Pedro Pablo Oñate Ávila Mecánica I

Capítulo 6: Movimiento circular y otras

aplicaciones de las leyes de Newton En las siguientes páginas veremos cómo aplicar las leyes de Newton en diversos casos de trayectorias circulares y analizaremos también cómo se comportan en marcos de referencia no inerciales o acelerados.

Leyes de Newton para partículas en M.C.U. Cuando una partícula se traslada con una rapidez constante en una trayectoria circular de radio r experimenta una aceleración que tiene una magnitud:

Se llama aceleración centrípeta porque se dirige hacia el centro del círculo. Esta aceleración es siempre perpendicular a .

Para introducir el concepto de fuerza en un

M.C.U. basta imaginar una bola de masa m

atada a una cuerda de longitud r que se hace

girar con una velocidad constante.

Según la Primera Ley de Newton la bola

debiese viajar en línea recta si no existiese

fuerza sobre ella, sin embargo la cuerda la

hace girar en círculos mediante una fuerza

radial hacia el centro de la trayectoria.

Así, por la Segunda Ley de Newton

relacionamos la fuerza con la aceleración

centrípeta de la siguiente manera:

Péndulo Cónico: Una pequeña bola de masa m se suspende de una cuerda de longitud L. La bola da vueltas con rapidez constante en un circulo horizontal de radio r, como se muestra en la figura a continuación. Encuentre una expresión para .

Si dicha fuerza desapareciera al cortarse la cuerda, la bola ya no seguiría una trayectoria circular, pasando a moverse en línea recta con una dirección tangente al círculo, justo como muestra la figura a la izquierda. Ahora veremos un ejemplo clásico de movimiento circular uniforme en donde podemos aplicar las leyes de Newton:

Sea ϴ la representación del ángulo entre la cuerda y la

vertical, la fuerza que ejerce la cuerda se resuelve en una

componente vertical cosϴ y una componente horizontal

senϴ que actúa hacia el centro de la trayectoria circular. Descomponiendo:

Dividiendo ② por ①:

, pero como

Notemos que la rapidez no depende de la masa de la bola.

Movimiento Circular No Uniforme Sabemos que si una partícula varía su rapidez en un movimiento circular, aparte de la

aceleración radial existe una aceleración tangencial de módulo

que representa

un cambio en la rapidez de ésta con respecto al tiempo. Debido a la presencia de esta aceleración, es claro que la fuerza que actúa sobre la partícula también deberá tener esta componente tangencial. Se deducen luego las siguientes fórmulas:

Donde es aceleración total, aceleración radial y aceleración tangencial.

Donde es fuerza neta, fuerza radial y fuerza tangencial.

Podemos contextualizar lo anterior con el siguiente ejemplo: Una bola de masa m se ata a una cuerda de longitud R y se pone en movimiento en un circulo vertical con rapidez v en torno a un punto fijo O, como se muestra en la imagen a la derecha. Existe una tensión T en la cuerda que forma un ángulo ϴ con la vertical y hace surgir la componente radial de la aceleración y, por otro lado, la fuerza gravitacional que hace surgir la componente tangencial.

Sistemas de referencia No Inerciales - Fuerzas Ficticias

¿Qué pasa cuando el observador se encuentra en un marco de referencia no inercial? ¿Por qué pareciera haber aceleraciones sin explicación sobre los objetos, no cumpliéndose las leyes de Newton? Por supuesto, las leyes de Newton no se violan, es mera percepción del observador, que siente una fuerza –inexistente- actuando sobre el sistema. Se le llama fuerza ficticia, y pareciera actuar igual que una fuerza real. En el siguiente ejemplo, la fuerza ficticia se debe a un cambio en la dirección de la velocidad. Pensemos en un automóvil que viaja por la carretera cuando de pronto debe tomar una salida curva, como se muestra en la figura (a). A medida que el conductor toma la curva, el copiloto se desliza hacia la derecha y golpea la puerta ¿Qué lo impulsó hacia la derecha? Una explicación incorrecta, es decir que una fuerza actúa como en la figura (b) y lo empuja hacia afuera. Con frecuencia se le llama “fuerza centrifuga”, aunque es una fuerza ficticia debida a la aceleración centrípeta que se genera cuando cambia la dirección de la velocidad del automóvil. La explicación correcta del fenómeno es que a medida que el automóvil toma la curva, el copiloto tiende a seguir con su trayectoria recta original, lo que está en concordancia con la primera ley de Newton. Existe la fuerza de fricción (figura (c)) entre el asiento y el copiloto, aunque cuando esta fuerza no es lo suficientemente grande, solo el asiento sigue la trayectoria curva mientras se observa al copiloto deslizarse hacia la derecha y chocar con la puerta, que si le proporcionará una fuerza para seguir la trayectoria curva del automóvil. El copiloto se desliza hacia la puerta no a causa de una fuerza exterior sino porque la fuerza de fricción no es lo suficientemente grande para permitirle viajar a lo largo de la trayectoria circular seguida por el automóvil.

La fuerza de Coriolis: Es una fuerza ficticia percibida al cambiar la posición radial de un objeto en un sistema en rotación.

Como muestra la imagen, supongamos que usted y un amigo se encuentran frente a frente en una plataforma giratoria y decide lanzarle una pelota. La figura (a) representa la visión aérea de un observador en reposo sobre la plataforma. Según este observador, que está en un marco inercial, la pelota describe una trayectoria recta cumpliendo con la primera ley de Newton. En t = 0 usted le lanza la pelota a su amigo, pero en usted y su amigo están en una posición nueva, y el no ha recibido la pelota.

Ahora consideremos la situación desde el punto de vista de su amigo. Él se encuentra en un marco de referencia no inercial porque experimenta una aceleración centrípeta. Como observador, comienza a ver venir la pelota directo hacia él, pero a medida que esta viaja, va virando a un lado como se muestra en la figura (b). Su amigo sorprendido afirmaría que la pelota no obedece la primera ley de Newton y creería que hay una fuerza causante de que la pelota siguiera una trayectoria curva. Esta fuerza ficticia se llama fuerza de Coriolis.