y menor norma de mínimos cuadrados tiene. La solución analítica presentada por Xamán (1999), tiene un error y una norma que la colocan entre las estimaciones con uno y con dos parámetros.

67

- Capítulo 5 , Análisis de Ke5ukdos

En la figura 5.11 se pueden apreciar las curvas de las funciones de

- - generación de calor obtenidas también con las ecuaciones 5.4.1-5.4.5.

s 4

6 2

6

5 8

5 6

z *. w

5 2

5

4 8

4 5

4 4

-0ENEWi6N DE CALOR U- -UN PARAMETRO -DOS PARAMETROS -TRES PARAMETROS -CUATRO PARAMETROS -CINCO PARAMETROS

Figura 5.11. Comparación entre la función de generación de calor usada y las funciones de generación de calor estimadas mediante el MLM para la Placa Caliente.

En la figura 5.11 se puede apreciar que la función de generación de calor estimada con un parámetro es la que representa con mayor exactitud la generación de calor utilizada por Xamán (1999).

Sin embargo, se debe recordar que, cuando se aplica un método de

solución inverso, no se tienen datos sobre la función de generación de calor utilizada. Por lo tanto la decisión de cuái estimación es más exacta depende de los errores relativos de las temperaturas estimadas.

5.5 APLICACION DEL M&”ODO E LEVENBERGMARQUARDT PARA LA

GENERACI~N E CALoR DE LA OBTENCI6N DE LA FUNCIdN

GUARDA

Al principio de este capítulo se mencionó que la generación de calor utilizada para el caso de la Guarda fue de 3 W. A continuación, se muestran los resultados obtenidos para diferentes números de parámetros

68

- en la determinación de la función de generación de calor de la Guarda utilizando el MLM.

g, ( t )= 390.473427722595 (5.5.1)

g2(t) = 467.438592563 193 -0.0179475164485702t (5.5.2)

g3(f)= 515.48504895845-0.0473339237594615r+3.13447620466826~10-~r~ (5.5.3)

g,(t) = 508.743870501761 - 0.039761912562501 If + 1.233857291 338 1 x 1 0-6f2 (5.5.4) + 1.2993638084207~10”~f~

gs(t) = 479.95876365591 + 0.01 10621687297178t -2.072508750821 15x 10”f2 (5.5.5) + 3.5 15671 72449916~ 10-’f3 - 1.70179454741608 x 1 0.l3f

Las figuras 5.12-5.16 representan las curvas obtenidas para las temperaturas medidas y las temperaturas estimadas mediante el MLM para la guarda del APCG:

316 - 315 - 314 - 313 - 312 - 311 . 310 - g s -

E ls- I-

307 - 306-

305-

3 0 4 - 303 -

. TEMPERATURA MEOlOA - TEMPERATURA ESTIMADA .-

o an ,am ,am 2 m m 36m 12m 4 8 0 54m 6mD 6600 ,am 78m 8400 sno 9600 102

t (S)

Figura 5.12. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MLM para la Guarda del AF’CG usando una función con un parámetro.

f (S)

Figura 5.13. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MLM para la Guarda del APCG usando una función con dos parámetros.

315 316 1

Figura 5.14. comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MLM para la Guarda del APCG usando una función con tres parámetros.

7 0

Figure 5.15. Comparación entre la temperatura mediday la temperatura estimada mediante el MLM para la Guarda del APCG usando una función con cuatro

parámetros.

Figure 5.16. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MLM para la Guarda del APCG usando una función con cinco parámetros

Los valores máximos del error relativo y la norma de mínimos cuadrados para cada estimación de la función de generación de calor aplicando el MLM se presentan en la tabla 5.4.

7 1

- Capítulo 5, Análisis de Ke?esukados - Tabla 5.4. Norma de mínimos cuadrados y errores relativos máximos entre las

temperaturas medidas y las temperaturas estimadas mediante el MLM para la Guarda. 1 Parametros 1 Error Relativo 1 Norma de mínimos I

Máximo (%) cuadrados 1 0.52 200.5644 2 0.24 28.4137

- 3 0.1876 13.5918 4 0.188 13.5019 5 0.190 12.8747

XaUlán 0.44 143.6557

De la tabla 5.4 se desprende que la estimación dada por la función de generación de calor con tres parámetros es la que menor error presenta entre las temperaturas medidas y las temperaturas estimadas. Sin

embargo, la norma de mínimos cuadrados es menor para la estimación con cinco parámetros.

La solución analítica reportada por Xamán (1999), nuevamente

queda posicionada entre las estimaciones con uno y con dos parámetros.

A continuación, se muestran las curvas para la función de generación de calor. Estas curvas se obtuvieron mediante las ecuaciones 5.5.1-5.5.5.

..2 . -GENERAaON DE C U R uSA0)n -UN PM&ETRO -nos PARAMETROS -TRES PARAMETROS

-CINCO PARAMETROS

3.8

3.6 -CUATRO PARAMETROS

3 . 4

E 3.2 o

3

2.8

2.6

2.4

2.2 o an r n a ,Em 24m 3aa 38a 4- - ym ara 6333 Rm 7 m BID0 am sm *ox

t (e Figura 5.17. Comparación entre la función de generación de calor usada y las funciones de generación de calor estimadas mediante el MLM para el caso de la

Guarda.

7 2

Cp’tcllo 5 , mi515 de k~ultados

Nuevamente, se puede observar que la estimación con un parámetro es la que representa con mayor exactitud la solución analítica presentada por X a m á n (1999).

- P

- 5.6 APLICACI~N DEL WTODO DEL GIUDIENTE CONJUGADO EN LA

OBTENCl6N DE LA FUNCIÓN GENERACI~N CALOR DE LA

PLACA CALIENTE

AI estimar los parámetros de la función de generación de calor

mediante el MGC se obtuvieron resultados muy similares a los obtenidos mediante el MLM. A continuación, se presentan las ecuaciones 5.6.1-5.65 que corresponden a la estimación con uno hasta cinco parámetros para la Placa Caliente del APCG:

g, (f)= 261.42091 8486553

g, (t) = 279.95 173 1636524 - 0.0010744S934793922t

(5.6.1)

(5.6.2)

g, ( t )= 299.14460125556 - 0.0041326S15S746091t + 8.68571 O01 03533 1 x 1 0-*f2 (5.6.3)

g4(t) = 3 18.742679702295 - 0.0099630199266071 It + 4.85509865923229 x 1 Oe7t2 (5.6.4)

-7.4588111901 1 2 7 5 ~ 1 0 ~ ‘ ~ t ’

gs(t)= 4.496906051773 16x IO” +0.105046812590406f - 1.10516768701 57 x 10-5t2 (5.6.5)

+ 4.2827324939 1 197 x 1 O”’f3 - 5.52972463489 129 x 1 O”’t4

En las figuras 5.18-5.22 se presenta la comparación entre las temperaturas medidas y las temperaturas estimadas mediante el MGC.

73

345

340

a5

m

$z 325 I-

320

315

310

3%

m

. TEMPEnATURA MEDIM - TEMPERATURA ESTIMADA

Figura 5.18. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MGC para la Placa Caliente del APCG usando una función con un

parámetro.

Figura 5.19. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MGC para la Placa Caliente del APCG usando una función con dos

parámetros.

74

. TEMPERATURA MEDIDA - TEMPERATURA E C T I W A

rn o 3xa 6ooo smo lam 1- 1 m 2 1 m 24000 nao urn0 33x0 36om

t (5)

Figura 5.20. Comparación entre la temperatura mediday la temperatura estimada mediante el MGC para la Placa Caliente del AF'CG usando una función con tres

parámetros.

- TEMPERATURA MEDIDA - TEMPERATURA E S n M

o 3xa 6om san 12000 1- leas 2 1 m uom nmo 3 m o 33mo smm t (SI

Figura 5.21. Comparación entre la temperatura mediday la temperatura estimada mediante el MGC para la Placa Caliente del APCG usando una función con cuatro

parámetros.

7 5

. TEMPERATURA MEDlM - TEMPERATURA ESTIMADA

M á x i m o (?h) cuadrados 1 1.55 1891.6393 2 1.28 1132.1776 3 1 .O5 865.1679

- 4 1.00 758.9380 5 3.69 8862.2439

Xamán 1.38 1597

Figura 5.22. Comparación entre la temperatura mediday la temperatura estimada mediante el M G C para la Placa Caliente del APCG usando una función con cinco

parámehs.

Ahora se presentan los valores de los errores relativos máximos y la norma de mínimos cuadrados para cada estimación hecha con el MGC. La

tabla 5.5 presenta los resultados.

Tabla 5.5. Norma de mínimos cuadrados y errores relativos máximos entre las temperaturas medidas y las temperaturas estimadas mediante el M G C para la Placa

Caliente. I Parámetros I Error Relativo I Norma de mínimos I

En la tabla se puede apreciar la gran similitud que existe entre los resultados obtenidos con el MLM y el MGC. También es de interés apreciar que el error y la norma de la solución analítica presentada por Xamán (1999) sigue estando entre los errores y las normas de las estimaciones con uno y dos parámetros. La estimación con cuatro parámetros es, por lo tanto, la mejor estimación obtenida con el MGC para la Placa Caliente,

76

Capítulo 5 , Análisis de Eeesultados - Se presenta una discrepancia cuando se utilizan cinco parámetros.

Para este caso, el error aumenta. Al analizar la figura 5.22, se aprecia la

razón por la cual es mayor el error: el MGC con cinco parámetros no converge hacia los valores medidos. Esto se aprecia también en las curvas de la función de generación de calor que se muestran en la figura 5.23.

6.4 - 6.2 - -OENE-I~N DE CALOR u-

C"*TRO PARAMETROS

O 3000 am saa im ism im 21om 2 u m nom m ~ l l l 36000

t (e Figura 5.23. Comparación entre la función de generación de calor usada y las

funciones de generación de calor estimadas mediante el MGC para el caso de la Placa Caliente.

En la figura 5.23 se aprecia cómo la estimación de la generación de

calor con cinco parámetros diverge con respecto ai valor utilizado por xamán (1999).

- 5.7 APLICACIdN METODO GRADIENTE CONJUGADO PARA LA

CALOR DE LA OBTENCI6N DE LA FUNCI~N w GEHERACIÓN

GUARDA

A continuación, se presentan las funciones de generación de calor

obtenidas con varios parámetros mediante el MGC para la Guarda del APCG. Las ecuaciones 5.7.1-5.7.5 muestran estas funciones.

g p ( í ) = 390.473427722595 (5.7.1)

77

g,(t) = 467.438592563 193 - 0.0179475 164485702f (5.7.2)

g,(t) = 51 5.48504901395 - 0.047333923788972451 +3.13447620757063 x10 -6 f (5.7.3)

(5.7.4) g4(t)= 508.9467950736- 0.0399565593074995t + 1.278143041 19027 x 10-6t2

+ 1.271 1023626201 2 x 10-'ot'

g , ( f ) = 0.001 16458785733023+0.727063225737215f - 2.97985335186853 x 104f2 (5.7.5)

+ 4.303 11252642484 x w 8 t 3 -2.0413848073 1105 ~ 1 0 . ~ ~ 1 ~

En las figuras 5.24-5.28 se presentan las comparaciones entre las temperaturas medidas y las temperaturas estimadas mediante el MGC

para la Guarda del APCG:

. TEMPERATURA MEDIDA -TEMPERATURA ESTIM"DA

Figura 5.24. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MGC para la Guarda del AFCG usando una función con un parámetro.

116-

3- - - TEMPEWTURA M E O l M -TEMPERnTURA ESTIMADA

o 600 im iam 2400 3- 3603 4200 4800 5400 6nn 6603 7x10 mm 8400 smo 9600 iomc t (S)

FIgura 5.25. Comparación en* la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el M G C para la Guarda del APCG usando una función con dos parámetros

316

315

314

313

312

31 1

310

919 e 318 I-

307

. . .

. TEMPERATURA MEDIDA -TEMPEMTURn ESTlMAOA

llD o 600 tm iem 2 m a00 3603 ,200 rn ym 60(0 6603 7x0 78m mm aim san l o x

t (8)

Figura 5.26. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MGC para la Guarda del APCG usando una función con tres parámetros.

7 9

/

Figura 5.27. Comparación entre la temperatura medida y la temperatura estimada mediante el MGC para la Guarda del AFCG usando una función con cuatro

parámetros.

t (e

Figura 5.28. Comparación entre la temperatura mediday la temperatura estimada mediante el MGC para la Guarda del APCG usando una función con cinco parámetros.

Se pueden apreciar ciertas discrepancias cuando se utilizan cinco parámetros para estimar la función de generación de calor. En la tabla 5.6 se muestran los errores relativos máximos y la norma de mínimos

Capítulo 5 , Puiálisis de Resultados

cuadrados para los diferentes parámetros utilizados.

Tabla 5.6. Norma de mínimos cuadrados y errores relativos máximos entre las temperaturas medidas y las temperaturas estimadas mediante el MGC para la Guarda.

1 Parámetros I Error Relativo 1 Norma de mínimos 1 1 2 3 4 5

X¿Ullán

Máximo (%) cuadrados 0.52 200.5644 0.24 28.4137 0.1876 13.5918 0.188 13.5020 0.58 126.8990 0.44 143.6557

Como se aprecia en la tabla 5.6, el error y la norma del resultado presentado por Xamán (1999) lo colocan entre los errores y las normas de las estimaciones con uno y con dos parámetros. La solución con menor error es la estimada con tres parámetros. Sin embargo, la menor norma de mínimos cuadrados se obtiene con la estimación con cuatro parámetros.

Las curvas de la función de generación de calor se muestran en la figura 5.29. En esta figura se puede apreciar la diferencia entre cada una de las funciones y como la función estimada con cinco parámetros diverge del valor utilizado experimentalmente.

4 3 - O E N E ~ A C I ~ N DE c a m USADA -UN PARAMETRO

1 1 -00s PARAMEmOS

39 -CUATRO PARAMEmOS -TRES PARAMETROS

-CINCO PARAMETROC 3 7

e 3 5 u 3 3

3 1

2 s

2 1

2 5

23

2 1 o m 1 m 1

t (S)

Figura 5.29. Comparación entre la función de generación de calor usada y las funciones de generación de calor estimadas mediante el MGC para el caso de la

Guarda. E l

- 5.8 C0MPARACIÓN ENTRE MÉTODO LEVENBERG-MARQUARDT Y -

& MÉTODO DEL GRADIENTE ~ N J U G A D O pARA PLACA

CALIENTE u GUARDA DEL APCG Por lo regular, no se tiene disponible la función de generación de

calor. En esos casos, la mejor aproximación que se utiliza es la que tiene la menor norma de mínimos cuadrados o el menor error. Para el MLM

aplicado a la Placa Caiiente la mejor aproximación se obtiene con cinco parámetros y aplicado a la Guarda es iguai, con cinco parámetros. Si se trata del MGC, la mejor aproximación se obtiene en la Placa Caliente con cuatro parámetros y en la Guarda con cuatro parámetros.

MLM

En las tablas 5.7 y 5.8 se comparan las mejores aproximaciones obtenidas por ambos métodos cuando se aplican a la Placa Caliente y a la Guarda, respectivamente.

MGC

Tabla 5.7. Comparación de las mejores aproximaciones obtenidas con los dos métodos a~iicados a la Placa Calimte.

I: p2

332.97815372759 3 18.742679702295

-16.7039593983905 x 10-3 -9.9630199266071 x 10-3

8 4

127.84144215005 x 10-8 48.5509865923229 x 10-8

-40.980756707161 x 10-*2 -7.4588111901 1275 x 10-12

I

Norma de mínimos cuadrados I 733.9622 758.9380

Capítulo 5 , Análisis de Rewitados

Parámetros

4 4 P,

Guarda MLM MGC

479.95876365591 508.9467950736

11.0621687297178 x 10-3

-20.72508750821 15 x 10-6

-39.9565593074995 x 10-3

1.278143041 19027 x 10-6

P, 1 35.1567172449916~ 10-101 1.2~10236s62012 x 10-10)

Error relativo máximo ~ ~ - 1 I -1.70179454741608~ 10-131 I e

o. 190 % 0.188 % Norma de mínimos cuadrados I 12.8747

En la figura 5.30 se muestran las temperaturas experimentales, las temperaturas analíticas reportadas por Xamán (1999), la mejor estimación

de temperaturas con el MLM y la mejor estimación de temperaturas con el MGC cuando se aplican a la Placa Caliente del APCG.

13.5020

En la figura 5.31 se compara la función de generación de calor reportada por Xamán (1999), la función estimada con el MLM y la función estimada con el MGC para la Placa Caliente del APCG.

o mo am ¶m lam 15ooo lam 21mm 24073 2x03 amo 33ooo 38ooo

f (S)

Figura 5.30. Comparación entre las temperaturas experimentales, las temperaturas analíticas (Xamán, 1999), las temperaturas estimadas con el MLM y las temperaturas

estimadas con el MGC, para la Placa Caliente del APCG.

83

Caoítulo 5, Análisis de t&sultados

5.4 ,

- A N A L ~ C A - MLM -MGC

11 O 3ni) ano nno ixao isom ,8000 21mo 2 m no03 mm moo 383a1

f (S)

Figura 5.31. Comparación entre la función de generación de calor anaiitica (Xamán, 1999), la función estimada con el MLM y la función estimada con el MGC, para la Placa

Caliente del APCG.

En la figura 5.32 se comparan las temperaturas experimentales, las temperaturas analíticas reportadas por Xamán (1999), las temperaturas estimadas con el MLM y las temperaturas estimadas con el MGC cuando se aplican a la Guarda del APCG.

En la figura 5.33 se hace la comparación correspondiente a la función de generación de calor analítica reportada por Xamán (1999), la función estimada con el MLM y la función estimada con el MGC cuando se aplican a la Guarda del APCG.

Caoítulo 5 , Análisis de Keesultados

t (S)

Figura 5.32. Comparación entre las temperaturas experimentales, las temperaturas analíticas (Xamán, 1999), las temperaturas estimadas con el MLM y las temperaturas

estimadas con el MGC, para la Guarda del APCG.

MLM -MGC -

Figura 5.33. Comparación entre la función de generación de calor analítica (Xamán, 1999), la función estimada con el MLM y la función estimada con el MGC, para la

Guarda del APCG.

8 5

Capítulo 5 , M i s i 5 de k 5 u k

En las figuras 5.30 a 5.33 se puede apreciar lo siguiente:

Las temperaturas estimadas mediante el MLM y el MGC se ajustan con un mejor grado de exactitud a las temperaturas medidas experimentalmente que la solución analítica reportada por Xamán (1999).

Las funciones de generación de calor estimadas mediante el MLM

y el MGC no convergen hacia la función analítica reportada por xamán (1999).

En el caso de la Placa Caliente hay cierto rango de valores donde las funciones de generación de calor estimadas se aproximan a la función analítica y como en un PITC no se conoce la función de generación de calor, ya que es la que se está estimando, se puede decir que representan con bastante exactitud el fenómeno que

estamos estimando.

Para la Guarda se aprecia una gran similitud entre las

temperaturas y las funciones de generación de calor estimadas con el MLM y las estimadas con el MGC.

Resumiendo los valores obtenidos en la aplicación del MLM y del MGC se presentan las tablas 5.9 y 5.10.

En el capítulo siguiente se presentan las conclusiones finales del presente trabajo de tesis.

86

m u

Parámetros utilizados en el caso de la Placa

Caliente

LM Cinco

GC

Tabla 5.9. Comparación de los parámetros y la norma de minimos cuadrados obtenidos mediante el MLM con los obtenidos mediante el MGC ai aplicarlos en la Placa Caliente del APCG.

Parámetro

T I Pa P3 P4 R x10" X l O * xlO-'= xlO-'E Pi

332.97815372759 -16.7039593983905 127.84144215005 -40.980756707161 4.63572450395972 733.962237440012

4.49690605177316~10~' 105.046812590406 -1105.1676ñ70157 428.273249391137 -55.2972463489129 8862.24398843898

LM h a t r o

GC

LM Tres

GC

758.591 272230575 318.710689444206 -9.96067561576903 48.3075677375673 -7.37468716488945

318.742679702295 -9.96301992660710 48.5509865923229 -7.45881119011275 758.938021366423

299.14460126386 -4.13265155846870 8.68571001291067 865.167921895700

86 5.167 92 189 5637 299.14460125556 -4.13265155746091 8.68571001035331

Dos

Uno

LM 2?9.951731636523 -1.07445934793319 1132. 17766300123

GC 279.951731636524 -1.07445934793922 11 32.17 76630 0123

LM 261.420918486553 18 91.63 93687 2665 .

1891.63935872665 GC 261.420918486553

m m

Parámetros utilizados en e l caso

Tabla 5.10. Comparación de los parámeiros y la norma de mínimos cuadrados obtenidos mediante el MLM con los obtenidos mediante el MGC al aplicarlos en la Guarda del APCG

Parámetro

LM

GC

LM

Guarda dela I Pi

479.95876365591 11.0621687297178 -20.7250875082115 35.1567172449916 -1.70179454741608 12.8747912899719

1.1645878573302~10~'~ 727.063225737215 -297.985~i5186853 430.311252642484 -20.4138480731105 126.89901831866

508.743870501761 -39.7619125625011 1.2338572913381 1.2993638084207 13.5019482848042

- Cinco

-

GC

LM Tres

GC

Pa x10-3

508.9467950736 -39.9565593074995 1.278143041190Z7 1.27110236262012 13.5020071594854

515.48504895845 -47.3339237594615 3.13447620466826 13.5918856152074

515.48504901395 -47.33392378897245 3.13447620757063 13.5918856152072

P3 x10"

LM Dos

GC

P4 x10-'0

467.438592563133 -17.9475164485702 28.4137238577033

467.438592563193 -17.9475164485702 28.4137238577033

P, x1013

LM Uno

GC

390.473427722595 200.564439791679

390.473 42 772 25 95 200.564439791679

6.1 CONCLUSIONES

Se aplicaron dos métodos de solución para problemas inversos de transferencia de calor, el Método de Levenberg-Marquardt y el Método del Gradiente Conjugado, a la Placa Caliente y a la Guarda del Aparato de

Placa Caliente con Guarda. El modelo físico involucra la ecuación de conducción de calor en coordenadas cilíndricas unidimensionales con condiciones de frontera convectivas y función de generación de calor desconocida. Se estima la función de generación de calor mediante una función polinomial con 1, 2, 3 , 4 y 5 parámetros. En el presente trabajo se utilizaron datos experimentales, a diferencia de Ozisik y Orlande (ZOOO),

que utilizan soluciones analíticas perturbadas.

Se estimaron cinco funciones para observar cual presentaba un

mejor ajuste con las mediciones experimentales de temperatura. Aún cuando existía una función para validar los resultados, normalmente no es

así. Además, la solución analítica no se ajustaba a los datos experimentales. Por lo tanto, se calculó el error relativo máximo y la norma de mínimos cuadrados para cada caso y así se pudo decidir cuál estimación es mejor para cada método.

En particular, se apreció que para la Placa Caliente se obtienen las mejores estimaciones con funciones de cinco parámetros para el MLM, y cuatro para el MGC. Para la Guarda las mejores estimaciones se obtienen

de igual manera.

Las estimaciones obtenidas mediante los métodos aplicados mostraron un error relativo máximo menor que el error de las soluciones

analíticas presentadas por Xamán (1999).

Sin duda, con los datos observados en este trabajo de tesis se puede apreciar que es mejor el Método de Levenberg-Marquardt para la

solución de Problemas Inversos de Conducción de Calor. El MGC no

90

Capítulo 6. Co~Iu5ianes

converge cuando utilizamos cinco parámetros en la estimación, mientras que el MLM converge mejor conforme se utiliza mayor cantidad de parámetros.

-- - -

Sin embargo, se debe recalcar que tan solo se utilizó una de las modalidades del MGC, en este caso la más parecida al MLM, para poder comparar ambos métodos.

Existen otros dos métodos del Gradiente Conjugado los cuales son: el Método del Gradiente Conjugado con Problema Adjunto para estimación de parámetros y el Método del Gradiente Conjugado con Problema Adjunto

para estimación de función. También se intentó aplicar estos métodos a la solución del problema, pero se encontraron ciertas dificultades en la implementación del código. Se dan a conocer como aportación a quienes deseen en el futuro trabajar con alguno de esos métodos.

La principal dificultad es el cambio que se hace en la consideración de las funciones, de discretas a continuas. Esto hace que en el análisis aparezcan integrales en lugar de sumatorias. Teóricamente no hay gran

relevancia, pero al implementar los códigos los valores no convergían a causa de la necesidad de un buen algoritmo para realizar las integraciones. El tiempo de duración del presente proyecto no permitió que

se pudieran obtener resultados concretos.

Otra dificultad más, se halla en el análisis teórico al hacer el

cambio de variable temporal, ya que en la literatura se menciona que hay que hacerlo, pero no se muestran los detalles de su implementación. Esto permanece incierto en cuanto a la forma en que se hizo.

Por último, está el hecho de los resultados son válidos dentro de cierto rango, por lo cual se sugiere tener mediciones disponibles para tiempos anteriores y posteriores al rango de interés.

9 1

Capítulo 6, Co~lusiows

Se debe hacer notar que el Método de Levenberg-Marquardt se encontró más flexible y fácil de implementar que el Método del Gradiente Conjugado.

- ___

- 6.2 RECOMENDACIONES x TRABAJOS FUTUROS Sin duda es de esperar que este trabajo de tesis sea de mucha

utilidad para aquellos que deseen utilizar estos métodos. Se ha tratado de especificar muchos detalles en el desarrollo teórico de la solución del problema. Sobretodo, se ha hecho una aplicación en coordenadas cilíndricas que dificilmente se hallará en algún otro trabajo desarrollado anteriormente.

También hay trabajo que queda pendiente a posteriori. Se reseñan

a continuación algunos de los que se han pensado:

Estimación de propiedades térmicas de materiales (e.g., conductividad térmica).

Aplicación a problemas en coordenadas cilíndricas en dos

dimensiones.

Incorporación de otros tipos de condiciones de frontera o

condiciones iniciales.

Utilizar más sensores en diferentes posiciones para obtener una

estimación con mayor grado de exactitud.

Limitar el rango de confiabilidad del método de solución dentro

de una zona de interés particular.

Bibliografía

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Xamán, J., “Análisis de la Transferencia de Calor de un Aparato para determinar la Conduch‘uidad Térmica de Matenales Aislantesq Tesis de Maestna en Ciencias, CENIDET, Cuernavaca, Mor., México, Agosto 1999.

9 4

A.1 SOLUCI~N DEL PROBLEMA DIRECTO PARA u PLACA CALEXTE -- El problema directo para la placa caliente está definido de la

siguiente forma:

O < r < b , t > O dZT 1 dT g( t ) .6(r -r ) 1 aT dr2 r dr 2 d r a di

1 -+--+ -

aT ar

k- + hT = hT, r = b . t > O

T = T , O l r l b . t = O

La solución para dicho problema se obtiene mediante el método de

la transformada integral de la siguiente manera (Ozisik, 1989):

Transformada integral b

T@,,t) = 1.‘. KO@,,,, r’). í“(r‘,z). dr‘ ,‘=O

Fórmula de inversión T(r,r)= ~ K o @ m , r ) . ~ ( / 3 , , , , t ) ,,,=I

Se obtiene el problema auxiliar de valores propios al utilizar la

versión homogénea del problema y aplicarle las siguientes identidades:

T(r, 1 ) = R(r). r(t), aT dR -=r-, ar dr

d2T d 2 R dr2

-=r--,

aT - = R - at dt

d 2 R 1dR 1 di r2+r--= R-- dr r dr a di

(A. 1.1)

(A.1.2)

(A.1.3)

(A.1.4)

(A.1.5.a)

9 5

1 d2R 1dR 1 1 CiT R [ dr2 +y%) =r( a,)=-p2 d 2 R 1 dR dr2 r d r

-~

-+-- = -P2R

d2R 1dR dr2 r dr - + - - + P 2 R O

la cual tiene la siguiente condición de frontera:

dR dr

k-+hR=O r = b

(A. 1.5. b)

(A. 1.6.a)

(A.1.6.b)

(A. 1.7)

De donde se obtiene la siguiente solución, en la cual se debe tener presente que la placa caliente involucra el origen donde se tiene un valor finito, tomando esto en cuenta la solución se expresa como:

Ro 6.1 = CIJO @r) (A. 1.8)

Aplicando la condición de frontera dada por la ecuación (A. l .7) , se obtiene

la siguiente solución:

n, ( D 7 ) = J o b ) (A. 1.9)

donde /3 se obtiene del siguiente problema de valor propio:

P ~ , c 8 b ) - ~ o c 8 4 = 0 (A. 1.10)

De acuerdo con el análisis realizado por Xamán (1999) no hay necesidad de utilizar más que la primera raíz, /3 , debido a que la contribución a la

distribución de temperaturas al incluir un segunda raíz es despreciable.

La norma se obtiene de la siguiente manera:

b

N , = jr‘ .R;@,r’) .dr’ ,‘=O

También, se puede expresar como:

(A. 1.11)

96

Al aplicar la ecuación (A. 1.10) se obtiene:

Con la norma, se determina el kernel K O ( p , r ) como

(A. I . i 2)

(A. 1.13)

(A.1.14)

Generalizando se puede compactar el kernel como:

KO @> r ) = CO (A. 1.15)

donde c0@) representa una función de Bessel de primera o segunda clase

o alguna combinación lineal de ellas.

Si se aplica la transformada integral a las ecuaciones (A.l.l), se obtiene:

donde

con lo cual, se tienen las siguientes ecuaciones diferenciales

(A. 1.16)

(A.1.17.a)

(A. 1.17.b)

(A.1.18.a)

97

ordenando los términos, resulta

(A. 1.18.b)

tomando la transformada integral de la condición inicial del problema (A. 1. l), se obtiene

La solución de la ecuación (A.1.18.b) sujeta a la condición inicial

(A.1.18.c) es directa y permite tener la transformada integral de la

temperatura T'@,t) . Si se sustituye la transformada integral resultante en

la fórmula de inversión (A. 1.3), se obtiene la solución del problema (A. 1. I)

de conducción de calor no homogéneo de condición de frontera como:

Finalmente, desarrollando toda la solución, se tiene:

hbTo e-uszr .co@r). -co @b) T(r, t ) =

P2k

.c, @b). dt ' a . bhT, k

: +,-UP" .Cop.). J

+ e - a ~ * l .c0@,). j e u ~ 2 "

1%

t ' 4 2 d

AI realizar las integrales, resulta ia expresión para T ( ~ , z ) como:

(A. 1.20)

Donde

N = -[ b 2 h2++P2k2 );@b) 2 p 2 k 2

(A. 1.21)

(A.1.22.a)

% @ 7 ) = J o o a > (A.1.22.b)

A.2 SOLUCIÓN DE LA ESTIMACI~N rn TEMPERATURAS PARA LA PLACA

CALIENTE

Para la solución del problema inverso, se considera la función desconocida de generación de calor gp( i ) parametrizada en la siguiente

forma lineal

(A.2.1.a)

Donde, P, son los parámetros desconocidos y Cl ( t ) son las funciones de

prueba conocidas (por ejemplo, polinomiales, de B-splines, etc). Además, el número total de parámetros, N , se especifica.

En este caso, se tiene una aproximación polinomial con 5 parámetros, lo cual se expresa como:

gp( t ) = 4 + P2t + P3t2 + P4/3 + P5t4 (A.2.1 .b)

En este caso, se necesita resolver la integral dada por:

t

jeUB''' . g(t'). d/' (A.2.2.a) !'=O

99

/edz1' . (4 + P2f' + P3tI2 + 4tI3 + PStf4). dt' 1 ' 4

(A.2.2.b)

(A.2.2.e)

(A.2.3)

1 O 0

Esta solución, es la expresión que se utiliza en la estimación de los parámetros.

A.3 SOLUCI~N DEL PROBLEBIA DIRECTO PARA -- LA GUARDA La formulación matemática del problema directo de conducción de

calor para la guarda está dada por las siguientes ecuaciones:

-+--+ i ü~ g( t ) .S(r -r 2 ) - i 81- 8~ b < r < d , t > O 3’ r dr 27th a at

- k - + h T = h T a f3T ar

r = b , t > O (A.3.1)

k- + aT hT = hT, r = d , t > O

T=T, b S r I d , t = O ar

La solución para dicho problema se obtiene mediante el método de

la transformada integral de la siguiente manera (Ozisik, 1989):

Transformada integral

Fórmula de inversión T(r , t )= fK ,@, , r ) .T@, , t )

d

T@,,t) = Ir’ .Ko(&r’). T(r’, t) . dr’ r‘=b

I F 1

Se obtiene el problema auxiliar de valor propio al utilizar la versión homogénea del problema de la siguiente manera:

T(r, 1 ) = R(r). r(i),

ar dr at dt

d 2 R 1dR 1 & r 7 + r - - = R - - dr r dr a dt

- = R -

(A.3.2)

(A.3.3)

(A.3.4)

(A. 3.5. a)

1 0 1

d 2 R 10% dr2 r dr

d2R 1dR - + - - + p 2 R = O dr2 r dr

- + -- = -P2R

La cual tiene las siguientes condiciones de frontera:

dR dr

- k- + hR = O

dR dr

k- + hR = O

r = b

r = d

De donde se obtiene la siguiente solución:

(A.3.5.b)

(A.3.6.a)

(A.3.6.b)

Con las condiciones de frontera dadas por las ecuaciones (A.3.7) se obtiene la siguiente solución:

(A.3.7.a)

(A.3.7.b)

donde p se obtiene del siguiente problema de valor propio:

Wl @ b ) + h J o @ b ) PK @b)+hYo@b) -BJ,@d)+hJo@d) - - P T @ d ) + h ~ o O E l ) = O

de acuerdo con el análisis realizado por Xamán (1999) solo es necesario utilizar la primera p en la determinación de la temperatura, debido a que

la contribución de incluir otras raíces es despreciable.

La norma se calcula de la siguiente manera:

d

N, = j r ' .&@,r') .dr ' r'=b

es decir

(A.3.8)

(A.3.9)

(A.3.10)

(A.3.11)

1 o2

d d

N = [r'.E@,r').úr'= 1 '9 i -d

evaluando y aplicando las ecuaciones (3.2.10) se tiene:

(A.3.12)

d 2 g @ , d ) - b2g@, h) (k' + p2k' ld2g@, d ) - b ' g @ , b)] 2 I= 2p2k2

Por lo tanto, el kernel K0(p,r) se formula como:

Generalizando, se puede rescribir el kernel como:

KO @9 r ) = Coon)

donde co@r) representa una función de Bessel de primera o segunda clase

o alguna combinación lineal de ellas.

Si se aplica la transformada integral a las ecuaciones (A.3.1), se tiene:

(A.3.13)

(A.3.14)

(A. 3.1 5)

(A.3.16)

donde

con lo cual se tienen las siguientes ecuaciones diferenciales:

b.hT, d . k T , - p' . T@, t ) + ~ .co @b) + ~. C0@) + -

k k 27dc a dt

(A.3.17.b)

(A.3.18.a)

Ordenando los términos, resulta: 1 o3

(A.3.18.b)

Tomando la transformada integral de la condición inicial del problema (A.3.1) se tiene:

(A.3.18.c)

La solución de la ecuación (A.3.18.b) sujeta a la condición inicial

(A.3.18.c) permite obtener la transformada integral de la temperatura

T(P , t ) . Sustituyendo la transformada integral resultante en la fórmula de

inversión (A.3.3) se obtiene la solución del problema (A.3.1) de conducción

de calor no homogéneo de condición de frontera, dada por la siguiente expresión: como

(A.3.19)

Finalmente, se desarrolla la ecuación (A.3.19) para obtener:

1 O 4

(A.3.20)

(A.3.21)

A.4 SOLUCIÓN & ESTIMACIÓN E TEMPERATURAS PARA LA

GUARDA

Para resolver el problema inverso, se considera como incógnita la

función de generación de calor g,(i) , la cual se puede expresar de la

siguiente forma lineal

1 o5

(A.3.22.b)

(A.4.1 .a)

donde P, son los parámetros desconocidos y Cj ( t ) son funciones de prueba

conocidas (por ejemplo, polinomiales, de B-splines, etc). Además, el

número total de parámetros, N , se especifica.

En este caso se tiene una aproximación polinomial con 5

parámetros, lo cual se expresa como:

(A.4.1 .b) g , ( / ) = p , +P2t +<t2+P4t3+<t4

Se aprecia en este caso de la Guarda, que al igual de la Placa

Caliente, se puede utilizar el resultado obtenido en (A.2.2) y sustituirlo en la solución (A.3.2 I), obteniéndose:

(A.4.2)

106 \

- B. 1 CONCEPTO B COEFICIENTE SENSIBILIDAD

La matriz de sensibilidad (3.4.3.a) juega un papel importante en los problemas de estimación de parámetros. Por lo tanto, se presentará una

discusión de la importancia fisica y matemática de los coeficientes de

sensibilidad y los métodos para su cálculo.

El coeficiente de sensibilidad J , , definido en la ecuación (3.4.3.c)

es una medida de la sensibilidad de la temperatura estimada con

respecto a los cambios en el parámetro P , . Un valor pequeño de la

magnitud de J , indica cambios grandes en P, y consecuentemente

cambios pequeños en T . Puede notarse, que la estimación del parámetro

P, es dificil en tales casos, debido básicamente a que el mismo valor de

temperatura sería obtenido por un intervalo grande de valores de P, . De

hecho, cuando los coeficientes de sensibilidad son pequeños, se tiene

/J'JI=O y el problema inverso está mal planteado. Se puede mostrar

también que IJrJl es nulo si alguna columna de J puede ser expresada

como una combinación lineal de las otras columnas (Beck y Arnold, 1977).

Por lo tanto, es deseable tener weficientes de sensibilidad J , linealmente

independientes con grandes magnitudes, de modo que el problema inverso no sea muy sensible a los errores de medición y se puedan obtener estimaciones aceptables para los parámetros.

Generalmente, las variaciones en el tiempo de los coeficientes de

sensibilidad y de (JTJ/ pueden examinarse antes de intentar una solución

para el problema inverso. Tales verificaciones dan una indicación de las

1 0 7

mejores posiciones del sensor y tiempos de medición a usar en el análisis

inverso.

- B.2 M&ODOS pg DETERXINACI~N COEFICIENTES pg

Existen varios métodos para el cálculo de los coeficientes de

SENSIBILIDAD

sensibilidad. A continuación, se presentan tres de tales métodos.

B.2.1 SoLUCIdN DIRECTA ANALfTICA Si el problema de conducción de calor es lineal y es posible obtener

una solución analítica para el campo de temperatura, los coeficientes de

sensibilidad con respecto a los parámetros desconocidos P, se determinan

derivando la solución con respecto a P, . Para el problema de este proyecto,

se tiene la expresión siguiente:

(E3.2.1.1.PC)

(B.2.1.1 .G)

B.2.2 M$TODO E PROBLEW JNJ VALOR u FRONTERA

Se puede desarrollar un problema de valor en la frontera para la

determinación de los coeficientes de sensibilidad, esto se obtiene al derivar el problema directo original con respecto a los coeficientes desconocidos. Si el problema directo de conducción de calor es lineal, la construcción del correspondiente problema de sensibilidad es directa. Para el problema de

esta tesis, el problema puede ser expresado de la siguiente manera:

1 oe

Jj(r,O)=O

W . ar k-+hJj = O

Jj(r,O)=O

r = d , t > O

b l r s d , t = O

Con ambos métodos, se tiene la siguiente expresión:

Q3.2.2.1 .PC)

Q3.2.2.1.G)

Q3.2.1.1.PC)

1 o9

B.2.3 lbROXIMACI6N DIFERENCIAS FINITAS

La primera derivada que aparece en la definición del coeficiente de sensibilidad, la ecuación (3.4.3.c), puede calcularse mediante diferencias finitas. Si se utiliza una diferencia adelantada, el coeficiente de

sensibilidad con respecto al parámetro P, se aproxima mediante:

- i j &Pj

(B.2.1.1.G)

(B.2.3.1)

donde &=lo” ó Si la aproximación de primer orden, ecuación

(B.2.3.1), no es lo suficientemente exacta, los coeficientes de sensibilidad pueden aproximarse usando unas diferencias centradas en la forma:

I ; k > P 2 ,... > PI +q ,..., PN)-q (q ,P2 y . . . , p, - f l l >...> P N ) (B.2.3.2) 2 8 ,

J , =

Se aprecia que la aproximación de los coeficientes de sensibilidad, dada por la ecuación (B.2.3.1) necesita el cálculo de N soluciones

adicionales del problema directo, mientras que la ecuación (B.2.3.2) requiere de 2N soluciones adicionales del problema. Por lo tanto, el

cálculo de los coeficientes de sensibilidad usando diferencias finitas puede tener un alto tiempo de cómputo.

__ c.1 CÓDIGO PARA LA APLICACIÓN DEL M~TODO DE LEVENBERG- MARQUARDT EN LA OBTENCI6N DE LOS PARhMETROS DE LA

FUNCIbN DE GENERACI6N DE CALOR DE LA PLACA CALIENTE

El siguiente código fue desarrollado en FORTRAN POWERSTATION

4.0. Ejecutado en una computadora Pentium Celeron a 466 M H z con

sistema operativo Windows ME.

PROGPAM LMPLACA IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H, N-2) DIMENSION TMED (624,l) , TEST (624,l) , SENSJ( 624,5), SENCJT (5,624),

# POMEGA(5,5) , DELTAP (5,l) , PKl(5,l) , PK(5,l) , # YMENOST (624,l) , YMENOSTT (1,624), POMEGADIAG ( 5 , 5 ) , ASOL ( 5 , 5 ) , # BSOL(5,1), AASOL(5,6), G(624)

#SEIS/6.OD+00/,DOCE/12.OD+OO/,VCUATR0/24.OD+OO/ DATA UNO/1.OD+00/,DOS/2.OD+00/,TRES/3.ODtOO/,CUATR0/4.OD+OO/,

OPEN (1. FILE='TEMPMEDS .DAT' . . OPEN (2, FILE='RESULTADOS .DAT' ) ALFA = 0.000084D+O ! B = 0.0762DtO ! BETA = 1.3412280271432D+O ! CONDK = 204.OD+O ! H = 14.OD+O ! PI = 4.OIxO*DATAN(1. OD+O) R = 0.0762D+O ! R1 = 0.05380+0 ! TAMB = 302.378D+O ! TIN1 = 302.3781)+0 ! UK = 0.001Dto EPSl = lO.OD+O KK = o !

= 5 ! !

MM LL = 624 TINT = 960.0IxO ! B2 = B*B H2 = H*H BETA2 = BETA*BETA CONDIO = CONDK*CONDK

COEFICIENTE DE DIFUSIVIDAD TERMICA RADIO EXTERIOR DE LA PLACA RAIZ DE EIGENVALOR CONDUCTIVIDAD TERMICA COEFICIENTE CONVECTIVO

POSICION DE LOS TERMOPARES POSICION DE LA FUENTE DE CALOR TEMPERATURA AMBIENTE TEMPERATURA INICIAL DE LA PLACA

CONTADOR DE ITERACIONES NÚMERO DE PAPAMETROS CANTIDAD DE MEDICIONES DE TEMPERATURA INTERVALO DE TIEMPO

C LECTURA DE LOS DATOS DE MEDICION DE TEMPERATURA DO 10 I=l,LL

R& (1, *)Y TMED(I.1) = Y

10 CONTINLTE C INICIALIZACION DE LOS PAWUíETROS

DO 20 I=l,MM PK(I.1) = UNO

20 CONTINUE C DECLAPACIÓN DE VALORES CONSTANTES

ROR = BJO(BETA*R) ROB = BJO(BETA*B) RORl = BJO(BETA*Rl) ROB2 = ROB'ROB

1 1 1

NORMA CONSTl = TINI*ROR*ROB*BtH/(BETAZ*NORMAtCONDK) CONST2 = H*TAMB*ROR*B*ROB/ (BETAZ*CONDK*NORMA) CONST3 = ALFA*ROR*RORl/(DOS*PI*CONDK*NORMA) AlB2 = ALFA*BETA2 A2B4 = A1BZtA1B2 A3B6 = AlBZ*A2B4 A4B8 = A2B4*A2B4 A5B10 = AZB4*A3B6

= (H2 t BETA2*CONDK2) *B2*ROB2/ (DOStBETA2+CONDK2)

C CALCULO DE LA MATRIZ DE SENSIBILIDAD DO 70 I = 1,LL

T = (I-l)*TINT AA = EXP(-AlBE'T) BB = l - A A AlBZTl = ALFA*BETAZ*T A2B4T2 = AlBZTl*AlBZTl A3B6T3 = AlBZTl*A2B4TZ A4B8T4 = A2B4TZtA2B4T2 SENSJ(1,l) = CONST3*BB/AlBZ SENSJT(1,I) = SENSJ(1,l) SENSJ(I,2) = CONST3'(AIB2Tl - BB)/AZB4 SENSJT(2,I) = SENSJ(I.2) SENSJ(I,3) = CONST3* (AZB4T2 - DOS*AlBZTl + DOS'BB) /A3B6 SENSJT(3,I) = SENSJ(I,3) SENSJ[I,4) = CONST3*(MB6T3 - TRESfA2B4T2 t SEIS*AlBZTl -

# SEIS*BB) /A4BB SENSJT(4,I) = SENSJ(I,4) SENSJ(1,S) = CONST3*(A4BBT4 - CUATRO*A3B6T3 t DOCE'A2B4T2 - SENSJT(5,I) = SENSJ(I,5)

# VCUATRO*AlB2Tl + VCUATRO*BB)/A5B10 70 CONTINUE C CALCULO DE LA MATRIZ POMEGADIAG Y LA MATRIZ POMEGA

DO 71 I = 1,MM DO 72 J = 1,MM

PROD = 0.0DtO DO 73 K = 1,624

PROD = PROD + SENSJT(I,K)*SENSJ(K,J) 73 CONTINUE

poMEGA(1,J) = PROD IF (1.EQ.J) THEN

ELSE

ENDIF

POMEGADIAG(1, J) = PROD

POMEGADIAG(1, J) =O. OD+O

72 CONTINUE 71 CONTINUE C CALCULO DE LAS TEMPEFlATUFUE 130 DO 30 I = l,LL

T = (I-l)*TINT AA = EXP (-AlBZ'T) BB = l - A A A1B2T1 = ALFA*BETA2*T AZB4T2 = AlBZTl'AlBZTl A3B6T3 = AlBZTl'AZB4T2 A4B8T4 = A2B4TZtA2B4T2 TEST(1,l) = CONSTl*AA + CONSTZ*BB t

CONCT3'f fBB/AlB2) *PK(l, 1) + + t ((A3B6T3 - TRES*A2B4T2 t .SEIS*AlBZTl -

+ ((A4B8T4 - CUATRO'MB6T3 + DC€E*AZB4T2 -

( (AlB2Tl - BB) /AZB4) *PK(2,1) ((AZB4T2 - DOStA1B2T1 + DOS*BB)/A3B6)*PK(3,1)

SEIS*BB)/A4B8)*(PK(4,1))

VCUATROtA1B2T1 + VCUATRO'BB) /A5B10) *PK(5,1)

1 1 2

30 C

50 C

KO

C

140

90 80

110

100

112

111

117 116

# 1 CONTINUE

CALCULO DE Y - T(P) Y SU TRANSPUESTA DO 50 I = 1. 1.T. ~, __

YMENOST(Itl) = TMED(1,l) - TEST(1,l) YMENOSTT(1,I) = YMENOST(1,l)

CONTINUE CALCULO DE S (P)

PROD = O.ODtO DO KO I = ~ . L L

PROD = PROD t YMENOSTT(l,I)*YMENOST(I,i) CONTINUE SDEP = PROD

WRITE(*,*)KK, SDEP IF(KK.EQ.100) THEN

WRITE(', * ) '¿,CONTINUAMOS?' READ (*, * ) LLL IF(LLL.EQ.0) GOTO 150

ENDIF VERIFICACION DEL CRITERIO DE CONVERGENCIA

IF (KK.EQ.0) THEN SDEPO = SDEP

ELSE IF (SDEP.GE.SDEP0) THEN

UK = UK*lO.ODtO GOTO 140

ELSE UK = 0.1DtO'UK IF(SDEP.LT.EPS1) GOTO 150

ENDIF

RESOLUCION DEL SISTEMA DADO POR EL PROCESO ITERATIVO DEL KETODO DE LEVENBERGMARQUARDT

ENDIF

KK = KKt1 DO 80 I = 1.m

DO 90 J = 1,MM

CONTINUE ASOL(1,J) = POMEGA(1,J) t UK*POMEGADIAG(I,J)

CONTINUE DO 100 I = l,m

PROD = O.OD+O DO 110 K = l,LL

CONTINUE BSOL(1,l) = PROD

PROD = PROD t SENSJT(I,K)*YMENOST(K,l)

CONTINUE M = MMt1 L = MM-1 DO 111 I = l , m

DO 112 J = 1,MM

CONTINUE AASOL(1.M) = BSOL(I.1)

AASOL(1, J) = ASOLiI, J)

CONTINUE DO 115 K = l,L

KP = Kt1 DO 116 I = KP,MM

QT = AASOL (I, K) / M O L (K, K) DO 117 J = KP,M

AAS0LíI.J) = AAS0LíI.J) - QT'AAS0LíK.J) CONTINUE

CONTINUE DO 118 I = KP,m

1 1 3

118 115

114

119 C

120.

150

AnsOL(1,K) = O CONTINUE

CONTINUE

SUM = o I = m - m IP = 1 + 1 DO 114 J = 1P.m

SUM = SUM + AASOL(I,J)*DELTAP(J,l) CONTINUE

CALCULAR LA NUEVA ESTIMACION DE P(K+l) DO 120 I = 1,MM

PKl(I,l)= PK(1,l) + DELTAP(1,l) PK(I,l) = PKl(1,l)

CONTINUE GOT0 130

WRITE ( 2 , * ) PK(1,l) , PK(2,l) , PKí3,l) , PK(4,l) , PK(5,l) WRITE(2,*)SDEP

T = (I-1)'TINT DO 160 I = 1,LL

G(1) = PK(1,l) + PK(2.1) *T + PK(3,l) * (T**2) + PK(4,l) * (T**3) WRITE(2,*)TMED(I,l), TEST(I,l), G(1)

# + PK(5,l) (T**4) 160 CONTINUE

STOP END

C C C BJO Calcula los valores de la función de Bessel J(x) de orden O, C i.e. JO(x). Basado en las fórmulas de Abrmowitz y C Stegun. Solo para valores positivos de x . C C

DOUBLE PRECISION FUNCTION BJO(X) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z) DATA ZERO/O.OD+OO/,ONE/1.OD+OO/,THREE/3.OD+00/

C IF(X.LT.ZER0) THEN

WRITE ( ,lo)

STOP 10 FORMAT ( ' ' , 'SOLO VALORES POSITIVOS DE X EN BJO - FIN'

ENDIF IF(X.LE.THREE) THEN

XX = (X/THREE)**2 SUM = ZERO SUM = XX*(-2.2499997D+O + XX*(1.2656208D+O + XXf(-0.3163866D+0

# + XXi(0.0444479D+0 + XX*(-0,0039444D+O + # xx*o.ooo21ooD+o))))~

BJO = ONE + SUM ENDIF IF fX . GT . THREE) THEN

XX = THREE/X FO = 0.79788456D+0 + XXt(-0.00000077D+O + XX*(-O.O055274OD+O +

# XX*(-O.O0009512D+O + XX+(0.00137237D+O + # XX*(-O.O0072805D+O + XX*O.O0014476D+O)))))

TO = X - 0.78539816D+0 + XX*(-O.O4166397D+O + # XX*(-O.O0003954D+O + XX*(O.O0262573D+O + # XX*(-O.O0054125D+O + XX*(-O.O0029333D+O # + XX*O.O0013558D+O)))))

BJO = FO*COS (TO) /DSQRT (X)

1 1 4

ENDIF RETURN END

C C C BJ1 Calcula los valores de la función de Bessel J(x) de orden 1, C i.e. Jl(x). Basado en las fórmulas de Abramauitz y C S t e w . Solo para valores positivos de x . C C

DOUBLE PRECISION FUNCTION BJl(X) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z) DATA ZERO/O.OD+00/,ONE/1.ODtOO/,TW0/2.OD+OO/,THREE/3.OD+OO/

IF (X.LT. ZERO) THEN C

WRITE(*,lO) FORMAT(' ','SOLO VALORES POSITIVOS DE X EN BJ1 - FIN') STOP

10

ENDIF IF(X.LE.THREE) THEN

XX = (X/THREE)**2 SUM = ZERO SUM = XX*(-O.S6249985D+O + XX*(O.21093573D+O +

# xX*(-O.O3954289DtO + XX*(O.O0443319D+O + # XX*(-O.O003176lD+O + XX*O.00001109D+OI~I~I

BJ1 = (ONE/TWO t SUM)*X ENDIF IF (X .GT. THREE) THEN

XX = THREE/X F1 = 0.79788456D+O t XX*(0.00000156D+O + XX* (0.01659667D+O t

# XX*(0.00017105DtO + XX*(-O.O0249511D+O t # XXt(0.00113653D+0 - XX'O.O0020033D+O))))) # XX*(O.O000565DtO + XX*(-O.O0637879DtO t # XXi(0.00O74348D+O t XX*(O.O0079824DtO # - XX*0.000291660+0)))))

T1 = X - 2.35619449D+O + XXf(0.124996l2D+O +

BJ1 = Fl*COS (Tl) /DSQRT (X) ENDIF RETURN END

c.2 C~DIGO PARA LA APLICACI6ñ DEL m " O D O DE LEVENBERG-

m Q U A R D T EN LA oBTENCI6N DE LOS PARÁMETROS DE LA

FUNCI~N gg GENERACIÓN gg CALQR GUARDA

El siguiente código fue desarrollado en FORTRAN POWERSTATION 4.0. Ejecutado en una computadora Pentium Celeron a 466 MHz con sistema operativo Windows ME.

PROGRAM LMGUARDA IMPLICIT DOUBLE PRECISION(A-H,N-2) DIMENSION TMED (3 4 5,l) , TEST (34 5,l) , SENS J (34 5,5 ) , SENS JT (5,345 ) ,

# POMEGA(5,5) , DELTAP (5,l) , PK1(5,1) , PK(5 I 1) I # YMENOST(345,1), YMENOSTT(1,345),POMEGADIAG(5,5), ASOL(5,5), # BSOL(S,l), AASOL(5,6), G(345) DATA UNO/1.ODtOO/,DOS/2.OD+OO/,TRES/3.ODtOO/,CUATR0/4.ODf00/,

# SEIS/6.OD+OO/, DOCE/12.OD+OO/,VCUATRO/24.0D+OO/

1 1 5

.

OPEN(1, FILE='TEMPMED~.DAT') OPEN (2, FILE=' RESULTADOS .DAT ' ) ALFA = 0.000084D+O B = 0.0762DtO D = 0.1524 BETA = 1.34149388595858~to CONDK = 204.OD+O H = 14.ODtO PI = 4.OD+O*DATAN(1.ODtO) R = 0.1524D+0 R2 = 0.0983Dt0 TAMB = 300.39D+O TIN1 = 300.39DtO UK = O.OOlD+O EPSl = lO.OD+O KK = o MM = 5 u2 = D*D B2 = B*B H2 = H*H BETA2 = BETA*BETA CONDK2 = CONDK*CONDK

C LECTURA DE LOS DO 10 I = 1,345

READ (1, )Y TMED(1,l) = Y

10 CONTINUE C INICIALIZACION

DO 20 I = 1,MM

20 CONTINUE C DECLARACI~N DE

PK(1,l) = 1

! COEFICIENTE DE DIFUSIVIDAD TERMICA ! RADIO INTERIOR DE LA GUARDA ! RADIO EXTERIOR DE LA GUARDA ! RAIZ DE EIGENVALOR ! CONDUCTIVIDAD TERMICA ! COEFICIENTE CONVECTIVO

! POSICION DE LOS TERMOPARES ! POSICION DE LA FUENTE DE CALOR ! TEMPERATURA AMBIENTE ! TEMPERATURA INICIX DE LA GUARDA

DATOS DE MEDICION DE TEMPERATURA

DE LOS PARAMETROS

VALORES CONSTANTES DEN1 = -CONDK*BETA*BJl (BETA'D) +H*BJO (BETA*D) DEN2 = -CONDVBETA*BYl (BETA*D) tH*BYO (BETA*D) ROR = BJO (BETA*R) /DEN1 - BY0 (BETA'R) /DEN2 ROB = BJO (BETA*B) /DEN1 - BY0 (BETA*B) /DEN2 ROD = BJO (BETA*D) /DEN1 - BY0 (BETA'D) /DEN2 ROR2 = BJO (BETA'W) /DEN1 - BY0 (BETA*R2) /DEN2 ROD2 = ROD*ROD ROB2 = ROB*ROB NORMA = (H2 + BETAZ'CONUKZ) * (DZ'ROD2 -B2*ROB2) / (DOS'BETAZ*CONDIQ) CONSTl = H+TINI*ROR* (D'ROD + B'ROB) / (BETM'CONDICNORMA) CONST2 = H*TAMB*ROR* (B*ROB + PROD) / (BETAZ*CONDICNORMA) CONST3 = ?+LFA*ROR*ROR2/(DOS*PI'CONDK*NORMA) A1B2 = ALFA*BETAZ A2B4 = AlB2*AlB2 A3B6 = AlB2*AZB4 A4B8 = AZB4*AZB4 A5B10 = A2B4*A3B6

DO 70 I = 1,345 C CALCULO DE LA MATRIZ DE SENSIBILIDAD

T = (1-1)*30.OD+O AA = EXP(-AlB2*T) BB = l - A A AlB2T1 = AlB2'T A2B4T2 = A1B2TltA1B2T1 A3B6T3 = A1B2TlfA2B4T2 A4B8T4 = AZB¶T2*AZB4TZ SENSJ(1,l) = CONST3*BB/AlB2 sENsJT(1,I) = SENSJ(1,l) SENSJ(1,Z) = CONST3+(AlBZT1 - BB)/AZB4 sENSJT(2,I) = SENSJ(1,Z) SENSJ(I,3) = CONST3*(MB4T2 - DOS'AlB2Tl + DOS*BB) IA3B6

1 1 6

70 C

73

72 71 C 130

30 C

50 C

60

C

SENSJT(3,I) = SENSJ(I,3) SENSJ(I,4)

# SEIS'BB) /A4B8 SENSJT(4,I) = SENSJ(I,4) SENSJ(1,S)

SENSJT(5,I) = SENSJlI.5)

= CONST3* (A3B6T3 - TRES*AZB4T2 + SEIS'AlBZTl -

= CONST3*(A4B8T4 - CUATRO*A3B6T3 + DOCE*AZB4T2 - # VCUATRO*AlBZTl + VCUATRO*BB)/A5B10 CONTINUE

DO 71 I = 1,MM DE LA MATRIZ POMEGADIAG Y LA MATRIZ POMEGA

DO 72 J = 1,MM PROD = O . O M O DO 73 K = 1,345

CONTINUE POMEGA(1,J) = PROD IF (1.EQ.J) THEN

ELSE

ENDIF

PROD = PROD + SENSJT (I, K) *SENS J (K, J)

POMEGADIAG(1,J) = PROD

POMEGADIAG(I,J)=O.OD+O

CONTINUE

CAZCULO DE W TEMPERATURAS

T = (1-1)*3O.OD+O AA = EXP(-AlB2'T) BB = 1 - A A AlB2T1 = ALFA*BETAZ*T A2B4T2 = A1B2TltA1B2T1 A3B6T3 = AlB2Tl*A2B4T2 A4B8T4 = A2B4TZtA2B4T2 TEST(1,l) = CONSTl*?iA + CONSTZ*BB +

# CONST3* ( (BB/AlBZ) *PK(l, 1) # + ((AlB2Tl - BB)/AZB4)*PK(2,1) # + ((AZB4T2 - DOS'AlBZTl + DOS*BB)/A386)*PK(3,1) # t ((A3B6T3 - TRES*A2B4T2 t SE1StA1B2T1 - # SEIC*BB)/A4BS)*(PK(4,1)) # + ((A4BET4 - CUATRO*A3B6T3 + DOCE*A2B4T2 - #

CONTINUE

DO 30 I = 1,345

VCUATRO*AlB2Tl + VCUATRO'BB) /A5B10) *PK(5,1)

# 1 CONTINUE

DO 50 I = 1,345 CALCULO DE Y - T(P) Y SU TRANSPUESTA

YMENOST(1,l) = TMED(1,l) - TEST(1,l) YMENOSTT (1, I) = YMENOST (I, 1)

CONTINUE CALCULO DE S(P)

PROD = O.ODtO DO 60 I = 1,345

CONTINUE PROD = PROD + mENosTT(l,I)*n?ENOST~I,~)

SDEP = PROD WFZTE(*,*)KK, SDEP

IF (KK.EQ. 100) THEN WRITE (*, * ) '¿CONTINUAMOS?' READ (*, * ) LL IF(LL.EQ.0) GOT0 150

ENDIF VERIFICACION DEL CRITERIO DE CONVERGENCIA

IF (KK.EQ.0) THEN SDEPO = SDEP

ELSE

1 1 7

C C 140

90 80

110

100

112

111

117 116

118 115

114

119 C

120

150

IF (SDEP.GE.SDEP0) THEN UK = UK*lO.ODtO GOTO 140

UK = O.lDtO*uK ELSE

IF(SDEP.LT.EPS1) GOTO 150 ENDIF

ENDIF RESOLUCION DEL SISTEMA DADO POR EL PROCESO ITERATIVO DEL METODO DE LEVENBERG-MARQUARDT

KK = KKt1 DO 80 I = 1 , M M

DO 90 J = 1 , M M ASOL(1,J) = POMEGA(1,J) t UK*POMEGADIAG(I,J)

CONTINUE CONTINUE DO 100 I = l,MM

PROD = O.ODt0 DO 110 K = 1,345

CONTINUE BSOL(1,l) = PROD

PROD = PROD + SENSJT(I,K)*YMENOST(K,l)

CONTINUE M = MM+1 L = MM-1 DO 111 I = 1,MM

DO 112 J = l,MM AASOL(1, J) = ASOL(1, Jl

CONTINUE AASOL(1.M) = BSOLlI.1)

CONTINUE DO 115 K = l,L

KE' = Kt1 DO 116 I = KP,MM

QT = AASOL (I , K) / M O L (K, K) DO 117 3 = KP,M

CONTINUE AASOL(1,J) = AASOL(1,J) - QT*AASOL(K,J)

CONTINUE DO 118 I = KP,MM

CONTINUE AASOL(1.K) = O

CONTINUE DELTAPIMM.11 = AASOL(MM,M)/AASOL(MM,MM) . . DO 119 MN = l,L

SUM = o I = M M - M N IP = 1 + 1 DO 114 J = IP,MM

CONTINUE DELTAPíI.1) = IAASOL(1,M) - SUM)/ AASOL(I,I)

SUM = SUM t AASOL(I,J)*DELTAP(J,l)

CONTINUE CALCULAR LA NUEVA ESTIMACION DE P(Kt1)

DO 120 I = l,MM ' PKlí1.1)= PK(I.11 + DELTAP(1,l) . . . . . .

PK(I.1) = PKl(1,l) CONTINUE GOTO 130

WRITE (2, * ) PK( 1,l) , PK(2,l) , PK(3,l) , PK(4,l) , PK(5,l) WRITE(Z,*)SDEP

T = (1-1)*30.OD+00 DO 160 I = 1,345

1 1 8

G(l) E PK(l,l) + PK(2,1)*T t PK(3,1)*(T**2) t pK(4,1)*(~**3) # t PK(5,1)*(T'*4)

WRITE (2, * ) TMED (I, 1) , TEST (I, 1) , G ( I) 160 CONTINUF.

STOP END

C C C C C C C

C

C C C C C C C

C

BJO Calcula los valores de la función de Bessel i.e. JO(x). Stegun.

J(x) de orden O, Basado en las fórmulas de Abramowitz y

Solo para valores positivos de x.

DOUBLE PRECISION FUNCTION BJO (X) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H, O- Z) DATA ZERO/O.ODtOO/,ONE/1.OD+OO/,TW0/2.OD+OO/,THREE/3.ODt00/

IF(X.LT.ZER0) THEN WRITE(*, 10)

STOP 10 FORMAT(' I , 'SOLO VALORES POSITIVOS DE X EN BJO - FIN')

ENDIF IF(X.LE.THREE) THEN

XX = (X/THREE)**2 SUM = ZERO SUM = XX*(-2,2499997D+O t XX'(1.2656208DtO t XX*(-0.3163866DtO

# t xx* (0.0444479DtO t XX* (-0.0039444DtO + # XX*0.0002100DtO)))))

BJO = ONE + SUM ENDIF IF(X.GT.THREE) THEN

xx = THREEIX FO = 0.79788456D+0 t XX*í-O.OOOOOO77D+O t XXf(-0.00552740Dt0 +

# XX*(-O.O0009512D+O t XX*(O.O0137237D+O t # XX*(-O.O0072805DtO t XX'0.00014476DtO)))))

TO = X - 0.78539816DtO t XX*(-O.O4166397D+O t # XX*(-O.O0003954DtO t XXf(0.00262573Dt0 t # XX*(-O.O0054125D+O + XX*(-O.O0029333DtO # t XX*O.O0013558DtO)))))

BJO = FO'COS (TO) /DSQRT (X) ENDIF . RETURN END

BJ1 Calcula los valores de la función de Bessel J(x) de orden 1, i.e. Jl(x). Basado en las fórmulas de Abramowitz y S t e m . Solo para valores positivos de x.

DOUBLE PRECISION FUNCTION BJl(X) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z) DATA ZERO/O.OD+OO/,ONE/1.ODtOO/,TW0/2.ODtOO/,THREE/3.ODtOO/

IF(X.LT.ZER0) THEN WRITE(*, 10)

STOP 10 FORMAT ( ' ' , 'SOLO VALORES POSITIVOS DE X EN BJ1 - FIN' )

ENDIF IF(X.LE.THREE) THEN

XX = iX/TmEE)**2 SUM = ZERO SUM = XXt(-0.56249985Dt0 t XX*(O.Z1093573D+O +

1 1 9

# # XXt(-0.00031761M0 + XX*O.OOOOllO9D+o)))))

XX* (-0.03954289D+O + XX*(O.O0443319D+o +

BJ1 = (ONE/TWO + SUM)*x ENDIF IF (X. GT. THREE) THEN

XX = THREE/X F1 = 0.79788456D+O + XX*(0.00000156D+O + XX*(0.01659667D+O +

# XX*(0.00017105D+O + XXt(-0.00249511D+0 + # XX*(0.00113653D+O - XX*0.00020033D+O))))) # XXt(0.0000565D+0 + XX*(-O.O0637879D+O + # XX*(O.O0074348D+O + XX*(0.00079824D+O # - XX'O.O0029166D+O)))))

T1 = X - 2.35619449D+O + XXi(0.12499612D+0 +

BJ1 = Fl*COS (T11 /DSQRT (XI ENDIF RETURN END

C C C BY0 calcula los valores de la función de Bessel Y(x) de orden O, C i.e. YO(x). Basado en las fórmulas de Abramowitz y C stegun. solo para valores positivos de x. C C

DOUBLE PRECISION FUNCTION BY0 (X) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H.0-2) DATA ZERO/O.OD+OO/,ONE/l.OD+OO/,TW0/2.OD+OO/,THREE/3.OD+OO/ PI = 4.OD+O*DATAN(l.ODtOI ANATLOG = DLOG(X/TWOl

IF(X.LT.ZER0) THEN C

WRITE (*, 10) 10 FORMAT(' '.'SOLO VALORES POSITIVOS DE X EN BY0 - FIN') . .

STOP ENDIF IF(X.LE.THREE) THEN

XX = (X/THREE)"2 SUM = ZERO SUM = XX*(O.60559366D+O + XX*(-0,74350384D+O + XXi(0.25300D+O

# + XX'í-O.O4261214D+O + XXt(0.00427916D+0 - # XX*O.00024846D+O)))ll

BY0 = (TWO/PI)*ANATLOG*BJO(Xl + 0.36746691D+O + SUM ENDIF IF (X . GT. THREE) THEN

XX = THREE/X FO = 0.79788456D+O + XX*(-O.OOOOOO77DtO + XX*(-O.O0552740D+O +

# XX*(-O.O0009512D+O + XX*(O.O0137237D+O + # XX*(-O.O0072805D+O + XX*0.00014476D+O)l))l

TO = X - 0.78539816D+O + XXi(-O.04166397D+O t # XX*(-O.O0003954D+O + XX'(0.00262573D+O i # XX*(-O.O0054125D+O + XX*(-O.O0029333D+O # + xx*o.ooo13558D+o)))ll

BY0 = FO*DSIN(TO) /DSQRT (X) ENDIF RETURN END

C C C BY1 Calcula los valores de la función de Bessel J(X) de orden 1, C i.e. Ji(x). Basado en las fórmulas de Abramowitz y C stegun. solo para valores positivos de x. C C

120

-. ..

DOUBLE PRECISION FUNCTION BYl(X) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z) DATA ZERO/O.ODt~0/,ONE/1.ODI-00/,TW0/2.ODtOO/,THREE/3.ODf00/ PI = ~.OD~O*DATAN(~.OD~O) ANATLOG = DLOG(X/TWO)

IF(X.LT.ZER0) THEN C

WRITE ( * , 10) FORMAT(' STOP

10 ','SOLO VALORES POSITIVOS DE X EN BY1 - FIN')

ENDIF IF (X. LE. THREE) THEN

XX = (X/THREE)**2 SUM = ZERO SUM = XX*(0.2212091D+O + XX*(2.1682709DtO t

# XXt(-1.3164827D+0 + XX'(0.3123951 + # XX*(-O.O400976D+O t XX'O.OO27873DtO)))))

BY1 = (TWO/PI)*ANATLOG*BJl(X) t(- 0.6366198Dt0 f SUM)/X ENDIF IF (X . GT. THREE) THEN

xx = THREE/X F1 = 0.79788456D+0 t XX*(0.00000156D+O + XX*(O.O1659667DtO t

U XX*(O.O0017105D+O + XX*(-O.O024951iD+O t # XX*(O.O0113653D+O - XX*O.O0020033D+O)))))

T1 = X - 2.35619449D+0 t XX'(0.12499612DfO t U XX*(O.O000565D+O t XX*(-O.O0637879D+O t # XX*(O.O0074348D+O t XX*(O.O0079824D+O U - XX*O.O0029166DtO)))))

BY1 = Fl*DSIN(Tl)/DSQRT(X) ENDIF RETURN END

1 2 1

- D.1 =DIGO PARA LA APLICACIÓN DEL M~TODO DEL GRADIENTE ~

CONJUGADO EN LA OBTENCI~N DE LOS PARAMETROS DE LA

FWNCIdN DE GENERACI~N DE CALOR DE LA PLACA CALIENTE

4.0.

El siguiente código fue desarrollado en FORTRAN POWERSTATION Ejecutado en una computadora Pentium Celeron a 466 MHz con

sistema operativo Windows ME.

PROGRAM GCPLACA IMPLICIT DOUBLE PRECISION(A-H,N-2) DIMENSION Y(624), PK(5), TEMP(624), SJ(624,5), SJT(5,624),

# TMENOSY (624) , YMENOST( 624), GRADS (5), GRADS1 (5), DESC (5), #DESC1(5), SJD(624), G(624)

# SEIS/6.ODtOO/,DOCE/12.ODtOO/,VCUATR0/24.OD+00/, CERO/O.OD+O/ DATA UNO/1.OD+OO/,M)S/2.OD+OO/,TRES/3.ODt00/,CUATR0/4.OMOO/,

OPEN (1, FILE='TEMPMED. DAT' ) OPEN (2, FILE=' RESULTADOS .DAT ' ) ALFA = 0.000084D+O ! COEFICIENTE DE DIFUSIVIDAD TERMICA B = O.O762D+O BETA = 1.3412280271428D+0 ! RAIZ DE EIGENVALOR

! RADIO EXTERIOR DE LA PLACA

CONDK = 204.OD+O EPSl = 1892.0Dt0

! CONDUCTIVIDAD TEPMICA

H = 14.ODtO ! COEFICIENTE CONVECTIVO PI = 4.0MOtDATAN(1.0D+O) R = 0.0762Dt0 ! POSICION DE LOS TEPMOPARES R1 = 0.0538DtO ! POSICION DE LA FUENTE DE CALOR TAMB = 302.378DtO ! TEMPERATURA AMBIENTE TIN1 = 302.378DtO ! TEMPERATURA INICIAL DE LA PLACA UK = O.OOlD+O KK = o m = 5 82 = B'B H2 = H*H BETA2 = BETA*BETA CONDK2 = CONDK*CONDK

DO 10 I = 1,624 C LECTURA DE LOS DATOS DE MEDICION DE TEMPERATURA

READ (1, * ) TM Y(1) = TM

10 CONTINUE C INICIAJJZACION DE LOS PARAMETROS

DO 2 0 I = l ,m PK(1) = CERO

2 0 CONTINUE C DECLARACIÓN DE VALORES CONSTANTES

ROR = BJO(BETA*R) ROB = BJO(BETA*B) RORl = BJO(BETA*RlI ROB2 = ROB'ROB NORMA = (H2 + BETA2*CONDK2)*B2*ROB2/(DOS*BETA2*CONDK2) CONSTl = TINI*ROR*ROB*B*H/(BETA2*NORMA*CONDK) CONST2 = H*TAME*ROR'B*ROB/ (BETA2*C0NDKtNORMA)

1 Z Z

CONST3 ALFA*ROR*RORl/(DOS*PI'CONDKtNORMA) AlB2 = ALFA*BETM

C

30

C 300

40 C

50 C

60

C

C

M B 4 = AlB2*AlB2 A3B6 = AlB2*MB4 A4B8 = MB4*MB4 A5B10 = A2B4*A3B6

CAL&ULO DE LA MATRIZ DE SENSIBILIDAD Y SU TRANSPUESTA DO 30 I = 1.624 ~,

T = (I - 1)*60.OD+O AA = EXP 1-AlBZ'T) BB = 1 - A A AlB2T1 = AlBZ*T A2B4T2 = AlBZTl*AlB2Tl A3B6T3 = AlB2Tl*MB4T2 A4BBT4 = A2B4T2*AZB4TZ SJ(1,l) = CONST3*BB/AlB2 SJT(1,I) = SJ(I.1) SJ(1,Z) = CONST3*(AlBZTl - BB)/MB4 SJT(2,I) = SJ(1,Z) SJ(i,3) = CONST3* (A2B4T2 - DOS'AlBZTl + DOS'BB) /A386 SJT(3,I) = SJ(I,3) SJ(I,4) = CONST3*(A3B6T3 - TRES*MB4T2 + CEIS*AlB2Tl -

# SEIS*BB) /A4B8 SJT(4.I) = SJ(I.4) SJ(1,5) = CONST3*(A4B8T4 - CUATROtA3B6T3 + DOCE*A2B4T2 - SJT(5,I) = SJ(I,5)

# VCUATRO*AlBZTl t VCUATRO*BB)/A5B10

CONTINUE ! DESDE AQUI COMENZAMOS LA ITERACION

DO 40 I = 1,624 CALCULO DE LAS TEMPERATURAS

T = (I - 1)*60.OD+00 AA = EXP (-AlB2*T) BB = 1 - A A AlB2T1 = AlB2'T A2B4T2 = AlBZTl*AlBZTl A3B6T3 = AlBZTl'A2B4T2 A4B8T4 = MB4TZ*MB4T2 TEMP(1) = CONSTl*AA + CONST2*BB t

# CONST3*( (BB/AlB2)*PKIl) # t ((AlB2T1 - BB)/AZB4) *PK(2) # + ((MB4T2 - DOS+AlBZTl + D0StBB)/A3B6)*PK(3) # + ((A3B6T3 - TRES'MB4T2 + SEIS*AlB2Tl - # SEIS*BB) /A4B8) *PK(4) ?k + ((A4B8T4 - CUATROtA3B6T3 + DOCE*AZB4T2 - ?k VCUATRO'AlBZTl t VCUATRO*BB)/A5BlO)*PK(S) it l CONTINUE

DO 50 I = 1,624 CALCULO DE Y - T(P) Y SU TRANSPUESTA, T(P)-Y

PRODl = CERO I DO 60 I = 1,624

CONTINUE PRODl = PRODl + (YMENOST(I)*YMENOST(I))

SDEP = PROD1 WRITE ( * , * ) SDEP

VERIFICACION DEL CRITERIO DE CONVERGENCIA ~~~

iF(SDEP.LT.EPS1) GOT0 150 CALCULO DE LA DIRECCION DEL GRADIENTE Y SU TRANSPUESTA

1 2 3

800 DO 70 I = 1 , m PROD2 = CERO DO 8 0 J = 1,624

80

70 C

C

C

90

C

110 C

130

120

140

C

200

100

C 150

160

C

PROD2 = PROD2 t (SJT(I,J)*YMENOST(J)) CONTINUE GRADS(I) = -DOS‘PROD2

CONTINUE CALCULO DEL COEFICIENTE DE CONJUGAMIENTO (GAMMA)

IF(KK.EQ.0) THEN GAMMA = CERO

ELSE PROD3 = CERO PROD4 = CERO

EXPRESI6N DE POW<-RIBIERE

EXPRESIÓN DE FLETCHER-REEVES

DO 90 I = l,MM

PROD3 = PROD3 + (GRADS(I)*(GRADS(I) - GPAUSl(1)))

PROD3 = PROD3 + (GRADS(I)*GWU>S(I)) PROD4 = PROD4 t (GRADSl(I)*GRADSl(I))

CONTINUE GAMMA = PROD3/PROD4

CALCULO DE LA DIRECCION DE DESCENSO (DESCl

DESC(1) = GRADS(1) t GAMMn*DESCl(I)

ENDIF

DO 110 I = l,m

CONTINUE CALCULO DEL T&O DE PASO DE BUSQUEDA (BETAK)

DO 120 I = 1,624 PRODS = CERO DO 130 J = l,MM

CONTINUE SJD(1) = PROD5

PROD5 = PRODS t SJ(I,J)*DESC(J)

CONTINUE PROD6 = CERO PROD7 = CERO DO 140 I = 1,624

PROD6 = PROD6 + CJD(I)*TMENOSY(I) PROD7 = PROD7 + SJD(I)*SJD(I)

CONTINUE BETAK = PROD6/PROD7

CALCULO DEL NUEVO PK1

. . . . CONTINUE KK = KKt1 DO 100 I = l,m

’ GmSi(1) = GRADS(1) DESCl(1) = DESC(1)

CONTINUE GOT0 300

IMPRESION DE RESULTADOS WRITE (2, * ) PK(1) , PK(2) , PK(3) , PK(4), PK (5) WRITE (2, * ) SDEP

T = (1-1)*60.OD+00 G(1) = PK(1) + PK(Z)*T + PK(3)*(T**2) t PK(4)*(T’*3) WRITE(Z,*)Y(I), TEMP(I), G(I)

DO 160 I = 1,624

# + PK(5)’(T’*4) CONTINUE STOP END

124

C C BJO Calcula los valores de la.función de Bessei J(x) de orden O, C i.e. JO(x). Basado en las fórmulas de Abramowitz y C S t e w . Solo para valores positivos de x. C C

DOUBLE PRECISION FUNCTION BJO(X) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z) DATA ZERO/O.OD+OO/,ONE/1.OD+OO/,TW0/2.OD+OO/,THREE/3.ODt00/

IE(X.LT.ZER0) THEN C

WRITE(*, 10) FORMAT(' ' , ' S O L O VALORES POSITIVOS DE X EN BJO - FIN') STOP

10

ENDIF 1FIX.LE.THREE) THEN

XX = [X/THREE)**Z SüM = ZERO SUM = XX*(-2.2499997D+O + XX*(1,2656208D+O t XX*(-0.3163866D+O

# + XX*(O.O444479D+O + XX*(-0.0039444D+O i # XX*O.OOO2lOOD+O)))))

BJO = ONE + SüM ENDIF IF(X.GT.THREE) THEN

XX = THREE/X FO = 0.79788456D+O t XX*(-0.00000077D+O + XX'(-O.O0552740DtO t

# XX*(-0.00009512D+0 + XX*(O.O0137237DfO + # XX*(-O.O0072805D+O + XX*O.O0014476D+O)))))

TO = X - 0.78539816D+0 t XX*(-O.O4166397D+O + # XX*(-O.O0003954D+O + XX*(O.O0262573DtO + # XX*(-O.OOO54125M.O + XX'(-O.O0029333D+O # + XX*O.O0013558D+O)))))

BJO = FO'COS (TO) /DSQRT IX) ENDIF RETURN END

C C C BJ1 Calcula los valores de la función de Bessel J(x) de orden 1. C i.e. Jl(x). Basado en las fórmulas de Abramowitz y C Stegun. Solo para valores positivos de x. C C

DOUBLE PRECISION FUNCTION BJ1 (X) ~~

IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z) DATA ZERO/O. OD+OO/, ONE/l.OD+OO/, TWO/2.0DtOO/,THREE/3. oD+oo/

C IF (X .LT. ZERO) THEN

WRITE (*, 10)

STOP 10 FORMAT(' ','SOLO VALORES POSITIVOS DE X EN BJ1 - FIN')

ENDI F IE(X.LE.THREE) THEN

XX = fX/THREEI'*2 ~~~~

SUM = ZERO CUM = XX*í-0.56249985D+O + XX*(0,21093573D+O + ~~~

P XX*(-O.O3954289DtO + XX'(0.00443319DtO + A XX'(-0.00031761D+O T XX'0.00001109D+Ol))~)

R J 1 = (ONE/TWO t SUM)'X ENDI E IF (X . GT. THREE) THEN

xx = THREE/X F1 = 0.79788456D+O + XX*(0.00000156D+O + XX*(O.O1659667D+O +

1 2 5

# XX*(0.00017105D+O + XX*(-O.O0249511DtO + # XX*(O.O0113653D+O - XX*0.00020033D+0]))))

# xx*(0.0000565DtO t xx*(-0.00637879~+0 + T1 = X - 2.35619449MO + XX*(O.l2499612D+O +

~- . # XXt(0.00074348D+0 + XX*(O.O0079824DtO # - XX*O.O0029166D+O~)I))

BJ1 = Fl*COS (Tl) /DSQRT (X) END1 F RETURN END

D.2 CdDIGo PARA LA APLICACIÓN DEL M$TODO DEL GRADIENTE

CONJUGADO EN @ OBTENCI~N DE LOS PARAWETROS DE LA -

FUNCIÓN E GENERACIÓN E CALoR GUARDA

El siguiente código fue desarrollado en FORTRAN POWERSTATION

4.0. Ejecutado en una computadora Pentiurn Celeron a 466 MHz con sistema operativo Windows ME.

PROGRAM GCGUARDA IMPLICIT DOUBLE PRECISION(A-H,N-2) DIMENSION Y(3451, PK(51, TEMP(3451, SJ(345,5), SJT(5,345),

#TMENOSY(3451, uMENOST(345), GRADS(5), GRADSl(S), DESC(SI, # DESC1(5), SJD(3451, G(3451

#SEIS/6.ODt00/,DOCE/12.ODtOO/,VCUATR0/24.OD+00/, CERO/O.OD+O/ DATA rnIo/l.Ol>+OO/,M)S/2.OD+OO/,TRES/3.OD+OO/,CUATR0/4.OD+OO/,

OPEN (1, FILE='TEMPMEDZ .OAT') OPEN (2 , FILE='RESULTADOS2. DAT' 1 ALFA = 0.000084D+O B = 0.0762D+O

! COEFICIENTE DE DIFUSIVIDAD TERMICA ! RADIO EXTERIOR DE LA PLACA

D = 0.1524D+0 ! RADIO EXTERIOR DE LA GUARDA BETA = 1.34149388595858D+0 ! RAIZ DE EIGENVALOR CONDK = 204.OD+O ! CONDUCTIVIDAD TERMICA EPSl = 127.OD+O H = 14.ODtO ! COEFICIENTE CONVECTIVO PI = 4 . OD+OfDATAN(l.OD+Ol R = 0.1524Dt0 ! POSICION DE LOS TERMOPARES R2 = 0.0983D+O ! POSICION DE LA FUENTE DE CALOR TAMB = 300.39DtO ! TEMPERATURA AMBIENTE TIN1 = 300.39DtO ! TEMPERATURA INICIAL DE LA GUARDA KK = o MM = 5 82 = B'B D2 = D*D H2 = H*H BETAZ = BETA'BETA CONDKZ = CONDK*CONDK

DO 10 I = 1,345 C LECTURA DE LOS DATOS DE MEDICION DE TEMPERATURA

READ (1, * ) TM Y(1) = TM

10 CONTINUE c INICIALIZACION DE LOS PARAMETROS

DO 20 I = 1 , M M PK(1) = CERO

20 CONTINUE C DECLARACI~N DE VALORES CONSTANTES

DEN1 = -CONDK*BETA*BJl (BETA'D) tH*BJO (BETA'D)

1 2 6

DEN2 = -CONDK*BETA*BYl (BETA*D) +H*BYO (BETA*D) ROR = BJO (BETA'R) /DEN1 - BY0 (BETA'R) /DEN2 ROB = BJO(BETA*B)/DENl - BYO(BETA'B)/DEN2 ROD = BJO (BETA*D) /DEN1 - BY0 (BETA*D) /DEN2 ROR2 = BJO (BETA'R2) /DEN1 - BY0 (BETA*R2) /DEN2 ROD2 = ROD*ROD ROB2 = ROB*ROB NORMA CONSTl = H*TINI*ROR* (D*ROD + B*ROB) / (BETA2*CONDK*NOPXA) CONST2 = H*TAMB*ROR* (B*ROB + DtROD) / (BETAZ*CONDK*NORMA) CONST3 = ALFA*ROR*ROR2/ (DOS*PI*CONDK*NORMA) A182 = ALFA*BETAZ

= (H2 + BETAZ*CONDK2) * (D2'RODZ -BZtR0B2) / (EQS*BETA2'CONDKZ)

A2B4 = AlB2*AlB2 A3B6 = AlBZ'AZB4 A4B8 = A2B4*A2B4 A5B10 = A2B4*A3B6

DO 30 I = 1,345 C CALCULO DE LA MATRIZ DE SENSIBILIDAD Y SU TRANSPUESTA

T = (I - 1)*30.OD+O AA = EXP (-AlB2*T) BB = l - A A AlB2T1 = A1B2*T A2B4T2 = A1B2TlCA1B2T1 A3B6T3 = AlB2Tl*AZB4T2 A4B8T4 = AZB4T2*A2B4T2 SJ(1,l) = CONST3*BB/AlB2 SJT(1.I) = SJ(I.1) SJ(I,2) = CONST3*(AlB2Tl - BB)/A2B4 SJT(2,I) = SJ(I,2) SJ(1,3) = CONST3*(AZB4T2 - DOS*AlBZTl + DOS*BB)/A3B6 SJT(3,I) = SJ(I,3) SJ(I,4) = CONST3+(A3B6T3 - TRES'AZB4TZ + SEIS'AlB2Tl - SJT(4,I) = SJ(1,4) SJ(1,S) = CONST3*(A4BET4 - CUATRO*A3B6T3 + DOCEtA2B4T2 - SJT(5,I) = SJ(I,5)

# SEIS*BB) /A4BB

# VCUATRO'AlB2Tl + VCUATRO*BB)/ASBlO 30 CONTINUE

C CALCULO DE LAS TEMPERATURAS 300 DO 40 I = 1,345

! DESDE AQUI COMENZAMOS LA ITERACION

T = (I - 1)'30.OD+00 AA = EXP (-AlB2*T) BB = l - A A AlB2T1 = AlB2*T A2B4T2 = AlB2Tl*AlB2Tl A3B6T3 = AlB2Tl*AZB4T2 A4BET4 = A2B4T2*7SB4T2 TEMP(1) = CONSTl*AA + CONSTZ*BB t

# CONST3* ( (BB/AlB2) *PK(l) # + ((AlB2Tl - BB) /A2B4) *PK(2) # + ((A2B4T2 - DOS*AlB2Tl + DOS'BB)/A386)*PK(3) # + ((A3B6T3 - TRES*A2B4T2 + SEIS*AlBZTl - # #

. . SEIS'BB) /A4BB)*PK(4)

+ IíA4B8T4 - CUATRO*A3B6T3 + DOCE*A2B4T2 - . . #¡ VCUATRO*AlBZTl + VCUATRO*BB)/ASBlO)*PK(5) # )

40 CONTINUE C CALCULO DE Y - T(P) Y SU TRANSPUESTA, T(P)-Y

DO 50 I = 1,345 YMENOST(1) = Y(1) - TEMP(1) TMENOSY(1) = TEMP(1) - Y(1)

50 CONTINUE

1 2 7

C CALCULO DE S(P) PRODl = CERO DO 60 I = 1,345

CONTINUE SDEP = PRODl WRITE(*, *) SDEP

PRODl = PRODl + (YMENOST (I) *mENoST(I) ) 60

C

C 800

80

70 C

C

C

90

C

110 C

130

120

140

C

200

100

C 150

VERIFICACION DEL CRITERIO DE CONVERGENCIA IF(SDEP.LT.EPS11 GOT0 150

CALCULO DE LA DIRECCION DEL GRADIENTE Y SU TRANSPUESTA DO 7 0 I = 1.MM .~

PROD2 = CERO DO 80 J = 1,345

PROD2 = PROD2 t (SJT(I,J)*YMENOST(J)I CONTINUE GRADS(1) = -DOS*PROD2

CONTINUE CALCULO DEL COEFICIENTE DE CONJUGAMIENTO (GAMMA)

IF(KK.EQ.0) THEN

ELSE GAMMA = CERO

PROD3 = CERO PROD4 = CERO DO 90 I=l,MM EXPRESIÓN DE POW(-RIBIERE

EXPRESI6N DE FLETCHER-REEVES PROD3 = PROD3 + (GRADS(I)*(GRADS(L) - GRADSl(1)))

PROD3 = PROD3 t (GRADS(I)*GRADS(I)) PROD4 = PROD4 + (GF'.ADSl(I)*GRADSl(I))

CONTINUE GAMMA = PROD3/PROD4

CALCULO DE LA DIRECCION DE DESCENSO (DESC)

DESC(1) = GRADS(1) + GAMMA*DESCl(I) CALCULO DEL T-O DE PASO DE BUSQUEDA (BETM)

PROD5 = CERO DO 130 J = 1,MM

CONTINUE SJD(1) = PROD5

ENDIF

DO 110 I = l,MM

CONTINUE

DO 120 I = 1,345

PROD5 = PROD5 + SJ(I,J)*DESC(J)

CONTINUE PROD6 = CERO PROD7 = CERO DO 140 I = 1,345

PROD6 = PROD6 t SJD(I)*TMENOSY(I) PROD7 = PROD7 t SJD(I)*SJo(I)

CONTINUE BETAK = PROD6/PROD7

DO 200 I = 1,MM

CONTINUE KK = KKt1 DO 100 I = 1 , M M

CALCULO DEL NUEVO PK1

PK(1) = PK(1) - BETAK*DESC(I)

GnñOSl(1) = GRADS(1) DESCl(1) = DESC(1)

CONTINUE GOTO 300

IMPRESION DE RESULTADOS WRITE(Z,*)PK(l), PK(2), PK(3), PK(4), PK(5)

128

WRITE (2, ) SDEP DO 160 I = 1,345

T = (1-1)'30.OD+00 GíI) = PKí1) + PK(Z)*T + PK(3)*(T**2) + PK(4)*(T**3)

WRITE (2, *)Y I I) , TEMP ( I ) , G (1) # + PK(5) * (T**4)

160 CONTINUE STOP END

C C C BJO Calcula los valores de la función de Bessel J(x) de orden O, C i.e. JO(x). Basado en las fórmulas de Abramowitz y C Ctegun. Solo para valores positivos de x. C C

DOUBLE PRECISION FUNCTION BJO(X) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z) DATA ZERO/O. OD+OO/,ONE/l. O D + O O / , TWO/2.OD+OO/, THREE/3.OD+OO/

IF(X.LT.ZER0) THEN C

WRITE(*, 10)

STOP 10 FORMAT(' ','SOLO VALORES POSITIVOS DE X EN BJO - FIN')

ENDIF IF (X .LE.THREE) THEN

XX = (X/THREE)**2 SUM = ZERO SUM = XX*(-2.2499997D+O + XX*(l.Z656208DfO + XXt(-0.3163866D+0

# + XX*(O.O444479D+O .t XX*(-O.O039444D+O + # XX*0.0002100D+0) ) ) )

BJO = ONE + SUM ENDIF IF (X.GT. THREE) THEN

XX = THREE/X FO = 0.79788456D+0 + XX*(-O.OOOOOO77D+O + XX*(-O.O055274OD+O +

# XX*(-0.00009512D.t0 + XXt(0.00137237D+0 + # XXt(-0.00012805D+0 + XX*O000O14476D+0)))))

TO = X - 0.78539816D+O + XX*(-O.O4166397D+O + # XX*(-O.O0003954D+O + XX*(O.O0262573D+O + # XX*(-O.O0054125D+O + XX*(-O.O0029333D+O # + XX*O.OOOl3558D+O)))))

BJO = FO*COS (TO) /DSQRT (X) ENDIF RETURN END

BJ1 Calcula los valores de la funcibn de Bessel J(X) de orden 1, i.e. Jl(x). Basado en las fórmulas de Abramowitz y stegun. solo para valores positivos de x.

DOUBLE PRECISION FUNCTION BJl(X) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z) DATA ZERO/O.OD+OO/,ONE/l.OIHOO/,TW0/2.OD+OO/,THREE/3.OD+OO/

IF (X. LT. ZERO) THEN WRITE(*, 10)

STOP 10 FORMAT(' ','SOLO VALORES POSITIVOS DE X EN BJ1 - FIN')

ENDIF IF(X.LE.THREE) THEN

129

XX = (X/THREE)**2 SUM = ZERO SUM = XX*(-O.56249985~+0 + xx*(o.~1n93~73~+0 +

BJ1 = (ONE/TWO + SUM)*x # XX*I-O.O3954289D+O + XX*(O.O044331?D+O t # XX*(-O.O0031761D+O + XX*0.00001109D+0))))) ENDIF IF(X.GT.THREE) THEN

XX = THREE/X F1 = 0.79788456D+O + XX* (0.00000156D+O + Xx*(O.O1659667D+O +

# XX*(O.O0017105D+O t XXt(-0.00249511D+0 + # XX* (0.00113653D+O - XX*O.O0020033D+O) ) ) ) ) # XX*(O.O000565D+O + XX*I-O.O0637879D+O +

T1 = X - 2.35619449DtO + XXi(0.124996l2D+O + # XX*(O.O0074348D+O + XX*(0.00079824D+O # - XX*O.O0029166D+O)))))

BJ1 = Fl*COS (Tl) /DSQRT (X) ENDIF RETURN END

C

C C C C

C

C C C C

BY0 Calcula los valores de la función de Bessel Y(x) de orden O, i.e. YO(x). Basado en las fórmulas de Abrmowitz y Stegun. Solo para valores positivos de x.

DOUBLE PRECISION FUNCTION BYO(X) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z) DATA ZERO/O.ODtOO/.ONE/1.OD+00/,TW0/2.OD+OO/,THREE/3.OD+OO/ PI = 4.OD+O*DATiN(l.OD+O) ANATLOG = DLoG(X/TWO)

IF(X.LT.ZER0) THEN WRITEI*,lO)

STOP 10 FORMAT(' l,'SOLO VALORES POSITIVOS DE X EN BY0 - FIN')

ENDIF IF (X. LE. THREE) THEN

XX = (X/THREE)**Z SUM = ZERO SUM = XX*(0.60559366D+O + xX*(-0.74350384D+O + xX"(0.25300DtO

# + XX'(-O.O4261214D+O + XXt(0.00427916DtO - # XX*O.O0024846D+O)))))

BY0 = (TWO/PI)*ANATLoG*BJO[X) t 0.363466?1D+O + SUM ENDIF IF (X . GT. THREE) THEN

XX = THREE/X FO = 0.797884560+0 + XX*(-0.00000077D+0 + XX*(-O.O0552740DtO t

# xx*(-O.OOüO9512DtO t XX*(O.O0137237D+O t # XX*(-O.O0072805D+O + XX*O.O0014476D+O)))))

TO = X - 0.78539816D+O + XXt(-0.04166397D+0 + # XX* (-0.00003954~+0 + xx* ~0.00262573~+0 t # XX*(-O.O0054125D+O + XX*(-O.O0029333DtO # + XX*O.O0013558D+O)))))

BY0 = FO*DSIN(TO)/DSQRT(X) ENDIF RETURN END

BY1 Calcula los valores de la función de Bessel J(x) de orden 1, i.e. Jl(x). Basado en las fórmulas de Abramowitz y

130

_-

C S t e w . Solo para valores positivos de x. C C

DOUBLE PRECISION FUNCTION BYl(X) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z) DATA ZERO/O.OD+OO/,ONE/1.OD+OO/,TW0/2.OD+OO/,THREE/3.OD+00/ PI = 4.0D+OtDATAN(1.0D+O) ANATLOG = DLOG(X/TWO)

IF(X.LT.ZER0) THEN C

WRITE(*,lO)

STOP 10 FORMAT(‘ ‘ , ‘ S O L O VALORES POSITIVOS DE X EN BY1 - FIN’)

ENDIF IF(X.LE.THREE) THEN

XX = (X/THREE)**2 SUM = ZERO SUM = XX’(O.2212091M-O + XX*(2.1682709D+O +

# XX*(-1,3164827D+O + XX*(0.3123951 + # XX*(-O.O400976D+O + XX*O.O027873D+O)))))

BY1 = (TWO/PI)*ANATLOG*BJl(X) + ( - 0.6366198D+O + SUM)/X ENDIF IF(X.GT.THREE) THEN

XX = THREE/X F1 = 0.79788456D+0 + XX*(0.00000156D+0 + XX*(O.O1659667D+O +

# XX*(O.O0017105D+O + XX*(-O.O0249511D+O + # XX*(0,00113653D+O - XX*O.O0020033D+O))))) # XX*(O.O000565D+O t XX*(-O.O0637879D+O + # XX’(0.00074348DfO + XX’(O.O0079824D+O # - XX*O.O0029166D+O)))))

T1 = X - 2.356194490+0 + XX*(O.I2499612D+O +

BY1 = Fl*DSIN(Tl)/DSQRT(X) ENDIF RETURN END

1 3 1

- E. 1 CÓDIGO PARA LA OBTENCI~N DE LAS FUNCIONES DE BESSEL

El siguiente código fue desarrollado en FORTRAN POWERSTATION

4.0. Ejecutado en una computadora Pentium Celeron a 466 MHz con sistema operativo Windows ME.

PROGRAM GRAFICA BESSEL IMPLICIT DOUBLEPRECISION(A-H,O-2) DX = 0.05D+O

20

10

C C C C C C C

C

OPEN (1, FILE='BESSEL.DAT' ) OPEN(2, FILE='BESSELZ.DAT' ) FORMAT (D15.8, ZX, D15.8,2X, D15.8,2X, D15.8, ZX, D15.8) WRITE (1, * ) "X, J O , J 1 , YO, Y1" DO 10 1=1,300

T = I*DX P1 = BJO(T) P2 = BJl(T) P3 = BYO(T) P4 = BYl(T) WRITE (1, * ) T, PI, P2 WRITE (2, * ) P3, P4

CONTINUE STOP END

BJO Calcula los valores de la función de Bessel J ( x ) de orden O , i.e. JO(x). Basado en las fórmulas de Abramowitz y Stequn. solo para valores positivos de x.

DOUBLE PRECISION FUNCTION BJO (X) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H.0-2) DATA ZERO/O. OD+oO/,ONE/i .oD+oO/, TW0/2.OD+OO/,THREE/3. oDtoo/

IF (X. LT. ZERO) THEN WRITE(*,lO)

STOP 1 0 FORMAT(' ','SOLO VALORES POSITIVOS DE X EN BJO - FIN')

ENDIF IF (X . LE. THREE) THEN

XX = (X/THREE)**Z SUM = ZERO SUM = XX*(-2.2499997I»O + XX*(l.Z656208D+O + XXi(-0.3163866D+0

# t XX*(O.O444479D+O + XX*(-O.O039444I»O + # XX*0.0002100D+0)))))

BJO = ONE + SUM ENDIF 1FíX.GT.THREE) THEN

xx = THREEIX FO = 0.79788456DtO + XX*(-0.00000077~0 t XX*(-O.O055274ODtO +

# XX*(-O.O0009512D+O + XX*(O.O0137237D+O + # XX*(-0.00072805Dt0 + XX*O.O0014476D+O)))))

TO = X - 0.78539816D+O + XX*(-O.O4166397DtO f # XX+(-O.O0003954I»O + XXi(0.00262573D+0 +

1 3 2

# XX*(-0.00054125~+0 + XX*(-O.O0029333D+O # + XX'O.O0013558D+O)))))

BJO = FO'COS (TO) /DSQRT (X) ENDIF RETURN END

BJ1 Calcula los valores de la función de Bessel i.e. Jl(x). Stequn.

J(x) de orden 1, Basado en las fórmulas de Abramowitz y

Solo para valores positivos de x.

DOUBLE PRECISION FUNCTION BJl(X) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-2) DATA ZERO/O.OD+OO/,ONE/1.O~00/,TW0/2.OD+OO/,THREE/3.OD+OO/

IF(X.LT.ZER0) THEN WRITE(*,lO)

STOP 10 FORMAT(' I , 'SOLO VALORES POCITNOS DE X EN BJ1 - FIN')

ENDIF IF(X.LE.THREE) THEN

XX = (X/THREE)**2 SUM = ZERO SUM = XX*(-O.56249985D+O + XX*(0.21093573D+O i

# XX*(-O.O3954289D+O + XX*íO.O0443319D+O + # XX*(-O.O0031761D+O + XX~O.OOOOllO9D+O)))))

BJ1 = (ONE/TWO + SUM)*X ENDIF IF (X . GT . THREE) THEN

XX = THREE/X €1 = 0.79788456D+O + XX*(O.OOOOOl56D+O + XX* (0.01659667D+O -I

# XX+(0.00017105D+O + XX+(-O.O0249511D+O + # XX*(O.O0113653D+O - XX*O.O0020033DcO)))))

# XX*(O.O000565D+O + XX*(-O.O0637879D+O + # XX*(O.O0074348D+O + XXt(0.00079824D+0 # - XX*O.O0029166D+O)))))

T1 = X - 2.35619449D+O + XXt(0.12499612D+0 +

BJ1 = Fl'COS (Tl) /DSQRT (X) END1 F RETURN END

C C C BY0 Calcula los valores de la función de Bessel Y(,) de orden O, C i.e. YO(x). Basado en las fórmulas de Abramowitz y C S t e w . solo para valores positivos de x. C C

DOUBLE PRECISION FUNCTION BYO(X) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z) DATA ZERO/O.OD+OO/,ONE/1.O~OO/,TW0/2.OD+OO/,THREE/3.OD+OO/ PI = 4.0D+OtDATAN(1. O D + O ) ANATLOG = OLOG(X/TWO)

C IF(X.LT.ZER0) THEN

WRITE(*,lO)

STOP 10 FORMAT(' I , 'SOLO VRLORES POSITIVOS DE X EN BY0 - FIN')

END1 F lF(X.LE.THREE) THEN

XX = (X/THREE)**2

133

SUM = ZERO

C

SUM = XX*(O.60559366DtO + XX*(-0.74350384D+O + XXt(0.25300D+0 # # XX*O.O0024846D+O)I)l)

+ XX*(-O.O4261214DCO + XXf(0.00427916DC0 - BY0 = (TWO/PI)*ANATLOG*BJO(X) + 0.36746691D+O + SUM

ENDIF IF (X . GT . THREE) THEN

XX = THREE/X FO = 0.79788456D+O + XX*(-0.00000077~t0 + XX*(-O.O0552740D+O +

# XX*(-O.O0009512DCO + XX*(O.O0137237D+O + # XX*(-0.00072805D+O + Xx*O.O0014476D+O)))))

TO = X - 0.78539816D+0 + XXf(-0.04166397DC0 + # XX*(-O.O0003954D+O + XX*(O.O0262573D+O + # XX*(-O.O0054125D+O + XX*(-O.O0029333D+O # + XX*O.O0013558D+O)))))

BY0 = FO*DSIN(TOl/DSQRT(X) ENDIF RETURN END

BY1 Calcula los valores de la función de Bessel J(x) de orden 1, i.e. Jl(x). Basado en las fórmulas de Abramowitz y Stegun. Solo para valores positivos de x.

DOUBLE PRECISION FUNCTION BYl(X1 IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H.0-Z) DATA ZERO/O. OD+OO/,ONE/l. O D t O O / , TW0/2.00+00/, THREE/3.OD+OO/ PI = 4.OD+O'DATAN(1.ODcO) ANATLOG = DLoG(X/TWO)

IF (X . LT . ZERO) THEN WRITE (*, 101

10 FORMAT(' ' , ' S O L O VALORES POSITIVOS DE X EN BY1 - FIN') STOP

ENDIF IF(X.LE.THREE) THEN

XX = (X/THREE)**2 SUM = ZERO SUM = XX*(0.2212091D+O + XX*(2.1682709DfO +

# xX* (-1.3164827D+0 + XX* (0.3123951 + # XX*(-O.O400976D+O + XXf0.0027873D+O)))))

BY1 = (TWO/PI)*ANATLOG*BJl (X) + (- 0.6366198D+0 + SUM) /X ENDIF IF IX . GT . THREE) THEN

xx =.T&EE/X F1 = 0.79788456D+O + XXf~0.00000156D+0 + XX*(O.O1659667D+O +

U XX'10.00017105DrO t XX'(-O.O024951lD*O Y

9 XX'(0.00113653D~O - XX'0.00020033~Ollll~

R XX'(0.0000565DtO T XX*(-O.O0637879D+O f k xx'(0.00074348Dt0 i XX'(0.00079824D+0 U - XX'0.00029166DtOl~l~l

T 1 7 X - 2.35619449D+O T XX'IO.l24Y9612D+O r

BY1 - Fl*DSIN(Tl)/DSQRT(XI .?IDIF 9ETURN F1I3

134

E.2 =DIGO PARA LA OBTENCI6N DE M S VALORES PROPIOS EN EL -- - -- CASO DE LA PLACA CALIENTE

PROGRAM EIPLACA IMPLICIT DOUBLEPRECISION(A-H,P-2) OPEN (1, FILE= EIGENPLACA. DAT ‘ ) B = 0.0762DtO ! RADIO EXTERIOR DE LA PLACA CONDK = 204.ODtO ! CONDUCTIVIDAD TERMICA HCONV = 14.ODf0 ! COEFICIENTE CONVECTIVO NN = 15 ! CANTIDAD DE RAÍCES m = 13 ! PRECISIÓN EN DECIMALES N = o ! CONTADOR DE RAÍCEC

40

5 0

100 Z O O 300

C C C C C C C

C

BETAl = O.ODt0 DX = 1.oM-o BETABl = BETAl*B M = o DO 100 K = 1,1000

! VALOR INICIAL ! INTERVALO INICIAL

! CONTADOR DE DECIMALES

EIGENl = BETAl*CONDK’BJl (BETAB1) - HCONV*BJO (BETABl) BETA2 = BETAl + DX BETABZ = BETA2*B EIGENZ = BETAZ*CONDK*BJl (BETABZ) - HCONV*BJO (BETABZ) SIGNO = EIGENl*EIGENZ IF (SIGNO.LT.0) THEN

M = M + 1 DX = DX/1O.ODtO IF (M.GT.MM) GOTO Z O O GOTO 50

BETAl = BETA2 BETABl = BETABZ

ELSE

ENDIF CONTINUE N = Nt1 FORMAT(E24.16,1X,E24.16)

WRITE (*,300) BETA1, EIGENl WRITE ( * , 3 0 0 ) BETAZ, EIGENZ PAUSE IF (N.LT.NN) THEN

WRITE (1,300) BETA1, EIGENZ - EIGENl

BETAl = BETA2 BETABl = BETABZ GOTO 40

ENDIF END

BJO Calcula los valores de la función de Bessel J(x) de orden O, i.e. JO(x). Basado en las fórmulas de Abramowitz y S t e w . solo para valores positivos de x.

DOUBLE PRECISION FUNCTION BJO(X) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H.0-2) DATA ZERO/O. ODtOO/,ONE/1.O~OO/, TWO/2.0D+OO/ ,THREE/3,OD+Oo/

IF(X.LT.ZER0) THEN WRITE (*, 10)

STOP 10 FORMAT(‘ ‘,‘SOLO VALORES POSITIVOS DE X EN BJO - FIN’)

ENDIF

1 3 5

IF(X.LE.THREE) THEN XX = (X/THREE)**2 SüM = ZERO SUM = XX’I-2.2499997MO + XX*(1.2656208D+O + XX*(-O.3163866~+0

# # XX*O.O00210OD+O)))))

+ XX*(O.O444479D+O + XX*(-O.O039444D+O + BJO = ONE + SUM

END1 F IF (X. GT. THREE) THEN

XX = THREE/X FO = 0.79788456D+O + XX*~-0.00000077D+0 + XX*(-O.O055274OD+O +

# XX’(-0.00009512D+O + XX*(O.O0137237D+O + #

# XX*(-O.O0003954D+O + XX’(0.00262573DtO + # XX*(-O.O0054125D+O + XX*(-O.O0029333D+O # + XX*O.O0013558D+O)))))

XX* ~-0.00072805~+0 + XX*O.O0014476D+O) ) 1 ) ] TO = X - 0.78539816D+0 + XX*(-O.O4166397D+O +

BJO = FO’DCOS (TO)/DSQRT(X) ENDIF RETURN END

C C C BJ1 Calcula los valores de la función de Bessel J(x) de orden 1. C i.e. Jl(x). Basado en las fómuias de Abramowitz y C stegun. solo para valores positivos de x. C C

DOUBLE PRECISION FUNCTION BJ1 (XI IMPLICIT DOUBLEPRECISION (A-H,O-Z) DATA ZERO/O.OD+OO/,ONE/l.OD+OO/,TW0/2.OD+OO/,THREE/3.OD+OO/

C IF(X.LT.ZER0) THEN

WRITE (*, 10)

STOP 10 FORMnT(’ ‘,‘SOLO VALORES POSITIVOS DE X EN BJ1 - FIN’)

ENDIF IF(X.LE.THREE) THEN

XX = (X/THREE)**Z SUM = ZERO SUM = XX*(-O.56249985DtO + XXi(0.21093573D+0 i

# xx*(-O.O3954289DtO + XX*(O.O0443319D+O + # XX*(-O.O0031761D+O + XX*O.OOOOllO9D+O)))))

BJ1 = (ONE/TWO + SUM)*X ENDIF IF (X .GT. THREE) THEN

XX = THREE/X F1 = 0.79788456D+O + XX* (0.00000156D+O + XXf(0.01659667D+0 4

# XX*(O.O0017105D+O + XX*(-O.O0249511D+O + # XX*(O.O0113653D+O - XX’O.O0020033D+O)))))

# XX*(O.O000565D+O + XX*(-O.O0637879D+O + # XX*(O.O0074348D+O + XX*(0,00079824D+O # ~ XX*O.O0029166DtO)))))

T1 = X - 2.35619449D+O + XXi(0.12499612D+O +

BJ1 = Fl’DCOS(T1) /DSQRT(X) ENDIF RETURN END

136

.. _ _ -

- E.3 CÓDIGO -- PARA LA OBTElOCIÓB DE LOS VALORES PROPIOS PARA EL

CASO DE LA GUARDA

40

50

C C

100 Z O O 2

C C C C C C C

PROGRAM EIGUARDA IMPLICIT DOUBLE PRECISION(A-H, P-2) OPEN (1, FILE='EIGENGUARDA.DAT' ) B = 0.0762D+O D = 0.1524Dt0 CONDK = 204.ODt0 HCONV = 14.0iHO NN = 1 MM = 13 N = o BETAl = 576.OOMO DX = l.OD+O BETABl = BETAl*B BETADl = BETAl'D M = o DO 100 K=l,lOO

RADIO INTERIOR DE LA GUARDA RADIO EXTERIOR DE LA GUARDA CONDUCTIVIDAD TERMICA COEFICIENTE CONVECTIVO CANTIDAD DE RAÍCES

CONTADOR DE RAÍCES

INTERVALO INICIAL

PRECISI~N EN DECIMALES

CONTADOR DE DECIMALES

EIGENl = ( (BETAl*CONDK*BJl (BETAB1) + HCONV'BJO (BETAB1) ) / # (-BETAl'CONDK*BJl (BETAD1) + HCONV'BJO(BETAD1) ) ) - # ((BETAl*CONDK*BYl(BETABl) + HCONV'BYO(BETAB1) ) / # (-BETAl*CONDPBYl (BETADl) + HCONV'BYO (BETAD1) ) )

BETA2 = BETAl + DX BETAB2 = BETA2*B BETADZ = BETA2W EIGENZ = ( (BETAZ*CONDK*BJl (BETAB2) + HCONV*BJO (BETAB2) ) /

# (-BETAZ*CONDPBJl(BETA!JZ) + HCONV*BJO(BETADZ))) - # ( (BETAZ*CONDK*BYl(BETABZ) + HCONV*BYO(BETABZ))/ # (-BETAZ*CONDK*BYl(BETADZ) + HCONV*BYO(BETADZ))) WRITE (*,*) N, BETA2, EIGEN2, DX PAUSE

SIGNO = EIGENl*EIGENZ IF (SIGNO.LT.0) THEN

ELSE

M = M t 1 DX = DX/lO.OD+O IF (M.GT.MM) GOTO 200 GOTO 5 0

BETAl = BETA2 BETABl = BETABZ BETADl = BETAD2

ENDIF CONTINUE N = Nt1 FOPMAT(E24.16,1X,E24.16,1X,E24.16,1X,E24.16) WRITE (l,*) BETA2, EIGEN1-EIGENZ IF (N.LT.NN) THEN

BETAl = BETA2 t 40.OD+O GOTO 40

ENDIF END

BJO Calcula los valores de la función de Bessel J(x) de orden O, i.e. JO(x). Basado en las fórmulas de Abramowitz y S t e w . Solo para valores positivos de x.

DOUBLE PRECISION FUNCTION BJO (X) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-2)

1 3 7

C

10

C C C C C C C

C

l o

DATA ZERO/O.OD+O~/,ONE/~.OD~OO/.TW~/~.OD+OO/,THREE/~.OD+OO~

IF(X.LT.ZER0) THEN WRITE (*, 10) FORMAT(' STOP

' , ' S O L O VALORES POSITIVOS DE X EN BJO - FIN')

ENDIF IF (X. LE. THREE) THEN

XX = (X/THREE)**2 SUM = ZERO SUM = XX*(-2.2499997D+O + XX*(1.2656208D+O + XX*(-0,3163866D+O + XX*(O.O444479ü+O + XXf(-0.0039444D+0 + BJO = ONE + SUM

# # xx*o.ooozlooDto) ) ) ) )

ENDIF IF (X. GT. THREE) THEN

XX = THREE/X FO = 0.79788456D+O + XX*(-O.OOOOOO77D+O + XX*(-O.O055274OD+O +

# XX* (-0.00009512DtO + XX'(O.O0137231D+O + # XX*(-O.O0072805D+O + XX*O.O0014476D+O)))))

# xx* (-0.00003954DtO + XX'(O.O0262573D+O + # XX*(-O.O0054125DtO + XX'(-0.00029333D+O # + XX*O.O0013558D+O)))))

TO = X ~ 0.78539816D+0 + XX*(-0.0416639lD+O t

BJO = FO*DCOS (TO) /DSQRT (X) ENDIF RETURN END

BY0 Calcula los valores de la función de Bessel Y(x) de orden O, i.e. Y O ( x ) . Basado en las fórmulas de Abramowitz y Stegun. Solo para valores positivos de x.

DOUBLE PRECISION FUNCTION BY0 (XI IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H.0-2) DATA ZERO/O.OD+OO/,ONE/l.ODcOO/,TW0/2.OD+OO/,THREE/3.OD+OO/ PI = 4.0D+O*DATAN(l.ODtO) ANATLOG = DLOG(X/TWO)

IF (X. LT. ZERO) THEN WRITE(*,10) FORMAT(' I , ' C O M VALORES POSITIVOS DE X EN BY0 - FIN') STOP

ENDIF IF (X .LE. THREE) THEN

XX = (X/THREE)'*Z SUM = ZERO SUM = XX*(O.60559366D+O + XX*(-O.74350384D+O + XX*(0.253OOD+O

# + xx*l-O.O4261214D+O + XX*(0.00427916D+O - # XX*O.O0024846D+O)))))

BY0 = (TWO/PI)*ANATLOG*BJO(X) + 0.36746691DtO + SUM ENDIF 1FíX.GT.THREE) THEN

xx = T&EE/X FO = 0.79788456D+O + XX*(-O.OOOOOO77D+O + XX*(-O.O0552740D+O +

R XX*(-O.O0009512D+O T XX*(O.O0137237D~O t R XX*(-O.O0072805DTO t XX'0.00014476UtO))))~

TO -= X - 0.78539816DtO 7 XX*((-O.O4166397DtO t P XX*[-O.O0003954DtO T XX'l0.00262573D-O T

P xx'(-o.OOO54125D+O t XX'(-O.O0029333DtO A t XX'O.OOO13558ütO)))~)

1 3 8

BY0 = FO*DSIN(TO)/DSQRT(X) ENDIF RETURN END

C

C

C

C

1 0

C C C

C

1 0

BJ1 Calcula los valores de la función de Bessel J(x) de orden 1, i.e. Jl(x). Basado en las f6nmilas de Abramowitz y Stegun. Solo para valores positivos de x.

DOUBLE PRECISION FUNCTION BJ1 (X) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-2) DATA ZERO/O.OD+OO/,ONE/1.ODtOO/,TW0/2.OD+OO/,THREE/3.OD+O0/

IF (X.LT. ZERO) THEN WRITE ( ,lo) FORMAT(' ','SOLO VALORES POSITIVOS DE X EN BJ1 - FIN') STOP

ENDIF IF(X.LE.THREE) THEN

XX = fX/THREEI**2 . . SUM = ZERO SUM = XX* 1-0.56249985D+0 + XX* (0.21093573D+O +

# XX*(-O.O3954289D+O + XX*(O.O0443319D+O + # XX*(-O.O0031761D+O + XX*O.OOOOllO9D+O)))))

BJ1 = (ONE/TWO + SUM)*X ENDIF 1FíX.GT.THREE) THEN

xx = T&EE/X F1 = 0.79788456DfO + XXf10.00000156D+0 + XX*(O.O1659667D+O t

# XX*(O.O0017105D+O + XX'(-O.O0249511LWO + # XX*(O.O0113653D+O - XX'O.O0020033D+O)))))

# XX* (0.0000565DtO t XX*(-0.006378790+0 + # XX*(O.O0074348Df0 + XX*(O.O0079824D+O # - XX*O.O0029166D+O)))))

T1 = X - 2.35619449D+0 + XXf(0.12499612D+0 t

BJ1 = Fl*DCOS (Tl) /DSQRT (X) ENDIF RETURN END

BY1 Calcula los valores de la función de Bessel J(x) de orden 1, i.e. Jl(x). Basado en las fórmulas de Abramowitz y Stegun. Solo para valores positivos de x.

DOUBLE PRECISION FUNCTION BYl(X) IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z) DATA ZERO/O.OD+OO/,ONE/l.OD+OO/,TW0/2.OD+OO/,THREE/3.OD+OO/ PI = 4.0D+O*DATAN(l.OIHO) ANATLOG = DLoG(X/TWO)

IF(X.LT.ZER0) THEN WRITE(*,lO) FORMAT(' ', 'SOLO VALORES POSITIVOS DE X EN BY1 - FIN') STOP

ENDIF IF(X.LE.THREE) THEN

XX = (X/THREE)**Z CUM = ZERO SUM = XX*(0.2212091D+O + XXf(2.1682709D+0 +

1 3 9

# XX*(-1.3164827D+O + XX'(0.3123951 + II XX+(-O.O400976D+O + XXt0.0027873D+O)))))

BY1 = (TWO/PI)*ANATLOG'BJl(X) +(- 0.6366198D+O + sm)/x ENDIF IF(X.GT.THREE) THEN

XX = THREE/X F1 = 0.79788456D+O + XX*(O.OOOOOl56D+O + XX'(0.01659667DCO +

# XX* (0.00017105D+0 + XX' (-0.00249511D+O + # XX*(O.O0113653D+O - XX'0.000200331)+0)))))

# XX*(O.O00056CD+O + XX*(-O.O0637879D+O + # XX*(O.O0074348D+O + XX*(O.O0079824D+O # - XX*O.O0029166D+O)))))

TI = x - 2.356194490+0 + xx*(o.iz4996iz~+o +

BY1 = Fl*DSIN(Tl)/DSQRT(XI END1 F RETURN END

6 ' 4 - O 4 3 8

DG'Tl SEP CENIDET CENTRO DE INFORMACION

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