Seminar: Prasna plazma

Blaz KmetecFakulteta za matematiko in fiziko

Mentor: dr. Milan CercekIJS, F8, Odsek za fiziko plazme

December 2001

Kazalo

1 Plazma 21.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Definicija plazme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Oblike plazme in parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Prasna plazma 52.1 Krogelni plasc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Lastnosti in oblike prasne plazme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Izoliran prasni delec v plazmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Nabitje delca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Sile na delec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Saturnovi obroci 123.1 Prasna plazma v planetni orbiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Skrivnostne lise in starost Saturnovih obrocev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Zakljucek 16

1

1 Plazma

1.1 Uvod

Vesolje, kot ga poznamo, je sestavljeno pretezno (menijo, da 99%) iz plazme v raznih oblikah, odhladnega in redkega medzvezdnega plina do vrocih sredic zvezd in celo pritlikavk; pojem plazmemora torej biti precej sirok. Plazmo poznamo predvsem kot delno ioniziran plin in znacilen primerneravnovesnega in neurejenega stanja, ki ga v splosnem stezka zadovoljivo opisemo z ustaljenimiopisi snovi (elektromagnetnim, hidrodinamskim, kineticnim modelom) - veckrat slisimo izraz “cetrtoagregatno stanje”, videli pa bomo, da lastnosti, ki opredeljujejo plazmo, dopuscajo plazmo v mnogihoblikah in pod zelo sirokim razponom parametrov.

Plazmo uporabljajo v mnogih tehnoloskih in raziskovalnih panogah. Zadnja leta zbuja velikopozornosti raziskovanje t. i. prasne plazme, torej plazme, onesnazene oziroma obogatene z delci ve-likosti nanometra do deset mikrometrov. Izsledki teh raziskav obetajo odgovore na mnoga vprasanjav astrofiziki, astronomiji, na podrocju povrsin materialov in tankih filmov... Zanimivi so tudi pojavifaznih prehodov, ki jih srecamo pri kristalih, ki se lahko oblikujejo v prasni plazmi. Preucevanjeplazme in delcev v njej ponuja stevilna nova spoznanja; z nekaterimi od teh se bomo seznanili v temsestavku.

1.2 Definicija plazme

Plazmo bi lahko opisali kot “kvazinevtralni plin nabitih in nevtralnih delcev s kolektivnim vedenjem”.Opredelitev pojmov, torej lastnosti plazme in pogojev, ki jim mora plazma zadoscati, sledi.

• Temperatura Preden se lotimo lastnosti plazme, moramo najprej osvetliti pojem temperature.Za nase namene je prakticno, da vpeljemo kolicino, ki je sorodna termodinamski temperaturiin ima enake enote. V plazmi seveda ne naletimo nujno na lokalno termodinamicno ravnovesje,zato se moramo domeniti, kaj torej temperatura pomeni. Izhajamo iz gibanja posameznihdelcev; kineticna energija le-teh je verjetnostno porazdeljena: pri dovolj visokem tlaku obicajnomaxwellsko, sicer pa porazdelitev pogosto opisejo z Druyvesteinovo (gl. [1]). Sirina porazdelitveje sorazmerna s povprecno energijo in postavimo, da tudi s temperaturo preko zveze Ekin ∝ kT .

Tako pripada enodelcnemu plinu v treh dimenzijah, npr. elektronom, temperatura32Ekin

kT, kot

smo vajeni pri obicajni statisticnomehanski temperaturi. Navada je izrazati temperaturo vplazmi v enotah kT in sicer v eV , tako da je izraz neodvisen od stevila prostostnih stopenj.Pri pretvorbi si pomagamo z izrazom

1eV = k · 11604K;

k je Boltzmannova konstanta. Tako ustreza na novo uvedeni elektronski temperaturi kT =10eV obicajna elektronska temperatura 0, 116 · 106K. Naj nas ne zmede, ce v literaturi na-letimo na razlicne temperature isti delev; pogosto dodelijo dolocenim nacinom gibanja delcain vrstam energijskega vzbujanja delca svoje temperature po istem postopku preko pripada-joce povprecne energije. V prisotnosti magnetnega polja, naprimer, locimo med temperaturo,ki ustreza gibanjem ionov vzporedno s poljem, T||, in temperaturo, ki podobno predstavljaenergijo, povezano s silami pravokotnih na polje, T⊥.

Del plazme je v ravnovesju, ce so tam skupne temperature razlicnih delcev v plazmi, to jenevtralnih delcev, elektronov in ionov, enake. Sicer pa se vedno lahko govorimo o nekaksnemtermicnem ravnovesju elektronov (ionov, ...) samih, ce lahko interakcije delno odmislimo.

2

Za bolj podrobno obravnavo gl. [2] ,[1].

• Debyevo sencenje in Debyeva dolzina Sencenje elektricnih potencialov je ena od bistvenihznacilnosti plazme. Nabiti delci se gibljejo in razpostavijo tako, da zmanjsajo vpliv in lokalnojakost polja. Razdalji, na kateri se polje okoli naboja prilagodi plazemskemu potencialu, ki siliv nevtralnost plazme, pravimo Debyeva dolzina:

λD =

√ε0kT

ne20

; (1.1)

n je stevilska gostota delcev (ionov, elektronov). Podrocju znotraj Debyeve dolzine recemoplasc. V plascu lahko obstajajo podrocja z lokalno gostoto naboja.

Oblika povrsine v plazmi in s tem plasca je v splosnem lahko zapletena, v nekaterih enostavnihprimerih se da dobiti enostaven izraz za potencial. Pogosto nas zanima potencial ob steniposode, v kateri se nahaja plazma. V tem enodimenzionalnem primeru pada potencial pribliznoeksponentno z razdaljo x od stene:

V (x) = V0e− x

λD . (1.2)

Elektroni trkajo ob steno pogosteje, ker so hitrejsi. Potencial (1.2) v plazmi, ki je zaradi sencenjaomejen na plast nekaj Debyevih dolzin, se prilagodi tako, da v povprecju prileti enako stevilonegativno kot pozitivno nabitih delcev. Plasc torej prilagodi svojo obliko tako, da plazmaostaja kvazinevtralna; za elektrone predstavlja potencialni hrib, za ione pa dolino.

Potencial okoli krogelnega telesa bomo se izpeljali; izpeljavi za krogelni primer (rezultat zepoznamo pod imenom Debye-Hucklov potencial) in gornji primer sta sorodni.

• Kvazinevtralnost Morebitne lokalne koncentracije naboja v plazmi so tako zasencene in narazdaljah vecjih od λD ostaja plin v poprecju nevtralen. Ce so dimenzije sistema L mnogo vecjeod Debyeve dolzine, L � λD, lahko plazmo (na skali, vecji od Debyeve dolzine) obravnavamokot kvazinevtralno - lahko privzamemo ne = Zni = n (n poimenujemo gostota plazme) -odslej bo veljalo, da je plin enkrat ioniziran, torej Z=1 - , se vedno pa obstajajo zanimiveelektromagnetne sile v plazmi z dovolj velikim dosegom:

• Kolektivno vedenje Doseg Coulombove sile - ki v veliki meri doloca vedenje plazme - po-jema z r2. Po drugi strani pa je stevilo delcev v prostorninskem elementu okoli poljubnegadelca sorazmerno prostornini, torej r3. Ce potencial ne bi bil sencen, bi tako interakcija medprostorninskimi deli narascala z velikostjo delov (nekako z r), obmocja plazme medsebojnovplivajo tudi na vecjih razdaljah. Kolektivno vedenje pomeni gibanje, ki temelji tudi ali pred-vsem na stanjih plazme v oddaljenih podrocjih in za veliko mnozico delcev. Elektricne sile medoddaljenimi delci imajo znatno vecji vpliv na gibanje delcev kot medsebojni trki.

Smiselna definicija potenciala (1.2) je mozna le pri dobro definirani gostoti naboja v obmocjuDebyeve krogle s polmerom λD. Stevilo elektronov v Debyevi krogli 1

ND =4π

3neλ

3D (1.3)

1v enacbo za Debyevo dolzino (1.1) vstavimo podatke za elektron, sicer pa je v neravnovesni plazmi pomembnazlasti elektronska Debyeva dolzina λDe,ki je zaradi visje temperature elektronov vecja

3

mora biti statisticna vrednost, torej veliko, ce hocemo, da sta sencenje in kolektivnost dobro de-finirana. Poleg pogoja L � λD mora plazma za kolektivno vedenje zadostiti tudi ND � 1. Kotsmo ze omenili, medsebojni trki delcev ne smejo prevladovati nad kolektivnimi interakcijami,zato rabimo se majhno pogostnost trkov:

• Pogostnost trkov Ce nabiti delci prepogosto trkajo z nevtralnimi, je njihovo gibanje dolocenobolj s hidrodinamskimi kot z elektromagnetnimi silami in se plazma vede v veliki meri kotnevtralni plin. Ce oznacimo povprecni cas trkov nabitih delcev ob nevtralne s τ in frekvencoznacilnih plazemskih oscilacij v plazmi z ωp, mora veljati

ωpτ > 1.

ωp imenujemo tudi plazemska Langmuirjeva frekvenca in je reda 1MHz − 1GHz. Velja seλDωp ≈ v, pri cemer je v povprecna termicna hitrost delcev (elektronov). Obicajno lahkoplazemsko frekvenco izracunamo po znani formuli

ωp =

√ne2

εom, (1.4)

pri cemer vstavimo podatke tistih delcev, katerih valovanje najbolj prispeva k elektrodinamikiplazme (obicajno so to elektroni).

Ionizacijo plazme omogocajo zlasti neprozni trki elektronov ob tezje delce. Iz osnov fizikevemo, da pri trku dveh delcev z zelo razlicno maso lazji delec preda energijo tezjemu, ce je trkneprozen, ob proznem trku pa je prenos energije sorazmeren razmerju mas in tako neznaten.Za nadaljno ionizacijo atomov rabimo dovolj velik prenos energije. Pri zelo mocni ionizacijilahko najvec energijskega prenosa v plazmi prispevajo trki elektronov ob elektrone.

Ce povzamemo, moramo za obstoj plazme zadostiti trem pogojem:

L � λD (1.5a)

ND � 1 (1.5b)

ωpτ > 1 (1.5c)

1.3 Oblike plazme in parametri

Najpomembnejsi parametri, ki dolocajo vedenje plazme, so gostota nevtralnega plina nn, gostotaplazme n = ne = ni ter elektronska temperatura plazme kTe.

nnn+n

imenujemo stopnja ionizacije in

je navadno med 1 · 10−6 in 1 · 10−3, v ECR (elektronsko ciktrotronsko resonancne plazme) celo do0, 1.

Za zacetek si oglejmo preglednico razlicnih plazemskih sistemov (1); vidimo, da pogoji (1.5)dovoljujejo plazmo z tako nizkimi gostotami kot n = 1/cm3 = 10−6/m3 ali temperaturami kT ∼0, 01eV ali T ∼ 100K in precej redov visjimi vrednostmi n = 1018/cm3 = 1012/m3, kT ∼ 106eV aliT ∼ 108K.

Plazmo delimo na dve vrsti: termicno in hladno. Termicna plazma je plazma v lokalnem termodi-namskem ravnovesju, kjer ima vsak dovolj majhen del plazme doloceno termodinamsko temperaturo,torej enake temperature posamicnih sestavin. Termicno plazmo dobimo pri visokih temperaturahtezkih delcev (106−108K, torej 102−104eV ) ali pri dovolj visokem (atmosferskem) tlaku. Uporabneso za oblaganje materialov , v metalurgiji in v fuzijskih reaktorjih, kjer imajo se vedno tezave s tem,

4

Slika 1: Raznolikost plazme: vrste plazme glede na elektronsko gostoto in temperaturo

kako omejiti prostor, ki ga zaseda plazma. V hladnih plazmah imajo elektroni mnogo visjo tempera-turo kot tezji delci. Zaradi svojih neravnovesnih lastnosti imajo raznovrstne moznosti sodelovanja vfizikalnih in kemijskih reakcijah v nadzorovanih okoliscinah. Uporabljajo se v raznovrstne namene,od povrsinskih obdelav materialov do izdelave mikroelektronskih elementov.

Naredimo kratek pregled oblik plazme:Plazmo dobimo v plinskih razelektritvah (plinske svetilke, strela, plinski laserji ipd.), pri nadzorovanitermonuklearni fuziji devterija in tritija (energije nad 10keV), v Zemljini ionosferi (soncni veter, VanAllenovi obroci) in raznih podrocjih astrofizike (soncna korona, medzvezdje, nebule, pulzarji; celorazvoj galaksij: zvezde sicer niso nabite, a se vedejo kot delci v plazmi - galaksiji,...) , v magnetohi-drodinamiki (MHD; tok plazme skozi magnetno polje uporabljamo za proizvodnjo elektrike, procesv obratni smeri pa bi lahko izkoriscali za pogon pri dolgih medplanetnih odpravah), v trdni snovi(prosti elektroni in vrzeli v polprevodnikih tudi tvorijo plazmo, pri cemer moramo uporabiti kvantniopis), celo nekatere tekocine se vedejo kot plazma.

Vec o plazmi je mogoce najti v [2, 1, 3, 4].Veliko plazme vsebuje prasne delce, ki znatno prispevajo k posebnostim plazme. Mehanizme, s

katerimi opisemo pojav in vpliv prasnih delcev, bomo spoznali v naslednjem delu.

2 Prasna plazma

2.1 Krogelni plasc

Delec v plazmi je obicajno bolj krogelne kot ravne oblike; za razsezen plasc (λD � a) je mogoce hitrodobiti zelo dober opis potenciala, vmes med tankim in debelim so racuni manj preprosti. Izpeljavosmo ze srecali v [5].

5

Resujemo Poissonovo enacbo

∆V =e

ε0

(ne − ni) (2.1)

V tej sliki imajo elektroni in ioni Boltzmannovo porazdelitev oblike

ne,i(r) = n∞e±eV (r)/kTe,i . (2.2)

Predpostavimo |eV (r)| � kTe, tako da se Poissonova enacba po linearizaciji desne strani poeno-stavi v

∆V = λ−2D V. (2.3)

Upostevali smo skupno Debyevo dolzino elektronov in ionov λD:

1

λ2D

=1

λ2De

+1

λ2Di

; (2.4)

elektronsko in ionsko Debyevo dolzino λDe, λDi izracunamo po enacbi (1.1):

λDe,i =

√ε0kTe,i

e2n∞;

Vzeli smo V (∞) = 0 in smo tako oznacili gostoto plazme (gostoto elektronov oziroma ionov) izvenplasca z n∞. V krogelni simetriji je resitev linearizirane Poissonove enacbe Debye-Hucklov potencial(sencen Coulombov potencial):

V (r) = V (a)a

rexp

(−r − a

λD

); (2.5)

V (a) je potencial na povrsini prasnega delca.Za hladne plazme je Debyeva dolzina λD blizja ionski kot elektronski Debyevi dolzini. Nasa izpe-

ljava je zahtevala Boltzmannovo porazdelitev gostote ionov, kar ni v skladu z nezmotenim plascem.Izkaze pa se, da je rezultat natancnejsega izracuna za debel plasc tudi Debye-Hucklov potencial. Veco tem najdemo v literaturi pod OML (Orbit Motion Limited Theory), naprimer v [3, 6, 7].

2.2 Lastnosti in oblike prasne plazme

Parametri, ki dolocajo vedenje prasnih delcev, so Debyeva dolzina λD, velikost delca a in povprecnarazdalja med delci d. Velikost delca a je tipicno reda 1µm (1nm − 10µm), in je tako precej manjsaod λD, ki zavzame vrednosti nekako med 10µm in 10m. Razdalja med delci d je povezana z stevilskovolumsko gostoto delcev v plazmi nd: ndd

3 ∼ 1. Pri zdruzevanju delcev je kljucen se parametersklopitve Γ, ki poda razmerje med interakcijsko elektrostaticno energijo med delci in njihovo termicnoenergijo:

Γ ∼ ECoulomb.d−d

kTd

,

s povprecnim stevilom nabojev na prasnem delcu Zd jo lahko zapisemo kot

Γ =Z2

de2

4πε0kdTd

. (2.6)

6

Tabela 1: Parametri raznih prasnih plazem; indeks n se nanasa na nevtralni plinni Te nd d/λD a nn Γ

(cm−3) (eV) (cm−3) (µm) (cm−3)Saturnov obroc E 10 10 - 100 10−7 0.1 1 1 .0.01Saturnov obroc F 10 10 - 100 . 10 . 10−3 1 - <10−4

Medvezdni molekularni oblaki 10−3 0.001 10−7 0.3 < 1 104 <10−5

“Oblaki, ki ponoci svetijo”2 103 0.013 10 0.2 0.1 1014 ∼10−3

Industrijska plazma 3·109 2 103 – 108 0.1 - 3 < 1 3·1015 ∼102

Plazemski kristal 109 2 104 – 105 1 5 1016 ∼104

O sklopitvenem clenu bomo se govorili. Oglejmo si primerjavo raznih prasnih plazem (tabela 1):Kot smo ze ugotovili, se prah v plazmi obda z elektroni in tako dobi potencial glede na plazmo.

Skupni naboj na enem prasnem delcu Zde je lahko kar velik in kvazinevtralnost, ki smo jo pribrezprasni plazmi zapisali kot ni = ne, se sedaj glasi (za enkrat ioniziran plin)

ni0 = ne0 + Zd0nd0, (2.7)

kjer indeks 0 oznacuje nezmotene gostote oz. stevilo nabojev, indeks d pa bo odslej oznaceval delecprahu.

Veliko plazme je v obliki prasne plazme in tudi ta nastopa v mnogih oblikah in pojavih. Ze vuvodu v plazmo smo omenili tehnoloske uporabe plazme; tu je studij prasnih delcev zelo uporaben,saj ugotovijo, kako npr. zmanjsati onesnazenje povrsin, pa tudi v mnoge druge namene. Zunajlaboratorijev naletimo na prasno plazmo v planetnih obrocih, komah in repih kometov, zodiakalnihdiskih, v planetnih atmosferah, ostankih supernov, medzveznih molekulskih oblakih, zemeljski meno-pavzi in raketnih izbruhih v ionosfero, v prasnih obrocih okoli zvezd (tudi Sonca), v medplanetarnemprostoru, v strelah v nevihtah onesnazenih z dimom (predvsem v ZDA), vulkanskih izbruhih, svecnemplamenu...

Veliko splosnih lastnosti prasne plazme in nacinov njenega udejanjanja je najti v [7, 3, 8, 9, 10].

2.3 Izoliran prasni delec v plazmi

Najpreprostejsi je opis dinamike prasnega delca v plazmi, ce je le-ta izoliran. To pomeni, da lastnostiplazme (temperatura, gostota) ostajajo nepremenjene nekaj Debyevih dolzin stran od delca in da jerazmik med prasnimi delci znatno vecji od Debyeve dolzine. Vpliv prasnih delcev eden na drugegalahko proti ostalim dejavnikom zanemarimo (delci so vsak zase dobro senceni), interakcije niso takomocne, da bi delce zdruzevale v gruce ali oblake; plazma je torej sibko sklopljena.

Izolirani delci se vedejo kot sonde v plazmi. Tu velja omeniti, da je teorija prasne plazme zizoliranimi delci sorodna teoriji sond (Langmuirjeve sonde). S tem si pomagajo, ko diagnosticirajoplazmo s sondami in obratno - pri obravnavi prasnih delcev si pomagamo z ze izdelano teorijo sond.Vecina prasnih plazem ni tako gosto posejanih s prahom, da ne bi mogli delcev obravnavati kotizoliranih. Ob preucevanju kristalov, prasnih oblakov ipd. pa seveda ne moremo mimo mocnihinterakcij med prasnimi delci. Odslej se bomo ukvarjali z izoliranimi prasnimi delci.

2noctilucent clouds

7

2.4 Nabitje delca

K naboju prasnega delca v plazmi prispevajo zlasti naslednji pojavi: neposredni tok delcev, foto-emisija, termicna emisija in sekundarna emisija elektronov. Vse emisije elektronov so odvisne odizstopnega dela W snovi, iz katere je prasni delec. Ravno tako imajo ustrezni tokovi skupen faktor,ki pove, da potencial delca, ki je, dokler se ne vzpostavi ravnovesje, dinamicna kolicina, elektronezavira ali pospesuje. Ta faktor ima obliko exp(− eV (a)

kTe), za Te vstavimo temperaturo tistih elektronov,

na katere dolocen proces pac deluje. V nadaljnem tega faktorja ne bomo posebej zapisovali (mislimosi ga v konstanti).

• Termicna emisija elektronov je pomembna, kadar ima povrsina prasnega delca dovolj visokotemperaturo; tok znamo izracunati iz Richardsonove formule [5]:

Iterm = Aterm4πa2T 2d e− W

kTd (2.8)

• Fotoemisija prispeva znaten delez v medzvezdni plazmi (UV podrocje). Energija fotonov hνmora biti vecja od izstopnega dela, vpliv pa je odvisen predvsem od vpadnega toka svetlobeIν . Tok lahko ocenimo [9]:

Ifoto = Afotoπa2Iνe−W

hν (2.9)

• Sekundarna emisija elektronov je pomembna, ce potencial prahu ni prevec negativen in lahkoprevlada, ce je potencial pozitiven. Ce potencial zvisujemo, pridemo do obmocja, kjer je silana elektrone tako mocna, da pobegle elektrone posrka nazaj na delec, kjer se re-absorbirajo.Odvisnost toka od potenciala ima tako vrh pri pozitivnem potencialu (2). Proces je preprost:elektroni, ki vpadajo na prasni delec, izbijajo elektrone iz atomov, podobno kot pri fotoemisijisvetloba. Izracun toka najdemo v [10]; ce je potencial negativen in temperatura elektronov vplazmi Te ni previsoka, lahko zapisemo

Isek � AsekδmT32

e eW

kTe . (2.10)

δm je parameter sekundarne emisije in pove delez energije vpadlih elektronov, ki se porabi zaizbitje sekundarnih elektronov.

Obicajno se prasni delec nabije zaradi tokov delcev v plazmi, torej negativno (ker so elektronihitrejsi). Ta primer bomo posebej obravnavali, primerjava tokov na delec zaradi neposrednega tokaionov in elektronov ter zaradi sekundarne emisije v odvisnosti od potenciala pa je razvidna iz slike 2.

Osredotocimo se na neposredne tokove negativno nabitega prasnega delca. Najprej ocenimo tokionov in elektronov na prasni delec krogelne oblike. Pri tem si delo precej olajsamo, ce predpostavimo,da je plasc okoli prasnega delca debel (λD � a), tako da polje privlaci vse ione in za vsako hitrostiona obstaja rocica hitrosti iona glede na prasni delec (impakt parameter), pri kateri ion zadaneprasni delec v tangentni smeri. Privzamemo tudi, da so vsi neposredno trki nabitih delcev plazmeob prah neprozni. Splosnejse izracune najdemo v [7, 3].

• Ionski tok dobimo s pomocjo preseka za trk iona s prasnim delcem. Za ion, ki prileti v blizinoprasnega delca (sredisce tega postavimo v izhodisce, r = 0) z zacetno energijo E0 in hitrostjov0 zapisemo ohranitev energije:

E0 =1

2mir

2 +1

2

(mv0b)2

mir2+ eV (r); (2.11)

8

Slika 2: Posamezni tokovi (ionski, elektronski, tok sekundarne emisije) na mikrometrski delec in to-talni tok; opazimo tri stabilna stanja potenciala (totalni tok je enak nic), srednje stanje je nestabilno.V katerem stanju se znajde delec, je odvisno od zgodovine prasnega delca. Iz [10]

b je pravokotna razdalja zacetne hitrosti iona do izhodisca (“impakt parameter”; vrtilna kolicinaiona je tako enaka miv0b). Iz zapisa

b = r

(1− eV (r)

E0

− 1

2

mir2

E0

)1/2

(2.12)

razberemo, da najvecjemu parametru b, pri katerem ioni se zadanejo tarco, ustreza nicelnaradialna hitrost, r = 0 (hitrost je torej tangentna in r = a). Takrat zadnjega clena v oklepajuni in “sipalni presek” za neposredni zadetek iona v prasni delec je

σ = πb2max = πa2

(1− eV (a)

E0

). (2.13)

Za curek ionov z enako energijo dobimo ustrezen ionski tok

Ii = n∞e0v0σ = πa2n∞e0

√E0

mi

(1− eV (a)

E0

). (2.14)

Ce je energija ionov Maxwellovo porazdeljena, dobimo podoben izraz [3]:

Ii = πa2n∞e0

√8kTi

πmi

(1− eV (a)

kTi

). (2.15)

• Elektronski tok dobimo iz kineticne teorije plinov (elektron je hiter in majhen); iz gostotetoka elektronov s termicno hitrostjo v v doloceno smer j = nev/4 sledi

Ie = −4πa2ne(a)v(a)

4. (2.16)

9

Upostevamo se Boltzmannovo porazdelitev elektronov (2.2) in zapisemo rezultat:

Ie = πa2n∞e0

√8kTe

πme

exp

(eV (a)

kTe

)(2.17)

V primeru pozitivnega potenciala lahko vlogi elektronskega in ionskega toka zamenjamo, natancneizpeljave pa najdemo v [7].

Naboj prahu narasca, dokler se tokova (termicna) ionov in elektronov ne izenacita. Takrat velja

exp

(eV (a)

kTe

)=

√me

Te

Ti

mi

(1− eV

kTi

). (2.18a)

V termicnem ravnovesju sta temperaturi ionov in elektronov enaki. Pri plazmi iz snovi z masnimstevilom A resujemo enacbo za ravnovesni potencial na povrsini delca

exp

(eV (a)

kTe

)=

.0231√A

(1− eV

kTi

). (2.18b)

Za vodikovo plazmo je ravnovesni eV enak −2, 51kTe, za kisikovo (enkrat ionizirano) pa −3, 61kTe.Izkaze se, da v splosnem velja (z osnovnim nabojem pomnozen elektricni potencial je v tesnemsorodstvu s coulombskim energijskim potencialom prasnega delca)

Zde2

4πε0a≈ βkTe.

Koeficient β je obicajno okrog 2 in je odvisen od precej plazemskih parametrov [8].

2.5 Sile na delec

Prasni delci v plazmi se podrejajo raznim silam, ki jih bodisi prostorsko omejijo bodisi jih pospesujejok stenam, proc od plazme. Od sil, ki jih bomo obravnavali, zadrzuje delce na omejenem obmocju leelektromagnetna sila.

• elektricna sila Spoznali smo ze, da je potencial prasnega delca zaradi sencenja visji od po-tenciala v plazmi, zato elektricna sila zadrzuje delec v plazmi, kar je za ekperimente koristno.Elektricno silo zunanjega polja na izoliran delec prav dobro opisemo z obicajno Zde0

⇀

E0. Sen-cenje namrec prinese le majhen popravek, kar lahko analiticno izracunamo.

Os z postavimo v smeri lokalno homogenega zunanjega elektricnega polja E0(zunanje polje na-vadno izvira od elektrod v plazmi). V sfericnih koordinatah s polarno simetrijo ima lineariziranaPoissonova enacba (2.3) obliko

∆V =1

r2

∂

∂r

(r2∂V

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂V

∂θ

)= λ−2

D V. (2.19)

Robni pogoj dalec od delca ustreza homogenemu polju,

V (r, θ) = −E0r cos θ , (r →∞), (2.20a)

na prevodni povrsini prasnega delca pa je potencial enakomeren,

V (a, θ) = V (a) = konst. (2.20b)

10

Vemo tudi, da na povrsini prevodnika ni tangentne komponente polja:

∇θV = 0 , r = a. (2.20c)

Enacba (2.19) se da resiti z locitvijo spremenljivk. Bralec lahko potrebne korake naredi sam,sicer pa najde celotno izpeljavo v [11]. Zaradi lepsega zapisa bomo pisali κ = λ−1

D . Resitev je

V (r, θ) = −E0r cos θ + V (a)a

re−κ(r−a) +

+E0κ2a3

1− κae−κ(r−a)

(1

κr+

1

κ2r2

)cos θ. (2.21)

V limiti brez sencenja, κ → 0, se resitev poenostavi na znano resitev za potencial nabite sferev vakuumu v konstantnem polju E0:

V (r, θ)κ=0 = V (a)a

r+ (−E0r +

E0a3

r2) cos θ. (2.22)

Elektrostaticno silo na povrsini delca S in s tem na delec izracunamo preko napetostnegatenzorja T, pri cemer spet upostevamo, da ima elektricno polje smer normale na prevodnopovrsino (2.20c).

⇀

F = ε0

∫S

Tnd⇀

S = ε0

∫S

(⇀

E(⇀

E · n)− E2

2n

)d

⇀

S (2.23a)

Fz = πa2ε0

∫ π

0

(∂V

∂r

)2

r=a

cos θ sin θdθ (2.23b)

Fz =4

3πa2ε0aV (a)E0

((κa)3 + 3(κa) + 3

)(2.23c)

Po podobni integraciji povrsinske gostote naboja

σ(θ) = −ε0

(∂V

∂r

)r=a

(2.24a)

lahko silo (2.23a) izrazimo z nabojem na delcu (pri cemer se povrsinski potencial V (a), ki biga naceloma lahko izracunali iz (2.18a), pokrajsa);

Zde = 2πa2

∫ π

0

σ(θ) sin θdθ (2.24b)

Zde = 4πε0aV (a) (1 + κa) (2.24c)

Koncni rezultat je

Fz = ZdeE0

(1 +

(κa)2

3(1 + κa)

). (2.25)

V vecini primerov, kjer je Debye-Hucklova teorija veljavna, je κa � 1 (a � λD) in je sila zaradisencenja le neznatno vecja od sile na prasni delec, ki ne bi bil sencen. Tudi drugi, neodvisniizracuni kazejo [12], da plasc ne vpliva na gibanje delca v srediscu plasca zaradi elektricne sile,ce je potencial plasca Debye-Hucklov.

Ucinka popacitve plasca seveda nismo upostevali, ravno tako ne polarizacije nabojev. Ucinekpolarizacije nabojev na prahu se v resnici natanko unici s silo ionov, ki zaradi polja polariziranihnabojev trkajo v prasni delec [3, 11]. Popravek k elektricni sili prinese tako le polarizacijanabojev zaradi omenjene popacitve plasca. Relativna velikost popravka je reda a/λD in tako vvecini primerov spet majhna.

11

• ionsko trenje Ioni in prah medsebojno izmenjujejo gibalno kolicino, pri cemer dobimo dvaprispevka: enega od neproznih trkov, kjer se ion in prah neposredno zlepita, in prozni trki -trenje, kjer gre spet za coulombsko interakcijo. Sila je pomembna, kadar imamo velik tok ionov.

• nevtralno trenje Gre spet za prenos gibalne kolicine, le da tu seveda prispevajo le trki mo-lekul nevtralnega plina ob prasne delce. Kdaj moramo upostevati nevtralno vlecenje, dolocaKnudsenovo stevilo, Kn = l

a(l je povprecna prosta pot nevtralnih molekul plazemskega plina).

Ce je le-to majhno (visok tlak, hidrodinamsko podrocje), je sila Stokesova , torej sorazmernaav. Pri proizvodnji prasne plazme je tlak navadno manjsi od 100Pa, cemur ustreza l & 100µm,velikost delca pa je a . 1µm. Knudsenovo stevilo je tako veliko.

Locimo prozni odboj in difuzni odboj (trk) dveh delcev. Pri slednjem se molekule adsorbirajoin nato re-emitirajo iz povrsine prahu. Za ta dva skrajna primera se dobi izraz za silo, ki jesorazmeren povrsini prasnega delca (a2), pod posebnimi pogoji pa se dobi celo enoten izraz [3],kjer prispevka teh razlicnih trkov opisemo z akomodacijskim koeficientom.

• termoforeza Gre za neenakomernost temperature nevtralnega plina, zaradi cesar nastanegradient tlaka; na vroci strani prasnega delca je tlak vecji. Zanimivo je, da je sila neodvisna odtlaka samega plina:

⇀F∝ a2∇T.

• gravitacija Gravitacija je lahko znatna, ko odstranimo vzroke trenja (npr. delec obmirujeglede na plazmo). Silo poznamo; F = mdg ∝ a3.

Primerjava sil: katere sile prevladajo, je v najvecji meri odvisno od velikosti prasnega delca:

FE ∝ a, Fnevtr.tr., Ftermoforeza ∝ a2, Fion.tr. ∝ a2 ln(1 +c

a2), Fg ∝ a3

Majhni prasni delci bodo tako potisnjeni na mesto z najvecjim elektricnim potencialom, zelo velikidelci pa pobegnejo iz obmocja plazme zaradi ionskega vlecenja in gravitacije. Laboratorijski primersi oglejmo v sliki 3.

V vesolju so okoliscine, v katerih se nahaja plazma, in s tem vrste sil, ki izstopajo, raznolike. Vblizini planetov je gravitacija pomembna pri delcih raznih velikosti. Na primeru planetnih obrocevbomo videli, kako razlicne sile na razlicne delce povzrocijo posebne porazdelitve prahu.

3 Saturnovi obroci

Saturnovi obroci so presenetljivo urejen sistem; njihova tankost in hierarhija obrocev glede na radialnoporazdelitev prahu v obrocih po velikosti ostaja raziskovalni izziv. Nekatere razlage sledijo disipacijitokov plazme: tokovi plazme v pravokotni smeri na obroce naj bi uravnovesali disipacije energijezaradi medsebojnih trkov prasnih delcev. Na podlagi opazovane porazdelitve prahu po velikosti indebeline obrocev ter mnozice izracunov in ocen bo, kot kaze, mogoce razumeti naravo urejenostiplanetnih obrocev [8]. Pri tem pa bomo morali vzeti v postev vse sile, ki delujejo v obrocih, vkljucnoz lastno gravitacijo, in plazemske procese vseh vrst. V tem sestavku se bomo omejili na ocenostarosti obrocev, ki daje vrednosti blizu drugim, neodvisnim ocenam in morda predstavlja prvi korakh globljemu razumevanju osupljivih znacilnosti planetnih obrocev.

12

Slika 3: Sile na delec (elektrostaticna, ionsko trenje, nevtralno trenje, termoforeza, gravitacija) za delec zvelikostjo (polmerom) a = 0, 1µm in za a = 1µm v oblicajnem laboratorijskem okolju. Na delec velikostia = 10µm delujeta predvsem ionsko trenje in gravitacija reda 10−10N , pri a = 100µm pa prasni delec uide izcelice s plazmo. Primer je za argonovo plazmo. Parametri so: tlak p=0,1bar, gostota plazme n=5E−9/cm3,Ti = Tnevtr.=500K, kTe=3eV (Te=35000K), elektricno polje na meji plasca E=30V/cm, ∇ T=10K/cm,masna gostota prasnega delca ρD = 2g/cm3. Podatki so iz [3].

3.1 Prasna plazma v planetni orbiti

Za delce v planetovi magnetosferi 3 vecje od mikrometra lahko v vecini primerov elektromagnetnesile na prasni delec ob gravitaciji zanemarimo (elektromagnetno polje planeta je veliko manjse kot vlaboratorijskem primeru na sliki 3). Magnetosfera planeta je v obliki plazme in krozi v splosnem zdrugacno kotno hitrostjo (krozi hkrati s planetom). Prah v blizini planeta krozi hitreje od plazmein zaradi sil plazme na prah (trenje) izgublja vrtilno kolicino, kar povzroci, da pada proti planetu(slika 4). Prah dalec od planeta pa krozi pocasneje in pridobiva na krozni hitrosti, kar ga pomikadlje od planeta, v se bolj oddaljene orbite. Meja med tem dvema regijama je sinhronska razdalja -tam je kotna hitrost, potrebna za krozenje okoli planeta, enaka kotni hitrosti vrtenja planeta okolinjegove osi ω (na tej razdalji krozijo geostacionarni sateliti). Elektricno polje zaradi vrtenja planetovemagnetosfere je na sinhronskem radiju r enako ω rB

c, tako da se elektricna in magnetna sila iznicita.

Nastanek in oblikovanje planetnih obrocev seveda presegata okvir sestavka, opisano potovanje prahupa ima vpliv na sestavo in stabilnost.

Na gibanje prahu mocno vpliva tudi gravitacija, in sicer gravitacija prasnega oblaka samega(lastna gravitacija). Prah se giblje po elipticni orbiti, katere sredisce krozi po (skoraj) krozni orbitiokoli planeta.

3.2 Skrivnostne lise in starost Saturnovih obrocev

Saturnovi obroci so sestavljeni iz delcev velikosti pretezno med 1cm in 5m, najdemo pa tudi kilome-trske objekte; se neznano stevilo lun (zaenkrat le ena, Pan, s premerom 20km) se skriva v vrzelihmed obroci. Sestava delcev ni povsem znana, povrsje delcev sestavlja v glavnem led z manjsimi neci-stocami (silikati). Obroci so izredno tanki, sodec po posnetkih Voyagerja 2 manj kot 200m. Plazma

3magnetosfera je del prostora okoli planeta, kjer magnetno polje planeta prevlada nad magnetnimi polji soncevegavetra

13

v obmocju Saturnovih obrocev je v temperaturnem obmocju 30eV −50eV in ima gostoto 3−10cm−3,cemur ustreza Debyeva dolzina 12− 30m, kar je precej vec, kot velikost delcev v obrocu. Torej so vsi(razen izjemnih kilometrskih) delci prasni.

Slike Saturnovih obrocev, posnete iz Voyagerja (slika 5), odkrivajo posebnosti - lise (spokes). Toso dolge radialne tvorbe, dolge tudi 20.000 km, ki se v zanimivih vzorcih gibljejo po obrocu B4,kot bi se ne menile za gravitacijo, sicer pa krozijo z enako frekvenco kot Saturnovo magnetno polje.Pojavljajo se na obeh straneh obroca. Nastanka in gibanja lis se niso dokoncno pojasnili, obstaja karnekaj razlag. Ena od teh je elektrostatska levitacija prahu iz vecjih prasnih teles.

Po tej razlagi se meteor velikosti enega metra zaleti v obroc in sprosti plazmo. Snov v obrocupostane nabita in majhni delci (a < 10µm) se dvignejo nad obroc. Ko delci ubezijo iz Debyevegapodrocja obroca, se se bolj nabijejo, saj niso vec senceni in polje planeta jih prisili v krozenje hkratiz magnetosfero, a le manjse delce (delce, pri katerih je razmerje med nabojem in maso vecje). Delci,katerih razmerje je manjse, se se naprej gibljejo s Keplerjevo hitrostjo. Le-ta je manjsa od hitrostimagnetosfere na razdaljah vecjih od sinhrone in obratno, kar povzroci znacilno obliko lis (slika 6).Na mestu trka meteorja se naboj loci, ker plazma potuje skladno z lazjimi prasnimi delci, masivnejsidelci pa ostanejo loceni. To relativno gibanje vzpostavi elektricno polje, ki pospesi plazmo stran odsinhronega radija (navzven ali navznoter, odvisno od lege). Gl. sliko 7.

Radialno gibanje plazme nabije in dvigne se vec prahu, katerega hitrost je pravokotna na obroc.Njihova pot zaradi hkratnega vpliva elektromagnetnega polja in gravitacije ponovno seka obroc (nadrugi strani), a pri drugem radiju. Tako dobimo tudi prenos mase in vrtilne kolicine iz nekaterihdelov obroca na druge. Pri sinhronem radiju ostane najmanj snovi in tam je obroc najtanjsi.

Shan in Goertz [13] sta model podrobno obdelala. Ce predpostavimo enakomerno zacetno po-razdelitev debeline obrocev, dajo izracuni, temeljec na sedanji opazeni porazdelitvi, starost obrocev400-800 milijonov let. Za starost obrocev obstaja se nekaj neodvisnih ocen in vecina od teh daje dostimanjse vrednosti. Po dosedanjih ugotovitvah so se tako obroci razvili dolgo zatem, ko se je izoblikoval

4Obroc B je tretji od planeta in spada v skupino svetlih obrocev A,B,C,D, ki so razmeroma ozki - reda Debyevedolzine; B obroc se razteza od 92 do 118 km razdalje od Saturnove povrsine in odkriva poleg lis se druge posebnosti

Slika 4: Relativne hitrosti plazme, ki krozi s kotno hitrostjo vrtenja planeta, in prahu, ki krozi skrozno Keplerjevo hitrostjo. Iz [10]

14

Slika 5: Saturnovi obroci; na enem izmed obrocev (B) opazimo temne lise; svetlost lis je odvisna odosvetljenosti obrocev in tocke opazovanja. Periodicne crne pike so le pomoc pri kalibraciji.

Slika 6: Dvoklinska struktura nekaterih lis za-radi odnasanja snovi proc od sinhronega ra-dija

Slika 7: Prenos prahu iz enega dela obroca nadrug del. Po [10]

15

nas soncni sistem. To pomeni, da se obroci bodisi pogosto oblikujejo bodisi imamo precejsnjo sreco,da jih lahko opazujemo.

Od opazovanja Saturna vesoljske sonde Cassini si obetamo veliko novih podatkov in odgovore namnoga vprasanja. Sonda je bila izstreljena 15.10.1997 in se bo vtirila v Saturnovo orbito 1.6.2004.

4 Zakljucek

Prasna plazma odpira veliko novih moznosti za raziskave vesolja, interakcij in materialov. Spoznalismo osnovne pojme, izognili smo se industrijski uporabi prasne plazme, prav tako smo izpustiliopis razvoja prasnih delcev. Splosen pregled tehnoloske uporabe in diagnosticiranja prasne plazmenajdemo v [3], rast in oblikovanje delcev sta opisana v [14, 3]. Zanimanje za raziskovanje prasneplazme je cedalje vecje in stevilo clankov iz tega podrocja se vedno hitro narasca. Pricakujemo, dabodo rezultati raziskav omogocili izboljsave v tehnologiji, ki deluje v okolju plazme, nase poznavanjevesolja in teles v njem ter globlje razumevanje agregatnih stanj. Moznost enostavne eksperimentalnedosegljivosti (tudi za manjse laboratorije) in spremljanja procesov v prasni plazmi obeta neoviranrazvoj na tem raznolikem podrocju, natancnejso dolocitev lastnosti kompleksnih snovi in druga novadognanja.

16

Literatura

[1] A. Grill, Cold Plasma in Materials Fabrication: From Fundamentals to applications. IEEEPress, 1993. 1.2, 1.3

[2] F. F. Chen, Plasma Physics. Plenum Press, I Edition 1974, II Edition 1984. 1.2, 1.3

[3] A. Bouchoule, Dusty plasmas. John Wiley and sons, 1999. 1.3, 2.1, 2.2, 2.4, 2.4, 2.5, 3, 4

[4] M. A. Lieberman and A. J. Lichtenberg, Principles of plasma discharges and materials proces-sing. John Wiley and sons, 1994. 1.3

[5] S. Zumer in I. Kuscer, Toplota. Termodinamika, statisticna mehanika, transportni pojavi. Zvezaorganizacij za tehnicno kulturo Slovenije, 1987. 2.1, 2.4

[6] A. Melzer, A. Homann, and A. Piel, “Experimental investigation of the melting transition of theplasma crystal,” Phys. Rev. E, vol. 53, no. 3, p. 2757, 1996. 2.1

[7] P. Shukla, “A survey of dusty plasma physics,” Physics of plasmas, vol. 8, no. 5, p. 1791, 2001.2.1, 2.2, 2.4, 2.4

[8] V. Tsytovich, “Dust plasma crystals, drops and clouds,” Physics-Uspekhi, vol. 40, no. 1, p. 53,1997. 2.2, 2.4, 3

[9] M. Rosenberg, “Dusty plasmas: A topical review,” Journal de Physique IV, vol. 10, no. Pr5,p. 73, 2000. 2.2, 2.4

[10] T. Northrop, “Dusty plasmas,” Physica Scripta, vol. 45, no. 5, p. 475, 1992. 2.2, 2.4, 2, 4, 7

[11] J. E. Daugherty, R. K. Porteus, and D. B. Graves, “Electrostatic forces on small particles inlow-pressure discharges,” J,Appl.Phys., vol. 73, no. 4, p. 1617, 1992. 2.5, 2.5

[12] S. Hamaguchi and H. Ohta, “Classical plasmas with Yukawa potentials,” Journal de PhysiqueIV, vol. 10, no. Pr5, p. 19, 2000. 2.5

[13] L.H.Shan and C.K.Goertz, “On the radial structure of saturns B-ring,” Astrophysical Journal,vol. 367, no. 1, p. 350, 1991. 4

[14] A.A.Fridman, L.Boufendi, T.Hbid, B.V.Potapkin, and A.Bouchoule, “Dusty plasma formation:Physics and critical phenomena. theoretical approach,” J. Appl. Phys., vol. 79, no. 3, p. 1303,1996. 4

17