Sensorschaltungen.analisis Matematico.sensorbobinaconembolo

Professional Electronic Engineering School Universidad Nacional de San Agustín –Arequipa, PerúANALISIS MATEMATICO y SIMULACION DEL CIRCUITO SENSOR INDUCTIVO Desarrollo: Julio A. Mosaja/ [email protected] libro: Sensorschaltungen, Cap 5.3 Sensores Inductivos, Bobina con embolo1. OBJETIVO

Poder obtener un modelo ecuacional quasi- exacto a partir de las características de nuestro circuito usando modelos híbridos. Demostrar que es posible predecir el comportamiento de un circuito mediante un análisis completo y el uso de potente software de simulación como Matlab y Pspice.2. CONSIDERACIONES Se harán aproximaciones que son necesarias para poder evitar la complejidad del análisis y favorecer el fácil entendimiento del procedimiento.3. PRESENTACION DEL CIRCUITO

Tenemos un tanque LC al cual se le aplica una onda triangular de duración de 20 ns con una amplitud de 10uA.El parámetro variable corresponde al embolo, entonces nuestra variable seria L.

mailto:[email protected]

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4. PROCEDIMIENTO DE MODELAMIENTOPara facilitar el cálculo podemos modelar primero nuestro circuito transistorizado obteniendo a partir de parámetros hibridos las características de ganancia de corriente, y ganancia de voltaje.

X


Obtenemos primero I 2/I .I 2=( I ¿¿b2+ I b1) (h fe+1 )…………(I )¿

y I=h fe I b1+ I b2………….( II)y para obtener una relación entre las corrientes de bases observamos que:

el voltaje base-emisor de Q1 siempre será igual al voltaje C-E de Q2, esto también implica que Q2 nunca se satura.Por lo tanto formalmente podemos expresar:V beQ1=V ce

Q2

Esto es ( I b1h fe )hoe=I b2. hie………….. (III )De estas tres relaciones podemos combinar II con III

I=h fe .I b2hieh fehoe

+ I b2

I=I b2( hiehoe +1)………… ( IV )


Y combinar I con IIII 2=(I b2+ I b2hieh fehoe ) (h fe+1 )

I 2=I b2(1+ hieh fehoe )(hfe+1 )…………(V )

Dividiendo IV con VII 2

=(h iehoe

+1)

(1+ hieh fehoe ) (h fe+1 )

II 2

=(hie+hoe)h fe

(hoehfe+hie)(hfe+1 )

II 2

=(hie+hoe)

(hoeh fe+hie )Tomando en cuenta que en estado de conducción: hoe≫hie

II 2

=(hoe)

(hoehfe)= 1hfeLuego: I . h fe=I 2………….(VI )Esto significa que la corriente de entrada es simplemente amplificado hfe veces.Ahora procederemos a estimar la impedancia de esta red.El modelo quasi-completo del transistor arroja que:

ZLC

hie

Re

1/sC

Ra

Voltaje salida

I I2


La impedancia vista desde I como referencia I2, es aproximadamete igual al paralelo de hie de Q1 con hoe de Q2, (esto sin tomar en cuenta las capacitancias de difusion y la rμ de realimentacion entre B-C), entoncesz=h ie/¿hoe≈hieAhora se puede redibujar el circuito de forma mas sencilla asi:

Donde notamos que I≠I2, entonces podemos hacer uso de la reflexión de impedancias en la rama de la carga.Modelando por bloques: en el dominio de Laplace.

SI LC1 0 0 n1

2 h ie

4 , 7 k

C 2

1 0 0 n

R 71 0 0 k

0

I 2I

ZLC

hie

hfe(ZL)

I I


Aplicando reflexión de Impedancias:

DondeZ LC= Ls

1+(LC ) s2

y Z L=Re /¿ [ 1sC1

+Ra]

ZL=Re (1+sC1 Ra)1+(Ra+Re)sC1Aplicando reducciones se puede obtener una relación entre VA e I, se puede demostrar que:

V A=ReRaZLC I

(Re+ 1sC1

+Ra)(ZLC+hie+h feZ L)Donde las variables sobresaltadas están anteriormente definidasReemplazando valores para:

Re=4.7K


Ra=1000K

hie≈122K

h fe≈160

C1=100nF

C=100nFReemplazando:ZLC=

sL

1+s2 L(100nF)

ZL=4489.016 (100+s )

(95.51+s )Reemplazando y simplificando la ecuaciones:V A(s)I (s)

= 47 Ls2

(4.7∗(10−9 )∗s3+0.01047 L∗s2+ (L+47 )∗s+4700)

Se hace la indicación que el parámetro hie se calculo a partir de un análisis en DC no explicado aquí, pero que arrojo una corriente de base en Q1 de 5.71uA, el transistor Q2 muestra igual polarización.Un análisis en Pspice arroja que el análisis de punto de operación revela las tensiones UBE1 = Uce1 = 0,642 V y = UCE2 UBE2 = 0,579 V y la corriente IC1 = 845 uA e IC2 = 76,2 uA, los cuales son resultados muy similares considerando que IC1=Ib25. MODELAMIENTO DE LA FUENTE DE EXITACION.


Tenemos un impulso de forma rectangular que hace oscilar nuestro circuito: abajo modelo en ORCAD

La grafica se puede parametrizar de la siguiente forma:

Time

0s 4ns 8ns 12ns 16ns 20ns 22nsI(IP)

0A

5uA

10uA

15uA


I ( t )=1000 tu ( t )−2000 ( t−10ns )u (t−10ns )+1000(t−20ns )u(t−20ns )En el dominio de Laplace su correspondiente transformación:

I ( s )=1000 1s2

−2000 1s2e−10n∗s+1000 1

s2e−20n∗s

Obteniendo su respectiva grafica en MatlabSe puede realizar de dos formas:Usando la función heaviside de Matlab para definir la función u (t ), y la segunda es usando la transformada de Laplace, asi calculamos su inversa mediante Software y ploteamos la inversa en el tiempo.Escogemos la segunda por motivos de aprendizaje y demostración:Lo primero que hacemos en el programa es definir un simbolico, en este caso s(la variable de Laplace), escribimos la función, calculamos su inversa y luego graficamos esta, también se usara los comando Xtick y Ytick para acomodar la grafica.Programa en Matlab

% grafica 5-32% desarrollo por Julio Mosaja% GRAFICA SEÑAL DE ENTRADA% declarando tt=0:0.1e-9:25e-9;% declarando simbolico en este caso la variable de Laplacesyms s %F=1000/(s^2)-(2000/(s^2))*exp(-10e-9*s)+(1000/(s^2))*exp(-20*1e-9*s)%T=ilaplace(F) .... luego copiamos T=G como se muestra abajo G=1000*t + 1000*heaviside(t - 3022314549036573/151115727451828646838272).*(t - 3022314549036573/151115727451828646838272) - 2000*heaviside(t - 1/100000000).*(t - 1/100000000);plot(t,G,'r-'), grid on, title('exitacion en la entrada'),xlabel('tiempo'), ylabel('Amperaje'),


axis([0, 22e-9, 0, 15e-6]),% usando Xtickset(gca, 'XTick', [0 1e-9 2e-9 3e-9 4e-9 5e-9 6e-9 7e-9 8e-9 9e-9 10e-9 11e-9 12e-9 13e-9 14e-9 15e-9 16e-9 17e-9 18e-9 19e-9 20e-9 21e-9 22e-9],'XTickLabel',{'0s','','','', '4ns','','','', '8ns','','','', '12ns','','','', '16ns','','','', '20ns','', '22ns'})set(gca, 'YTick', [0 5e-6 10e-6 15e-6],'YTicklabel',{'0A', '5uA', '10uA', '15uA'})

Esta grafica ha sido realizada en MATLAB

6. MODELAMIENTO DEL VOLTAJE VAPara L=1mH

V A(s)I (s)

= 0.047 s4.7∗(10−9 )∗s3+0.00001047∗s2+ (47 ) s+4700

Para L=2mH

0s 4ns 8ns 12ns 16ns 20ns 22ns0A

5uA

10uA

15uAexitacion en la entrada

tiempo

Am

pe

raje


V A(s)I (s)

= 0.094 s4.7∗(10−9 )∗s3+0.00002094∗s2+ (47 ) s+4700Tenemos que escribir en el MATLAB las ecuaciones Z y multiplicarla por la corriente de entrada ya modeladaEsto ha sido realizado con el siguiente archivo m.

% grafica 5-32% desarrollo por Julio Mosaja% GRAFICA SEÑAL DE ENTRADA% declarando t%t=0:0.1e-9:25e-9;t=0:0.000001:0.010;% declarando simbolico en este caso la variable de Laplacesyms s F=1000/(s^2)-(2000/(s^2))*exp(-10e-9*s)+(1000/(s^2))*exp(-20*1e-9*s);%definiendo Z1Z1=1e7*s^2/((s^2+1e10)*(s+100));V1=ilaplace(F*Z1);

%este N1 es la respuesta en el tiempo para L=1mHN1=(1000000*exp(-100*t))/1000001 - (1000000*cos(100000*t))/1000001 + (1000*sin(100000*t))/1000001 + 10000000000*heaviside(t - 3022314549036573/151115727451828646838272).*(sin(100000*t - 9444732965739290625/4722366482869645213696)/10000010000000 - cos(100000*t - 9444732965739290625/4722366482869645213696)/10000010000 + exp(75557863725914325/37778931862957161709568 - 100*t)/10000010000) - 20000000000*heaviside(t - 1/100000000).*(exp(1/1000000 - 100*t)/10000010000 - cos(100000*t - 1/1000)/10000010000 + sin(100000*t - 1/1000)/10000010000000)%Obteniendo la respuesta temporal para Z2 esto es para L= 2mH

%defiiendo Z2Z2=1e7*s^2/((s^2+5e9)*(s+100))V2=ilaplace(F*Z2)N2=(1000000*exp(-100*t))/500001 - (1000000*cos(50000*2^(1/2)*t))/500001 + (1000*2^(1/2)*sin(50000*2^(1/2)*t))/500001 - 20000000000*heaviside(t - 1/100000000).*(exp(1/1000000 - 100*t)/5000010000 - cos(50000*2^(1/2)*(t - 1/100000000))/5000010000 + (2^(1/2)*sin(50000*2^(1/2)*(t - 1/100000000)))/5000010000000) + 10000000000*heaviside(t - 3022314549036573/151115727451828646838272).*(exp(75557863725914325/37778931862957161709568 - 100*t)/5000010000 - cos(50000*2^(1/2)*(t - 3022314549036573/151115727451828646838272))/5000010000 + (2^(1/2)*sin(50000*2^(1/2).*(t - 3022314549036573/151115727451828646838272)))/5000010000000)


En el siguiente archivo m vamos a plotear las señales en la Salida y obtener su respectiva FFT, para observar la frecuencia de resonancia.Obtencion de la FFT.(obtenido de MathWorks)Se obtienen las longitudes de los vectores de las señalesL=length(N1);L1=length(N2)%NFFT = 2^nextpow2(L); NFFT1= 2^nextpow2(L1);%Y = fft(N1,NFFT)/L;Y1= fft(N2,NFFT1)/L1;%f = fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);f1= fs/2*linspace(0,1,NFFT1/2+1);

PROGRAMA COMPLETO:% espectro de la señal de salida% hecho con DTFT% Desarrollo = Julio Mosajafs=1000000;%para L=1mH obtenemos anteriormente N1N1=(1000000*exp(-100*t))/1000001 - (1000000*cos(100000*t))/1000001 + (1000*sin(100000*t))/1000001 + 10000000000*heaviside(t - 3022314549036573/151115727451828646838272).*(sin(100000*t - 9444732965739290625/4722366482869645213696)/10000010000000 - cos(100000*t - 9444732965739290625/4722366482869645213696)/10000010000 + exp(75557863725914325/37778931862957161709568 - 100*t)/10000010000) - 20000000000*heaviside(t - 1/100000000).*(exp(1/1000000 - 100*t)/10000010000 - cos(100000*t - 1/1000)/10000010000 + sin(100000*t - 1/1000)/10000010000000)t=0:1/fs:0.03; % definicion vector de tiempo considerando criterio de Nyquist% para L=2mH obtenimos anteriormente N2N2=(1000000*exp(-100*t))/500001 - (1000000*cos(50000*2^(1/2)*t))/500001 + (1000*2^(1/2)*sin(50000*2^(1/2)*t))/500001 - 20000000000*heaviside(t - 1/100000000).*(exp(1/1000000 - 100*t)/5000010000 - cos(50000*2^(1/2)*(t - 1/100000000))/5000010000 + (2^(1/2)*sin(50000*2^(1/2)*(t - 1/100000000)))/5000010000000) + 10000000000*heaviside(t - 3022314549036573/151115727451828646838272).*(exp(75557863725914325/37778931862957161709568 - 100*t)/5000010000 - cos(50000*2^(1/2)*(t - 3022314549036573/151115727451828646838272))/5000010000 + (2^(1/2)*sin(50000*2^(1/2).*(t - 3022314549036573/151115727451828646838272)))/5000010000000) % ***** PROCEDIMIENTO PARA OBTENER LA DFT DE LAS SEÑALES% .... CALCULO DE LONGITUD DE VECTORES


L=length(N1);L1=length(N2)%NFFT = 2^nextpow2(L); NFFT1= 2^nextpow2(L1);%Y = fft(N1,NFFT)/L;Y1= fft(N2,NFFT1)/L1;%f = fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);f1= fs/2*linspace(0,1,NFFT1/2+1); % dibujando el espectro en solo frecuencias positivassubplot(2,1,2)plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1)),'b-',f,2*abs(Y1(1:NFFT1/2+1)),'r-'), grid onaxis([0, 30000, 0, 1e-6]);set(gca, 'XTick', [0 1e3 2e3 3e3 4e3 5e3 6e3 7e3 8e3 9e3 10e3 11e3 12e3 13e3 14e3 15e3 16e3 17e3 18e3 19e3 20e3 21e3 22e3 23e3 24e3 25e3 26e3 27e3 28e3 29e3 30e3],'XTickLabel',{'0hz','','','','','5KHz','','','','','10KHz','','','','','15KHz','','','','','20KHz','','','','','25KHz','','','','','30KHz'})set(gca, 'YTick', [1e-7 2e-7 3e-7 4e-7 5e-7 6e-7 7e-7 8e-7 9e-7 1e-6],'YTicklabel',{'0V','','','','200mV','','','','','400mV'}) title('espectro de las señales de salida')legend('L= 1mH', 'L = 2mH')xlabel('Frequency (Hz)')ylabel('(mV)')%dibujando las señales de Salida en Azul para L=1mH y en rojo para L=2mHsubplot(2,1,1)plot(t,0.6e6*N1,'b-',t,0.6e6*N2,'r-'), grid on, title('respuesta temporal en la salida'),xlabel('tiempo'), ylabel('Amperaje'),axis([0.002, 0.004, -1, 1]), legend('L= 1mH', 'L = 2mH')set(gca, 'XTick', [0.002 0.00205 0.0021 0.00215 0.0022 0.00225 0.0023 0.00235 0.0024 0.00245 0.0025 0.00255 0.0026 0.00265 0.0027 0.00275 0.0028 0.00285 0.0029 0.00295 0.003 0.00305 0.0031 0.00315 0.0032 0.00325 0.0033 0.00335 0.0034 0.00345 0.0035 0.00355 0.0036 0.00365 0.0037 0.00375 0.0038 0.00385 0.0039 0.00395 0.004],'XTickLabel',{'2.0ms','','','','2.2ms','','','','2.4ms','','','','2.6ms','','','','2.8ms','','','','3.0ms','','','','3.2ms','','','','3.4ms','','','','3.6ms','','','','3.8ms','','','',''})set(gca, 'YTick', [-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1],'YTicklabel',{'-1.0V','','','','','0V','','','','','1.0V'})

7. EXPLICACION DE LAS GRAFICAS:La primera grafica muestra la señal de salida en el punto A, como se observa la señal es Oscilatoria, y mas no se puede


apreciar la respuesta en régimen transitorio debido a las aproximaciones que se hicieron en el modelo matemático descrito anteriormente, esto es, se desprecio parámetros de los transistores como las capacitancias BE y CE, además no se tomo en cuenta los efectos de los efectos de realimentación en el transistor que hacen que la salida muestre un comportamiento oscilatorio descontrolado, hasta que se estabilice.Finalmente la segunda grafica muestra el espectro de frecuencias de las señales anteriormente ploteadas, se comprueba asi la deducción del libro de consulta que propone que:f 0=

1

2∗π∗√LC

8. RESULTADOS Y COMPARACIONESGRAFICA OBTENIDAS EN MATLAB

GRAFICA OBTENIDAS EN MATLAB

0hz 5KHz 10KHz 15KHz 20KHz 25KHz 30KHz

0V

200mV

400mVespectro de las señales de salida

Frequency (Hz)

(mV

)

L= 1mHL = 2mH

2.0ms 2.2ms 2.4ms 2.6ms 2.8ms 3.0ms 3.2ms 3.4ms 3.6ms 3.8ms-1.0V

0V

1.0Vrespuesta temporal en la salida

tiempo

Am

pe

raje

L= 1mHL = 2mH


GRAFICA OBTENIDAS EN ORCAD, modelo de mas resolución del régimen transitorio.

▲ Grafica de la respuesta en el dominio de la frecuencia

9. CONCLUSIONES: El uso de la computadora y las herramientas tecnológicas para la comprensión de los conceptos vistos en clase, es muy importante porque nos brinda una forma sencilla de visualizar temas que de otra forma sería imposible observar en la realidad. MATLAB es una muy buena herramienta para hacer graficas y cálculos al mismo tiempo . Utilizando los comandos adecuados, pudimos aprender a modelar de una manera práctica y clara la función de transferencia de cualquier sistema.

Time

2.0ms 2.2ms 2.4ms 2.6ms 2.8ms 3.0ms 3.2ms 3.4ms 3.6ms 3.8ms 4.0msV(A)

-1.0V

0V

1.0V


De las simulaciones anteriores podemos concluir que MATLAB es una excelente opción para el análisis y simulación de las señales por la facilidad con la que se pueden visualizar los resultados, por la sencillez de las instrucciones y por su variedad en las aplicaciones. Se pudo demostrar que los algoritmos empleados por PsPice son correctos, además que tienen una gran resolución. Mediante el modelos matemático es posible describir comportamientos en los circuitos eléctricos. Se puede obtener resultados similares a los de un potente simulador usando sencillas formulas matemáticas.10. OBSERVACIONES Aunque fue posible obtener un modelo matemático mas completo del sistema, este resulto ser muy complicado y engorroso en el momento de simular las formulas, por esta razón se ve afectada la resolución de las respuestas sobre todo en régimen transitorio. Hay muchos problemas al momento de graficar las transformadas inversas en MATLAB.


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