Oddelek za fiziko

Seminar 4

Akustika flavte

Mihael GojkosekAstronomsko-geofizikalna smer

Mentor: dr. Daniel Svensek

22. maj 2009

Kazalo

1 Povzetek 2

2 Kratka zgodovina razvoja flavte 3

3 Kaj se pravzaprav zgodi, ko pihnemo v flavto? 4

4 Akusticna impedanca 8

5 Iztocni popravek 10

6 Alikvotni toni in prepihovanje 13

7 Odrezane frekvence 16

8 Frekvencni odziv flavte 17

9 Literatura 19

Slike

1 Flavta iz Divje babe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Sestavni deli flavte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Prerez flavte pri ustniku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Stojece valovanje v cevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Visji harmonski toni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Tonske in registrske luknje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Akusticna impedanca flavte in klarineta . . . . . . . . . . . . 108 Zamasek s krono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Koncni popravek pri zamasku . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1310 Alikvotni toni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411 Frekvencna analiza zvena note C1 . . . . . . . . . . . . . . . . 1512 Prepihovanje v razlicne alikvote . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513 Odrezane frekvence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614 Akusticna impedanca za tona A1 in C1 . . . . . . . . . . . . . 1715 Frekvencni odziv flavte na tonu C#2 . . . . . . . . . . . . . . 18

1

1 Povzetek

Flavta je eno najstarejsih glasbil. Skozi stoletja se je glasbilo izpopolnjevaloin z Bohmovo revolucijo v razvoju doseglo stopnjo, na kateri je se danes.Preko preprostega modela stojecega valovanja v odprti cevi lahko razumemoosnovne principe akustike flavte1. Ce pa zelimo rezultate numericno pod-krepiti, moramo upostevati se vrsto popravkov, s katerimi dopolnimo nasenostaven model. Preko iztocnih popravkov na zgornjem in spodnjem deluflavte, krizanja prstov in odrezanih frekvenc veliko lazje razumemo frekvencniodziv akusticne impedance flavte. Seveda pa ne moremo mimo alikvotnihtonov in prepihovanja, ki je zanimivo tako iz fizikalnega kot tudi iz glas-benega stalisca.

1V svojem seminarju se bom posvetil predvsem obravnavi akustike precne flavte, zatonaj bralca opomnim, da se beseda flavta povsod nanasa na precno flavto.

2

2 Kratka zgodovina razvoja flavte

Zacetki glasbe segajo dalec v zgodovino. Flavti podobno glasbilo so poznalize neandertalci. Preprosta piscal, ki so jo nasli v jami Divje babe blizu Idrije,velja za najstarejsi glasbeni instrument; njeno starost ocenjujejo na od 43000do 82000 let [1]. Piscal je izdelana iz kosti mladega jamskega medveda inima 4 luknje, ki so poravnane v vrsto in primerno razmaknjene, da bi naglasbilo lahko zaigrali nekaj tonov diatonicne lestvice (do, re, mi . . . ) [2].Slika 1 prikazuje fotografijo te najdbe. Zapisi o flavtah se pojavljajo tudi vBibliji in v stari indijski kulturi in mitologiji. Bolj izpopolnjeni instrumentiso bili najdeni na Kitajskem, kjer so nasli tudi najstarejsa primerka panovihpiscali in precne flavte [3]. V Evropi so panove piscali prvi poznali Grki (7.stol. pr. Kr.), od njih pa se je to glasbilo razsirilo po vsej celini. V srednjemveku se je na Irskem pojavilo njihovo tradicionalno glasbilo, tin whistle (v12. stol.), in kljunasta flavta (v 14. stol.). Prva pisna omemba precneflavte sega v leto 1285, vendar so takrat to glasbilo poznali le v Franciji inNemciji [3]. V 16. stoletju se je flavta zacela pojavljati v komornih zasedbah,kjer je obicajno nadomescala tenorski glas, temu pa je sledil hiter razvojglasbila. Ta razvoj je dosegel vrhunec leta 1871, ko je nemski iznajditelj inglasbenik Theobald Bohm izdal svoje najbolj znano delo Die Flote und dasFlotenspiel (Flavta in igranje flavte) [4].

Slika 1: Slika prikazuje kosceno flavto iz jame Divje babe. Na kosti sta lepovidni dve luknji, tretja in cetrta pa sta odprti do roba piscali. Ta arheoloskanajdba predstavlja najstarejse glasbilo, ki so ga nasli do zdaj [1].

3

Theobald Bohm je celostno prenovil stari model precne flavte: postopomaje dodajal nove tipke, s pomocjo katerih je flavta postala kromaticno glasbiloin s tem veliko bolj vsestranska; dolocil je optimalno obliko cevi, dolocilpolozaj zamaska ter polozaj in obliko ustnika; povecal je luknje v cevi, s cemerje dal flavti bolj poln in mocen zvok, za zapiranje lukenj pa na flavto dodaltipke; v celoti je razvil kompliciran sistem mehanike, ki flavtistu kar najboljolajsa delo; izracunal je natancne polozaje lukenj za razlicne vrste flavt,da se glasbilo v velikem razponu kljub nekaterim kompromisnim resitvamcimbolj natancno pribliza temperirani uglasitvi in s tem omogoci igranje vvseh tonalitetah; preucil je razlicne materiale, njihove prednosti in slabostipri uporabi za izdelavo flavt (bil je sploh prvi, ki je izdelal srebrno flavto- te so danes dalec najpogostejse). V svoji knjigi je opisal tudi prijemena flavti za igranje razlicne not, zgradbo mehanizma, ki skrbi za odpiranjeposameznih lukenj, pravilno ravnanje in skrb za glasbilo, tehnike vadenja indruge zanimivosti [4].

Po Bohmovi revoluciji se flavta do danes ni bistveno spreminjala. Takoje to danes glasbilo, ki ga sestavljajo trije deli:

- glava, na kateri je ustnik in se na eni strani zakljucuje s premicnimzamaskom;

- trup, na katerem je 13 lukenj (10 tonskih in 3 registrske) ter vecji delmehanizma, ki te luknje s pritiski na tipke zapira in odpira;

- noga, na kateri so 3 ali 4 tonske luknje (odvisno ali imamo H- aliC-nogo.

Sestavne dele flavte prikazuje slika 2. Boljse flavte so ponavadi srebrne (tudizlate, platinaste . . . ), cenejsi modeli pa so iz raznih zlitin. Se vedno so kljubnekaterim pomanjkljivostim zelo priljubljene tudi lesene flavte, ki so biledalec najpogostejse pred Bohmom.

3 Kaj se pravzaprav zgodi, ko pihnemo v flavto?

Curek zraka potuje iz nasih ustnic preko luknje na ustniku. Hitrost curkaje odvisna od zracnega tlaka v ustih, tipicno pa se giblje v obmocju od 20do 60 metrov na sekundo. Ko curek udari ob rezo na drugi strani odprtine,nastane motnja; ta lahko potuje skozi odprtino v notranjost flavte ali ven iznje. Tako kljub enakomernemu curku, s katerim pihamo, dobimo izmenicnospreminjajoc pretok skozi ustnik flavte. Vzrok za tako izmenicno odklanjanjeje nihanje v cevi, ki je posledica odboja motnje na spodnjem koncu cevi. Cese cas prehoda motnje skozi flavto ujema z obratno vrednostjo frekvence

4

Slika 2: Na sliki lahko vidimo glavne dele flavte (glavo, trup in nogo) razs-tavljene in sestavljene. Na glavi sta oznacena se ustnik in krona, pod katerose skriva zamasek, ki sta zraven lukenj najpomembnejsa sestavna dela flavte.

igrane note, bo zrak izmenicno tekel v odprtino in iz nje z ravno pravo fazo,da bo ojacal nihanje v cevi; posledica tega je mocan in jasen zvok dolocenefrekvence [5].

Slika 3: Zrak, ki v curku potuje preko ustnika iz flavtistovih ust, se lahkousmeri v flavto ali iz nje [5].

Flavta je odprta na obeh koncih. Ocitno je, da je odprta na spodnjemkoncu, pri nogi. Ce opazujemo nekoga, ki igra flavto, pa lahko opazimoda s svojimi ustnicami prekrije samo del odprtine ustnika, velik del pa os-tane odprt za zunanji zrak. Tako si lahko torej v najpreprostejsem primerupredstavljamo flavto kot enakomerno debelo odprto cev. Tak priblizek je pre-prost za matematicno analizo, kasneje pa bomo ta model dopolnili z raznimipopravki za luknje, koncno debelino cevi, zgornji del flavte ipd. Ce po cevidolzine L potuje tlacna motnja (zgoscina molekul zraka), se ta na koncu cevi

5

delno odbije nazaj v cev, delno pa se razsiri v prostor. Ce motnje ne vzbu-jamo (na podoben nacin kot vzbujamo nihalo s frekvenco, priblizno enakonjegovi lastni frekvenci), ta motnja eksponentno zamre. Zato izgube zaradiizsevanja v prostor in izgube na stenah nadomestimo z ojacanjem motnjepo vsakem obhodu. Moc, ki jo pri pihanju vlozimo v vzbujanje nihanjazracnega stolpca, ravno pokrije prej omenjene izgube. Cas, ki ga motnjapotrebuje za svoje potovanje do konca cevi in nazaj, lahko zapisemo kot

t0 =v

2L, (1)

kjer v oznacuje hitrost razsirjanja motnje v zraku. Zaradi odboja na odprtemkoncu se v cevi pojavi stojece nihanje. Dejstvo, da je cev odprta, nam dolocarobne pogoje: zracni tlak mora biti ob robovih priblizno enak zunanjemuzracnemu tlaku p0. Akusticni tlak, ki je definiran kot variacija tlaka v zrakuzaradi zvocnih valov pa = p − p0 [5], mora biti enak nic. Takim tockamrecemo tlacni vozli; ti lezijo priblizno pri robu cevi (manjsi popravek pozi-cije povzroci tako imenovani ”iztocni popravek”). Akusticni tlak v cevi jelahko razlicen od nic – tam se zato oblikuje hrbet stojecega valovanja. Nasredini cevi je pri osnovnem nihajnem nacinu spreminjanje akusticnega tlakanajvecje. Ce opazujemo amplitudo nihanja molekul zraka, je slika ravnoobrnjena – na robu cevi lahko molekule prosto nihajo ven in noter, zatoje tam amplituda nihanja najvecja. Ravno obratno je na sredini cevi, kjertlacna razlika molekule enkrat stiska iz obeh strani, drugic jih na enak nacinvlece narazen. Zaradi simetrije te sile molekule v sredini cevi mirujejo [5].Graf akusticnega tlaka in odmikov v cevi flavte prikazuje slika 4.

Slika 4: Na vrhu slike je oznacena dolzina cevi. Pri stojecem valovanju sehrbet akusticnega tlaka ujema z vozlom odmika in obratno. Vozli ob koncucevi so izmaknjeni nekoliko navzven.

6

Kot smo ze ugotovili, je osnovni nacin stojecega valovanja, ki zadoscarobnim pogojem, en valovni hrbet v cevi z vozloma pri njenih koncih. Vtem primeru je valovna dolzina valovanja dvakratnik dolzine cevi λ = 2L,frekvenca zvoka pa zadosca enacbi ν = c/λ (to formulo lahko izpeljemo tudi izenacbe (1), ce upostevamo, da je ν = 1/t0. Ta frekvenca pripada najnizji noti,ki jo glasbilo lahko zaigra. To pa ni edina nota, ki jo lahko zaigra flavta takedolzine; ce pihnemo mocneje ali pa zmanjsamo rezo med ustnicami, povecamohitrost curku zraka; rezultat je hitrejse potovanje motnje in posledicno krajsavalovna dolzina, ki ustreza danim robnim pogojem [5]. Taksnim nihajnimnacinom pravimo prvi, drugi, tretji . . . visji harmonski ali alikvotni ton(slika 5). Tem nihajnim nacinom se bomo podrobneje posvetili v poglavju oprepihovanju.

Slika 5: Pod skico flavte so narisani razlicni nihajni nacini, ki zadoscajorobnim pogojem odprtih koncev cevi. Visji harmonski toni imajo krajsovalovno dolzino in 2-krat, 3-krat ... visjo frekvenco kot osnovni ton.

Od modela odprte cevi se vrnimo sedaj k flavti, ki ima na svojem trupuluknje. Ce torej vse luknje pokrijemo, osnovno stojece valovanje pripadanajnizji frekvenci, ki jo flavta lahko zaigra – pri flavti s C-nogo je to ton C1.Nato zacnemo postopoma odpirati luknje pri nogi flavte; s tem krajsamoefektivno dolzino cevi (tlacni vozel se nahaja pri tisti odprti luknji, ki jenajblizje ustniku) in posledicno tudi valovno dolzino stojecega valovanja –na tak nacin igramo vedno visje note [5]. Pri Bohmovi flavti vsaka odprtaluknjica pomeni pol tona visjo noto. Tem luknjam pravimo tonske luknje.Poznamo pa se drugo vrsto – registrske luknje. Ce odpremo registrsko luknjo,se v njeni blizini v flavti ustvari vozel akusticnega tlaka. Recimo, da igramo

7

najnizji ton, C1, in odpremo registrsko luknjo, ki je tocno na polovici flavte.Vsi sodi visji harmonicni toni vkljucno z osnovnim tonom bodo izginili, kerimajo na mestu novonastalega vozla sicer hrbte stojecih valov. Nasprotno pabodo lihi visji harmonicni toni komaj cutili spremembo, saj imajo tudi sicertam akusticne vozle stojecega valovanja. Rezultat tega bo, da bo 1. alikvotniton, C2, zvenel kot osnovni, lihi visji harmonski toni pa kot njegovi alikvoti.V tem primeru registrska luknja zvisa ton za eno oktavo, ker je tocno napolovici dela cevi, v kateri se pojavi stojece valovanje. Za krajso valovnodolzino stojecega valovanja moramo odpreti registrsko luknjo, ki razdeli cevv drugacnem razmerju. Na primer za noto D3 uporabimo registrsko luknjona priblizno tretjini efektivne dolzine cevi pri tonu G1. Noto G4 zaigramos podobnim prijemom, le da odpremo registrsko luknjo na priblizno cetrtininihajocega zracnega stolpca. Opazimo lahko, da pri odprtju registrske luknjena polovici efektivne dolzine zazveni prvi visji harmonski ton kot osnovni, cejo odpremo na tretjini, zazveni drugi, na cetrtini tretji itd. Pri nekaterihnotah v tretji oktavi se pri prijemih uporabljajo tonske luknje kot registrske(npr. D# 3) [5]. Tonske in registrske luknje na trupu flavte prikazuje slika6.

Slika 6: Na flavti ze po velikosti zlahko locimo tonske in registrske luknje;registrske luknje so manjse in blizje glavi, tonske pa so vecje, vendar lahkovcasih tudi te prevzamejo vlogo registrskih lukenj.

4 Akusticna impedanca

Za natancnejso fizikalno obravnavo flavte moramo uvesti nov pojem: akusticnoimpedanco. Najpreprosteje jo opisemo kot razmerje akusticnega tlaka (vari-

8

abilni del zracnega tlaka) in zracnega (pre)toka,

Z =p

vS. (2)

Enota za akusticno impedanco je Pas/m3, ki ji recemo tudi akusticni Ohm(Ω) [6]. Pri preucevanju glasbil je to razmeroma majhna enota; najveckratuporabljamo enoteMPas/m3. Za opis uporabljamo tudi specificno akusticnoimpedanco, ki je definirana kot razmerje akusticnega tlaka in specificnegazracnega toka oz. toka na enoto povrsine [7],

z =p

v= ZS . (3)

Akusticna impedanca je frekvencno odvisna fizikalna kolicina, ki nam opisujelastnost posameznega glasbila. Pri flavti jo merimo pri ustniku, saj nam takolicina pove, kako bodo flavtistove ustnice in zracni curek iz njih reagirali ssamim glasbilom. Na nek nacin je to objektivna ocena oz. merljiva lastnostvsakega glasbila posebej – razlicne instrumente lahko med sabo primerjamoneodvisno od tega, kdo jih bo igral. Sama od sebe se ponudi analogija z elek-tricno impedanco. Elektricni upor je razmerje med napetostjo med dvematockama prevodnika in tokom, ki tece po njem. Ce dovolimo, da je napetostizmenicna, pa na tok ne vpliva samo upor prevodnikov, pac pa tudi drugelastnosti vezja, ki jih skupaj opisemo z elektricno impedanco. Izmenicnanapetost je v fizikalnem smislu veliko bolj zanimiva, saj je tok skozi vezjeodvisen od frekvence, s katero spreminjamo napetost. Seveda ima tudi taanalogija svoje omejitve – ker je zrak stisljiv, pri opisu z akusticno impedancone moremo uporabiti Kirchoffovega zakona o ohranitvi tokov [6]. Podobnokot pri elektricni impedanci moramo tudi pri akusticni dopustiti, da akusticnitlak in tok zraka ne nihata socasno. Za to uporabljamo zapis s kompleksnimistevili – realna komponenta predstavlja del toka, ki niha v fazi, z imagi-narno komponento pa opisemo nihanje, ki ni v fazi z nihanjem akusticnegatlaka. Akusticna impedanca se zelo razgibana funkcija frekvence – pihala sonamrec zgrajena tako, da pri dolocenem prijemu ojacajo stojece valovanjesamo dolocenih frekvenc. Pri flavti pihamo skozi ustnik, ki je odprtina medzrakom v flavti in zunanjim zrakom; akusticni tlak je zato majhen. Curek,ki ga pihamo iz ust, potuje na rob ustnika – nihanje zracnega toka v flavtiposkrbi, da se curek usmeri v flavto ali iz nje. Ker imamo majhen akusticnitlak in moznost velikega zracnega pretoka, lahko recemo, da flavta igra priminimalni akusticni impedanci. Vecina drugih pihal ima jezicke – tam jesituacija ravno obratna: zracni tok je majhen, akusticni tlak pa velik. Klar-inet, oboa in saksofon igrajo pri maksimalni akusticni impedanci [6]. Na-jlazje se to vidi po sami obliki pihala; flavta je cev odprta na obeh straneh,

9

glasbila z jezicki pa so polodprte cevi - zaprt konec cevi predtavlja velikoakusticno impedanco (slika 7). Vec podrobnosti o akusticni impedanci flavteje v poglavju frekvencni odziv flavte.

Slika 7: Na grafu sta narisani akusticni impedanci flavte in klarineta. Klar-inet je polodprta cev, zato igra pri maksimalni vhodni impedanci, flavta papri minimalni [6].

5 Iztocni popravek

Dopolnimo sedaj nas preprost model flavte z nekaterimi popravki, za katerese je izkazalo, da igrajo pomembno vlogo pri natancni dolocitvi pozicije lukenjin posledicno visine tonov. Kot sem ze omenil, vozli akusticnega tlaka pristojecem nihanju v cevi ne nastanejo tocno na robu cevi, pac pa so nekolikoizmaknjeni navzven. Temu pojavu recemo iztocni popravek (anglesko endcorrection) in igra pomembno vlogo pri vseh cevnih instrumentih. Sam izraziztocni popravek sem povzel po viru [10]. Njegova fizikalna obravnava jev splosnem zelo kompleksna, z nekaj poenostavitvami pa lahko pridemo douporabnega numericnega rezultata, ki nam pomaga pri nacrtovanju glasbila.Izkaze se, da zrak, ki je blizu konca cevi, vibrira skupaj s tistim v cevi –to predstavlja dodatno akusticno impedanco, ki jo je potrebno upostevatipri dolzini nihajocega zracnega stolpca. Popravek je v splosnem odvisenod frekvence; za primer precne flavte, ko je valovna dolzina vedno vecjaod premera cevi, pa lahko to odvisnost zanemarimo. Akusticno impedanco

10

tanke rezine zraka v cevi, ki jo ta predstavlja s svojo maso, lahko opisemokot

dZ = iωρdx

S, (4)

kjer je ω krozna frekvenca, ρ gostota zraka, S pa precni presek cevi. Komotnja pripotuje do roba cevi, mora zanihati tudi zrak, ki je zunaj flavte.Ta ima doloceno maso in zato tudi svojo impedanco. Priblizno jo lahkoocenimo z integriranjem polkroznih rezin s polmerom r po polprostoru, vkaterega je flavta odprta:

Z =∫ ∞

R

iωρdr

2πr2=

iωρ

2πR, (5)

kjer smo integrirali od polmera cevi R do neskoncnosti. Rezultat je identicen,kot ce bi po enacbi (4) izracunali akusticno impedanco zraka v cevi s polmeromR in dolzino R/2. Po tem izracunu torej zrak zunaj cevi vpliva na stojece val-ovanje tako, kot bi bila flavta za R/2 daljsa od svoje prave dolzine. Racun jenekoliko nenatancen, saj smo z integracijo zaceli sele pri polmeru cevi, zrakacisto pri koncu flavte pa nismo upostevali. Prava pozicija vozlov je za 61 %polmera izmaknjena iz cevi. Notranji polmer precne flavte je 19 milimetrov,torej je koncni popravek ∆L = 0.61 ∗ 19 = 11, 6 milimetra. Z upostevanjempopravkov dobimo efektivno dolzino piscali, ki ustreza frekvenci tona, ki gaflavtist igra. Flavta je odprta na obeh koncih. Vendar pa zgornji racun veljale za popravek dolzine pri nogi; popravek pri ustniku je odvisen od vec spre-menljivk. Zgornji del flavte ali glava ima na majhnem stolpcu okrog odprtineustnika namesceno ploscico, na kateri med igranjem pociva flavtistova spod-nja ustnica. Na eni strani se glava nadaljuje v trup, na drugi strani pa cevzapira zamasek, katerega pozicija je nastavljiva. Prostornina tega prostoranad ustnikom, oblika ustnika in notranji profil glave so glavni dejavniki priuglasevanju in kvaliteti tona; najpomembnejsi od teh treh pa je prav prostornad ustnikom. Napacna postavitev zamaska lahko razglasi spodnja registraflavte tudi za pol tona, gledano relativno drugega na drugega [5]. Zamasek,ki je pritrjen na kroni, prikazuje slika 8.

Zrak, zaprt nad ustnikom, se obnasa priblizno tako kot resonator. Lastnafrekvenca njegovega nihanja je nekje okrog 5 kHz. Pri nizjih frekvencah seobnasa kot zaporedno vezana”akusticna impedanca v cevi, vendar njen vplivz nizanjem frekvence pada. Pravilno postavljen zamasek zato manjsa vlogofrekvencno odvisnih koncnih popravkov, hkrati pa v visini omejuje obsegflavte. Ce zamasek potisnemo dalec v flavto, lahko sicer povecamo obsegglasbila, vendar pa posledicno tudi mocno razglasimo oktave. Akusticnoimpedanco ustnika lahko podobno kot v (4) opisemo z enacbo

Ze = iρωleSe

, (6)

11

Slika 8: Na sliki je zamasek, ki je pritrjen na kroni flavte. Skrit je v glaviflavte nad ustnikom. S spreminjanjem njegove lege uravnavamo notranjouglasitev flavte.

kjer je ρ gostota zraka, ω krozna frekvenca, le in Se pa akusticna dolzinain povrsina ustnika. Slednja dva podatka je mogoce izracunati, vendar staodvisna od polozaja flavtistovih ustnic pri igranju [8]. Impedanco zraka vprostoru nad ustnikom opisemo kot

Zc =ρc2

iωV, (7)

kjer je V prostornina tega prostora, c pa hitrost zvoka v zraku. Ce opisemokarakteristicno impedanco cevi flavte s formulo

Z0 =roc

S, (8)

kjer je S presek cevi, potem kombinacija akusticnih impedanc Ze in Zc opisujeiztocni popravek pri zgornjem delu flavte. Tega lahko izrazimo kot

∆L =c

ωtan−1

leωS

cSe

(1– leV ω2

c2Se

) . [4] (9)

Obnasanje iztocnega popravka je najbolj odvisno od volumna V in frekvencetona. Frekvencno odvisnost pri razlicnih pozicijah zamaska prikazuje grafna sliki 9. Mi si frekvencne odvisnosti ne zelimo, zato je idealna pozicijazamaska priblizno 17 milimetrov od sredine ustnika – pri taki oddaljenostije popravek za frekvence do 2000 Hz skoraj konstanten. Koncni popravekza zgornji del flavte pri taki legi znasa priblizno 42 milimetrov (ob normalnipostavitvi flavtistovih ustnic) [4]. Ce sestejemo oba koncna popravka, do-bimo rezultat, da je efektivna dolzina piscali dobrih 53 milimetrov daljsa oddejanske dolzine. Podobno stevilko (51,5 mm) v svoji knjigi omenja ze Bohm[4]. Najpomembnejsa posledica omenjenega spreminjanja polozaja zamaska

12

v glavi flavte je tako imenovano notranje uglasevanje. Zunanje uglasevanjepomeni uglasitev enega tona (ponavadi komorni ton A) na neko drugo glas-bilo ali na tocno doloceno frekvenco. Tako uglasitev dosezemo s tem, daglavo flavte nekoliko izvlecemo iz trupa ali jo potisnemo nekoliko globlje[9]. Notranje uglasevanje pa predstavlja spreminjanje samih intervalov medtoni. Te spremembe so zelo majhne, ocitne pa postanejo pri velikih inter-valih, npr. oktavah, kjer mora biti frekvenca visjega tona tocno dolocenveckratnik frekvence spodnjega tona. Ce je interval med oktavama prevelik,potem je potrebno zamasek nekoliko izvleci iz cevi, ce je premajhen, moramozamasek potisniti navznoter. Flavta je zato pihalo z najpreprostejsim notran-jim uglasevanjem.

Slika 9: Na grafu lahko vidimo, da je koncni popravek pri nizkih frekvencahneodvisen od polozaja zamaska, pri visokih pa se ta popravek kar precejspreminja. Stevilka nad krivuljo pove, kako dalec od ustnika mora bitizamasek, da dobimo zeljeno frekvencno odvisnost. Priblizno konstantnipopravek k dejanski dolzini za vse frekvence dobimo, ce zamasek namestimo17 milimetrov od sredine ustnika [8].

6 Alikvotni toni in prepihovanje

Ko zaigramo noto dolocene visine, se v cevi flavte pojavi stojece valovanje,ki na zgornjem in spodnjem robu zadosca robnim pogojem, ki jih narekujeodprta cev (akusticni tlak je priblizno nic). Tem pogojem pa ne zadosca

13

samo nihanje s tocno doloceno frekvenco, pac pa je takih nihanj cela vrsta.Ponavadi v skico cevi narisemo polovico stojecega vala od enega do drugegaodprtega konca cevi; to je osnovna frekvenca. Zraven nje se pojavi se nihanjes pol krajso valovno dolzino oz. frekvenco, ki je dvakratnik osnovne (ν1 =2 ∗ ν0), nihanje s trikratno frekvenco (ν2 = 3 ∗ ν0), stirikratno, petkratno itd.Toni, ki zvenijo zraven osnovnega, se imenujejo alikvotni ali visji harmonskitoni. Skupaj z osnovnim tonom tvorijo znacilen zven glasbila, ki ga vcasihimenujemo tudi barva zvoka. Prvih 15 alikvotnih tonov prikazuje slika 10.

Slika 10: Na sliki so notirane visine prvih 15 visjih harmonskih tonov alialikvotov. Razlike v frekvencah alikvotnih tonov so konstantne, frekvencnerazlike poltonov pa rastejo hkrati s frekvenco (ν0+1/2 − ν0 = ν0(2

1/12 − 1)).Zato imamo pri visjih alikvotih tezave z njihovim zapisom v obliki not.

Osnovni ton je obicajno najglasnejsi, zato je tudi najbolj slisen, prisotnostalikvotnih tonov pa je v zvenu ponavadi tezko zaznati. Razlicna zastopanostposameznih alikvotnih tonov nam omogoca, da locimo zven razlicnih glas-bil, ceprav igrajo vsa isti ton. Zastopanost posameznih visjih harmonskihfrekvenc nam razkrije zvenska analiza; napravimo jo s preprosto Fourierovotransformacijo zvena. Seveda zastopanost posameznih alikvotov tudi pri is-tem glasbilu ni vedno enaka, pac pa je odvisna od visine tona in glasnostiigranja. Za flavto je na primer znacilno, da je v nizkih legah pri normalniglasnosti nekaj prvih alikvotnih tonov celo glasnejsih kot je osnovni. Kotprimer lahko na sliki 11 pogledamo spekter najnizjega tona, ki ga se lahkozaigra moderna flavta s C-nogo – to je ton C1.

Ce igramo na primer ton C1, pri tem obrnemo flavto nekoliko proti sebi inpihnemo mocneje, se bo oglasil prvi alikvotni ton - eno oktavo visji C2. Ta po-jav imenujemo prepihovanje. Ce pihnemo se mocneje, lahko flavta prepihujetudi v visje alikvotne tone. Zanimivo je, da lahko z enako mocnim pihan-jem igramo razlicne visje harmonske tone. Ko namrec igramo nek alikvot,bo flavta vztrajala v tem nihajnem nacinu, cetudi bomo spreminjali tlak vustih in s tem hitrost curka zraka na ustnik. Ce pa zelimo, da se oglasi tocno

14

Slika 11: Graf prikazuje spekter zvena moderne flavte s C-nogo, ki igra tonC1. Amplituda alikvotov sicer v splosnem res pada s frekvenco, vidimo palahko, da je osnovni ton tisji od prvih treh alikvotov.

dolocen alikvot, moramo pihniti z ravno primerno hitrostjo. Tlak v ustih,posledicno pa hitrost curka in hitrost sirjenja motnje v cevi, je torej odlocilnidejavnik, od katerih je odvisno, kateri alikvotni ton se bo oglasil pri prepiho-vanju. Graf na sliki 12 prikazuje meritve priporocenih in se mogocih tlakovpri prepihovanju orgelske piscali v osnovni in prvih treh visjih harmonskihfrekvencah.

Slika 12: Z omejenimi crtami je na grafu oznaceno obmocje tlakov, pri ka-terih se lahko poje dolocen alikovt (ali osnovni ton), s pikico pa je oznacenpriporocen tlak, s katerim moramo pihniti, da se alikvot sploh oglasi.

15

7 Odrezane frekvence

Ko na flavti odpremo tonsko luknjo, v tistem delu cevi zracni tlak izenacimoz zunanjim in tako skrajsamo efektivno dolzino cevi. Seveda je tu odlocilnegapomena velikost luknje; ze Bohm je ugotovil, da morajo biti luknje cimvecje,da dobimo oster, cist in jasen ton. Majhne luknje (na primer registrske) neustavijo potovanja valov po cevi, pac pa v svoji blizini le ustvarijo tlacni vozel.Drugace je pri tonskih luknjah: tam se odbije vecina nizkofrekvencnih valov,saj odprta tonska luknja predstavlja neke vrste nizkoimpedancni akusticnikratki stik do zunanjega zraka. Zrak okrog luknje ima svojo maso, torej imatudi svojo impedanco; ce hoce zracni val iz cevi potovati skozi luknjo, morato maso pospesiti. Impedanca zraka v okolice luknje je v primerjavi s stenoflavte zanemarljiva, ni pa nicna. Z uporabo Newtonovega zakona lahko zapreprost primer pospesevanja zraka temu pripisemo impedanco

Z =p

vS=F

v= imω . (10)

Vidimo, da impedanca narasca z visanjem frekvence - impedanca zraka vluknji se bliza impedanci stene in luknja ima vse manjsi vpliv. Zrak v luknjizato nekoliko odbije val visoke frekvence, saj je luknja na videz bolj zaprtakot za nizkofrekvencni val. Pri nekoliko visjih frekvencah se del motnje razsiritudi za prvo odprto tonsko luknjo, valovi zelo visokih frekvenc pa potujejomimo vseh lukenj do konca cevi. Odprte tonske luknje se torej obnasajo kotfrekvencni filter – valovi nizkih frekvenc se ustavijo, visokofrekvencni valovipa nemoteno potujejo naprej (slika 13).

Slika 13: Slika prikazuje dve razlicni motnji, prvo nizkofrekvencno, ki se naodprti luknji odbije in potuje nazaj proti glavi, in drugo visokofrekvencno,ki ne more pospesiti zraka v tonskih luknjah in zato potuje neovirano naprejpo cevi.

Pri Bohmovi flavti je mejna frekvenca nekaj nad 2 kHz. To je najlepsevidno pri spektralni (zvenski) analizi tona A1 (spomnimo se, da flavta igra priminimalni akusticni impedanci). Prve stiri resonance postajajo z narascajocofrekvenco vedno manj izrazite – to je posledica izgub zaradi trenja zraka ob

16

stenah flavte, ki imajo z visanjem frekvence vedno vecji pomen. Nad 2 kHzpa so resonance obcutno sibkejse – valovi teh frekvenc potujejo mimo odprtihtonskih lukenj in se delno skozi njih postopoma izsevajo vzdolz flavte. Tudirazmik teh resonanc je nekoliko vecji kot je razmik med prvimi resonancami(slika 14, levo).

Slika 14: Na grafu je obnasanje akusticne impedance v odvisnosti odfrekvence. Pri tonu A1 so prvi stirje minimumi ostri in jasni, nad 2 kHzpa so minimumi zaradi efekta odrezanih frekvenc veliko bolj zabrisani. TonC1 igramo s celotno dolzino flavte, zato opisani efekt ne pride do izraza.Minimumi visjih redov zato njihove intenzitete postopoma padajo.

Pri najnizji noti, ki jo flavta lahko zaigra (pri C-nogi je to C1, pri H-nogipa mali h), na cevi ni nobene odprte tonske luknje, zato efekt odrezanihfrekvenc ne pride do izraza. Na grafu lahko vidimo enakomerno padanjeintenzitete resonanc (slika 14, desno). Ce bi bili visji alikvoti dovolj mocni,bi posledicno najnizji ton imel precej drugacen zven, kot ostali, kjer imaomenjen efekt mocnejsi vpliv. V tem primeru bi morali konec flavte nareditirazsirjen v zvon, saj tak zakljucek cevi odbija nizke frekvence, prepusca pavisoke. Take oblike sta na primer oboa in klarinet; mejna frekvenca njunezvonaste noge mora biti primerljiva z mejno frekvenco opisanega efekta.

8 Frekvencni odziv flavte

Na koncu poglejmo se obnasanje akusticne impedance flavte na sirsem frekvencnemobmocju. Za ta namen lahko izberemo prijem na flavti s C-nogo, ki gauporabljamo za igranje not C#2 in C#3.

17

Pod 2 kHz je obnasanje akusticne impedance pricakovano; podoben odzivima preprosta cilindricna cev – mocno ojaca osnovno frekvenco in njene mno-gokratnike. Nad 2 kHz postanejo resonance komaj se zaznavne, saj je v temobmocju mejna frekvenca; visje frekvence se na odprtih tonskih luknjah vecne odbijajo. Okrog 5 kHz resonance skorajda izginejo – to je posledica zrakamed ustnikom in zamaskom, ki se obnasa kot resonator s priblizno tako lastnofrekvenco. Ce pozorno opazujemo razmik med resonancami, lahko opazimo,da je ta v obmocju nizkih frekvenc pricakovan – okrog 600 Hz, kar ustrezatonu C#2. Pri visjih frekvencah pa se resonance pojavljajo veliko bolj skupaj– povprecna razdalja med njimi je okrog 260 Hz. To ustreza tonu C1, ki gaigramo s celotno dolzino flavte. Razlog za to so spet odrezane frekvence –valovi v visokofrekvencnem obmocju potujejo mimo odprtih tonskih lukenj,saj je impedanca zraka v njih prevelika. Odbijejo se sele na koncu cevi intako ojacajo nekatere alikvote tona C1. Ker so te frekvence ze zelo visoke,na zven nimajo pomembnega vpliva. Na koncu si lahko ogledamo se splosnoobliko krivulje, ki ima maksimum nekje pri 9 kHz. Tako znacilno obliko jida nizek stolpic okrog ustnika, na katerem je ploscica za ustnice. Zrak v temstolpicu in v njegovi blizini (zaradi koncnega popravka) ima svojo akusticnoimpedanco. Polna crta na grafu prikazuje teoreticno obnasanje akusticneimpedance take izredno kratke in siroke cevi.

Slika 15: Na sliki lahko vidimo akusticno impedanco flavte na sirokemfrekvencnem pasu. Lepo so vidni efekti odrezanih frekvenc, dela flavte nadustnikom kot resonatorja in impedance zraka v stebricku ustnika.

18

9 Literatura

[1] Matej Zupan, Bone flute(http://www.matejzupan.com, zajeto 12. maj 2009).

[2] Wikipedia, The Free Encyclopedia: Divje babe flute(http://en.wikipedia.org/wiki/Divje Babe, zajeto: 12. maj 2009).

[3] Wikipedia, The Free Encyclopedia: Flute(http://en.wikipedia.org/wiki/Flute).

[4] T. Bœhm, The flute and flute playing (Dover publications, inc., NewYork, 1964).

[5] J. Wolfe, Flute acoustics: an introduction(http://www.phys.unsw.edu.au/jw/fluteacoustics.html, zajeto 12. maj2009).

[6] J. Wolfe, What is acoustic impedance and why is it important?(http://www.phys.unsw.edu.au/jw/z.html, zajeto 12. maj 2009).

[7] Wikipedia, The Free Encyclopedia: Acoustic impedance(http://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic impedance, zajeto: 12. maj2009).

[8] N. H. Fletcher, T. D. Rossing, The physics of musical instruments(Springer-Verlag, New York, 1998).

[9] J. Wolfe, Tuning woodwinds(http://www.phys.unsw.edu.au/jw/tuning.html, zajeto 13. maj 2009).

[10] B. Ravnikar, Osnove glasbene akustike in informatike (DZS, Ljubljana,2001).

19